Integraaleja koskevia tuloksia

 Z b

a

| f (x) | ^p dx





1 p

.

^(2.7)

Funktion

f

^{sanotaan kuuluvanjoukkoon}

L ^p (I )

^{, jos pätee}

k f k ^p < ∞ .

^(2.8)

Luvulle

p = ∞

^{, funktion}

f

^{sanotaan kuuluvan joukkoon}

L ^∞ (I )

^{, jos pätee}

ess sup

x ∈ I | f | < ∞ .

^(2.9)

Väli

I

^{voi ollamyös ääretönja jos}

I = R

, ontapanamerkitä

L ^p ( R ) = L ^p

^.

Huomionarvoistaon,ettäjos

f ∈

^C

^k pal (I)

^,missä

I

^{onäärellinenja}

k ∈ N ₀

, niin

f ∈ L ^p (I)

^,

1 ≤ p ≤ ∞

^.

L ^p

^{-avaruudet ovatkaikki} Banah-avaruuksia(todistus sivuutetaan),

jois-sa on normi

k · k ^p

^.

L ^p

-avaruuksista tärkein on

L ²

^{, sillä normi}

k · k ²

^on

Mää-ritelmän 2.1.10 mukaisen sisätulon indusoima:

k f k ² = p

h f, f i

^.

L ²

^{on siis}

sisätuloavaruusja Banah-avaruutena se ontäydellinen.

Lause 2.1.20.

L ²

^on Hilbert-avaruus, eli jokainen Cauhyn jono

{ f n } ^∞ n=1

^,

f n ∈ L ²

^{, suppenee normin}

k · k ²

^{mielessä tasaisesti funktioon}

f ∈ L ²

^.

2.2 Integraaleja koskevia tuloksia

Tämä luku onluettelomainen, eikä sisällä muuta kuin tuloksia, joihin

myö-hemmin viitataan.Tulokset on koottu tähän kirjasta[5℄.

Lemma 2.2.1. Fatoun Lemma

Olkoon

f 1 , f 2 , . . .

^jonoepänegatiivisiafunktioitavälillä

( −∞ , ∞ )

^ja

lim n →∞ f n = f (x) ≥ 0

^{melkeinkaikilla}

x

^{. Tällöin}

Z ∞

−∞

f(x)dx ≤ lim

n →∞

Z ∞

−∞

f n (x)dx.

Lause 2.2.2. Olkoot funktiot

f ₁ , f ₂ , . . .

integroituvia välillä

( −∞ , ∞ )

^{. Jos}

| f n (x) | ≤ F (x)

^m.k.

,

jollekin integroituvalle funktiolle

F

^{, ja jos}

n lim →∞ f n (x) = f(x)

^m.k.

,

niin silloin

f

^on integroituva ja

n lim →∞

Lemma 2.2.3. Riemann-Lebesguen lemma

Olkoon

f ∈ L ¹

^{. Silloin}

Todistus. Todistetaan vain ensimmäinen väite. Kaksi muuta ovat sen

eri-koistapauksia. Merkitään

f(ω) = ˆ R

R f (x)e ^{− iωx} dx

^{. Koska}

e ^{− ix} = − e ^{− i(x+π)}

^,

Nyt, koska

f ∈ L ¹

^{, on}

R

mikä todistaa väitteen.

Lause 2.2.4. Cauhy-Shwarzin epäyhtälö

Jos

V

^on sisätuloavaruus ja

f, g ∈ V

^{, pätee}

|h f, g i| ≤ k f kk g k .

Lause 2.2.5. Fubinin Lause

Jos kaksoisintegraali

suppenee itseisesti, silloin

Z ∞

−∞

f (x, y) dy

on olemassa ja on muuttujan

x

^suhteen integroituva funktio. Lisäksi

Z ∞

Lause 2.2.6. Tonelli-Hobsonin Lause

Jos toinen integraaleista

Z ∞

suppenee itseisesti, niinmyös

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

f (x, y ) dx dy

suppenee itseisesti ja kaikki kolme integraalia ovat saman arvoisia.

Konvoluutioonmatemaattinentyökalu, jollaonsovelluksiaesimerkiksi

tilas-totieteessä,signaalinkäsittelyssäjadierentiaalilaskennassa.Fourier-analyysissa

se esiintyy Fourier-sarjojen pisteittäisen suppenemisen todistuksessa, mutta

palataansiihen luvuissa

3.4

^ja

3.5

^.

Määritelmä 2.3.1. Kahden funktion

f, g

konvoluutio on

f ∗ g = Z ∞

−∞

f (t)g(x − t) dt.

^(2.15)

Lemma 2.3.2. Jos

f, g ∈ L ¹

^{, niin integraali}

Z ∞

−∞

f(t)g(x − t) dt

on olemassa ja se kuuluu luokkaan

L ¹

^.

Todistus. Kaikilleluvuille

t

^pätee

Z ∞

−∞

| g (x − t) | dx = Z ∞

−∞

| g(x) | dx < ∞

ja siten

Z ∞

−∞

dt Z ∞

−∞

| f (t)g(x − t) | dx = Z ∞

−∞

| f (t) | dt Z ∞

−∞

| g(x − t) | dx < ∞ .

Lauseen 2.2.6 mukaan kaksoisintegraali

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

f (t)g(x − t) dx dt

suppenee tällöin itseisesti.Nyt väite seuraaFubinin Lauseesta 2.2.5.

[5, s.19℄

Lause 2.3.3. Konvoluution ominaisuuksia:

1.

f ∗ g = g ∗ f

2.

h ∗ (f + g) = h ∗ f + h ∗ g

3.

(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)

4.

a(f ∗ g) = (af ) ∗ g = f ∗ (ag)

Todistus sivuutetaan.

Koska Fourier-sarjojen teoria käsittelee jaksollisia funktioita, on

paikal-laan tutkia hieman konvoluution jaksollisuutta. Otetaan jotkin jaksolliset

funktiot

f

^ja

g

^{, joillaon jaksona}

T

^{. Niiden} konvoluutio on

(f ∗ g)(x) = Z ∞

−∞

f(t)g (x − t)dt

Suorittamalla integorintijakson

T

mittaisissaosissa, saadaan

(f ∗ g)(x) = X ∞

k= −∞





t ₀ +(k+1)T

Z

t ₀ +kT

f (t)g(x − t)dt





= X ∞

k= −∞





t 0 +T

Z

t 0

f(t + kT )g(x − t − kT )dt





= X ∞

k= −∞





t Z ₀ +T

t ₀

f(t)g (x − t)dt



 .

Hakasulkeissa oleva lausekeeisisällä enää indeksiä

k

^{, jotensarjahajaantuu,}

jos

R t 0 +T

t 0 f(t)g(x − t)dt 6 = 0

^{. Olennainentieto onkin se, että kun} reaaliakseli on jaettu jakson mittaisiin väleihin, saadaan konvoluution arvo kertomalla

välienlukumääräkonvoluutionarvollayhdenjaksonyli.Toisinsanoen

konvo-luutionarvojokaisellajaksonmittaisellavälilläonsama.Jotenjosfunktioilla

f

^ja

g

^onjaksona

T

^{, myösniiden} konvoluutiolla onjaksona

T

^.

3 Fourier-sarjat

Ortogonaalisten systeemien merkitys on seuraava:

Olkoon

V

sisätuloavaruusja

{ φ n (x) } ⊂ V

^välillä

[a, b]

ortogonaalinenjoukko.

Oletetaan, että

c ₀ φ ₀ (x) + c ₁ φ ₁ (x) + . . . + c n φ n (x) + . . . ,

^(3.1)

missä

c ₀ , c ₁ , c ₂ , . . .

^{ovatvakioita,suppeneevälillä}

[a, b]

^{kohtijotakinfunktiota}

f (x) ∈ V

^{. Kun kerrotaan yhtälön}

f = c 0 φ 0 + c 1 φ 1 + . . .

^{molemmat puolet}

funktiolla

φ m

^jaintegroidaantermeittäinylivälin

[a, b]

^,saadaanMääritelmän 2.1.7 nojalla

Z b

a

f (x)φ m (x)dx = c ₀ h φ ₀ , φ m i + . . . + c m h φ m , φ m i + . . . + c n h φ n , φ m i + . . .

⇔ Z b

a

f (x)φ m (x)dx = 0 + . . . + c m k φ m k ² + . . . + 0 + . . .

⇔ c m = 1

k φ m k ² Z b

a

f (x)φ m (x)dx.

^(3.2)

Tällätavoin määrättyjä vakioita

c n

^sanotaan (yleistetyiksi) F ourier-ker-toimiksi jasarjaa(3.1)funktion

f

(yleistetyksi)Fourier-sarjaksi tarkastelta-vanortogonaalisenjoukon suhteen. Tämä lähdettä [8℄mukaileva päättely ei

ole täysin eksakti, mutta antaa hyvän lähtökohdan Fourier-sarjojen teorian

kehittämiselle. Se johtaa tarkastelemaan seuraavanlaistaongelmaa:

Olkoon

f (x)

^{määriteltyvälillä}

[a, b]

^jaluvut

c n

^{laskettukaavan(3.2)}

mu-kaisesti.Kirjoitetaan

f (x) ∼ c 0 φ 0 (x) + c 1 φ 1 (x) + . . . ,

^(3.3)

jossa symbolia `

∼

^{' käytetään siitä syystä, että ei vielä tehdä}

olettamuk-sia oikeanpuoleisen sarjan suppenemisesta, saati siitä, että sen summa olisi

f (x)

^{. Oleellinenkysymys kuuluukin: Mitä ehtoja vaaditaan,että sarja (3.3)}

suppenee ja sen summa on funktio

f (x)

^{? Annetaan kuitenkin} määritelmät kompleksiselle ja reaaliselle Fourier-sarjalle, ennenkuin paneudutaan

suppe-nemisen tarkasteluun.

3.1 Fourier-sarjan määrittely

Pitäydytään tästä eteenpäin Määritelmän 2.1.10 mukaisessa

sisätuloavaruu-dessa, elleierikseenmuuta mainita.Kompleksinen trigonometrinensysteemi

{ e ^{i nπx L} | n = 0, ± 1, ± 2, . . . }

^(3.4)

osoitettiin ortogonaaliseksi jo Esimerkissä 2.1.15. Edellä esitetyn päättelyn

mukaisesti päästään siten suoraanseuraavaan määritelmään.

Määritelmä 3.1.1. Olkoonfunktio

f

^{määritelty ja} integroituva välillä

[ − L, L]

^{ja tämän välin} ulkopuolella siten, että

f(x + 2L) = f (x).

^Funktion

f (x)

kompleksiterminen Fourier-sarja systeemin (3.4) suhteen on

X ∞

−∞

c n e ^{i nπx L} ,

^(3.5)

missä vakiot

c n

^ovat kompleksitermisiä Fourier-kertoimia,

c n = 1 2L

Z L

− L

f (t)e ^{− i nπt L} dt.

^(3.6)

Jos on tarvetta erikseen ilmaista, minkäfunktion suhteen Fourier-kertoimia

ollaan laskemassa, merkitäänsitä

c n [f ]

^.

Kirjoitetaanseuraavaksi Eulerin kaavan avulla

e ^{i nπx L} = cos nπx

L + i sin nπx

L ,

^(3.7)

jolloin kaavasta (3.6) saadaan

c n = 1

Yleensä on kuitenkin luonnollisempaa, että

n

^{ei saa} negatiivisia arvoja, joten määritellään(3.8) uudelleen:

c n = 1

2 (a n − ib n )

^ja

c ₋ n = 1

2 (a n + ib n ), n ∈ N ₀ .

^(3.11)

Tarkastellaanseuraavaksi sarjaa(3.5), merkitäänjälleen

π

L = ω

^ja

järjes-tetään termit seuraavasti:

c ₀ +(c 1 e ^iωx +c ₋ 1 e ^{− iωx} )+(c 2 e ^i2ωx +c ₋ 2 e ^{− i2ωx} )+ . . .+(c n e ^inωx +c ₋ n e ^{− inωx} )+. . .

Esimerkissä2.1.14 osoitettiin, että trigonometrinen systeemi

C, cos πx

L , sin πx

L , cos 2πx

L , sin 2πx

L , . . .

^(3.15)

on ortogonaalinenmillätahansa

2L

^:n mittaisellavälillä.Niinpä sarja (3.14) esittää Fourier-sarjaa ja saadaan

Määritelmä 3.1.2. Olkoon

f(x)

^{määritelty ja} integroituva välillä

[ − L, L]

jatämänvälinulkopuolellasiten,että

f (x + 2L) = f (x)

^.Funktion

f

Fourier-sarja reaalisentrigonometrisen systeemin suhteen on

1

missä Fourier-kertoimet

a n

^ja

b n

^{on määritelty kaavoilla (3.9) ja (3.10).}

Fourier-sarjan osasummaa merkitään

S n (x) = 1

Mikäli funktio

f

^on parillinen,

f (t) sin ^nπt _L

^{ontällöin pariton ja Lemman}

2.1.12 nojalla kertoimet

b n

^{ovat tällöin kaikki nollia. Lisäksi}

f (t) cos ^nπt _L

^on

parillinen,joten kertoimet

a n

^{voidaanlaskeakaavalla}

a n = 2 L

Z L

0

f (t) cos nπt

L dt.

^(3.18)

Parittomallefunktiolle

f

^{pätee, että}

f(t) cos ^nπt _L

^onparitonja

f (t) sin ^nπt _L

^on

parillinen.Tällöin

a n = 0

^kaikilla

n ≥ 0

^{ja vakiot}

b n

^{saadaan kaavasta}

b n = 2 L

Z L

0

f (t) sin nπt

L dt.

^(3.19)

Määritelmä 3.1.3. Parillisenfunktion

f

kosiniterminen Fourier-sarja on

a 0

2 + X ∞

n=1

a n cos nπx

L ,

^(3.20)

missä vakiot

a n

^{saadaan kaavalla(3.18).}

Parittomanfunktion

f

siniterminenFourier-sarja on

X ∞

n=1

b n sin nπx

L ,

^(3.21)

missä vakiot

b n

^{saadaankaavalla(3.19).}

Jatkossa Fourier-sarjallatarkoitetaan aina Fourier-sarjaa joko systeemin

(3.4) tai (3.15) suhteen. Koska siirtyminen esitysmuotojen (3.5) ja (3.16)

välilläonedelläesitetynmukaanpelkästääntekninensuoritus,voidaannäistä

kahdesta muodosta milloin tahansa valita se, kumpi soveltuu tilanteeseen

paremmin. Kuitenkin,jos

x ∈ C

, käytetään vainesitystä(3.5).

3.2 Fourier-kertoimien ominaisuuksia

Besselinepäytälönmukaan,jos

{ e n }

^onortogonaalinenjonoHilbert-avaruudessa

H

^{siten, että}

k e n k = k e k

^kaikilla

n ∈ N

, pätee

X ∞

n= −∞

|h x, e n i| ² ≤ 1

k e k ² k x k ² ,

^(3.22)

missä

x ∈ H

^{. Tästä saadaanhelpostiF}ourier-kertoimille

X ∞

n= −∞

| c n | ² ≤ 1 2L

Z L

− L

f(x) ² dx.

^(3.23)

Yhtäsuuruus on voimassa ainakin, jos kertoimien määrittämiseen käytetty

joukko on

{ e ^{nπx L} }

^{. Tästä seuraa merkittävä tulos}

L ²

-funktioiden Fourier-kertoimille:

Lause 3.2.1. Parsevalin kaava

Jos Fourier-sarja

P c n e ^{i nπx L}

^{esittää funktiota}

f ∈ L ² ( − L, L)

^{, pätee}

X ∞

n= −∞

| c n | ² = 1

2L k f(x) k ² 2 .

^(3.24)

Todistus.

f (x) = X ∞

n= −∞

c n e ^{i nπx L}

⇔ f (x) ² = X ∞

n= −∞

c n f (x)e ^{i nπx L}

⇔ Z L

− L

f (x) ² dx = X ∞

n= −∞

c n

Z L

− L

f(x)e ^{i nπx L} dx

= X ∞

n= −∞

c n 2Lc n

⇔ 1 2L

Z L

− L

| f (x) | ² dx = X ∞

n= −∞

| c n | ² .

ReaalisilleFourier-kertoimilleParsevalin kaava on

1

2L k f (x) k ² 2 = a ² ₀ 2 +

X ∞

n=1

a ² _n + b ² _n

.

^(3.25)

Jos

f ∈ L ¹ ( − L, L)

^{, niin} Riemann-Lebesguen Lemman mukaan Fourier-kertoimien jono

{ c n }

^{lähestyy nollaa. F}ourier-sarjan termit on havainnol-lista ajatella harmonisiksi värähtelijöiksi, joiden amplitudi

c n

^{pienenee kun}

taajuus

nπ

L

^{kasvaa. Vakio}

c ₀ = ^a ₂ ⁰

^{puolestaan voidaan jo} määrittelynsä,

1 2L

R L

− L f(x)dx

^{, puolestatulkita funktion}

f

keskiarvoksi yhdellä jaksovälillä.

Fourier-kertoimien ja funktion

f

^{derivaattojen väliltä löytyy myös}

hyö-dylliseksi osoittautuva yhteys.

Lause 3.2.2. Oletetaan, että

f

^on

2L

-jaksollinenfunktio ja

f ∈

^C

^k ( − L, L)

^.

Todistus. Tutkitaan aluksi funktion

f

ensimmäistä derivaattaa, josta saa-daan osittaisintegroinnilla

Väite saadaansoveltamallatätä menettelyä

k

^kertaa.

ReaalisilleFourier-kertoimillesaataisiin vastaavasti

a n [f ^′ (t)] = nπ

L b n [f (t)]

^(3.28)

ja

b n [f ^′ (t)] = − nπ

L a n [f(t)].

^(3.29)

Soveltamallanäitä kaavoja kahdesti, saadaanesimerkiksi

a n [f ^′′ (t)] = − n ² π ²

L ² a n [f(t)]

^ja

b n [f ^′′ (t)] = − n ² π ²

L ² b n [f (t)].

^(3.30)

Lause 3.2.2onhyödyllinen,silläsovellusissatörmätääntoisinaan

integraalei-hin, jotkaovatmuotoa

Z α

tai mikä on vakiota vaille sama asia kuin funktion

f ^(k) (x)

^sini-ja

kosiniter-misen Fourier-sarjan kertoimet:

α

2 a n [f ^(k) (t)], α

2 b n [f ^(k) (t)].

^(3.32)

[6, ss.74-76℄

3.3 Fourier-sarjan suppeneminen

Fourier-sarjojen suppenemisen seikkaperäinen tutkiminenon varsin pitkä ja

mutkikasprosessi,jotensuuri osa siitäjoudutaantässä yhteydessä

sivuutta-maan. Tässäluvussa esitetään kuitenkinne ehdot,joillafunktion

f

Fourier-sarja saadaan suppenemaan kohti arvoa

f(x)

^{, ja näytetään kuinka väitteen}

todistaminen viime kädessä tapahtuu.

Määritelmä 3.3.1. Dirihlet'n ehdot Funktion

f

^sanotaan toteuttavan Dirihlet'n ehdot välillä

I = (a, b)

^{, kunseuraavat ehdot}toteutuvat:

1.

f

^{onrajoitettu välillä}

I

^.

2.

I

^{voidaanjakaaäärellisenmoneenosaväliin,joissajokaisessa}

f

^on

mon-otoninen.

Jos väli

I

^on äärellinen, niinehdoista seuraa suoraan, että funktio

f

^on

Riemann-integroituvajaintegraalionäärellinen.Tällainenfunktiomyös

kuu-luu luokkaan

L ^p (I)

^{kaikillaluvuilla}

1 ≤ p ≤ ∞

^.

Väli

I

^{voiollamyösääretön,muttatällöinehdoista}

1.

^ja

2.

^ei automaatti-sesti seuraakuuluminen mihinkäänmuuhun

L ^p

-avaruuteen,kuinavaruuteen

L ^∞

^,sillä

k f k ∞ ≤ b < ∞ ,

missä yläraja

b

^{on olemassa ehdon}

1.

perusteella. Tämän takia, jos

I

^on

ääretön, vaaditaanehdon

1.

^{lisäksi,että}

f ∈ L ¹

^{, sillätämätakaafunktion}

f

integroituvuuden yli välin

I

^.

Dirihlet'nehdotsisältyvätmyösesimerkiksioletukseen

f ∈

^C

¹

^pal

(I)

^.

Vaa-timus

2.

^{nimittäin takaa} toispuoleisten raja-arvojen olemassaolon kaikissa osavälien päätepisteissä.Esimerkiksi funktio

sin ¹ _x

^{eitäytä vaatimusta}

2.

vä-lillä

(0, 1)

^{, silläfunktiollaonääretönmäärä}ääriarvokohtiavälillä

(0, ε)

^,eikä

raja-arvoa

f(0 ⁺ )

^{ole olemassa.[6,s.9℄}

Seuraavaksiosoitetaan,että ylläolevatehdotriittävätFourier-sarjan

sup-penemiseen.Tätävartenjoudutaankuitenkintodistamattaesittämään

muu-tamiatuloksia,joitajatkossatarvitaan.Tulokset koskevatniinsanottuja

Di-lille,joista yksinkertaisin onseuraava integraali:

todistus esimerkiksi [1, ss.202-204℄. Tämän avulla voidaan edelleen johtaa

seuraavattulokset.

Lemma 3.3.2. Dirihlet'n integraalit

1.

lim

Integraalienarvotonkoottutähänkahdestalähteestä,[6,s.14℄ja[1,s.219

ja s.227℄. Kirjassaan[1, ss.219-225 ja 227-229℄Carslawkäsitteleenäitä

inte-graaleja integraalilaskennantoisen väliarvolauseen avulla, jonka mukaan

Z β

missä

φ(x)

^{on rajoitettu ja} monotoninen välillä

(α, β)

^,

ψ (x)

^{on rajoitettu}

ja integroituva, ja

α ≤ ξ ≤ β

^. Määritelmän 3.3.1 ehdot periytyvät itsea-siassa juuri tämän Lauseen käyttämisestä. Lemman 3.3.2 funktioista

sin µx x

ja

sin µx

sin x

^{ovat selvästi} rajoitettuja ja integroituvia koko reaaliakselilla (raja-arvoksisaadaanL'Hospitalinsäännönnojalla

µ

^,kun

x → 0

^),jotenne

täyttä-vätvaatimukset funktiolle

ψ(x)

^.Funktion

f (x)

^{täytyy olla}integroimisvälillä rajoitettuja monotoninen,jottaväliarvolausetta voidaansoveltaa.Määrätty

integraalivoidaankuitenkinlaskeaosissa,jotenväliarvolauseen

käyttämisek-si riittää, että väli

(a, b)

^{pystytään jakamaan osiin, joissa}

f

^{on rajoitettu ja}

monotoninen.Tämä toisaaltatarkoittaa, että

f

^{toteuttaa Dirihlet'nehdot.}

Tällöin Integraalilaskennan toista väliarvolausetta voidaan soveltaa

kuhun-kin väliinerikseen, ja Lemman 3.3.2 tuloksetovat voimassa.

Lause 3.3.3. Oletetaan, että funktio

f

^{toteuttaa Dirihlet'n ehdot välillä}

( − L, L)

^{, ja on} jaksollinen siten, että

f (x + 2L) = f (x)

^{. Tällöin funktion}

f

Fourier-sarja suppenee ja sen summa on

• f (x)

^{, kun}

f

^{on jatkuva pisteessä}

x ∈ ( − L, L)

^;

• ¹ ₂ [f (x ⁺ ) + f(x ⁻ )]

^{, kun}

x

^on epäjatkuvuuskohta.

Ennentodistuksen esittämistä tarkastellaanlähemminsummaa

D n (x) = P n

− n e ^ikx

^{, joka nouseeesiin Lauseen 3.3.3} todistuksessa.

3.4 Dirihlet'n ydin

Funktiota

kutsutaanDirihlet'nytimeksi.Sensummavoidaanmäärätäesimerkiksi

seu-raavasti: Jos

x 6 = m · 2π

^,

Kun verrataan vasemman jaoikean puolenreaaliosiajakerrotaan puolittain

kahdella,saadaan

Dirihlet'nydinonjaksollinenfunktio,jonkajaksonpituuson

2π

^.

Fourier-sarjojen kannalta oleellisintaon, että

1 2π

Z π

− π

D n (x)dx = 1.

^(3.37)

1 2π

Z π

− π

D n (x)dx = 1 2π

Z π

− π

(1 + 2 X n

k=1

cos kx)dx

= 1 2π

Z π

− π

dx + 1 π

X n

k=1

Z π

− π

cos kx dx

| {z }

=0

(

^Lemma

2.1.13)

= 1

2π 2π = 1.

^(3.38)

Kuvassa 1 näkyy Dirihlet'n ytimen kuvaajan kehittyminen, kun

n

^{saa yhä}

suurempia arvoja.

Kuva 1: Dirihlet'n ytimen kuvaaja

n

^:narvoilla

1, 4

^ja

7

^.

LisäksiL'Hospitalinsäännöllä nähdään helposti, että

x lim → 0 D n (x) = 2n + 1,

^(3.39)

ja jos

n → ∞

^,niin

D n → ∞

^{. Kuitenkinaina}

lim n →∞ 1 2π

R π

− π D n (x)dx = 1.

Lauseen3.3.3 todistusvoitaisiinesittääkoskienväliä

( − L, L)

^{,muttamitään}

eimenetetä,josoletetaan,että

L = π

^.Tarkastelemallaväliä

( − π, π)

^saadaan

kaavatpidettyä siistimpinä.

Todistus. Merkitään

S n (x) = X n

k= − n

c k e ^ikx ,

^(3.40)

missä vakiot

c k

^ovatfunktion

f

^Fourier-kertoimettapauksessa

L = π

^.

Sijoittamalla kaavaan Fourier-kertoimien lausekkeet, saadaan luvun

3.4

mukaisesti

Fourier-sarjan

n.

^{osasummavoidaan siisesittää} konvoluutiona

S n (x) = 1

2π (f ∗ D n )(x).

Tehdään muuttujanvaihto

x − t = − t

^{, jolloin} lausekkeesta (3.41) saadaan Dirihlet'nytimen parillisuuden perusteella

1

Kutenluvussa

3.4

^todettiin,on

_2π ¹ R π

− π D n (u)du = 1

^{.Tällöinkiinteille}

x

^:n

arvoillepätee,jos

x

^{ei ole}epäjatkuvuuskohta,

f (x) = 1 2π

Z π

− π

f(x)D n (u)du.

SiispäFourier-sarjan

n.

^{osasummanjafunktion}

f

erotuksellevoidaan kirjoit-taa

S n (x) − f(x) = 1 2π

Z π

− π

[f(x + t) − f(x)]D n (t)dt

= 1 2π

Z π

− π

[f(x + t) − f(x)] sin(n + ¹ ₂ )t sin ₂ ^t dt

= 1 π

Z π

− π

Q(t) sin(n + 1

2 )t dt,

^(3.43)

missä

Q(t) = ^{f (x+t)} _{2 sin} ⁻ t ^f(x) 2

, kun

t 6 = 0

^ja

Q(t) = f ^′ (x)

^{, kun}

t = 0

^{. Mutta}

esitys (3.43) vastaa funktiolle

Q(t)

^{laskettuja F}ourier-sarjan kertoimia

b n

^,

joten Lemman2.2.3 nojalla se lähestyy nollaa, kun

n → ∞

^{. Siispä}

n lim →∞ | S n (x) − f(x) | ≤ lim

n →∞

1 π

Z π

− π

Q(t) sin(n + 1

2 )t dt = 0,

mikä todistaa,että

n lim →∞ S n (x) = f(x),

jos

f

^{onjatkuva pisteessä}

x

^.

Koskaäskeinentulos pätee kaikillakiinteillä

x

^{:n arvoilla,kaikilleluvuille}

ε > 0

^{pätee myös}

n lim →∞ S n (x 0 − ε) = f (x 0 − ε)

^ja

lim

n →∞ S n (x 0 + ε) = f(x 0 + ε),

^(3.44)

missä

x ₀

^onfunktion

f

epäjatkuvuuskohta.Fourier-sarjanosasummaon kui-tenkin kaikkiallajatkuvafunktio,jotenkun

ε → 0

^,osasumman

S n (x)

kuvaa-ja lähestyy pystysuoraa hyppäystä funktion vasemman- ja oikeanpuoleisten

raja-arvojen etäisyyden,

| f (x ⁻ ) − f (x ⁺ ) |

^{, yli. Hyppy on} symmetrinen epä-jatkuvuuskohdan molemminpuolin, jostaseuraa

n lim →∞ S n (x 0 ) = 1

2 [f(x ⁺ ₀ ) + f (x ⁻ ₀ )].

^(3.45)

[4, ss.31-33℄

Tämäeikuitenkaan oletäysineksaktiperustelu, jotenesitetääntuloksen

(3.45) todistamiselle myös täsmällisempi versio. Korvataan yhtälössä (3.41)

D n (x)

^{summalla(3.36),ja} kirjoitetaan

suo-ritetaan muuttujanvaihto. Integraalinensimmäiseen puoliskoonsijoitetaan

t − x = − 2α; dt = − 2dα;

integroimisväli

: ( − π, x) → ( 1 2 π + 1

2 x; 0),

ja toiseen puoliskoon

t − x = 2α; dt = − 2dα;

integroimisväli

: (x, π) → (0; 1 2 π − 1

2 x).

Tällöin summa

S n (x)

^{saa muodon}

S n (x) = 1

mikäli

f (x)

^:ntoispuoleiset raja-arvotovatolemassa.

Nyt Lemman 3.3.2 tuloksesta

2

^{seuraa, että kun}

x ∈ ( − π, π )

^ja

f (x ⁻ )

sekä

f (x ⁺ )

^{ovat molemmatolemassa,}

n lim →∞ S n (x) = 1

3.6 Suppenemisen laadusta

Ylläoleva tarkastelu osoittaa, että jos

f

^{toteuttaa Dirihlet'n ehdot välillä}

( − L, L)

^,

S n (x)

^{suppeneepisteittänarvoon}

f (x)

^,kun

n → ∞

^{.SeuraavaLause}

takaa Fourier-sarjalletasaisen suppenemisen, jos

f ∈

^C

^k ( − L, L)

^,

k ∈ N

. Lause 3.6.1. Oletetaan,

f

^on

2L

-jaksollinen, että

S n (x)

^suppenee

pisteit-täin arvoon

f(x)

^{, ja että}

f ∈

^C

^k ( − L, L)

^,

k ∈ N

. Tällöin suppeneminen on tasaista ja lisäksi erotuksella

k S n − f k ∞

^on suuruusluokkaa

n ^{− k+ 1 2}

^oleva

yläraja.

Todistus. Huomioidaan,että oletuksistaseuraa,että

f ∈ L ² ( − L, L)

^.

Epäyh-tälöiden

X

| N | <n ≤| M |

1

n ^2k < X

| N | <n

1 n ^2k ≤ 2

Z ∞

N

1

x ^2k dx = 1

(k − ¹ 2 )N ^{2k − 1} .

^(3.52)

Jos merkitään

C = ^{L k−1}

2π ^k √

(k − ¹ ₂ )

, niin

| S N (x) − S M (x) | ≤ C k f ^(k) k ² N ^{− k+ 1 2} .

^(3.53)

Koska myös

k f ^(k) k ²

^{onvakio, ja}

k ≥ 1

^{, pätee}

C k f ^(k) k ² N ^{− k+ 1 2} < ε,

^(3.54)

kun

N > N ε

^{. Siten kaikilleluvuille}

x ∈ R

| S N (x) − S M (x) | < ε,

^(3.55)

kun

N, M > N ε

^{. Väiteseuraa, kunannetaan}

M → ∞

^{. [4,s.33℄}

3.6.1 Gibbsin ilmiö

Mikäli funktiolla

f

^on epäjatkuvuuskohtia välillä

( − L, L)

^{, ei} suppeneminen koskaanvoiollatasaista.Syy tähänonGibbsinilmiö,jotahavainnollistetaan

seuraavallaesimerkillä.

Esimerkki 3.6.2. Muodostetaan kanttiaallon

f(x) =

− k, − π < x < 0

k, 0 < x < π,

^(3.56)

missä

f (x) = f (x + 2π)

^,Fourier-sarja.

f

^{on paritonfunktio,joten vakiot}

a n

ovatkaikki nollia.Vakioiksi

b n

^saadaan

b n = 2 π

Z π

0

k sin nx dx = − 2k nπ

. π

0

cos nx

= 2k

nπ [1 − ( − 1) ⁿ ]

= _4k

nπ ,

^kun

n

^onpariton,

0,

^kun

n

^onparillinen.

f (x) = X ∞

m=0

4k

(2m + 1)π sin(2m + 1)x

^(3.57)

= 4k

π (sin x + 1

3 sin 3x + 1

5 sin 5x + . . .)

Kuvassa2näkyykuinkasarjan(3.57)osasummatlähestyvätfunktiota

f

^,kun

indeksin

n = 2m + 1

^{arvot kasvavat.}

Kuva 2:Sarjan (3.57)

1.

^osasumma

Kuvasta 2 näkyy myös Gibbsin ilmiönä tunnettu Fourier-sarjojen

on-gelma, joka esiintyy aina siellä, missä funktiolla

f

^on epäjatkuvuuskohta.

Tällaisessa kohdassa Fourier-sarjan osasumma joutuu tekemään `hypyn', ja

vaikka osasumman kuvaajan muu heilahtelu pieneneekin mukavan

nopeas-ti, kun

n → ∞

^, ensimmäiset huiput tällaisen hypyn molemmilla puolella eivät kuitenkaan pienene. Molemmilla puolilla epäjatkuvuuskohtaa

Fourier-osasumman arvo eroaa funktion arvosta noin

9%

^{:lla hypyn} suuruudesta. Il-miö havaittiin kokeellisen fysiikan parissa

1800

^{-luvulla, mutta sitä luultiin}

koe-jamittauslaitteistonepätarkkuuksistajohtuvaksivirheeksi. J.W.Gibbs

kuitenkin osoitti, että kyseessä onnimenomaanmatemaattinen ilmiö,mistä

nimityskinonperäisin.Ilmiöperiytyy Fourier-sarjoihinDirihlet'nytimeltä,

jokasuurillaindeksinarvoillaheilahteleeerittäinvoimakkaasti pisteen

x = 0

läheisyydessä.

Kuva3:

D ₈₀ (x)

Kunindeksinarvotkasvavat,Dirihlet'nytimenkuvaajansuurimmat

hui-put lähenevät loputtomasti kohtaa

x = 0

^{. Samaan tapaan Gibbsin ilmiössä}

epäjatkuvuuskohdan

x ₀

^{viereiset huiput siirtyvät lähemmäs kohtaa}

x ₀

^.

Tä-män seurauksena on mahdollista osoittaa, että myös epäjatkuvien

funktioi-den Fourier-sarjan suppeneminen on tasaista kaikkialla muualla paitsi

epä-jatkuvuuskohtien mielivaltaisenpienissäympäristöissä.Esimerkiksikyseessä

olleenkanttiaallontapauksessasuppeneminenontasaistaväleillä

[ − π+ε, − ε]

ja

[ε, π − ε]

^{, kun}

ε > 0

^{. [7, ss.93-95℄}

SilloinkunFourier-sarjasuppeneetasaisesti,voidaanperustellusti

itegroi-da sarjaatermeittäin,mitä tehtiinaiemminFourier-sarjojenteoriaa

kehitet-täessä. Vaikka Fourier-sarja ei suppenisikaan tasaisesti, on termeittäin

in-tegrointisiltimahdollista.Tämänosoittamiseksioletetaan,että

f ∈ L ¹ ( − π, π)

ja tarkastellaansen Fourier-sarjaa

X ∞

n= −∞

c n e ^inx

^(3.58)

tietämättä sen enempää siitä, millätavallase suppenee. Raja-arvo

N lim →∞

Z π

− π

X

| n |≤ N

c n e ^inx dx = Z π

− π

f(x)dx

^(3.59)

Z π

− π

X

| n |≤ N

c n e ^inx dx = c ₀ Z π

− π

dx + X

1 ≤| n |≤ N

c n

Z π

− π

e ^inx dx

| {z }

=0

= 2πc 0 = Z π

− π

f (x)dx.

^(3.60)

Raja-arvon (3.59) olemassaolo mahdollistaa

L ¹

^{-funktion F}ourier-sarjan in-tegroimisen termeittäin. [9℄

Esimerkin 3.6.2 sivutuotteena saadaan myös seuraava mielenkiintoinen

tulos. Lauseen 3.3.3 mukaan funktion (3.56) arvo pisteessä

x = ^π ₂

^saadaan

sarjan

X ∞

m=0

4k

(2m + 1)π sin(2m + 1) π

2

^(3.61)

summana. Toisaalta

f ( ^π ₂ ) = k

^{, jotensaadaan}

k = 4k

π (sin π 2 + 1

3 sin 3π 2 + 1

5 sin 5π 2 . . .)

⇔ π

4 = 1 − 1 3 + 1

5 − 1

7 + . . . .

Fourier-sarjojenavullavoidaansiistehdäjohtopäätöksiämyöställaisten

`ta-vallisten'sarjojensummista.

4 Fourier-muunnos

Jos Fourier-sarja suppenee, sen esittämä funktio on aina jaksollinen. Siispä

jos

f

^onkoko reaaliakselillamääritelty jaksoton funktio,niinFourier-sarja

X ∞

n= −∞

c n e ^{i nπx L}

^(4.1)

esittää funktiota

f

^{ainoastaan välillä}

( − L, L)

^{. Mutta mihin päädytään, kun}

annetaan

L → ∞

^? Osoittautuu,ettäsejohtaaFourier-muunnostenteoriaan, yhteen integraalimuunnosten tärkeimmistäosa-alueista.

Jotta tarkasteluolisiollenkaanjärkevä,ontässä vaiheessapakko olettaa,

et-tä

R L

− L f (x)dx

^pysyy rajoitettuna, kun

L → ∞

^{. Olkoon siis}

f ∈ L ¹

^.

Sijoite-taan Fourier-kertoimienlauseke sarjaan (4.1) ja merkitään

ω n = ^nπ _L

^{, jolloin}

saadaan

Lukua

ω n

^{voidaan ajatella} fysikaalisessa mielessä taajuutena. Fourier-sarjoissa summan termien taajuudet kasvavat luvun

∆ω = ^π _L

^{verran, kun}

n

^{kasvaa yhdellä. Tässä mielessä} rajaprosessin

L → ∞

seurauksena

π L → 0

ja taajuden spektristä tulee siten jatkuva. Koska

∆ω → 0

^{, lauseketta (4.2)}

voidaan ajatella Riemanninsummana, joka approksimoiintegraalia

1

Siten rajaprosessi

L → ∞

^{voisijohtaa esitykseen}

f(x) = 1

Integraalia (4.4) kutsutaan Fourier-integraaliksi ja se antaa olettaa, että

f

olisipalautettavissa omastaintegraalimuunnoksestaan

f(ω) = ˆ 1

√ 2π Z ∞

−∞

f(x)e ^{− iωx} dx

^(4.5)

f(x) = 1

√ 2π Z ∞

−∞

f(ω)e ˆ ^iωx dω.

^(4.6)

Määritelmä 4.1.1. Jos funktiot

f(ω) ˆ

^ja

f (x)

^{on annettu kaavoilla (4.5)}

ja (4.6), ne muodostavat Fourier-muunnos -parin. Funktio

f ˆ

^{on funktion}

f

Fourier-muunnos ja

f

^{on funktion}

f ˆ

^{käänteinen F}ourier-muunnos. Näitä merkitään usein

F (f ) = ˆ f

^ja

F ^{− 1} ( ˆ f ) = f

^.

Huomautus 4.1.2. Fourier-muunnoksen määrittelykirjallisuudessavaihtelee.

Fourier-muunnos -pari voisi ollamikähyvänsä seuraavista:

*

f ˆ (ω) = R

Fourier-integraalijohdettiin lähtien sarjasta, jonka summaon

1

2 [f(x ⁺ ) + f (x ⁻ )]

^,jaosoittautuu,ettäintegraalisuppeneesamaanarvoon.Tämän osoit-tamiseksi tarkastellaan reaalista Fourier-integraalia, joka saadaan Eulerin

kaavanavullaesityksestä (4.4). Funktio

f (x)

^{voidaannimittäinesittää}

muo-dossa

jaonhelppotodeta,että

F (ω)

^{onparillinenfunktioja}

G(ω)

^{pariton.Edelleen,}

Lemman 2.1.12nojalla

f (x) = 1

1

Tutkitaan lähdettä[6, ss.15-16℄mukaillenaluksi erotusta

Z ∞

ja oletetaan, että

f ∈ L ¹

^{. Jakamalla} integroimisväli nollasta äärettömään kahtia,saadaan

missä kaksi ensimmäistä integraalia ovat yhtä suuret, koska

m, k > 0

^ovat

äärellisiä.Nyt, koska

f ∈ L ¹

^{, onolemassa luku}

K

^{siten, että}

Siten, vaikka

m

valittaisiin kuinka suureksi hyvänsä,

K

^{voidaan aina valita}

Toisin sanoen,

m lim →∞

Samallatavallavoidaan osoittaa,että

m lim →∞

Summaamallayhtälöt (4.12) ja (4.13) keskenään, saadaan

m lim →∞

Nyt, jos

f

^{toteuttaaDirihlet'nehdotvälillä}

( −∞ , ∞ )

^,Lemman3.3.2

tulok-sesta

1.

^seuraa

1

On saatu todistettua

Lause 4.1.3. Jos funktio

f

^{toteuttaa Dirihlet'n ehdot välillä}

( −∞ , ∞ )

^,

1

2π Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

f (t)e ^{iω(x − t)} dt dω = 1

2 [f(x ⁺ ) + f (x ⁻ )],

^(4.16)

ja erityisesti, jos

f

^{on jatkuva kohdassa}

x

^,

f (x) = 1

2π Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

f (t)e ^{iω(x − t)} dt dω.

^(4.17)

4.2 Fourier-muunnos

L ¹

-avaruudessa

Lauseen 4.1.3 mukaan funktion

f

^{täytyy toteuttaa Dirihlet'n ehdot koko}

reaaliakselilla, että Fourier-integraalin arvo olisi

f(x)

^{. Pelkästään}

Fourier-muunnoksen olemassaololleriittää kuitenkinlievemmätkinoletukset. Jos

ni-mittäin

f ∈ L ¹

^{, F}ourier-muunnokselle pätee

| f ˆ (ω) | =

√ 1 2π

Z ∞

−∞

f (x)e ^{− iωx} dx

≤ 1

√ 2π Z ∞

−∞

| f(x) | dx = k f k ¹

√ 2π < ∞ .

Toisin sanoen siis

f ˆ

^onolemassaäärellisenä ja

sup

ω ∈ R | f(ω) ˆ | = k f ˆ k ∞ < ∞ ,

^(4.18)

joten

f ˆ ∈ L ^∞

^{. Lisäksi}

f ˆ

^{onjatkuvakoko} reaalilukujenjoukossa,silläkaikille luvuille

ω, h ∈ R

,

f(ω ˆ + h) − f ˆ (ω) = 1

√ 2π Z ∞

−∞

e ^{− iωx} (e ^{− ihx} − 1)f(x)dx,

joten

| f(ω ˆ + h) − f ˆ (ω) | ≤ 1

√ 2π Z ∞

−∞

| (e ^{− ihx} − 1) || f(x) | dx.

Integrandi oikealla on pienempää tai yhtäsuurta kuin

2 | f (x) |

^{ja lähestyy}

nollaa,kun

h → 0

^.Tämänseurauksena kokooikeapuolilähestyy nollaa,kun

h → 0

^{, joten}

f ˆ

^{onjatkuva kohdassa}

ω

^{.[5, s.6℄}

Lause 4.2.1. Oletetaan, että

f ∈ L ¹

^{. Tällöin}

1.

f ˆ ∈ L ^∞

^;

2.

f ˆ

^{on jatkuva koko} reaaliakselilla;

3.

lim

ω →±∞

f(ω) = 0 ˆ

4.

F (αf + βg) = α F (f) + β F (g);

5.

F (f(x + a)) = e ^iaω f ˆ (ω)

^ja

F (e ^{− ibx} f (x)) = ˆ f(ω + b), a, b ∈ R ;

Jos lisäksi

f, f 1 , f 2 , . . . ∈ L ¹

^{ja jos}

k f n − f k ¹ → 0

^kun

n → ∞

ⁿⁱⁱⁿ

6.

lim

n →∞

f ˆ n (ω) = ˆ f (ω)

^ja suppeneminen on tasaista.

Todistus. Väitteet1.ja2.onperusteltu joylempänä.Väite3.onitse

asias-sa Riemann-Lebesguen Lemma. Väitteiden 4. ja 5. osoittaminen onnistuu

suoralla laskulla.

F (αf (x) + βg(x)) = 1

√ 2π Z ∞

−∞

(αf (x) + βg(x))e ^{− iωx} dx

= 1

√ 2π Z ∞

−∞

αf (x)e ^{− iωx} dx + 1

√ 2π Z ∞

−∞

βg(x)e ^{− iωx} dx

= α f(ω) + ˆ β g(ω). ˆ

Kohta 5.:

F (f(x+a)) = 1

√ 2π Z ∞

−∞

e ^{− iωx} f (x+a)dt = 1

√ 2π Z ∞

−∞

e ^{− iω(x − a)} f (x)dx = e ^iωa f ˆ (ω),

ja kohdan 5.toinen puoli:

f ˆ (ω+b) = 1

√ 2π Z ∞

−∞

f (x)e ^{− i(ω+b)x} dx = 1

√ 2π Z ∞

−∞

[f (x)e ^{− iωb} ]e ^{− iωx} dx = F (e ^{− iωb} f (x)).

Väite 6.seuraa tuloksesta(4.18), silläoletuksen mukaan

sup

ω ∈ R | f ˆ n (ω) − f(ω) ˆ | ≤ k f n (x) √ − f(x) k ¹ 2π < ε,

kun

n

^{on tarpeeksi suuri, joka todistaa väitteen.[5, ss.6-7℄}

4.3 Fourier-muunnos

L ²

-avaruudessa

Fourier-analyysin kannalta avaruus

L ² ( R )

^on erityisessä asemassa. Voidaan nimittäin osoittaa, että jos

f ∈ L ^p

^,

1 ≤ p ≤ 2

^{, niin}

f ˆ ∈ L ^q

^{siten, että}

1

p + ¹ _q = 1

^{, missä}

_∞ ¹

^on samaistettu nollan kanssa. Siispä jos

p = 2

^{, myös}

q = 2

^{ja toisin sanoen}

F

^{kuvaaavaruuden}

L ²

^{itselleen.[2, s.62℄}

Lähdetäänkehittämään

L ²

^-teoriaaosoittamalla,ettäjos

f ∈ L ¹ ∩ L ²

^,niin

f ˆ ∈ L ²

^{. Tätä varten tarvitaanaputulosta}

F{ e ^{− ax 2} } = 1

missä

a > 0

^{. Tämä}todistetaan myöhemmin Esimerkissä4.5.3.

Lause 4.3.1. Olkoon

f ∈ L ¹ ∩ L ²

^{. Silloin}

f ˆ ∈ L ²

^ja

k f ˆ k ² = k f k ² .

^(4.20)

Todistus. Voidaankirjoittaa

| f(ω) ˆ | ² = ˆ f (ω) ˆ f (ω) = 1

Kertomalla puolittain funktiolla

e ^{− ω n 2} (n = 1, 2, . . .)

^ja integroimalla reaa-liakselin yli saadaan

Z ∞

Koska

f ∈ L ¹

^{,niin(4.22)suppenee}itseisesti.Tonelli-HobsoninLauseen2.2.6 nojallavoidaan tällöinvaihtaa integroimisjärjestystä:

Z ∞

Nyt tuloksesta (4.19) saadaan

√ 1

Z ∞

R f(x + t)f (t)dt

^{. Nyt saadaan} muuttujanvaihdolla

nx ²

Nyt

F (x)

^{onjatkuva kohdassa}

x = 0

^{,sillä Lauseen2.2.4 nojallasaadaan}

| F (x) − F (0) | =

LisäksiLauseen 2.2.4 mukaan kaikille luvuille

x

^pätee

| F (x) | ² ≤

Siten yhtälön (4.23) oikealla puolella oleva integrandi on funktion

k f k ⁴ 2 e ^{− x 2}

rajoittama.Tästä, Lemmasta2.2.2 ja tuloksesta (4.25) seuraa,että

n lim →∞

Nyt kuitenkin FatounLemman 2.2.1 mukaan

Z ∞

joka todistaa, että

f ˆ (ω) ∈ L ²

^{. Lopulta tuloksesta (4.27) ja Lemmasta 2.2.2}

seuraa, että

Z ∞

−∞

| f(ω) ˆ | ² dω = k f k ² 2 .

Tästä edetään

L ²

-funktioiden Fourier-muunnoksiinpienen mutkan kaut-ta.

suppenee normin

k · k ²

^{mielessä johonkin}

L ²

-funktioon.

Todistus. Lauseen 2.2.4 perusteella

Z ∞

joten

f N ∈ L ¹

^{. Koska myös}

| f N (x) | ≤ | f(x) |

^{, onselvää, että}

f N ∈ L ²

^{. Tästä}

seuraa, että

f N ∈ L ¹ ∩ L ²

^{ja siten Lauseen4.3.1 mukaan}

f ˆ N ∈ L ²

^.

Lauseenloppuosan todistamiseksitarkastellaan raja-arvoa

lim M,N →∞ k f ˆ N − f ˆ M k ²

^,

N ≥ M

^{. Kyseessä on F}ourier-muunnos funktiosta

f N − f M

^{, joka kuuluu avaruuteen}

L ¹ ∩ L ²

^{. Siten, Lauseen4.3.1 mukaan,}

k f ˆ N − f ˆ M k ² 2 = k f N − f M k ² 2 .

^(4.31)

Oikeapuoli voidaankirjoittaa

− M

Z

− N

| f (x) | ² dx + Z N

M

| f (x) | ² dx ,

jokalähestyy nollaa, kun

N, M → ∞

^{. Tästäseuraa, että}

lim N,M →∞ k f ˆ N − f ˆ M k ² = 0

^{, ja koska}

L ²

^on Hilbert-avaruus, rajafunktiolle

f ˆ

pätee

f ˆ ∈ L ²

^.

Äskeinen Lause on sen takia oleellinen, että jos määritellään

f N

^kuten

edellä, ja

f(ω) = lim ˆ

N →∞

Z N

− N

f (x)e ^{− iωx} dx,

voidaan ollavakuuttuneita siitä, että

L ²

^-funktion

f

^Fourier-muunnos

f(ω) = ˆ Z ∞

−∞

f (x)e ^{− iωx} dx.

^(4.32)

on olemassaja

f ˆ ∈ L ²

^.

Lause 4.3.3. Parsevalin kaava Fourier-muunnoksille

Olkoon

f ∈ L ²

^{. Silloin pätee}

k f(ω) ˆ k ² = k f (x) k ² .

Todistus. Koska

f ˆ (ω) = Z ∞

−∞

f (x)e ^{− iωx} dx = lim

N →∞

Z N

− N

f(x)e ^{− iωx} dx,

on yhtäpitävääkirjoittaa

N lim →∞ k f ˆ − f ˆ N k 2 = 0.

N lim →∞ k f ˆ N k ² = k f ˆ k ² .

^(4.33)

Funktioiden

f N

määrittelystä onselvää, että

N lim →∞ k f N k ² = k f k ² ,

^(4.34)

ja koska

f N ∈ L ¹ ∩ L ²

^{, Lauseen 4.3.1 mukaan pätee}

k f ˆ N k ² = k f N k ² .

^(4.35)

Hyödyntämällä yhtälöitä(4.33) - (4.35)saadaan

k f ˆ k ² = lim

N →∞ k f ˆ N k ² = lim

N →∞ k f N k ² = k f k ² .

Aiemminonjo todettu,että

F

^onlineaarikuvaus.LisäksiParsevalin kaa-van mukaan funktion

2

^{-normi on yhtä suuri kuin sen F}ourier-muunnoksen

2

^{-normi.Tällöinmyösetäisyydet}

k f − g k 2

^ja

k f ˆ − g ˆ k 2

^ovatyhtäsuuria,joten saadaan

Lause 4.3.4.

F : L ² → L ²

^on lineaarinenisometria.

Parsevalinkaavanavullavoidaantodistaamyösseuraavakäyttökelpoinen

tulos.

Lause 4.3.5. Jos

f, g ∈ L ²

^{, niin}

Z ∞

−∞

f ˆ (x)ˆ g(x)dx = Z ∞

−∞

f (x)g(x)dx

^(4.36)

Todistus. Kirjoitetaan

R _∞

−∞ f(x)dx = R

f

^{. Parsevalinkaavanmukaan}

k f ˆ + ˆ g k ² 2 = k f + g k ² 2

⇔ Z

( ˆ f + ˆ g)( ˆ f + ˆ g)d = Z

(f + g)(f + g)

⇔ Z

| f ˆ | ² + Z

| g ˆ | ² +

Z f ˆ g ˆ +

Z f ˆ g ˆ = Z

| f | ² + Z

| g | ² + Z

f g + Z

f g

Edelleen Parsevalinkaavanmukaan

R | f ˆ | ² = R

| f | ²

^ja

R

| g ˆ | ² = R

| g | ²

^,joten

Z f ˆ g ˆ +

Z f ˆ g ˆ = Z

f g + Z

f g.

^(4.37)

Nyt, koska

g

^onmielivaltainenjoukon

L ²

^{alkio,voidaan}

ˆ g

^ja

g

^korvata

funk-tioilla

iˆ g

^ja

ig

^{. Yhtälöstä (4.37) tuleesiten}

Z f ˆ (iˆ g) +

Z f(iˆ ˆ g) = Z

f(ig) + Z

f (ig)

− i Z

f ˆ g ˆ + i Z

f ˆ g ˆ = − i Z

f g + i Z

f g.

^(4.38)

Väite seuraa, kun(4.38) jaetaan luvulla

− i

^{ja syntyvä yhtälö lisätään}

yhtä-löön(4.37).

Tähän astion osoitettu, että jos

f ∈ L ²

^{, myös}

f ˆ ∈ L ²

^{. Näytetään vielä,}

että

F ^{− 1} { f ˆ } = f.

^{Tätä varten tarvitaanseuraavatkaksi}apulausetta.

Lemma 4.3.6. Jos

f, g ∈ L ²

^{, niin}

Z ∞

−∞

f (x)ˆ g(x)dx = Z ∞

−∞

f(x)g(x)dx. ˆ

Lemmantodistus ei oleuuvuttavanpitkä,mutta sivuutetaan siitä

huoli-matta.

Lemma 4.3.7. Olkoon

f ∈ L ²

^ja

g = ˆ f

^{. Tällöin}

f = ˆ g

^.

Todistus.

k f − ˆ g k ² 2 = Z ∞

−∞

f − ˆ g

f − ˆ g dx

= k f k ² 2 − Z ∞

−∞

f g dx ˆ − Z ∞

−∞

f g dx ˆ + k g ˆ k ² 2 .

^(4.39)

Parsevalin kaavan ja Lemman 4.3.6 nojalla

R f ˆ g = R f g ˆ = R f ˆ f ˆ = k f ˆ k ² 2 = k f k ² 2

^{. Samoin}

R f g ˆ = k f k ² 2

^{. Edelleen}

k g ˆ k ² 2 = k g k ² 2 = k f ˆ k ² 2 = k f k ² 2

^.

Sijoitta-malla nämä kolme tulostayhtälöön(4.39),saadaan

k f − g ˆ k ² 2 = k f k ² 2 − k f k ² 2 − k f k ² 2 + k f k ² 2 = 0,

mistä väite välittömästiseuraa.

Lause 4.3.8. Jos

f ∈ L ²

^{, niin}

f (x) = 1

√ 2π Z ∞

−∞

f ˆ (ω)e ^iωx dω.

Todistus. Olkoon

g = ˆ f

^{. Silloin Lemman4.3.7 mukaan}

f = ˆ g

^,joten

f(x) = 1

√ 2π Z ∞

−∞

g(ω)e ^{− iωx} dω = 1

√ 2π Z ∞

−∞

f(ω)e ˆ ^{− iωx} dω.

Väite seuraa,kun otetaanpuolittainkompleksikonjugaatit.

Edellisessäluvussa osoitettiin, että

L ¹

^{-funktion F}ourier-muunnos on jat-kuva, ja häviää äärettömyydessä. Kuitenkin,esimerkiksi funktio

g

^,

g(x) =







1

ln x , x > e

x

e , 0 ≤ x ≤ e

− g( − x), x < 0,

on kaikkialla jatkuva, ja

lim x →±∞ g (x) = 0

^{, mutta voidaan osoittaa,ettei se}

ole minkään funktion Fourier-muunnos.

L ²

-funktioille asian laita on toisin, nimittäinjokainen

L ²

^{-funktioonjonkin}

L ²

^-funktionFourier-muunnos, kuten seuraava Lause osoittaa.

Lause 4.3.9. Jokainen funktio

f ∈ L ²

^on yksikäsitteisen funktion

g ∈ L ²

Fourier-muunnos.

Todistus. Olkoon

f ∈ L ²

^ja

h = f

^ja

g = ˆ h

^{.Lemman4.3.7 mukaan}

f = h = ˆ

g

^{, joten}

f = ˆ g

^. Yksikäsitteisyys seuraaLauseesta 4.3.8,silläjos

f (ω) = ˆ u(ω)

g

^{, joten}

f = ˆ g

^. Yksikäsitteisyys seuraaLauseesta 4.3.8,silläjos

f (ω) = ˆ u(ω)

In document Fourier-sarjat ja -muunnokset (sivua 13-0)