cb P 2A

(1)

pitkän

matematiikan lisäsivut

Ville Tilvis

algebra

1 1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1

(2)

A LGEBRA

Ville Tilvis ja Esa V. Vesalainen

Pitkän matematiikan lisäsivut 2: Algebra Viipurin Reaalikoulu Oy

Maunulan yhteiskoulu ja Helsingin matematiikkalukio

Matematiikan opetuksen valtakunnallinen kehittämistehtävä Harppi

Helsinki 2020 1. Painos

Jotta kirjan käyttö olisi mahdollisimman mutkatonta, sen sisältö on lisensoitu avoimella Creative Commons Nimeä 4.0 Kansainvälinen -käyttöluvalla.

cb

https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.fi

Kannen suunnittelu Salli Kulmala ISBN 978-952-69550-2-5 (nid.) ISBN 978-952-69550-3-2 (PDF) Next Print Oy, Helsinki

(3)

Esipuhe 5

1 Hyödyllisiä kaavoja 6

Muistikaavat . . . 6

Muuta hyödyllistä . . . 7

Harjoitustehtäviä . . . 8

Pascalin kolmio ja (a+b)ⁿ . . . 9

2 Kompleksiluvut 16 Kompleksilukujen rakenne . . . 17

Kompleksitaso . . . 18

Moduli ja liittoluku . . . 19

Jakolasku . . . 20

Kompleksinen neliöjuuri . . . 20

Toisen asteen yhtälön ratkaisu . . . 22

Kompleksiset polynomit . . . 23

3 Algebralliset epäyhtälöt 29 Lausekkeiden arvioinnista . . . 30

Reaalilukujen neliöt ovat aina epänegatiivisia . . . 34

(4)

Keskiarvojen sovelluksia . . . 39

Kahden muuttujan aritmeettis-geometrinen epäyhtälö . . . 43

5 Keskiarvojen yleistykset useammalle luvulle 46 Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö kolmelle ja neljälle muuttujalle . . . 47

6 Yleinen aritmeettis-geometrinen epäyhtälö 53 Harjoitustehtäviä . . . 53

Yleisen aritmeettis-geometrisen epäyhtälön todistus . . . 55

Ensimmäiset vihjeet 58

Toiset vihjeet 70

Lähteet 85

(5)

Pitkän matematiikan lisäsivut ovat itseopiskelumateriaalia niille, jotka kaipaavat haasteita ja haluavat laajentaa matematiikan osaamistaan lukio-oppimäärän ulko- puolelle. Lisäsivuihin on valittu aihepiirejä, joita lukiossa ei yleensä kohtaa, mutta joihin matematiikasta innostuneen voisi olla kiintoisaa ja palkitsevaa tutustua.

Materiaali sisältää lyhyet teoriaosiot ja runsaasti harjoitustehtäviä, joihin on kat- tavat vihjeet ja useimpiin toiset vihjeet. Tehtäviä on syytä yrittää aina ensin itse, mutta vihjeet ja toiset vihjeet on tarkoitettu käytettäviksi. Monet tehtävistä ovat huomattavan vaikeita, eikä kannata huolestua, jos osa niistä jää ratkaisematta.

Pitkän matematiikan lisäsivut 2 keskittyy algebraan. Tutuiksi tulevat binomikertoimet, kompleksiluvut ja klassiset keskiarvot. Erityistä huomiota kiinnitetään epäyhtälöihin ja niiden sovelluksiin.

Haluamme kiittää kaikkia kollegoita ja opiskelijoita, jotka ovat antaneet kannus- tavaa palautetta kirjan luonnoksista. Lisäksi Ville Tilvis haluaa kiittää perhettään tuesta kirjaprojektille.

Kaikista virheistä, puutteista ja parannusehdotuksista toivotaan sähköpostia Ville Tilvikselle (ville.tilvis (at) mayk.fi).

Antoisia hetkiä lisäsivujen parissa!

Helsingissä ja Vantaalla 20.12.2020, Ville Tilvis ja Esa V. Vesalainen

Opettaja! Tehtävien ratkaisut voi tilata osoitteesta ville.tilvis (at) mayk.fi

(6)

Muistikaavat

Ehdottomasti käytetyimpiä ja hyödyllisimpia algebrallisia kaavoja tai identiteettejä ovat niin kutsututmuistikaavat, joihin luetaan ainakin seuraavat, reaalilukujena jabsummaa ja erotusta koskevat kaavat:

summan neliö (a+b)² = a²+2ab+b², erotuksen neliö (a−b)² = a²−2ab+b², summan ja erotuksen tulo (a+b)(a−b) = a²−b².

Muistikaavojen todistaminen on yksinkertaista: vasemman puolen auki kertomal- la saa tulokseksi oikean puolen, esimerkiksi erotuksen neliölle

(a−b)²=(a−b)(a−b)

=a·a+a·(−b)−b·a−b·(−b)

=a²−ab−ab+b²

=a²−2ab+b².

Näihin muistikaavoihin itsessään ei siis liity syvällistä teoriaa, mutta ne ovat tavat- toman käteviä. Muistikaavojen käytön automatisoituminen on tarpeellinen askel matemaattisten taitojen polulla.

Esimerkki 1. Laske päässä 494·506.

Ratkaisu. Laskun voi tehdä muistikaavaa (a+b)(a−b)=a²−b²hyödyntäen:

494·506=(500−6)(500+6)

=500²−6²

=250000−36=249964.

Esimerkki 2. Etsi kaikki positiiviset kokonaisluvutxjay, joille pätee x²=y²+23.

(7)

Ratkaisu. Kirjoitetaan yhtälö muotoon x²−y²=23.

Koska erotusx²−y²on positiivinen, lukuxon lukuaysuurempi. Muistikaavan x²−y²=(x−y)(x+y) avulla yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon

(x+y)(x−y)=23.

Koskaxjayovat positiivisia kokonaislukuja, myösx+yjax−yovat, sillä olix>y.

Koska 23 on alkuluku, kokonaislukujenx+yjax−ytulo voi olla 23 vain, kun pätee

½ x+y=23, x−y=1.

Laskemalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 2x=24 elix=12. Sijoittamalla tämä alempaan yhtälöön saadaan 12−y=1 eliy=11. Tämä ratkaisu toimii, sillä

12²−11²=144−121=23.

Muuta hyödyllistä

Kolmen yleisimmän muistikaavan lisäksi on hyödyllistä osata muitakin identiteet- tejä. Usein hyödyksi ovat esimerkiksi reaaliluvuillea,bjacpätevät kaavat

binomin kuutio (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³, kuutioiden erotus a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²), kuutioiden summa a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²),

trinomin neliö (a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca.

Näiden todistaminen on harjoitustehtävänä 3.

Lisäksi on hyvä tuntea reaaliluvuillea,bjacpätevä kaava

a³+b³+c³−3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca)

= (a+b+c)·1

2·¡(a−b)²+(b−c)²+(c−a)²¢, jonka todistus on tehtävänä 5.

(8)

Harjoitustehtäviä

Tehtävä 1. Laske muistikaavojen avulla laskut a)103²

b)98²

c)101·99 d)58·62.

Vihje s. 58→ Toinen vihje s. 70→

Tehtävä 2. Olkootajabkaksi positiivista kokonaislukua, joille pätee a²−b²=17.

Mitkä ovat nämä positiiviset kokonaisluvutajab?

Tällaisissa tehtävissä ei yleensä riitä, että löytää yhden ratkaisun, vaan tehtävänä on löytää kaikki ratkaisut ja osoittaa, että muita ei ole.

Tehtävä 3. Todista reaaliluvuillea,bjacoikeiksi seuraavat identiteetit binomin kuutio (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³, kuutioiden erotus a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²), kuutioiden summa a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²),

trinomin neliö (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca.

Näistä kaavoista on hyötyä tehtävässä 19.

Vihje s. 58→

Tehtävä 4. Tutki, löytyykö reaaliluvuilleajabpätevän kaavan a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²)

kaltaista kaavaa lausekkeillea⁴−b⁴,a⁵−b⁵ja niin edelleen. Mikäli kyllä, muotoile kaava lausekkeelleaⁿ−bⁿ, kunn>2 on kokonaisluku.

Tehtävä 5. Osoita kaikille reaaliluvuillea,bjacpäteväksi kaava a³+b³+c³−3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca)

=(a+b+c)·1 2·¡

(a−b)²+(b−c)²+(c−a)²¢ . Tätä kaavaa hyödynnetään tehtävässä 54.

(9)

Pascalin kolmio ja(a+b)ⁿ

Blaise Pascalin mukaan nimetty (mutta jo aiemmin käytetty) Pascalin kolmio näyttää tältä:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Kolmion ensimmäisellä rivillä on vain yksi ykkönen. Jokaisella rivillä on yksi luku enemmän kuin edellisellä, ja rivin ensimmäinen ja viimeinen luku ovat aina ykkö- siä. Sisemmät luvut saadaan laskemalla yhteen niiden yläpuolella viistosti olevat luvut. Esimerkiksi alla 1+2=3.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

... ... ... ... ...

Kutsumme Pascalin kolmion riviä, joka sisältää vain yksinäisen luvun 1, kolmion 0.

riviksi, seuraavaa riviä 1. riviksi ja niin edelleen. Lisäksi jokaisella rivillä kutsumme vasemmanpuoleisinta lukua rivin 0. luvuksi, sitä seuraavaa lukua rivin 1. luvuksi, ja niin edelleen. Kunnon epänegatiivinen (eli positiivinen tai nolla) kokonaisluku jakkokonaisluku, jolle 06^k6ⁿ, merkitsemme Pascalin kolmionn. rivink. lukua symbolilla¡_n

k

¢, joka luetaan suomeksi ”nylik”. Pascalin kolmion luvut nimetään siis näin:

(10)

¡₀

0

¢

¡₁

0

¢ ¡₁

1

¢

¡₂

0

¢ ¡₂

1

¢ ¡₂

2

¢

¡3 0

¢ ¡3 1

¢ ¡3 2

¢ ¡3 3

¢

¡4 0

¢ ¡4 1

¢ ¡4 2

¢ ¡4 3

¢ ¡4 4

¢

¡₅

0

¢ ¡₅

1

¢ ¡₅

2

¢ ¡₅

3

¢ ¡₅

4

¢ ¡₅

5

¢

¡₆

0

¢ ¡₆

1

¢ ¡₆

2

¢ ¡₆

3

¢ ¡₆

4

¢ ¡₆

5

¢ ¡₆

6

¢

¡₇

0

¢ ¡₇

1

¢ ¡₇

2

¢ ¡₇

3

¢ ¡₇

4

¢ ¡₇

5

¢ ¡₇

6

¢ ¡₇

7

¢

¡₈

0

¢ ¡₈

1

¢ ¡₈

2

¢ ¡₈

3

¢ ¡₈

4

¢ ¡₈

5

¢ ¡₈

6

¢ ¡₈

7

¢ ¡₈

8

¢

¡₉

0

¢ ¡₉

1

¢ ¡₉

2

¢ ¡₉

3

¢ ¡₉

4

¢ ¡₉

5

¢ ¡₉

6

¢ ¡₉

7

¢ ¡₉

8

¢ ¡₉

9

¢ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Esimerkiksi¡₅

2

¢=10, kuten Pascalin kolmiosta voidaan lukea.

Pascalin kolmion rakenteesta johtuen pätee Ãn

0

!

= Ãn

n

!

=1,

kaikilla epänegatiivisilla kokonaisluvuillan, samoin kuin Ã n

k−1

! +

Ãn k

!

= Ãn+1

k

! , kaikilla positiivisilla kokonaisluvuillanjak, joillek6^n.

Lisäksi Pascalin kolmio on symmetrinen pystyakselinsa suhteen, joten Ãn

k

!

= Ã n

n−k

!

kaikilla epänegatiivisilla luvuillanjak, joillek6^n.

Binomikerroin Lukuja¡_n

k

¢kutsutaan myösbinomikertoimiksi, sillä Pascalin kolmion luvut liittyvät läheisesti binomin potensseihin (a+b)ⁿ. Kun reaalilukujenajabsumma koro- tetaan epänegatiiviseen kokonaislukupotenssiinn, auki kerrotun ja sievennetyn polynomin kertoimet löytyvät Pascalin kolmiosta:

(a+b)⁰=1 =1

(a+b)¹=a+b =1·a+1·b

(a+b)²=a²+2ab+b² =1·a²+2ab+1·b² (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ =1·a³+3a²b+3ab²+1·b³ (a+b)⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴=1·a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+1·b⁴.

... ...

(11)

Täsmällisemmin sanottuna binominn. potenssin (a+b)ⁿauki kirjoitetun muodon kertoimet löytyvät Pascalin kolmion riviltän, kuten seuraavaksi todistetaan.

Binomikaava.Yleisesti pätee, että

(a+b)ⁿ= Ãn

0

! aⁿ+

Ãn 1

!

aⁿ⁻¹b¹+ Ãn

2

!

aⁿ⁻²b²+...

...+ Ã n

n−2

!

a²bⁿ⁻²+ Ã n

n−1

!

a¹bⁿ⁻¹+ Ãn

n

! bⁿ,

kun n on positiivinen kokonaisluku, ja a sekä b ovat reaalilukuja.

Huomaa, miten muuttujanaeksponentit pienenevät ja muuttujanbeksponentit kasvavat. Binomikaava voidaan kirjoittaa summamerkintää käyttäen lyhyemmin muodossa

(a+b)ⁿ= Xn k=0

Ãn k

!

aⁿ⁻^kb^k.

Esimerkki. Esitä lauseke (x+2)⁵ilman sulkuja.

Ratkaisu. Poimitaan tarvittavat kertoimet Pascalin kolmion 5. riviltä. Ne ovat 1, 5, 10, 10, 5 ja 1. Nyt voidaan laskea:

(x+2)⁵= 1 ·x⁵+ 5 x⁴·2+ 10 x³·2²+ 10x²·2³+ 5x·2⁴+ 1 ·2⁵

=x⁵+10x⁴+40x³+80x²+80x+32.

Binomikaavan todistus.

Voit huoleti ohittaa tämän todistuksen ja palata siihen myöhemmin.

Oletetaan, että lause ei päde joillakin luonnollisen luvunnarvoilla. Tutkitaan pienintä luvunn arvoa, jolla lause ei päde. Aiempien esimerkkien perusteella täytyy ollan>3. Koskanon pienin toimimaton eksponentti, kaava toimii, kun eksponenttina onn−1. Voidaan siis laskea näin:

(a+b)ⁿ=(a+b)(a+b)ⁿ⁻¹

=(a+b)

"Ã n−1

0

! aⁿ⁻¹+

Ãn−1 1

!

aⁿ⁻²b¹+ ··· + Ãn−1

n−1

! bⁿ⁻¹

# .

(12)

Kerrotaan sulut auki yhtälön oikealla puolella:

(a+b)ⁿ=a

"Ã n−1

0

! aⁿ⁻¹+

Ãn−1 1

!

aⁿ⁻²b¹+ ··· + Ãn−1

n−1

! bⁿ⁻¹

#

+b

"Ã n−1

0

! aⁿ⁻¹+

Ãn−1 1

!

aⁿ⁻²b¹+ ··· + Ãn−1

n−1

! bⁿ⁻¹

#

=

Ãn−1 0

! aⁿ+

Ãn−1 1

!

aⁿ⁻¹b¹+ ··· + Ãn−1

n−1

! abⁿ⁻¹

+ Ãn−1

0

!

aⁿ⁻¹b¹+ Ãn−1

1

!

aⁿ⁻²b²+ ··· + Ãn−1

n−1

! bⁿ.

Tästä symbolipuurosta voi tunnistaa, että summassa on ylemmässä ja alemmassa rivissä termipareja, joissa on samat eksponentit; parit löytyvät kaikille muille termeille paitsi ensimmäiselle (aⁿ) ja viimeiselle (bⁿ).

Lasketaan yhteen termit, joissa on samat lukujenajabpotenssit. Ensimmäinen tällainen summa on

Ãn−1 1

!

aⁿ⁻¹b+ Ãn−1

0

!

aⁿ⁻¹b=

"Ã n−1

1

! +

Ãn−1 0

!#

aⁿ⁻¹b= Ãn

1

! aⁿ⁻¹b,

sillä Pascalin kolmion kahden vierekkäisen luvun summa¡_n−1

1

¢+¡_n−1

0

¢on kolmion seuraavan rivin luku¡_n

1

¢. Vastaavasti muille pareille pätee Ãn−1

k

!

aⁿ⁻^kb^k+ Ãn−1

k−1

!

aⁿ⁻^kb^k= Ãn

k

!

aⁿ⁻^kb^k,

kun 16^k6ⁿ−1. Näin on saatu (a+b)ⁿ=

Ãn−1 0

! aⁿ+

Ãn 1

!

aⁿ⁻¹b¹+ ··· + Ã n

n−1

!

abⁿ⁻¹+ Ãn−1

n−1

! bⁿ.

Kun muistetaan vielä, että¡_n₋₁

0

¢=1 ja¡_n₋₁

n−1

¢=1 (Pascalin kolmion kunkin rivin ensimmäinen ja viimeinen luku on 1), saadaan binomikaava

(a+b)ⁿ=aⁿ+ Ãn

1

!

aⁿ⁻¹b¹+ Ãn

2

!

aⁿ⁻²b²+ ··· + Ã n

n−1

!

abⁿ⁻¹+bⁿ,

mikä on ristiriidassa sen kanssa, että kaava ei toimisi luvullan. Kaava toimii siis kaikilla positiivisilla kokonaisluvuillan.

(13)

Lisää binomikertoimista

Laskukaava. Itse asiassa binomikertoimet voi kirjoittaa mukavasti kertomien avulla. Kunnon positiivinen kokonaisluku, senkertomaon luku

n!=1·2·3·...·n.

Määrittelemme myös 0!=1. Tällöin kaikilla epänegatiivisilla kokonaisluvuillanja kokonaisluvuillak, joille 06^k6^{n, pätee}

Ãn k

!

= n!

k!(n−k)!. Esimerkiksi

Ã5 3

!

= 5!

3!(5−3)!= 5!

3!·2!=1·2·3·4·5 1·2·3·1·2=10 ja

Ã4 4

!

= 4!

4!(4−4)!= 4!

4!·0!= 1·2·3·4 1·2·3·4·1=1.

Kolmantena esimerkkinä voisimme mainita vaikkapa, että kunnon kokonaisluku, jollen>^{2, niin}

Ãn 2

!

= n!

2!(n−2)!=1·2·3·...·(n−2)(n−1)n

1·2·1·2·3·...·(n−2) =(n−1)n

2 .

Sovelluksia. Binomikertoimet tulevat luonnollisella tavalla vastaan myös mm.

todennäköisyyslaskennassa. Tämä liittyy siihen, että binomikerroin¡_n

k

¢kertoo kuinka monella tavallanoliosta voi valitakoliota. Esimerkiksi 5 henkilön joukosta on mahdollista muodostaa¡5

2

¢=10 erilaista paria.

Aivan toisenlainen esimerkki binomikertoimista olisi Bertrandin postulaattina tunnettu kaunis tulos, jonka mukaan jokaisella positiivisella kokonaisluvullanon olemassa alkulukup, jollen<p62n. Erd˝osin kaunis (mutta kuitenkin jokseenkin tekninen) todistus tälle perustuu binomikertoimen¡_2n

n

¢tarkasteluun.

(14)

Tehtävä 6. Kirjoita seuraavat reaalilukujaa,bjaxsisältävät lausekkeet binomikaavan avulla ilman sulkuja.

a)(a+b)⁶ b)(a−b)⁶

c)(a+1)³ d)(2x−3)⁴.

Tehtävä 7. Ratkaise yhtälö

x³+3x²+3x=4.

Tehtävä 8. Todista, että luku

¡2+p 7¢2020

+¡ 2−p

7¢2020

on kokonaisluku.

Tehtävä 9. Olkoonnpositiivinen kokonaisluku. Laske summa 1+2+3+...+n

binomikertoimien avulla.

Tehtävä 10. Laske käsin luku¡₂₁

3

¢hyödyntäen kaavaa Ãn

k

!

= n!

k!(n−k)!, missäkjanovat kokonaislukuja, joille 0≤k≤n.

(15)

Tehtävä 11. Osoita, että kaava Ãn

k

!

= n!

k!(n−k)!

pitää paikkansa kaikille kokonaisluvuillenjak, joille pätee 06^k6^n.

Kuten aiemminkin, binomikertoimen määritelmänä pidetään tässä sitä, että luku

¡_n

k

¢on Pascalin kolmiossa rivillänjärjestyksessäk. luku vasemmalta. Sekä rivien että lukujen numerointi alkaa nollasta.

(16)

Tulon merkkisäännön mukaisesti kahden positiivisen luvun tulo on positiivinen, ja kahden negatiivisen luvun tulo on myös positiivinen. Tästä syystä reaalilukujen neliöt eivät ole negatiivisia: kunxon reaaliluku, pätee

x²>^0.

Näin ollen esimerkiksi yhtälöllä

x²= −1 ei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa, eli lukuap

−1 ei ole reaalilukujen joukossa.

1500-luvulla törmättiin kuitenkin mielenkiintoiseen ilmiöön: kolmannen asteen yhtälöä ratkaistaessa joutuu luonnollisella tavalla tekemisiin negatiivisten lukujen neliöjuurten kanssa. Tällaiset luvut ovat esimerkkejä kompleksiluvuista.

Leonhard Euler otti 1700-luvulla käyttöön merkinnäniluvulle, jonka neliö on−1, ja kompleksilukujen teoria nykymuodossaan vakiintui 1800-luvulla.

Nimestään huolimatta kompleksiluvut eivät ole kohtuuttoman monimutkaisia, ja ne ovat mitä mainioin työväline. Kompleksilukuihin törmää jatkuvasti lukui- silla matematiikan aloilla, ja niillä on myös selkeitä sovelluksia luonnontieteissä:

esimerkiksi atomi- ja molekyylitason fysiikkaa erinomaisesti kuvaavan kvanttime- kaniikan perustava laki on kätevää muotoilla Schrödingerin yhtälöksi

i~^∂Ψ

∂t =HbΨ,

jossa imaginaariyksikköinäyttelee hyvin tärkeää osaa. Myös signaalikäsittelyssä ja sähkötekniikassa kompleksiluvuilla lasketaan rutiininomaisesti.

Kompleksiluvuilla on kaunis teoria ja kaunis rakenne, josta tässä luvussa esitel- lään vain perusteet. Mikäli kaipaat lisälukemista, logiikasta kompleksilukujen rakenteen takana saa käsityksen Antti Valmarin tekstistäOnkop

−1olemassa?

Keskipituinen kertomus lukujen olemuksesta, osat 1 ja 2[19, 20] ja silmäyksen soveltavaan puoleen luo Vesa Linja-aho artikkelissaanVaihtosähköpiirien osoitin- laskenta kompleksiluvuilla[10].

Kompleksilukujen historiasta ja vielä laajemmasta rakenteesta kvaternioista voi lukea Jorma Merikosken artikkelistaKompleksiluvuista ja kvaternioista[12], ja lisää hyödyllisiä teknisiä yksityiskohtia löytyy Matti Lehtisen artikkelistaKaikki tarpeellinen kompleksiluvuista[8].

Minkään näistä lukeminen ei ole välttämätöntä seuraavan ymmärtämiseksi.

(17)

Kompleksilukujen rakenne

Kompleksiluvut ovat reaalilukujen joukon laajennus, joka noudattaa samoja las- kulakeja kuin reaaliluvut (kaikkia paitsi suuruusjärjestykseen liittyviä).

Aloitetaan sopimalla, että on olemassa imaginaariyksikköi, jolle pätee i²= −1.

Kompleksilukujen joukkoCkoostuu luvuistaz, jotka ovat muotoa z=a+i b, a,b∈R.

Lukuaakutsutaan kompleksiluvun reaaliosaksi ja lukuabpuolestaan imaginaa- riosaksi. Kompleksilukuja ovat siis esimerkiksi 2+i, 3−4i, 3i ja 7. Reaaliluvut voidaan tulkita kompleksiluvuiksi, joiden imaginaariosa on 0.

Kompleksiluvunz reaaliosaa merkitään usein Re(z) taiℜ(z) ja imaginaariosaa Im(z) taiℑ(z). Esimerkiksi Im(3+2i)=2.

N Z Q

R

C

0 8

−2 −105

23

−¹₇ 2,5 p2 0,101001000100001...

i 3−4i

Lukujoukkojen hierarkia

Kompleksilukujen laskusäännöt yhteenlaskun ja kertolaskun osalta määritellään samoiksi kuin reaaliluvuilla. Näin kompleksiluvuilla voi laskea kuten tavallisilla polynomeilla, kunhan muistaa lisäsäännöni²= −1.

(18)

Esimerkki. Olkoonz =2+3i ja w=1−i. Lasketaan lukujenz ja w summa, erotus ja tulo:

z+w = (2+3i)+(1−i) z−w = 2+3i−(1−i)

= 3+2i, = 2+3i−1+i

= 1+4i, z·w = (2+3i)(1−i)

= 2−2i+3i−3i²

= 2+i−3·(−1)

= 5+i.

Kompleksitaso

Siinä missä reaaliluvut voidaan sijoittaa lukusuoralle, kompleksiluvut kannattaa visualisoida tasoon.

Kompleksitason vaaka-akselina toimii lukusuora, jossa reaaliluvut ovat. Pystyakse- lille sijoitetaan imaginaariyksikköiyhden yksikön päähän origosta ylöspäin.

i

0 1 2 3

−1

−2

Jokainen kompleksilukuzsijoitetaan pisteeseen, jonkax-koordinaatti on luvun reaaliosa Re(z) jay-koordinaatti luvun imaginaariosa Im(z). Näin esimerkiksi 3+2isijaitsee kompleksitason pisteessä (3,2).

i 1 2 3

−1

−2

0 1 2 3

−1

−2

3+2i

−2+i

1,5−2i

Re(z) Im(z)

Kompleksilukuja kompleksitasossa

(19)

Moduli ja liittoluku

Kompleksilukujen geometrisen tulkinnan vuoksi on luontevaa määritellä komplek- siluvunzitseisarvo elimoduli|z|luvunzetäisyydeksi origosta.

1 2 3

−1

−2

0 1 2 3

−1

−2

z=a+bi

|z|

Re(z) Im(z)

Pythagoraan lauseen perusteella saadaan

|z| = |a+bi| =p

a²+b², eli esimerkiksi

|3+4i| =p

3²+4²=p 25=5.

Liittoluku.Kompleksiluvunzliittolukuzsaadaan muuttamalla luvunzimagi- naariosa vastaluvukseen. Jos esimerkiksiz=3+2i, onz=3−2i. Voidaan merkitä myös 3+2i=3−2i.

1 2 3

−1

−2

0 1 2 3

−1

−2

z=a+bi

z=a−bi Re(z) Im(z)

Liittoluvut ovat toistensa peilikuvia reaaliakselin suhteen.

(20)

Liittoluvuilla on mainioita ominaisuuksia, kuten kaikille kompleksiluvuillezjaw pätevät identiteetit

z+w=z+w, z·w=z·w ja

|z|²=z z.

Nämä todistetaan tehtävässä 17.

Jakolasku

Kahden kompleksiluvun osamäärä voidaan laskea laventamalla nimittäjän liitto- luvulla ja käyttämällä nimittäjässä muistikaavaa. Esimerkiksi

2+i

3+4i = (3−4i)(2+i) (3−4i)(3+4i)

=6+3i−8i−4i² 3²−(4i)²

=10−5i

9+16 =10−5i 25

=10 25− 5

25i

=2 5−1

5i.

Yleisesti siis muotoa ^jotain

a+bi oleva osamäärä kannattaa laventaa nimittäjän liittolu- vullaa−bi.

Kompleksinen neliöjuuri Miten merkintäp

−9 pitäisi tulkita? Onko se mielekäs? Jos on kompleksiluku z=p

−9, niin varmasti pitäisi päteä

z²= −9.

Yhtälön ratkaisu alkaa siirtämällä termit samalla puolelle yhtälöä:

z²+9=0.

Nyt yhtälön vasenta puolta voi muokata sopivasti:

z²+9=z²−i²·9

=z²−i²·3²

=z²−(3i)².

(21)

Nyt voidaan käyttää muistikaavaau²−v²=(u+v)(u−v), joka pätee myös kaikille kompleksiluvuilleujav, ja kirjoittaa

z²−(3i)²=(z−3i)(z+3i).

Alkuperäinen yhtälö on siis yhtäpitävä yhtälön (z−3i)(z+3i)=0

kanssa, ja tulon nollasäännön, joka pätee myös kompleksiluvuille, nojalla saadaan ratkaisuiksi

z=3i ja z= −3i.

Yleensä kompleksinen neliöjuuri määritellään niin, että näitä molempia lukuja kutsutaan luvun−9 neliöjuuriksi. Voidaan siis merkitä

p−9=3i tai p

−9= −3i.

Huomaa, että tämä poikkeaa reaalisesta neliöjuuresta: on sovittu, ettäp

9 on 3, ei

−3, vaikka onkin kaksi reaalilukuax, jotka toteuttavat yhtälönx²=9.

Määritelmä. Yleisesti kompleksinen neliöjuuri määritellään niin, että kunzjac ovat kompleksilukuja, lukuzon luvuncneliöjuuri täsmälleen silloin, kun

z²=c.

Tämän erikoistapauksena voidaan todeta, että kun lukucon negatiivinen reaaliluku (vaikkapac= −a, missäa on positiivinen reaaliluku), edellä mainitusta yhtälöstä saadaan

z²= −a eli

z²+a=0,

jonka vasen puoli saadaan samanlaisella sievennyksellä kuin edellä muotoon z²+a=z²+¡pa¢2

=z²−i²¡pa¢2

=¡

z−ipa¢ ¡

z+ipa¢ . Yhtälö voidaan siis kirjoittaa yhtäpitävästi muodossa

¡z−ipa¢ ¡z+ipa¢

=0, josta saadaan ratkaistua tulon nollasäännöllä neliöjuuriksi

z=ipa ja z= −ipa. Esimerkiksi päteep

−5=ip 5 taip

−5= −ip

5. Voidaan merkitäp

−5= ±ip 5.

Tehtävässä 21 johdetaan neliöjuurellep

a+biyleinen kaava, kunb6=0. Kaava on mukavan yksinkertainen.

(22)

Varoitus laskusäännöistä

Kompleksisen neliöjuuren sallitaan tarkoittavan kahta eri lukua tilanteen mukaan.

Varoituksena todettakoon, että epänegatiivisille reaaliluvuilleajabpätevä sääntö pab=p

a·p

bei päde yleisesti kompleksiluvuille, vaan kompleksiluvuilleajab voi olla myösp

ab= −p a·p

b.

Jos esimerkiksi vaaditaan luvun−1 neliöjuurelle vain yksi arvop

−1=i, saadaan aikaan yllätys sieventämällä

i=p

−1=p

−1·(−1)·(−1)=p

−1·p

−1=i·i·i= −i.

Kompleksisella neliöjuurella tarkoitetaankin tilanteen mukaan jompaa kumpaa kahdesta eri luvusta, esimerkiksip

−1 on jokoitai−i. Vain nollan neliöjuuri on yksikäsitteinen:p

0= ±0=0.

Toisen asteen yhtälön ratkaisu

Nyt kun kompleksinen neliöjuuri on määritelty, voidaan johtaa ratkaisukaava toisen asteen yhtälölle

az²+bz+c=0,

missäa6=0,b,cja tuntematonzovat kaikki kompleksilukuja. Kerrotaan ensin puolittain luvulla 4a, jolloin saadaan yhtäpitävästi

4a²z²+4abz+4ac=0.

Kun lisätään puolittainb²ja vähennetään 4ac, saadaan 4a²z²+4abz+b²=b²−4ac, eli

(2az)²+2·2az·b+b²=b²−4ac.

Yhtälön vasen puoli on tarkkaan katsoen neliö, kirjoitetaan se näkyviin:

(2az+b)²=b²−4ac.

Nyt voidaan kirjoittaa kompleksista neliöjuurta käyttäen 2az+b= ±p

b²−4ac ja edelleen

2az= −b±p

b²−4ac.

(23)

Kun lopuksi jaetaan luvulla 2a, saadaan ratkaisukaava

z=−b±p

b²−4ac

2a ,

jonka ulkomuoto on täsmälleen sama kuin vastaavalla reaalilukukaavalla. Nyt vain neliöjuuri pitää tulkita kompleksiseksi neliöjuureksi.

Esimerkki. Yhtälö

z²+i z+3=0

voidaan ratkaista kaavaa käyttäen merkinnöilläa=1,b=ijac=3:

z=−b±p

b²−4ac

2a =−i±p

i²−4·1·3 2·1

=−i±p

−1−12

2 =−i±p

−13 2

=−i±ip 13

2 =

Ã−1±p 13 2

! i.

Kompleksiset polynomit

Reaaliluvuista kompleksilukuihin siirryttäessä polynomilaskenta muuttuu paljon yksinkertaisemmaksi. Esimerkiksi reaalilukujen maailmassa jotkin polynomit voi jakaa ensimmäisen asteen tekijöihin, toisia ei:

x²−1=(x+1)(x−1)

x²+1= ei reaalisia ensimmäisen asteen tekijöitä

Kun kompleksiluvut otetaan mukaan, jälkimmäinenkin lauseke voidaan jakaa ensimmäisen asteen tekijöihin. Voidaan nimittäin laskea seuraavasti:

x²+1=x²−(−1)

=x²−i²

=(x+i)(x−i).

Tämä onnistuu itse asiassa kaikille vähintään ensimmäisen asteen polynomeille, minkä takaa algebran peruslause.

(24)

Algebran peruslause. Jokaisella kompleksilukukertoimisella polynomilla, joka ei ole vakio, on vähintään yksi nollakohta, mahdollisesti kompleksinen.

Lause pätee kaikille polynomeille, joiden kertoimet ovat kompleksilukuja, siis myös reaalilukukertoimisille. Algebran peruslauseen avulla voidaan todistaa miel- lyttävä tulos:

1. Jokaisen kompleksilukukertoimisen polynomin voi kirjoittaa ensimmäisen asteen kompleksilukukertoimisten polynomien tulona.

Toisin sanoen: Kunnon positiivinen kokonaisluku, niinn-asteiselle komp- leksilukukertoimiselle polynomillep(z) löytyy aina kompleksiluvutc,a₁,a₂, a₃, ...,a_nniin, ettäp(z)=c(z−a₁)(z−a₂)·...·(z−a_n).

Tulon nollasäännöllä tästä seuraa:

2. Jokaisella asteenn kompleksilukukertoimisella polynomiyhtälöllä onn kompleksilukuratkaisua (joista osa voi olla keskenään samoja).

Algebran peruslauseen todistus löytyy esimerkiksi Tuomas Hytösen Solmu-leh- dessä julkaistusta artikkelistaAlgebran peruslause lukiolaisille[6].

Esimerkki. Jaetaan tekijöihin polynomix²−2x+5 kompleksipolynomien joukossa.

Ratkaistaan ensin kyseisen polynomin nollakohdat toisen asteen yhtälön ratkaisu- kaavalla:

x=−(−2)±p

(−2)²−4·1·5 2·1

=2±p 4−20 2

=2±p

−16

2 .

Reaalisia ratkaisuja ei ole, mutta kompleksisia on:

x=2±p i²·16

2 =2±4i

2 =1±2i. Nollakohtien avulla polynomi voidaan jakaa tekijöihin:

x²−2x+5=(x−1−2i)(x−1+2i).

(25)

Tehtävä 12. Olkootz=3−2ijaw=5+i. Laske luvutz+w,z−wjaz·w. Tarkista tulokset vihjeestä. Laske myös_w^z.

Vihje s. 60→

Tehtävä 13. Piirrä kompleksitaso ja merkitse sinne kompleksiluvut z₁=2i, z₂=2,7+i, z₃= −2+i ja z₄=2−3i. Vihje s. 61→

Tehtävä 14. Miltä näyttää se kompleksitason alue, jossa luvuillezpätee a)|z| =2,

b)1<Rez<2,

c)Rez=Imz, d)|z−i| < |z|? Vihje s. 61→

Tehtävä 15. Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö 4z²−4z+5=0.

Tehtävä 16.

Kompleksilukujenzjawsumma on 2+2i ja niiden tulo on−4+2i. Mitkä ovat luvutzjaw?

Vihje s. 62→

Tehtävä 17. Tarkista määritelmistä lähtien, että seuraavat identiteetit ovat tosia.

Tässäzjawovat kompleksilukuja.

a)z+w=z+w, b)zw=z w, c)¯

¯z¯

¯= |z|,

d)|z|²=z z, e)|zw| = |z| · |w|.

(26)

Tehtävä 18. Reaalifunktion kuvaaja on kaksiulotteinen: muuttujanxarvot ovat vaaka-akselilla ja niihin liittyvät funktion arvotf(x) pystyakselilla. Kompleksifunk- tion kuvaajan piirtäminen on ongelmallista, sillä sekä muuttujazettä funktion arvof(z) ovat kaksiulotteisen tason pisteitä. Tarvittaisiin siis neliulotteinen kuvaaja!

Ongelmaa ei voi kokonaan kiertää, mutta yksi tapa visualisoida kompleksifunktioi- ta on tehdä kolmiulotteinen kuvaaja, jossa (x,y)-tason pisteet vastaavat komplek- sisen muuttujanz=x+i yarvoja ja kolmannelle akselille valitaan jokin funktion arvoonf(z) liittyvä reaaliluku.

Seuraavissa kolmessa kuvassa on esitetty visualisointeja kompleksifunktiosta f(z)=z²+1. Joka kuvaajassa on harmaalla merkitty kompleksitaso, jossa reaa- liakselixkulkee alaviistoon ja imaginaariakseliy yläviistoon. Pystyakselilla on vuorollaan kolmessa kuvassa¯

¯f(z)¯

¯, Ref(z), ja Imf(z). Ensimmäisestä kuvaajasta voidaan esimerkiksi lukea, että kunz=i, on¯

¯f(z)¯

¯=0. Samoin¯

¯f(−i)¯

¯=0, ja muuten¯

¯f(z)¯

¯on positiivinen.

Lausekkeen¯

¯f(z)¯

¯kuvaaja, kun f(z)=z²+1ja z=x+i y.

(27)

LausekkeidenRef(z)jaImf(z)kuvaajat, kun f(z)=z²+1ja z=x+i y.

Itse tehtävä: Tutki yhtälönz³−1=0 ratkaisuja piirtämällä funktionf(z)= |z³−1| kuvaaja kolmiulotteiseen koordinaatistoon sopivalla ohjelmalla ja tutkimalla nol- lakohtia. Esimerkiksi GeoGebra 6 -ohjelmassa [5] funktio voidaan piirtää komen- nolla

f(x,y)=|(x+i*y)ˆ3-1|.

Näetkö nollakohdanz=1 ? Entä kaksi muuta nollakohtaa? Missä päin kompleksi- tasoa ne suunnilleen ovat? Tässä tehtävässä ei tarvita tarkkoja ratkaisuja.

Tehtävä 19. Ratkaise laskemalla edellisessä tehtävässä esiintynyt yhtälö z³−1=0

kompleksilukujen joukossa. Selvitä kaikkien kolmen ratkaisun tarkat arvot.

(28)

Tehtävä 20. Määritä luvun 2ineliöjuuret muodossax+i y, eli etsi kaikki reaalilu- vutxjay, joille pätee

(x+i y)²=2i.

Tarkista lopuksi, että ratkaisusi toimivat.

Tehtävä 21. Kompleksinen neliöjuuri.Johda kompleksiluvuna+bineliöjuurten pa+bilausekkeet. Toisin sanoen ratkaisexjayyhtälöstä

(x+i y)²=a+bi,

missäx,y,a,b∈R. Sovitaan, ettäb6=0, jotta kyseessä on aidosti kompleksisen luvun neliöjuuri.

(29)

Tässä luvussa on tarkoituksena tutustua algebrallisiin epäyhtälöihin. Epäyhtälöillä tarkoitamme sen tapaisia tuloksia kuin vaikkapa

Lause. Jos x on reaaliluku, niin x²>0. Tässä vallitsee yhtäsuuruus vain ja ai- noastaan silloin, kun x=0.

Lause. Jos a, b ja c ovat epänegatiivisia reaalilukuja, niin a+b+c

3 >^p³^abc.

Tässä vallitsee yhtäsuuruus jos ja vain jos a=b=c.

tai vaikkapa

Lause. Jos a, b ja c ovat reaalilukuja, niin sa²+b²+c²

3 >^a⁺^b₃⁺^c^.

Asian ydin on erilaisten lausekkeiden suuruuksien vertailussa. Emme voi tässä lyhyessä johdannossa tehdä oikeutta epäyhtälöille. Niillä on valtava merkitys ma- tematiikassa, ja esimerkiksi merkittävä osa differentiaali- ja integraalilaskennasta tai lukuteoriasta perustuu erilaisiin epäyhtälöihin.

Tässä keskitymme joihinkin alkeellisiin algebrallisiin epäyhtälöihin, joissa ei esiin- ny esimerkiksi derivaattoja tai integraaleja. Otamme erityisesti tarkasteluun klassi- simmat keskiarvoja käsittelevät epäyhtälöt, kuten aritmeettis-geometrisen epäyh- tälön. Nämä ovat erittäin kauniita, ja toisinaan vastaan tulee ongelmia, jotka voi ratkaista elegantisti ja mukavasti tällaisin työkaluin.

Klassisia epäyhtälöitä voi toisinaan soveltaa kauniilla tavalla optimointiongelmiin, joissa kysytään vaikkapa millaisella tietynlaisella kuviolla on suurin pinta-ala tai pienin tilavuus, tai missä pisteessä jokin funktio saa suurimman tai pienimmän arvonsa. Tällaisissa tilanteissa on oleellista, että ymmärtää, milloin käyttämissään epäyhtälöissä vallitsee yhtäsuuruus; optimaalinen kuvio tai kappale johdetaan yhtäsuuruusehdon avulla.

(30)

Lausekkeiden arvioinnista

Aloitetaan sellaisesta lausekkeiden vertailusta, jonka voi suorittaa varsin yksinker- taisilla työkaluilla.

Positiivisten reaalilukujen osamäärä suurenee, kun osoittajaa kasvatetaan ja pienenee, kun nimittäjää kasvatetaan.

Kunajabovat positiivisia reaalilukuja, voidaan arvioida esimerkiksi a

b <a+1

b ja a

b > a b+5.

Näihin toteamuksiin ei liity mitään ”laskua”, ne ovat vain tosia väitteitä siitä, kumpi lausekkeista on suurempi. Tällaisella arvioinnilla (suuruuksien vertaamisella) voi tehdä jo paljon.

Esimerkki. Olkoon reaalilukua>3, ja merkitään S=2a+1

a+3 . Osoita, että 1<S<2.

Ratkaisu. Arvioidaan lukuaSensin ylöspäin (eli verrataan suurempaan lukuun) lisäämällä osoittajaan viisi:

S=2a+1

a+3 <2a+1+5 a+3 .

Luku 5 valittiin, koska tulokseksi saatu lauseke on itse asiassa arvoltaan tasan 2.

Laskemalla saadaan

S<2a+1+5

a+3 =2a+6

a+3 =2(a+3) a+3 =2.

Siis päteeS<2.

Seuraavaksi arvioidaan lukuaSalaspäin (eli verrataan pienempään lukuun) kas- vattamalla nimittäjää korvaamalla luku 3 sitä suuremmalla luvullaa:

S=2a+1

a+3 >2a+1 a+a .

Tätä voidaan arvioida vielä toisenkin kerran alaspäin pienentämällä osoittajaa yhdellä:

S>2a+1

a+a =2a+1 2a >2a

2a =1.

Pätee siis myösS>1, kuten haluttiin osoittaa.

(31)

Positiivisille reaaliluvuille pätee a<b täsmälleen silloin, kuna b <1.

Esimerkki. Osoita, että pätee

n²+2n (n+1)² <1 kaikilla kokonaisluvuillan>^1.

Ratkaisu. Kerrotaan nimittäjä auki muistikaavalla:

n²+2n

(n+1)² =n²+2n n²+2n+1.

Sekä osoittaja että nimittäjä ovat positiivisia, kunn>1. Lisäksi nimittäjä on yhden suurempi kuin osoittaja. Pätee siis

n²+2n

(n+1)²=n²+2n

n²+2n+1<1.

Mitä suurempi positiivinen reaaliluku a on, sitä pienempi on1 a.

Esimerkki. Osoita, että edellisessä esimerkissä esiintynyt lauseke n²+2n

(n+1)²

on sitä suurempi, mitä suurempi kokonaislukun>^{1 on.}

Ratkaisu. Lisätään osoittajaan nolla muodossa+1−1:

n²+2n

(n+1)²=n²+2n+1−1 (n+1)² .

Sovelletaan muistikaavaa osoittajaan, jolloin lauseke saa muodon (n+1)²−1

(n+1)² .

(32)

Tätä voidaan edelleen muokata pilkkomalla lauseke kahdeksi jakolaskuksi:

(n+1)²−1

(n+1)² =(n+1)² (n+1)²− 1

(n+1)²=1− 1 (n+1)².

Nyt voidaan sanoa, että mitä suurempi positiivinen lukunon, sitä suurempi on (n+1)², joten sitä pienempi on 1

(n+1)², joten sitä suurempi on 1− 1

(n+1)², minkä halusimme todistaa.

Reaaliluvuille pätee a>b täsmälleen silloin, kun a−b>0.

Esimerkki. Olkootxjayreaalilukuja, joille 0<x<y. Osoita, että x

y <x+1 y+1.

Ratkaisu. Tutkitaan lukujen erotusta x+1 y+1−x

y. Jos se on positiivinen, väite on todistettu. Aloitetaan laventamalla murtolausekkeet samannimisiksi:

x+1 y+1−x

y =y(x+1)

y(y+1)−x(y+1) y(y+1)

= x y+y

y(y+1)− x y+x y(y+1).

Yhdistetään murtolausekkeet, jolloin lauseke sievenee edelleen

=x y+y−x y−x

y(y+1) = y−x y(y+1). Koskay>xjay(y+1)>0, pätee

y−x y(y+1)>0, joten väite on perusteltu.

(33)

Tehtävä 22. Olkootajabreaalilukuja, joille 1<a<b. Järjestä suuruusjärjestyk- seen luvut

a b, b

a, b+1

a , a

b+1, ja a 2b.

Tehtävä 23. Olkootajabpositiivisia reaalilukuja, joillea>b. Osoita, että lukujen a+bjaa−bkäänteislukujen keskiarvo on suurempi kuin luvunakäänteisluku.

Tehtävä 24. Kumpi luvuista

10²⁰⁰⁶+1

10²⁰⁰⁷+1 ja 10²⁰⁰⁷+1 10²⁰⁰⁸+1 on suurempi?

Tehtävä 25. Olkootajabpositiivisia reaalilukuja. Osoita, että a³+b³>^a²^b+ab².

(34)

Reaalilukujen neliöt ovat aina epänegatiivisia Tässä on varsin yksinkertainen, mutta voimallinen lause:

Lause.Jos x on reaaliluku, niin x²>0. Lisäksi x²=0vain ja ainoastaan silloin, kun x=0.

x²>^0,kun x on reaaliluku.

Todistus. Josxon positiivinen, onx²=x·xkahden positiivisen luvun tulona positiivinen. Josxon negatiivinen, onx²kahden negatiivisen luvun tulona myös positiivinen. Lopuksi, 0²on tunnetusti 0.

Lauseen mukaan siis muun muassa 2²>0, (−1)²>0 ja 0²=0. Mutta mielenkiin- toisempaa on, että luvunxpaikalle voi sijoittaa monimutkaisempia lausekkeita.

Tarkastellaan esimerkiksi seuraavan lauseen todistusta:

Lause. Jos a ja b ovat reaalilukuja, niin a²+b²>2ab. Lisäksi tässä vallitsee yhtäsuuruus vain ja ainoastaan silloin, kun a=b.

Todistus. Asian ydin on siinä, että (a−b)²>0. Nimittäin, tämän epäyhtälön voi kirjoittaa myös muodossaa²+b²−2ab>0, tai edelleen muodossaa²+b²>

2ab. Lisäksi yhtäsuuruus pätee täsmälleen silloin, kun a²+b² =2ab, eli kun a²+b²−2ab=0, eli kun (a−b)²=0, eli kuna=b.

Seuraava esimerkki on jo varsin juonikas:

Esimerkki. Olkoota,b,cjadreaalilukuja. Osoita, että pienin luvuista a−b², b−c², c−d² ja d−a²

on pienempi tai yhtä suuri kuin1 4.

Ratkaisu. Tehdään se vastaoletus, että kyseiset luvut olisivat kaikki suurempia kuin1

4. Tällöin olisi

a−b²+b−c²+c−d²+d−a²>1 4+1

4+1 4+1

4.

(35)

Kun kaikki termit siirretään samalle puolelle ja järjestellään sopivasti, tämä epäyh- tälö saa muodon

0 > a²−a+1

4 + b²−b+1

4 + c²−c+1

4 + d²−d+1 4. Kukin muotoa

a²−a+1 4

oleva lauseke voidaan muokata kaikille reaaliluvuillexjaypätevän muistikaavan x²−2x y+y²=(x−y)²avulla muotoon

a²−a+1 4=

µ a−1

2

¶2

, jolloin vastaoletuksen mukaisesta epäyhtälöstä seuraa

0 > a²−a+1

4 + b²−b+1

4 + c²−c+1

4 + d²−d+1 4

= µ

a−1 2

¶2

+ µ

b−1 2

¶2

+ µ

c−1 2

¶2

+ µ

d−1 2

¶2

.

Tämä on ristiriidassa sen kanssa, että reaalilukujen neliöiden summa ei koskaan voi olla negatiivinen.

(36)

Tehtävä 26. Osoita, että kaikilla reaaliluvuillaapätee a²>^6a−9.

Millä luvunaarvoilla yhtäsuuruus on voimassa?

Tehtävä 27. Olkoonxnollasta poikkeava reaaliluku. Osoita, että x²+ 1

x²>^2,

ja että tässä vallitsee yhtäsuuruus vain ja ainoastaan silloin, kunx= ±1.

Tämän tehtävän toisesta vihjeestä löytyy kokonainen ratkaisu, johon kannattaa tutustua, kun tehtävää on miettinyt itse (mahdollisesti ensimmäisen vihjeen avulla).

Tehtävä 28. Olkoonxpositiivinen reaaliluku. Osoita, että x+1

x>^2,

ja että tässä vallitsee yhtäsuuruus vain ja ainoastaan silloin, kunx=1.

Vihje s. 64→

Tehtävä 29. Etsi kaikki ne reaalilukuviisikot (x,y,u,v,w), joille











y²+u²+v²+w²=4x−1, x²+u²+v²+w²=4y−1, x²+y²+v²+w²=4u−1, x²+y²+u²+w²=4v−1, x²+y²+u²+v²=4w−1.

(37)

suuruusjärjestyksestä

Kahden luvunajabkeskiarvoista tunnetuin on aritmeettinen keskiarvoA=a+b 2 . Keskiarvoja on kuitenkin muitakin, ja eri keskiarvot ovat hyödyllisiä eri tilanteissa.

Yleisimmin käytettyjä positiivisten reaalilukujenajabkeskiarvoja ovat

aritmeettinen keskiarvo A=a+b 2 , geometrinen keskiarvo G=p

ab,

harmoninen keskiarvo H= 2

a1+¹_b,

kontraharmoninen keskiarvo C=a²+b² a+b ja kvadraattinen keskiarvo Q=

sa²+b²

2 .

Näistä keskiarvoista neljä ensimmäistä olivat käytössä jo antiikin aikoina pytha- goralaisessa matematiikkaperinteessä. Lisätietoja pythagoralaisista keskiarvoista löytyy kirjasta Carl Boyer:Tieteiden kuningatar, matematiikan historia, osa I[2], jossa tosin on pieniä painovirheitä keskiarvojen kaavoissa.

Konkreettisena esimerkkinä lukujen 2 ja 8 aritmeettinen keskiarvo on A=2+8

2 =5, geometrinen keskiarvo

G=p

2·8=4, harmoninen keskiarvo

H= 2

12+¹₈ =31 5,

(38)

kontraharmoninen keskiarvo

C=2²+8² 2+8 =64

5, ja kvadraattinen keskiarvo

Q= s

2²+8²

2 =p

34≈5,83...

Lukusuoralle nämä keskiarvot sijoittuvat seuraavasti.

2 8

0

A=5

G=4

H=3¹₅ C=6⁴₅

Q=p 34

Huomaa, että keskiarvot eivät suinkaan ole tasavälein! Mielenkiintoista kyllä edellä esitettyjen keskiarvojen keskinäinen suuruusjärjestys on sama kaikilla positiivisilla lukupareillaajab.

Lause.Positiivisten reaalilukujen a ja b keskiarvoille pätee H6^G6^A6^Q6^C^,

ja kussakin epäyhtälössä yhtäsuuruus on voimassa vain ja ainoastaan silloin, kun a=b.

Lauseen todistus on pilkottu neljäksi harjoitustehtäväksi 30–33. Ne voi kaikki todistaa havaintoonx²>0 tukeutuen.

Aritmeettinen, kvadraattinen ja geometrinen keskiarvo voidaan määritellä samalla kaavalla myös silloin, kun toinen tai molemmat luvuistaajabovat nollia. Epäyh- tälötG6^A6^Q pätevätkin kaikilla epänegatiivisilla reaaliluvuillaajab, kuten tehtävissä 30 ja 31 osoitetaan.

(39)

Keskiarvojen sovelluksia

Eri keskiarvot liittyvät luontevasti eri tilanteisiin.

Geometrinen keskiarvo liittyy muun muassa korkolaskuihin: Jos sijoituksen arvo nousee yhtenä vuonna 10 prosentilla ja toisena vuonna peräti 50 prosentilla, saadaan kokonaiskasvuksi 65 % laskemalla

1,10·1,50=1,65.

Keskimääräinen vuosikasvu saadaan laskemalla sille prosenttikerroinkkerrointen 1,1 ja 1,5 geometrisena keskiarvona:

k²=1,1·1,5 ⇒ k=p

1,1·1,5=1,2845...≈1,28.

Keskimääräinen vuosikasvu on siis ollut 28 %, ei 30 %, joka saataisiin lukujen 10 % ja 50 % aritmeettisena keskiarvona.

Harmoninen keskiarvo liittyy esimerkiksi keskinopeuksiin: Jos menomatkan kul- kee nopeudellav1ja tulomatkan nopeudellav2, keskinopeus on näiden nopeuk- sien harmoninen keskiarvo. Tätä pohditaan tehtävässä 35. Aritmeettinen keskiarvo ei voisi olla oikein, sillä tässä tilanteessa hitaammalla nopeudella kuljetaan pidempi aika.

v₁ v2

A B

Harmoninen keskiarvo liittyy myös sähköoppiin: Jos virtapiirissä on rinnan kaksi vastusta, joilla on eri resistanssitR₁jaR₂, yhtä suuren kokonaisresistanssin ai- heuttavat kaksi samanlaista vastusta, joiden resistanssiRon resistanssienR₁jaR₂ harmoninen keskiarvo.

I

R1

R2

I

R

Erilaisia keskiarvoja voi käyttää myös kuvankäsittelyssä, esimerkiksi virheiden korjauksessa. Seuraavalla sivulla on esitetty ensin alkuperäinen valokuva (NASA, Apollo 17 -lennolta 7.12.1972), sitten mustan kohinan sotkema kuva, ja lopulta kuva, josta sotku on yritetty korjata pois. Korjaus on tehty korvaamalla kunkin pikselin väriarvo yhdeksän lähimmän pikselin väriarvojen kontraharmonisella keskiarvolla. Koska kontraharmoninen keskiarvo korostaa suuria arvoja, musta sotku enimmäkseen katoaa. (Kontraharmoninen keskiarvo yli kahdelle luvulle esitellään sivulla 46.)

(40)

Alkuperäinen kuva

Pilalle mennyt kuva: harmillista mustaa kohinaa

Kontraharmonisella keskiarvolla korjattu kuva

Mustan kohinan korjaus kontraharmonisella keskiarvolla