Syyskuun 2012 vaativammat kirjevalmennustehtävät
Ratkaisuita voi lähettää lokakuun loppuun mennessä osoitteeseen Esa Vesalainen
Huddingenpolku 2A15 01600 Vantaa
tai sähköpostitse osoitteeseen esavesalainen@gmail.com
minne voi myös lähettää kysymyksiä tehtävistä.
1. Osoita, että kaikille reaaliluvuillea,b jacpätee 1
3(a+b+c)26a2+b2+c2+ 2 (a−b+ 1). 2. Etsi kaikki positiiviset kokonaisluvutxjay, joille
6x2y2−4y2= 2012−3x2.
3. OlkootA1,A2, . . . ,Anjoukkoja. Määrittelemme jokaiselle joukon{1,2, . . . , n}
osajoukolleX joukon N(X) =
i∈ {1,2, . . . , n} \X
Ai∩Aj6=∅jokaisellaj∈X . Osoita, että jokaisella kokonaisluvulla m ∈ {3,4, . . . , n−2} löytyy sellainen joukon{1,2, . . . , n}osajoukkoX, jolle#X =mja#N(X)6= 1.
4. Olkoon 4ABC teräväkärkinen kolmio, ja olkoon H sen sivultaBC löyty- vä pisteestäApiirretyn korkeusjanan kantapiste. Olkoon pisteDsivullaAB, ja olkoon pisteEsivullaAC. Olkoot lisäksiFjaGpisteidenDjaEprojektiot suo- ralle BC. Oletetaan, että suoratDG,EF jaAH leikkaavat samassa pisteessä.
Olkoon vieläP pisteenE projektio suoralleDH. Todista, ettäAP E[ =\CP E.
5. Etsi kaikki funktiotf: Q−→Qjoille f
x+f y+f(z)
=y+f(x+z)
kaikilla x, y, z∈Q.
6. Tarkastellaan polynomia muotoaf(x) = (x+d1)(x+d2)· · ·(x+d9), missä d1,d2, . . . ,d9ovat pareittain erisuuria kokonaislukuja. Osoita, että on olemassa positiivinen kokonaislukuN siten, että jokaisella kokonaisluvullax>N luvulla f(x)on alkulukutekijä joka on isompi kuin22.
7. Olkoon polynominP(x)kertoimet positiivisia reaalilukuja. Todista, että P(1)P(xy)>P(x)P(y)
kaikilla reaaliluvuillax>1 jay>1.
8. OlkoonOkolmion4ABCympäri piirretyn ympyrän keskipiste, ja sijaitkoot piste D sivulla BC niin, ettäAD puolittaa kulman BAC. Olkoon\ ` se suora, joka kulkee pisteenO kautta ja on yhdensuuntainen suoranADkanssa. Osoita, että ` kulkee kolmion 4ABC ortokeskuksen kautta jos ja vain josAB = AC tai \BAC= 120◦.
9. Etsi suurin mahdollinen määrä kuninkaita, jotka voi asettaa12×12-shakki- laudalle siten, että jokainen kuningas uhkaa täsmälleen yhtä muuta kuningasta.
10. Olkoon 4ABC kolmio, jolle AB 6=AC ja \CBA 6= 90◦. Olkoon I sen si- sään piirretyn ympyrän keskipiste, olkootD,EjaF pisteenIprojektiot suorille BC,CAjaAB, vastaavasti. OlkoonS suorienAB jaDI leikkauspiste, olkoon T suoranDEja suoranDF pisteenF kautta piirretyn normaalin leikkauspiste, ja olkoonRsuorienST jaEF leikkauspiste. Merkitään tällöin kolmion4ABC sisään piirretyn ympyrän ja sen ympyrän, jonka eräs halkaisija onIR, sitä leik- kauspistettä, joka on eri puolella suoraaIRkuin pisteA on, symbolillaPABC.
Olkoon4XY Z tasakylkinen kolmio, jolle XZ =Y Z > XY, ja olkoon W sellainen sivun Y Z piste, jolleW Y < XY. Osoita, että pisteilleK=PY XW ja L=PZXW pätee2KL6XY.
