Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku
TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 1
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku
3. harjoitukset/Tehtävät
Aiheet: Verkot todennäköisyyslaskennassa
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut
Avainsanat:
Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo, Painopiste, Pistetodennäköisyysfunktio,
Puutodennäköisyys, Puuverkko, Rinnan kytkentä, Sarjaan kytkentä, Standardipoikkeama, Tiheysfunktio, Todennäköisyysjakauma, Toimintatodennäköisyys, Toimintaverkko, Tulosääntö, Tunnusluku, Varianssi, Yhteenlaskusääntö
3.1. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa kuulaa.
Nostetaan kummastakin uurnasta satunnaisesti yksi kuula sekä asetetaan uurnasta A poimittu kuula uurnaan B ja uurnasta B poimittu kuula uurnaan A. Nostetaan tämän jälkeen uurnasta B satunnaisesti kuula. Mikä on todennäköisyys, että nostettu kuula on valkoinen?
Ohje: Käytä ratkaisussa puuverkkoa.
3.2. Tiedonsiirtojärjestelmä siirtää binäärilukuja 0 ja 1, mutta järjestelmässä on vika, joka aiheuttaa sen, että luku 1 vastaanotetaan virheellisesti lukuna 0 todennäköisyydellä 1/10.
Luotettavuuden parantamiseksi luku 1 koodataan lähetettäessä jonoksi 111 ja luku 0 jonoksi 000. Vastaanotettaessa tehdään koodinpurku, jossa jonot 111, 110, 101 tai 011 tulkitaan luvuksi 1. Mikä on todennäköisyys, että lähetetty luku 1 vastaanotetaan lukuna 1?
Ohje: Käytä ratkaisussa puuverkkoa.
3.3. Seuraava kuva esittää sähköistä verkkoa, jossa on 5 komponenttia, joista jokaisen toiminta- todennäköisyys on p. Lisäksi oletetaan, että komponenttien vikaantumiset ovat tapahtumina
toisistaan riippumattomia. Mikä on todennäköisyys, että verkko toimii, ts. virta kulkee verkon läpi?
1
2
3
4
5
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku
TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 2
3.4. Heitetään virheetöntä rahaa 3 kertaa, jossa siis Pr(Kruuna) = Pr(Klaava) = 1/2.
Olkoon satunnaismuuttuja X = Kruunien lukumäärä 3:ssa heitossa.
(a) Määrää todennäköisyydet tapahtumille X = 0, 1, 2, 3 puuverkkoa käyttäen ja määrittele niiden avulla satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio. Hahmottele funktion kuvaaja myös paperille.
(b) Määrää satunnaismuuttujan X kertymäfunktio. Hahmottele funktion kuvaaja myös paperille.
(c) Mikä on tapahtuman X = 1.5 todennäköisyys?
(d) Määrää tapahtuman X > 1 todennäköisyys sekä satunnaismuuttujan pistetodennäköisyys-
että kertymäfunktion avulla.
3.5. Satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on muotoa , kun 0 1
( ) 0 , muulloin
x b x
f x + ≤ ≤
=
(a) Määrää vakion b arvo.
(b) Määrää tapahtuman X = 0.5 todennäköisyys.
(c) Määrää tapahtuman 0 ≤ X ≤ 0.5 todennäköisyys.
(d) Määrää satunnaismuuttujan X kertymäfunktio.
3.6. Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on muotoa
2
0, 0
( ) , 0 1
1, 1
x
F x x bx x
x
≤
= − + ≤ ≤
≥
(a) Määrää vakion b arvo.
(b) Määrää tapahtuman X = 0.5 todennäköisyys.
(c) Määrää tapahtuman 0.25 ≤ X ≤ 0.5 todennäköisyys.
(d) Määrää satunnaismuuttujan X tiheysfunktio.
3.7. Osallistut rahapeliin, jossa heitetään kolmea harhatonta rahaa (ks. tehtävä 3.4.). Peliin osallistumisesta pitää maksaa panos ja pelaaja saa voittona kruunien lukumäärän euroja.
(a) Mikä on korkein panos mikä sinun kannattaa maksaa osallistumisesta peliin?
Ohje: Määrää ko. satunnaismuuttujan odotusarvo.
(b) Mikä on voittosumman standardipoikkeama?
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku
TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 3
3.8. Määrää tehtävän 3.6. todennäköisyysjakauman odotusarvo ja standardipoikkeama.
