Solmu 2/2005
Verrannollisuudesta pintaa syvemm¨ alt¨ a
Teuvo Laurinolli
International Baccalaureate, Tukholma
Johdanto
Yl¨akoulun matematiikan oppikirjan [1] teksti¨a ty¨os- t¨aess¨ani jouduin pohtimaan (suoraan) verrannollisuu- den m¨a¨aritelm¨an muotoilua. Yleinen ehto sille, ett¨a po- sitiivisia reaaliarvoja saavat muuttujatxjay ovat ver- rannollisia, on, ett¨a kaikillap >0
(A) muuttujanxarvonp-kertaistuessa my¨os muuttu- jany arvop-kertaistuu.
Ent¨ap¨a, jos yksinkertaisuuden vuoksi rajoituttaisiin vaatimaan ehdon voimassaolo vain jollakin tietyll¨ap6= 1, esimerkiksip= 2? Olisiko t¨am¨a matemaattisesti p¨a- tev¨a verrannollisuuden ehto? Eli seuraako yleinen ehto (A) esimerkiksi erityisest¨a ehdosta
(B) muuttujan x arvon kaksinkertaistuessa my¨os muuttujany arvo kaksinkertaistuu?
On helppo n¨ahd¨a, ett¨a ehto (A) on yht¨apit¨av¨a sen kans- sa, ett¨ay=cx, miss¨acon positiivinen vakio (eli muut- tujany arvo, kunx= 1).
Kysymys voidaan matematisoida seuraavasti.
Ongelma.Olkoonffunktio, jonka m¨a¨arittely- ja arvo- joukkona ovat positiiviset reaaliluvut ja olkoonf(1) = c. Oletetaan, ett¨a
(1) f(2x) = 2f(x) kaikillax >0.
Onko silloin v¨altt¨am¨att¨a
(2) f(x) =cxkaikillax >0?
J¨aljemp¨an¨a esitett¨av¨at vastaukset1ovat voimassa ylei- semminkin, kun ehdossa (1) vakio 2 korvataan mill¨a tahansa positiivisella vakiollap6= 1. On ilmeist¨a, ett¨a implikaation (1)⇒(2) voimassaolo riippuu siit¨a, mil- laisia rajoituksia funktiolle f asetetaan. Tarkastelem- me seuraavassa ensiksi tapausta, jossaf on derivoitu- va ja sitten tapausta, jossa f on ainoastaan jatkuva.
Oletamme jatkossa ilman eri mainintaa, ett¨a funktion f m¨a¨arittely- ja arvojoukkona ovat positiiviset reaali- luvut.
Tapaus 1: f derivoituva
Seuraava lause osoittaa, ett¨a t¨ass¨a tapauksessa vastaus ongelmaamme on my¨onteinen, kun oletetaan lis¨aksi, et- t¨af:n derivaatalla on raja-arvo kohdassax= 0.
1Esitin ongelman marraskuussa 2004 Jorma Merikoskelle, joka mobilisoi nopeasti pienen tutkijaryhm¨an pohtimaan sit¨a. Ryhm¨a k¨avi aiheesta vilkasta s¨ahk¨opostikeskustelua marras-joulukuussa 2004. Keskustelun tulokset on esitetty kattavasti artikkelissa [2], johon t¨am¨a kirjoitus perustuu.
Solmu 2/2005
Lause 1.Oletetaan, ett¨af on kaikkialla derivoituva ja
xlim→0f0(x) =c. Silloin implikaatio(1)⇒(2)on voimas- sa.
Todistus.Derivoimalla yht¨al¨of(2x) = 2f(x) puolittain ja soveltamalla vasemmalla puolella ketjus¨a¨ant¨o¨a saa- daan 2f0(2x) = 2f0(x), josta edelleen f0(2x) =f0(x).
T¨ast¨a seuraa sijoittamallat= 2x, ett¨af0(t) =f0(t2) ja edelleen induktiolla, ett¨a f0(t) = f0(2tn) kaikilla luon- nollisilla luvuillan.
Siis
c= lim
x→0f0(x) = lim
n→∞f0(2tn)
= lim
n→∞f0(t) =f0(t).
Koskaf0(x) =cidenttisesti, niinf(x) =cxjac=f(1).
¤
Didaktinen huomautus 1.Tarkasteltaessa empiiris- ten suureiden xja y v¨alist¨a riippuvuutta peruskoulu- tasolla voitaneen lauseen 1 oletusten katsoa olevan voi- massa. Lauseen 1 tulos merkitsee silloin, ett¨a verran- nollisuuden m¨a¨aritelm¨a voidaan yleisyyden k¨arsim¨att¨a yksinkertaistaa ehdoksi (B).
Tapaus 2: f jatkuva
Ruokahalu kasvaa sy¨odess¨a. S¨ailyyk¨o lause 1 voimas- sa, jos sen oletuksia kevennet¨a¨an esimerkiksi vaatimalla funktioltaf ainoastaan jatkuvuutta? Vastaus on kiel- teinen, kuten seuraava vastaesimerkki osoittaa.
15
10
5
8 7 6 5 4 3 2 1 20
Kuva:Vastaesimerkin funktion kuvaaja v¨alill¨a [14,8].
Vastaesimerkki. M¨a¨aritell¨a¨an funktio f paloittain asettamalla
f(x) = 2−nx2+ 2n+1, kun 2n≤x <2n+1,
kaikilla kokonaisluvuillan. Lukija voi harjoitusteht¨av¨a- n¨a todentaa, ett¨af on kaikkialla jatkuva ja toteuttaa ehdon (1), mutta ei ehtoa (2).
Huomautus. Vastaesimerkin takana on intuitiivinen geometrinen konstruktio, jossa piirret¨a¨an ensin jonkin- lainen k¨ayr¨anp¨atk¨a funktiollef v¨alill¨a 1≤x <2 (t¨as- s¨a tapauksessa f(x) = x2+ 2) ja siirret¨a¨an sitten t¨a- m¨a p¨atk¨a sopivasti venytettyn¨a v¨aleille 2 ≤ x < 4, 4 ≤ x < 8 jne. sek¨a kutistettuna v¨aleille 12 ≤x < 1,
1
4 ≤x < 12 jne. ja varmistetaan jatkuvuus liitoskohdis- sa.
Implikaation (1)⇒(2) kaatuminen jatkuville funktioil- le haastaa meid¨at pohtimaan, onko ehtoa (1) mahdol- lista vahvistaa niin, ett¨a implikaatio olisi t¨ass¨akin ta- pauksessa p¨atev¨a. Seuraako (2) esimerkiksi ehdosta (1+) f(2x) = 2f(x) jaf(3x) = 3f(x) kaikillax >0 Lause 2 antaa t¨ah¨an kysymykseen my¨onteisen vastauk- sen. Lauseen todistus perustuu kiinnostavalla tavalla seuraavaan Dirichlet’n tulokseen (ks. [3], s. 16).
Lemma.(Dirichlet)Olkoonαirrationaaliluku. Luvut m+nα, miss¨amjanovat mielivaltaisia kokonaisluku- ja, ovat tihe¨ass¨a reaalilukujen joukossa. Toisin sanoen jokaisella reaalilukuv¨alill¨a, kuinka lyhyell¨a tahansa, on muotoam+nαolevia lukuja.
Lause 2. Oletetaan, ett¨a f on kaikkialla jatkuva ja f(1) =c. Silloin implikaatio (1+)⇒(2)on voimassa.
Todistus. Olkoon S = {2m3n | m ja n ovat kokonais- lukuja}. Ehdosta (1+) seuraa induktiolla, ett¨a jos x kuuluu joukkoonSelix= 2m3n, niinf(x) =cx. V¨aite seuraa t¨ast¨a, jos voimme n¨aytt¨a¨a, ett¨aS on tihe¨a posi- tiivisten reaalilukujen joukossa. Jos nimitt¨ain jatkuvat funktiot f ja cxyhtyv¨at f:n m¨a¨arittelyjoukon tihe¨as- s¨a osajoukossa, niin ne yhtyv¨at koko m¨a¨arittelyjoukos- sa. Mutta joukkoS on tihe¨a positiivisten reaalilukujen joukossa jos ja vain jos sen logaritmijoukko
T = lnS={mln 2 +nln 3 |mjanovat kokonaislukuja}
on tihe¨a kaikkien reaalilukujen joukossa. Jakamalla jou- konT alkiot luvulla ln 2 saadaan joukko
U = T ln 2 =n
m+nln 3 ln 2
¯¯
¯mjanovat kokonaislukujao
.
Mutta Dirichlet’n lemman perusteella U on tihe¨a re- aalilukujen joukossa, sill¨a luku ln 3ln 2 on irrationaalinen.
T¨all¨oin my¨osT on tihe¨a, joten v¨aite on todistettu. ¤ Didaktinen huomautus 2. Jos l¨ahdet¨a¨an siit¨a, et- t¨a muuttujienxjay riippuvuus on jatkuvaa (mutta ei v¨altt¨am¨att¨a derivoituvaa), niin muuttujien verrannol- lisuusehto voidaan lauseen 2 nojalla pelkist¨a¨a muotoon
Solmu 2/2005
(C) muuttujan x arvon kaksinkertaistuessa tai kol- minkertaistuessa my¨os muuttujany arvo kaksin- kertaistuu tai kolminkertaistuu.
On helppo n¨ahd¨a, ett¨a lauseen 2 ehdossa (1+) tekij¨at 2 ja 3 korvata mill¨a tahansa positiivisilla luvuillapjaq, joilla osam¨a¨ar¨a lnlnqp on irrationaalinen. N¨ain on, jos lu- vuillapjaqei ole yht¨a¨an yhteist¨a potenssia ts.pm6=qn kaikilla kokonaisluvuillam, n, mink¨a lukija voi harjoi- tusteht¨av¨an¨a todentaa. On siis voimassa yleinen tulos Lause 3. Oletetaan, ett¨a f on kaikkialla jatkuva ja f(1) =c. Oletetaan lis¨aksi, ett¨a
f(px) =pf(x)jaf(qx) =qf(x)kaikillax >0, miss¨apjaqovat positiivisia lukuja, joillapm6=qnkai- killa kokonaisluvuillam, n. Silloin onf(x) =cxkaikilla x >0.
Viitteet
1. Teuvo Laurinolli, Erkki Luoma-aho, Timo Sanki- lampi, Kirsi Talvitie, Outi V¨ah¨a-Vahe, Laskutaito 8. WSOY. Helsinki, 2004.
2. Markku Halmetoja, Pentti Haukkanen, Teuvo Lau- rinolli, Jorma K. Merikoski, Timo Tossavainen and Ari Virtanen, On direct proportionality. Depart- ment of Mathematics, Statistics and Philosophy, University of Tampere, Report A 358, 2005.
http://mtl.uta.fi/matematiikka/julkaisut/
OnDirectProportionality.pdf
3. A. Browder, Mathematical Analysis: An Introduc- tion. Springer, 1996.
