Mat-1.1230 peruskurssi S3 Syksy 2010

Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitosRasila/Quach

Mat-1.1230 peruskurssi S3 Syksy 2010

2. v¨alikoe Ti 16.11.2010 klo 16.00-19.00

Kokeessa ei saa k¨aytt¨a¨a laskinta eik¨a taulukkokirjaa.

1. Ratkaise Z-muunnosta k¨aytt¨aen differenssiyht¨al¨o

yⁿ+2−1

4yⁿ= 1 2

ⁿ

, y0=y1= 0.

2. (a) Olkoon f(t) parillinen funktio jac >0. Osoita, ett¨a Z ^c

−c

f(t)dt= 2 Z ^c

0

f(t)dt.

(b) M¨a¨arit¨a funktion f(t) = |t|, kun t ∈[−T /2, T /2] ja f(t+T) = f(t) Fourier-sarja.

3. (a) Anna m¨a¨aritelm¨a funktion f(t) Fourier-muunnokselle ja Fourier- muunnoksen ˆf(ω) k¨a¨anteismuunnokselle.

(b) Laske suoraan m¨a¨aritelm¨a¨a k¨aytt¨aen funktion

f(t) =

e^kt, t <0 (k >0), 0, t≥0,

Fourier-muunnos.

4. Laske matriisin

A=





16 8 4

8 6 0

4 0 7





Cholesky-hajotelmaU^TU.

Vihje: Viereisell¨a sivulla olevat kaavat voivat virkist¨a¨a muistia.

Kaavoja:

Hyperboliset ja trigonometriset funktiot:

coshz= e^z+e^−z

2 , sinhz= e^z−e^−z

2 ,

tanhz= sinhz

coshz, cothz=coshz sinhz, cosθ=e^iθ+e^−iθ

2 , sinθ=e^iθ−e^−iθ 2i , sin(x±y) = sin(x) cos(y)±cos(x) sin(y),

cos(x±y) = cos(x) cos(y)∓sin(x) sin(y) Z-muunnokseen liittyvi¨a kaavoja

JosA(z) =Z(aⁿ), niin

Z(naⁿ) =−zA^′(z), Z(cⁿaⁿ) =A(z/c),

Z(an+1) =z(A(z)−a0), Z(an+2) =z²(A(z)−a0−a1/z).

Z-muunnoksia:

(an) A(z) =Z(an)

(1) z/(z−1)

(n) z/(z−1)²

(n²) z(z+ 1)/(z−1)³ (αⁿ) z/(z−α) (nαⁿ) αz/(z−α)² (cos(nπ/2)) z²/(z²+ 1) (sin(nπ/2)) z/(z²+ 1)

(sin(nα)) zsinα/(z²−2zcosα+ 1) (cos(nα)) z(z−cosα)/(z²−2zcosα+ 1)

Gram-Schmidt:

{a1, a2, . . . , aⁿ}

v1= a1 (1)

q1= v1

||v1|| (2)

vk+1= ak+1− hak+1, q1iq1−. . .− hak+1, q^kiq^k (3) qk+1= vk+1

||v^k+1|| (4)

→ {q1, q2, . . . , qⁿ}

U^.' -tv" = (*)^ _{7" -- 7.} ^{= Q}

- l

L

+

7 / r r r ^ \ - z L \ t z ) ) ' ; - r

^ t l ; \ a I \ . r / \

z l Y [ z ) - z z J " - z ] 1 - a Yte) =

\-Jt L-!J

=o =o taU^r&f\

L

| \ , \ ,

[ z ' - t \ \ [ u ) = ; - - T

\ | I

) - z--L

- z

^---l

{-rrp* t .l

ft u-4," t|e-+odl\

9 / a \

I \- -J

z ( a - l ) ' ( a "

4 =- L^r-"

z - r . l

= / ;

* o !

(*- l) (." L\G - L)

( = - l ) ' [ * - t - )

o so.w.,.-Lrf oha.r'ole,,l vn o.

J

, \

A A

(*-i)[.'-t)

L

"-ilt-

C

z - + l .

" L

t \

, )

J ^ c

:J-")

z

- lt - ) -

(e ^ I\a

\ - Z l

llr4-{ri^-3" A, B fe.,s\dh,\je,,n

a,uc.!lLo- .

0 J

ht,,-{dffi., 1

1 \

@ " ) ) ' /

( -

= - l n

B = W

" . ' i

= l h

v - t

( ( a - i ) '

\

1

z + J -

((" r t\

(a - j)l(a +J)

= - t

t

l r - ,

G-D'(a*;;

L = b ; ,

z n _ i

T

I

+ Y ( z ) -

z

?(z) =

^{. Z Z}

/ z - - - L \ z 3 + l

L " - Z ) - z

-r (. - ll' ^{t * + ! . L I}

z -L

- z

e

3 - I

L

Kd"'L;r*\^.rry\^c\qcr-^,.! y (q,us-Le- .{af,^d+f-ej"h

L ' ( + ) = ( i ) ^

V - i ( z r . . , - t / lz \ , , /t

/- tr.-lr) = Z'(t.') = z^(i)"

z n (f t ) = z ' ( r _ 4 , ) = ti)^

-) V^ = - [+)^ + t^ (ln * (- l)^

I I I t t u | / ,

Lq tvertd-ovv\ V,,a,Cta,"1C"Shn*r&na!

fn{eyirclis{a

? C * ) * ^ - t , [ t

(z- l)'(+ *N)

5u,br,lf,--a,\,\

L [ " , = 1 u Zrr_i j $

= - r - &

2-nd i

{ f l

/ti-c ',l

/

ThPh ?. .

- \ z le\ at

Pr"tLdr+ao,^ 1nk1n'<"-ti ne-sGh./e,^s"-[or

:) ?^ = # 2ni ( ki ${-; r Y:t +E))

t . i L - - - Z

Lo'sL"*e^

P"+ S{=1 =

o = i

bl l(-)

z - -a

resfA,Tt:

/ t . f

= Aw"'" I

t ' 1 ' a

, L

GAW)

= l;^- I. ,^, I

un-\ L f*-if J

u , lA - l - { - - -

;;llrt \. gsb"L\ ,.A)1

, / 1

L*<DI

)

r l \ 4

l - ' : I

I z )

? ^ =

I t u B ' + l

l c 6 o l

[+ o 7)

r - - lu , o o \

/ t = ( * , . t A . * o )

\,4,0 Ltr.t Qtt I

ni.r (\€:

L\z-t L , = 6

€ t t i

\ =

OTU

Ltt" Urr 4zr t{zr \

O ,^rt l )

Ltrr' Ltrr + O.qr. + O.O = t{,rrCt,z- = B

<+ 4,,r,. =. $, € tLrr=L

L ( r r . t l , g + O ' u t 1 3 + O' Q33 = Lt,rLtlj : {

I

e 4 4 , j = 4 € L , t ' r = l

e' ):, ";

= L 4 = +

,JJ'"-

4 t r t d t , t c t z z U . 1j = O

, ( <

<+ I .t + (t ,r"u = O {+' ctzr :--- trj

= 6

(4:-z- = .'if

posf{, r'*tu..

C-\o\eE+- t^dX'bf€"l^^ : ^{n - A -}

I

I tn,,

\ o \ o

]^as\-rt-aor^ x^a-fr-icsif.to'- a*-0"ioco..

E nsi,'-.'.' ils.l$. ni.l{ [t& scv*A-q.,,n c l ' r r ' L , t , r + 0 ' O + O ' O = t { , 1 : ( 6

so{frao'^ Posif' ga-t(r-of,iu' €

1";r"-rut-

q,i *

V./cr-^1a.4^^

fltVo^ '

c.t,, = 4

.--

Kot*a^n ez\tu. r'ivi\t& : .\ot + u.* + .lrl =.7

a 11 t (-dl)' + q)l -- v

f utt =- L

rol^taa", pori.i. ru.tt-,

$6."" hio{e,\*aLsi scr*Ae-a"^'- l q D o \ / q L I \

A = | L rz o )l o ffi <r \ '

\ t - G L l \ o o 2 - I

11/26/10 pisteytys.txt 1

file:///work/vquach/opetus/s3_2010/harjoitukset/vk2/pisteytys.txt T1) Zmuunnos differenssiyhtälöstä 1p

ratkaistu Y(z) 1p loput 4p.

Jos ratkaisu osamurroilla (tapa 1 malliratkaisussa):

idea osamurtohajotelmasta Y(z)/z :lle 1p

oikean muotoinen hajotelma (eli mm. 2kertainen napa huomattu oikein) 1p.

Kertoimet ratkaistu oikein 1p.

Käänteismuunnos oikein 1p.

Jos ratkaistu suoraan käänteismuunnoksen integraalista (tapa 2):

oikea integraalikauseke 1p

osasi soveltaa residylausetta n. 1p

residyt oikein (ja tätä myötä myös käänteismuunnos) 2p.

T4) lähtökohta oikein (eli tietää mikä Choleskyhajotelma on) 2p oikeista laskuista loput 4p.