Fourier-sarjat ja -muunnokset

Pro gradu -tutkielma

Teemu Honkanen

165279

Itä-Suomen yliopisto

Fysiikanjamatematiikan

laitos

26. toukokuuta 2012

Tässä Pro Gradu-tutkielmassa esitellään Fourier-analyysin keskeisimpiä tu-

loksia, sekä joitainsovelluksia. Lähtien liikkeelle kompleksisten eksponentti-

funktioiden ortogonaalisuudesta, päästään luontevasti määrittelemään sekä

kompleksinenettäreaalinenFourier-sarja.Ennensarjojensuppenemiseenpe-

rehtymistätutustutaanlyhyestimyöstärkeimpiinFourier-kertoimienominai-

suuksiin, kuten Parsevalinkaavaan ja derivaattafunktionFourier-kertoimiin.

Suppenemiskysymystä lähestytään klassisten Dirihlet'n ehtojen kautta, ja

pisteittäisellesuppenemiselle esitetäänDirihlet'nytimenominaisuuksiintu-

keutuva todistus. Tasainen suppeneminen todistetaan jatkuville funktioille,

joilla ainakin ensimmäinen derivaattafunktio on jatkuva. Lisäksi tutkitaan

epäjatkuvien funktioiden Fourier-sarjoissa esiintyvää Gibbsinilmiötä.

Fourier-muunnoksiinedetäänlaajentamallavälillä

[ − L, L]

muodostettuFourier- sarjakokoreaaliakselille.TämäjohtaaFourier-integraaliin,jonkatodistetaan

suppenevanalkuperäiseenfunktioon.Fourier-muunnoksetmääritelläänensin

L ¹

-avaruudessa,jonkajälkeentarkastellaan

L ²

^{-avaruuttahiemantarkemmin,}

kunnes saadaan todistettua kuuluisa Planherelin Lause, jonka mukaan jo-

kaisella

L ²

-funktiollaon olemassaFourier-muunnos, joka lisäksikuuluu ava- ruuteen

L ²

^{. Tämän jälkeen} tarkastellaanvielä Fourier-muunnosten sovellet- tavuutta konvoluutioiden ja dierentiaaliyhtälöidenratkaisemiseen.

Lopuksi esitellään Fourier-analyysin soveltamista yksiulotteiseen lämpöyh-

tälöönkolmessaerilaisessatilanteessa.Jonkinfunktion

f

määräämässäalku- lämpötilassaolevaeristettysauvaonensimmäisessätapauksessaäärettömän

pitkä, toisessa tapauksessa äärellinen ja sauvan päät pidetään lämpötilassa

0 ^◦

^,ja viimeiseksitarkastelussaonäärellinensauva,jonkamolemmatpäät on myös eristetty.

1 Johdanto 1

2 Tarpeellisia lauseita ja määritelmiä 2

2.1 Sisätuloavaruus . . . 3

2.1.1 Trigonometrinen systeemi . . . 5

2.1.2

L ^p

^{-avaruudet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9}

2.2 Integraalejakoskevia tuloksia . . . 10

2.3 Konvoluutio . . . 13

3 Fourier-sarjat 14 3.1 Fourier-sarjan määrittely . . . 15

3.2 Fourier-kertoimienominaisuuksia . . . 18

3.3 Fourier-sarjan suppeneminen . . . 21

3.4 Dirihlet'n ydin . . . 23

3.5 Lauseen 3.3.3 todistus . . . 25

3.6 Suppenemisen laadusta . . . 28

3.6.1 Gibbsin ilmiö . . . 29

4 Fourier-muunnos 32 4.1 Fourier-integraali . . . 33

4.2 Fourier-muunnos

L ¹

-avaruudessa . . . 37

4.3 Fourier-muunnos

L ²

-avaruudessa . . . 39

4.4 KonvoluutionFourier-muunnos . . . 46

4.5 Derivaattojen Fourier-muunnokset . . . 46

5 Lämpöyhtälö 49 5.1 Äärettömän pitkäsauva . . . 49

5.2 Äärellisen pituinensauva . . . 52

5.2.1 Ratkaisu Lauseen 3.2.2 avulla . . . 52

5.2.2 Ratkaisu separoimalla . . . 54

5.2.3 Täysin eristetty äärellinensauva . . . 58

5.3 Muita sovelluksia . . . 60

Fourier-sarjojenteoriasyntyi

1800

^{-luvun alussa,kun}ranskalainenmatemaa- tikko ja fyysikko Jean Babtiste Joseph Fourier tutkilämmön johtumista ai-

neessa. Tarkasteltava tilanne on yksiulotteisessa tapauksessa seuraavanlai-

nen:

Ympäristöstääneristettyhomogeeninensauva,jonkapituuson

l

^pidetään

päistään lämpötilassa

0 ^◦

^{, ja} ajanhetkellä

t = 0

^{sauvan lämpötilapisteessä}

x

on

f (x)

^{. Lämmönjohtumistatässä} tilanteessakuvaaosittaisdierentiaaliyh- tälö

∂

∂t u(x, t) − α ∂ ² u(x, t)

∂x = 0, 0 < x < l, t ≥ 0,

^(1.1)

missä

α

^{onaineesta riippuva} positiivinen vakio,ja

u(x, t)

^{kertoo lämpötilan}

pisteessä

x

^hetkellä

t

^{. Lisäksi onvieläreuna- sekä alkuehdot}

u(0, t) = u(l, t) = 0, t > 0

u(x, 0) = f (x), 0 < x < l.

Ratkaisusaadaantavallisilladierentiaaliyhtälöidenratkaisumenetelmillä

muodossa

u(x, t) = X ∞

n=1

b n sin nπx

l e ^{− α} ( ^nπ l ) ^{2 t}

ilman, että alkuehtoa oltaisiin vieläsovellettu. Sen avulla pitäisi pystyä täs-

mentämäänratkaisua, mutta alkuehdosta seuraa ainoastaan

u(x, 0) = f(x) = X ∞

n=1

b n sin nπx l .

Vakiot

b n

^{pystyttiin ratkaisemaan} tilanteissa, joissa alkuhetkeä kuvaava funktio

f

^{oli äärellinen sini- ja} kosinifunktioiden lineaarikombinaatio. Kui- tenkin, mikäli funktio

f

^{oli jotain muuta, kuten polynomi- tai} eksponentti- funktio, eiratkaisua saatu vietyä loppuun.

Fourier-analyysinvoidaansanoalähteneenliikkellejuuritämänkysymyk-

sen ääreltä. Fourier päätyi väittämään, että lähes kaikki funktiot voidaan

esittää sini-ja kosinifunktioiden lineaarikombinaatioina.Näistätuloksistaan

hän julkaisi vuonna

1822

^{kuuluisan kirjansa Théorie analytique de la ha-}

leur (Analyyttinen lämpöteoria). Väite oli tuolloin niin yllättävä, etenkin

kun se koski myös epäjatkuvia funktioita, että aluksi se sai monilta tunne-

tuimmiltamatemaatikoiltatäystyrmäyksen.Ennenpitkäätulokset kuitenkin

todettiin oikeiksi ja niiden käyttökelpoisuus alkoi valjeta,jonka seurauksena

Fourier-analyysilevisi hyvin nopeasti useille eritieteenaloille.

nen. Tunnetusti esimerkiksi vektorin x

∈ R ³

esitys kantavektoreiden avulla on x

= P 3

j=1 h

^x

, e j i e j

^{. Se toimii, koska} kantavektoreiden

e 1 , e 2

^ja

e 3

^välinen

sisätulo on nolla, eli ne ovat geometrisesti kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Samaan tapaan, jos funktioista muodostuvassa vektoriavaruudessa voidaan

määritelläsopiva sisätulofunktio

h· , ·i

^{ja löydetään sopiva joukko}

{ e j }

^siten,

että

h e i , e j i = 0 ⇔ i 6 = j

^{,voidaan kyseisen avaruuden alkio}

f

^{esittäätällais-}

ten `kantafunktioiden' lineaarikombinaationa,

f(x) = P _∞

j=1 h f (x), e j i e j

^.

TässätyössäpyritäänesittelemäänFourier-sarjojenteoriankeskeisimmät

tulokset. Etenkin Fourier-sarjojen suppenemisen tutkiminenon todella mo-

niulotteinenprosessi, eikätässä pyritäantamaansiihentyhjentäviä vastauk-

sia.Yleisimmätehdotkuitenkinesitetään,joillaFourier-sarjasuppeneehyvin

suurelle joukolle funktioita. Fourier-muunnosten puolella keskitytään

L ¹

^{- ja}

L ²

-funktioihin, ja lopuksi esitelläänFourier-analyysin sovelluksia.

2 Tarpeellisia lauseita ja määritelmiä

Tässä luvussaesitetään Fourier-analyysinkannaltavälttämättömiätuloksia.

Lukuvoiosittainollapuuduttavaaluettavaa,mutta tarpeellisiamääritelmiä

ja lauseita on useita, joten ne täytyy esittää mahdollisimaan ytimekkäästi.

Lauseet todistetaan niiltäosin, kun todistus eivie liikaatilaa.

Määritelmä 2.0.1. Trigonometrinenpolynomi on muotoa

f (x) = X N

n=0

a n cos nπx

L + b n sin nπx L

,

^(2.1)

missä

L > 0

^,

a n

^ja

b n

^{, ovat vakioitaja}

n ∈ N ₀

.

On helppo osoittaa, että tällaisella polynomilla on jaksona

2L

^{. Sijoituk-}

silla

x = m2L, m ∈ N ,

^jää argumentteihin

2π

^:nmoninkerta, jokaon sinin ja kosinin jakson pituus.

Trigonometriselläsarjalla tarkoitetaanmuotoa(2.1)oleviasarjoja,joissa

N → ∞

^.

Määritelmä 2.0.2. Funktion

f

^{sanotaan kuuluvanluokkaanC}

^k (I)

^,jos

f ⁽ⁿ⁾

on jatkuva välillä

I

^{kaikillaluvuilla}

n = 0, 1, 2, . . . , k

^{.Tällöin sanotaan, että}

f

^on

k

^{kertaa jatkuvasti dier}entioituva.

Mikäliväli

I = [x 0 , x r ]

^voidaanjakaaäärelliseen moneenosaväliinpisteil- lä

x ₀ < x ₁ < . . . < x r

^{,ja jokaisella osavälillä}

[x i − 1 , x i ]

^funktion toispuoleiset raja-arvot

f(x ⁺ _{i − 1} )

^ja

f (x ⁻ _i )

^{ovat olemassa, sekä}

f(x) ∈

^C

^k [x i − 1 , x i ]

^kaikil-

la

i = 1, 2, . . . , r

^{, sanotaan että funktio on}

k

^{kertaa paloittain jatkuvasti}

derivoituva välillä

I

^{. Tätävoidaan merkitä}

f ∈

^C

^k

^pal

(I)

^.

LuonnollisinympäristöFourier-analyysilleontäydellinensisätuloavaruus,eli

Hilbert-avaruus.Senmäärittelemiseksitäytyy ensinesitellämuutamiaperus-

käsitteitä. Seuraavissa määritelmissä merkitään joukkoja

R

ja

C

yhteisellä symbolilla

F

. Kompleksisista määritelmistä reaalisiinpäästään huomioimal- la, että

x = x

^{, jos}

x ∈ R

.

Määritelmä 2.1.1. Vektoriavaruus onjoukko

V

varustettunavektorienyh- teenlaskulla

+ : V × V → V

^jaskalaaritulolla

· : F × V → V

^{siten,ettäkaikille}

x, y, z ∈ V

^ja

a, b ∈ F

pätee

a)

x + y = y + x

^;

b)

(x + y) + x = x + (y + z)

^;

)

∃ 0 ∈ V

^{siten, että}

0 + x = x + 0 = x

^;

d)

∀ x ∃ − x ∈ V

^{siten, että}

x + ( − x) = 0

^;

e)

a · (b · x) = (a · b) · x

^;

f)

(a + b) · x = a · x + b · x

^;

g)

a · (x + y) = a · x + a · y

^;

h)

1 · x = x

^.

Määritelmä 2.1.2. Olkoon

V

vektoriavaruus. Normi avaruudessa

V

^on

funktio

k · k : V → R ₊

siten, että kaikille

x, y ∈ V

^ja

a ∈ F

pätee a)

k x k ≥ 0

^;

b)

k x k = 0 ⇔ x = 0

^;

)

k ax k = | a |k x k

^;

d)

k x + y k ≤ k x k + k y k

^.

Tällöinpari

(V, k · k )

^onnormitettuvektoriavaruus tailyhyemminnormiava- ruus.

Määritelmä 2.1.3. Jos

(V, k · k )

^onnormiavaruus,niinetäisyysnormin

k · k

mielessä on

k x − y k

^{. Lukujen}

x n ∈ V

^{jono suppenee normin}

k · k

^mielessä

lukuun

x ∈ V

^{, jos}

n lim →∞ k x − x n k = 0.

Määritelmä2.1.4. Olkoon

V

normiavaruusja

x n ∈ V

^.

{ x n } ^∞ n=1

^onCauhyn

jono, jos onolemassa luku

N ε

^{siten, että kaikille}

ε > 0

^pätee

k x n − x m k < ε,

^kun

n, m > N ε .

Normiavaruus

V

^ontäydellinen,mikälijokainenCauhyn jonosuppenee ky- seisen normin mielessä johonkin alkioon

x ∈ V

^. Täydelliset normiavaruudet ovatBanah-avaruuksia.

Määritelmä 2.1.5. Olkoon

V

vektoriavaruus. Sisätulo on funktio

h· , ·i : V × V → F

siten, että kaikille

x, y, z ∈ V

^ja

a ∈ F

pätee

a)

h x, y i = h y, x i

^;

b)

h ax, y i = a h x, y i

^;

)

h x + y, z i = h x, z i + h y, z i

^;

d)

h x, x i

= 0,

^jos

x = 0

> 0,

^kun

x 6 = 0.

Tällöin pari

(V, h· , ·i )

^on sisätuloavaruus.

Sisätulonavulla saadaanaina muodostettua normi seuraavallatavalla:

Lemma 2.1.6. Jos

V

^on sisätuloavaruus, niin funktio

k · k : V → R ₊

,

k x k = p h x, x i

määrittelee normin avaruudessa

V

^{. Tällöin voidaan sanoa, että normi}

k · k

on sisätulon

h· , ·i

^indusoima.

Lemman2.1.6 mukaan siis sisätuloavaruus onmyös normiavaruus.

Määritelmä2.1.7. Olkoon

V

sisätuloavaruus.Välillä

[a, b]

määritellynreaali- tai kompleksiarvoisten funktioiden joukon,

{ φ n (x) } ∈ V, n ∈ N ₀

, sanotaan olevan ortogonaali välillä

[a, b]

^{, jos minkä tahansa kahden funktion sisätulo}

on

h φ n , φ m i =

0,

^kun

n 6 = m

k φ m k ² > 0,

^kun

n = m (n, m = 0, 1, 2, . . .).

^(2.2)

Määritelmä 2.1.8. Ortogonaalisen funktioiden joukon

{ φ n (x) } , n ∈ N ₀ ,

sanotaanolevanortonormaali,jos

k φ n (x) k = 1

^{kaikilleluvuille}

n

^.Jos

{ φ n (x) }

on ortogonaalinen, niin

n _φ

n (x) k φ n k

o

on ortonormaali.

Määritelmä 2.1.9. Jos sisätuloavaruus

V

^on täydellinen,sanotaan, että

V

on Hilbert-avaruus.

Sisätuloja voi konstruoidamonellakin tapaa,mutta tämän työnajansisätu-

lollaon seuraava määrittely.

Määritelmä2.1.10. Olkoonreaali-taikompleksiarvoistenfunktioidenjouk-

ko

V

vektoriavaruus ja olkoot funktiot

φ n , φ m ∈ V

^,

φ : F → F

, välillä

[a, b]

määriteltyjäfunktioitasiten,ettäniidentulo

φ n φ m

^onintegroituvakyseisellä välillä.Määritelläänsisätulo

h· , ·i : V × V → F

,

h φ n , φ m i = Z b

a

φ n (x)φ m (x)dx

^(2.3)

ja normi

k · k : V × V → R ₊

,

k φ n (x) k = p

h φ n , φ n i .

^(2.4)

Trigonometriselläsysteemillä tarkoitetaanjompaa kumpaa joukoista

{ e ^{i nπx L} } , n ∈ Z

tai

{ C, cos ^nπx _L , sin ^nπx _L } , n ∈ N

. Seuraavaksi osoitetaan kah- della esimerkillä,että ne ovatortogonaalisiavälillä

( − L, L)

^{. Ensintarvitaan}

kuitenkin muutamaapulause.

Lemma 2.1.11. Jos välillä

[ − L, L]

integroituvalla funktiolla

f

^{on jaksona}

2L

^{, niin}

f

^on integroituva jokaisellasuljetulla välillä ja

Z L

− L

f (x)dx =

c+2L Z

c

f (x)dx, c ∈ R .

^(2.5)

Todistus. Olkoon

c ∈ R

. Tällöin

c+2L Z

c

f (x)dx =

c+2L Z

− L

f (x)dx − Z c

− L

f (x)dx

= Z L

− L

f (x)dx +

c+2L Z

L

f(x)dx − Z c

− L

f (x)dx

c+2L Z

c

f (x)dx − Z L

− L

f (x)dx =

c+2L Z

L

f (x)dx

| {z }

sij.

x=t+2L

− Z c

− L

f (x)dx

= Z c

− L

f (t + 2L)dt − Z c

− L

f (x)dx

= Z c

− L

[f (t + 2L) − f (t)] dt = 0,

koska

f(t + 2L) = f (t)

^.

Lemma 2.1.12. Jos

f

^on

a) parillinen funktio, niin

R L

− L f (x)dx = 2 R L

0 f (x)dx

^.

b) pariton funktio, niin

R L

− L f (x)dx = 0

^.

Todistus. Triviaali.

Lemma 2.1.13.

Z L

− L

sin nπx L dx =

Z L

− L

cos nπx

L dx = 0, n ∈ Z \ { 0 } .

Todistus. Triviaali.

Esimerkki 2.1.14. Funktiot

C, cos πx

L , sin πx

L , cos 2πx

L , sin 2πx L , . . .

missä

C 6 = 0

^on vakiofunktio, ovat ortogonaaliset millä tahansa

2L

^{:n pitui-}

sella välillä.

Todistus. Riittääosoittaa,ettäfunktiotovatortogonaalisetjollain

2L

^:nmit-

taisella välillä.Tämänjälkeen väite seuraa Lemmasta2.1.11.

Lemman 2.1.13nojalla

Z L

− L

C cos nπx L dx =

Z L

− L

C sin nπx

L dx = 0, n = 1, 2, 3 . . . .

2.1.12 b) nojalla

Z L

− L

cos nπx

L sin mπx

L dx = 0, n, m = 1, 2, 3, . . . .

Integraalien

I 1 = R L

− L cos ^nπx _L cos ^mπx _L dx

^ja

I 2 = R L

− L sin ^nπx _L sin ^mπx _L dx

^laske-

miseksi sovelletaan kaavoja

cos α cos β = 1

2 [cos (α − β) + cos (α + β)]

sin α sin β = 1

2 [cos (α − β) − cos (α + β)].

Jos

n 6 = m

^{, saadaan}

I ₁ = 1

2 Z L

− L

cos (n − m)πx

L dx + 1 2

Z L

− L

cos (n + m)πx

L dx = 0 + 0 = 0 (

^Lemma

2.1.13)

I 2 = 1 2

Z L

− L

cos (n − m)πx

L dx − 1 2

Z L

− L

cos (n + m)πx

L dx = 0 − 0 = 0 (

^Lemma

2.1.13)

Jos taas

n = m 6 = 0

^{, niin}

I ₁ = 1

2 Z L

− L

cos 0 dx + 1 2

Z L

− L

cos 2mπx L dx

| {z }

=0

(

^Lemma

2.1.13)

= L

I ₂ = 1 2

Z L

− L

cos 0 dx − 1 2

Z L

− L

cos 2mπx L dx

| {z }

=0

(

^Lemma

2.1.13)

= L.

Viimeiseksi, jos

n = m = 0

^, tarkastellaan vakiofunktiota

φ ₀ (x) = C

^{, jonka}

Määritelmän 2.1.10 mukaisesta integroinnista tulee

2C ² L

^{. Siissysteemi}

C, cos πx

L , sin πx

L , cos 2πx

L , sin 2πx

L , . . .

k φ n k ² =

2C ² L,

^kun

n = 0 L,

^kun

n ∈ N .

Esimerkki 2.1.15. Funktioidenjoukko

{ e ^{i nπx L} }

^onmyösortogonaalinenmil- lä tahansa

2L

-mittaisellavälillä.Kyse on oleellisestisamasta joukosta kuin edellisessä esimerkissä,mutta laskuistaselvitään lyhyemmin,jotenesitetään

ne tässä kokonaisuudessaan.

Otetaantarkasteluunjaksonmittainenväli

[α, α+2L]

^,

α ∈ R

,muttamer- kitään ensin luettavuuden parantamiseksi

π

L = ω

^{, jolloin joukko on}

{ e ^inωx }

^.

Nyt Määritelmän 2.1.7 integraalista saadaan, kun

n 6 = m

^,

α+2L Z

α

e ^inωx e ^{− imωx} dx =

α+2L Z

α

e ^{iωx(n − m)} dx

=

α+2L .

α

e ^{iωx(n − m)}

iω(n − m) = e ^{iω(α+2L)(n − m)}

iω(n − m) − e ^{iωα(n − m)} iω(n − m)

= e ^{iωα(n − m)+iω2L(n − m)} − e ^{iωα(n − m)} iω(n − m)

= e ^{iωα(n − m)}

iω(n − m) (e ^{iω2L(n − m)} − 1) (

^sij.

ω = π L )

= e ^{iωα(n − m)}

iω(n − m) (e ^{i2π(n − m)} − 1)

= e ^{iωα(n − m)}

iω(n − m) (1 ^{(n − m)} − 1) = 0.

Jos taas

n = m

^{, niin}

α+2L Z

α

e ^inωx e ^{− inωx} dx =

α+2L Z

α

e ^{inωx − inωx} dx =

α+2L Z

α

dx = 2L.

Siis

α+2L Z

α

e ^inωx e ^{− imωx} dx =

0,

^kun

n 6 = m

2L,

^kun

n = m,

^(2.6)

jotenMääritelmän(2.1.7)mukaanfunktioiden

{ e ^{i nπx L} }

^{muodostamasysteemi}

on ortogonaalinenkaikilla

2L

^{:npituisilla väleillä.}

2.1.2

L ^p

^-avaruudet

Seuraavaksi tarvitaan käsitteitä nollamittainen joukko ja ess sup

f

^{, jotka}

ovat käsitteitä mittateorian puolelta. Ne pystytään määrittelemään varsin

järkevästiperehtymättä mittateoriaansen tarkemmin.

Määritelmä 2.1.16. Joukko

A ⊂ R ⁿ

onnollamittainen,jos jokaiselle

ε > 0

on olemassakokoelma

(I k ) k ∈ N

^{kompakteja välejä}

I k ∈ R ⁿ

siten, että

A ⊂ [

k ∈ N

I k

^ja

X

k ∈ N

l(I k ) < ε

missä

l(I k )

^{on välin}

I k

^`koko'.

1

^-,

2

^{- ja}

3

-ulotteisissa tapauksissa se on vas- taavasti pituus, pinta-ala ja tilavuus.

n

-ulotteisessa tapauksessa puhutaan

n

-ulotteisen laatikontilavuudesta.

Esimerkiksi luonnolliset luvut ovat nollamittainen joukko. Kun ympä-

röidään jokainen luonnollinen luku välillä

I n

^{, jonka pituus on}

l(I n ) = ₂ n+1 ^ε

^,

saadaan välit

I ₁ = [1 − ε 8 , 1 + ε

8 ], I ₂ = [2 − ε

16 , 2 + ε

16 ], I ₃ = [3 − ε

32 , 3 + ε 32 ], . . .

Välienpituuksien summaksi saadaan

ε

" _∞ X

n=2

1 2

n #

= ε

" _∞ X

n=0

1 2

n

− 1 − 1 2

#

= ε 1

1 − ¹ ₂ − 3 2 = ε

2 < ε.

Selvästi

N ⊂ S

n ∈ N I n

^ja

P

n ∈ N l(I n ) < ε

^.

Määritelmä 2.1.17. Jonkin ominaisuudensanotaan pätevän melkein kaik-

kialla, lyhennetään yleisesti m.k., jos niiden pisteiden joukko, jossa ominai-

suus eipäde, onnollamittainen.

Esimerkiksi funktiolle

f : R → R

,

f (x) =

x,

^kun

x ∈ N 0,

^kun

x ∈ R \ N

voidaan sanoa

f(x) = 0

^{m.k. .}

Määritelmä 2.1.18. Josfunktiolle

f : R → R

onolemassaluku

b ∈ R

siten, että

f (x) ≤ b

^{m.k.,voidaan funktion}

f

^{oleellinen supremum määritellä}

ess

sup f = inf { b | f (x) ≤ b

^m.k.

}

Funktion

f

^{voidaan sanoa olevan} oleellisesti rajoitettu, jos on olemassa

b

siten, että

| f (x) | ≤ b

^m.k..

määrittelystäpoikkeaviayksittäisiäpisteitä,muttaniilläolemerkitystäfunk-

tion ominaisuuksienkannalta.Tällöinmyöskaksifunktiota

f

^ja

g

^mielletään

oleellisesti samoiksi, mikäli joukko

{ x | f(x) 6 = g(x) }

^on nollamittainen, eli

f (x) = g(x)

^{m.k..Kahdenfunktion} yhtäsuuruus tuleejatkossa käsittääaina näin, ilman erillistämainintaa.

Määritelmä 2.1.19. Jollekinluvulle

1 ≤ p < ∞

^,välillä

I = (a, b)

^määritel-

lyn funktion

f p

^{-normi on}

k · k ^p

^,

k f k ^p =



 Z b

a

| f (x) | ^p dx





1 p

.

^(2.7)

Funktion

f

^{sanotaan kuuluvanjoukkoon}

L ^p (I )

^{, jos pätee}

k f k ^p < ∞ .

^(2.8)

Luvulle

p = ∞

^{, funktion}

f

^{sanotaan kuuluvan joukkoon}

L ^∞ (I )

^{, jos pätee}

ess sup

x ∈ I | f | < ∞ .

^(2.9)

Väli

I

^{voi ollamyös ääretönja jos}

I = R

, ontapanamerkitä

L ^p ( R ) = L ^p

^.

Huomionarvoistaon,ettäjos

f ∈

^C

^k pal (I)

^,missä

I

^{onäärellinenja}

k ∈ N ₀

, niin

f ∈ L ^p (I)

^,

1 ≤ p ≤ ∞

^.

L ^p

^{-avaruudet ovatkaikki} Banah-avaruuksia(todistus sivuutetaan),jois-

sa on normi

k · k ^p

^.

L ^p

-avaruuksista tärkein on

L ²

^{, sillä normi}

k · k ²

^{on Mää-}

ritelmän 2.1.10 mukaisen sisätulon indusoima:

k f k ² = p

h f, f i

^.

L ²

^{on siis}

sisätuloavaruusja Banah-avaruutena se ontäydellinen.

Lause 2.1.20.

L ²

^on Hilbert-avaruus, eli jokainen Cauhyn jono

{ f n } ^∞ n=1

^,

f n ∈ L ²

^{, suppenee normin}

k · k ²

^{mielessä tasaisesti funktioon}

f ∈ L ²

^.

2.2 Integraaleja koskevia tuloksia

Tämä luku onluettelomainen, eikä sisällä muuta kuin tuloksia, joihin myö-

hemmin viitataan.Tulokset on koottu tähän kirjasta[5℄.

Lemma 2.2.1. Fatoun Lemma

Olkoon

f 1 , f 2 , . . .

^jonoepänegatiivisiafunktioitavälillä

( −∞ , ∞ )

^ja

lim n →∞ f n = f (x) ≥ 0

^{melkeinkaikilla}

x

^{. Tällöin}

Z ∞

−∞

f(x)dx ≤ lim

n →∞

Z ∞

−∞

f n (x)dx.

Lause 2.2.2. Olkoot funktiot

f ₁ , f ₂ , . . .

integroituvia välillä

( −∞ , ∞ )

^{. Jos}

| f n (x) | ≤ F (x)

^m.k.

,

jollekin integroituvalle funktiolle

F

^{, ja jos}

n lim →∞ f n (x) = f(x)

^m.k.

,

niin silloin

f

^on integroituva ja

n lim →∞

Z ∞

−∞

f n (x)dx = Z ∞

−∞

f (x)dx.

Lemma 2.2.3. Riemann-Lebesguen lemma

Olkoon

f ∈ L ¹

^{. Silloin}

| ω lim |→∞

Z ∞

−∞

f (x)e ^{− iωx} dx = 0.

^(2.10)

Lisäksi

| ω lim |→∞

Z π

− π

f (x) cos ωx dx = 0

^ja

lim

| ω |→∞

Z π

− π

f (x) sin ωx dx = 0.

Todistus. Todistetaan vain ensimmäinen väite. Kaksi muuta ovat sen eri-

koistapauksia. Merkitään

f(ω) = ˆ R

R f (x)e ^{− iωx} dx

^{. Koska}

e ^{− ix} = − e ^{− i(x+π)}

^,

niin

− f ˆ (ω) = Z ∞

−∞

e ^{− iω(x+ π ω )} f (x) dx = Z ∞

−∞

e ^{− iωx} f x − π

ω

dx.

^(2.11)

Laskemalla

f ˆ (ω) − [ − f(ω)] ˆ

^saadaan

2 ˆ f (ω) =

Z ∞

−∞

e ^{− iωx} h

f (x) − f x − π

ω i

dx

^(2.12)

joten

2 | f ˆ (ω) | ≤ Z ∞

−∞

f (x) − f x − π

ω

dx.

^(2.13)

Nyt, koska

f ∈ L ¹

^{, on}

R

R f (x − ^π ω )

rajoitettu.Lauseesta 2.2.2 seuraa

ω →±∞ lim | f ˆ (ω) | ≤ lim

ω →±∞

Z ∞

−∞

1 2

f (x) − f x − π

ω

dx = 0,

^(2.14)

mikä todistaa väitteen.

Lause 2.2.4. Cauhy-Shwarzin epäyhtälö

Jos

V

^on sisätuloavaruus ja

f, g ∈ V

^{, pätee}

|h f, g i| ≤ k f kk g k .

Lause 2.2.5. Fubinin Lause

Jos kaksoisintegraali

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

f (x, y ) dx dy

suppenee itseisesti, silloin

Z ∞

−∞

f (x, y) dy

on olemassa ja on muuttujan

x

^suhteen integroituva funktio. Lisäksi

Z ∞

−∞

dx Z ∞

−∞

f (x, y ) dy = Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

f (x, y) dx dy.

Lause 2.2.6. Tonelli-Hobsonin Lause

Jos toinen integraaleista

Z ∞

−∞

dx Z ∞

−∞

f(x, y) dy, Z ∞

−∞

dy Z ∞

−∞

f(x, y) dx

suppenee itseisesti, niinmyös

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

f (x, y ) dx dy

suppenee itseisesti ja kaikki kolme integraalia ovat saman arvoisia.

Konvoluutioonmatemaattinentyökalu, jollaonsovelluksiaesimerkiksitilas-

totieteessä,signaalinkäsittelyssäjadierentiaalilaskennassa.Fourier-analyysissa

se esiintyy Fourier-sarjojen pisteittäisen suppenemisen todistuksessa, mutta

palataansiihen luvuissa

3.4

^ja

3.5

^.

Määritelmä 2.3.1. Kahden funktion

f, g

konvoluutio on

f ∗ g = Z ∞

−∞

f (t)g(x − t) dt.

^(2.15)

Lemma 2.3.2. Jos

f, g ∈ L ¹

^{, niin integraali}

Z ∞

−∞

f(t)g(x − t) dt

on olemassa ja se kuuluu luokkaan

L ¹

^.

Todistus. Kaikilleluvuille

t

^pätee

Z ∞

−∞

| g (x − t) | dx = Z ∞

−∞

| g(x) | dx < ∞

ja siten

Z ∞

−∞

dt Z ∞

−∞

| f (t)g(x − t) | dx = Z ∞

−∞

| f (t) | dt Z ∞

−∞

| g(x − t) | dx < ∞ .

Lauseen 2.2.6 mukaan kaksoisintegraali

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

f (t)g(x − t) dx dt

suppenee tällöin itseisesti.Nyt väite seuraaFubinin Lauseesta 2.2.5.

[5, s.19℄

Lause 2.3.3. Konvoluution ominaisuuksia:

1.

f ∗ g = g ∗ f

2.

h ∗ (f + g) = h ∗ f + h ∗ g

3.

(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)

4.

a(f ∗ g) = (af ) ∗ g = f ∗ (ag)

Todistus sivuutetaan.

Koska Fourier-sarjojen teoria käsittelee jaksollisia funktioita, on paikal-

laan tutkia hieman konvoluution jaksollisuutta. Otetaan jotkin jaksolliset

funktiot

f

^ja

g

^{, joillaon jaksona}

T

^{. Niiden} konvoluutio on

(f ∗ g)(x) = Z ∞

−∞

f(t)g (x − t)dt

Suorittamalla integorintijakson

T

mittaisissaosissa, saadaan

(f ∗ g)(x) = X ∞

k= −∞





t ₀ +(k+1)T

Z

t ₀ +kT

f (t)g(x − t)dt





= X ∞

k= −∞





t 0 +T

Z

t 0

f(t + kT )g(x − t − kT )dt





= X ∞

k= −∞





t Z ₀ +T

t ₀

f(t)g (x − t)dt



 .

Hakasulkeissa oleva lausekeeisisällä enää indeksiä

k

^{, jotensarjahajaantuu,}

jos

R t 0 +T

t 0 f(t)g(x − t)dt 6 = 0

^{. Olennainentieto onkin se, että kun} reaaliakseli on jaettu jakson mittaisiin väleihin, saadaan konvoluution arvo kertomalla

välienlukumääräkonvoluutionarvollayhdenjaksonyli.Toisinsanoenkonvo-

luutionarvojokaisellajaksonmittaisellavälilläonsama.Jotenjosfunktioilla

f

^ja

g

^onjaksona

T

^{, myösniiden} konvoluutiolla onjaksona

T

^.

3 Fourier-sarjat

Ortogonaalisten systeemien merkitys on seuraava:

Olkoon

V

sisätuloavaruusja

{ φ n (x) } ⊂ V

^välillä

[a, b]

ortogonaalinenjoukko.

Oletetaan, että

c ₀ φ ₀ (x) + c ₁ φ ₁ (x) + . . . + c n φ n (x) + . . . ,

^(3.1)

missä

c ₀ , c ₁ , c ₂ , . . .

^{ovatvakioita,suppeneevälillä}

[a, b]

^{kohtijotakinfunktiota}

f (x) ∈ V

^{. Kun kerrotaan yhtälön}

f = c 0 φ 0 + c 1 φ 1 + . . .

^{molemmat puolet}

funktiolla

φ m

^jaintegroidaantermeittäinylivälin

[a, b]

^,saadaanMääritelmän 2.1.7 nojalla

Z b

a

f (x)φ m (x)dx = c ₀ h φ ₀ , φ m i + . . . + c m h φ m , φ m i + . . . + c n h φ n , φ m i + . . .

⇔ Z b

a

f (x)φ m (x)dx = 0 + . . . + c m k φ m k ² + . . . + 0 + . . .

⇔ c m = 1

k φ m k ² Z b

a

f (x)φ m (x)dx.

^(3.2)

Tällätavoin määrättyjä vakioita

c n

^sanotaan (yleistetyiksi) Fourier-ker- toimiksi jasarjaa(3.1)funktion

f

(yleistetyksi)Fourier-sarjaksi tarkastelta- vanortogonaalisenjoukon suhteen. Tämä lähdettä [8℄mukaileva päättely ei

ole täysin eksakti, mutta antaa hyvän lähtökohdan Fourier-sarjojen teorian

kehittämiselle. Se johtaa tarkastelemaan seuraavanlaistaongelmaa:

Olkoon

f (x)

^{määriteltyvälillä}

[a, b]

^jaluvut

c n

^{laskettukaavan(3.2)mu-}

kaisesti.Kirjoitetaan

f (x) ∼ c 0 φ 0 (x) + c 1 φ 1 (x) + . . . ,

^(3.3)

jossa symbolia `

∼

^{' käytetään siitä syystä, että ei vielä tehdä olettamuk-}

sia oikeanpuoleisen sarjan suppenemisesta, saati siitä, että sen summa olisi

f (x)

^{. Oleellinenkysymys kuuluukin: Mitä ehtoja vaaditaan,että sarja (3.3)}

suppenee ja sen summa on funktio

f (x)

^{? Annetaan kuitenkin} määritelmät kompleksiselle ja reaaliselle Fourier-sarjalle, ennenkuin paneudutaan suppe-

nemisen tarkasteluun.

3.1 Fourier-sarjan määrittely

Pitäydytään tästä eteenpäin Määritelmän 2.1.10 mukaisessa sisätuloavaruu-

dessa, elleierikseenmuuta mainita.Kompleksinen trigonometrinensysteemi

{ e ^{i nπx L} | n = 0, ± 1, ± 2, . . . }

^(3.4)

osoitettiin ortogonaaliseksi jo Esimerkissä 2.1.15. Edellä esitetyn päättelyn

mukaisesti päästään siten suoraanseuraavaan määritelmään.

Määritelmä 3.1.1. Olkoonfunktio

f

^{määritelty ja} integroituva välillä

[ − L, L]

^{ja tämän välin} ulkopuolella siten, että

f(x + 2L) = f (x).

^Funktion

f (x)

kompleksiterminen Fourier-sarja systeemin (3.4) suhteen on

X ∞

−∞

c n e ^{i nπx L} ,

^(3.5)

missä vakiot

c n

^ovat kompleksitermisiä Fourier-kertoimia,

c n = 1 2L

Z L

− L

f (t)e ^{− i nπt L} dt.

^(3.6)

Jos on tarvetta erikseen ilmaista, minkäfunktion suhteen Fourier-kertoimia

ollaan laskemassa, merkitäänsitä

c n [f ]

^.

Kirjoitetaanseuraavaksi Eulerin kaavan avulla

e ^{i nπx L} = cos nπx

L + i sin nπx

L ,

^(3.7)

jolloin kaavasta (3.6) saadaan

c n = 1 2L

Z L

− L

f (t)

cos nπt

L − i sin nπt L

dt

= 1 2



 1 L

Z L

− L

f (t) cos nπt

L dt − i 1 L

Z L

− L

f(t) sin nπt L dt





= 1

2 (a n − ib n ), n = 0, ± 1 ± 2, . . . ,

^(3.8)

missä

a n = 1 L

Z L

− L

f(t) cos nπt

L dt

^(3.9)

b n = 1 L

Z L

− L

f(t) sin nπt

L dt.

^(3.10)

Yleensä on kuitenkin luonnollisempaa, että

n

^{ei saa} negatiivisia arvoja, joten määritellään(3.8) uudelleen:

c n = 1

2 (a n − ib n )

^ja

c ₋ n = 1

2 (a n + ib n ), n ∈ N ₀ .

^(3.11)

Tarkastellaanseuraavaksi sarjaa(3.5), merkitäänjälleen

π

L = ω

^{ja järjes-}

tetään termit seuraavasti:

c ₀ +(c 1 e ^iωx +c ₋ 1 e ^{− iωx} )+(c 2 e ^i2ωx +c ₋ 2 e ^{− i2ωx} )+ . . .+(c n e ^inωx +c ₋ n e ^{− inωx} )+. . .

(3.12)

Sarjan

n.

^:stermi

(n 6 = 0)

^{onnyt, ottaen huomioon(3.11),}

c n e ^inωx + c ₋ n e ^{− inωx} = 1

2 (a n − ib n )e ^inωx + 1

2 (a n + ib n )e ^{− inωx}

= 1

2 (a n e ^inωx + a n e ^{− inωx} − ib n e ^inωx + ib n e ^{− inωx} )

= a n

1

2 (e ^inωx + e ^{− inωx} ) − b n

1

2 i(e ^inωx − e ^{− inωx} )

= a n

1

2 (e ^inωx + e ^{− inωx} ) + b n

1

2i (e ^inωx − e ^{− inωx} )

= a n cos nωx + b n sin nωx

= a n cos nπx

L + b n sin nπx

L (n = 1, 2, 3, . . .).

^(3.13)

Kun

n = 0

^{, saadaan yhtälöistä (3.11)}

c 0 = ¹ ₂ a 0

^(koska

b 0 = 0

^{). Nyt (3.12)}

voidaan muotoilla

1

2 a ₀ + (a 1 cos πx

L + b ₂ sin πx

L ) + . . . + (a n cos nπx

L + b n sin nπx

L ) . . . .

^(3.14)

Esimerkissä2.1.14 osoitettiin, että trigonometrinen systeemi

C, cos πx

L , sin πx

L , cos 2πx

L , sin 2πx

L , . . .

^(3.15)

on ortogonaalinenmillätahansa

2L

^:n mittaisellavälillä.Niinpä sarja (3.14) esittää Fourier-sarjaa ja saadaan

Määritelmä 3.1.2. Olkoon

f(x)

^{määritelty ja} integroituva välillä

[ − L, L]

jatämänvälinulkopuolellasiten,että

f (x + 2L) = f (x)

^.Funktion

f

^Fourier-

sarja reaalisentrigonometrisen systeemin suhteen on

1 2 a 0 +

X ∞

n=1

a n cos nπx

L + b n sin nπx L

,

^(3.16)

missä Fourier-kertoimet

a n

^ja

b n

^{on määritelty kaavoilla (3.9) ja (3.10).}

Fourier-sarjan osasummaa merkitään

S n (x) = 1 2 a ₀ +

X n

k=1

a k cos kπx

L + b k sin kπx L

(3.17)

Mikäli funktio

f

^on parillinen,

f (t) sin ^nπt _L

^{ontällöin pariton ja Lemman}

2.1.12 nojalla kertoimet

b n

^{ovat tällöin kaikki nollia. Lisäksi}

f (t) cos ^nπt _L

^on

parillinen,joten kertoimet

a n

^{voidaanlaskeakaavalla}

a n = 2 L

Z L

0

f (t) cos nπt

L dt.

^(3.18)

Parittomallefunktiolle

f

^{pätee, että}

f(t) cos ^nπt _L

^onparitonja

f (t) sin ^nπt _L

^on

parillinen.Tällöin

a n = 0

^kaikilla

n ≥ 0

^{ja vakiot}

b n

^{saadaan kaavasta}

b n = 2 L

Z L

0

f (t) sin nπt

L dt.

^(3.19)

Määritelmä 3.1.3. Parillisenfunktion

f

kosiniterminen Fourier-sarja on

a 0

2 + X ∞

n=1

a n cos nπx

L ,

^(3.20)

missä vakiot

a n

^{saadaan kaavalla(3.18).}

Parittomanfunktion

f

siniterminenFourier-sarja on

X ∞

n=1

b n sin nπx

L ,

^(3.21)

missä vakiot

b n

^{saadaankaavalla(3.19).}

Jatkossa Fourier-sarjallatarkoitetaan aina Fourier-sarjaa joko systeemin

(3.4) tai (3.15) suhteen. Koska siirtyminen esitysmuotojen (3.5) ja (3.16)

välilläonedelläesitetynmukaanpelkästääntekninensuoritus,voidaannäistä

kahdesta muodosta milloin tahansa valita se, kumpi soveltuu tilanteeseen

paremmin. Kuitenkin,jos

x ∈ C

, käytetään vainesitystä(3.5).

3.2 Fourier-kertoimien ominaisuuksia

Besselinepäytälönmukaan,jos

{ e n }

^onortogonaalinenjonoHilbert-avaruudessa

H

^{siten, että}

k e n k = k e k

^kaikilla

n ∈ N

, pätee

X ∞

n= −∞

|h x, e n i| ² ≤ 1

k e k ² k x k ² ,

^(3.22)

missä

x ∈ H

^{. Tästä saadaanhelpostiF}ourier-kertoimille

X ∞

n= −∞

| c n | ² ≤ 1 2L

Z L

− L

f(x) ² dx.

^(3.23)

Yhtäsuuruus on voimassa ainakin, jos kertoimien määrittämiseen käytetty

joukko on

{ e ^{nπx L} }

^{. Tästä seuraa merkittävä tulos}

L ²

-funktioiden Fourier- kertoimille:

Lause 3.2.1. Parsevalin kaava

Jos Fourier-sarja

P c n e ^{i nπx L}

^{esittää funktiota}

f ∈ L ² ( − L, L)

^{, pätee}

X ∞

n= −∞

| c n | ² = 1

2L k f(x) k ² 2 .

^(3.24)

Todistus.

f (x) = X ∞

n= −∞

c n e ^{i nπx L}

⇔ f (x) ² = X ∞

n= −∞

c n f (x)e ^{i nπx L}

⇔ Z L

− L

f (x) ² dx = X ∞

n= −∞

c n

Z L

− L

f(x)e ^{i nπx L} dx

= X ∞

n= −∞

c n 2Lc n

⇔ 1 2L

Z L

− L

| f (x) | ² dx = X ∞

n= −∞

| c n | ² .

ReaalisilleFourier-kertoimilleParsevalin kaava on

1

2L k f (x) k ² 2 = a ² ₀ 2 +

X ∞

n=1

a ² _n + b ² _n

.

^(3.25)

Jos

f ∈ L ¹ ( − L, L)

^{, niin} Riemann-Lebesguen Lemman mukaan Fourier- kertoimien jono

{ c n }

^{lähestyy nollaa. F}ourier-sarjan termit on havainnol- lista ajatella harmonisiksi värähtelijöiksi, joiden amplitudi

c n

^{pienenee kun}

taajuus

nπ

L

^{kasvaa. Vakio}

c ₀ = ^a ₂ ⁰

^{puolestaan voidaan jo} määrittelynsä,

1 2L

R L

− L f(x)dx

^{, puolestatulkita funktion}

f

keskiarvoksi yhdellä jaksovälillä.

Fourier-kertoimien ja funktion

f

^{derivaattojen väliltä löytyy myös hyö-}

dylliseksi osoittautuva yhteys.

Lause 3.2.2. Oletetaan, että

f

^on

2L

-jaksollinenfunktio ja

f ∈

^C

^k ( − L, L)

^.

Tällöin

c n

d ^k dt ^k f

= inπ

L k

c n [f ].

^(3.26)

Todistus. Tutkitaan aluksi funktion

f

ensimmäistä derivaattaa, josta saa- daan osittaisintegroinnilla

c n [f ^′ (t)] = 1 2L

Z L

− L

f ^′ (t)e ^{− i nπt L} dt

= 1 2L

. L

− L

f (t)e ^{− i nπt L} + inπ L

1 2L

Z L

− L

f (t)e ^{− i nπt L} dt

= 1

2L [f(t)e ^{− inπ} − f(t)e ^inπ ] + inπ

L c n [f(t)]

= inπ

L c n [f (t)].

^(3.27)

Väite saadaansoveltamallatätä menettelyä

k

^kertaa.

ReaalisilleFourier-kertoimillesaataisiin vastaavasti

a n [f ^′ (t)] = nπ

L b n [f (t)]

^(3.28)

ja

b n [f ^′ (t)] = − nπ

L a n [f(t)].

^(3.29)

Soveltamallanäitä kaavoja kahdesti, saadaanesimerkiksi

a n [f ^′′ (t)] = − n ² π ²

L ² a n [f(t)]

^ja

b n [f ^′′ (t)] = − n ² π ²

L ² b n [f (t)].

^(3.30)

Lause 3.2.2onhyödyllinen,silläsovellusissatörmätääntoisinaanintegraalei-

hin, jotkaovatmuotoa

Z α

0

∂ ^k f

∂x ^k sin nπx α dx,

Z α

0

∂ ^k f

∂x ^k cos nπx

α dx,

^(3.31)

tai mikä on vakiota vaille sama asia kuin funktion

f ^(k) (x)

^{sini-ja kosiniter-}

misen Fourier-sarjan kertoimet:

α

2 a n [f ^(k) (t)], α

2 b n [f ^(k) (t)].

^(3.32)

[6, ss.74-76℄

3.3 Fourier-sarjan suppeneminen

Fourier-sarjojen suppenemisen seikkaperäinen tutkiminenon varsin pitkä ja

mutkikasprosessi,jotensuuri osa siitäjoudutaantässä yhteydessä sivuutta-

maan. Tässäluvussa esitetään kuitenkinne ehdot,joillafunktion

f

^Fourier-

sarja saadaan suppenemaan kohti arvoa

f(x)

^{, ja näytetään kuinka väitteen}

todistaminen viime kädessä tapahtuu.

Määritelmä 3.3.1. Dirihlet'n ehdot Funktion

f

^sanotaan toteuttavan Dirihlet'n ehdot välillä

I = (a, b)

^{, kunseuraavat ehdot}toteutuvat:

1.

f

^{onrajoitettu välillä}

I

^.

2.

I

^{voidaanjakaaäärellisenmoneenosaväliin,joissajokaisessa}

f

^onmon-

otoninen.

Jos väli

I

^on äärellinen, niinehdoista seuraa suoraan, että funktio

f

^on

Riemann-integroituvajaintegraalionäärellinen.Tällainenfunktiomyöskuu-

luu luokkaan

L ^p (I)

^{kaikillaluvuilla}

1 ≤ p ≤ ∞

^.

Väli

I

^{voiollamyösääretön,muttatällöinehdoista}

1.

^ja

2.

^eiautomaatti- sesti seuraakuuluminen mihinkäänmuuhun

L ^p

-avaruuteen,kuinavaruuteen

L ^∞

^,sillä

k f k ∞ ≤ b < ∞ ,

missä yläraja

b

^{on olemassa ehdon}

1.

perusteella. Tämän takia, jos

I

^on

ääretön, vaaditaanehdon

1.

^{lisäksi,että}

f ∈ L ¹

^{, sillätämätakaafunktion}

f

integroituvuuden yli välin

I

^.

Dirihlet'nehdotsisältyvätmyösesimerkiksioletukseen

f ∈

^C

¹

^pal

(I)

^.Vaa-

timus

2.

^{nimittäin takaa} toispuoleisten raja-arvojen olemassaolon kaikissa osavälien päätepisteissä.Esimerkiksi funktio

sin ¹ _x

^{eitäytä vaatimusta}

2.

^vä-

lillä

(0, 1)

^{, silläfunktiollaonääretönmäärä}ääriarvokohtiavälillä

(0, ε)

^,eikä

raja-arvoa

f(0 ⁺ )

^{ole olemassa.[6,s.9℄}

Seuraavaksiosoitetaan,että ylläolevatehdotriittävätFourier-sarjansup-

penemiseen.Tätävartenjoudutaankuitenkintodistamattaesittämäänmuu-

tamiatuloksia,joitajatkossatarvitaan.Tulokset koskevatniinsanottujaDi-

lille,joista yksinkertaisin onseuraava integraali:

Z ∞

0

sin x

x dx = π

2 ,

^(3.33)

todistus esimerkiksi [1, ss.202-204℄. Tämän avulla voidaan edelleen johtaa

seuraavattulokset.

Lemma 3.3.2. Dirihlet'n integraalit

1.

lim

µ →∞

Z b

a

f(x) sin µx x dx =



 

 

 

 

π

2 [f(0 ⁺ ) + f(0 ⁻ )] , a < 0 < b

π

2 f(0 ⁺ ) , a = 0 < b

π

2 f(0 ⁻ ) , a < 0 = b

0 , ab > 0

2.

lim

µ →∞

Z b

a

f(x) sin µx sin x dx =



 

 

 

 

π

2 [f(0 ⁺ ) + f(0 ⁻ )] , − π < a < 0 < b < π

π

2 f(0 ⁺ ) , a = 0 < b < π

π

2 f(0 ⁻ ) , − π < a < 0 = b

0 , ab > 0.

Integraalienarvotonkoottutähänkahdestalähteestä,[6,s.14℄ja[1,s.219

ja s.227℄. Kirjassaan[1, ss.219-225 ja 227-229℄Carslawkäsitteleenäitä inte-

graaleja integraalilaskennantoisen väliarvolauseen avulla, jonka mukaan

Z β

α

φ(x)ψ(x)dx = φ(α ⁺ ) Z ξ

α

ψ(x)dx + φ(β ⁻ ) Z β

ξ

ψ(x)dx,

^(3.34)

missä

φ(x)

^{on rajoitettu ja} monotoninen välillä

(α, β)

^,

ψ (x)

^{on rajoitettu}

ja integroituva, ja

α ≤ ξ ≤ β

^. Määritelmän 3.3.1 ehdot periytyvät itsea- siassa juuri tämän Lauseen käyttämisestä. Lemman 3.3.2 funktioista

sin µx x

ja

sin µx

sin x

^{ovat selvästi} rajoitettuja ja integroituvia koko reaaliakselilla (raja- arvoksisaadaanL'Hospitalinsäännönnojalla

µ

^,kun

x → 0

^{),jotenne täyttä-}

vätvaatimukset funktiolle

ψ(x)

^.Funktion

f (x)

^{täytyy olla}integroimisvälillä rajoitettuja monotoninen,jottaväliarvolausetta voidaansoveltaa.Määrätty

integraalivoidaankuitenkinlaskeaosissa,jotenväliarvolauseenkäyttämisek-

si riittää, että väli

(a, b)

^{pystytään jakamaan osiin, joissa}

f

^{on rajoitettu ja}

monotoninen.Tämä toisaaltatarkoittaa, että

f

^{toteuttaa Dirihlet'nehdot.}

Tällöin Integraalilaskennan toista väliarvolausetta voidaan soveltaa kuhun-

kin väliinerikseen, ja Lemman 3.3.2 tuloksetovat voimassa.

Lause 3.3.3. Oletetaan, että funktio

f

^{toteuttaa Dirihlet'n ehdot välillä}

( − L, L)

^{, ja on} jaksollinen siten, että

f (x + 2L) = f (x)

^{. Tällöin funktion}

f

Fourier-sarja suppenee ja sen summa on

• f (x)

^{, kun}

f

^{on jatkuva pisteessä}

x ∈ ( − L, L)

^;

• ¹ ₂ [f (x ⁺ ) + f(x ⁻ )]

^{, kun}

x

^on epäjatkuvuuskohta.

Ennentodistuksen esittämistä tarkastellaanlähemminsummaa

D n (x) = P n

− n e ^ikx

^{, joka nouseeesiin Lauseen 3.3.3} todistuksessa.

3.4 Dirihlet'n ydin

Funktiota

D n (x) = X n

k= − n

e ^ikx = 1 + 2 X n

k=1

cos kx

^(3.35)

kutsutaanDirihlet'nytimeksi.Sensummavoidaanmäärätäesimerkiksiseu-

raavasti: Jos

x 6 = m · 2π

^,

X n

k=1

e ^ikx = X n

k=0

e ^ikx − 1 = 1 − e ^i(n+1)x

1 − e ^ix − 1 = 1 − e ^i(n+1)x − 1 + e ^ix 1 − e ^ix

= e ^i(n+1)x − e ^ix

e ^ix − 1 = e ^{i x 2} (e ^{i(n+ 1 2 )x} − e ^{i x 2} )

e ^{i x 2} (e ^{i x 2} − e ^{− i x 2} ) = e ^{i(n+ 1 2 )x} − e ^{i x 2} 2i sin ^x ₂

= cos(n + ¹ ₂ )x + i sin(n + ¹ ₂ )x − cos ^x ₂ − i sin ^x ₂ 2i sin ^x ₂

= sin(n + ¹ ₂ )x 2 sin ^x ₂ − 1

2 + cos(n + ¹ ₂ )x − cos ^x ₂ 2i sin ^x ₂ .

Kun verrataan vasemman jaoikean puolenreaaliosiajakerrotaan puolittain

kahdella,saadaan

ℜ e

" _n X

k=1

e ^ikx

#

= X n

k=1

cos kx = sin(n + ¹ ₂ )x 2 sin ^x ₂ − 1

2

⇔ 1 + 2 X n

k=1

cos kx = D n (x) = sin(n + ¹ ₂ )x

sin ^x ₂ .

^(3.36)

Dirihlet'nydinonjaksollinenfunktio,jonkajaksonpituuson

2π

^.Fourier-

sarjojen kannalta oleellisintaon, että

1 2π

Z π

− π

D n (x)dx = 1.

^(3.37)

1 2π

Z π

− π

D n (x)dx = 1 2π

Z π

− π

(1 + 2 X n

k=1

cos kx)dx

= 1 2π

Z π

− π

dx + 1 π

X n

k=1

Z π

− π

cos kx dx

| {z }

=0

(

^Lemma

2.1.13)

= 1

2π 2π = 1.

^(3.38)

Kuvassa 1 näkyy Dirihlet'n ytimen kuvaajan kehittyminen, kun

n

^{saa yhä}

suurempia arvoja.

Kuva 1: Dirihlet'n ytimen kuvaaja

n

^:narvoilla

1, 4

^ja

7

^.

LisäksiL'Hospitalinsäännöllä nähdään helposti, että

x lim → 0 D n (x) = 2n + 1,

^(3.39)

ja jos

n → ∞

^,niin

D n → ∞

^{. Kuitenkinaina}

lim n →∞ 1 2π

R π

− π D n (x)dx = 1.

Lauseen3.3.3 todistusvoitaisiinesittääkoskienväliä

( − L, L)

^{,muttamitään}

eimenetetä,josoletetaan,että

L = π

^.Tarkastelemallaväliä

( − π, π)

^saadaan

kaavatpidettyä siistimpinä.

Todistus. Merkitään

S n (x) = X n

k= − n

c k e ^ikx ,

^(3.40)

missä vakiot

c k

^ovatfunktion

f

^Fourier-kertoimettapauksessa

L = π

^.

Sijoittamalla kaavaan Fourier-kertoimien lausekkeet, saadaan luvun

3.4

mukaisesti

S n (x) = X n

k= − n



 1 2π

Z π

− π

f(t)e ^{− ikt} dt



 e ^ikx

= 1 2π

X n

k= − n

Z π

− π

f(t)e ^{ik(x − t)} dt

= 1 2π

Z π

− π

f (t)

" _n X

k= − n

e ^{ik(x − t)}

# dt

= 1 2π

Z π

− π

f (t)D n (x − t)dt.

^(3.41)

Fourier-sarjan

n.

^{osasummavoidaan siisesittää} konvoluutiona

S n (x) = 1

2π (f ∗ D n )(x).

Tehdään muuttujanvaihto

x − t = − t

^{, jolloin} lausekkeesta (3.41) saadaan Dirihlet'nytimen parillisuuden perusteella

1 2π

Z π

− π

f (x + t)D n ( − t)dt = 1 2π

Z π

− π

f (x + t)D n (t)dt

^(3.42)

Kutenluvussa

3.4

^todettiin,on

_2π ¹ R π

− π D n (u)du = 1

^{.Tällöinkiinteille}

x

^:n

arvoillepätee,jos

x

^{ei ole}epäjatkuvuuskohta,

f (x) = 1 2π

Z π

− π

f(x)D n (u)du.

SiispäFourier-sarjan

n.

^{osasummanjafunktion}

f

erotuksellevoidaankirjoit- taa

S n (x) − f(x) = 1 2π

Z π

− π

[f(x + t) − f(x)]D n (t)dt

= 1 2π

Z π

− π

[f(x + t) − f(x)] sin(n + ¹ ₂ )t sin ₂ ^t dt

= 1 π

Z π

− π

Q(t) sin(n + 1

2 )t dt,

^(3.43)

missä

Q(t) = ^{f (x+t)} _{2 sin} ⁻ t ^f(x) 2

, kun

t 6 = 0

^ja

Q(t) = f ^′ (x)

^{, kun}

t = 0

^{. Mutta}

esitys (3.43) vastaa funktiolle

Q(t)

^{laskettuja F}ourier-sarjan kertoimia

b n

^,

joten Lemman2.2.3 nojalla se lähestyy nollaa, kun

n → ∞

^{. Siispä}

n lim →∞ | S n (x) − f(x) | ≤ lim

n →∞

1 π

Z π

− π

Q(t) sin(n + 1

2 )t dt = 0,

mikä todistaa,että

n lim →∞ S n (x) = f(x),

jos

f

^{onjatkuva pisteessä}

x

^.

Koskaäskeinentulos pätee kaikillakiinteillä

x

^{:n arvoilla,kaikilleluvuille}

ε > 0

^{pätee myös}

n lim →∞ S n (x 0 − ε) = f (x 0 − ε)

^ja

lim

n →∞ S n (x 0 + ε) = f(x 0 + ε),

^(3.44)

missä

x ₀

^onfunktion

f

epäjatkuvuuskohta.Fourier-sarjanosasummaonkui- tenkin kaikkiallajatkuvafunktio,jotenkun

ε → 0

^,osasumman

S n (x)

^kuvaa-

ja lähestyy pystysuoraa hyppäystä funktion vasemman- ja oikeanpuoleisten

raja-arvojen etäisyyden,

| f (x ⁻ ) − f (x ⁺ ) |

^{, yli. Hyppy on} symmetrinen epä- jatkuvuuskohdan molemminpuolin, jostaseuraa

n lim →∞ S n (x 0 ) = 1

2 [f(x ⁺ ₀ ) + f (x ⁻ ₀ )].

^(3.45)

[4, ss.31-33℄

Tämäeikuitenkaan oletäysineksaktiperustelu, jotenesitetääntuloksen

(3.45) todistamiselle myös täsmällisempi versio. Korvataan yhtälössä (3.41)