Seuraavaksi esitetään muutamia jatkuvia funktioita koskevia tuloksia. Tulokset pä-tevät asianmukaisesti muunnettuina myös vain oikealta tai vasemmalta jatkuville funktioille. Useassa kohden asiasta on myös erillinen huomautus.
Lause 5.5. Jos funktio 𝑓 on jatkuva pisteessä𝑎, myös funktio|𝑓|on jatkuva pisteessä𝑎.
Todistus. Käänteisen kolmioepäyhtälön (seuraus 1.13, s. 18) nojalla |𝑓(𝑥) | − |𝑓(𝑎) |
≤ |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) |
kaikilla𝑥 , 𝑎 ∈R, joten väite seuraa suoraan jatkuvuuden määritelmästä.
Huomautus. Lause 5.5 ei ole kääntäen voimassa (ks. esimerkki 5.11).
Esimerkki 5.11. Olkoon
𝑓(𝑥) =
(1, kun𝑥 ≥ 0,
−1, kun𝑥 <0.
Nyt|𝑓|on jatkuva kaikilla𝑥 ∈R, mutta 𝑓 on epäjatkuva pisteessä𝑥 =0 (totea).
Lause 5.6. Olkoot 𝑓 ja𝑔pisteessä𝑎jatkuvia funktioita. Tällöin myös funktiot 𝑓 +𝑔, 𝑓 −𝑔, 𝑓 𝑔, 𝑘 𝑓 (𝑘 ∈R) ja 𝑓
𝑔
(kun𝑔(𝑎) ≠0) ovat jatkuvia pisteessä𝑎.
Todistus. Tulokset seuraavat suoraan vastaavasta funktioiden raja-arvoa koskevasta
lauseesta 4.14 (s. 101).
Huomautus 5.7. Olkoot 𝑓 ja 𝑔 välillä 𝐼 jatkuvia funktioita. Tällöin myös funktiot
𝑓 +𝑔, 𝑓 −𝑔, 𝑓 𝑔, 𝑘 𝑓 (𝑘 ∈R) ja 𝑓 𝑔
(kun𝑔(𝑥) ≠0 ∀𝑥 ∈𝐼) ovat jatkuvia välillä 𝐼(harjoitustehtävä).
Esimerkki 5.12. Polynomifunktio on jatkuva kaikilla𝑥 ∈R(esimerkki 5.1, s. 127), joten rationaalifunktio
𝑟(𝑥) = 𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) (𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥)ovat polynomifunktioita)
on lauseen 5.6 perusteella jatkuva kaikilla𝑥 ∈ Rlukuun ottamatta pisteitä, joissa 𝑞(𝑥) =0.
Esimerkki 5.13. Vakiofunktio (esimerkki 5.1, s. 127) ja cos𝑥(esimerkki 5.2, s. 127) ovat jatkuvia kaikilla𝑥 ∈R. Siis lauseen 5.6 nojalla funktio
𝑓(𝑥) = 1 1−2 cos𝑥 on jatkuva kaikilla𝑥 ∈R, joille 2 cos𝑥 ≠1 eli𝑥 ≠±𝜋
3 +𝑘2𝜋 (𝑘 ∈Z).
Huomautus 5.8. Jos funktio 𝑓 on jatkuva ja funktio𝑔on epäjatkuva pisteessä𝑎, niin funktio 𝑓 +𝑔on epäjatkuva pisteessä𝑎.
Huomautus. Jos funktiot 𝑓 ja𝑔ovat molemmat epäjatkuvia pisteessä𝑎, niin funktio 𝑓 +𝑔saattaa silti olla jatkuva pisteessä𝑎(ks. esimerkki 5.14).
Esimerkki 5.14. Olkoon
𝑓(𝑥) =
(1, kun𝑥 ≥ 0, 0, kun𝑥 <0, ja
𝑔(𝑥) =
(−1, kun𝑥 ≥ 0, 0, kun𝑥 <0.
Toispuoleisia raja-arvoja tutkimalla havaitaan helposti, että 𝑓 ja𝑔ovat epäjatkuvia pisteessä𝑥 =0. Kuitenkin
(𝑓 +𝑔) (𝑥) = 𝑓(𝑥) +𝑔(𝑥) = 0 ∀𝑥 ∈R, joka on vakiofunktiona jatkuva pisteessä𝑥 =0.
Huomautus 5.9. Jos 𝑓 on sellainen pisteessä𝑎jatkuva funktio, että 𝑓(𝑎) ≠ 0, ja funktio𝑔epäjatkuva pisteessä𝑎, niin funktio 𝑓 𝑔on epäjatkuva pisteessä 𝑎.
Huomautus. Jos 𝑓 on sellainen pisteessä 𝑎 jatkuva funktio, että 𝑓(𝑎) = 0, ja funktio 𝑔 on epäjatkuva pisteessä 𝑎, niin funktio 𝑓 𝑔 saattaa olla jatkuva pisteessä𝑎(ks. esimerkki 5.15).
Esimerkki 5.15. Olkoon 𝑓(𝑥) =𝑥2kaikilla𝑥 ∈Rja 𝑔(𝑥) =
(1, kun𝑥 ≥ 0, 0, kun𝑥 <0. Tällöin
(𝑓 𝑔) (𝑥) = (
𝑥2, kun𝑥 ≥ 0, 0, kun𝑥 <0.
Siis 𝑓 on jatkuva pisteessä𝑥 =0 ja 𝑔 on epäjatkuva pisteessä𝑥 = 0, mutta 𝑓 𝑔 on jatkuva pisteessä𝑥 =0 (totea).
Lause 5.10. Jos 𝑓 on jatkuva pisteessä𝑎 ja𝑔 on jatkuva pisteessä 𝑓(𝑎), niin funktio𝑔◦ 𝑓 on jatkuva pisteessä𝑎.
Todistus. Koska 𝑓 on jatkuva pisteessä𝑎, niin
𝑥→𝑎lim
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎), ja koska𝑔on jatkuva pisteessä 𝑓(𝑎), niin
𝑦→lim𝑓(𝑎)
𝑔(𝑦) = 𝑔(𝑓(𝑎)). Täten lauseen 4.16 (s. 103) nojalla
𝑥→𝑎lim(𝑔◦ 𝑓) (𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑓(𝑎)).
Siis jatkuvuuden määritelmän nojalla𝑔◦ 𝑓 on jatkuva pisteessä𝑎. Esimerkki 5.16. Olkoon
𝑓(𝑥) = 1 𝑥
(𝑥 ≠ 0) ja 𝑔(𝑥) = sin𝑥 .
Tällöin 𝑓 on jatkuva kaikilla𝑥≠ 0 (esimerkki 5.12, s. 135) ja𝑔on jatkuva kaikilla 𝑥 ∈R(esimerkki 5.2, s. 127). Siis lauseen 5.10 nojalla
(𝑔◦ 𝑓) (𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = sin 1 𝑥 on jatkuva, kun𝑥 ≠ 0 (vrt. esimerkki 5.8, s. 130).
Huomautus 5.11. Lause 5.10 pätee myös, kun ulkofunktio𝑔on vain oikealta (tai vasemmalta) jatkuva (harjoitustehtävä). Tällöin on lisäksi oletettava, et-tä jossakin pisteen 𝑎 ympäristössä sisäfunktion 𝑓 arvot ovat suurempia (tai pienempiä) tai yhtäsuuria kuin 𝑓(𝑎).
Esimerkki 5.17. Funktio
𝑓(𝑥) = b𝑥2c on jatkuva pisteessä𝑥 =0, mutta funktio
𝑔(𝑥) = b𝑥3c ei ole (totea).
Huomautus 5.12. Lause 5.10 pätee myös, kun sisäfunktio 𝑓 (ja mahdollisesti myös ulkofunktio 𝑔, ks. huomautus 5.11) on vain oikealta (tai vasemmalta) jatkuva (harjoitustehtävä). Tällöin yhdistetty funktio𝑔◦ 𝑓 on vastaavalla tavalla oikealta (tai vasemmalta) jatkuva.
Esimerkki 5.18. Funktio
𝑓(𝑥) = b√ 𝑥c on oikealta jatkuva pisteessä𝑥 =0 (totea).
Lause 5.13. Jos funktio 𝑓 on jatkuva pisteessä𝑎ja lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 =𝑎, niin lim
𝑛→∞
𝑓(𝑥𝑛) = 𝑓(𝑎).
Todistus. Ks. lukujonon ja funktion raja-arvojen välinen yhteys (lause 4.13, s. 99).
Esimerkki 5.19. Olkoon
𝑓(𝑥) =
sin𝑥
𝑥
, kun𝑥 ≠ 0, 1, kun𝑥 =0, ja
𝑥𝑛 = 1 𝑛2
(𝑛 ∈Z+).
Nyt 𝑓 on jatkuva pisteessä 𝑥 = 0 (esimerkki 5.10, s. 131) ja lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 = 0, joten lauseen 5.13 nojalla
𝑛→∞lim 𝑓
1 𝑛2
= 𝑓(0) eli lim
𝑛→∞
𝑛2sin 1 𝑛2
= 1 (vrt. esimerkki 4.31, s. 122).
Lause 5.13 pätee myös, kun funktio on pelkästään oikealta tai vasemmalta jatkuva.
Tällöin on kuitenkin lisäksi oletettava, että lukujonon arvot sijaitsevat jatkuvuuden kannalta sopivalla alueella.
Huomautus 5.14. Jos funktio 𝑓 on oikealta jatkuva pisteessä𝑎ja lim
𝑛→∞
𝑥𝑛=𝑎 sekä on olemassa sellainen𝑛0∈Z+, että𝑥𝑛 ≥ 𝑎 kaikilla𝑛 > 𝑛0, niin
𝑛→∞lim
𝑓(𝑥𝑛) = 𝑓(𝑎). Todistus. Harjoitustehtävä.
Huomautus 5.15. Jos funktio 𝑓 on vasemmalta jatkuva pisteessä 𝑎 ja lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 = 𝑎 sekä on olemassa sellainen𝑛0 ∈ Z+, että𝑥𝑛 ≤ 𝑎 kaikilla 𝑛 > 𝑛0, niin
lim
𝑛→∞
𝑓(𝑥𝑛) = 𝑓(𝑎).
Todistus. Harjoitustehtävä.
Funktion raja-arvoa koskevasta lauseesta 4.10 (s. 98) seuraa suoraan, että pistees-sä𝑎 jatkuva funktio on rajoitettu pisteen𝑎 jossakin ympäristössä.
Lause 5.16. Jos funktio 𝑓 on jatkuva pisteessä𝑎, niin on olemassa sellainen 𝛿 >0, että 𝑓 on rajoitettu pisteen𝑎ympäristössäU𝛿(𝑎)eli välillä]𝑎−𝛿, 𝑎+𝛿[.
Lause 5.16 pätee myös, kun funktio on pelkästään oikealta tai vasemmalta jatkuva.
Tällöin on tarkasteltava pisteen𝑎ympäristön sijasta pelkästään pisteen𝑎oikealla tai vasemmalla puolella olevaa aluetta.
Huomautus 5.17. Jos funktio 𝑓 on oikealta jatkuva pisteessä 𝑎, niin on ole-massa sellainen𝛿1 > 0, että 𝑓 on rajoitettu välillä [𝑎, 𝑎+𝛿1[, ja jos funktio 𝑓 on vasemmalta jatkuva pisteessä𝑎, niin on olemassa sellainen𝛿2 >0, että 𝑓 on rajoitettu välillä]𝑎−𝛿2, 𝑎].
Todistus. Harjoitustehtävä.
Esimerkki 5.20. Olkoon 𝑓 sellainen pisteessä𝑥 =0 oikealta jatkuva funktio, että 𝑓(𝑥) ≤ 1
𝑥
∀𝑥 >0.
Osoitetaan, että 𝑓(𝑥)on ylhäältä rajoitettu, kun𝑥 ≥ 0 (vrt. esimerkki 5.7, s. 129).
1o: Koska 𝑓 on oikealta jatkuva pisteessä𝑥 =0, niin huomautuksen 5.17 nojalla on olemassa sellainen 𝛿 > 0, että 𝑓 on rajoitettu välillä [0, 𝛿[. Siis on olemassa sellainen𝑀0> 0, että
𝑓(𝑥) ≤ 𝑀0 ∀𝑥 ∈ [0, 𝛿[. 2o: Jos taas𝑥 ≥ 𝛿, niin
𝑓(𝑥) ≤ 1 𝑥
≤ 1 𝛿 . Kohdista 1oja 2oseuraa, että
𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 = max{𝑀0,1/𝛿} ∀𝑥 ≥0 eli 𝑓(𝑥)on ylhäältä rajoitettu, kun𝑥 ≥ 0.
Lauseen 4.11 (s. 99) ja seurauksen 4.12 (s. 99) perusteella saadaan vastaavasti seuraavat tulokset.
Lause 5.18. Jos funktio 𝑓 on jatkuva pisteessä𝑎ja 𝑓(𝑎) > 0, niin on olemassa sellainen𝛿 >0, että
𝑓(𝑥) > 0 ∀𝑥 ∈U𝛿(𝑎).
Lause 5.19. Jos funktio 𝑓 on jatkuva pisteessä𝑎ja 𝑓(𝑎) > 0, niin on olemassa sellainen𝛿 >0ja sellainen𝐾 >0, että
𝑓(𝑥) ≥ 𝐾 ∀𝑥 ∈U𝛿(𝑎).
Lause 5.20. Jos funktio 𝑓 on jatkuva pisteessä𝑎ja 𝑓(𝑎) < 0, niin on olemassa sellainen𝛿 >0, että
𝑓(𝑥) < 0 ∀𝑥 ∈U𝛿(𝑎).
Lause 5.21. Jos funktio 𝑓 on jatkuva pisteessä𝑎ja 𝑓(𝑎) < 0, niin on olemassa sellainen𝛿 >0ja sellainen𝐾 <0, että
𝑓(𝑥) ≤ 𝐾 ∀𝑥 ∈U𝛿(𝑎).
Esimerkki 5.21. Olkoot 𝑓: R→ Rja𝑔: R→Rsellaisia jatkuvia funktioita, että 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∀𝑥 ∈Q.
Osoitetaan, että tällöin
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∀𝑥 ∈R.
Merkitäänℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) −𝑔(𝑥). Tehdään vastaoletus, että on olemassa sellainen 𝑎 ∈R, että 𝑓(𝑎) ≠𝑔(𝑎)eliℎ(𝑎)≠ 0. Olkoon esimerkiksiℎ(𝑎) >0 (tapausℎ(𝑎) < 0 todistetaan vastaavasti). Koskaℎon lauseen 5.6 (s. 134) nojalla jatkuva pisteessä𝑎, niin lauseen 5.18 nojalla on olemassa sellainen𝛿 >0, että
ℎ(𝑥) > 0 ∀𝑥 ∈U𝛿(𝑎).
Nyt ympäristöön U𝛿(𝑎)(eli väliin]𝑎−𝛿, 𝑎+𝛿[) kuuluu ainakin yksi rationaalilu-ku𝑥𝑟 (seuraus 2.7, s. 36). Tällöin
ℎ(𝑥𝑟) = 𝑓(𝑥𝑟) −𝑔(𝑥𝑟) = 0, missä on ristiriita. Siis väite on todistettu.
Huomautus 5.22. Lauseet 5.18–5.21 pätevät myös, kun funktio on pelkästään oikealta tai vasemmalta jatkuva (harjoitustehtävä). Tällöinkin on tarkasteltava pisteen𝑎ympäristön sijasta pisteen𝑎oikealla tai vasemmalla puolella olevaa aluetta.
Huomautus 5.23. Jos esimerkiksi funktio 𝑓 on vasemmalta jatkuva pisteessä 𝑎ja 𝑓(𝑎) > 0, niin on olemassa sellainen𝛿 >0, että
𝑓(𝑥) > 0 ∀𝑥 ∈ ]𝑎−𝛿, 𝑎],
ja jos 𝑓 on oikealta jatkuva pisteessä𝑎ja 𝑓(𝑎) < 0, niin on olemassa sellainen𝛿 >0, että
𝑓(𝑥) < 0 ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑎+𝛿[.
Harjoitustehtäviä
5.2.1. Osoita, että jos funktiot 𝑓 ja𝑔ovat jatkuvia pisteessä𝑎, myös funktio (a) ℎ(𝑥) =max{𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)}, (b) ℎ(𝑥) =min{𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)}
on jatkuva pisteessä𝑎.
Vihje: Esitäℎfunktioiden 𝑓 ja𝑔avulla summaa, erotusta ja itseisarvoa käyttäen.
5.2.2. Määritä funktion
(a) 𝑓(𝑥) = 1 sin𝑥−cos𝑥
, (b) 𝑓(𝑥) = 𝑥
sin𝑥+cos𝑥 epäjatkuvuuskohdat välillä[−𝜋, 𝜋].
5.2.3. Anna esimerkki (a) kahdesta pisteessä𝑥 =0 epäjatkuvasta funktiosta, joiden tulofunktio on jatkuva pisteessä𝑥 =0, (b) kahdesta funktiosta, jotka eivät ole jatkuvia missään joukonRpisteessä, mutta joiden tulofunktio on jatkuva kaikilla𝑥 ∈R.
5.2.4. Tutki, missä pisteissä𝑥 ∈Rfunktio (a) 𝑓(𝑥) =(𝑥2+1)sin1
𝑥
, (b) 𝑓(𝑥) =𝑥sin 1 𝑥2 on epäjatkuva. Ovatko epäjatkuvuuskohdat oleellisia vai epäoleellisia?
5.2.5. Olkoon 𝑓 sellainen funktio, että 𝑓 on oikealta jatkuva pisteessä𝑎 ja on ole-massa sellainenℎ > 0, että 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑎)kaikilla𝑥 ∈ [𝑎, 𝑎+ℎ[. Osoita täsmällisesti perustellen, että jos funktio𝑔 on vasemmalta jatkuva pisteessä 𝑓(𝑎), niin funktio 𝑔◦ 𝑓 on oikealta jatkuva pisteessä𝑎.
5.2.6. Perustele täsmällisesti monisteen esimerkkejä, lauseita ja huomautuksia käyt-täen, miksi funktio
(a) 𝑓(𝑥) =sin√︁
𝑥2+1, (b) 𝑓(𝑥) =sin√︁
|𝑥| on jatkuva kaikilla𝑥 ∈R.
5.2.7. Määritä funktion
𝑓(𝑥) =
√
sin𝑥+1 𝑥−1
epäjatkuvuuskohdat. Millä väleistä [0,1[,]0,1[,]0,1], [1,∞[ ja]1,∞[ funktio 𝑓 on jatkuva?
5.2.8. Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jatkuvan ja epäjatkuvan funktion yhdistetty funktio on aina epäjatkuva.
5.2.9. Tutki, voiko kahden epäjatkuvan funktion yhdistetty funktio olla jatkuva.
5.2.10. Olkoot 𝑓 ja𝑔sellaisia funktioita, että𝑔on aidosti kasvava ja𝑔◦𝑓 on jatkuva koko reaalilukujen joukossa. Osoita, että 𝑓 on jatkuva kaikilla𝑥 ∈R.
Vihje: Valitse𝜀 >0 ja käytä jatkuvuuden määritelmää.
5.2.11. Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jos lim
𝑛→∞
𝑥𝑛=𝑎, niin
𝑛→∞lim
𝑓(𝑥𝑛) = 𝑓(𝑎).
5.2.12. Olkoon (𝑥𝑛) lukujono ja 𝑓 jokin pisteessä 𝑥 = 3 jatkuva funktio. Todista täsmällisesti perustellen, että jos
lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 = 3, niin joukko{ 𝑓(𝑥𝑛) | 𝑛 ∈Z+}on rajoitettu.
5.2.13. Olkoon 𝑓 sellainen pisteessä𝑥=0 jatkuva funktio, että
|𝑓(𝑥) | ≤ 1 𝑥2
∀𝑥 ≠ 0. Osoita, että 𝑓 on rajoitettu joukossaR.
5.2.14. Olkoon 𝑓 sellainen pisteessä 𝑥 = 1 jatkuva funktio, että 𝑓(1) = 2 ja 𝑓(𝑥) ≥ |𝑥−1|kaikilla𝑥 ∈R. Osoita, että funktio
𝑔(𝑥) = 1 𝑓(𝑥) on rajoitettu joukossaR.
5.2.15. Olkoon 𝑓 : [0, 𝜋] →Rsellainen funktio, että 𝑓 on oikealta jatkuva pisteessä 𝑥 =0 ja |𝑓(𝑥) | > sin𝑥kaikilla𝑥 ∈ [0, 𝜋]. Osoita, että funktio
𝑔(𝑥) = 1 𝑓(𝑥) on rajoitettu välillä
0, 𝜋
2
.
5.2.16. Olkoon 𝑓 sellainen pisteessä𝑥=3 vasemmalta jatkuva funktio, että 𝑓(𝑥) ≥ 1
𝑥−3 ∀𝑥 ≠3. Osoita, että 𝑓 on alhaalta rajoitettu joukossa]−∞,3].
5.2.17. Olkoon 𝑓 sellainen pisteen𝑎jossakin ympäristössä U𝛿(𝑎)määritelty funktio, että 𝑓 on jatkuva pisteessä𝑎. Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että
(a) jos 𝑓(𝑥) > 0 kaikilla𝑥 ∈U0𝛿(𝑎), niin 𝑓(𝑎) > 0, (b) jos 𝑓(𝑥) ≥0 kaikilla𝑥 ∈U0𝛿(𝑎), niin 𝑓(𝑎) ≥0.
5.2.18. Olkoon𝑎 ∈Rja 𝑓 sellainen funktio, että 𝑓 on jatkuva ja 𝑓(𝑥) >0 kaikilla 𝑥 ∈R. Osoita, että on olemassa sellainen𝛿 >0, että funktio
𝑔(𝑥) = 1 𝑓(𝑥) on rajoitettu välillä]𝑎−𝛿, 𝑎+𝛿[.
5.2.19. Todista, että jos funktio 𝑓 on vasemmalta jatkuva pisteessä𝑎 ja 𝑓(𝑎) < 0, niin on olemassa sellainen𝛿 >0, että
𝑓(𝑥) < 0 ∀𝑥 ∈ ]𝑎−𝛿, 𝑎].
5.2.20. Osoita, että jos funktio 𝑓 on oikealta jatkuva pisteessä𝑥 =2 ja 𝑓(2) =−5, niin on olemassa sellainenℎ >0, että
𝑓(𝑥) > −6 ∀𝑥 ∈ [2,2+ℎ].