Mat-1.1230 p eruskurssi S3 syksy 2009

TKK,MatematiikanjasysteemianalyysinlaitosRasila/Quach

Mat-1.1230 p eruskurssi S3 syksy 2009

1.v¨alikoeTi13.10.2009klo16.00-19.00 1.(a)Esit¨afunktiof(z)=1/¯zmuodossaf(z)=u(x,y)+iv(x,y),miss¨a z=x+iy. (b)Etsiyh t¨al

¨onz4 +i=0kaikkiratkaisutkompleksitasossa. (c)Onkofunktiof(z)=e−x(cosy−isiny),miss¨az=x+iy,analyyttinen jossakinalueessaD⊂C?Perustelevastauksesi. Ratkaisu: (a)Sievennet¨a¨anannettuafunktiotaf(z)=1 ¯z: f(z)=1 ¯z =1 x+iy =1 x−iy =1 x−iy·x+iy x+iy =x+iy (x−iy)(x+iy) =x (x2+y2) |{z} =u(x,y)

+iy (x2+y2) |{z} =v(x,y) (b)Kirjoitetaanannettuyh

t¨al

¨omuodossa z4 =−i=e−π 2i =e−π 2i+2πin , miss¨an∈Z.Ottamallayh t¨al

¨ost¨ajuuretjak¨aytt¨am¨all¨aDeMoivren kaavaasaadaan z=e−π 8i+π 2in . T¨all¨oinratkaisuiksisaadaan             

z=e−π 8i , z=e³

π 8i , z=e7π 8i , z=e11π 8i .

(c)Tutkitaanf(z):nanalyyttisyytt¨aCauchy–Riemannyh t¨al

¨oidenavulla. f(z)=e−x (cosy−isiny) =e−x cosy |{z} =u(x,y)

+i(−e−x siny |{z} =v(x,y)

). Laskemallaosittaisderivaatasaadaan ( ux=−e−x cosy, uy=−e−x siny,ja

( vx=e−x siny, vy=−e−x cosy. OsittaisderivaatatovatjatkuviajatoteuttavatCauchy–Riemann yh

t¨al

¨otkaikillax,yelif(z)onanalyyttinenkokoC:ss¨a. 2.Ovatkoseuraavatfunktiotharmonisia?Joskyll¨a,etsiharmoninenkonju- gaattifunktio. (a) u(x,y)=x2 −2xy+y2 , (b) u(x,y)=−3x(y+1)2 +x3 . Ratkaisu:Funktiotau(x,y)sanotaanharmoniseksi,jossetoteuttaa Laplacenyh t¨al

¨on ∆u=uxx+uyy=0. (a)Eiole: ∆u=∂2 ∂x2u+∂2 ∂y2u=2+2=46=0. (b)Funktioonharmoninen: ∆u=∂2 ∂x2u+∂2 ∂y2u=6x−6x=0. Etsit¨a¨anfunktiovsiten,ett¨af=u+ivonanalyyttinen.Cauchy- Riemanninyh t¨al

¨oidennojalla ∂u ∂x=−3(y+1)2 +3x2 =∂v ∂y. Integroimallay:nsuhteensaadaan v(x,y)=−3 3(y+1)3 +3x2 y+h(x)

ja ∂v ∂x=6xy+∂h ∂x. Cauchy-Riemanninyh t¨al

¨oist¨asaadaanedelleen −∂v ∂x=−6xy−∂h ∂x=−6x(y+1)=∂u ∂x, eli ∂h ∂x=6xy+6x−6xy=6x, jotenintegroimallasaadaanh(x)=3x2+C.Siis v(x,y)=3x2 +3x2 y−(y+1)3 [+C]. 3.Laskekompleksinenpolkuintegraali Z C|z|dz, kunCon(a)pisteit¨a[−i,i]yhdist¨av¨ajana,ja(b)origokeskisenpuoliym- pyr¨ankaari,jonkap¨a¨atepisteetovat−ijai,my¨ot¨ap¨aiv¨a¨ankierrettyn¨a. Ratkaisu:Lasketaanteh t¨av

¨anintegraalitk¨aytt¨aenpolkuintegraalinkaa- vaaZ Cf(z)dz=Zb afz(t) z0 (t)dt. (a)Annettupolkuvoidaanparametrisoidaseuraavasti ( z(t)=−i+it,t∈[0,2], z0 (t)=i. T¨all¨oinintegraalivoidaankirjoittaa Z C|z|dz=Z2 0|−i+it|·idt =i·Z2 0|−1+t|dt =i·Z1 01−tdt |{z} =1 2

+i·

Z2 1−1+tdt |{z} =1 2 =i.

(b)Ympyr¨anparametrisointionmuotoa ( z(t)=eit , z0 (t)=ieit , miss¨at∈ π 2,−π 2 tait∈ −π 2,−3π 2

,riippuenpuoliympyr¨anvalinnas- ta.Ensimm¨aisess¨avalinnassapuoliympyr¨asijaitseeoikeassapuolita- sossaja

j¨alkimm

¨aisess¨avasemassapuolitasossa.Tapauksetovatkui- tenkinanalogia,jotenk¨asitell¨a¨anensimm¨ainentapaus. Z C|z|dz=Z−π/2 π/2|eit | |{z} =1

·ieit dt =−π/2 π/2eit =−e−π 2i −eπ 2i =−2i. Toisessatapauksessavainintegraalinrajatmuuttuvatjaintegraalin arvoksisaadaan2i. 4.Laskeresidymenetelm¨a¨ak¨aytt¨aenintegraalin Z2π 0

dθ 7+6cosθ arvo. Ratkaisu:Integraalinlaskemiseksitehd¨a¨ansijoitus       

cosθ=1 2

z+1 z

, dθ=dz iz. T¨all¨ointeh

t¨av

¨anintegraalivoidaankirjoittaamuodossa Z2π 0

dθ 7+6cosθ=

Z C

1 7+6·1 2z+1 z·1 izdz, miss¨ak¨ayr¨aConyksikk¨oympyr¨akierrettyn¨apositiiviseensuuntaan(vas-

tap¨aiv¨a¨an).Sievennet¨a¨anpolkuintegraalia Z C

1 7+6·1 2z+1 z·1 izdz=

Z C

dz (3z2 +7z+3) |{z} 3(z−z1)(z−z2)

i =Z C

dz 3i(z−z1)(z−z2) =1 3i·Z C

dz (z−z1)(z−z2), miss¨a    

z1=1 6·

−7+√ 13

∈D, z2=1 6· −7−√ 13 6∈D. Lis¨aksi z1−z2=

√ 13 3. Omamurtohajotelmanavullaintegraalivoidaanesitt¨a¨amuodossa Z C

dz 3i(z−z1)(z−z2)=1 3i·

Z C

A z−z1dz+1 3i·

Z C

B z−z2dz, miss¨akertoimetAjaBvoidaanlaskearesidymenetelm¨all¨a. A=lim z→z1 (z−z1)·1 (z−z1)(z−z2) =lim z→z1

1 z−z2 =1 z1−z2 =1 √ 13 3 =3 √ 13. VastaavastisaadaanB=−3√ 13.N¨ainollen Z2π 0

dθ 7+6cosθ=1 3i·

Z C

A z−z1dz+1 3i·

Z C

B z−z2dz, SoveltamallaCauchyninteraalilausettaja-kaavaasaadaan       

Z C

A z−z1dz=2πiA, Z C

B z−z2dz=0.

Lopultainteraalinarvoksisaadaan Z2π 0

dθ 7+6cosθ=1 3i·2πiA =1 3i·2πi·3 √ 13 =2π √ 13.

Kaa v o ja:

Hyperbolisetjatrigonometrisetfunktiot: coshz=ez+e−z 2,sinhz=ez−e−z 2, tanhz=sinhz coshz,cothz=coshz sinhz, cosθ=eiθ +e−iθ 2,sinθ=eiθ −e−iθ 2i, sin(x±y)=sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y), cos(x±y)=cos(x)cos(y)∓sin(x)sin(y) Cauchy-Riemanninyh t¨al

¨ot: ∂ ∂xu(x,y)=∂ ∂yv(x,y),∂ ∂yu(x,y)=−∂ ∂xv(x,y). M¨obius-kuvaukset: (w−w1)(w2−w3) (w−w3)(w2−w1)=(z−z1)(z2−z3) (z−z3)(z2−z1). Polkuintegraali: Z Cf(z)dz=Zb afz(t) z0 (t)dt. Cauchynintegraalilause:I Cf(z)dz=0. Cauchynintegraalikaava: I C

f(z) z−z0dz=2πif(z0). Laurentinsarja: f(z)=

∞X n=0an(z−z0)n +

∞X n=1

bn (z−z0)n. Residylause: I Cf(z)dz=2πi

kX j=1Res z=zjf(z).