Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta

Jordanin sis¨alt¨o ja Lebesguen ulkomitta

Jennika Ojalehto

Matematiikan pro gradu

Jyv¨askyl¨an yliopisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kev¨at 2016

Tiivistelm¨a:Jennika Ojalehto,Jordanin sis¨alt¨o ja Lebesguen ulkomitta (engl.Jordan content and Lebesgue outer measure), matematiikan pro gradu -tutkielma, 35. s., Jyv¨askyl¨an yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, syksy 2015.

T¨am¨an tutkielman tarkoituksena on tutustua Jordanin sis¨alt¨o¨on ja Lebesguen ul- komittaan reaaliakselin v¨alill¨a ja tason joukossa, joita k¨aytet¨a¨an muun muassa tutkit- taessa funktion Riemann-integroituvuutta. Tutkielmassa tutustutaan Jordanin sis¨a- ja ulkosis¨all¨on sek¨a Lebesguen ulkomitan t¨arkeimpiin ominaisuuksiin sek¨a niiden v¨a- liseen yhteyteen. Lis¨aksi k¨asitell¨a¨an Jordanin ja Lebesguen ehdot funktion Riemann- integroituvuudelle.

Tutkielman aluksi kerrataan analyysin perusteista reaaliakselin v¨alin Riemannin integraali sek¨a mitta- ja integraaliteorian k¨asite nollamittaisuus, jotka ovat tutkiel- man kannalta t¨arkeit¨a asioita. Lis¨aksi tutustutaan funktion oskillaatioon eli funktion arvojen heilahteluun reaaliakselin v¨alill¨a. T¨am¨a on keskeisess¨a asemassa tutkittaes- sa Riemann-integroituvuutta Jordanin ulkosis¨all¨on avulla. Jordanin kriteeriss¨a tutki- taan joukkoa, jossa funktion oskillaatio kasvaa suuremmaksi tai on yht¨a suuri kuin annettu luku. Funktio on Riemann-integroituva jos ja vain jos t¨am¨a joukko on nol- lamittainen. Lis¨aksi tutustutaan Lebesguen ulkomittaan ja sen ominaisuuksiin sek¨a Lebesguen ehtoon Riemann-integroituvuudelle. Lebesguen ehdon mukaan funktio on Riemann-integroituva jos ja vain jos ep¨ajatkuvuuspisteiden joukon Lebesguen ulko- mitta on nolla. Esimerkit ja kuvat havainnollistavat mit¨a hy¨oty¨a Jordanin sis¨a- ja ulkosis¨all¨ost¨a sek¨a Lebesguen ulkomitasta on k¨ayt¨ann¨oss¨a.

Tutkielman lopuksi tutustutaan vastaaviin asioihin kuin ensimm¨aisess¨a luvussa, mutta reaaliakselin v¨alin sijasta tutkitaan asioita tason joukossa.

Avainsanoja: Riemannin integraali, Riemann-integroituvuus, funktion oskillaa- tio, Jordanin sis¨a- ja ulkosis¨alt¨o, Lebesguen ulkomitta.

Sis¨ alt¨ o

Johdanto 1

Luku 1. Riemannin integraali v¨alill¨a 3

1.1. Riemannin integraali ja joukon nollamittaisuus 3

1.2. Funktion oskillaatio 11

1.3. Jordanin sis¨alt¨o rajoitetulla v¨alill¨a 14

1.4. Lebesguen ulkomitta v¨alill¨a 18

1.4.1. Riemannin integraalin ominaisuuksia 23

Luku 2. Riemannin integraali tasossa 27

2.1. Rajoitetun funktion Riemannin integraali tasossa 27

2.2. Funktion oskillaatio 31

2.3. Jordanin sis¨alt¨o tason rajoitetussa joukossa 32

2.4. Lebesguen ulkomitta tasossa 34

Luku 3. Merkint¨oj¨a 37

Kirjallisuutta 39

iii

Johdanto

T¨am¨an tutkielman tarkoituksena on perehty¨a joukon Jordanin sis¨a- ja ulkosis¨al- t¨o¨on sek¨a Lebesguen ulkomittaan reaaliakselin v¨alill¨a sek¨a tason joukossa. Tutkiel- massa k¨asitell¨a¨an my¨os Jordanin sek¨a Lebesguen ehdot Riemann-integroituvuudelle, jonka takia aluksi k¨ayd¨a¨an l¨api Riemannin integraaliin liittyvi¨a t¨arkeimpi¨a m¨a¨ari- telmi¨a ja lauseita. Tutkielmaa on yritetty havainnollistaa kuvin ja esimerkein, jotka auttavat ymm¨art¨am¨a¨an mit¨a hy¨oty¨a Jordanin sis¨a- ja ulkosis¨all¨ost¨a sek¨a Lebesguen ulkomitasta on k¨ayt¨ann¨oss¨a.

Lukijan oletetaan osaavan analyysin perusteet, mutta sek¨a ensimm¨aisen ett¨a toi- sen luvun alussa k¨asitell¨a¨an tutkielman kannalta t¨arkeimm¨at m¨a¨aritelm¨at ja lauseet Riemannin integraalista. Lis¨aksi tutkielmassa tarvitaan mittateorian perusteista jou- kon nollamittaisuutta, joka sekin k¨asitell¨a¨an ensimm¨aisen luvun alussa. Riemann- integroituvuuden selvitt¨amisess¨a Jordanin ehdolla funktion oskillaatio eli heilahtelu on t¨arke¨ass¨a asemassa, joten tutkielmassa k¨asitell¨a¨an oskillaatioon liittyv¨at t¨arkeim- m¨at m¨a¨aritelm¨at ja lauseet. Ensimm¨aisen luvun viimeiset kappaleet k¨asittelev¨at re- aaliakselin tapauksessa Jordanin sis¨alt¨o¨a ja Lebesguen ulkomittaa, sek¨a tutkielman t¨arkeimpi¨a lauseita Jordanin ja Lebesguen kriteereist¨a Riemann-integroituvuudelle.

Toisessa luvussa k¨asitell¨a¨an vastaavat asiat kuin ensimm¨aisess¨a luvussa siirtyen reaaliakselin v¨alist¨a tason joukkoon. Toisen luvun lauseiden todistukset menev¨at vas- taavalla tavalla kuin yksiulotteisessa tilanteessa, joten vain osa toisen luvun lauseiden todistuksista on kirjoitettu tutkielmaan.

Tutkielma pohjautuu p¨a¨aosin Apostolin kirjaan Mathematical analysis, A mo- dern approach to advanced calculus ensimm¨aiseen laitokseen sek¨a Apostolin kirjaan Mathematical analysis toiseen laitokseen.

1

LUKU 1

Riemannin integraali v¨ alill¨ a

1.1. Riemannin integraali ja joukon nollamittaisuus

Bernhard Riemann loi 1800-luvun puoliv¨aliss¨a ensimm¨aisen kunnon m¨a¨aritelm¨an integraalille kehitt¨aen Cauchyn aikaisemmin muotoilemaa m¨a¨aritelm¨a¨a jatkuvien funk- tioiden integroituvuudesta. Integraalin Riemann kehitti Fourier-sarjojen tutkimuksen yhteydess¨a mahdollistamaan ep¨ajatkuvien funktioiden integroinnin. Riemannin inte- graali on tunnetuin integraali, joka my¨os opetetaan lukiossa.

Rajoitetun funktion Riemannin integraalissa v¨alill¨a [a, b] on ideana, ett¨a v¨ali [a, b]

jaetaan pienempiin osav¨aleihin ja lasketaan funktion yl¨a- ja alaraja n¨aill¨a osav¨aleill¨a.

Yhden osav¨alin pituuden ja kyseisen v¨alin funktion yl¨arajan tulosta saadaan arvioi- tua funktion ja x-akselin rajaaman alueen pinta-alaa kyseisell¨a osav¨alill¨a ylh¨a¨alt¨a p¨ain. N¨ain kun jokaisella osav¨alill¨a arvioidaan pinta-alaa ylh¨a¨alt¨a p¨ain ja summataan saadut alat yhteen, saadaan arvion funktion jax-akselin pinta-alalle v¨alill¨a [a, b] funk- tion yl¨apuolelta. Osav¨alien pituuksien ja kyseisell¨a osav¨alill¨a funktion alarajan tulo- jen summasta vastaavasti saadaan arvioitua funktion ja x-akselin rajaaman alueen pinta-alaa v¨alill¨a [a, b] funktion alapuolelta.

T¨ass¨a kappaleessa k¨ayd¨a¨an l¨api Riemannin integraalin m¨a¨aritelm¨a ja muita t¨ar- keimpi¨a tuloksia integraalista sek¨a joukon nollamittaisuuden m¨a¨aritelm¨a, jotka aut- tavat my¨ohemmin Jordanin sis¨all¨on ja Lebesguen ulkomitan k¨asittelyss¨a.

M¨a¨aritelm¨a 1.1. V¨alin [a, b]jako on joukkoP :={x0, x1, x2, . . . , xn} siten, ett¨a a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b. Jako P muodostaa siis v¨alille [a, b] osav¨alit I₁, . . . I_n siten, ett¨a I₁ = [x₀, x₁], . . . , I_n = [x_n−1, x_n]. Merkit¨a¨an kaikkia v¨alin [a, b]

jakoja P[a, b].

M¨a¨aritell¨a¨an funktion f Darboux’n yl¨a- ja alasummat annetun jaon P suhteen, jotka approksimoivat funktion jax-akselin v¨alill¨a [a, b] rajaaman alueen alaa funktion yl¨a- ja alapuolelta.

M¨a¨aritelm¨a 1.2. Olkoon f: [a, b] → R rajoitettu funktio ja olkoon v¨alin [a, b]

jako P = {x₀, x₁, x₂, . . . , x_n}, joka muodostaa osav¨alit I₁, . . . I_n, jolle I_i = [xi−1, x_i].

M¨a¨aritell¨a¨an funktion f pienin yl¨araja Mi(f) ja suurin alaraja mi(f) v¨alill¨a Ii

M_i(f) := sup{f(x)|x∈I_i} ja m_i(f) := inf{f(x)|x∈I_i}.

M¨a¨aritell¨a¨an lis¨aksi v¨alin I_i pituus |I_i| := x_i −xi−1. T¨all¨oin funktion f Darboux’n yl¨asumma jaon P suhteen on

U(f;P) :=

n

X

i=1

M_i(f)|I_i|

3

ja vastaavasti funktion f Darboux’n alasumma jaon P suhteen on L(f;P) :=

n

X

i=1

m_i(f)|I_i|.

Huomautus 1.3. Jatkossa lyhyyden vuoksi funktion pienimm¨ast¨a yl¨arajasta pu- huttaessa k¨aytet¨a¨an vain sanontaa funktion yl¨araja ja vastaavasti funktion suurim- masta alarajasta puhuttaessa k¨aytet¨a¨an sanontaa funktion alaraja.

Kuva 1.1. Darboux’n yl¨a- ja alasummat. Punaisen alueen ala tarkoit- taa Darboux’n yl¨asummaa ja vihre¨an alueen ala tarkoittaa Darboux’n alasummaa.

Huomautus 1.4. Darboux’n yl¨a- ja alasummille p¨atee v¨alill¨a [a, b]

m(b−a)≤L(f;P)≤U(f;P)≤M(b−a),

miss¨a m on v¨alin [a, b] funktion f alaraja jaM on v¨alin [a, b] funktion f yl¨araja.

M¨a¨aritell¨a¨an seuraavaksi jaon hienonnus, joka tarkoittaa alkuper¨aist¨a jakoa ti- he¨amp¨a¨a jakoa ja johon kuuluu alkuper¨aisen jaon jakopisteet.

M¨a¨aritelm¨a 1.5. Olkoon P ={x₀, x₁, . . . , x_n} v¨alin [a, b] jako. Jako P⁰ on jaon P hienonnus, jos P ⊂P⁰.

Kun jakoa P hienonnetaan, p¨a¨ast¨a¨an rajoitetun funktion f sek¨a Darboux’n yl¨a- ett¨a alasummassa tarkempiin arvioihin funktion ja x-akselin v¨alill¨a [a, b] rajaamasta alueen alasta. Jaon hienontuessa yl¨asumma pienenee ja alasumma kasvaa.

Lause 1.6. Olkoon f: [a, b] → R rajoitettu funktio ja olkoon P v¨alin [a, b] jako.

Jos jako Q on jaon P hienonnus, niin L(f;P)≤L(f;Q) ja U(f;Q)≤U(f;P).

Todistus. Olkoon v¨alin [a, b] jaot P = {a = x0, . . . , xn = b} ja Q = {a = x₀, . . . , x_i−1, x⁰, x_i, . . . , x_n = b} ja olkoon M_k(f) funktion f yl¨araja v¨alill¨a [x_k−1, x_k].

Olkoon lis¨aksi M_i⁰(f) v¨alin [x_i−1, x⁰] ja M_i+1⁰ (f) v¨alin [x⁰, x_i] funktion f yl¨arajat ky- seisill¨a v¨aleill¨a. T¨all¨oin

U(f;P) =

n

X

k=1

M_k(f)(x_k−x_k−1) =

n

X

k=1k6=i

M_k(f)(x_k−x_k−1) +M_i(f)(x_i−x_i−1)

≥

n

X

k=1k6=i

M_k(f)(x_k−x_k−1) +M_i⁰(x⁰−x_i−1) +M_i+1⁰ (x_i−x⁰) =U(f;Q), koskaM_i⁰(f)≤M_i(f) ja M_i+1⁰ (f)≤M_i(f).

Olkoon nyt m_i(f) v¨alin [xi−1, x_i], m⁰_i(f) v¨alin [xi−1, x⁰] ja m⁰_i+1(f) v¨alin [x⁰, x_i] funktion f alarajat. Koskam⁰_i(f)≥m_i(f) jam⁰_i+1(f)≥m_i(f) on

L(f;P) =

n

X

k=1

m_k(f)(x_k−xk−1) =

n

X

k=1k6=i

m_k(f)(x_k−xk−1) +m_i(f)(x_i−xi−1)

≤

n

X

k=1k6=i

m_k(f)(x_k−xk−1) +m⁰_i(x⁰ −xi−1) +m⁰_i+1(x_i−x⁰) =L(f;Q), ja n¨ain lause on todistettu jaoilleP jaQ, miss¨a jakoQon yhden jakopisteen hienompi kuin jakoP. Heinontamalla jakoaQlis¨a¨am¨all¨a jakoonP jakopisteit¨an−1 kappaletta, saadaan induktiolla todistettua yeinen tapaus, miss¨a jakopisteit¨a on on n kappaletta

enemm¨an kuin jaossa P.

Rajoitetun funktionf Darboux’n alasumma ei koskaan ole suurempi kuin yl¨asum- ma, valittiinpa v¨alille [a, b] mitk¨a tahansa jaot.

Lause 1.7. Olkoonf: [a, b]→R rajoitettu funktio sek¨a olkoon P ja Q v¨alin [a, b]

jakoja. T¨all¨oin

L(f;P)≤U(f;Q).

Todistus. Olkoon jakoRhienompi kuin jaotP jaQ. T¨all¨oin lauseen 1.6 mukaan L(f;P) ≤ L(f;R) ja U(f;R) ≤ U(f;Q). T¨am¨a tarkoittaa siis huomautuksen 1.4 mukaan, ett¨a

L(f;P)≤L(f;R)≤U(f;R)≤U(f;Q).

Edellisest¨a lauseesta seuraa, ett¨a suurin Darboux’n alasumma on aina pienempi tai yht¨a suuri kuin pienin Darboux’n yl¨asumma riippumatta m¨a¨arittelyv¨alin [a, b]

jaoista.

Seuraus 1.8. Olkoon f: [a, b]→R rajoitettu funktio. T¨all¨oin sup{L(f;P)|P ∈ P[a, b]} ≤inf{U(f;Q)|Q∈ P[a, b]}, miss¨a P[a, b] on v¨alin [a, b] kaikki mahdolliset jaot.

Todistus. Olkoon v¨alin [a, b] jaot P ja Q ja olkoonK =P ∪Q. T¨all¨oin lauseen 1.6 ja huomautuksen 1.4 mukaan L(f;P) ≤ L(f;K) ≤ U(f;K) ≤ U(f;Q). Koska t¨am¨a p¨atee mill¨a tahansa jaoilla P ja Q, on supL(f;P)≤infU(f;Q).

Nyt voidaan m¨a¨aritell¨a rajoitetun funktionf Darboux’n yl¨a- ja alasummien avulla funktion f Riemannin yl¨a- ja alaintegraalin v¨alill¨a [a, b].

M¨a¨aritelm¨a 1.9. Olkoon f: [a, b] → R rajoitettu funktio. Funktion f yl¨ainte- graali v¨alill¨a [a, b] m¨a¨aritell¨a¨an

Z b a

f(x)dx:= inf{U(f;P)|P ∈ P[a, b]},

miss¨aP[a, b] on v¨alin [a, b] kaikki mahdolliset jaot. Vastaavastifunktionf alaintegraali v¨alill¨a [a, b] m¨a¨aritell¨a¨an

Z b a

f(x)dx:= sup{L(f;P)|P ∈ P[a, b]}.

Seuraus 1.8 saadaan toiseen muotoon, kun merkit¨a¨an inf{U(f;P) | P ∈ P[a, b]}

ja sup{L(f;P)|P ∈ P[a, b]} kuten m¨a¨aritelm¨ass¨a 1.9.

Seuraus 1.10. Olkoon f: [a, b]→R rajoitettu funktio. T¨all¨oin Z b

a

f(x)dx≤ Z b

a

f(x)dx

Jos yl¨a- ja alaintegraalit ovat yht¨a suuria, sanotaan, ett¨a funktio f on Riemann- integroituva.

M¨a¨aritelm¨a 1.11. Funktio f onRiemann-integroituva v¨alill¨a [a, b] jos Z b

a

f(x)dx= Z b

a

f(x)dx.

T¨all¨oin funktion f Riemannin integraali v¨alill¨a [a, b] m¨a¨aritell¨a¨an Z b

a

f :=

Z b a

f(x)dx:=

Z b a

f(x)dx= Z b

a

f(x)dx.

Esimerkki 1.12. Funktio f(x) =

(0, jos 0< x≤1 1, x= 0

on Riemann-integroituva ja

Z 1 0

f(x) = 0.

Todistus. OlkoonP ={0 =x₀, x₁, x₂, . . . , xn−1, x_n = 1}v¨alin [0,1] jako. T¨all¨oin kaikillei={2, . . . , n}v¨alill¨a [xi−1, x_i] funktionf yl¨a- ja alaraja on

M_i(f) = 0 ja m_i(f) = 0,

koskaf(x) = 0 kaikille x >0. Jaon P ensimm¨aisell¨a v¨alill¨a [0, x₁], miss¨a 0< x₁ ≤1, on M₁(f) = 1 ja m₁(f) = 0, koska f(0) = 1 ja f(x) = 0, kun 0 < x ≤ x₁. T¨ast¨a seuraa, ett¨a

U(f;P) =x₁ ja L(f;P) = 0.

T¨all¨oin m¨a¨aritelmien 1.2 ja 1.9 mukaan Z b

a

f(x)dx≤U(f;P) ja

Z b a

f(x)dx≥L(f;P).

N¨ain ollen kaikille x₁ >0 on seurauksen 1.10 mukaan x1 ≥

Z b a

f(x)dx≥ Z b

a

f(x)dx≥0.

Koska v¨ali [0, x1] voidaan valita mielivaltaisen pieneksi, saadaan Z b

a

f(x)dx= Z b

a

f(x)dx= 0,

joten funktio on m¨a¨aritelm¨an 1.11 mukaan Riemann-integroituva ja R1

0 f(x) = 0.

Riemann-integroituvuutta voidaan tarkastella seuraavan lauseen mukaan, jossa tarkastellaan yl¨a- ja alasummien erotusta. Jos t¨am¨a erotus saadaan mielivaltaisen pieneksi, niin funktio on integroituva.

Lause 1.13 (Riemannin ehto). Olkoon f: [a, b] → R rajoitettu funktio. T¨all¨oin funktio f on Riemann-integroituva v¨alill¨a [a, b] jos ja vain jos jokaiselle > 0 on olemassa v¨alin [a, b] jako P siten, ett¨a

U(f;P)−L(f;P)< .

Todistus. Merkit¨a¨anU(f) = inf{U(f;P)|P ∈ P[a, b]}jaL(f) = sup{L(f;P)| P ∈ P[a, b]}, miss¨a P[a, b] on v¨alin [a, b] kaikki mahdolliset jaot.

Oletetaan, ett¨a funktio f on rajoitettu v¨alill¨a [a, b] ja U(f;P)−L(f;P) < ja n¨aytet¨a¨an, ett¨a funktio on Riemann-integroituva. Olkoon > 0 ja valitaan jako P siten, ett¨a se t¨aytt¨a¨a ehdonU(f;P)−L(f;P)< .T¨all¨oin, koska U(f)≤U(f;P) ja L(f;P)≤L(f) on

0≤U(f)−L(f)≤U(f;P)−L(f;P)< .

Koska t¨am¨a p¨atee kaikille >0, on oltava U(f)−L(f) = 0. T¨am¨a tarkoittaa m¨a¨ari- telm¨an 1.9 merkinn¨oin

Z b a

f(x)dx=L(f) =U(f) = Z b

a

f(x)dx, joten funktio f on Riemann-integroituva.

Oletetaan nyt, ett¨a funktio f on Riemann-integroituva ja rajoitettu v¨alill¨a [a, b].

Olkoon >0. T¨all¨oin on olemassa v¨alille [a, b] jaot Q ja R siten, ett¨a U(f;Q)< U(f) +

2 ja L(f;R)> L(f)− 2. Olkoon jakoP jakojenQ ja R hienonnus. T¨all¨oin lauseen 1.6 mukaan

U(f;P)−L(f;P)≤U(f;Q)−L(f;R)< U(f)−L(f) +.

Koska funktiof on Riemann-integroituva, on m¨a¨aritelmien 1.9 ja 1.11 mukaanU(f) = L(f), joten U(f;P)−L(f;P)< ja lause on todistettu.

Seuraavassa lauseessa on koottuna Riemannin integraalin ominaisuuksia.

Lause 1.14. (1) Jatkuva funktio f: [a, b]→R on Riemann-integroituva.

(2) Monotoninen funktiof: [a, b]→R on Riemann-integroituva.

(3) Jos funktiof on Riemann-integroituva, niin funktiot|f|jaf² ovat Riemann- integroituvia.

(4) Jos funktiotf jag ovat Riemann-integroituvia, niin funktiof g on Riemann- integroituva.

(5) Jos funktio g on Riemann-integroituva ja inf{g(x) | x ∈ [a, b]} > 0, niin my¨os funktio ¹_g on Riemann-integroituva.

Todistus. (1) Olkoon > 0. Koska funktio f on jatkuva ja v¨ali [a, b] on kompakti, on funktio f tasaisesti jatkuva. T¨all¨oin on olemassa δ > 0 siten, ett¨a |f(x)−f(y)| < _b−a kaikilla x, y ∈ [a, b], joille |x−y| < δ. Valitaan v¨alille [a, b] jako P ={x₀, x₁, x₂, . . . , x_n}, joka muodostaa v¨alit I₁, I₂, . . . , I_n, joille v¨alin Ik pituus on |Ik| < δ kaikilla k = 1,2, . . . , n. Koska funktio f on jatkuva, on olemassa pisteet xk, yk ∈ Ik siten, ett¨a f(xk) = Mk(f) ja f(y_k) = m_k(f), miss¨a M_k(f) ja m_k(f) on funktion f yl¨a- ja alaraja v¨alill¨a I_k. Koska |x_k−y_k|< δ, niin

M_k(f)−m_k(f) =f(x_k)−f(y_k)<

b−a. Siten

U(f;P)−L(f;P) =

n

X

k=1

M_k(f)|I_k| −

n

X

k=1

m_k(f)|I_k|

=

n

X

k=1

M_k(f)−m_k(f)

|I_k|

<

b−a

n

X

k=1

|I_k|< ,

joten Riemannin ehdon nojalla funktio f on integroituva.

(2) Funktio on monotoninen, jos sen arvot joko kasvavat tai v¨ahenev¨at m¨a¨arit- telyjoukossaan. Todistetaan vain tapaus, jossa funktio f on kasvava v¨alill¨a [a, b]. V¨ahenev¨an funktion Riemann-integroituvuuden todistus menee vastaa- valla tavalla.

Olkoon P = {x₀, x₁, x₂, . . . , x_n} v¨alin [a, b] jako, joka muodostaa v¨alit I₁, I₂, . . . , I_n siten, ett¨a |I_k| ≤ δ kaikilla k = 1,2, . . . , n. Koska funktio on kasvava jokaisella v¨alill¨a I_k = [xk−1, x_k], on f(xk−1) ≤ f(x_k). N¨ain ollen funktion alaraja v¨alill¨a [xk−1, x_k] on m_k(f) = f(xk−1) ja vastaavasti yl¨araja v¨alill¨a [xk−1, x_k] on M_k(f) = f(x_k). T¨all¨oin

U(f;P)−L(f;P) =

n

X

k=1

M_k(f)−m_k(f)

(x_k−x_k−1)

≤

n

X

k=1

f(x_k)−f(x_k−1) δ =δ

n

X

k=1

f(x_k)−f(x_k−1)

=δ

f(x₁)−f(x₀) +f(x₂)−f(x₁) +· · ·+f(x_n)−f(xn−1)

=δ

f(x_n)−f(x₀)

=δ

f(b)−f(a) .

Valitaan >0 ja valitaan n∈N siten, ett¨a δ > _{f(b)−f (a)}. T¨all¨oin saadaan U(f;P)−L(f;P) =δ

f(b)−f(a)

<

f(b)−f(a)

f(b)−f(a)

=.

N¨ain ollen lauseen 1.13 nojalla kasvava funktio on Riemann-integroituva.

(3) Todistetaan ensin, ett¨a |f| on Riemann-integroituva: Olkoon > 0 annet- tu. Koska f on Riemann-integroituva, on olemassa v¨alin [a, b] jako P = {x₀, x₁, . . . , x_n}siten, ett¨aU(f;P)−L(f;P)< . JakoP muodostaa osav¨alit I₁, . . . I_n, joille I_i = [xi−1, x_i] ja v¨alin I_i pituus on |I_i| = x_i −xi−1. Kaikilla i∈ {1,2, . . . , n}ja kaikillax, y ∈Ii on||f(x)| − |f(y)|| ≤ |f(x)−f(y)|.N¨ain ollen joukon{||f(x)| − |f(y)|| |x, y ∈Ii} yl¨araja on enint¨a¨anMi(f)−mi(f).

Nyt

U(|f|;P)−L(|f|;P) =

n

X

i=1

M_i(|f|)−m_i(|f|)

|I_i|

≤

n

X

i=1

M_i(f)−m_i(f)

|I_i|

=U(f;P)−L(f;P)< , joten |f| on Riemann-integroituva v¨alill¨a [a, b].

Todistetaan seuraavaksi, ett¨af² on Riemann-integroituva: Koska funktio f on rajoitettu v¨alill¨a [a, b], on olemassaB >0 siten, ett¨a|f(x) +f(y)| ≤B kaikilla x, y ∈ [a, b]. Olkoon > 0 annettu. Koska funktio f on Riemann- integroituva, on olemassa v¨alin [a, b] jako P = {x0, x1, . . . , xn} siten, ett¨a U(f;P)−L(f;P)< _B. Jako P muodostaa siis osav¨alit I1, . . . In, joille Ii = [xi−1, xi] ja v¨alin pituus on|Ii|=xi−xi−1. Kaikillei∈ {1,2, . . . , n}jax, y ∈ I_i on |(f(x))²−(f(y))²| =|f(x) +f(y)||f(x)−f(y)| ≤ B M_i(f)−m_i(f)

. N¨ain ollen joukon {|(f(x))²−(f(y))²| |x, y ∈[xi−1, x_i]} yl¨araja on enint¨a¨an B M_i(f)−m_i(f)

ja M_i(f²)−m_i(f²)≤B M_i(f)−m_i(f) . Nyt U(f²;P)−L(f²;P) =

n

X

i=1

Mi(f²)−mi(f²)

|Ii|

≤

n

X

i=1

B

M_i(f)−m_i(f)

|I_i|

=B

U(f;P)−L(f;P)

< B B =. N¨ain ollen funktiof² on Riemann-integroituva v¨alill¨a [a, b].

(4) Koska funktiot f ja g ovat rajoitettuja v¨alill¨a [a, b], on olemassa B > 0 siten, ett¨a f(x), g(y)< B kaikillax, y ∈[a, b]. Olkoon >0 annettu. Koska funktiotf ja g ovat Riemann-integroituvia, niin on olemassa v¨alin [a, b] jako P ={x₀, x₁, . . . , x_n}siten, ett¨aU(f;P)−L(f;P)< _2B jaU(g;P)−L(g;P)<

2B. Jako P muodostaa siis osav¨alit I₁, . . . I_n, joille I_i = [xi−1, x_i] ja v¨alin pituus on |I_i| = x_i −x_i−1. Olkoon lis¨aksi M_i(f), M_i(g), m_i(f) ja m_i(g)

funktioidenf ja g yl¨a- ja alarajat v¨alill¨aI_i. T¨all¨oin koska M_i(g), m_i(f)≤B ja |f(x)g(x)−f(y)g(y)| = |f(x)g(x)−f(x)g(y) +f(x)g(y)−f(y)g(y)| ≤

|f(x)||g(x)−g(y)|+|f(x)f(y)||g(y)| ≤B|M_i(g)−m_i(g)|+|M_i(f)−m_i(f)|B, saadaan

U(f g;P)−L(f g;P) =

n

X

i=1

M_i(f g)−m_i(f g)

|I_i|

≤

n

X

i=1

B M_i(f)−m_i(f)

|I_i|+

n

X

i=1

B M_i(g)−m_i(g)

|I_i|

=B

U(f;P)−L(f;P) +

U(g;P)−L(g;P)

!

< B

2B +

2B

=.

N¨ain ollen funktiof g on Riemann-integroituva v¨alill¨a [a, b].

(5) Oletetaan, ett¨am := inf{g(x)|x∈[a, b]}>0. T¨all¨oin siis g(x)≥m kaikille x∈[a, b]. Olkoon v¨alin [a, b] jakoP ={x₀, . . . , x_n}, joka muodostaa osav¨alit I₁, I₂, . . . , I_n, miss¨aI_i = [xi−1, x_i] ja v¨alinI_ipituus on|I_i|=x_i−xi−1. Kaikille x, y ∈I_i on g(x)≥m_i(g) = inf{g(x)| x∈I_i} ja g(y)≤M_i(g) = sup{g(x)| x∈I_i}. Kaikilla i∈ {1, . . . , n} ja kaikillex, y ∈I_i on

1

g(x) − 1

g(y) = g(y)−g(x)

g(x)g(y) ≤ Mi(g)−mi(g)

m² ≤ Mi(g)−mi(g)

m² .

T¨all¨oin

M_i1 g

−m_i1 g

≤ Mi(g)−mi(g)

m² ,

joten

U1 g;P

−L1 g;P

=

n

X

i=1

M_i1

g

−m_i1 g

|I_i|

≤

n

X

i=1

M_i(g)−m_i(g) m²

|I_i|

= U(g;P)−L(g;P) m² < , joten ¹_g on Riemann-integroituva v¨alill¨a [a, b].

K¨asitell¨a¨an nollamittaisuuden m¨a¨aritelm¨a ja muutama nollamittaisuuteen liittyv¨a lause, joita tarvitaan my¨ohemmin Lebesguen ehdossa Riemann-integroituvuudelle.

Lebesguen ehdon mukaan funktio on Riemann-integroituva jos ja vain jos funktion ep¨ajatkuvuuspisteiden joukko on nollamittainen.

M¨a¨aritelm¨a 1.15. Joukko A ⊂ R on nollamittainen, jos jokaiselle > 0 on olemassa kompaktit v¨alit (I_k)_k∈N,I_k ⊂R siten, ett¨a

A⊂ [

k∈N

I_k ja X

k∈N

|I_k|< ,

miss¨a |I_k| on v¨alin I_k pituus.

Seuraavan lauseen kaksi kohtaa seuraavat nollamittaisuuden m¨a¨aritelm¨ast¨a.

Lause 1.16. (1) Nollamittaisen joukon osajoukko on nollamittainen.

(2) Nollamittaisten joukkojen numeroituva yhdiste on nollamittainen.

Todistus. (1) Olkoon joukko A nollamittainen. Nollamittaisuuden m¨a¨ari- telm¨an mukaan on siis olemassa kompaktit v¨alit (Ik)k∈N, Ik ⊂ R siten, ett¨a A ⊂ S

k∈NIk ja P

k∈N|Ik| < . Olkoon lis¨aksi B ⊂ A. T¨all¨oin B ⊂ A ⊂ S

k∈NI_k.Koska B ⊂S

k∈NI_k ja P

k∈N|I_k|< on joukko B my¨os nollamittai- nen.

(2) Olkoon joukot A_i ⊂R, i ∈Z+ nollamittaisia ja olkoon > 0. Koska joukko A_i on nollamittainen, on olemassa kompaktit v¨alit I_i,k ⊂ R, k ∈ Z+ siten, ett¨a

A_i ⊂

∞

[

k=1

I_i,k ja

∞

X

k=1

|I_i,k|<

2ⁱ. T¨all¨oin

∞

[

i=1

A_i ⊂

∞

[

i=1

[^∞

k=1

I_i,k

ja ∞

X

i=1

X^∞

k=1

|I_i,k|

<

∞

X

i=1

2ⁱ =

∞

X

i=1

1 2

i

=.

Lauseesta 1.16 saadaan seuraus:

Seuraus 1.17. Numeroituva joukko on nollamittainen.

Todistus. Olkoon >0 ja olkoon joukkoA ={a₁, a₂, a₃, . . .}numeroituva jouk- ko. M¨a¨aritell¨a¨anI_i =

a_i− ₂i+1 , a_i+₂i+1

. T¨all¨oin A⊂S∞

i=1I_i ja |I_i|= ₂i. Nyt

∞

X

i=1

|I_i|=

∞

X

i=1

2ⁱ =

∞

X

i=1

1 2

i

=.

N¨ain ollen joukko A on nollamittainen.

1.2. Funktion oskillaatio

Funktion oskillaatio kuvaa funktion arvojen heilahtelua. Otetaan esimerkkin¨a funk- tio f: [0,1]→R, joka saa v¨alin [0,1] rationaalipisteiss¨a arvon 1 ja irrationaalipisteis- s¨a arvon 0. T¨am¨an funktion arvot heilahtelevat jokaisessa v¨alin [0,1] pisteen pieness¨a ymp¨arist¨oss¨a arvojen 0 ja 1 v¨alill¨a, joten kyseisen funktion oskillaatio on 1 jokaisella v¨alin [0,1] pienell¨akin osav¨alill¨a.

Funktion oskillaatiota tarvitaan my¨ohemmin tutkittaessa Riemann-integroituvuut- ta Jordanin ulkosis¨all¨on avulla.

M¨a¨aritelm¨a 1.18. Olkoon f m¨a¨aritelty ja rajoitettu suljetulla v¨alill¨a [a, b]. Ol- koon lis¨aksi T ⊂[a, b] ep¨atyhj¨a joukko. Funktion oskillaatioksi joukossa T asetetaan

ω_f(T) := sup{f(y)−f(z)|y, z ∈T}.

Lause 1.19. Olkoon f m¨a¨aritelty ja rajoitettu suljetulla v¨alill¨a [a, b] ja olkoon T ⊂[a, b] ep¨atyhj¨a joukko. T¨all¨oin

ωf(T) = supf(T)−inff(T),

miss¨a supf(T) on funktion f yl¨araja joukossa T ja vastaavasti inff(T) on funktion f alaraja joukossa T

Todistus. Merkit¨a¨an funktion oskillaatiota joukossaT kuten m¨a¨aritelm¨ass¨a 1.18 ja todistetaan, ett¨a sup{f(y)−f(z)|y, z ∈T}= supf(T)−inff(T).

Todistetaan aluksi, ett¨a sup{f(y)−f(z)} ≤ supf(T)− inff(T). Funktiolle f p¨atee, ett¨a f(y) ≤ supf(T) ja f(z) ≥ inff(T) kaikille y, z ∈ T. T¨all¨oin −f(z) ≤

−inff(T) kaikille z ∈T. Jos ep¨ayht¨al¨on molemmat puolet summataan, saadaan f(y)−f(z)≤supf(T)−inff(T) kaikilley, z ∈T.

Koska edellinen yht¨al¨o p¨atee kaikilley, z ∈T, saadaan sup{f(y)−f(z)} ≤supf(T)−

inff(T).

Todistetaan viel¨a, ett¨a sup{f(y)−f(z)|y, z ∈T} ≥supf(T)−inff(T). N¨ayte- t¨a¨an siis, ett¨a kaikille >0 onx, y ∈T, joillef(x)−f(y)>supf(T)−inf(T)−.Kun

1

2 >0, niin on olemassax, y ∈T siten, ett¨af(x)>supf(T)−¹₂jaf(y)>inff(T)+

1

2. T¨all¨oinf(x)−f(y)>supf(T)−¹₂−(inff(T)+¹₂) = supf(T)−inff(T)−. Kun joukkoa T pienennet¨a¨an, saadaan tarkempi arvio pisteen x l¨aheisyydess¨a tapahtuvasta funktion arvojen heilahtelusta. Seuraava lause todistaa, ett¨a funktion oskillaatio on pienempi joukossa T⁰ kuin joukossa T, kun T⁰ ⊂T.

Lause1.20. Olkoon f m¨a¨aritelty ja rajoitettu v¨alill¨a[a, b]. Jos∅ 6=T⁰ ⊂T ⊂[a, b], niin

ω_f(T⁰)≤ω_f(T).

Todistus. JosT⁰ ⊂T, niin supT⁰ ≤supT ja infT⁰ ≥infT eli−infT⁰ ≤ −infT. Summaamalla n¨aiden ep¨ayht¨al¨oiden molemmat puolet, saadaan supT⁰ − infT⁰ ≤ supT −infT. N¨ain ollen lauseen 1.19 mukaan ω_f(T⁰)≤ω_f(T).

Seuraus 1.21. Olkoon f m¨a¨aritelty ja rajoitettu v¨alill¨a [a, b], x ∈ [a, b] ja olkoon I(x, δ) := [x−δ, x+δ]∩[a, b]. Jos 0< δ⁰ < δ, niin

ωf I(x, δ⁰)

≤ωf I(x, δ) .

Edellinen seuraus auttaa seuraavan m¨a¨aritelm¨an ymm¨art¨amisess¨a, jossa m¨a¨ari- tell¨a¨an funktion f oskillaatio pisteess¨a x. Funktion f oskillaatio pisteess¨a x saadaan pienent¨am¨all¨a pisteen x ymp¨arist¨o¨a I(x, δ) rajatta.

M¨a¨aritelm¨a 1.22. Olkoon I(x, δ) m¨a¨aritelty kuten edell¨a, δ > 0 ja x ∈ [a, b].

Funktion f oskillaatio pisteess¨a xm¨a¨aritell¨a¨an seuraavasti:

ωf(x) := inf{ωf I(x, δ)

|δ >0}= lim

δ→0+ωf I(x, δ) .

Funktion f oskillaatio pisteess¨a x on aina pienempi kuin oskillaatio pisteen x ymp¨arist¨oss¨a I(x, δ), kun δ >0.

Seuraus 1.23. Olkoon funktio f m¨a¨aritelty ja rajoitettu v¨alill¨a [a, b] ja olkoon I(x, δ) m¨a¨aritelty kuten edell¨a ja δ >0. T¨all¨oin

ω_f(x)≤ω_f I(x, δ) .

Seuraus 1.24. Olkoon v¨alin [a, b] jako P = {x₀, . . . x_n} ja olkoon piste x v¨alin [xk−1, x_k] sis¨apiste. Jos [xk−1, x_k]⊂[a, b], niin

ωf(x)≤ωf [xk−1, xk]

=Mk(f)−mk(f), miss¨a M_k(f) ja m_k(f) ovat v¨alin [xk−1, x_k] funktion yl¨a- ja alaraja.

Huomautus1.25. Olkoon funktiof m¨a¨aritelty ja rajoitettu v¨alill¨a [a, b] ja olkoon v¨alin [a, b] jako P, joka muodostaa osav¨alit I1, I2, . . . , In. Merkit¨a¨an osav¨alin Ik pi- tuutta|I_k|. T¨all¨oin Darboux’n yl¨a- ja alasummien erotus voidaan ilmaista oskillaation avulla seuraavasti

U(f;P)−L(f;P) =

n

X

k=1

ω_f [x_k−1, x_k]

|I_k|.

Jos funktion f oskillaatio pisteess¨a x ∈ [a, b] on pienempi kuin , niin funktion oskillaatio pisteen x tarpeeksi pieness¨a ymp¨arist¨oss¨a on my¨os pienempi kuin .

Lause 1.26. Olkoon f m¨a¨aritelty ja rajoitettu v¨alill¨a [a, b]ja olkoon >0annettu.

Oletetaan, ett¨a ωf(x)< kaikilla x∈[a, b]. T¨all¨oin on olemassa δ >0 (joka riippuu vain luvusta) siten, ett¨a kaikille suljetuille v¨aleilleT ⊂[a, b]onω_f(T)< ,kun v¨alin T pituus on pienempi kuin luku δ.

Todistus. Jokaiselle pisteelle x ∈ [a, b] on olemassa avoin ymp¨arist¨o J(x, δ_x) = (x−δ, x+δ)∩[a, b], miss¨a δ > 0, siten, ett¨a ω_f J(x, δ_x)

< . Kokoelma pisteen x ymp¨arist¨oj¨a{J(x, δx/2)|x∈[a, b]}muodostaa avoimen peitteen v¨alille [a, b]. Heinen ja Borelin peitelauseen mukaan ¨a¨arellinen m¨a¨ar¨a n¨ait¨a joukkoja peitt¨a¨a v¨alin [a, b].

Olkoot neJ(x₁, δ₁/2), J(x₂, δ₂/2), . . . , J(x_k, δ_k/2). Olkoon lis¨aksi δ pienin n¨aist¨a, siis δ_p/2≥ δ. Kun v¨alin T pituus on pienempi kuin δ, peitt¨a¨a v¨ahint¨a¨an yksi ymp¨arist¨o v¨ali¨a T ainakin osittain. Olkoon se J(x_p, δ_p/2). Kuitenkin ymp¨arist¨o J(x_p, δ_p) peit- t¨a¨a t¨aysin v¨alin T, sill¨a δ_p ≥ 2δ ja v¨alin T pituus on pienempi kuin luku δ. Koska ω_f J(x_p, δ_p)

< ja T ⊂J(x_p, δ_p) on lauseen 1.20 nojallaω_f(T)< . Funktion oskillaatiolla ja jatkuvuudella on yhteys toisiinsa. Funktio on jatkuva jos sen oskillaatio on nolla jokaisessa m¨a¨arittelyv¨alin pisteess¨a. P¨ainvastainen tulos p¨atee my¨os.

Lause 1.27. Olkoon f m¨a¨aritelty ja rajoitettu v¨alill¨a [a, b]. Funktio f on jatkuva pisteess¨a x∈[a, b] jos ja vain jos ω_f(x) = 0.

Todistus. Oletetaan aluksi ett¨a ω_f(x) = 0 ja olkoon >0. T¨all¨oin on olemassa δ > 0 ja v¨ali T ⊂ [a, b], jonka pituus on pienempi kuin luku δ siten, ett¨a ω_f(T) <

. N¨ain ollen oskillaation m¨a¨aritelm¨an mukaan kun y, z ∈ T ja v¨alin T pituus on pienempi kuin luku δ, niin |f(y)−f(z)|< , joten funktio f on jatkuva pisteess¨a x.

Oletetaan nyt, ett¨a funktio f on jatkuva pisteess¨a x ∈ [a, b] ja olkoon > 0.

T¨all¨oin on olemassa δ > 0 siten, ett¨a y, z ∈ T ja koska v¨alin T pituus on pienempi kuin luku δ, niin |y−z| < δ. Koska funktio f on jatkuva pisteess¨a x ∈ [a, b], on

|f(x)−f(y)|< . T¨all¨oin ω_f(T)< ja siten ω_f(x) = 0.

Seuraavaa lausetta tarvitaan my¨ohemmin useamman lauseen todistuksessa.

Lause 1.28. Olkoon f m¨a¨aritelty ja rajoitettu v¨alill¨a [a, b]. Kullekin >0 m¨a¨ari- tell¨a¨an joukko J seuraavasti:

J :={x∈[a, b]|ω_f(x)≥}.

T¨all¨oin J on suljettu joukko.

Todistus. Olkoon x joukon J kasautumispiste. Jos x /∈ J, niin on ω_f(x) < . T¨all¨oin on olemassa δ > 0 ja v¨ali T, jonka pituus on pienempi kuin luku δ, jolle ω_f(T)< . N¨ain ollen v¨alinT pisteet eiv¨at voi kuulua joukkoonJ, jotenx /∈J ei voi olla joukon J kasautumispiste. Siten t¨aytyy olla, ett¨ax∈J ja J on suljettu.

1.3. Jordanin sis¨alt¨o rajoitetulla v¨alill¨a

T¨ass¨a kappaleessa tutustutaan reaaliakselin joukonSJordanin sis¨asis¨alt¨o¨onc_∗(S), ulkosis¨alt¨o¨onc^∗(S) ja Jordan-mitallisuuteen, sek¨a lauseeseen Jordanin ehdosta funk- tion Riemann-integroituvuudelle. Sis¨asis¨all¨oss¨a tutkitaan jaonP muodostamista osa- v¨aleist¨a niit¨a jakov¨alej¨a, jotka sis¨alt¨av¨at vain joukon S sis¨apisteit¨a. N¨aiden v¨alien pituuksien summa antaa approksimaation joukon S sis¨all¨olle sis¨alt¨ap¨ain. Ulkosis¨al- l¨oss¨a puolestaan tutkitaan jaon P muodostamista osav¨aleist¨a niit¨a jakov¨alej¨a, jotka sis¨alt¨av¨at joukon S pisteit¨a tai sen reunapisteit¨a. N¨aiden v¨alien pituuksien summa antaa approksimaation joukonS sis¨all¨olle ulkoap¨ain. Pistex∈R on joukonS reuna- piste, jos kaikilla pisteen x pienill¨akin ymp¨arist¨oill¨a on sek¨a pisteit¨a joukosta S ett¨a sen ulkopuolelta. JoukonSreunapisteiden joukkoa eli joukonS reunaa merkit¨a¨an∂S.

M¨a¨aritelm¨a 1.29. Olkoon S ⊂ [a, b] ja olkoon P = {x₀, x₁, . . . , x_n} v¨alin [a, b]

jako. Olkoot [x_k−1, x_k], k ∈ I_∗, ne v¨alit, jotka sis¨alt¨av¨at vain joukon S pisteit¨a, eli [xk−1, x_k] ⊂ S kaikilla k ∈ I∗ ja merkit¨a¨an n¨aiden osav¨alien pituuksien summaa J∗(P, S). Joukon S Jordanin sis¨asis¨all¨oksi m¨a¨aritell¨a¨an luku

c_∗(S) := sup{J_∗(P, S)|P ∈ P[a, b]}

= sup{X

k∈I∗

(x_k−xk−1)|P ∈ P[a, b]}.

Vastaavasti olkoot [xk−1, x_k], k ∈I^∗, ne v¨alit, jotka sis¨alt¨av¨at joukonS∪∂Spisteet, toisin sanoen S ∪ ∂S ⊂ S

k∈I^∗[xk−1, x_k] ja merkit¨a¨an n¨aiden osav¨alien pituuksien summaa J^∗(P, S). Joukon S Jordanin ulkosis¨all¨oksi m¨a¨aritell¨a¨an luku

c^∗(S) := inf{J^∗(P, S)|P ∈ P[a, b]}

= inf{X

k∈I^∗

(x_k−xk−1)|P ∈ P[a, b]}.

Joukon S sanotaan olevan Jordan-mitalliseksi, jos c∗(S) = c^∗(S). T¨at¨a yhteist¨a arvoa kutsutaan Jordanin sis¨all¨oksi, ja merkit¨a¨anc(S).

Huomautus 1.30. Joukon S Jordanin sis¨a- ja ulkosis¨all¨olle on aina voimassa 0 ≤ c∗(S) ≤ c^∗(S). Lis¨aksi, jos joukko S on ¨a¨arellinen joukko, niin t¨all¨oin c∗(S) = c^∗(S) = 0. Jos joukolla S ei ole sis¨apisteit¨a, niin c∗(S) = 0, koska J∗(P, S) = 0.

V¨alin [a, b] pituus onb−a, joka on my¨os v¨alin [a, b] sis¨alt¨o, toisin sanoenc^∗([a, b]) = c∗([a, b]) =b−a.

Kun v¨alin [a, b] jakoa hienonnetaan, joukon S⊂[a, b] sis¨asis¨alt¨o kasvaa ja ulkosi- s¨alt¨o pienenee. Kun jaonP osav¨alille [x_i−1, x_i] lis¨at¨a¨an yksi jakopistex⁰ lis¨a¨a, saadaan

osav¨alit [x_i−1, x⁰] ja [x⁰, x_i]. Jos osav¨alill¨a [x_i−1, x_i] on joukon S ulko- ja reunapisteit¨a, ainakin toisessa hienonnuksessa syntyneist¨a v¨aleist¨a on my¨os joukon S ulko- ja reu- napisteit¨a ja kyseisen v¨alin pituutta ei lasketa joukon S sis¨asis¨alt¨o¨on. Toisessa hie- nonnuksessa syntyneist¨a v¨aleist¨a voi kuitenkin olla vain joukonS sis¨apisteit¨a, jolloin kyseisen v¨alin pituus lasketaan joukon S sis¨asis¨alt¨o¨on. N¨ain ollen jaon hienontuessa sis¨asis¨all¨olle saadaan tarkempi arvio. Jos osav¨alill¨a [xi−1, x_i] on vain joukonS sis¨apis- teit¨a, niin my¨os hienonnuksessa syntyneiss¨a v¨aleiss¨a on vain joukon S sis¨apisteit¨a.

Vastaavasti jos v¨ali [xi−1, x_i] on hienonnettu kuten aikaisemmin, ulkosis¨alt¨o voi pienenty¨a. Jos v¨alill¨a [xi−1, x_i] on joukon S sis¨a- tai reunapisteit¨a, v¨alin pituus las- ketaan ulkosis¨alt¨o¨on. V¨alin hienonnuksessa jommallakummalla v¨alill¨a [xi−1, x⁰] tai [x⁰, xi] voi olla vain joukon S ulkopisteit¨a, jolloin kyseisen v¨alin pituus j¨atet¨a¨an pois ulkosis¨alt¨o¨a laskettaessa. N¨ain ulkosis¨alt¨o pienenee.

Esimerkki 1.31. Rationaalilukujen joukolle v¨alill¨a [a, b] Jordanin sis¨asis¨alt¨o on nolla. Vastaava p¨atee my¨os irrationaalilukujen joukolle. Kuitenkin v¨alin [a, b] sek¨a ra- tionaalilukujen ett¨a irrationaalilukujen joukoille Jordanin ulkosis¨alt¨o onb−a. Kum- mallekin joukolle onJ^∗(P, S) =b−akaikilla jaoillaP, sill¨a jokainen v¨ali sis¨alt¨a¨a sek¨a rationaali- ett¨a irrationaalilukuja. Kumpikaan joukoista ei siis ole Jordan-mitallinen.

Jordanin ulkosis¨all¨oll¨a on seuraavat ominaisuudet:

Lause 1.32. Olkoon joukot A, B ⊂ R rajoitettuja joukkoja. T¨all¨oin Jordanin ul- kosis¨all¨olle p¨atee seuraavaa:

(1) c^∗(A) = c^∗(A)

(2) Ulkosis¨alt¨o on monotoninen: c^∗(A)≤c^∗(B), kun A⊂B.

(3) Ulkosis¨alt¨o on ¨a¨arellisesti subadditiivinen: c^∗(A∪B)≤c^∗(A) +c^∗(B).

Todistus. (1) Todistetaan v¨aite kahdessa osassa. Todistetaan aluksi, ett¨a c^∗(A) ≤ c^∗(A). Olkoon A ⊂ [a, b] ⊂ R ja olkoon P v¨alin [a, b] jako. Olkoon lis¨aksi joukkokokoelma I = {I_i}^N_i=1 niiden v¨alin [a, b] jaon P m¨a¨aritt¨am¨at osav¨alit, jotka sis¨alt¨av¨at joukon A ∪ ∂A pisteit¨a, miss¨a ∂A on joukon A reunapisteet. KoskaA ⊂A ja kokoelma I on joukon A peite, niin kokoelma I peitt¨a¨a my¨os joukonA. T¨all¨oin c^∗(A)≤c^∗(A).

Todistetaan viel¨a, ett¨a c^∗(A) ≥c^∗(A). N¨aytet¨a¨an siis, ett¨a jos kokoelma I = {Ii}^N_i=1 peitt¨a¨a joukon A, niin kokoelma I peitt¨a¨a joukon A. T¨am¨a on riitt¨av¨a¨a, sill¨a I_i =I_i kaikillai∈ {1,2, . . . , N}.

Olkoon kokoelma I joukon A peite. Oletetaan, ett¨a I ei peit¨a joukkoa A. T¨all¨oin on olemassa x ∈ A siten, ett¨a x /∈ SN

i=1I_i. M¨a¨aritelm¨an mukaan A=A∪∂A. T¨all¨oin kaikilla >0 on (x−, x+)∩A6=∅. KoskaA⊂SN

i=1I_i niin (x−, x+)∩SN

i=1I_i 6=∅. T¨all¨oin koskax /∈SN

i=1I_i, niin pisteenxt¨aytyy olla jonkin joukon I_i reunapiste. Koska SN

i=1I_i on suljettujen v¨alien yhdiste, se sis¨alt¨a¨a kaikki reunapisteens¨a, joten x ∈ SN

i=1Ii. T¨am¨a on ristiriidassa oletuksen kanssa. N¨ain ollen josA⊂SN

i=1I_i, niin A⊂SN

i=1I_i, jotenc^∗(A)≥ c^∗(A).

(2) Olkoon B ⊂[a, b]⊂R ja olkoon v¨alin [a, b] jako P. Joukkokokoelma {I_i}^N_i=1 on ne v¨alin [a, b] jaon P m¨a¨aritt¨am¨at v¨alit, jotka sis¨alt¨av¨at joukon B∪∂B pisteit¨a. Koska A ⊂B ja kokoelma {Ii}^N_i=1 peitt¨a¨a joukon B, niin kokoelma {I_i}^N_i=1 peitt¨a¨a my¨os joukonA. T¨all¨oin c^∗(A)≤c^∗(B).

(3) Olkoon{I_i}^N_i=1 joukon Apeite ja olkoon{J_j}^M_j=1 joukonB peite. Nyt joukon A∪B peite on joukkojen peitteiden yhdiste eli {I_i}^N_i=1 ∪ {J_j}^M_j=1. Jordanin ulkosis¨all¨on m¨a¨aritelm¨an mukaan on

c^∗(A)≥

N

X

i=1

|I_i| −

2 ja c^∗(B)≥

M

X

j=1

|J_j| − 2. Summaamalla yht¨al¨on molemmat puolet saadaan

c^∗(A) +c^∗(B)≥

N

X

i=1

|I_i|+

M

X

j=1

|J_j| −.

Siten c^∗(A) +c^∗(B) ≥ c^∗(A∪B)−. Koska voidaan valita mielivaltaisen pieneksi, olemme todistaneet v¨aitteenc^∗(A∪B)≤c^∗(A) +c^∗(B).

M¨a¨aritelm¨a 1.33. Olkoon S ⊂R. Funktioχ_S:R→R

χ_S(x) :=

(1, x∈S 0, x /∈S onjoukon S karakteristinen funktio.

Jordanin sis¨a- ja ulkosis¨alt¨o voidaan nyt lausua integraaleina c∗(S) :=

Z b a

χS(x)dx ja c^∗(S) :=

Z b a

χS(x)dx, kun S⊂[a, b] jaχ_S on joukon S karakteristinen funktio.

Seuraava tulos antaa hy¨odyllisen tavan tutkia milloin joukko on Jordan-mitallinen.

Lause1.34.JoukonS reunan ulkosis¨alt¨o on joukonSulko- ja sis¨asis¨alt¨ojen erotus eli

c^∗(∂S) =c^∗(S)−c∗(S).

T¨all¨oin joukko S on Jordan-mitallinen jos ja vain jos c^∗(∂S) = 0.

Todistus. Olkoon I kompakti v¨ali, joka sis¨alt¨a¨a joukkojen S ja ∂S pisteet. T¨al- l¨oin kaikille v¨alin I jaoille P on J^∗(P, ∂S) = J^∗(P, S)−J∗(P, S). N¨ain ollen kos- ka c^∗(S) ≤ J^∗(P, S) ja c_∗(S) ≥ J(P, S) on J^∗(P, ∂S) ≥ c^∗(S)− c_∗(S) ja siten c^∗(∂S)≥c^∗(S)−c_∗(S).

Todistetaan k¨a¨anteinen ep¨ayht¨al¨o. Olkoon >0 annettu ja valitaan jakoP₁ siten, ett¨a J^∗(P₁, S) < c^∗(S) + ₂ ja valitaan jako P₂ siten, ett¨a J∗(P₂, S) > c∗(S) − ₂. Olkoon P =P₁∪P₂. Huomautuksen 1.30 mukaan kun jakoa hienonnetaan, p¨a¨ast¨a¨an tarkempaan arvioon joukon ulkosis¨all¨ost¨a eli niiden v¨alien pituuksien summasta, jotka sis¨alt¨av¨at joukon S∪∂S pisteit¨a. Jaon hienonnus v¨ahent¨a¨a joukon ulkosis¨alt¨o¨a, siis J^∗(P, S)≤J^∗(P₁, S). Vastaavasti jaon hienonnuksella p¨a¨ast¨a¨an tarkempaan arvioon joukon sis¨asis¨all¨ost¨a eli niiden v¨alien pituuksien summasta, jotka sis¨altyv¨at joukkoon S. Jaon hienonnus kasvattaa joukon sis¨asis¨alt¨o¨a, siisJ∗(P, S)≥J∗(P₂, S). T¨all¨oin

c^∗(∂S)≤J^∗(P, ∂S) = J^∗(P, S)−J∗(P, S)

≤J^∗(P₁, S)−J_∗(P₂, S)< c^∗(S)−c_∗(S) +.

Koska on mielivaltainen t¨am¨a tarkoittaa, ett¨a c^∗(∂S)≤c^∗(S)−c_∗(S).

N¨ain ollen c^∗(∂S) =c^∗(S)−c∗(S).

Funktionf Riemann-integroituvuuden tutkimiseen oskillaatio ja Jordanin ulkosi- s¨alt¨o liittyv¨at seuraavasti:

Lause 1.35 (Jordanin ehto Riemann-integroituvuudelle). Olkoon f m¨a¨aritelty ja rajoitettu v¨alill¨a [a, b]. Kullekin >0 m¨a¨aritell¨a¨an joukko J kuten lauseessa 1.28

J ={x∈[a, b]|ω_f(x)≥}.

T¨all¨oin funktio f on Riemann-integroituva v¨alill¨a [a, b] jos ja vain jos c^∗(J) = 0 kaikilla >0.

Todistus. Todistetaan aluksi, ett¨a kun funktio on Riemann-integroituva, niin c^∗(J) = 0. Antiteesi: Oletetaan, ett¨a c^∗(J) 6= 0 jollakin > 0 ja n¨aytet¨a¨an, ett¨a Riemannin ehto ei p¨ade. Olkoon P ={a =x₀ < x₁ < · · ·< x_n = b} v¨alin [a, b] jako ja [xk−1, x_k] er¨as sen jakov¨ali. Jos (xk−1, x_k)∩J 6=∅ eli jos jokin jakov¨alin [xk−1, x_k] sis¨apistex∈J, on seurauksen 1.24 mukaan≤ω_f(x)≤M_k(f)−m_k(f),miss¨aM_k(f) jam_k(f) ovat funktionf v¨alin [xk−1, x_k] yl¨a- ja alaraja. Olkoon nytI₁niiden indeksien k ∈ {1, . . . , n}joukko, joille (xk−1, x_k)∩J 6=∅ja olkoon I₂ :={1, . . . , n} \I₁.V¨aleille [xj−1, x_j], miss¨a j ∈ I₂, on siis (xj−1, x_j)∩J = ∅, joten (xj−1, x_j)∩J ⊂ {xj−1, x_j}.

T¨ast¨a seuraa, ett¨a J ⊂

[

k∈I₁

(xk−1, xk)

∪ {x0, x1, . . . , xn−1, xn}.

Lauseen 1.32 mukaan ulkosis¨alt¨o on monotoninen eli c^∗(A) ≤ c^∗(A∪ {x}) ja ul- kosis¨alt¨o on ¨a¨arellisesti subadditiivinen eli c^∗(A∪ {x}) ≤ c^∗(A) +c^∗({x}) = c^∗(A).

N¨ain ollen joukon A Jordanin ulkosis¨all¨olle on c^∗(A∪ {x}) = c^∗(A) kaikille pisteille x. Induktiolla saadaan c^∗(A∪ {x₀, x₁, . . . , x_n}) =c^∗(A).

Edell¨a olleen inkluusion, lauseen 1.32 ja huomautuksen 1.30 nojalla saadaan c^∗(J)≤c^∗

[

k∈I₁

(xk−1, xk)

∪ {x0, x1, . . . , xn−1, xn}

≤X

k∈I₁

c^∗ (xk−1, x_k)

=X

k∈I₁

(x_k−xk−1).

Nyt Darboux’n yl¨a- ja alasummille on U(f;P)−L(f;P) = X

k∈I₁

Mk(f)−mk(f)

(xk−xk−1)

+X

k∈I₂

M_k(f)−m_k(f)

(x_k−xk−1)

≥X

k∈I1

M_k(f)−m_k(f)

(x_k−xk−1)

≥X

k∈I1

(x_k−xk−1)≥ c^∗(J).

N¨ain ollen Riemannin ehto ei p¨ade. Siten funktio f on Riemann-integroituva, kun c^∗(J) = 0.

Oletetaan nyt, ett¨a funktio f on rajoitettu ja kaikilla > 0 joukon J ulkomitta on nolla. N¨aytet¨a¨an, ett¨a Riemannin ehto p¨atee. Koska funktio f on rajoitettu, voi- daan valita luku M siten, ett¨a |f(x)| ≤ M kaikilla x ∈ [a, b]. Olkoon P v¨alin [a, b]

jako siten, ett¨a niiden osav¨alien pituuksien summa, jotka sis¨alt¨av¨at joukon J/2(b−a), on pienempi kuin luku _4M . Olkoon n¨am¨a osav¨alit{I₁, I₂, . . . , I_k}ja merkit¨a¨an loppuja jaon P osav¨alej¨a {J₁, J₂, . . . , J_l}. Nyt koska kukin joukon J_j pisteist¨a ei kuulu jouk- koon J/2(b−a), on ω_f(J_j) < _2(b−a) , kun j = 1, . . . , l. T¨all¨oin seurauksen 1.24 nojalla on

U(f;P)−L(f;P) =

k

X

i=1

M_i(f)−m_i(f)

|I_i|+

l

X

j=1

M_j(f)−m_j(f)

|J_j|

=

k

X

i=1

ω_f(I_i)|I_i|+

l

X

j=1

ω_f(J_j)|J_j|

<2M

4M +

2(b−a)(b−a) =,

miss¨a|I_i|on v¨alinI_i pituus. Lauseen1.13 mukaan funktiof on Riemann-integroituva.

1.4. Lebesguen ulkomitta v¨alill¨a

Lauseessa 1.17 on todistettu, ett¨a jatkuva funktio f: [a, b] → R on Riemann- integroituva. Tunnettaessa t¨am¨a tulos, voidaan mietti¨a kuinka paljon funktiolla saa olla ep¨ajatkuvuuspisteit¨a ollakseen Riemann-integroituva. T¨ass¨a kappaleessa k¨ayd¨a¨an l¨api Lebesguen ulkomitan m¨a¨aritelm¨a ja siihen liittyvi¨a lauseita sek¨a Lebesguen eh- to Riemann-integroituvuudelle. Lebesguen ehdon mukaan funktion on Riemann-in- tegroituva jos ja vain jos ep¨ajatkuvuuspisteiden joukko on nollamittainen. M¨a¨aritel- l¨a¨an aluksi Lebesguen ulkomitta.

M¨a¨aritelm¨a 1.36. Olkoon S ⊂ R avointen v¨alien ja tyhj¨ajoukon muodostama joukko. Numeroituva kokoelma (I₁, I₂, . . .) avoimia v¨alej¨a, jotka peitt¨av¨at joukon S, toisin sanoen S ⊂S∞

k=1I_k, on joukon S Lebesguen peite. Olkoon lis¨aksi |I_k| on v¨alin I_k pituus. Lukua

m^∗(S) := inf{

∞

X

k=1

|I_k| |(I₁, I₂, . . .) on joukon S Lebesguen peite}

kutsutaan joukon S Lebesguen ulkomitaksi.

Huomautus 1.37. Kun joukkoS ⊂[a, b] on rajoitettu, niin 0≤m^∗(S)≤b−a.

Josm^∗(S) = 0, niin joukkoS voidaan p¨a¨atell¨a nollamittaiseksi. Ehdonm^∗(S) = 0 ja edellisen m¨a¨aritelm¨an mukaan joukon S peitt¨a¨a numeroituva kokoelma avoimia v¨alej¨a I_k ja n¨aille v¨aleille p¨atee inf{P∞

k=1|I_k|} = 0, joten m¨a¨aritelm¨an 1.15 mukaan joukko S on nollamittainen.

P¨ainvastoin jos joukko S on nollamittainen, voidaan p¨a¨atell¨a, ett¨a m^∗(S) = 0.

Nollamittaiselle joukolle ja jokaiselle >0 on olemassa kompaktit v¨alit (I_k)k∈N siten, ett¨a

S ⊂ [

k∈N

I_k ja X

k∈N

|I_k|< .

T¨all¨oin m^∗(S) = inf{P∞

k=1|I_k|} < . Koska voidaan valita mielivaltaisen pieneksi, onm^∗(S) = 0.

Josm^∗(S) =∞, niin P∞

k=1|I_k|=∞kaikilla joukon S peitteill¨a {I₁, I₂, . . .}.

Lause 1.38. Lebesguen ulkomitalle m^∗ p¨atee:

(1) m^∗(∅) = 0

(2) monotonisuus: Jos A⊂B ⊂R, niin m^∗(A)≤m^∗(B).

(3) subadditiivisuus: Jos A₁, A₂. . .⊂R, niin m^∗[^∞

k=1

A_k

≤

∞

X

k=1

m^∗(A_k).

Todistus. (1) Koska tyhj¨an joukon pituus on 0, on m^∗(∅) = 0.

(2) Monotonisuus seuraa infimumin ominaisuuksista.

(3) Olkoot A₁, A₂, . . . ⊂ R. Voidaan selv¨asti olettaa, ett¨a m^∗(A_j) < ∞ kaikilla j = 1,2, . . .. Olkoon >0. Valitaan avoimet v¨alit I_k,j siten, ett¨a

A_j ⊂

∞

[

j=1

I_k,j ja

∞

X

k=1

|I_k,j| ≤m^∗(A_j) + 2^j. T¨all¨oin

∞

[

j=1

A_j ⊂

∞

[

j=1

∞

[

k=1

I_k,j =

∞

[

j,k=1

I_k,j, mik¨a on numeroituva yhdiste, joten

m^∗[^∞

j=1

A_j

≤

∞

X

j,k=1

|I_k,j|=

∞

X

j=1

∞

X

k=1

|I_k,j|

≤

∞

X

j=1

m^∗(Aj) + 2^j

=

∞

X

j=1

m^∗(Aj) +.

Huomautus 1.39. (1) Lauseen 1.38 ominaisuus (3) ei p¨ade Jordanin ul- kosis¨all¨olle. Olkoon A = Q ∩ [0,1]. Koska Q on tihe¨a v¨alill¨a [0,1], niin c^∗(A) = c^∗([0,1]) = 1. Kuitenkin kaikilla rationaalipisteill¨a q_j ∈ Q∩[0,1]

onc^∗({q_j}) = 0, joka tarkoittaa, ett¨aP∞

j=1c^∗({q_j}) = 0.

(2) Jordanin ulkosis¨alt¨o ei ole additiivinen: voi olla c^∗(A∪B) < c^∗(A) +c^∗(B), kunA∩B =∅. Olkoon A=Q∩[0,1] ja B = [0,1]\Q. Nytc^∗(A∪B) = 1<

2 = 1 + 1 =c^∗(A) +c^∗(B).

Seuraavat kolme lausetta kuvaavat Lebesguen ulkomitan ja Jordanin ulkosis¨all¨on v¨alist¨a yhteytt¨a.

Lause 1.40. Kaikille rajoitetuille joukoille S ⊂R on voimassa m^∗(S)≤c^∗(S).