Joskus on käytännöllistä laajentaa merkinnällisesti lukujonon raja-arvo tapauksiin, joissa lukujonon alkiot kasvavat tai vähenevät rajatta.
Määritelmä 3.5. Jos jokaista lukua𝑀 > 0 kohti on olemassa sellainen rajaluku 𝑛𝑀 ∈Z+, että𝑥𝑛 > 𝑀aina, kun𝑛 > 𝑛𝑀, voidaan merkitä
lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 = ∞.
Jos vastaavasti jokaista lukua𝑀 >0 kohti on olemassa sellainen𝑛𝑚 ∈Z+, että 𝑥𝑛 <−𝑀aina, kun𝑛 > 𝑛𝑚, voidaan merkitä
𝑛→∞lim
𝑥𝑛 = −∞.
Lukujonon raja-arvon varsinaisen määritelmän tapaan myös määritelmän laajen-nus voidaan esittää eri muodoissa.
Huomautus. Määritelmä 3.5 voidaan esittää myös muodossa
𝑛→∞lim
𝑥𝑛 =∞ ⇔ ∀𝑀 >0 : ∃𝑛𝑀 ∈Z+: 𝑥𝑛 > 𝑀 aina, kun𝑛 > 𝑛𝑀, lim
𝑛→∞
𝑥𝑛=−∞ ⇔ ∀𝑀 >0 : ∃𝑛𝑚 ∈Z+: 𝑥𝑛 <−𝑀 aina, kun𝑛 > 𝑛𝑚.
Huomautus. Vaikka voidaan sanoa, että lukujonon raja-arvo on eräällä tavalla äärettömänä olemassa, ei lukujono silti suppene (vaan hajaantuu).
Esimerkki 3.21. Selvästi lim
𝑛→∞
𝑛 = ∞ ja lim
𝑛→∞−𝑛 = −∞,
sillä määritelmässä 3.5 tarvittaviksi rajaluvuiksi voidaan valita esimerkiksid𝑀e.
Esimerkki 3.22. Osoitetaan, että lim
𝑛→∞
𝑛2+1 𝑛+1 = ∞.
Valitaan mielivaltainen𝑀 > 0. Merkitään𝑛𝑀 =d2𝑀e, ja oletetaan, että𝑛 > 𝑛𝑀 (𝑛 ∈Z+). Tällöin𝑛 >2𝑀, joten
𝑛2+1 𝑛+1 >
𝑛2 𝑛+1 >
𝑛2 𝑛+𝑛
= 𝑛
2 > 2𝑀
2 = 𝑀 . Väite seuraa nyt määritelmästä 3.5.
Esimerkissä 3.22 rajaluku𝑛𝑀 = d2𝑀e on keksitty havaitsemalla, että 𝑛
2 > 𝑀 ⇔ 𝑛 >2𝑀 .
On hyväksyttävää esittää ratkaisu (luvun𝑀 > 0 valinnan jälkeen) myös muodossa 𝑛2+1
𝑛+1 >
𝑛2
𝑛+1 ≥ 𝑛2 𝑛+𝑛
= 𝑛
2 > 𝑀 , kun𝑛 >2𝑀.
Esimerkki 3.23. Olkoon𝑥 ∈R. Osoitetaan, että
lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 =
∞, kun𝑥 >1, (a) 1, kun𝑥 =1, (b) 0, kun |𝑥| < 1, (c)
, kun𝑥 ≤ −1. (d)
Tarkastellaan ensin kohtaa (a). Valitaan mielivaltainen 𝑀 > 0. Koska 𝑥 > 1, niin on olemassa sellainen 𝑎 > 0, että 𝑥 = 1+𝑎. Tällöin Bernoullin epäyhtälön (esimerkki 1.5, s. 6) nojalla
𝑥𝑛 = (1+𝑎)𝑛 ≥ 1+𝑛𝑎 > 𝑀 , kun𝑛 > 𝑀−1
𝑎 . Siis väite on tosi määritelmän 3.5 perusteella.
Kohdassa (b) kyseessä on vakiojono, joten tulos on selvä (ks. esimerkki 3.2, s. 44).
Tarkastellaan sitten kohtaa (c). Jos𝑥 =0, kyseessä on vakiojono, joten tulos on selvä (vrt. (b)-kohta). Jos taas𝑥 ≠0, niin tulos seuraa huomautuksesta 3.2 (s. 43) ja esimerkistä 3.6 (s. 46) tai esimerkistä 3.14 (s. 68).
Todistetaan lopuksi kohta (d). Jos𝑛∈Z+, niin
|𝑥𝑛−𝑥𝑛+1| = |𝑥𝑛(1−𝑥) | =
≥1
n
|𝑥|𝑛
≥2
z }| {
|1−𝑥| ≥ 1·2 = 2. Siis Cauchyn suppenemisehto ei ole voimassa, joten
lim
𝑛→∞
𝑥𝑛.
Lisäksi lukujonon termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia, joten lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 ≠ ±∞.
Huomautus. Lukujonon raja-arvon laskusäännöt ja muut lukujonon raja-arvoa koskevat tulokset ovat ”soveltuvin osin” voimassa myös, kun lukujonon alkiot kasvavat tai vähenevät rajatta (harjoitustehtävä).
Harjoitustehtäviä
3.7.1. Osoita suoraan raja-arvon määrittelyyn perustuen, että (a) lim Huom. Riittää määrittää kyseiset raja-arvot. Suppenemistuloksia ei tarvitse perustella nojautumalla suoraan määritelmään.
3.7.3. Anna esimerkki sellaisista lukujonoista(𝑥𝑛)ja(𝑦𝑛), että𝑥𝑛→ ∞,𝑦𝑛 →0 ja (a) 𝑥𝑛𝑦𝑛→ ∞, (b) 𝑥𝑛𝑦𝑛 →4, (c) 𝑥𝑛𝑦𝑛→ 0.
Huom. Riittää määrittää vaadittavat raja-arvot. Suppenemistuloksia ei tarvitse perus-tella nojautumalla suoraan määritelmään.
3.7.4. Anna esimerkki sellaisista lukujonoista(𝑥𝑛)ja(𝑦𝑛), että𝑥𝑛 → ∞,𝑦𝑛 → ∞ja (a) 𝑥𝑛/𝑦𝑛 → ∞, (b) 𝑥𝑛/𝑦𝑛 →2, (c) 𝑥𝑛/𝑦𝑛 →0.
Huom. Riittää määrittää vaadittavat raja-arvot. Suppenemistuloksia ei tarvitse perus-tella nojautumalla suoraan määritelmään.
3.7.5. Olkoon𝑎 > 1,𝑘 ∈Z+ ja 𝑥𝑛 = 𝑎𝑛
𝑛𝑘
∀𝑛∈Z+. Osoita täsmällisesti perustellen, että lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 =∞.
Vihje: Tarkastele esimerkiksi raja-arvoa lim
𝑛→∞
𝑥𝑛+1 𝑥𝑛
. 3.7.6. Osoita täsmällisesti perustellen, että jos
𝑛→∞lim Onko käänteinen väite tosi eli onko lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 =∞aina, kun lim
𝑛→∞
1 𝑥𝑛 =0?
3.7.7. Oletetaan, että|𝑥𝑛−𝑦𝑛| < 𝑛kaikilla𝑛 ∈ Z+ ja𝑥𝑛 → ∞, kun𝑛 → ∞. Onko mahdollista, että jono(𝑦𝑛) suppenee?
3.7.8. Onko mahdollista, että lukujono(𝑥𝑛)on kasvava ja𝑥𝑛 → −∞, kun𝑛 → ∞?
3.7.9. Määritä
(a) lim
𝑛→∞
2𝑛−3 𝑛+1
𝑛
, (b) lim
𝑛→∞
3𝑛−1 2𝑛+1
2𝑛+1
,
(c) lim
𝑛→∞
2𝑛2
𝑛! , (d) lim
𝑛→∞
1+ 1
2𝑛 𝑛2
. 3.7.10. Osoita suoraan raja-arvon määrittelyyn perustuen, että
(a) jos lim
𝑛→∞
𝑥𝑛=∞ ja lim
𝑛→∞
𝑦𝑛=∞, niin lim
𝑛→∞
𝑥𝑛𝑦𝑛=∞, (b) jos lim
𝑛→∞
𝑥𝑛=∞ ja lim
𝑛→∞
𝑦𝑛=−∞, niin lim
𝑛→∞
𝑥𝑛𝑦𝑛 =−∞.
4 Funktion raja-arvo
4.1 Määritelmä
Olkoon 𝑓 funktio, joka on määritelty avoimella välillä 𝐼lukuun ottamatta mahdolli-sesti yhtä pistettä𝑎 ∈𝐼.
Määritelmä 4.1. Funktiolla 𝑓 on pisteessä𝑎raja-arvo 𝐴, jos jokaista positii-vilukua𝜀 > 0 kohti on olemassa sellainen𝛿 >0, että
|𝑓(𝑥) − 𝐴| < 𝜀 aina, kun 0 < |𝑥−𝑎|< 𝛿.
Tällöin merkitään
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐴.
Huomautus. Vaihtoehtoinen merkintätapa funktion raja-arvolle on esimerkiksi 𝑓(𝑥) → 𝐴, kun𝑥 →𝑎 .
Huomautus 4.1. Funktion raja-arvon määritelmä voidaan ilmoittaa myös muo-dossa
𝑥→𝑎lim
𝑓(𝑥) = 𝐴 ⇔ ∀𝜀 > 0 : ∃𝛿 >0 : |𝑓(𝑥) − 𝐴|< 𝜀 aina, kun𝑥 ∈U0𝛿(𝑎), tai
𝑥→𝑎lim
𝑓(𝑥) = 𝐴 ⇔ ∀𝜀 > 0 : ∃𝛿 >0 : 𝑓(𝑥) ∈U𝜀(𝐴) aina, kun 0 < |𝑥−𝑎| < 𝛿, tai
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐴 ⇔ ∀𝜀 > 0 : ∃𝛿 >0 : 𝑓(𝑥) ∈U𝜀(𝐴) aina, kun𝑥 ∈U0𝛿(𝑎). Huomautus. Funktiolla 𝑓(𝑥) on pisteessä𝑎 raja-arvo 𝐴, jos funktion arvot 𝑓(𝑥) kuuluvat raja-arvon 𝐴ympäristöön U𝜀(𝐴)aina, kun𝑥on riittävän lähellä pistettä𝑎 (eli𝑥 ∈U0𝛿(𝑎)).
Huomautus 4.2. Funktion raja-arvon määritelmässäkään (vrt. huomautus 3.1, s. 43) ei ole oleellista, että ehdoissa |𝑓(𝑥) −𝐴| < 𝜀 ja |𝑥−𝑎| < 𝛿 relaatioksi on valittu
”pienempi kuin”. Aivan yhtä hyvin määritelmässä olisi voinut olla |𝑓(𝑥) − 𝐴| ≤ 𝜀 tai|𝑥−𝑎| ≤ 𝛿.
Huomautus 4.3. Funktion raja-arvon määritelmän ehdossa 0 < |𝑥−𝑎| on oleellista, että relaatio on ”pienempi kuin”. Funktion arvolla pisteessä 𝑎 ei nimittäin ole vaikutusta raja-arvoon eikä sen olemassaoloon.
Huomautus 4.4. Lukujonon raja-arvotodistusten tapaan ei ole välttämätöntä saada lopulliseksi arvioksi ”< 𝜀”, vaan riittää saada ”< 𝑐·𝜀”, missä𝑐 > 0 on jokin positii-vinen vakio (joka ei riipu luvusta 𝜀tai muuttujasta 𝑥). Toisin sanoen lausetta 3.14 (s. 55) vastaava tulos on voimassa myös funktion raja-arvolle.
Huomautus 4.5. Funktion raja-arvon määritelmästä seuraa suoraan (täsmälli-nen todistus jätetään harjoitustehtäväksi), että
𝑥→𝑎lim
𝑓(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑎+ℎ).
Huomautus 4.6. Koska |𝑓(𝑥) −0| = ||𝑓(𝑥) | −0|, niin funktion raja-arvon määritelmästä seuraa suoraan, että
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 0 ⇔ lim
𝑥→𝑎
|𝑓(𝑥) | = 0.
Esimerkki 4.1. Olkoon 𝑓(𝑥) =𝑐. Tällöin
|𝑓(𝑥) −𝑐| = |𝑐−𝑐| = 0 < 𝜀
kaikilla 𝜀 > 0 ja kaikilla 𝑥 ∈ R (ja kaikilla 𝛿 > 0), joten funktion raja-arvon määritelmän nojalla
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑐 ∀𝑎 ∈R. Esimerkki 4.2. Olkoon 𝑓(𝑥) =𝑥 ja𝑎 ∈R. Osoitetaan, että
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑎 .
Valitaan mielivaltainen𝜀 > 0. Merkitään𝛿𝜀 =𝜀, ja oletetaan, että 0< |𝑥−𝑎|< 𝛿𝜀. Tällöin1
|𝑓(𝑥) −𝑎| = |𝑥−𝑎| < 𝛿𝜀 = 𝜀, joten tulos seuraa suoraan funktion raja-arvon määritelmästä.
Esimerkki 4.3. Osoitetaan, että lim
𝑥→7(3𝑥−20) = 1.
Valitaan mielivaltainen𝜀 > 0. Merkitään𝛿𝜀 = 𝜀3 ja oletetaan, että 0 < |𝑥−7| < 𝛿𝜀. Tällöin
| (3𝑥−20) −1| = |3𝑥−21| = 3|𝑥−7| < 3·𝛿𝜀 = 3· 𝜀 3 = 𝜀, joten tulos seuraa funktion raja-arvon määritelmästä.
1Tässä voitaisiin olettaa myös pelkästään|𝑥−𝑎| < 𝛿𝜀, sillä nyt 𝑓(𝑎)=𝑎.
Esimerkki 4.4. Olkoon 𝑓: R\ {−2} →R,
Valitaan mielivaltainen 𝜀 > 0. Merkitään 𝛿𝜀 = min{1,6𝜀}, ja oletetaan, että 0< |𝑥−1|< 𝛿𝜀. Koska 0< |𝑥−1|< 1, niin𝑥 >0 ja siis𝑥≠ −2. Täten Siis tulos seuraa funktion raja-arvon määritelmästä.
Edellä olevan kaltaisessa päättelyssä edetään monesti suoraviivaisemmin (vrt.
lukujonon raja-arvoa koskeva esimerkki 3.4 sivulla 45). Usein valitaan ensin mieli-valtainen 𝜀 > 0 ja tehdään joitakin oletuksia (esimerkiksi nyt 𝑥 > 0). Sen jälkeen päätellään esimerkiksi, että
Näin voidaan menetellä, sillä tällöin on osoitettu, että vaadittu itseisarvoehto toteutuu, jos𝑥 on riittävän lähellä pistettä 1 (eli nyt 0< |𝑥−1|< 6𝜀). Valitsemalla1 𝛿𝜀 =min{1,6𝜀}tämä toteutuu aina, kun 0< |𝑥−1| < 𝛿𝜀. Alkuperäiseen ratkaisuun verrattuna luvun𝛿𝜀valinta on nyt vain siirretty tapahtuvaksi myöhemmässä vaiheessa.
1Tässä ei voida valita yksinkertaisesti𝛿𝜀 =6𝜀, sillä oletuksen𝑥 >0 takia on oltava𝛿𝜀≤1.
Esimerkki 4.5. Osoitetaan, että
𝑥→3lim
𝑥2 = 9. Valitaan mielivaltainen𝜀 >0. Nyt
|𝑥2−9| = | (𝑥+3) (𝑥−3) |
= |𝑥+3| |𝑥−3|
𝑥 >2
= (𝑥+3) |𝑥−3|
𝑥 <4
< 7· |𝑥−3|
< 𝜀, kun 0 < |𝑥−3| < 𝛿𝜀 = min{1, 𝜀
7}. Siis tulos seuraa funktion raja-arvon määritel-mästä.
Yllä nimittäin on osoitettu, että jos valitaan 𝛿𝜀 = min{1, 𝜀
7} ja oletetaan, että 0 < |𝑥−3| < 𝛿𝜀, niin tällöin |𝑥2−9| < 𝜀. Täten tulos seuraa funktion raja-arvon määritelmästä. Vakio 𝜀7 on ratkaistu epäyhtälöstä
7|𝑥−3| < 𝜀 ⇔ |𝑥−3| <
𝜀 7 ja ehtoa
|𝑥−3| < 1 ⇔ 2< 𝑥 < 4 ⇔ 5< 𝑥+3< 7
on käytetty sen osoittamiseen, että 0< |𝑥+3| < 7. Koska itseisarvon |𝑥−3|pitää olla sekä pienempi kuin 𝜀7 että pienempi kuin 1, saadaan nämä ehdot yhdistämällä
𝛿𝜀 =min 1,
𝜀 7 .
Raja-arvo olisi tietysti voitu osoittaa aiempien esimerkkien tapaan myös valitse-malla ensin tarvittava𝛿𝜀. Eli luvun𝜀 >0 valinnan jälkeen merkitään𝛿𝜀 =min{1, 𝜀
7} ja oletetaan, että 0 < |𝑥−3| < 𝛿𝜀. Tällöin |𝑥−3| < 1, joten𝑥 ∈ ]2,4[ ja edelleen 5< 𝑥+3< 7. Siis
|𝑥2−9| = | (𝑥+3) (𝑥−3) |
= |𝑥+3| |𝑥−3|
𝑥+3>5
= (𝑥+3) |𝑥−3|
𝑥+3<7
< 7· |𝑥−3|
|𝑥−3|< 𝜀
7
< 7· 𝜀 7
= 𝜀,
joten tulos seuraa funktion raja-arvon määritelmästä.
Esimerkki 4.6. Osoitetaan, että Edelleen tällöin ehdon (4.1) nojalla
1
4𝑥−3 < 1 1/2 = 2 ja ehdon (4.2) nojalla
2−𝑥 < 9
9𝜀 . Siis tulos seuraa funktion raja-arvon määritel-mästä.
-0.15 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.15
Esimerkki 4.7. Osoitetaan, että lim
𝑥→0
𝑥sin1 𝑥
= 0. Valitaan mielivaltainen𝜀 >0. Tällöin
Esimerkki 4.8. Osoitetaan, että kun𝑎 > 0, niin
𝑥→𝑎lim
𝑎}. Tulos seuraa nyt funktion raja-arvon määritel-mästä.
Esimerkki 4.9. Osoitetaan, että
𝑥→𝑎limsin𝑥 = sin𝑎 ja lim
𝑥→𝑎cos𝑥 = cos𝑎 kaikilla𝑎 ∈R.
Palautetaan aluksi trigonometriasta mieleen kaavat (4.3) sin𝑥−sin𝑦 = 2 cos𝑥+𝑦
2 sin𝑥−𝑦 2
ja
(4.4) |sin𝑥| ≤ |𝑥|
kaikilla𝑥 , 𝑦 ∈R.
Olkoon sitten𝑎 ∈R. Valitaan mielivaltainen𝜀 > 0. Merkitään𝛿 =𝜀, ja valitaan 𝑥 ∈Rsiten, että 0 < |𝑥−𝑎|< 𝛿 (=𝜀). Tällöin
joten tulos seuraa suoraan funktion raja-arvon määritelmästä.
Raja-arvo
lim
𝑥→𝑎
cos𝑥 = cos𝑎
voidaan osoittaa vastaavasti käyttämällä kaavan (4.3) sijasta kaavaa cos𝑥−cos𝑦 = −2 sin 𝑥+𝑦
2 sin𝑥−𝑦 2
(harjoitustehtävä) tai käyttämällä sopivia trigonometrian kaavoja ja funktion raja-arvon laskusääntöjä (ks. esimerkki 4.17, s. 104).
Harjoitustehtäviä
4.1.1. Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta
∀𝜀 > 0 : ∃𝛿 >0 : |𝑓(𝑥) − 𝐴|< 𝜀 aina, kun 0 < |𝑥−𝑎| < 𝛿, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto
∃𝛿 >0 : ∀𝜀 >0 : |𝑓(𝑥) − 𝐴| < 𝜀 aina, kun 0 < |𝑥−𝑎| < 𝛿.
Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
4.1.2. Tarkastellaan väitettä
∃𝑎 > 0 :∀𝑏 > 0 : ∃𝑐 ∈U0𝑏(𝑑): 𝑓(𝑐)∉U𝑎(𝑒),
missä𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 , 𝑒 ∈R. Mitä funktion 𝑓 raja-arvosta tällöin väitetään? Kirjoita väite myös käyttäen tavanomaisia kirjainsymboleja𝜀, 𝛿jne.
4.1.3. Olkoon 𝑓 välillä]𝑎, 𝑏[määritelty funktio ja𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[. Tarkastellaan ehtoja (i) lim
ℎ→0|𝑓(𝑥+ℎ) − 𝑓(𝑥) |=0, (ii) lim
ℎ→0|𝑓(𝑥+ℎ) − 𝑓(𝑥−ℎ) |=0. Osoita, että ehto (ii) seuraa ehdosta (i), mutta ehto (i) ei välttämättä seuraa ehdosta (ii).
4.1.4. Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että (a) lim
𝑥→4(5𝑥+3) =23, (b) lim
𝑥→2(7𝑥−5) =9, (c) lim
𝑥→3(3𝑥+2) =11. 4.1.5. Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että
𝑥→𝑎lim(6𝑥+𝑏) = 6𝑎+𝑏, kaikilla𝑎, 𝑏 ∈R.
4.1.6. Voidaan helposti osoittaa, että 𝑓(𝑥) →5, kun 𝑓(𝑥) =𝑥2+1 ja𝑥→ 2. Määritä jokin sellainen luku𝛿 >0, että
|𝑓(𝑥) −5| < 0,01 aina, kun 0 < |𝑥−2| < 𝛿.
4.1.7. Määritä jokin sellainen luku 𝑀 >0, että
|2𝑥2−18| ≤ 𝑀 · |𝑥−3| ∀𝑥 ∈ ]2,4[,
ja osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen (yllä olevaa tulosta hyödyntäen), että
𝑥→lim3(2𝑥2−8) =10.
4.1.8. Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että (a) lim
𝑥→4
𝑥2=16, (b) lim
𝑥→4
(2𝑥2−7) =25, (c) lim
𝑥→2
(3𝑥2−4)=8. 4.1.9. Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että
(a) lim
𝑥→2
(𝑥2+𝑥−2) =4, (b) lim
𝑥→3(2𝑥2−4𝑥−5) =1. 4.1.10. Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että
(a) lim
𝑥→1(𝑥3+2) =3, (b) lim
𝑥→1(𝑥4+1) =2. 4.1.11. Etsi sellainen funktio𝑔ja sellainen𝛿 >0, että𝑔on rajoitettu ja
𝑥 𝑥−2 −3
= 𝑔(𝑥) · |𝑥−3|
kaikilla𝑥 ∈ ]3−𝛿,3+𝛿[.
4.1.12. Määritä jokin sellainenℎ >0, että
ja osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen (yllä olevaa tulosta hyödyntäen), että
𝑥→2lim 2𝑥+1 2𝑥−3 =5.
4.1.13. Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että (a) lim 4.1.14. Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että
(a) lim 4.1.15. Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että
(a) lim 4.1.16. Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että
lim
4.1.17. Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että lim
𝑥→𝜋
3(𝜋−𝑥)cos 𝑥− 𝜋2
=0.
4.1.18. Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että (a) lim 4.1.19. Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että jos𝑎 > 0, niin