cb P 3G

(1)

pitkän

matematiikan lisäsivut

Ville Tilvis

geometria

(2)

G EOMETRIA

Ville Tilvis ja Esa V. Vesalainen

Pitkän matematiikan lisäsivut 3: Geometria Viipurin Reaalikoulu Oy

Maunulan yhteiskoulu ja Helsingin matematiikkalukio

Matematiikan opetuksen valtakunnallinen kehittämistehtävä Harppi

Helsinki 2020 1. Painos

Jotta kirjan käyttö olisi mahdollisimman mutkatonta, sen sisältö on lisensoitu avoimella Creative Commons Nimeä 4.0 Kansainvälinen -käyttöluvalla.

cb

https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.fi

Kannen suunnittelu Salli Kulmala ISBN 978-952-69550-4-9 (nid.) ISBN 978-952-69550-5-6 (PDF) Next Print Oy, Helsinki

(3)

Esipuhe 5

1 Geometrinen todistaminen 6

Vieruskulmat, ristikulmat ja samankohtaiset kulmat . . . 7

Harjoitustehtäviä . . . 9

Yhtenevyys . . . 11

Yhdenmuotoisuus . . . 17

2 Kolmion merkilliset pisteet 24 Keskinormaalit . . . 25

Kulmanpuolittajat . . . 26

Mediaanit . . . 27

Korkeusjanat . . . 28

Kolmion sisään ja ympäri piirrettyjen ympyröiden säteet . . . 30

3 Thaleen lause 33 Harjoitustehtäviä . . . 36

4 Kehäkulmalause ja jännenelikulmiot 38 Kehäkulmalause . . . 39

Jännenelikulmiot . . . 42

5 Pisteen potenssi 56 Harjoitustehtäviä . . . 60

(4)

Ympyrä, jonka halkaisijan pituus ona+b . . . 66

Puolisuunnikas, jonka kannat ovatajab . . . 69

7 Eulerin suora ja yhdeksän pisteen ympyrä 71 Eulerin suora . . . 71

Yhdeksän pisteen ympyrä . . . 75

Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste . . . 79

8 Suurenmoisia geometrian tuloksia 84 Kolmion ulkoympyrät ja Feuerbachin lause . . . 85

Pappuksen lause . . . 87

Pascalin lause . . . 88

Brianchonin lause . . . 89

Cevan lause . . . 90

Isogonaaliset konjugaatit . . . 91

Harppi ja viivain: säännölliset monikulmiot . . . 92

Morleyn ihme . . . 94

Steinerin lause ympyräketjuista . . . 95

Poncelet’n lause . . . 98

Ensimmäiset vihjeet 100

Toiset vihjeet 132

Geometrian sanastoa 171

Lähteet 179

(5)

Pitkän matematiikan lisäsivut ovat itseopiskelumateriaalia niille, jotka kaipaavat haasteita ja haluavat laajentaa matematiikan osaamistaan lukio-oppimäärän ulko- puolelle. Lisäsivuihin on valittu aihepiirejä, joita lukiossa ei yleensä kohtaa, mutta joihin matematiikasta innostuneen voisi olla kiintoisaa ja palkitsevaa tutustua.

Materiaali sisältää lyhyet teoriaosiot ja runsaasti harjoitustehtäviä, joihin on kat- tavat vihjeet ja useimpiin toiset vihjeet. Tehtäviä on syytä yrittää aina ensin itse, mutta vihjeet ja toiset vihjeet on tarkoitettu käytettäviksi. Monet tehtävistä ovat huomattavan vaikeita, eikä kannata huolestua, jos osa niistä jää ratkaisematta.

Pitkän matematiikan lisäsivut 3 pureutuu tasogeometrian saloihin. Keskiössä ovat geometrian todistukset ja kauniit tulokset, ja ihmettelyn aiheina muun muassa kolmion merkillisiä pisteitä, pisteen potenssi, Eulerin suora ja yhdeksän pisteen ympyrä. Keskeiset käsitteet on määritelty sanastossa.

Haluamme kiittää kaikkia kollegoita ja opiskelijoita, jotka ovat antaneet kannus- tavaa palautetta kirjan luonnoksista. Lisäksi Ville Tilvis haluaa kiittää perhettään tuesta ja huomattavasta pitkämielisyydestä kirjaprojektin suhteen.

Kaikista virheistä, puutteista ja parannusehdotuksista toivotaan sähköpostia osoit- teeseen ville.tilvis (at) mayk.fi.

Antoisia hetkiä lisäsivujen parissa!

Helsingissä ja Vantaalla 20.12.2020, Ville Tilvis ja Esa V. Vesalainen

Opettaja! Tehtävien ratkaisut voi tilata osoitteesta ville.tilvis (at) mayk.fi

(6)

Geometriassa — kuten matematiikassa yleensäkin — on keskeistä väitteiden huo- lellinen perustelu. Siksi haluaisimme sopia heti näiden lisäsivujen aluksi jonkin- laisen yhteisesti hyväksytyn pohjan, jonka päälle todistukset rakentuvat.

Tasogeometria on itse asiassa varsin monimutkainen järjestelmä, ja sen huolel- lisen rakentamisen aksioomista lähtien teki vasta David Hilbert vuonna 1899 julkaistussa teoksessaanGrundlagen der Geometrie[13]. Moderni esitys löytyy esimerkiksi Matti Lehtisen, Jorma Merikosken ja Timo Tossavaisen erinomaisesta kirjastaJohdatus tasogeometriaan[16], tai Internetistä löytyvästä Matti Lehtisen monisteestaGeometrian perusteita[15].

Tässä kohtaa geometrian opintoja ei kuitenkaan ole mielekästä sukeltaa niin syviin vesiin. Seuraavilla sivuilla käydään läpi kolmessa osassa lähtökohtia, joiden varaan todistuksemme rakentuvat, ja harjoitellaan todistamista kolmessa tehtäväsarjassa.

Geometrian todistuksissa tekee helposti olettamuksia, joita ei itse asiassa ole vielä perusteltu – tai jotka eivät pidä lainkaan paikkaansa! Osa tässä luvussa to- distettavista tuloksista voi tuntua itsestään selviltä, mutta perustelemme ne silti huolellisesti.

(7)

Vieruskulmat, ristikulmat ja samankohtaiset kulmat Otamme lähtökohdaksi kolme kulmiin liittyvää tulosta.

Vieruskulmat. Kulman ja sen vieruskulman summa on 180^◦.

α β

Vieruskulmilleα+β=180^◦.

Ristikulmat. Kahden suoran leikatessa syntyvät ristikulmat ovat yhtä suuret.

α α

Ristikulmatαovat yhtä suuret.

Samankohtaiset kulmat. Kun suorasleikkaa suoriar jat, samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret täsmälleen silloin, kun suoratrjatovat yhdensuuntaiset.

r t s

rkt α

α α

α

On tärkeää huomata, että samankohtaisiksi lasketaan vain ne neljä kulmaa, joilla suorason samana kylkenä, kuten ylle merkityt kulmatα, joiden kaikkien vasen kylki on suorallas.

(8)

Suorasvoi kyllä leikata suoriatjarsamassa kulmassa, vaikka nämä suorat eivät olisi yhdensuuntaiset, tällöin vain nuo yhtä suuret kulmat eivät ole samankohtaiset, kuten 30^◦kulmat alla.

r t

s

r∦t

30^◦

Esimerkki kulmiin liittyvästä todistuksesta

Väite. Suunnikkaan viistosti vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret.

(Suunnikas on nelikulmio, jolla on kaksi paria yhdensuuntaisia sivuja.)

Todistus. OlkoonABC Dsuunnikas, jolloinADkBCjaDCkAB. Jatketaan sivua ADkuvan mukaisesti. Osoitetaan, että vastakkaisten kärkienAjaCkulmatαjaγ ovat yhtä suuret.

A B

C D

α β

γ

Suunnikkaan määritelmän mukaanAB∥C D, joten samankohtaiset kulmatαja βovat yhtä suuret. Toisaalta myösADjaBCovat yhdensuuntaiset, joten myös samankohtaiset kulmatβjaγovat yhtä suuret. Siis päteeα=γ.

(9)

Harjoitustehtäviä

Tehtävä 1. Todista, että kolmion kulmien summa on oikokulman suuruinen, eli 180^◦. Todistuksen voi aloittaa seuraavasti.

Olkoon ABC kolmio. Piirretään kärjenC kautta sivun AB suuntainen suoras.

Jatketaan sivujaACjaBCkuvan mukaisesti.

A B

C s

α β

γ

Viimeistele todistus.

Vihje s. 100→ Toinen vihje s. 132→

Tehtävä 2. Osoita, että nelikulmion kulmien summa on aina 360^◦.

Tehtävä 3. Jokaisenn-kulmion kulmien summa on (n−2)·180^◦. Todista tämä tulos kuperann-kulmion tapauksessa.

Tehtävä 4. Säännöllisellä kahdeksankulmiolla ja säännöllisellä 9-kulmiolla on yhteinen sivu kuvan mukaisesti. Kuinka suuri on kuvaan merkitty kulmaα?

α

(10)

Tehtävä 5. Alla on kolme säännöllistä kuusikulmiota ja kaksi säännöllistä viisikul- miota, joilla on yhteisiä sivuja kuvan osoittamalla tavalla. Lisäksi kuusikulmioiden keskipisteet on yhdistetty janoilla niin ikään kuvan osoittamalla tavalla. Kuinka suuri on näin muodostunut kuvaan merkitty kulma?

?

Tehtävä 6. Meillä on kaksi eri pistettä AjaB, sekä kolme eri pistettäX,Y jaZ, jotka sijaitsevat samalla puolella suoraaABniin, että

∠^{Y AX}=∠^{Z AY} =α ja ∠^{Y B X}=∠^{Z BY} =β.

Jos tunnemme kulmatξ=∠^{AX B}^ja^ζ=∠AZ B, niin kuinka kulmanη=∠^{AY B} suuruus voidaan esittää vain kulmienξjaζavulla?

A B

X

Y

Z

ξ

η

ζ

α α β β

(11)

Yhtenevyys

Yhtenevyys. Kaksi monikulmiotaABC...K ja A⁰B⁰C⁰...K⁰ ovat yhtenevät, kun pisteilleA,B,C,... ,Klöytyy vastinpisteetA⁰,B⁰,C⁰,... ,K⁰, joille pätee, että

• kaikki vastinkulmat ovat yhtä suuret (∠^ABC=∠^A⁰^B⁰^C⁰ja niin edelleen), ja

• kaikki vastinpisteitä yhdistävät janat ovat kuvioissa yhtä pitkiä, eliAB=A⁰B⁰, ja niin edelleen.

Yhtenevyyttä voidaan merkitä symbolilla∼=, esimerkiksi kolmioille ABC∼=A⁰B⁰C⁰.

B A C

D

E

A⁰

B⁰ C⁰ D⁰

E⁰

Viisikulmiot ABC DE ja A⁰B⁰C⁰D⁰E⁰ovat yhtenevät.

Arkikielellä yhtenevyys tarkoittaa, että kuviot ovat kooltaan ja muodoltaan saman- laiset, mutta eivät välttämättä samassa asennossa.

Kolmioiden yhtenevyyslauseet

Monessa todistuksessa haluamme perustella, että jotkin janat ovat yhtä pitkät tai jotkin kulmat yhtä suuret. Tällöin on mukavaa vedota kahden kolmion yhtenevyy- teen tai yhdenmuotoisuuteen. Tarvitaan siis kriteerit sille, milloin kaksi kolmiota ovat yhtenevät. Otamme nämä käyttöön ilman todistuksia.

(12)

Kolmioiden yhtenevyyslauseet.Esittelemme neljä yhtenevyyslausetta. Ensinnä- kin kaksi kolmiota ovat yhtenevät, mikäli jokin seuraavista kolmesta ehdosta pätee.

Sivu-kulma-sivu (sks):Kolmioissa on kaksi paria yhtä pitkiä sivuja ja niiden väli- set kulmat ovat yhtä suuret.

sks-yhtenevyys

Sivu-sivu-sivu (sss):Kolmioissa on kolme paria yhtä pitkiä sivuja.

sss-yhtenevyys

Kulma-sivu-kulma (ksk):Kolmioissa on yksi pari yhtä pitkiä sivuja ja yhtä suuret kulmat niiden vieressä.

ksk-yhtenevyys Neljäs yhtenevyyslause ssk sisältää pienen lisäehdon:

Sivu-sivu-kulma (ssk):Jos kolmioissa on kaksi paria yhtä pitkiä sivuja ja niistä toisen vastaiset kulmat ovat yhtä suuret, niin

kolmiot ovat yhtenevät tai

yhdet vastinkulmat ovatkin toistensa suplementtikulmia (eli niiden summa on 180^◦).

ssk-yhtenevyys

(13)

Esimerkki yhtenevyyslauseiden käytöstä

Väite. Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät. (Tämä ei seuraa suoraan suunnikkaan määritelmästä, sillä määritelmä takaa vain yhdensuuntaisuuden.) Todistus. OlkoonABC Dsuunnikas. LävistäjäDB jakaa suunnikkaan kahteen kolmioon.

A B

C D

α

β β

Suunnikkaan vastakkaiset kulmatAjaC ovat yhtä suuret, kuten sivulla 8 todistettiin. KoskaAB∥C D, samankohtaiset kulmat∠^{DB A}^ja∠^BDCovat yhtä suuret (merkitäänβ). KolmiotABDjaC DBovat siis yhteneviä (ksk), sillä niillä on samat kulmat ja yhteinen vastinsivuBD. SiisAB=C DjaAD=C B.

(14)

Tehtävissä 7–14 harjoitellaan yhtenevyyslauseiden käyttöä. Moni näistä tehtävistä olisi perusteltavissa myös jonkinlaisella symmetria-argumentilla, mutta yritä pe- rustaa ratkaisusi yhtenevyyslauseisiin, jotta saat kokemusta niiden soveltamisesta.

Tehtävä 7. Mitä yhtenevyyslausetta seuraavassa todistuksessa käytetään?

Väite: Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret.

Todistus: OlkoonABCtasakylkinen kolmio, jonka kyljet ovatABjaAC. OlkoonM kannanBCkeskipiste.

B C

A

M

Nyt kantakulmille pätee∠^{MB A}=∠AC M, sillä kolmiotAB M jaAC Movat yhte- nevät. Minkä yhtenevyyslauseen perusteella nämä kolmiot ovat yhtenevät?

Huom! Tämä sama todistus perustelee, miksi pisteeseen M muodostuu kaksi suoraa kulmaa. Älä siis käytä tätä tietoa hyväksi.

Tehtävä 8. Mitä yhtenevyyslausetta seuraavassa todistuksessa käytetään?

Väite: Kun kolmiossa on kaksi yhtä suurta kulmaa, kolmio on tasakylkinen nämä kulmat kantakulmina.

Todistus: OlkoonABCkolmio, jonka kärkienBjaCkulmat ovat yhtä suuret. Ol- koonMsivutBCkeskipiste.

B C

A

M α α

(15)

Nyt päteeAB=AC, sillä kolmiotAB MjaAC Movat yhtenevät. Minkä yhtenevyyslauseen perusteella nämä kolmiot ovat yhtenevät?

Tehtävä 9. Osoita, että kulmanpuolittajan pisteet ovat kukin yhtä kaukana kulman kummastakin kyljestä. Voit olettaa, että kulma on alle 180^◦, jolloin mallikuva vastaa tilannetta.

P

αα

Tehtävä 10. Osoita, että kulman aukeamassa oleva pisteP, joka on yhtä kaukana kulman kummastakin kyljestä, on kulman puolittajalla. (Voit olettaa, että kulma on alle 180^◦, jolloin mallikuva vastaa tilannetta.)

P

Tehtävä 11. Ympyrän ulkopuolella on pisteP, josta piirretään ympyrälle tangentit.

Tangentit sivuavat ympyrää pisteissäAjaB. Osoita, että janatPAjaPB ovat yhtä pitkät. Voit olettaa, että ympyrän säde ja tangentti kohtaavat suorassa kulmassa.

P B

A

(16)

Tehtävä 12. Osoita, että janan keskinormaalin pisteet ovat yhtä kaukana janan päätepisteistä. (Keskinormaali on suora, joka kulkee kohtisuorasti janan keskipisteen kautta.)

P

Vihje s. 103→

Tehtävä 13. Osoita, että pisteet, jotka ovat yhtä kaukana janan päätepisteistä, ovat janan keskinormaalilla.

Tehtävä 14. OlkoonABC Dkupera nelikulmio, jossaAB=ADjaC B=C D. Täl- laista nelikulmiota kutsutaan leijaksi.

A

B

C

D

Osoita, että leijan lävistäjät leikkaavat toisensa kohtisuorasti.

(17)

Yhdenmuotoisuus

Yhdenmuotoisuus. Kaksi monikulmiotaABC...KjaA⁰B⁰C⁰...K⁰ovat yhdenmuotoiset, kun pisteilleA,B,C,...,K löytyy vastinpisteetA⁰,B⁰,C⁰,...,K⁰, joille pätee, että

• kaikki vastinkulmat ovat yhtä suuret (∠^ABC=∠^A⁰^B⁰^C⁰ja niin edelleen), ja

• kaikki vastinpisteitä yhdistävät janat ovat kuvioissa verrannolliset, eli suh- teet AB

A⁰B⁰, BC

B⁰C⁰, ja niin edelleen, ovat yhtä suuret keskenään. Tätä suhdetta kutsutaan monikulmioiden verrannollisuuskertoimeksi eli mittakaavaksi.

Yhdenmuotoisuutta voidaan merkitä symbolilla∼, esimerkiksi kolmioille ABC∼A⁰B⁰C⁰.

B A C

D

E

A⁰

B⁰ C⁰ D⁰

E⁰

Viisikulmiot ABC DE ja A⁰B⁰C⁰D⁰E⁰ovat yhdenmuotoiset mittakaavalla1 : 2.

Arkikielellä yhdenmuotoisuus tarkoittaa, että kuvioilla on sama muoto, mutta ne eivät välttämättä ole saman kokoiset eivätkä samassa asennossa.

Huomautettakoon, että jos kaksi kuviota ovat yhtenevät, ne ovat yhdenmuotoiset verrannollisuuskertoimella 1.

(18)

Kolmioiden yhdenmuotoisuuslauseet

Kolmioiden yhdenmuotoisuuslauseet ovat hyvin samankaltaisia kuin yhtenevyyslauseet. Nyt vain ehto yhtä pitkistä sivuista korvataan vaatimuksella verrannolli- sista sivuista. Vastinsivujen suhteen pitää siis olla vakio.

Kolmioiden yhdenmuotoisuuslauseet.Esittelemme neljä yhdenmuotoisuuslau- setta. Ensinnäkin, kaksi kolmiota ovat yhdenmuotoiset, mikäli jokin seuraavista kolmesta ehdosta pätee.

Sivu-kulma-sivu (sks):Kolmioissa on kaksi paria verrannollisia sivuja ja niiden väliset kulmat ovat yhtä suuret.

a

b

ka kb

sks-yhdenmuotoisuus mittakaavalla k

Sivu-sivu-sivu (sss):Kolmioissa on kolme paria verrannollisia sivuja.

a c b

ka

kb kc

sss-yhdenmuotoisuus mittakaavalla k Kulma-kulma (kk):Kolmioissa on kaksi paria yhtä suuria kulmia.

kk-yhdenmuotoisuus

(19)

Neljäs yhdenmuotoisuuslause ssk sisältää taas pienen mutkikkuuden:

Sivu-sivu-kulma (ssk):Jos kolmioissa on kaksi paria verrannollisia sivuja ja niistä toisen vastaiset kulmat ovat yhtä suuret, niin

kolmiot ovat yhdenmuotoiset tai

yhdet vastinkulmat ovatkin toistensa suplementtikulmia (eli niiden summa on 180^◦).

a b ka

kb kb

ssk-yhdenmuotoisuus mittakaavallak Esimerkki yhdenmuotoisuuden soveltamisesta

Väite. Kolmion sivun ja sen vastaisen korkeusjanan pituuksien tulo on vakio.

Jos siis lasketaan kolmion pinta-alaAkaavallaA=¹₂ah, tulos on sama riippumatta siitä, mikä sivuaja sen vastainen korkeusjanahvalitaan.

Todistus. OlkoonABCkolmio. Olkoon kärjestäAlähtevä korkeujanah_aja sen vastainen sivua. Vastaavasti olkoon kärjestäB lähtevä korkeusjanah_b ja sen vastainen sivub. Tarkastellaan sekä terävä-, suora- että tylppäkulmaista tapausta:

A

B a C

b

P Q ha

h_b

A

a C b

P=B Q ha

h_b

A

B a C

b

P ha Q

h_b

OlkoonPkorkeusjananhatoinen päätepiste jaQkorkeusjananh_btoinen pääte- piste. PisteP on sivullaBCtai sen jatkeella riippuen siitä, onko kulmaBterävä vai tylppä. Kun kulmaBon suora, päteeP =B. Seuraava todistus kattaa kaikki tapaukset.

(20)

KolmiotC PAjaCQBovat yhdenmuotoisia (kk), sillä kummassakin on suora kulma ja yhteinen kulmaC.

A

B a C

b

P Q h_a

h_b

A

a C b

P=B Q h_a

h_b

A

B a C

b

P h_a Q

h_b

YhdenmuotoisuudestaC PA∼CQBseuraa h_a h_b =b

a,

josta ristiin kertomalla saadaana·h_a=b·h_b, minkä halusimmekin todistaa.

Kolmion pinta-alaksiA saadaan siis yhtä suuri tulos, laskettiinpaA=¹₂aha tai A=¹₂bh_b.

Tehtävä 15. Kolmiota leikataan sen sivun suuntaisella suoralla. Osoita, että syn- tyvä pienempi kolmio on alkuperäisen kanssa yhdenmuotoinen.

Vihje s. 104→

Tehtävä 16. KolmionABCsivullaABon pisteDsiten, ettäAD=3 jaDB=2. Jos kolmionABCala onS, niin mikä on kolmionDBC ala?

A

B C

D 3

2

Keksitkö kaksi eri ratkaisua? Kumpi on selvästi lyhyempi?

(21)

Tehtävä 17. Kuperan nelikulmionABC D sivujen pituudet ovat AB=1,BC= 2,C D=4 jaD A=4. Lisäksi lävistäjän AC pituus on 2. Osoita, että ABC D on puolisuunnikas.

Tehtävä 18. Kuperan nelikulmion sivujen keskipisteet yhdistetään. Osoita, että syntyvä nelikulmio on suunnikas.

A

B D C

X Y Z

W

Tämän ihastuttavan tuloksen todisti ranskalainen matemaatikko Pierre Varignon (1654–1722), ja siksi suunnikastaX Y ZW kutsutaankin Varignonin suunnikkaaksi.

Tehtävä 19. Tehtävässä 18 esiteltiin Varignonin suunnikas. Osoita, että Varigno- nin suunnikkaan pinta-ala on tasan puolet alkuperäisen nelikulmion pinta-alasta.

A

B D C

X Y Z

W

Tehtävä 20. Kahdessa yhdenmuotoisessa kolmiossa kummassakin on sivut, joiden pituudet ovat 5 ja 7. Kolmiot eivät kuitenkaan ole yhtenevät. Miten tämä on mahdollista? Kuinka pitkät kolmioiden viimeiset sivut ovat?

(22)

Tehtävä 21. Pythagoraan lause.Pythagoraan lauseelle tunnetaan lukuisia todistuksia, joista tässä on esitetty tyylikäs yhdenmuotoisuuteen perustuva idea.

Väite.Olkoon suorakulmaisessa kolmiossa pisin sivu (hypotenuusa) c ja lyhyem- mät sivut (kateetit) a ja b. Tällöin a²+b²=c².

Todistus.Olkoon suorakulmaisen kolmionABCsuora kulma∠^C. Nimetään sivut kuvan mukaisestiBC=a,AC=bjaAB=c. OlkoonC K kolmion korkeusjana ja merkitäänAK=msekäK B=n.

A B

C

c a b

m n

K Todistus etenee seuraavasti:

a) Perustele, että kolmiotABC,AC K jaBC K ovat kaikki yhdenmuotoisia.

b) Muodosta yhdenmuotoisuuksienABC∼AC KjaABC∼C BKavulla kaksi verrantoa, joissa esiintyy lukujaa,b,c,mjan.

c) Ratkaise verrannoista lausekkeetcmjacn.

d) Todistus seuraa, kun sieventääc²=c·c=c(m+n)=cm+cnja sijoittaa lausekkeidencmjacnpaikalle lausekkeet, joissa esiintyy vain lukujaajab.

Täydennä todistuksen yksityiskohdat.

Tehtävä 22. Todista käänteinen Pythagoraan lause: Jos kolmion sivujen pituuksil- lea,bjacpäteea²+b²=c², sivuncvastainen kulma on suora.

C A

B

b

a c

a²+b²=c² =⇒

C A

B

b

a c

(23)

Tehtävä 23. Kosinilause terävälle kulmalle.Olkoot kolmion sivuta,b jac, ja olkoon sivuncvastainen kulmaγ. Todista sivujen pituuksille pätevä kosinilause

c²=a²+b²−2abcosγ tapauksessa, jossa kulmaγon terävä.

γ

a

b c

Tehtävä 24. Kosinilause tylpälle tai suoralle kulmalle.Olkoot kolmion sivuta, b jac, ja olkoon sivuncvastainen kulmaγ. Todista sivujen pituuksille pätevä kosinilause

c²=a²+b²−2abcosγ tapauksessa, jossa kulmaγon tylppä tai suora.

γ

a

b c

γ

a

b c

Tehtävä 25. Olkoon kolmion eräs kulmaγja sen viereiset sivutajab. Osoita, että kolmion ala on

A=1

2absinγ.

Tarkastele erikseen tapaukset, joissa kulmaγon terävä, suora tai tylppä.

(24)

Tunnetuimmat kolmioihin liittyvät ”merkilliset” pisteet ovat kolmion sivujen keskinormaalien leikkauspisteO, kulmanpuolittajien leikkauspisteI, keskijanojen eli mediaanien leikkauspisteGja korkeusjanojen leikkauspisteH.

O

I

Keskinormaalit Kulmanpuolittajat

G H

Mediaanit Korkeusjanat

Kukin näistä pisteistä syntyy kolmen suoran leikkauspisteenä, ja kaikki ne löytyvät jokaiselle kolmiolle. Pisteissä on merkillisintä se, että ne ylipäänsä ovat olemassa:

kolmen suoran ei tarvitsisi leikata yhdessä pisteessä.

Kuten yllä olevista kuvista näkyy, merkillisten pisteidenO,I,GjaHei tarvitse olla keskenään samoja.

Seuraavaksi perustellaan merkillisten pisteiden olemassaolo ja joitakin niiden ominaisuuksia. Suosittelemme tutustumaan todistuksiin huolellisesti, sillä niissä on käyttökelpoisia ideoita ja tekniikoita.

(25)

Keskinormaalit

Kolmion sivujen keskinormaalit ovat sivujen keskipisteiden kautta piirrettyjä, sivuja vastaan kohtisuoria suoria.

Lause.Kolmion sivujen keskinormaalit leikkaavat yhdessä pisteessä, ja tämä piste on kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste O.

A B

C

O

Todistus.Tutkitaan kolmionABCsivujenAC jaBCkeskinormaalien leikkauspis- tettäO. KoskaOon sivunACkeskinormaalilla, se on yhtä etäällä pisteistäAjaC, eli pituuksille päteeOA=OC. (Tämä todistettiin tehtävässä 12.) KoskaOon myös sivunBC keskinormaalilla,OB =OC. Nämä yhdistämällä saadaanOA =OB, jotenO on myös sivun AB keskinormaalilla (kuten tehtävässä 13 osoitettiin.) Keskinormaalit leikkaavat siis yhdessä pisteessä.

Koska pisteOon yhtä etäällä pisteistäA,BjaC, voidaan pisteOkeskipisteenä ja esimerkiksi janaOAsäteenä piirtää ympyrä, jonka kehällä ovat pisteetA,BjaC (kolmionABCympäri piirretty ympyrä). Kolmion ympäri piirrettyjä ympyröitä on vain yksi, koska minkä tahansa sellaisen ympyrän keskipiste on yhtä etäällä kärjistä A,BjaC eli keskipiste on kaikilla keskinormaaleilla, ja on siis keskinormaalien leikkauspiste.

(26)

Kulmanpuolittajat

Kolmion kulmanpuolittajiksi kutsutaan suoria, jotka jakavat kolmion kulmat kahteen yhtä suureen osaan. Tilanteesta riippuen kulmanpuolittajaksi voidaan kutsua myös vastaavaa kärjestä lähtevää puolisuoraa tai sitä osaa tästä puolisuorasta, joka on kolmion sisällä. Jos puhutaan kulmanpuolittajan pituudesta, tarkoitetaan tämän janan pituutta.

Lause.Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat yhdessä pisteessä, ja tämä piste on kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste I .

B A

C

I

Todistus.KolmionABCkulmien∠^A^ja∠^Bkulmanpuolittajien leikkauspiste ol- koonI. Koska pisteI on kulman∠^Apuolittajalla, se on yhtä etäällä kyljistäABja AC(tehtävä 9). KoskaIon kulman∠^Bpuolittajalla, se on yhtä etäällä kyljistäAB jaBC. Näin ollenI on yhtä kaukana sivuistaACjaBC, joten se on myös kulman Cpuolittajalla (tehtävä 10). Kulmanpuolittajat leikkaavat siis yhdessä pisteessäI. KoskaI on yhtä kaukana kolmion kaikista sivuista, sen kautta voidaan piirtää ympyrä, joka sivuaa jokaista sivua. Näitä sisäympyröitä on vain yksi, sillä jokaisen tällaisen ympyrän keskipiste on yhtä etäällä kolmion sivuista eli kaikilla kulman- puolittajilla, ja on siis kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste.

(27)

Mediaanit

Kolmionmediaanitelikeskijanatovat kolmion kärjen ja sen vastakkaisen sivun keskipisteen yhdistäviä janoja.

Lause.Kolmion mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä (painopiste G) ja jakavat toisensa suhteessa2 : 1kolmion kärjistä lukien.

A B

C

A⁰ B⁰

C⁰ G (2)

(1)

Todistus.Piirretään kolmiolle mediaanitA A⁰jaBB⁰. Olkoon niiden leikkauspiste nimeltäänG.

A B

C

A⁰ B⁰

G

KolmiotC ABjaC B⁰A⁰ovat yhdenmuotoisia (sks) mittakaavalla 2 : 1, joten pätee A⁰B⁰=¹₂ABja samankohtaisten kulmien perusteellaAB∥A⁰B⁰. Tästä seuraa, että kolmiotG ABjaG A⁰B⁰ovat yhdenmuotoiset (samankohtaiset kulmatBjaB⁰sekä AjaA⁰). KoskaA⁰B⁰=¹₂AB, myösG A⁰=¹₂AGjaGB⁰=¹₂GB.

MediaanitA A⁰jaBB⁰jakavat siis toisensa suhteessa 2 : 1 kolmion kärjistä luettuna.

Jos sama päättely toistetaan alusta mediaanilleA A⁰ja kolmannelle mediaanille CC⁰, havaitaan että myös ne jakavat toisensa suhteessa 2 : 1. KoskaBB⁰jaCC⁰ja- kavatA A⁰:n samassa suhteessa, tämä jakopiste on sama kummallekin mediaanille.

Kaikki kolme mediaania leikkaavat siis yhdessä pisteessäG.

(28)

Korkeusjanat

Kolmion korkeusjanat kulkevat kolmion kärjestä kohtisuorasti vastakkaiselle sivul- le, tai sen jatkeelle, mikäli kolmio on tylppäkulmainen.

Lause.Kolmion korkeusjanat (tai niiden jatkeet) leikkaavat yhdessä pisteessä, jota kutsutaan nimellä ortokeskus H.

Todistus.Todistetaan ensin teräväkulmainen tapaus. OlkoonABCteräväkulmai- nen kolmio. Piirretään kolmion kärkien kautta niiden vastaisten sivujen suun- taiset suorat, jotka leikkaavat pisteissäA⁰,B⁰jaC⁰seuraavan kuvan mukaisesti.

Osoitetaan, että kolmionABC korkeusjanat sijaitsevat kolmion A⁰B⁰C⁰sivujen keskinormaaleilla, jolloin korkeusjanat leikkaavat yhdessä pisteessä.

A⁰

B⁰

C⁰ A

B C

H

NelikulmioABC B⁰on suunnikas, koska sen vastakkaisten sivujen parit ovat yhdensuuntaisia. SiisAB⁰=BC. Vastaavasti myösBC AC⁰on suunnikas, joten myös C⁰A=BC. PisteAon siis jananC⁰B⁰keskipiste, joten kolmionABCkärjenAkautta kulkeva korkeusjana on osa sivunC⁰B⁰keskinormaalia. Vastaavasti voidaan pää- tellä muillekin korkeusjanoille, eli kolmionABCkorkeusjanat sijaitseva kolmion A⁰B⁰C⁰sivujen keskinormaaleilla. Ne siis leikkaavat yhdessä pisteessä.

(29)

Suorakulmaisen kolmion tapauksessa ortokeskusHon yksi kolmion kärjistä, mutta sama suunnikkaisiin ja keskinormaaleihin perustuva todistus toimii.

A⁰

B⁰

C⁰ A

B C=H

A⁰

B⁰

C⁰

A

B H

C

Myös tylppäkulmaisessa tapauksessa korkeusjanat sijaitsevat kolmion A⁰B⁰C⁰ keskinormaaleilla saman todistuksen nojalla, mutta nyt itse korkeusjanat eivät leikkaa, vaan niiden jatkeet.

Kaikilla kolmioilla korkeusjanat tai niiden jatkeet leikkaavat siis yhdessä pisteessä.

Lisää merkillisiä pisteitä

Kolmioon liittyviä mielenkiintoisia pisteitä on paljon muitakin kuin edellä maini- tut neljä klassista pistettä. Esimerkiksi Clark Kimberlingin sivustolla Encyclopedia of Triangle Centers - ETC [14] luetellaan tyrmäävästi ylikolmekymmentätuhatta erilaista kolmioihin liittyvää kiintoisaa pistettä.

Nyt tyydymme kuitenkin tarkastelemaan edellä mainittua neljää pistettä, ja luvussa 7 tutustutaan vielä yhteen lisää.

(30)

Kolmion sisään ja ympäri piirrettyjen ympyröiden säteet

Kolmion sisään piirretyn ympyrän säder ja ympäri piirretyn ympyrän sädeR voidaan laskea kätevillä kaavoilla

r= A

p ja R=abc 4A ,

missä A on kolmion pinta-ala,a,b jac kolmion sivut sekä p puolet kolmion piiristä, eli 2p=a+b+c.

R r

Todistus.

Sisäympyrän säde:Olkoon kolmionABCsisään piirretyn ympyrän keskipisteI. KolmioidenAB I,BC IjaC AIkannat ovat kolmionABCsivuja ja kunkin korkeus on sisään piirretyn ympyrän säder.

C

A B

I

b c a

r r

r

Kolmion ABC pinta-ala A saadaan pienempien kolmioiden alojen summana.

Pätee siis

A=ar 2 +br

2 +cr

2 =a+b+c

2 ·r=pr, eli r= A p.

Ulkoympyrän säde:Tämä todistus tehdään kehäkulmalauseen avulla sivulla 45.

Voit kuitenkin käyttää tulosta seuraavissa harjoitustehtävissä.

(31)

Tehtävä 26. Osoita, että kolmion mediaanit jakavat kolmion kuuteen alaltaan yhtä suureen kolmioon.

Tehtävä 27. Tasasivuisessa kolmiossa sen ortokeskus, painopiste, sisään piirretyn ympyrän keskipiste ja ympäri piirretyn ympyrän keskipiste ovat kaikki sama piste.

Osoita, että tasasivuiselle kolmiolle päteeR=2r, missäRon ympäri piirretyn jar sisään piirretyn ympyrän säde.

Tehtävä 28. Osoita, että kolmio, jolla on kaksi yhtä pitkää mediaania, on tasakylkinen.

Tehtävä 29. Tasakylkisen kolmion kanta on 6 ja kylki 5. Mikä on kolmion sisään piirretyn ympyrän säde?

(32)

Tehtävä 30. Tasakylkisen kolmion kanta on 6 ja kylki 5. Mikä on kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde?

Tehtävä 31. Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovata jab ja hypo- tenuusan pituusc. Osoita, että kolmion sisään piirretyn ympyrän halkaisija on a+b−c.

(33)

Thales Miletoslainen (n. 624 — n. 548 eaa) on ensimmäinen matemaatikko, jonka kerrotaan tehneen todistuksia. Thaleen elämästä ja matemaattisista saavutuksista on valitettavasti hyvin vähän luotettavaa tietoa. Tärkein häneen yhdistetty tulos on Thaleen lause, joka on meille erittäin hyödyllinen työkalu.

Thales Miletoslainen (n. 624 – n. 548 eaa) Emme tiedä, onko kuva näköinen.

Thaleen lause. Olkoon AB jonkin ympyrän halkaisija, ja olkoon C piste tämän ympyrän kehällä niin, että C6=A ja C6=B. Tällöin∠^{AC B}=90^◦.

A B

C

=⇒ A B

C

KolmioABCon siis suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusa on1 AB. Thaleen lauseen voisi myös muotoilla tiiviisti:”Puoliympyrän kehäkulma on suora”.

(34)

Todistus. Olkoon ympyrälläΓhalkaisijaAB, ja olkoon ympyrän kehällä jokin kolmas pisteC. OlkoonOympyränΓkeskipiste, eli jananABkeskipiste. Merkitään α=∠^OAC ^ja^β=∠C BO. KoskaAOjaCOovat ympyrän säteitä, ja ne ovat siten yhtä pitkiä, on kolmio AOC tasakylkinen, ja sen kantakulmat ovat yhtä suuria, joten∠^ACO=α. Samoin kolmioBCOon tasakylkinen ja∠^{OC B}=β.

A B

C

O α

α β

β

Koska kolmionABCkulmien summa on 180^◦, on α+β+¡

α+β¢

=180^◦, eli

2α+2β=180^◦, joten

α+β=90^◦. Kulma∠^{AC B}on siis suora.

Käänteinen Thaleen lause. Olkoon ABC kolmio, jossa∠^{AC B}=90^◦. Tällöin on olemassa ympyrä Γ, jonka kehällä pisteet A, B ja C ovat, ja ympyränΓkeskipiste O on janan AB keskipiste.

A B

C

=⇒ A B

C

O

Huomaathan, että käänteinen Thaleen lause ei ole sama asia kuin Thaleen lause!1 Sen todistuksessa voi kuitenkin hyödyntää samaa ideaa.

(35)

Todistus. OlkoonABCsuorakulmainen kolmio, jonka suora kulma on kärjessä C. Merkitään kulmaa∠^{B AC} jälleen kirjaimellaα, ja kulmaa∠^{C B A}kirjaimella β. Koska∠^{AC B} =90^◦, ja koska kolmion kulmien summa on 180^◦, on α+β= 180^◦−90^◦=90^◦. Voimme siten pilkkoa sopivasti valitulla puolisuoralla kulman

∠^{AC B}osiin, joiden suuruudet ovatαjaβ. Leikatkoon tämän puolisuora sivunAB pisteessäO.

A B

C

O α

α β

β

Nyt väite seuraa siitä, ettäOA=OC, koska kolmioAOCon tasakylkinen, ja siitä ettäOC=OB, koska kolmioCOBon tasakylkinen. PisteOon siis yhtä kaukana pisteistäA,BjaC, joten nämä pisteet ovat samalla ympyrällä, jonka keskipiste on O.

A B

C

O

(36)

Tehtävä 32. Ympyrän säde on 5cm,ABon eräs sen halkaisija, jaCon eräs piste ympyrän kehällä. Kuinka pitkä on jänneAC, jos tiedetään, ettäBC=6cm?

A B

C

Vihje s. 111→ 1 Toinen vihje s. 144→

Tehtävä 33. YmpyränΓjänteetABjaBCkohtaavat toisensa kohtisuorasti pis- teessäB. JosAB=ajaBC=b, niin kuinka pitkä on ympyränΓsäder?

A

B

C a

b

r

(37)

Tehtävä 34. OlkootACjaBDympyränΓkaksi eri halkaisijaa. PisteP, joka ei ole mikään pisteistä A,B,C jaD, sijaitsee ympyrälläΓniin, että AP=a,BP =bja C P=c. Kuinka pitkä on silloinDP?

P

D A

B C

a

b c

Tehtävä 35. OlkoonABC Dsuorakulmio, jonka sivujen pituudet ovata jab, ja olkoonΓse ympyrä, joka kulkee kärkienA,B,CjaDkautta. JosPon piste ympyrän Γkehällä, niin kuinka suuri on lauseke

AP²+BP²+C P²+DP²? P

D A

B a C

b

Tehtävä 36. Suorakulmaisen kolmion sivujen pituudet ovata,bjac, ja mediaanien pituudetma,m_bjamc. Osoita, että

3 4

¡a²+b²+c²¢

=m²_a+m²_b+m²_c.

(38)

Ympyröitä koskevista tuloksista perustavanlaatuisimpia ovat kehäkulmalause, tangentti- ja käänteisine versioineen, sekä jännenelikulmioita koskevat perustulokset.

Tämä pala ympyröiden teoriaa on esitetty seuraavilla sivuilla. Todistukset on pilkottu pieneksi kokoelmaksi tehtäviä (tehtävät 37–45).

Tässä yhteydessä on käytännöllistä sanoa ”pisteCkatsoo janaaABkulmassaα”, tai ”pisteCnäkee jananABkulmassaα”, millä tarkoitetaan yksinkertaisesti, että janojenC AjaC Bvälinen kulma, jonka aukeamassa on janaAB, on suuruudel- taanα.

A B

C α

Piste C katsoo janaa AB kulmassaα

Voidaan myös sanoa ”pisteCkatsookaarta ABkulmassaα”, jolloin tarkoitetaan sitä janojenC AjaC Bvälistä kulmaa, jonka aukeamassa kyseinen kaariABon.

B A

C α

Piste C katsoo kaarta AB kulmassaα

(39)

Kehäkulmalause

Kehäkulmalauseen voi tiivistää muistisäännöksi ”ympyrän kehäkulma on puolet keskuskulmasta”, mikä toki vaatii hieman täsmentämistä. Tarkemmin sanottuna:

Kehäkulmalause. Olkoon ympyrällä kaari AB ja saman ympyrän kehällä piste C , joka ei ole kaarella AB. Tällöin piste C katsoo kaarta AB kulmassa, joka on puolet siitä kulmasta, jossa ympyrän keskipiste O katsoo kaarta AB.

B A

O 2α

C α

Kulmaa∠^AOB=2αkutsutaan kaarenABkeskuskulmaksi ja kulmaa∠^{AC B}=α kaarenABerääksi kehäkulmaksi.

Kehäkulmalause pätee riippumatta pisteenCsijainnista (tehtävät 37–39):

B A

O 2α

C α

B A

O 2α

C α

B A

O

2α C

α

Kehäkulmalauseen perustapaukset

(40)

Kehäkulmalauseeseen sisältyy seuraava tulos: Kaikki kaarenABulkopuoliset ym- pyrän kehän pisteet katsovat kaartaABsamassa kulmassa.

B A

α

α α α

α

Perusteluna on se, että kaikki nämä kehäkulmat ovat suuruudeltaan puolet samas- ta keskuskulmasta.

Kehäkulmalauseen tangenttiversio. Kun kehäkulman kärkeä liikutetaan vaik- kapa kohti kaarenABtoista päätepistettäB, saadaan rajatapauksena tilanne, jossa kulman toinen kylki on ympyrän tangentti, kulman kärki on pisteessäB, ja toinen kylki onB A. Miellyttävästi käy niin, että tämänkin kulman suuruus on yhäα.

B A

O 2α

α

Kehäkulmalauseen tangettiversio

Toisin ilmaistuna: OlkoonABympyrän kaari. Kaaren toiseen päätepisteeseen piirretty ympyrän tangentti ja janaABmuodostavat kulman, johon kaariABsisältyy.

Tämä kulma on suuruudeltaan puolet kaartaABvastaavasta keskuskulmasta.

Kehäkulmalauseen tangenttiversion todistus on tehtävänä 40.

(41)

Käänteinen kehäkulmalause. Kehäkulmalause pätee myös kääntäen: Mikäli pisteetC₁jaC₂katsovat janaaABsamassa kulmassa ja ovat samalla puolella suo- raaAB, pisteetA,B,C1jaC2ovat kaikki samalla ympyrällä. Todistus on tehtävänä 42.

B A

C1

C₂ α

α

=⇒

B A

C₁

C₂ α

α

Yhtä pitkät kaaret. Kehäkulmalausetta voi laajentaa myös näin: Yhtä pitkiä kaaria katsovat kehäkulmat ovat yhtä suuria (tehtävä 44).

A⁰ B⁰

A B

C⁰

C ⇐⇒

A⁰ B⁰

A B

C⁰ C

α α

Kääntäen pätee, että ympyrän kehän yhtä suuret kulmat katsovat yhtä pitkiä kaaria, ja siis myös yhtä pitkiä jänteitä (tehtävä 45).

(42)

Jännenelikulmiot

Jännenelikulmiot ovat nelikulmioita, joiden kaikki kärjet ovat ovat samalla ympy- rällä, eli niiden kaikki sivut ovat saman ympyrän jänteitä.

B A

C

D

Jännenelikulmio ABC D

Jännenelikulmion kulmat. Jännenelikulmion vastakkaisten kulmien summa 180^◦(tehtävä 41).

A

B

C D

δ

β

⇐⇒

A

B

C D

δ

β β+δ=180^◦

Sama tulos pätee myös kääntäen: mikäli nelikulmion kahden vastakkaisen kulman summa on 180^◦, kyseessä on jännenelikulmio (tehtävä 43).

(43)

Esimerkkejä

Todistetaan sinilause esimerkkinä kehäkulmalauseen käytöstä:

Sinilause. Olkoot kolmion sivut a, b ja c ja niiden vastaiset kulmatα,βjaγ tässä järjestyksessä. Tällöin

a

sinα= b

sinβ= c

sinγ=2R, missä R on kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde.

α

β

R γ

a

b c

Todistus. Riittää todistaa, että pätee a

sinα=2Rmille tahansa sivullea ja sen vastaiselle kulmalleα.

Olkoon kolmionABCkärjessäAkulmaαja olkoona=BC. Olkoon kolmionABC ympäri piirretyn ympyrän keskipisteO.

Tapaus 1: Kulmaαon terävä.

Leikatkoon suoraCOkolmionABCympäri piirretyn ympyrän uudestaan pisteessä A⁰, jolloinC A⁰on ympyrän halkaisija. Thaleen lauseen mukaan kulma∠^{C B A}⁰^on suora, ja kehäkulmalauseen mukaan∠^{B A}⁰^C=α. KolmiostaC A⁰Bsaadaan

sinα= a

2R, eli a

sinα=2R.

C B

A

O R

R

A⁰ α

α a

(44)

Tapaus 2: Kulmaαon suora.

Suoran kulman tapauksessa sinα=sin90^◦=1, kuten tehtävän 25 vihjeessä sivulla 108 on perusteltu. Käänteisen Thaleen lauseen perusteellaC Bon ympäri piirretyn ympyrän halkaisija, eli pituudeltaan 2R. Pätee siis

a

sinα= 2R

sin90^◦=2R 1 =2R.

C

A

O R

R

B α

Tapaus 3: Kulmaαon tylppä.

Tylppäkulmaisessa tapauksessa valitaan kolmionABCympäri piirretyltä ympyräl- tä pisteA⁰, joka on eri puolella suoraaBCkuin pisteA. KoskaAB A⁰Con jännene- likulmio, pätee∠^{C A}⁰^B=180^◦−α, kuten tehtävässä 41 todistetaan.

C

B A

A⁰

α

180^◦−α a

Kulmaαon tylppä, joten kulma 180^◦−αon puolestaan terävä, ja kolmiolleA⁰C B pätee siis todistuksen ensimmäisen tapauksen perusteella

a

sin(180^◦−α)=2R.

Tehtävän 25 vihjeessä sivulla 108 on perusteltu, että sin(180^◦−α)=sinα, joten

saadaan a

sinα=2R.

Näin sinilause on todistettu. Sen avulla voidaan perustella kolmion ympäri piirretyn ympyrän säteen kaava, joka esiteltiin sivulla 30.

(45)

Lause. Kolmion ympäri piirretyn ympyrän säteen pituus on R=abc

4A ,

missä a, b ja c ovat kolmion sivujen pituudet ja A kolmion pinta-ala.

b R a

c A

γ

Todistus.OlkoonABCkolmio, jonka sivut ovat pituudeltaana,bjac, ja sivunc vastainen kulma onγ. Kolmion pinta-ala onA=¹₂absinγ, kuten tehtävässä 25 todistetaan. Toisaalta sinilauseesta saadaan

c

sinγ=2R, eli sinγ= c 2R. Kun nämä yhdistetään, saadaan

A=1

2absinγ=1 2ab· c

2R =abc 4R . YhtälöstäA=abc

4R saadaan lopulta ratkaistua säteeksi R=abc

4A .

(46)

Tämän tehtäväsarjan aluksi todistetaan edellä esitetyt teoriatulokset. Harjoitus- tehtäväsarjan jälkimmäinen puolikas puolestaan keskittyy näiden tulosten sovel- tamiseen. Tehtäviä voi hyvin lähestyä kummassa järjestyksessä tahansa.

Teorian todistukset

Tehtävä 37. Kehäkulmalause, ensimmäinen tapaus.OlkootA,BjaCkolme eri pistettä ympyränΓkehällä, ja olkoonO ympyränΓkeskipiste. Olettakaamme, että pisteOon janallaBC, eli kulman∠^{AC B} kyljellä. Osoita tässä tapauksessa kehäkulmalause, eli että

∠^{AC B}=1

2∠^AOB.

A

B

C

O =⇒

A

B

C

O α

2α

Tehtävä 38. Kehäkulmalause, toinen tapaus.OlkootA,BjaCkolme eri pistettä ympyränΓkehällä, ja olkoonOympyränΓkeskipiste. Olettakaamme tällä kertaa, että pisteetAjaBovat eri puolilla suoraaOC, eliOon kulman∠^{AC B}aukeamassa.

Todista, että tässäkin tapauksessa kehäkulmalause pätee, eli

∠^{AC B}=1

2∠^AOB.

A

B

C O

1

=⇒ A

B

C

O α

2α

1 1

(47)

Tehtävä 39. Kehäkulmalause, kolmas tapaus.OlkootA,BjaCkolme eri pistettä ympyränΓkehällä, ja olkoonOympyränΓkeskipiste. Olettakaamme tällä kertaa, että pisteet AjaB ovat samalla puolella suoraaOC, ja että Aon lyhyemmällä ympyränkaarella BC, eli lähempänä pistettäC kuin B on. Nyt pisteO on siis kulman∠^{AC B}ulkopuolella. Todista jälleen, että

∠^{AC B}=1

2∠^AOB.

A B

C

O

1

=⇒

A B

C

O

α

2α

1 1

Tehtävä 40. Kehäkulmalause, neljäs tapaus (tangentti).OlkootAjaBkaksi eri pistettä jonkin ympyränΓkehällä, olkoonOympyränΓkeskipiste, ja olkoonE piste niin, ettäE6=A, että suoraAEsivuaa ympyrääΓpisteessäA, ja ettäE jaO ovat eri puolilla suoraaAB. Todista, että

∠^{E AB}=1

2∠^AOB.

A

B O

E

1

=⇒ ^A

B O

E

α 2α

1 1

(48)

Tehtävä 41. Jännenelikulmion kulmat.OlkootA,B,CjaDneljä eri pistettä jonkin ympyränΓkehällä, tässä järjestyksessä. Osoita, että tällöin jännenelikulmion ABC Dvastakkaisten kärkien kulmien summa on 180^◦, eli esimerkiksi

∠^{C B A}+∠^ADC=180^◦.

A

B

C D

δ

β

=⇒ β+δ= 180^◦

Tehtävä 42. Käänteinen kehäkulmalause.OlkootA,B,CjaDneljä eri pistettä tasossa niin, että pisteetCjaDovat samalla puolella suoraaAB, ja että∠^{AC B}=

∠^ADB. Tällöin on olemassa ympyrä, joka kulkee kaikkien neljän pisteenA,B,C jaDkautta.

A

B

C D

α

1

=⇒

A

B

C D

1 1

(49)

Tehtävä 43. Käänteinen tulos jännenelikulmion kulmista.Olkoot A,B,C ja D neljä eri pistettä tasossa niin, että pisteetB jaD ovat eri puolilla suoraa AC. Oletetaan vielä, että nelikulmionABC Dkahden vastakkaisen kulman summa on 180^◦, esimerkiksi∠^{C B A}+∠^ADC=180^◦. Osoita, että tällöin on olemassa ympyrä, joka kulkee kaikkien neljän pisteenA,B,CjaDkautta.

A

B

C D

δ

β β+δ=180^◦

1

=⇒

A

B

C D

1 1

Tehtävä 44. Yhtä pitkiä kaaria katsovat kehäkulmat ovat yhtä suuret.Olkoon Γympyrä, jonka kehällä on pisteC, joka ei ole kaarellaAB. Olkoon vastaavastiC⁰ ympyränΓkehäpiste, joka ei ole kaarellaA⁰B⁰. Oletetaan, että kaaretABjaA⁰B⁰ ovat yhtä pitkät. Osoita, että tällöin∠^{AC B}=∠^A⁰^C⁰^B⁰^.

A⁰ B⁰

A B

C⁰

C =⇒

A⁰ B⁰

A B

C⁰ C

α α

(50)

Tehtävä 45. Yhtä suuret kehäkulmat katsovat yhtä pitkiä kaaria ja jänteitä.Ol- kootA,BjaC kolme eri pistettä ympyränΓkehällä, ja olkoot A⁰,B⁰jaC⁰myös kolme eri pistettä ympyränΓkehällä. Olettakaamme lisäksi, että∠^{AC B}=∠^A⁰^C⁰^B⁰^. Osoita, että tällöin itse asiassaAB=A⁰B⁰.

A⁰ B⁰

A B

C⁰ C

α

α =⇒

A⁰ B⁰

A B

C⁰ C

Kehäkulmalauseen sovelluksia

Tehtävä 46. OlkoonABC DEFG H I JK Lsäännöllinen 12-kulmio. Kuinka suuri on kulma∠^{HD A?}

B A C D

E

F G H

I J K L

(51)

Tehtävä 47. Ovatko kaikki a) neliöt

b) suunnikkaat c) puolisuunnikkaat

d) tasakylkiset puolisuunnikkaat

jännenelikulmioita? (Puolisuunnikas on tasakylkinen, jos sen kantakulmat ovat yhtä suuret.)

Tehtävä 48. Säännöllisen monikulmion yhdestä kärjestä lähtevät lävistäjät jakavat tämän kärjen kulman yhtä suuriin osiin, esimerkiksi säännöllisen viisikulmion kulman 36^◦kulmiin.

36^◦ 36^◦36^◦

Osoita, että tämä ominaisuus on millä tahansan-kulmiolla, kunn>^4.

...

(52)

Tehtävä 49. PisteetA,B,CjaDovat erään ympyrän kehällä tässä järjestyksessä niin, ettäAB∥C Dja∠^{C B A}=2·∠^{B AC}. Todista, että kolmioAC Don tasakylkinen.

A

B

C

D α

2α

Tehtävä 50. OlkoonABC Djännenelikulmio, ja sen ympäri piirretyn ympyrän kehällä olkoot pisteetXjaY niin, että∠^{X B A}=∠^{C B X} ^ja∠^ADY =∠Y DC. Osoita, ettäX Y on ympäri piirretyn ympyrän halkaisija.

A

B

C

D X Y

(53)

Tehtävä 51. PisteetA,B,CjaDsijaitsevat ympyrän kehällä tässä järjestyksessä.

JännettäADjatketaan pisteeseenEsaakka niin, että pisteDon pisteidenAjaE välissä. Kulman∠^{C B A}puolittaja leikkaa ympyrän kehän uudelleen pisteessäF, jonka oletetaan olevan samalla puolella suoraaADkuin pisteC. Osoita, että suora F Dpuolittaa kulman∠^{C DE}^.

A D E

B

C F

Tehtävä 52. Tasasivuisen kolmion ABC ympäripiirretyn ympyrän kehältä on valittu pistePniin, ettäPon eri puolella suoraaBCkuin pisteAon. Todista, että

AP=BP+C P. A

B C

P

(54)

Tehtävä 53. YmpyränΓkaksi eri jännettäACjaBDleikkaavat toisensa suorassa kulmassa pisteessäX. PisteenX kautta kulkeva suoranADnormaali leikkaa suoranBCpisteessäY. Todista, ettäY on jananBCkeskipiste.

A

B

C D

X

Y

Tehtävä 54. YmpyrätΓjaΓ⁰leikkaavat toisensa kahdessa eri pisteessäP jaQ.

PisteXsijaitsee ympyränΓkehällä ja ympyränΓ⁰ulkopuolella. SuoraX P leikkaa ympyränΓ⁰ uudelleen pisteessäY, ja suora XQ leikkaa ympyränΓ⁰ uudelleen pisteessäZ. Osoita, että jananY Z pituus ei riipu pisteenXvalinnasta.

P

Q X

Y

Z Γ

Γ⁰