P ITKÄN MATEMATIIKAN LISÄSIVUT 2 A LGEBRA
Ville Tilvis ja Esa V. Vesalainen
V ERSIO 1.0
syyskuu 2019
Lisensoitu Creative CommonsNimeä 4.0 Kansainvälinen-käyttöluvalla.
cb
Sisältö
Johdanto 3
1 Hyödyllisiä kaavoja 4
Muistikaavat . . . 4
Muuta hyödyllistä . . . 5
Harjoitustehtäviä . . . 6
Pascalin kolmio ja (a+b)n . . . 7
Harjoitustehtäviä . . . 11
2 Kompleksiluvut 12 Kompleksilukujen rakenne . . . 13
Moduli ja liittoluku . . . 15
Jakolasku . . . 16
Kompleksinen neliöjuuri . . . 16
Toisen asteen yhtälön ratkaisu . . . 18
Kompleksiset polynomit . . . 19
Harjoitustehtäviä . . . 20
3 Algebralliset epäyhtälöt 23 Lausekkeiden arvioinnista . . . 24
Harjoitustehtäviä . . . 26
Reaalilukujen neliöt ovat aina epänegatiivisia . . . 27
Harjoitustehtäviä . . . 28
4 Keskiarvoista ja niiden suuruusjärjestyksestä 29 Kahden muuttujan aritmeettis-geometrinen epäyhtälö . . . 34
Harjoitustehtäviä . . . 35
5 Keskiarvojen yleistykset useammalle luvulle 37 Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö kolmelle ja neljälle muuttujalle . . . . 37
Harjoitustehtäviä . . . 40
6 Yleinen aritmeettis-geometrinen epäyhtälö 42 Harjoitustehtäviä . . . 42
Yleisen aritmeettis-geometrisen epäyhtälön todistus . . . 43
Ensimmäiset vihjeet 46
Toiset vihjeet 59
Johdanto
Tämä on toinen osa pitkän matematiikan lisäsivuihin. Ensimmäisessä osassa pe- rehdyttiin täsmälliseen päättelyyn eri muodoissaan ja harjoiteltiin vaikeiden ongel- mien ratkaisemista.
Pitkän matematiikan lisäsivut 2 keskittyy algebraan, erityisesti lausekkeiden mani- pulointiin, kompleksilukuihin, yhtälöihin ja epäyhtälöihin. Näihin liittyvien teknis- ten taitojen lisäksi tärkeässä asemassa on edelleen täsmällinen päättely.
Osa tehtävistä on helppoja, mutta osa on vaikeita tai todella vaikeita. Ei ole tava- tonta, että tehtävä ei ratkea tunnin päättäväisen yrittämisen jälkeenkään, mutta ratkeaa seuraavan tunnin aikana. Osa vie varmasti pidempään. Kaikkiin tehtäviin on vihje ja useimpiin vielä toinen vihje. Vihjeet on tarkoitettu käytettäväksi: yritä tehtävää ensin ilman vihjettä, lue sitten vihje, työskentele lisää, ja katso toinen vihje.
Ohjeellisesti tämä lisäsivupaketti voidaan katsoa suoritetuksi, kun noin puolet harjoitustehtävistä on ratkaistu, mielellään tasaisesti eri osioista.
Lisäsivuprojekti tulee kattamaan kaikki pitkän matematiikan kurssit. Kolmas, tois- taiseksi julkaisematon osa käsittelee geometriaa.
Antoisia hetkiä lisäsivujen parissa!
Helsingissä ja Vantaalla 28.9.2019 Ville Tilvis ja Esa V. Vesalainen
1 Hyödyllisiä kaavoja
Muistikaavat
Ehdottomasti käytetyimpiä ja hyödyllisimpia algebrallisia kaavoja eli identiteettejä ovat niin kutsutut muistikaavat (binomikaavat), joihin luetaan ainakin seuraavat, reaalilukujenajabsummaa ja erotusta koskevat kaavat:
summan neliö (a+b)2 = a2+2ab+b2, erotuksen neliö (a−b)2 = a2−2ab+b2, summan ja erotuksen tulo (a+b)(a−b) = a2−b2.
Muistikaavojen todistaminen on yksinkertaista: vasemman puolen auki kertomalla saa tulokseksi oikean puolen, esimerkiksi erotuksen neliölle
(a−b)2=(a−b)(a−b)
=a·a+a·(−b)−b·a−b·(−b)
=a2−ab−ab+b2
=a2−2ab+b2.
Näihin muistikaavoihin itsessään ei siis liity syvällistä teoriaa, mutta ne ovat tavat- toman käteviä. Muistikaavojen käytön automatisoituminen on tarpeellinen askel matemaattisten taitojen polulla.
Esimerkki 1. Laske päässä 494·506.
Ratkaisu. Laskun voi tehdä muistikaavaa (a+b)(a−b)=a2−b2hyödyntäen:
494·506=(500−6)(500+6)
=5002−62
=250 000−36=249 964.
Esimerkki 2. Etsi kaikki positiiviset kokonaisluvutxjay, joille pätee x2=y2+23.
Ratkaisu. Kirjoitetaan yhtälö muotoon x2−y2=23.
Koska erotusx2−y2on positiivinen, lukuxon lukuaysuurempi. Muistikaavan x2−y2=(x−y)(x+y) avulla yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon
(x+y)(x−y)=23.
Koskaxjayovat positiivisia kokonaislukuja, myösx+yjax−yovat (sillä olix>y).
Koska 23 on alkuluku, kokonaislukujenx+yjax−ytulo voi olla 23 vain, kun pätee
½ x+y=23, x−y=1.
Laskemalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 2x=24 elix=12. Sijoittamalla tämä alempaan yhtälöön saadaan 12−y=1 eliy=11. Tämä ratkaisu toimii, sillä
122−112=144−121=23.
Muuta hyödyllistä
Kolmen yleisimmän muistikaavan lisäksi on hyödyllistä osata muitakin identiteet- tejä. Usein hyödyksi ovat esimerkiksi reaaliluvuillea,bjacpätevät kaavat
binomin kuutio (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3, kuutioiden erotus a3−b3 = (a−b)(a2+ab+b2), kuutioiden summa a3+b3 = (a+b)(a2−ab+b2),
trinomin neliö (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2c a.
Näiden todistaminen on harjoitustehtävänä 3.
Lisäksi on hyvä tuntea reaaliluvuillea,bjacpätevä kaava
a3+b3+c3−3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−c a)
= (a+b+c)·12·¡
(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2¢ , jonka todistus on tehtävänä 5.
Harjoitustehtäviä
Tehtävä 1. Laske muistikaavojen avulla laskut a)1032
b)982
c)101·99 d)58·62.
[Vihje]
Tehtävä 2. Olkootajabkaksi positiivista kokonaislukua, joille pätee a2−b2=17.
Mitkä ovat nämä positiiviset kokonaisluvutajab?
Tällaisissa tehtävissä ei riitä, että löytää yhden ratkaisun, vaan tehtävänä on löytää kaikki ratkaisut ja osoittaa, että muita ei ole.
[Vihje]
Tehtävä 3. Todista reaaliluvuillea,bjacoikeiksi seuraavat identiteetit binomin kuutio (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3, kuutioiden erotus a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2), kuutioiden summa a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2),
trinomin neliö (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2c a.
Näistä kaavoista on hyötyä tehtävässä 19.
[Vihje]
Tehtävä 4. Tutki, löytyykö reaaliluvuilleajabpätevän kaavan a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
kaltaista kaavaa lausekkeillea4−b4,a5−b5ja niin edelleen. Mikäli kyllä, muotoile kaava lausekkeellean−bn, kunnÊ2 on kokonaisluku.
[Vihje]
Tehtävä 5. Osoita kaikille reaaliluvuillea,bjacpäteväksi kaava a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−c a)
=(a+b+c)·1 2·¡
(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2¢ . Tätä kaavaa hyödynnetään tehtävässä 54.
[Vihje]
Pascalin kolmio ja(a+b)n
Blaise Pascalin mukaan nimetty (mutta jo aiemmin käytetty) Pascalin kolmio näyt- tää tältä:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Kolmion ensimmäisellä rivillä on vain yksi ykkönen. Jokaisella rivillä on yksi luku enemmän kuin edellisellä, ja rivin ensimmäinen ja viimeinen luku ovat aina ykkösiä.
Sisemmät luvut saadaan laskemalla yhteen niiden yläpuolella viistosti olevat luvut.
Esimerkiksi alla 1+2=3.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
... ... ... ... ...
Kutsumme Pascalin kolmion riviä, joka sisältää vain yksinäisen luvun 1, kolmion 0.
riviksi, seuraavaa riviä 1. riviksi ja niin edelleen. Lisäksi jokaisella rivillä kutsumme vasemmanpuoleisinta lukua rivin 0. luvuksi, sitä seuraavaa lukua rivin 1. luvuksi, ja niin edelleen. Kunnon epänegatiivinen (eli positiivinen tai nolla) kokonaisluku jakkokonaisluku, jolle 0ÉkÉn, merkitsemme Pascalin kolmionn. rivink. lukua symbolilla¡n
k
¢, joka luetaan suomeksi ”nylik”. Pascalin kolmion luvut nimetään siis näin:
¡0 0
¢
¡1 0
¢ ¡1 1
¢
¡2
0
¢ ¡2
1
¢ ¡2
2
¢
¡3
0
¢ ¡3
1
¢ ¡3
2
¢ ¡3
3
¢
¡4
0
¢ ¡4
1
¢ ¡4
2
¢ ¡4
3
¢ ¡4
4
¢
¡5
0
¢ ¡5
1
¢ ¡5
2
¢ ¡5
3
¢ ¡5
4
¢ ¡5
5
¢
¡6
0
¢ ¡6
1
¢ ¡6
2
¢ ¡6
3
¢ ¡6
4
¢ ¡6
5
¢ ¡6
6
¢
¡7
0
¢ ¡7
1
¢ ¡7
2
¢ ¡7
3
¢ ¡7
4
¢ ¡7
5
¢ ¡7
6
¢ ¡7
7
¢
¡8 0
¢ ¡8 1
¢ ¡8 2
¢ ¡8 3
¢ ¡8 4
¢ ¡8 5
¢ ¡8 6
¢ ¡8 7
¢ ¡8 8
¢
¡9 0
¢ ¡9 1
¢ ¡9 2
¢ ¡9 3
¢ ¡9 4
¢ ¡9 5
¢ ¡9 6
¢ ¡9 7
¢ ¡9 8
¢ ¡9 9
¢ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Esimerkiksi¡5 2
¢=10, kuten Pascalin kolmiosta voidaan lukea.
Pascalin kolmion rakenteesta johtuen pätee Ãn
0
!
= Ãn
n
!
=1,
kaikilla epänegatiivisilla kokonaisluvuillan, samoin kuin à n
k−1
! +
Ãn k
!
= Ãn+1
k
! , kaikilla positiivisilla kokonaisluvuillanjak, joillekÉn.
Lisäksi Pascalin kolmio on symmetrinen pystyakselinsa suhteen, joten Ãn
k
!
= Ã n
n−k
!
kaikilla epänegatiivisilla luvuillanjak, joillekÉn.
Binomikerroin Lukuja¡n
k
¢kutsutaan myös binomikertoimiksi, sillä Pascalin kolmion luvut liittyvät läheisesti binomin potensseihin (a+b)n. Kun reaalilukujenajabsumma korote- taan kokonaislukupotenssiinn, auki kerrotun ja sievennetyn polynomin kertoimet löytyvät Pascalin kolmiosta:
(a+b)0=1 =1
(a+b)1=a+b =1·a+1·b
(a+b)2=a2+2ab+b2 =1·a2+2ab+1·b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 =1·a3+3a2b+3ab2+1·b3 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 =1·a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1·b4.
... ...
Täsmällisemmin sanottuna binominn. potenssin (a+b)nauki kirjoitetun muodon kertoimet löytyvät Pascalin kolmion riviltän, kuten seuraavaksi todistetaan.
Binomilause.Yleisesti pätee, että (a+b)n=
Ãn 0
! an+
Ãn 1
!
an−1b1+ Ãn
2
!
an−2b2+. . . . . .+
à n n−2
!
a2bn−2+ Ã n
n−1
!
a1bn−1+ Ãn
n
! bn, kunnon positiivinen kokonaisluku.
Huomaa, miten muuttujanaeksponentit pienenevät ja muuttujanbeksponentit kasvavat. Binomilause voidaan kirjoittaa summamerkintää käyttäen lyhyemmin muodossa
(a+b)n=
n
X
k=0
Ãn k
!
an−kbk.
Esimerkki. Esitä lauseke (x+2)5ilman sulkuja.
Ratkaisu. Poimitaan tarvittavat kertoimet Pascalin kolmion 5. riviltä. Ne ovat 1, 5, 10, 10, 5 ja 1. Nyt voidaan laskea:
(x+2)5= 1 ·x5+ 5 x4·2+ 10x3·22+ 10 x2·23+ 5 x·24+ 1 ·25
=x5+10x4+40x3+80x2+80x+32.
Binomilauseen todistus.
Voit huoleti ohittaa tämän todistuksen ja palata siihen myöhemmin.
Oletetaan, että lause ei päde joillakin luonnollisen luvunnarvoilla. Tutkitaan pie- nintä luvunnarvoa, jolla lause ei päde. Aiempien esimerkkien perusteella täytyy ollan>3. Koskanon pienin toimimaton eksponentti, kaava toimii, kun eksponent- tina onn−1. Voidaan siis laskea näin:
(a+b)n=(a+b)(a+b)n−1
=(a+b)
"Ã n−1
0
! an−1+
Ãn−1 1
!
an−2b1+ · · · + Ãn−1
n−1
! bn−1
# . Kerrotaan sulut auki yhtälön oikealla puolella:
(a+b)n=a
"Ã n−1
0
! an−1+
Ãn−1 1
!
an−2b1+ · · · + Ãn−1
n−1
! bn−1
#
+b
"Ã n−1
0
! an−1+
Ãn−1 1
!
an−2b1+ · · · + Ãn−1
n−1
! bn−1
#
=
Ãn−1 0
! an+
Ãn−1 1
!
an−1b1+ · · · + Ãn−1
n−1
! abn−1 +
Ãn−1 0
!
an−1b1+ Ãn−1
1
!
an−2b2+ · · · + Ãn−1
n−1
! bn
Tästä symbolipuurosta voi tunnistaa, että summassa on ylemmässä ja alemmas- sa rivissä termipareja, joissa on samat eksponentit; parit löytyvät kaikille muille termeille paitsi ensimmäiselle (an) ja viimeiselle (bn).
Lasketaan yhteen termit, joissa on samat lukujenajabpotenssit. Ensimmäinen tällainen summa on
Ãn−1 1
!
an−1b+ Ãn−1
0
!
an−1b=
"Ã n−1
1
! +
Ãn−1 0
!#
an−1b= Ãn
1
! an−1b, sillä Pascalin kolmion kahden vierekkäisen luvun summa¡n−1
1
¢+¡n−1
0
¢on kolmion seuraavan rivin luku¡n
1
¢. Vastaavasti muille pareille pätee Ãn−1
k
!
an−kbk+ Ãn−1
k−1
!
an−kbk= Ãn
k
!
an−kbk, kun 1ÉkÉn−1. Näin on saatu
(a+b)n= Ãn−1
0
! an+
Ãn 1
!
an−1b1+ · · · + Ã n
n−1
!
abn−1+ Ãn−1
n−1
! bn. Kun muistetaan vielä, että¡n−1
0
¢=1 ja¡n−1 n−1
¢=1 (Pascalin kolmion kunkin rivin ensimmäinen ja viimeinen luku on 1), saadaan binomikaava
(a+b)n=an+ Ãn
1
!
an−1b1+ Ãn
2
!
an−2b2+ · · · + Ã n
n−1
!
abn−1+bn,
mikä on ristiriidassa sen kanssa, että kaava ei toimisi luvullan. Kaava toimii siis kaikilla positiivisilla kokonaisluvuillan.
Lisää binomikertoimista
Laskukaava. Itse asiassa binomikertoimet voi kirjoittaa mukavasti kertomien avulla. Kunnon positiivinen kokonaisluku, senkertomaon luku
n!=1·2·3·. . .·n.
Määrittelemme myös 0!=1. Tällöin kaikilla epänegatiivisilla kokonaisluvuillanja kokonaisluvuillak, joille 0ÉkÉn, pätee
Ãn k
!
= n!
k! (n−k)!.
Esimerkiksi Ã
5 3
!
= 5!
3! (5−3)!= 5!
3!·2!=1·2·3·4·5 1·2·3·1·2=10 ja
Ã4 4
!
= 4!
4! (4−4)!= 4!
4!·0!= 1·2·3·4 1·2·3·4·1=1.
Kolmantena esimerkkinä voisimme mainita vaikkapa, että kunnon kokonaisluku, jollenÊ2, niin
Ãn 2
!
= n!
2! (n−2)!=1·2·3·. . .·(n−2) (n−1)n
1·2·1·2·3·. . .·(n−2) =(n−1)n
2 .
Sovelluksia. Binomikertoimet tulevat luonnollisella tavalla vastaan myös mm. to- dennäköisyyslaskennassa. Tämä liittyy siihen, että binomikerroin¡n
k
¢kertoo kuinka monella tavallanoliosta voi valitak oliota. Esimerkiksi 5 henkilön joukosta on mahdollista muodostaa¡5
2
¢=10 erilaista paria.
Aivan toisenlainen esimerkki binomikertoimista olisi Bertrandin postulaattina tun- nettu kaunis tulos, jonka mukaan jokaisella positiivisella kokonaisluvullan on olemassa alkulukup, jollen<pÉ2n. Erd˝osin kaunis (mutta kuitenkin jokseenkin tekninen) todistus tälle perustuu binomikertoimen¡2n
n
¢tarkasteluun.
Harjoitustehtäviä
Tehtävä 6. Kirjoita seuraavat lausekkeet binomikaavan avulla ilman sulkuja.
a)(a+b)6 b)(a−b)6
c)(a+1)3 d)(2x−3)4. [Vihje]
Tehtävä 7. Ratkaise yhtälö
x3+3x2+3x=4.
[Vihje]
Tehtävä 8. Todista, että luku
³ 2+p
7´2020
+³ 2−p
7´2020
on kokonaisluku.
[Vihje]
Tehtävä 9. Laske käsin luku¡21
3
¢hyödyntäen kaavaa Ãn
k
!
= n!
k! (n−k)!, missäkjanovat kokonaislukuja, joille 0≤k≤n.
[Vihje]
Tehtävä 10. Osoita, että kaava Ãn
k
!
= n!
k! (n−k)!
pitää paikkansa kaikille kokonaisluvuillenjak, joille pätee 0ÉkÉn.
Kuten aiemminkin binomikertoimen määritelmänä pidetään tässä sitä, että luku
¡n
k
¢on Pascalin kolmiossa rivillänjärjestyksessäk. luku vasemmalta. Sekä rivien että lukujen numerointi alkaa nollasta.
[Vihje]
Tehtävä 11. Olkoonnpositiivinen kokonaisluku. Laske summa 1+2+3+. . .+n
binomikertoimien avulla.
[Vihje]
2 Kompleksiluvut
Tulon merkkisäännön mukaisesti kahden positiivisen luvun tulo on positiivinen, ja kahden negatiivisen luvun tulo on myös positiivinen. Tästä syystä reaalilukujen neliöt eivät ole negatiivisia: kunxon reaaliluku, pätee
x2Ê0.
Näin ollen esimerkiksi yhtälöllä
x2= −1 ei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa, eli lukuap
−1 ei ole. 1500-luvulla törmät- tiin kuitenkin mielenkiintoiseen ilmiöön: kolmannen asteen yhtälöä ratkaistaessa joutuu luonnollisella tavalla tekemisiin negatiivisten lukujen neliöjuurten kanssa.
Tällaiset luvut ovat esimerkkejä kompleksiluvuista.
Leonhard Euler otti 1700-luvulla käyttöön merkinnäniluvulle, jonka neliö on−1, ja kompleksilukujen teoria nykymuodossaan vakiintui 1800-luvulla.
Nimestään huolimatta kompleksiluvut eivät ole kohtuuttoman monimutkaisia, ja ne ovat mitä mainioin työväline. Kompleksilukuihin törmää jatkuvasti lukuisilla matematiikan aloilla, ja niillä on myös selkeitä sovelluksia luonnontieteissä: esimer- kiksi atomi- ja molekyylitason fysiikkaa erinomaisesti kuvaavan kvanttimekaniikan perustava laki on kätevää muotoilla Schrödingerin yhtälöksi
iħ∂Ψ
∂t = −ħ2
2m∇2Ψ+V(r)Ψ,
jonka alussa komeilee imaginaariyksikköi. Myös signaalikäsittelyssä ja sähkötek- niikassa kompleksiluvuilla lasketaan rutiininomaisesti.
Kompleksiluvuilla on kaunis teoria ja kaunis rakenne, josta tässä luvussa esitellään vain perusteet. Mikäli kaipaat lisälukemista, logiikasta kompleksilukujen rakenteen takana saa käsityksen Antti Valmarin tekstistäOnkop
−1olemassa? Keskipituinen kertomus lukujen olemuksesta, osatyksijakaksi1ja silmäyksen soveltavaan puo- leen luo Vesa Linja-aho artikkelissaan Vaihtosähköpiirien osoitinlaskenta komplek- siluvuilla2.
Kompleksilukujen historiasta ja vielä laajemmasta rakenteesta kvaternioista voi lukea Jorma Merikosken artikkelista Kompleksiluvuista ja kvaternioista3, ja lisää hyödyllisiä teknisiä yksityiskohtia löytyy Matti Lehtisen artikkelistaKaikki tarpeelli- nen kompleksiluvuista4.
Minkään näistä lukeminen ei ole välttämätöntä seuraavan ymmärtämiseksi.
1Antti Valmari:Onkop
−1olemassa? Keskipituinen kertomus lukujen olemuksesta https://matematiikkalehtisolmu.fi/2008/1/valmari_osa1.pdf https://matematiikkalehtisolmu.fi/2008/2/valmari_osa2.pdf
2Vesa Linja-aho:Vaihtosähköpiirien osoitinlaskenta kompleksiluvuilla,
https://matematiikkalehtisolmu.fi/2017/1/osoitinlaskenta.pdf
3Jorma Merikoski:Kompleksiluvuista ja kvaternioista,
https://matematiikkalehtisolmu.fi/2001/3/merikoski/merikoski.pdf
4Matti Lehtinen:Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuista,
https://matematiikkalehtisolmu.fi/2006/1/lehtinen.pdf
Kompleksilukujen rakenne
Kompleksiluvut ovat reaalilukujen joukon laajennus, joka noudattaa samoja lasku- lakeja kuin reaaliluvut (kaikkia paitsi suuruusjärjestykseen liittyviä).
Aloitetaan sopimalla, että on olemassa imaginaariyksikköi, jolle pätee
i2= −1.
Kompleksilukujen joukkoCkoostuu luvuistaz, jotka ovat muotoa z=a+i b, a,b∈R.
Lukuaakutsutaan kompleksiluvun reaaliosaksi ja lukuabimaginaariosaksi. Komp- leksilukuja ovat siis esimerkiksi 2+i, 3−4i, 3i ja 7. Reaaliluvut voidaan tulkita kompleksiluvuiksi, joiden imaginaariosa on 0.
Kompleksiluvunzreaaliosaa merkitään usein Re(z) taiℜ(z) ja imaginaariosaa Im(z) taiℑ(z). Esimerkiksi Im(3+2i)=2.
N Z Q
R
C
0 8
−2 −105
2 3
−17
2,5 p2
0,101001000100001...
i 3−4i
Lukujoukkojen hierarkia
Kompleksilukujen laskusäännöt yhteenlaskun ja kertolaskun osalta määritellään samoiksi kuin reaaliluvuilla. Näin kompleksiluvuilla voi laskea kuten tavallisilla polynomeilla, kunhan muistaa lisäsäännöni2= −1.
Esimerkki. Olkoonz=2+3ijaw=1−i. Lasketaan lukujenzjawsumma, erotus ja tulo:
z+w=(2+3i)+(1−i)
=3+2i,
z−w=2+3i−(1−i)
=2+3i−1+i
=1+4i, z·w=(2+3i)(1−i)
=2−2i+3i−3i2
=2+i−3·(−1)
=5+i. Kompleksitaso
Siinä missä reaaliluvut voidaan sijoittaa lukusuoralle, kompleksiluvut kannattaa visualisoida tasoon.
Kompleksitason vaaka-akselina toimii lukusuora, jossa reaaliluvut ovat. Pystyakse- lille sijoitetaan imaginaariyksikköiyhden yksikön päähän origosta ylöspäin.
i
0 1 2 3
−1
−2
Jokainen kompleksilukuzsijoitetaan pisteeseen, jonkax-koordinaatti on luvun reaaliosa Re(z) jay-koordinaatti luvun imaginaariosa Im(z). Näin esimerkiksi 3+2i sijaitsee kompleksitason pisteessä (3, 2).
i 1 2 3
−1
−2
0 1 2 3
−1
−2
3+2i
−2+i
1,5−2i
Re(z) Im(z)
Kompleksilukuja kompleksitasossa
Moduli ja liittoluku
Kompleksilukujen geometrisen tulkinnan vuoksi on luontevaa määritellä komplek- siluvunzitseisarvo elimoduli|z|luvunzetäisyydeksi origosta.
1 2 3
−1
−2
0 1 2 3
−1
−2
z=a+bi
|z|
Re(z) Im(z)
Pythagoraan lauseen perusteella saadaan
|z| = |a+bi| =p
a2+b2, eli esimerkiksi
|3+4i| =p
32+42=p 25=5.
Liittoluku.Kompleksiluvunzliittolukuzsaadaan muuttamalla luvunzimaginaa- riosa vastaluvukseen. Jos esimerkiksiz=3+2i, onz=3−2i. Voidaan merkitä myös 3+2i=3−2i.
1 2 3
−1
−2
0 1 2 3
−1
−2
z=a+bi
z=a−bi Re(z) Im(z)
Liittoluvut ovat toistensa peilikuvia reaaliakselin suhteen.
Liittoluvuilla on mainioita ominaisuuksia, kuten kaikille kompleksiluvuillezjaw pätevät identiteetit
z+w=z+w,
z·w=z·w ja
|z|2=z z.
Nämä todistetaan tehtävässä 17.
Jakolasku
Kahden kompleksiluvun osamäärä voidaan laskea laventamalla nimittäjän liittolu- vulla ja käyttämällä nimittäjässä muistikaavaa. Esimerkiksi
2+i
3+4i = (3−4i)(2+i) (3−4i)(3+4i)
=6+3i−8i−4i2 32−(4i)2
=10−5i
9+16 =10−5i 25
=10 25− 5
25i
=2 5−1
5i. Yleisesti siis muotoajotain
a+bi oleva osamäärä kannattaa laventaa nimittäjän liittolu- vullaa−bi.
Kompleksinen neliöjuuri Miten merkintäp
−9 pitäisi tulkita? Onko se mielekäs? Jos on kompleksilukuz= p−9, niin varmasti pitäisi päteä
z2= −9.
Yhtälön ratkaisu alkaa siirtämällä termit samalla puolelle yhtälöä:
z2+9=0.
Nyt yhtälön vasenta puolta voi muokata sopivasti:
z2+9=z2−i2·9
=z2−i2·32
=z2−(3i)2.
Nyt voidaan käyttää muistikaavaau2−v2=(u+v)(u−v), joka pätee myös kaikille kompleksiluvuilleujav, ja kirjoittaa
z2−(3i)2=(z−3i)(z+3i).
Alkuperäinen yhtälö on siis yhtäpitävä yhtälön (z−3i)(z+3i)=0
kanssa, ja tulon nollasäännön, joka pätee myös kompleksiluvuille, nojalla saadaan ratkaisuiksi
z=3i ja z= −3i.
Yleensä kompleksinen neliöjuuri määritellään niin, että näitä molempia lukuja kutsutaan luvun−9 neliöjuuriksi. Voidaan siis merkitä
p−9=3i tai p
−9= −3i.
Huomaa, että tämä poikkeaa reaalisesta neliöjuuresta: on sovittu, ettäp
9 on 3, ei
−3, vaikka onkin kaksi reaalilukuax, jotka toteuttavat yhtälönx2=9.
Määritelmä. Yleisesti kompleksinen neliöjuuri määritellään niin, että kunzjac ovat kompleksilukuja, lukuzon luvuncneliöjuuri täsmälleen silloin, kun
z2=c.
Tämän erikoistapauksena voidaan todeta, että kun lukucon negatiivinen reaaliluku (vaikkapac= −a, missäaon positiiviinen reaaliluku), edellä mainitusta yhtälöstä saadaan
z2= −a eli
z2+a=0,
jonka vasen puoli saadaan samanlaisella sievennyksellä kuin edellä muotoon z2+a=z2+¡p
a¢2
=z2−i2¡p a¢2
=(z−ip
a)(z+ip a).
Yhtälö voidaan siis kirjoittaa yhtäpitävästi muodossa (z−ip
a)(z+ip a)=0, josta saadaan ratkaistua tulon nollasäännöllä neliöjuuriksi
z=ip
a ja z= −ip a.
Esimerkiksi päteep
−5=ip 5 taip
−5= −ip
5. Voidaan merkitäp
−5= ±ip 5.
Tehtävässä 21 johdetaan neliöjuurellep
a+bi yleinen kaava, kunb6=0. Kaava on mukavan yksinkertainen.
Miksi kaksi arvoa?
Kompleksisen neliöjuuren sallitaan tarkoittavan kahta eri lukua tilanteen mukaan, koska muuten neliöjuuren laskusäännöt (kuten epänegatiivisille reaaliluvuilleaja bpätevä sääntöp
ab=p ap
b) eivät kaikissa tilanteissa päde.
Jos esimerkiksi vaaditaan luvun−1 neliöjuurelle vain yksi arvop
−1=i, saadaan aikaan yllätys sieventämällä
i=p
−1=p
−1·(−1)·(−1)=p
−1·p
−1·p
−1=i·i·i= −i.
Neliöjuurten laskusäännöt voi pelastaa sallimalla sen, että kompleksisella neliöjuu- rella tarkoitetaan tilanteen mukaan jompaa kumpaa kahdesta eri luvusta, esimer- kiksip
−1 on jokoitai−i. Vain nollan neliöjuuri on yksikäsitteinen:p
0= ±0=0.
Toisen asteen yhtälön ratkaisu
Nyt kun kompleksinen neliöjuuri on määritelty, voidaan johtaa ratkaisukaava toisen asteen yhtälölle
az2+bz+c=0,
missäa6=0,b,cja tuntematonz ovat kaikki kompleksilukuja. Kerrotaan ensin puolittain luvulla 4a, jolloin saadaan yhtäpitävästi
4a2z2+4abz+4ac=0.
Kun lisätään puolittainb2ja vähennetään 4ac, saadaan 4a2z2+4abz+b2=b2−4ac, eli
(2az)2+2·2az·b+b2=b2−4ac.
Yhtälön vasen puoli on tarkkaan katsoen neliö, kirjoitetaan se näkyviin:
(2az+b)2=b2−4ac.
Nyt voidaan kirjoittaa kompleksista neliöjuurta käyttäen 2az+b= ±p
b2−4ac ja edelleen
2az= −b±p
b2−4ac.
Kun lopuksi jaetaan luvulla 2a, saadaan ratkaisukaava
z=−b±p
b2−4ac
2a ,
jonka ulkomuoto on täsmälleen sama kuin vastaavalla reaalilukukaavalla. Nyt vain neliöjuuri pitää tulkita kompleksiseksi neliöjuureksi.
Esimerkki. Yhtälö
z2+i z+3=0
voidaan ratkaista kaavaa käyttäen merkinnöilläa=1,b=ijac=3:
z=−b±p
b2−4ac
2a =−i±p
i2−4·1·3 2·1
=−i±p
−1−12
2 =−i±p
−13 2
=−i±ip 13
2 =
Ã−1±p 13 2
! i.
Kompleksiset polynomit
Reaaliluvuista kompleksilukuihin siirryttäessä polynomilaskenta muuttuu paljon yksinkertaisemmaksi. Esimerkiksi reaalilukujen maailmassa jotkin polynomit voi jakaa ensimmäisen asteen tekijöihin, toisia ei:
x2−1=(x+1)(x−1)
x2+1= ei reaalisia ensimmäisen asteen tekijöitä
Kun kompleksiluvut otetaan mukaan, jälkimmäinenkin lauseke voidaan jakaa en- simmäisen asteen tekijöihin. Voidaan nimittäin laskea seuraavasti:
x2+1=x2−(−1)
=x2−i2
=(x+i)(x−i).
Tämä onnistuu itse asiassa kaikille vähintään ensimmäisen asteen polynomeille, minkä takaa algebran peruslause:
Algebran peruslause.Jokaisella polynomilla (joka ei ole vakio) on vähintään yksi nollakohta (mahdollisesti kompleksinen). Lause pätee kaikille polynomeille, joiden kertoimet ovat kompleksilukuja, siis myös reaalilukukertoimisille.
Algebran peruslauseen avulla voidaan todistaa miellyttävä tulos:
1. Jokaisen kompleksilukukertoimisen polynomin voi kirjoittaa ensimmäisen asteen kompleksilukukertoimisten polynomien tulona.
Toisin sanoen: Kunnon positiivinen kokonaisluku, niinn-asteiselle komplek- silukukertoimiselle polynomillep(z) löytyy aina kompleksiluvutc,a1,a2, ...,an
niin, ettäp(z)=c(z−a1)(z−a2)...(z−an).
Tulon nollasäännöllä tästä seuraa:
2. Jokaisella asteennkompleksilukukertoimisella polynomiyhtälöllä onnkomplek- silukuratkaisua (joista osa voi olla keskenään samoja).
Algebran peruslauseen todistus löytyy esimerkiksi Tuomas Hytösen Solmu-lehdessä5 julkaistusta artikkelistaAlgebran peruslause lukiolaisille.
Esimerkki.Jaetaan tekijöihinx2−2x+5.
Ratkaistaan ensin kyseisen polynomin nollakohdat toisen asteen yhtälön ratkaisu- kaavalla:
x=−(−2)±p
(−2)2−4·1·5 2·1
=2±p 4−20 2
=2±p
−16
2 .
5Matematiikalehti Solmu, 3/2011,https://matematiikkalehtisolmu.fi/2011/3
Reaalisia ratkaisuja ei ole, mutta kompleksisia on:
x=2±p i2·16 2
=2±4i 2
=1±2i.
Nollakohtien avulla polynomi voidaan jakaa tekijöihin:
x2−2x+5=(x−1−2i)(x−1+2i).
Harjoitustehtäviä
Tehtävä 12. Olkootz=3−2ijaw=5+i. Laske luvutz+w,z−wjaz·w. Tarkista tulokset vihjeestä. Laske myöswz.
[Vihje]
Tehtävä 13. Piirrä kompleksitaso ja merkitse sinne kompleksiluvut z1=2i,z2=2,7+i,z3= −2+ijaz4=2−3i.
[Vihje]
Tehtävä 14. Miltä näyttää se kompleksitason alue, jossa luvuillezpätee a)|z| =2,
b)1<Rez<2,
c)Rez=Imz, d)|z−i| < |z|? [Vihje]
Tehtävä 15. Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö 4z2−4z+5=0.
[Vihje]
Tehtävä 16. Kompleksilukujenzjawsumma on 2+2i ja niiden tulo on−4+2i. Mitkä ovat luvutzjaw?
[Vihje]
Tehtävä 17. Tarkista määritelmistä lähtien, että seuraavat identiteetit ovat tosia.
Tässäzjawovat kompleksilukuja.
a)z+w=z+w, b)zw=z w, c)¯
¯z¯
¯= |z|,
d)|z|2=z z, e)|zw| = |z| · |w|.
[Vihje]
Tehtävä 18. Reaalifunktion kuvaaja on kaksiulotteinen: muuttujanxarvot ovat vaaka-akselilla ja niihin liittyvät funktion arvotf(x) pystyakselilla. Kompleksifunk- tion kuvaajan piirtäminen on ongelmallista, sillä sekä muuttujazettä funktion arvo
f(z) ovat kaksiulotteisen tason pisteitä. Tarvittaisiin siis neliulotteinen kuvaaja!
Ongelmaa ei voi kokonaan kiertää, mutta yksi tapa visualisoida kompleksifunktioi- ta on tehdä kolmiulotteinen kuvaaja, jossax y-taso vastaa muuttujanzarvoja ja kolmannelle akselille valitaan jokin funktion arvoonf(z) liittyvä reaaliluku.
Alla on esitetty visualisointeja funktiostaf(z)=z2+1. Joka kuvaajassa on harmaalla kompleksitaso, jossa punainen reaaliakseli kulkee alaviistoon ja vihreä imaginaa- riakseli yläviistoon. Muuttujatzovat tämän tason pisteitä.
Alla olevissa kolmessa kuvaajassa on sinisellä pystyakselilla vuorollaan¯
¯f(z)¯
¯, Ref(z), ja Imf(z). Ensimmäisestä kuvaajasta voidaan esimerkiksi lukea, että kunz=i,
¯
¯f(z)¯
¯=0. Samoin¯
¯f(−i)¯
¯=0, ja muuten¯
¯f(z)¯
¯on positiivinen.
¯
¯f(z)¯
¯
Ref(z)
Imf(z)
Itse tehtävä: Tutki yhtälönz3−1=0 ratkaisuja piirtämällä funktiong(z)= |z3−1|
kuvaaja kolmiulotteiseen koordinaatistoon sopivalla ohjelmalla ja tutkimalla nolla- kohtia. Esimerkiksi GeoGebra 5 -ohjelmassa funktio voidaan piirtää komennolla
g(x,y)=|(x+i*y)ˆ3-1|.
Näetkö nollakohdanz=1 ? Entä kaksi muuta nollakohtaa? Missä päin kompleksita- soa ne suunnilleen ovat? Tässä tehtävässä ei tarvita tarkkoja ratkaisuja.
[Vihje]
Tehtävä 19. Ratkaise edellisessä tehtävässä esiintynyt yhtälö z3−1=0
kompleksilukujen joukossa laskemalla. Etsi kaikkien kolmen ratkaisun tarkat arvot.
[Vihje]
Tehtävä 20. Määritä luvun 2ineliöjuuret muodossax+i y, eli etsi kaikki reaaliluvut xjay, joille pätee
(x+i y)2=2i. Tarkista lopuksi, että ratkaisusi toimivat.
[Vihje]
Tehtävä 21. Kompleksinen neliöjuuri.Johda kompleksiluvuna+bi neliöjuurten pa+bilausekkeet. Toisin sanoen ratkaisexjayyhtälöstä
(x+i y)2=a+bi,
missäx,y,a,b∈R. Sovitaan, ettäb6=0, jotta kyseessä on aidosti kompleksisen luvun neliöjuuri.
[Vihje]
3 Algebralliset epäyhtälöt
Tässä kappaleessa on tarkoituksena tutustua algebrallisiin epäyhtälöihin. Tässä epäyhtälöillä tarkoitamme sen tapaisia tuloksia kuin vaikkapa
Lause. Jos x on reaaliluku, niin x2Ê0. Tässä vallitsee yhtäsuuruus vain ja ainoas- taan silloin, kun x=0.
Lause. Jos a, b ja c ovat epänegatiivisia reaalilukuja, niin a+b+c
3 Êp3 abc.
Tässä vallitsee yhtäsuuruus jos ja vain jos a=b=c.
tai vaikkapa
Lause. Jos a, b ja c ovat reaalilukuja, niin s
a2+b2+c2
3 Êa+b+c
3 .
Asian ydin on erilaisten lausekkeiden suuruuksien vertailussa. Emme voi tässä lyhyessä johdannossa tehdä oikeutta epäyhtälöille. Niillä on valtava merkitys mate- matiikassa, ja esimerkiksi merkittävä osa differentiaali- ja integraalilaskennasta tai lukuteoriasta perustuu erilaisiin epäyhtälöihin.
Tässä keskitymme joihinkin alkeellisiin algebrallisiin epäyhtälöihin, joissa ei esiinny esimerkiksi derivaattoja tai integraaleja. Otamme erityisesti tarkasteluun klassisim- mat keskiarvoja käsittelevät epäyhtälöt, kuten aritmeettis-geometrisen epäyhtälön.
Nämä ovat erittäin kauniita, ja toisinaan vastaan tulee ongelmia, jotka voi ratkaista elegantisti ja mukavasti tällaisin työkaluin.
Klassisia epäyhtälöitä voi toisinaan soveltaa kauniilla tavalla optimointiongelmiin, joissa kysytään vaikkapa, millaisella tietynlaisella kuviolla on suurin pinta-ala tai pienin tilavuus, tai missä pisteessä jokin funktio saa suurimman tai pienimmän arvonsa. Tällaisissa tilanteissa on oleellista, että ymmärtää, milloin käyttämissään epäyhtälöissä vallitsee yhtäsuuruus; optimaalinen kuvio tai kappale johdetaan yhtäsuuruusehdon avulla.
Lausekkeiden arvioinnista
Aloitetaan lausekkeiden vertailusta, jonka voi suorittaa varsin yksinkertaisilla työ- kaluilla.
Positiivisten reaalilukujen osamäärä suurenee, kun osoittajaa kasvatetaan ja pienenee, kun nimittäjää kasvatetaan.
Kunajabovat positiivisia reaalilukuja, voidaan arvioida esimerkiksi a
b <a+1
b ja a
b > a b+5.
Näihin toteamuksiin ei liity mitään ”laskua”, ne ovat vain tosia väitteitä siitä, kumpi lausekkeista on suurempi. Tällaisella arvioinnilla (suuruuksien vertaamisella) voi tehdä jo paljon.
Esimerkki. Olkoon reaalilukua>3, ja merkitään S=2a+1
a+3 . Osoita, että 1<S<2.
Ratkaisu. Arvioidaan lukuaSensin ylöspäin lisäämällä osoittajaan viisi:
S=2a+1
a+3 <2a+1+5 a+3 .
Luku 5 valittiin, koska tulokseksi saatu lauseke on itse asiassa arvoltaan tasan 2.
Laskemalla saadaan
S<2a+1+5
a+3 =2a+6
a+3 =2(a+3) a+3 =2.
Siis päteeS<2.
Seuraavaksi arvioidaan lukuaSalaspäin kasvattamalla nimittäjää korvaamalla luku 3 sitä suuremmalla luvullaa:
S=2a+1
a+3 >2a+1 a+a .
Tätä voidaan arvioida vielä toisenkin kerran alaspäin pienentämällä osoittajaa yhdellä:
S>2a+1
a+a =2a+1 2a >2a
2a =1.
Pätee siis myösS>1, kuten haluttiin osoittaa.
Positiivisille reaaliluvuille päteea<btäsmälleen silloin, kuna b <1.
Esimerkki. Osoita, että pätee
n2+2n (n+1)2<1 kaikilla kokonaisluvuillanÊ1.
Ratkaisu. Kerrotaan nimittäjä auki muistikaavalla:
n2+2n
(n+1)2 =n2+2n n2+2n+1.
Sekä osoittaja että nimittäjä ovat positiivisia, kunnÊ1. Lisäksi nimittäjä on yhden suurempi kuin osoittaja. Pätee siis
n2+2n
(n+1)2 =n2+2n
n2+2n+1<1.
Mitä suurempi positiivinen reaalilukuaon, sitä pienempi on 1 a. Esimerkki. Osoita, että edellisessä esimerkissä esiintynyt lauseke
n2+2n (n+1)2
on sitä suurempi, mitä suurempi kokonaislukunÊ1 on.
Ratkaisu. Lisätään osoittajaan nolla muodossa+1−1:
n2+2n
(n+1)2=n2+2n+1−1 (n+1)2 .
Sovelletaan muistikaavaa osoittajaan, jolloin lauseke saa muodon (n+1)2−1
(n+1)2 .
Tätä voidaan edelleen muokata pilkkomalla lauseke kahdeksi jakolaskuksi:
(n+1)2−1
(n+1)2 =(n+1)2 (n+1)2− 1
(n+1)2 =1− 1 (n+1)2.
Nyt voidaan sanoa, että mitä suurempi positiivinen lukunon, sitä suurempi on (n+1)2, joten sitä pienempi on 1
(n+1)2, joten sitä suurempi on 1− 1
(n+1)2, minkä halusimme todistaa.
Reaaliluvuille päteea>btäsmälleen silloin, kuna−b>0.
Esimerkki. Olkootxjayreaalilukuja, joille 0<x<y. Osoita, että x
y <x+1 y+1.
Ratkaisu. Tutkitaan lukujen erotusta x+1 y+1−x
y. Jos se on positiivinen, väite on todistettu. Aloitetaan laventamalla murtolausekkeet samannimisiksi:
x+1 y+1−x
y =y(x+1)
y(y+1)−x(y+1) y(y+1)
= x y+y
y(y+1)− x y+x y(y+1). Yhdistetään murtolausekkeet, jolloin saadaan
=x y+y−x y−x y(y+1)
= y−x y(y+1). Koskay>xjay(y+1)>0, pätee
y−x y(y+1)>0, joten väite on perusteltu.
Harjoitustehtäviä
Tehtävä 22. Olkootajabreaalilukuja, joille 1<a<b. Järjestä suuruusjärjestykseen luvut
a b, b
a, b+1
a , a
b+1, ja a 2b. [Vihje]
Tehtävä 23. Olkootajabpositiivisia reaalilukuja, joillea>b. Osoita, että lukujen a+bjaa−bkäänteislukujen keskiarvo on suurempi kuin luvunakäänteisluku.
[Vihje]
Tehtävä 24. Kumpi luvuista
102006+1
102007+1 ja 102007+1 102008+1 on suurempi?
[Vihje]
Tehtävä 25. Olkootajabpositiivisia reaalilukuja. Osoita, että a3+b3Êa2b+ab2.
[Vihje]
Reaalilukujen neliöt ovat aina epänegatiivisia Tässä on varsin yksinkertainen, mutta voimallinen lause:
Lause.Jos x on reaaliluku, niin x2Ê0. Lisäksi x2=0vain ja ainoastaan silloin, kun x=0.
Todistus. Josx on positiivinen, onx2=x·x kahden positiivisen luvun tulona positiivinen. Josxon negatiivinen, onx2kahden negatiivisen luvun tulona myös positiivinen. Lopuksi, 02on tunnetusti 0.
Lauseen mukaan siis muun muassa 22>0, (−1)2>0 ja 02=0. Mutta mielenkiin- toisempaa on, että luvunxpaikalle voi sijoittaa monimutkaisempia lausekkeita.
Tarkastellaan esimerkiksi seuraavan lauseen todistusta:
Lause. Jos a ja b ovat reaalilukuja, niin a2+b2Ê2ab. Lisäksi tässä vallitsee yhtä- suuruus vain ja ainoastaan silloin, kun a=b.
Todistus. Asian ydin on siinä, että (a−b)2Ê0. Nimittäin, tämän epäyhtälön voi kirjoittaa myös muodossaa2+b2−2abÊ0, tai edelleen muodossaa2+b2Ê2ab.
Lisäksi yhtäsuuruus pätee täsmälleen silloin, kuna2+b2=2ab, eli kuna2+b2− 2ab=0, eli kun (a−b)2=0, eli kuna=b.
Seuraava esimerkki on jo varsin juonikas:
Esimerkki. Olkoota,b,cjadreaalilukuja. Osoita, että pienin luvuista a−b2, b−c2, c−d2 ja d−a2
on pienempi tai yhtä suuri kuin1 4.
Ratkaisu. Tehdään se vastaoletus, että kyseiset luvut olisivat kaikki suurempia kuin1
4. Tällöin olisi
a−b2+b−c2+c−d2+d−a2>1 4+1
4+1 4+1
4.
Kun kaikki termit siirretään samalle puolelle ja järjestellään sopivasti, tämä epäyh- tälö saa muodon
0 > a2−a+1
4 + b2−b+1
4 + c2−c+1
4 + d2−d+1 4. Kukin muotoa
a2−a+1 4
oleva lauseke voidaan muokata kaikille reaaliluvuillexjaypätevän muistikaavan x2−2x y+y2=(x−y)2avulla muotoon
a2−a+1 4=
µ a−1
2
¶2
,
jolloin vastaoletuksen mukaisesta epäyhtälöstä seuraa 0 > a2−a+1
4 + b2−b+1
4 + c2−c+1
4 + d2−d+1 4
= µ
a−1 2
¶2
+ µ
b−1 2
¶2
+ µ
c−1 2
¶2
+ µ
d−1 2
¶2
.
Tämä on ristiriidassa sen kanssa, että reaalilukujen neliöiden summa ei koskaan voi olla negatiivinen.
Harjoitustehtäviä
Tehtävä 26. Osoita, että kaikilla reaaliluvuillaapätee a2Ê6a−9.
Millä luvunaarvoilla yhtäsuuruus on voimassa?
[Vihje]
Tehtävä 27. Olkoonxnollasta poikkeava reaaliluku. Osoita, että x2+ 1
x2Ê2,
ja että tässä vallitsee yhtäsuuruus vain ja ainoastaan silloin, kunx= ±1.
Tämän tehtävän toisesta vihjeestä löytyy kokonainen ratkaisu, johon kannattaa tutustua, kun tehtävää on miettinyt itse (mahdollisesti ensimmäisen vihjeen avulla).
[Vihje]
Tehtävä 28. Olkoonxpositiivinen reaaliluku. Osoita, että x+1
xÊ2,
ja että tässä vallitsee yhtäsuuruus vain ja ainoastaan silloin, kunx=1.
[Vihje]
Tehtävä 29. Etsi kaikki ne reaalilukuviisikot〈x,y,u,v,w〉, joille
y2+u2+v2+w2=4x−1, x2+u2+v2+w2=4y−1, x2+y2+v2+w2=4u−1, x2+y2+u2+w2=4v−1, x2+y2+u2+v2=4w−1.
[Vihje]
4 Keskiarvoista ja niiden suuruusjärjestyksestä
Kahden luvunajabkeskiarvoista tunnetuin on aritmeettinen keskiarvoA=a+b 2 . Keskiarvoja on kuitenkin muitakin, ja eri keskiarvot ovat hyödyllisiä eri tilanteissa.
Yleisimmin käytettyjä positiivisten reaalilukujenajabkeskiarvoja6ovat
aritmeettinen keskiarvo A=a+b 2 , geometrinen keskiarvo G=p
ab, harmoninen keskiarvo H= 2
1 a+1b, kontraharmoninen keskiarvo C=a2+b2
a+b ja kvadraattinen keskiarvo Q=
s a2+b2
2 .
Konkreettisena esimerkkinä lukujen 2 ja 8 aritmeettinen keskiarvo on 2+8 2 =5, geometrinen keskiarvop
2·8=4, harmoninen keskiarvo 2
1
2+18 =315, kontraharmo- ninen keskiarvo22+82
2+8 =645ja kvadraattinen keskiarvo s
22+82
2 =p
34≈5,83...
2 8
0
A=5
G=4
H=315 C=645
Q=p 34
Huomaa, että keskiarvot eivät ole tasavälein! Mielenkiintoista kyllä edellä esitettyjen keskiarvojen keskinäinen suuruusjärjestys on sama kaikilla lukupareillaa,b.
Lause.Positiivisten reaalilukujenajabkeskiarvoille pätee HÉGÉAÉQÉC,
ja kussakin epäyhtälössä yhtäsuuruus on voimassa vain ja ainoastaan silloin, kun a=b.
6Näistä keskiarvoista neljä ensimmäistä olivat käytössä jo antiikin aikoina pythagoralaisessa mate- matiikkaperinteessä. Lisätietoja pythagoralaisista keskiarvoista löytyy kirjasta Carl Boyer:Tieteiden kuningatar, matematiikan historia, osa I(Art House, 2000), jossa tosin on painovirheitä keskiarvojen kaavoissa.
Lauseen todistus on pilkottu neljäksi harjoitustehtäväksi 30–33. Ne voi kaikki todis- taa havaintoonx2Ê0 tukeutuen.
Aritmeettinen, kvadraattinen ja geometrinen keskiarvo voidaan määritellä samalla kaavalla myös silloin, kun toinen tai molemmat luvuistaajabovat nollia. Epäyh- tälötG ÉA ÉQ pätevätkin kaikilla epänegatiivisilla reaaliluvuilla a jab, kuten tehtävissä 30 ja 31 osoitetaan.
Keskiarvojen sovelluksia
Eri keskiarvot liittyvät luontevasti eri tilanteisiin.
Geometrinen keskiarvo liittyy muun muassa korkolaskuihin: Jos sijoituksen ar- vo nousee yhtenä vuonna 10 prosentilla ja toisena vuonna peräti 50 prosentilla, saadaan kokonaiskasvuksi 65 % laskemalla
1,10·1,50=1,65.
Keskimääräinen vuosikasvu saadaan laskemalla sille prosenttikerroinkkerrointen 1,1 ja 1,50 geometrisena keskiarvona:
k2=1,10·1,50 ⇒ k=p
1,10·1,50=1,2845...≈1,28.
Keskimääräinen vuosikasvu on siis ollut 28 %, ei 30 %, joka saataisiin lukujen 10 % ja 50 % aritmeettisena keskiarvona.
Harmoninen keskiarvo liittyy esimerkiksi keskinopeuksiin: Jos menomatkan kulkee nopeudellav1ja tulomatkan nopeudellav2, keskinopeus on näiden nopeuksien harmoninen keskiarvo. Tätä pohditaan tehtävässä 35. Aritmeettinen keskiarvo ei voisi olla oikein, sillä tässä tilanteessa hitaammalla nopeudella ajaetaan pidempi aika.
v1
v2
A B
Harmoninen keskiarvo liittyy myös sähköoppiin: Jos virtapiirissä on rinnan kaksi vastusta, joilla on eri resistanssitR1 jaR2, yhtä suuren kokonaisresistanssin ai- heuttavat kaksi samanlaista vastusta, joiden resistanssiRon resistanssienR1jaR2 harmoninen keskiarvo.
I
R1
R2
I
R
R
Erilaisia keskiarvoja voi käyttää myös kuvankäsittelyssä, esimerkiksi virheiden korjauksessa. Alla on ensin alkuperäinen valokuva (NASA, Apollo 17 -lennolta 7.12.1972), sitten mustan kohinan sotkema kuva, ja lopulta kuva, josta sotku on yritetty korjata pois. Korjaus on tehty korvaamalla kunkin pikselin väriarvo yhdek- sän lähimmän pikselin väriarvojen kontraharmonisella keskiarvolla. Koska kontra- harmoninen keskiarvo korostaa suuria arvoja, musta sotku enimmäkseen katoaa.
(Kontraharmoninen keskiarvo yli kahdelle luvulle esitellään sivulla 37.)
Alkuperäinen kuva
Pilalle mennyt kuva: harmillista mustaa kohinaa
Kontraharmonisella keskiarvolla korjattu kuva
Harjoitustehtäviä
Tehtävä 30. Olkoota jab epänegatiivisia reaalilukuja. Osoita niille aritmeettis- geometrinen epäyhtälö
a+b 2 Êp
ab.
Milloin tässä vallitsee yhtäsuuruus?
Kun olet yrittänyt tehtävää ja mahdollisesti käyttänyt vihjettä, lue toinen vihje joka tapauksessa tarkistaaksesi, otitko kaiken huomioon.
[Vihje]
Tehtävä 31. Olkoota jab epänegatiivisia reaalilukuja. Osoita niille kvadraattis- aritmeettinen epäyhtälö
s a2+b2
2 Êa+b 2 . Milloin tässä vallitsee yhtäsuuruus?
[Vihje]
Tehtävä 32.Olkootajabpositiivisia reaalilukuja. Osoita niille geometris-harmoninen epäyhtälö
pabÊ 2 1 a+1
b .
Milloin tässä vallitsee yhtäsuuruus?
[Vihje]
Tehtävä 33. Olkootajabpositiivisia reaalilukuja. Osoita niille kontraharmonis- kvadraattinen epäyhtälö
a2+b2 a+b Ê
s a2+b2
2 . Milloin tässä vallitsee yhtäsuuruus?
[Vihje]
Tehtävä 34. Olkootajabpositiivisia reaalilukuja, ja merkitään niiden kontrahar- monista keskiarvoa
C=a2+b2 a+b , aritmeettista keskiarvoa
A=a+b 2 , ja harmonista keskiarvoa
H= 2 1 a+1
b .
Osoita, että kahden muuttujan keskiarvoilla on se jännittävä ominaisuus, että C+H
2 =A,
eli kahden luvun harmonisen ja kontraharmonisen keskiarvon aritmeettinen kes- kiarvo on alkuperäisten kahden luvun aritmeettinen keskiarvo.
Kontraharmoninen keskiarvo on siis yhtä paljon aritmeettista keskiarvoa suurempi kuin mitä harmoninen keskiarvo on sitä pienempi.
[Vihje]
Tehtävä 35. Aarne ja Bertta pyöräilevät Ankkavaarasta Hanhilinnaan. Aarne pyö- räilee puoletetäisyydestänopeudellav1ja toiset puolet nopeudellav26=v1. Bertta taas pyöräilee puoletmatka-ajastaannopeudellav1ja toiset puolet nopeudellav2. Kumpi heistä saapuu perille nopeammin?
[Vihje]
Kahden muuttujan aritmeettis-geometrinen epäyhtälö
Keskitytään seuraavaksi kahden epänegatiivisen reaalimuuttujanajabaritmeettis- geometrisen epäyhtälön
a+b 2 Êp
ab
soveltamiseen. Epäyhtälö kytkee kätevällä tavalla toisiinsa kahden luvun summan ja niiden tulon.
Ajatuksena näissä tehtävissä ei ole enää palauttaa kaikkia epäyhtälöitä raskaalla laskennalla tietoonx2Ê0, vaan käyttää aritmeettis-geometrista epäyhtälöä oiko- polkuna. Tarkastellaan esimerkiksi seuraavaa väitettä.
Esimerkki. Olkoota,bjacpositiivisia reaalilukuja. Osoita, että a+b+cÊp
ab+p bc+p
c a.
Todistus. Lähdetään liikkeelle epäyhtälön oikeasta puolestap ab+p
bc+p c a.
Jokaiseen termiin voidaan soveltaa aritmeettis-geometrista epäyhtälöä, jolloin saa- daan arvio
pab+p bc+p
c aÉa+b
2 +b+c 2 +c+a
2 . Oikea puoli yhteen laskemalla saadaan
pab+p bc+p
c aÉ2a+2b+2c
2 ,
eli p
ab+p bc+p
c aÉa+b+c,
minkä halusimmekin todistaa. Todistus oli hyvin lyhyt ja miellyttävä (ei muistikaa- voja, ei toiseen potenssiin korotuksia), koska se hyödynsi aikaisempaa tulosta.
Yritä ratkaista seuraavat tehtävät samalla idealla: lyhyt on kaunista.
