Osoita, että jos R f dm= 0, niinf = 0 m.k.

Analyysi IV

Harjoitus 9, kevät 2003

1. Olkoon E ⊂ R mitallinen joukko ja olkoon f : E → Rb funktio. Osoita, että f on mitallinen, jos ja vain jos funktio

g(x) =

½ f(x) , x∈E 0 , x∈R\E.

on mitallinen.

2. Olkoonf ei-negatiivinen mitallinen funktio. Osoita, että jos R

f dm= 0, niinf = 0 m.k.. Tähän nojautuen todista, että kuvauksille f, g∈L^p, 1≤p <∞, pätee

d_L^p(f, g) = 0 ⇔ f =g m.k.

3. Osoita, että (L^∞, d_L^∞) on metrinen avaruus.

4. Olkoonf :R→Rb siten, että

f(x) =





0 , x <0

∞ , x= 0 0 , x >0.

Osoita, että on olemassa kasvava jono ei-negatiivisia yksinkertaisia funktioita {φ_n}, jotka häviävät (= 0) äärellismittaisen joukon ulkopuolella ja että pätee

f = lim

n→∞ϕ_n.

5. Osoita, että Fatoun lemmassa ((a)-kohta) voi olla aito epäyhtälö (Vihje: Tarkastele jonoa {f_n}, jolle f_n(x) = 1, josn ≤x < n+ 1 ja f_n(x) = 0 muualla).

6. Olkoonf ∈L^p([0,1]), 1< p <∞. Osoita, että Z ₁

0

|xf(x)|dm≤d_L^p(f,0)·

³ p−1 2p−1

´^p−1_p . Huom!

Z _b

a

g(x)dx= Z

[a,b]

g(x)dm aina, kung : [a, b]→Ron Riemann-integroituva.