HARJOITUSTEHT ¨AVI ¨A
1. Anna seuraavien yht¨al¨oryhmien kerroinmatriisit ja t¨aydennetyt kerroinmatriisit sek¨a ratkaise yht¨al¨oryhm¨at Gaussin eliminointimenetelm¨all¨a.
a)
½ 2x+y = 11
3x+ 2y = 20 b)
2x−y= 5 x+z = 5 3x−y−z = 0
c)
2x−y+z = 2 3x+ 2y+ 2z =−2 x−2y+z = 1 d)
x+ 2y+ 7z = 0 x+ 3y+ 6z = 0 x+ 4y+ 5z = 0
e)
3x+y+ 2z = 5 2x+ 3y−2z = 3 x−2y+ 4z = 1
f)
3x1+x2+ 2x3 = 5 3x2+ 2x1−2x3 = 3 x1+ 4x3−2x2 = 1 2. Ratkaise yht¨al¨oryhm¨at
a)
x+y+z+u = 0 x+y+z−u = 0 x+y−z+u = 0 x−y+z+u = 0
b)
x+y−2z+u+ 3v= 1 2x−y+ 2z+ 2u+ 6v= 2 3x+ 2y−4z−3u−9v= 3 3. Mill¨a vakion a∈R arvoilla yht¨al¨oryhm¨all¨a
a)
½ x+y = 5
2x+ay = 4, b)
½ 2x+ 2y =a 3x+ 6y = 5 ei ole ratkaisuja?
4. Mill¨a reaalilukuvakioiden h ja k arvoilla yht¨al¨oryhm¨all¨a
½ 2x−y=k
−4x+ 2y =h on ratkaisuja?
5. Mill¨a vakion a∈R arvoilla yht¨al¨oryhmill¨a a)
x+ 2y+z =a2 x+y+ 3z =a 3x+ 4y+ 7z = 8
b)
(1−a)x+z = 0
−ay+z = 0 y−az = 0
c)
x+y+z = 1 x+ 2y+ 4z =a x+ 4y+ 10z =a2 on ratkaisuja? M¨a¨ar¨a¨a n¨am¨a ratkaisut.
6. Tutki seuraavan yht¨al¨oryhm¨an ratkaisujen lukum¨a¨ar¨a¨a vakioiden h ja k ei arvoilla.
M¨a¨arit¨a my¨os ratkaisut.
6x1−x2+ 6x3+hx4 = 0
−3x1+ 5x2+kx3+ 5x4 = 1
−3x1+ 4x2+kx3+ 4x4 = 1 5x1−x2+ 5x3+hx4 = 0
−3x1+ 7x2+kx3+ 7x4 =h2
7. M¨a¨ar¨a¨a seuraavien matriisien asteet
1 2 −3
2 1 0
−2 1 3
−1 4 −2
,
1 3 1 −2 −3 1 4 3 −1 −4 2 3 −4 −7 −3 3 8 1 −7 −8
.
8. M¨a¨ar¨a¨a seuraavien matriisien asteet vakion c∈R eri arvoilla:
1 1 1 1
1 2 4 8
1 3 9 27
1 4 16 64
,
1 3 5
2c 1 1
1 2 4
,
1 1 1 1
1 2 4 c
1 4 10 c2
.
9. M¨a¨aritell¨a¨an seuraavassa luvulle a ∈R sellainen arvo, ett¨a matriisin
A=
3 1 1 4
a 4 10 1 1 7 17 3
2 2 4 3
aste on pienin mahdollinen. Mik¨a on t¨all¨oin matriisin A aste.
10. Ratkaise avaruudessa R3 vektoriyht¨al¨o (0,−1,2)T+ 3X = (2,−1,1)T.
11. Esit¨a pisteiden (−3,2)T ja (4,−1)T kautta kulkevan suoran yht¨al¨o muodossa a) Z =X +tU, t ∈R, b) ax+by =c.
12. Mill¨a arvoilla h vektori (3,−5, h)T on vektorien (1,3,−1)T ja (−5,−8,2)T m¨a¨ar¨a¨a- m¨ass¨a origon kautta kulkevassa tasossa?
13. M¨a¨ar¨a¨a pisteiden (1,0,1)T ja (2,5,−3)T kautta kulkevan suoran yht¨al¨o.
14. Mitk¨a suorista (x, y, z)T = (0,1,0)T+t(1,1,1)T ja (x, y, z)T = (0,2,0)T+t(1,1,2)T leikkaavat suoraa (x, y, z)T = (2,6,4)T + t(−1,2,1)T? M¨a¨ar¨a¨a my¨os mahdolliset leikkauspisteet.
15. Esit¨a pisteiden
a) (1,1,0)T,(0,1,1)T,(0,2,1)T ja b) (1,1,0)T,(1,0,1)T,(0,1,1)T
kautta kulkevan tason yht¨al¨o parametrimuodossa ja normaalimuodossa. Onko piste (2,5,1)T jommassa kummassa n¨aist¨a tasoista?
16. Tutki kuuluuko vektori X joukkoon L({(1,2,1)T,(1,−1,−2)T}), kun a)X = (3,1,−2)T, b)X = (1,1,1)T.
17. Ratkaise matriisiyht¨al¨o AX =B, kun
a) A=
1 4 1 2 8 3 2 7 4
ja i) B=
1 0
−1
, ii) B =
3 2 0
,
b) A=
4 3 2 5 6 3 3 5 2
ja i) B =
0 0 0
, ii) B =
3 7 5
.
18. M¨a¨ar¨a¨a yht¨al¨oryhm¨an AX = 0 ratkaisujen viritt¨aj¨avektorit, kun
A=
5 2 0 −8 −8 4 1 2 −8 −9
5 1 3 5 19
−8 −5 6 8 5
ja X ∈R5. 19. Tutki, ovatko vektorit
a) (1,1,3)T,(1,3,1)T,(1,2,3)T ∈R3,
b) (1,2,3,4)T,(i,−i,1,4)T,(2i,4i,6i,8i)T ∈C4 lineaarisesti riippumattomia.
20. Tutki, ovatko seuraavat vektorit lineaarisesti riippumattomia:
a) (1,2,3)T,(4,5,6)T,(7,8,9)T ∈R3, b) (1,1,−1)T,(1,2,1)T,(0,1,1)T ∈R3.
21. Tutki seuraavien vektoreiden lineaarista riippumattomuutta:
a) (1,−1,1,2)T,(1,0,1,−1)T,(0,1,1,0)T ∈R4, b) (1,1,2)T,(−1,1,1)T,(3,−1,0)T ∈R3. 22. Olkoot A =
µ 1 2
−1 3
¶
ja B =
µ2 1 0 1
¶
. Laske AB ja BA.
23. Olkoot
A=
µ1 2 −2
3 4 5
¶
, B=
µ2 0 1 3 −2 5
¶
, C =
µ1 3 2 −1
¶ ,
D =
µi 1 1 i
¶
, E =
1 −1 2
3 1 4
5 6 0
.
Laske, mik¨ali mahdollista,AT, (A+B)C, DB, BC, (A−3B)E,E(5A−7B), C−1, D−1.
24. Olkoot
A=
µ1 2 −1
0 1 0
¶
ja B=
µ1 7 0 0 3 0
¶ .
Ratkaise matriisi X yht¨al¨ost¨a
a) 2(X−A) = 3(B+X)−4(A+ 2B), b) AX =B.
25. Laske (A+B)T, kun A =
µ1 −2 1
1 1 3
¶
ja B =
µ3 1 −1 1 2 −1
¶
. Onko (A+B)T = AT+BT?
26. Todista, ett¨a (AB)T =BTAT, mik¨ali AB on m¨a¨aritelty.
27. M¨a¨ar¨a¨a A−1 (mik¨ali mahdollista), kun A on a)
µ2 1 3 2
¶
b)
µ 1 −1
−3 3
¶
28. M¨a¨ar¨a¨a A−1 (mik¨ali mahdollista), kun A on
a)
µ1 3 2 4
¶
b)
1 i 0 i 0 i 0 i 0
c)
1 −1 2 3
4 1 2 0
2 −1 3 1
4 2 1 −5
.
29. Mill¨a luvun a∈R arvoilla A−1 on olemassa, kun A=
1 1 0 1 0 0 1 2 a
?
30. Olkoon A s¨a¨ann¨ollinen neli¨omatriisi. Osoita, ett¨a transpoosiAT on s¨a¨ann¨ollinen ja ett¨a (AT)−1 = (A−1)T.
31. Laske A−1, kun A=
1 1 1 1
1 2 −1 2
1 −1 2 1
1 3 3 2
.
32. Tutki, mill¨a ehdolla diagonaalimatriisi
A =
a11 0 0 . . . 0 0 0 a22 0 . . . 0 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . 0 ann
on s¨a¨ann¨ollinen. M¨a¨ar¨a¨a t¨all¨oin A−1. 33. Mill¨a reaaliluvun a arvoilla matriisi A =
µa 3 2 a−5
¶
on s¨a¨ann¨ollinen? Mik¨a on t¨all¨oin A−1?
34. Osoita, ett¨a A−1 =AT, jos A =
µcosθ −sinθ sinθ cosθ
¶
, miss¨a θ ∈R.
35. M¨a¨ar¨a¨a A−1 (mik¨ali mahdollista), kun a) A=
µ 1 2
−1 −3
¶
b) A =
1 i 0 i 0 i 0 i 0
c) A=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
d) A=
1 1 2
−1 1 2
2 0 1
e) A=
1 1 −1 0
0 1 2 1
1 −1 0 −1
1 0 1 0
f) A=
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
.
36. a) Osoita, ett¨a muotoa a+b√
2, a, b∈Q, olevat reaaliluvut muodostavat rationaa- likertoimisen vektoriavaruuden.
b) Osoita, ett¨a Con reaalikertoiminen vektoriavaruus.
37. Osoita, ett¨a M = {X = (x, y, z)T ∈ R3 | 2x −3y + 7z = 0} on avaruuden R3 aliavaruus.
38. Olkoon
a) M ={(a1, a2, a3)T ∈R3 |a1+ 2a2+ 3a3 = 0} b) M ={(a1, a2, a3)T ∈R3 |a1+a2+a3 = 1}. Tutki, onko M vektoriavaruuden R3 aliavaruus.
39. Tutki, onko
a) U = {X = (a1, a2, a3, a4)T ∈ R4 | a1−a3 = a2 +a4 = 0} vektoriavaruuden R4 aliavaruus,
b) U ={X ∈F(R) | X(1) = 0} vektoriavaruuden F(R) aliavaruus, c) U ={X = (a1, a2)∈R2 | a2 =a21} vektoriavaruuden R2 aliavaruus, d) U ={X = (a1, a2)∈R2 | a1 ≥0} vektoriavaruuden R2 aliavaruus.
40. OlkoonV ={X ∈C2(R)|X′′(t)+3X′(t) = 0}. Osoita, ett¨aV on funktioavaruuden C2(R) aliavaruus. Tutki, onko U = {X | X(t) = ae−3t, a ∈ R} avaruuden V aliavaruus.
41. Esit¨a pisteiden (1,1,0)T, (0,1,1)T ja (0,2,1)T kautta kulkevan tason yht¨al¨o muo- dossa
a) Z =X +sU +tV, s, t∈R, b) ax+by+cz =d.
Onko t¨am¨a taso avaruuden R3 aliavaruus? Onko piste (2,5,1)T t¨ass¨a tasossa?
42. Tarkastellaan polynomiavaruudenP4 aliavaruuttaL({1 +t, t2+t3,1−t4}). Ovatko polynomit
a) 1 + 3t+t2+t3+ 5t4, b) 3−2t+t3−4t4 t¨am¨an aliavaruuden alkioita?
43. Olkoot X1,X2 ja X3 lineaarisen avaruuden V lineaarisesti riippumattomia vektore- ita. Tutki, ovatko vektoritX1+X2,X1+X3jaX2+X3lineaarisesti riippumattomia.
44. Olkoon X1(t) = 1, X2(t) = sint ja X3(t) = sin2t. Tutki, ovatko avaruuden F(R) vektorit X1, X2, X3 lineaarisesti riippumattomia.
45. Tutki seuraavien vektoreiden lineaarista riippumattomuutta:
a) 1 +t, 2 +t2, . . . , n+tn∈Pn b) et, e2t, e3t ∈C(R) c) sint,2 sin2t−1,cos 2t∈C(R)
46. Olkoon U avaruuden R4 aliavaruus, jonka viritt¨av¨at vektorit
X1 = (1,1,1,1)T, X2 = (1,−1,1,−1)T ja X3 = (1,3,1,3)T. M¨a¨ar¨a¨a dimU ja aliavaruuden U jokin kanta.
47. Tarkastellaan yht¨al¨oryhm¨a¨a a)
½ x+ 3y+ 4z = 0
x−y+z = 0 b)
2x+y−z−2u= 0 x−y+ 3u= 0
5x+ 7y−3z+ 2u= 0
M¨a¨ar¨a¨a yht¨al¨oryhm¨an ratkaisujen muodostaman vektoriavaruuden dimensio ja jokin kanta.
48. M¨a¨arit¨a jokin nollavaruuden Nul A kanta, kun A on teht¨av¨an 18 matriisi.
49. a) Ovatko polynomiavaruudenP2 vektoritf1(t) = 1+t,f2(t) = 5+tja f3(t) = 2+t2 lineaarisesti riippumattomia?
b) Olkoon U ={f ∈P3 | f(0) =f(1) = 0}. Osoita, ett¨a U on avaruuden P3
aliavaruus ja m¨a¨ar¨a¨a dimU.
50. Olkoon E = {U1, U2} er¨as vektoriavaruuden V kanta ja olkoot V1 = U1 + U2 ja V2 =U1 +cU2 miss¨a c6= 1. Osoita, ett¨a my¨os F = {V1, V2} on avaruuden V kanta ja m¨a¨ar¨a¨a vektorin 4U1−3U2 koordinaatit t¨am¨an kannan suhteen.
51. M¨a¨ar¨a¨a dimL(S) ja jokin aliavaruuden L(S) kanta, kun a) S ={X ∈R4 | X = (a, b, a−b, a+b)T, a, b∈R}, b) S ={X ∈R5 | X = (c,0,0, c3, c2)T, c∈R},
c) S ={X ∈Rn | X = (a, b, a, b,· · ·)T, a, b∈R},
d) S ={X ∈Rn | X = (x1, x2,· · · , xn)T, x1+x2+· · ·+xn= 0}. 52. Osoita, ett¨a M ={X ∈ P3 | R1
0 X(t)dt= 0} on polynomiavaruuden P3 aliavaruus.
M¨a¨ar¨a¨a dimM ja jokin aliavaruuden M kanta.
53. Mill¨a arvoillaα ∈Rvektorit (0,1,1)T, (3,3,2)Tja (2,7, α)Tmuodostavat avaruuden R3 kannan? Mitk¨a ovat vektorin (3,2,1)T koordinaatit t¨am¨an kannan suhteen?
54. M¨a¨ar¨a¨a aliavaruuden L(S) dimensio ja jokin kanta vakion α∈R eri arvoilla, kun a) S ={(1,3,5)T, (2α,1,1)T, (1−α,2,4)}T,
b) S ={(1,1,1,1)T, (5,2, α−1,3)T, (1,2,4,3)T, (4,3, α,2)}T.
55. Tutki, mill¨a lukujen a,b ja c arvoilla vektorit (1,1,1,1)T, (a2,1,1,1)T, (a, b2,1,1)T ja (a, b, c2,1)T muodostavat avaruuden R4 kannan.
56. Tutki, mill¨a vakiona ∈Rarvoilla joukko{(1,1,−1)T,(2,1,1)T,(1,1, a)T}avaruuden R3 kanta. M¨a¨ar¨a¨a vektorin (1,2,3)T koordinaatit t¨ass¨a kannassa.
57. M¨a¨ar¨a¨a yht¨al¨oryhm¨an
x1−x2+ 3x4 = 0 2x1+x2−x3−2x4 = 0 5x1+ 7x2−3x3+ 2x4 = 0
.
ratkaisujen m¨a¨ar¨am¨an avaruuden R4 aliavaruuden jokin kanta ja dimensio.
58. M¨a¨ar¨a¨a avaruden R4 aliavaruuden
U ={X = (a1, a2, a3, a4)T ∈R4 | a1−a3 =a2+a4 = 0} jokin kanta ja dimensio.
59. Olkoon U ={X ∈P4|X(1) = 0, X(2) = 0} ja V ={X ∈ P4|X(1) = X(2)}. Tutki, ovatko U ja V avaruuden P4 aliavaruuksia. Jos ovat, m¨a¨ar¨a¨a niille jokin kanta ja laske dimensiot dimU ja dimV.
60. OlkoonS ={1+4t−2t2+t3, −5+6t+t3, −1+9t−3t2+2t3, 5+7t−5t2+2t3} ⊂P3. M¨a¨ar¨a¨a dimL(S).
61. Olkoon M = L{(4,1,1)T, (3,0,2)T, (5,2,0)T}. M¨a¨ar¨a¨a sellainen aliavaruus N ⊂ R3, ett¨a
a) R3 =M ⊕N,
b) R3 =M +N, mutta summa ei ole suora.
62. Olkoon P kaikkien R-kertoimisten polynomien muodostama vektoriavaruus ja U ={X ∈P |X(0) =X′′(0) = 0},
V ={X ∈P |tX′′(t)−X′(t) = 0∀t ∈R}. Onko P =U ⊕V?
63. Olkoot V = L({(0,1,1,1)T, (0,0, i, i)T, (0,1 +i,0,0)T}) ja W = L({(1,0,0,0)T, (3−i,0,0,0)T}) avaruuden C4 aliavaruuksia. M¨a¨ar¨a¨a V +W ja tutki, onko t¨am¨a summa suora.
64. Olkoon M vektoreiden (9,0,3)T,(4,1,1)T ja (3,0,1)T viritt¨am¨a avaruuden R3 ali- avaruus. M¨a¨ar¨a¨a sellainen aliavaruus N ⊂R3, ett¨a M ⊕N =R3.
65. M¨a¨ar¨a¨a avaruudenR4aliavaruuksienU =L{(1,1,1,1)T,(1,−1,1−1)T,(1,3,1,3)T} ja V = L{(1,2,0,2)T,(1,2,1,2)T,(3,1,3,1)T} summan ja leikkauksen dimensiot dim(U +V) ja dim(U ∩V).
66. a) Yht¨al¨oryhm¨an
½ x+ 2y−z = 2
x+y= 0 ratkaisujoukko on H. Esit¨a H muodossa H = X0+M, miss¨a X0 ∈ R3 ja M on avaruuden R3 aliavaruus.
b) Suorita vastaava tarkastelu yht¨al¨oryhm¨alle
½ x1+ 2x2−3x3+x4 = 1 2x1−x2+ 2x3−x4 = 2.
67. Esit¨a taso x−2y+ 3z = 5 muodossa X0 +M, miss¨a X0 ∈ R3 ja M on avaruuden R3 aliavaruus.
