Matematiikan johdantokurssi 7/2004
1. v¨alikoe maanantaina 8.11. klo 8.00–10.00 salissa M1. Kokeeseen luvut 1–3 ja laskuharjoitukset 1–7. Kokeessa saa olla mukana kirjoitusv¨alineet ja laskin.
Todista teht¨aviss¨a 1–8 v¨aite oikeaksi tai v¨a¨ar¨aksi.
1. Lause (P ⇐⇒ ¬Q) =⇒(P ∨Q) on tautologia.
2. Seuraava p¨a¨attely on johdonmukainen:
Jos pid¨an matematiikasta, niin opiskelen sit¨a ahkerasti. En p¨arj¨a¨a matematiikan tentiss¨a, jos en opiskele ahkerasti. P¨arj¨a¨an tentiss¨a. Siis pid¨an matematiikasta.
3. JoukoilleA ja B p¨atee A\B =A\(A∩B).
4. Olkoot x ja y reaalilukuja. Jos x+y = 10, niin x6= 3 ja y6= 8.
5. Kaikilla luonnollisilla luvuilla n p¨atee 12+ 22+· · ·+n2 = n(n+ 1)(n+ 2)
6 .
6. Olkoonnkokonaisluku. Josn2+ 2n−1 on pariton luku, niinnon parillinen luku.
7. Joskon pariton kokonaisluku janluonnollinen luku, niin lukunk−non jaollinen luvulla k.
8. n-alkioisen joukon {a1, a2, . . . , an} alkiot voidaan asettaa n! = 1·2·. . .·n eri j¨arjestykseen.
