Lause 1.1. Olkoon A= (aij)n×n. a) Determinantille p¨atee
(1) detA =
Xn j=1
(−1)i+jaijdetA(i|j), i= 1, . . . , n.
b) Jos matriisiBsaadaan matriisistaAtyyppi¨a (I) olevalla vaakarivimuunnoksella, niin detB=−detA.
c) Jos matriisissa A on kaksi samanlaista vaakarivi¨a, niin detA = 0.
d) Jos matriisiCsaadaan matriisistaAkertomalla matriisiAjokin rivi skalaarillae∈K (tyyppi¨a (II) oleva vaakarivimuunnos), niin detC =edetA.
e) Jos matriisi D saadaan matriisista A tyyppi¨a (III) olevalla vaakarivimuunnoksella, niin detD= detA.
Todistus. a) K¨aytet¨a¨an induktiota. Jos n = 1, niin v¨aite seuraa determinantin m¨a¨ari- telm¨ast¨a. Jos n= 2, tapaus i= 1 seuraa m¨a¨aritelm¨ast¨a. Tapausessa i= 2 saadaan
X2
j=1
(−1)2+ja2jdetA(2|j) =−a21a12 +a22a11 = detA.
Kun n ≥ 3, tehd¨a¨an induktio-oletus: Yht¨al¨o (1) p¨atee m× m-matriiseille aina, kun m≤n−1.
Olkoon A = (aij)n×n. M¨a¨aritelm¨an mukaan detA = Pn
j=1(−1)1+ja1jdetA(1|j).
Induktio-oletuksen nojalla jokaisella i= 2, . . . , n saadaan detA(1|j) =
j−1
X
t=1
(−1)(i−1)+taitdetA(1, i|t, j) + Xn
t=j+1
(−1)(i−1)+(t−1)aitdetA(1, i|j, t).
T¨aten
detA= Xn j=1
(−1)1+ja1j³Xj−1
t=1
(−1)(i−1)+taitdetA(1, i|t, j)
+ Xn t=j+1
(−1)(i−1)+(t−1)aitdetA(1, i|j, t)´
= Xn j=1
j−1
X
t=1
(−1)i+j+ta1jaitdetA(1, i|t, j)
+ Xn
j=1
Xn
t=j+1
(−1)i+j+t−1a1jaitdetA(1, i|t, j)
= Xn
j,t=1
j6=t
ejta1jaitdetA(1, i|t, j),
miss¨a
ejt =
½ (−1)i+j+t, kun t < j, (−1)i+j+t+1, kun t > j.
Vaihtamalla summausj¨arjestyst¨a saadaan detA=
Xn
t=1
³Xn
j=1
j6=t
ejta1jaitdetA(1, i|t, j)´
= Xn
t=1
(−1)i+tait³Xt−1
j=1
(−1)1+ja1jdetA(1, i|j, t)
+ Xn j=t+1
(−1)1+(j−1)a1jdetA(1, i|j, t)´ .
Determinantin m¨a¨aritelm¨an mukaan t¨ass¨a sulkeissa oleva lauseke on detA(i|t), joten detA=
Xn t=1
(−1)i+taitdetA(i|t) = Xn
j=1
(−1)i+jaijdetA(i|j).
N¨ain ollen yht¨al¨o (1) p¨atee n×n-matriisilleA, ja v¨aite a) seuraa induktioperiaatteesta.
b) Oletetaan, ett¨a B saadaan matriisista A vaihtamalla rivit r ja s, miss¨a r < s. Jos s=r+ 1, kehitet¨a¨an detB vaakarivin r suhteen:
detB = Xn j=1
(−1)r+jbrjdetB(r|j).
T¨ass¨a brj =asj, B(r|j) =A(s|j) ja (−1)r+j = (−1)s+j−1 =−(−1)s+j. T¨aten detB=−
Xn
j=1
(−1)s+jasjdetA(s|j) =−detA.
Jos s > r+ 1, niin rivienr ja s vaihto (r s) saadaan aikaiseksi seuraavilla per¨akk¨aisten rivien vaihdoilla: (r r+ 1), (r+ 1r+ 2), . . ., (s−2 s−1), (s−1 s), (s−1s−2), . . ., (r+ 2r+ 1), (r+ 1 r). N¨aiden lukum¨a¨ar¨a on 2(s−r)−1, joten edell¨aolevan nojalla
detB = (−1)2(s−r)−1detA =−detA.
c) Olkoot matriisin A rivit r ja s samat. Vaihtamalla n¨am¨a rivit kesken¨a¨an saadaan detA=−detA, joten detA= 0.
d) Olkoon C matriisi, joka saadaan matriisista A kertomalla t¨am¨an rivi r skalaarilla e, Siis jokaisella j on crj =earj ja cij =aij, kun i6=r. T¨all¨oin a)-kohdan nojalla
detC = Xn j=1
(−1)r+jcrjdetC(r|j) = Xn j=1
(−1)r+jearjdetA(r|j) =edetA.
e) Olkoon r6=s sek¨a drj =arj+easj jadij =aij jokaisellai6=r ja jokaisellaj. T¨all¨oin detD =
Xn
j=1
(−1)r+jdrjdetD(r|j) = Xn
j=1
(−1)r+j(arj+easj) detA(r|j)
= Xn j=1
(−1)r+jarjdetA(r|j) +e Xn j=1
(−1)r+jasjdetA(r|j)
| {z }
=
c)
0
= detA. mot
Lause 1.2. detAT = detA.
Todistus. Tapaus n = 1 on selv¨a. Tehd¨a¨an induktio-oletus: Lause p¨atee m × m- matriiseille, jos m ≤ n−1. Olkoon A = (aij)n×n, jolloin B = AT = (bij)n×n, miss¨a bij =aji.
Lauseen 1.1 a)-kohdan nojalla jokaisella i= 1, . . . , np¨atee detAT =
Xn
j=1
(−1)i+jbijdetB(i|j) = Xn
j=1
(−1)i+jajidetA(j|i)T.
T¨am¨a on induktio-oletuksen mukaan Pn
j=1(−1)i+jajidetA(j|i). Laskemalla n¨am¨a yh- teen saadaan
ndetAT = Xn
i=1
Xn j=1
(−1)i+jajidetA(j|i) = Xn j=1
³Xn
i=1
(−1)i+jajidetA(j|i)´ .
Sisempi summa on jokaisella j = 1, . . . , n determinantin detA kehitelm¨a vaakarivin j suhteen. Lauseen 1.1 a)-kohdan nojalla
ndetAT = Xn j=1
detA=ndetA,
mist¨a saadaan detAT = detA. N¨ain ollen v¨aite p¨atee my¨os kokoan×n oleville matrii- seille ja lauseen v¨aite seuraa induktioperiaattesta. mot
