Aalto-yliopistoRasila/Korvenp¨a¨a
Mat-1.1230 p eruskurssi S3 Syksy 2012
1.v¨alikoeTi16.10.2012klo16.00-19.00 Kokeessasaak¨aytt¨a¨aylioppilaskirjoituksessasallittualaskintamutta eitaulukkokirjaa. 1.Olkoon z=2+i i−1. (a)Esit¨akompleksilukuzmuodossaz=x+iy. (b)Esit¨akompleksilukuzpolaarimuodossa. (c)LaskeLn(z). 2.Olkoonffunktiof(z)=ez,z∈C. (a)Esit¨afmuodossaf=u+iv. (b)Osoita,ett¨afonanalyyttinenkokokompleksitasossa. (c)Annaesimerkkisellaisistapisteist¨az1jaz2,z16=z2,ett¨af(z1)= f(z2). 3.a)Laskekompleksinenpolkuintegraali I Cf(z)dz, kunConpuoliympyr¨an|z|<1,Imz>0reunavastap¨aiv¨a¨ankierret- tyn¨ajaf(z)=Rez. b)M¨a¨arit¨aLaurentinsarjan f(z)=∞X k=1kz−k suppenemisalue. 4.Laskeresidymenetelm¨a¨ak¨aytt¨aenintegraali Z∞ −∞
dx (x2+1)(x2+9). Vihje:Viereisell¨asivullaolevatkaavatvoivatvirkist¨a¨amuistia.
Kaa v o ja:
Hyperbolisetjatrigonometrisetfunktiot: coshz=ez+e−z 2,sinhz=ez−e−z 2, tanhz=sinhz coshz,cothz=coshz sinhz, cosθ=eiθ +e−iθ 2,sinθ=eiθ −e−iθ 2i, sin(x±y)=sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y), cos(x±y)=cos(x)cos(y)∓sin(x)sin(y) Cauchy-Riemanninyh t¨al¨ot: ∂ ∂xu(x,y)=∂ ∂yv(x,y),∂ ∂yu(x,y)=−∂ ∂xv(x,y). M¨obius-kuvaukset: (w−w1)(w2−w3) (w−w3)(w2−w1)=(z−z1)(z2−z3) (z−z3)(z2−z1). Polkuintegraali: Z Cf(z)dz=Zb afz(t) z0 (t)dt. Cauchynintegraalilause:I Cf(z)dz=0. Cauchynintegraalikaava: I C
f(z) z−z0dz=2πif(z0). Laurentinsarja: f(z)=
∞X n=0an(z−z0)n +
∞X n=1
bn (z−z0)n. Residylause: I Cf(z)dz=2πi
kX j=1Res z=zjf(z).
