Monotonisten lukujonojen lisäksi voidaan tutkia myös monotonisia funktioita. Funk-tioiden monotonisuutta tarkastellaan aina jollakin tietyllä välillä.
Määritelmä 4.5. Olkoon𝐼jokin reaalilukuväli ja 𝑓 jokin tällä välillä määritelty funktio. Tällöin
• 𝑓 onkasvavavälillä𝐼, jos∀𝑥1, 𝑥2 ∈𝐼:𝑥1 < 𝑥2⇒ 𝑓(𝑥1) ≤ 𝑓(𝑥2),
• 𝑓 onaidosti kasvavavälillä 𝐼, jos∀𝑥1, 𝑥2 ∈𝐼: 𝑥1 < 𝑥2⇒ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2),
• 𝑓 onvähenevävälillä𝐼, jos∀𝑥1, 𝑥2∈ 𝐼: 𝑥1< 𝑥2⇒ 𝑓(𝑥1) ≥ 𝑓(𝑥2),
• 𝑓 onaidosti vähenevävälillä𝐼, jos∀𝑥1, 𝑥2∈ 𝐼: 𝑥1< 𝑥2⇒ 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2).
Välillä 𝐼 kasvavia, aidosti kasvavia, väheneviä ja aidosti väheneviä funktioita kutsutaan välillä 𝐼 monotonisiksi funktioiksi. Vastaavasti välillä 𝐼 aidosti kas-vavia ja aidosti väheneviä funktioita kutsutaan välillä 𝐼 aidosti monotonisiksi funktioiksi.
Lause 4.20. Olkoon 𝑓 välillä ]𝑎, 𝑏[ kasvava funktio. Jos 𝑓 on välillä ]𝑎, 𝑏[ ylhäältä rajoitettu, niin lim
𝑥→𝑏−
𝑓(𝑥) on äärellisenä olemassa, ja jos 𝑓 on välillä ]𝑎, 𝑏[alhaalta rajoitettu, niin lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) on äärellisenä olemassa.
Todistus. Todistetaan tapaus lim
𝑥→𝑏−
𝑓(𝑥). Tapaus lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) todistetaan vastaavasti (harjoitustehtävä). Olkoon siis funktio 𝑓 välillä]𝑎, 𝑏[kasvava ja ylhäältä rajoitettu.
Koska 𝑓 on välillä]𝑎, 𝑏[ylhäältä rajoitettu, on olemassa sup{ 𝑓(𝑥) | 𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[ } = 𝐺 (merk.). Osoitetaan, että
𝑥→𝑏−lim
𝑓(𝑥) = 𝐺 .
Valitaan mielivaltainen𝜀 > 0. Koska𝐺on supremum, niin lauseen 2.5 (s. 33) nojalla on olemassa sellainen𝑥𝜀 ∈ ]𝑎, 𝑏[, että
𝐺−𝜀 < 𝑓(𝑥𝜀) ≤ 𝐺 . Lisäksi 𝑓 on välillä]𝑎, 𝑏[kasvava, joten
𝑓(𝑥𝜀) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝐺 aina, kun 𝑥𝜀 ≤ 𝑥 < 𝑏 . Merkitään𝛿 =𝑏−𝑥𝜀 (> 0), ja oletetaan, että𝑏−𝛿 < 𝑥 < 𝑏. Tällöin
𝑥𝜀 = 𝑏−𝛿 < 𝑥 < 𝑏,
joten
𝐺 −𝜀 < 𝑓(𝑥) ≤ 𝐺 ja edelleen
0 ≤ 𝐺− 𝑓(𝑥) < 𝜀 . Siis
|𝐺− 𝑓(𝑥) | < 𝜀,
joten vasemmanpuoleisen raja-arvon määritelmän (s. 108) nojalla
𝑥→𝑏−lim
𝑓(𝑥)=𝐺 .
Lause 4.21. Olkoon 𝑓 välillä]𝑎, 𝑏[vähenevä funktio. Jos 𝑓 on välillä]𝑎, 𝑏[ alhaalta rajoitettu, niin lim
𝑥→𝑏−
𝑓(𝑥) on äärellisenä olemassa, ja jos 𝑓 on välillä ]𝑎, 𝑏[ylhäältä rajoitettu, niin lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥)on äärellisenä olemassa.
Todistus. Harjoitustehtävä (vrt. lauseen 4.20 todistus).
Seuraus 4.22. Välillä]𝑎, 𝑏[ monotonisella funktiolla on jokaisessa välin pis-teessä oikean- ja vasemmanpuoleinen raja-arvo.
Todistus. Olkoon𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[. Koska funktio on rajoitettu jossakin pisteen𝑥 ympä-ristössä, lauseita 4.20 ja 4.21 voidaan soveltaa väliin ]𝑎, 𝑥[ (vasemmanpuoleinen raja-arvo) ja väliin]𝑥 , 𝑏[(oikeanpuoleinen raja-arvo).
Huomautus. Välillä]𝑎, 𝑏[monotonisella ja rajoitetulla funktiolla on jokaises-sa välin]𝑎, 𝑏[pisteessä oikean- ja vasemmanpuoleinen raja-arvo sekä lisäksi oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä𝑎ja vasemmanpuoleinen raja-arvo pistees-sä𝑏.
Harjoitustehtäviä
4.4.1. Osoita täsmällisesti perustellen, että funktio 𝑓(𝑥) = 1
𝑥2+1
on aidosti kasvava välillä]−∞,0] ja aidosti vähenevä välillä[0,∞[. 4.4.2. Osoita täsmällisesti perustellen, että funktio
𝑓(𝑥) = 5
𝑥+5 (𝑥 ≠−5) on aidosti vähenevä, kun𝑥 >−5.
4.4.3. Tutki, onko yhdistetty funktio𝑔◦ 𝑓 välillä𝐼 aidosti kasvava, aidosti vähenevä vai ei välttämättä kumpaakaan, kun
(a) 𝑓 on välillä𝐼aidosti kasvava ja𝑔on välillä𝐼 aidosti vähenevä, (b) 𝑓 on välillä𝐼aidosti vähenevä ja𝑔on välillä𝐼 aidosti kasvava, (c) 𝑓 ja𝑔ovat välillä𝐼 molemmat aidosti väheneviä.
4.4.4. Olkoon 𝐼 jokin reaalilukuväli. Osoita, että jos funktio 𝑓: 𝐼 → Ron aidosti monotoninen, niin 𝑓 on injektio. Onko mahdollista, että 𝑓 on injektio, vaikka 𝑓 ei ole aidosti monotoninen?
4.4.5. Olkoon 𝑓 : [𝑎, 𝑏] → R sellainen aidosti kasvava funktio, että 𝑓(𝑎) = 𝐴 ja 𝑓(𝑏) =𝐵. Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että 𝑓: [𝑎, 𝑏] → [𝐴, 𝐵] on bijektio.
4.4.6. Anna esimerkki bijektiosta 𝑓: R → R, joka ei ole monotoninen millään reaalilukuvälillä [𝑎, 𝑏].
4.4.7. Olkoon 𝑓: R → Rsellainen kasvava funktio, että 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑦) aina, kun 𝑥 < 𝑦ja𝑥 , 𝑦 ∈Q. Osoita, että 𝑓 on aidosti kasvava.
4.4.8. Olkoot 𝑓: R→Rja𝑔: R→Rsellaisia aidosti kasvavia funktioita, että 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∀𝑥 ∈R\Q.
Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∀𝑥 ∈R.
4.4.9. Olkoon 𝑓: R+→Rsellainen aidosti kasvava funktio, että lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) =0. Osoita, että 𝑓(𝑥) > 0 kaikilla𝑥 ∈R+.
4.4.10. Todista, että jos 𝑓 on välillä]𝑎, 𝑏[kasvava ja alhaalta rajoitettu funktio, niin raja-arvo lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥)on äärellisenä olemassa.
4.5 Raja-arvokäsitteen laajentaminen
Tähän asti funktion raja-arvotarkasteluissa on vaadittu, että rajapiste𝑎on (äärellinen) reaaliluku. Joskus on tarpeen tarkastella funktion käyttäytymistä, kun funktion argumentti𝑥kasvaa tai vähenee rajatta. Tällöin on tietysti oletettava, että funktio on määritelty jollakin välillä]𝑎,∞[tai]−∞, 𝑎[.
Määritelmä 4.6. Luku 𝐴 ∈ Ron funktion 𝑓 raja-arvo äärettömyydessä, jos jokaista positiivilukua𝜀 >0 kohti on olemassa sellainen𝑀 > 0, että
|𝑓(𝑥) −𝐴| < 𝜀 aina, kun𝑥 > 𝑀 . Tällöin merkitään
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐴.
Määritelmä 4.7. Luku 𝐴 ∈Ron funktion 𝑓 raja-arvo negatiivisessa äärettö-myydessä, jos jokaista positiivilukua𝜀 >0 kohti on olemassa sellainen 𝑀 > 0, että
Muiden tapausten tapaan määritelmät voidaan esittää myös käyttäen kvanttoreita.
Huomautus. Siis Esimerkki 4.25. Osoitetaan, että
lim
𝑥→∞
𝑥 1+𝑥
= 1.
Valitaan mielivaltainen𝜀 >0. Oletetaan lisäksi, että𝑥 >1. Tällöin joten tulos seuraa määritelmästä 4.6.
Joskus on käytännöllistä laajentaa merkinnällisesti funktion raja-arvo tapauksiin, joissa funktion arvo kasvaa tai vähenee rajatta.
Määritelmä 4.8. Jos jokaista lukua𝑀 > 0 kohti on olemassa sellainen𝛿 >0, että
𝑓(𝑥) > 𝑀 aina, kun 0 < |𝑥−𝑎|< 𝛿, voidaan merkitä
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ∞.
Määritelmä 4.9. Jos jokaista lukua𝑀 > 0 kohti on olemassa sellainen𝛿 >0, että
𝑓(𝑥) < −𝑀 aina, kun 0 < |𝑥−𝑎| < 𝛿, voidaan merkitä
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = −∞.
Huomautus. Raja-arvojen määrittelyistä seuraa kääntäen, että jos lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ±∞,
niin 𝑓 ei ole rajoitettu pisteen𝑎puhkaistussa ympäristössä.
Huomautus. Siis
𝑥→𝑎lim
𝑓(𝑥) =∞ ⇔ ∀𝑀 > 0 : ∃𝛿 >0 : 𝑓(𝑥) > 𝑀 aina, kun 0 < |𝑥−𝑎| < 𝛿, lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) =−∞ ⇔ ∀𝑀 > 0 : ∃𝛿 >0 : 𝑓(𝑥) < −𝑀aina, kun 0 < |𝑥−𝑎|< 𝛿.
Esimerkki 4.26. Osoitetaan, että lim
𝑥→1
1−2𝑥
(1−𝑥)2 = −∞.
Valitaan mielivaltainen𝑀 > 0. Olkoon lisäksi 0< |𝑥−1|< 1
4, jolloin𝑥 > 3
4 ja 𝑥 ≠1. Täten
1
(1−𝑥)2 > 0. Lisäksi
𝑥 > 3
4 ⇔ 2𝑥 > 3
2 ⇔ 2𝑥−1> 1
2 ⇔ 1−2𝑥 <−1
2, joten tällöin
1−2𝑥
(1−𝑥)2 = (1−2𝑥) · 1
(1−𝑥)2 < −1
2 · 1
(1−𝑥)2.
Koska
−1
2 · 1
(1−𝑥)2 < −𝑀 ⇔ 1 2𝑀
> (1−𝑥)2 ⇔ |1−𝑥| <
√1 2𝑀
,
niin 1−2𝑥
(1−𝑥)2 < −𝑀 aina, kun
0 < |𝑥−1| < 𝛿 = minn
1 4, √1
2𝑀
o . Täten tulos seuraa määritelmästä 4.9.
Huomautus 4.23. Raja-arvo voidaan vastaavalla tavalla laajentaa merkinnälli-sesti (harjoitustehtävä) myös funktion toispuolisiin raja-arvoihin
𝑥→𝑎+lim
𝑓(𝑥) = ±∞ ja lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = ±∞.
Huomautus 4.24. Raja-arvojen määrittelyistä seuraa suoraan, että jos esimer-kiksi
𝑥→𝑎+lim
𝑓(𝑥) = ±∞, niin 𝑓 ei ole rajoitettu millään välillä]𝑎, 𝑏[(𝑏 > 𝑎).
Huomautus 4.25. Edellä esitettyjä määritelmiä ja merkintöjä voidaan myös yhdistää. Esimerkiksi
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)=∞ ⇔ ∀𝑀 > 0 : ∃𝑀0 > 0 : 𝑓(𝑥) > 𝑀 aina, kun𝑥 > 𝑀0, lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) =−∞ ⇔ ∀𝑀 > 0 : ∃𝑀0 > 0 : 𝑓(𝑥) < −𝑀 aina, kun𝑥 > 𝑀0, lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥)=∞ ⇔ ∀𝑀 > 0 : ∃𝑀0 > 0 : 𝑓(𝑥) > 𝑀 aina, kun𝑥 <−𝑀0,
𝑥→−∞lim
𝑓(𝑥) =−∞ ⇔ ∀𝑀 > 0 : ∃𝑀0 > 0 : 𝑓(𝑥) < −𝑀 aina, kun𝑥 <−𝑀0.
Esimerkki 4.27. Selvästi lim
𝑥→∞
𝑥 = ∞ ja lim
𝑥→−∞
𝑥 = −∞, sillä tarvittavaksi rajaluvuksi𝑀0voidaan valita luku𝑀.
Lause 4.26. Jos vastaavat raja-arvot ovat olemassa (äärellisenä tai
Todistus. Todistetaan tapaus, jossa𝑥→ ∞ja raja-arvo on äärellinen. Muut tapaukset todistetaan vastaavasti (harjoitustehtävä).
Oletetaan ensin, että lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐴 (𝐴∈R).
Valitaan mielivaltainen𝜀 >0. Tällöin määritelmän 4.6 nojalla on olemassa sellainen 𝑀 >0, että
Siis oikeanpuoleisen raja-arvon määritelmän (s. 108) nojalla
𝑥→lim0+
Valitaan mielivaltainen 𝜀 > 0. Tällöin oikeanpuoleisen raja-arvon määritelmän (s. 108) nojalla on olemassa sellainen𝛿 >0, että
Siis määritelmän 4.6 nojalla
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐴.
Huomautus. Lauseessa 4.26 toisiaan vastaavat raja-arvot ovat tietenkin ole-massa (äärellisenä tai äärettömänä) samanaikaisesti.
Esimerkki 4.28. Lauseen 4.26 ja esimerkin 4.27 perusteella lim Esimerkki 4.29. Koska lim
𝑥→0
𝑥=0, niin lauseen 4.26 nojalla lim
Esimerkki 4.30. Lauseen 4.26 ja esimerkin 4.15 (s. 102) sekä lauseen 4.19 (s. 110) perusteella
Esitetään seuraavaksi tulos, joka on joskus hyödyllinen määritettäessä lukujono-jen raja-arvoja.
Lause 4.27. Jos funktiolla 𝑓 on (äärellisenä tai äärettömänä) raja-arvo lim
Todistus. Todistetaan tapaus, jossa raja-arvo 𝐴on äärellinen. Muut tapaukset todis-tetaan vastaavasti (harjoitustehtävä). Oletodis-tetaan siis, että
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐴 (𝑥 , 𝐴∈R). Tällöin määritelmän 4.6 nojalla
∀𝜀 > 0 : ∃𝑀 > 0 : |𝑓(𝑥) − 𝐴|< 𝜀 aina, kun𝑥 ∈Rja𝑥 > 𝑀 . Valitsemalla esimerkiksi 𝑀0=d𝑀ehavaitaan, että
∀𝜀 > 0 : ∃𝑀0 ∈Z+: |𝑓(𝑛) −𝐴| < 𝜀 aina, kun𝑛 ∈Z+ja𝑛 > 𝑀0, joten lukujonon raja-arvon määritelmän nojalla
𝑛→∞lim
𝑓(𝑛) = 𝐴.
Esimerkki 4.31. Lauseen 4.27 ja esimerkin 4.30 perusteella
𝑛→∞lim
𝑛sin 1 𝑛
= 1.
Huomautus. Lause 4.27 ei ole kääntäen voimassa (ks. esimerkki 4.32).
Esimerkki 4.32. Olkoon 𝑓(𝑥) =cos(2𝜋𝑥)kaikilla𝑥 ∈R. Jos nyt𝑛 ∈Z+, niin
𝑛→∞lim cos(2𝜋𝑛) = lim
𝑛→∞1 = 1, mutta raja-arvo lim
𝑥→∞cos(2𝜋𝑥)ei ole olemassa (harjoitustehtävä).
Huomautus. Funktion raja-arvon laskusäännöt ja muut funktion raja-arvoa koskevat tulokset ovat ”soveltuvin osin” voimassa myös, kun funktion argumentti tai arvo kasvaa tai vähenee rajatta (harjoitustehtävä).
Esimerkiksi lausetta 4.20 (s. 114) vastaava tulos saa alla olevan muodon, kun funktion argumentti kasvaa tai vähenee rajatta.
Lause 4.28. Olkoon 𝑓: R→Rkasvava funktio. Jos 𝑓 on (joukossaR) ylhäältä rajoitettu, niin lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) on äärellisenä olemassa, ja jos 𝑓 on (joukossa R) alhaalta rajoitettu, niin lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) on äärellisenä olemassa.
Todistus. Harjoitustehtävä.
Raja-arvon olemassaolon kannalta merkitystä on yllä vain itseisarvoltaan hyvin suurilla argumentin arvoilla. Lauseen käyttökelpoisuuden kannalta on usein järkevää jakaa tarkastelu kahteen osaan.
Seuraus 4.29. Jos on olemassa sellainen𝑎 ∈R, että funktio 𝑓(𝑥) on kasvava ja ylhäältä rajoitettu välillä[𝑎,∞[, niin lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)on äärellisenä olemassa, ja jos on olemassa sellainen 𝑏 ∈ R, että 𝑓(𝑥) on kasvava ja alhaalta rajoitettu välillä]−∞, 𝑏], niin lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥)on äärellisenä olemassa.
Todistus. Harjoitustehtävä.
Harjoitustehtäviä
4.5.1. Tarkastellaan väitettä
∀𝑎 >1 : ∃𝑏 > 0 : ∀𝑐 > 0 : ∃𝑑 > 𝑐: 𝑓(𝑑) ∉U𝑏(𝑎),
missä 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ R. Mitä funktion 𝑓 raja-arvosta tällöin väitetään? Kirjoita väite myös käyttäen tavanomaisia kirjainsymboleja𝜀, 𝛿,𝑀 jne.
4.5.2. Osoita suoraan raja-arvon määritelmään nojautuen, että (a) lim 4.5.3. Osoita suoraan raja-arvon määritelmään nojautuen, että jos
𝑓(𝑥) > 0 ∀𝑥 >0 ja lim 4.5.4. Osoita suoraan raja-arvon määritelmään nojautuen, että
(a) lim 4.5.5. Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jos
𝑥→𝑎lim
missä𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈R. Kertooko väite jotakin järkevää funktion 𝑓 raja-arvosta ja jos kertoo, niin mitä? Kirjoita väite myös käyttäen tavanomaisia kirjainsymboleja𝜀,𝛿,𝑀 jne.
4.5.7. Kirjoita täsmällinen määritelmä sille, että lim
𝑥→𝑎+ 4.5.8. Kirjoita täsmällinen määritelmä sille, että lim
𝑥→𝑎−
4.5.9. Kirjoita täsmällinen määritelmä sille, että lim 4.5.10. Osoita suoraan raja-arvon määritelmään nojautuen, että
(a) lim
4.5.11. Osoita suoraan raja-arvon määritelmään nojautuen, että (a) lim 4.5.12. Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jos
𝑥→∞lim ja todista tulos suoraan raja-arvon määritelmään nojautuen.
4.5.15. Määritä 4.5.17. Olkoon 𝑓 sellainen funktio, että
1 < 𝑓(𝑥) −𝑥 < 3 ∀𝑥 ∈R.
4.5.18. Määritä
𝑥→∞lim d𝑥e
𝑥
· b𝑥c 𝑥
. 4.5.19. Määritä
𝑥→∞lim sin 1+ (−1)d𝑥esin 1 𝑥2
𝜋 2 tai osoita, että raja-arvoa ei ole olemassa.
4.5.20. Määritä
lim
𝑥→∞cos 1+ (−1)d𝑥ecos 1 𝑥2
𝜋 2 tai osoita, että raja-arvoa ei ole olemassa.
5 Funktion jatkuvuus
5.1 Määritelmä ja perustuloksia
Määritelmä 5.1. Olkoon funktio 𝑓 määritelty jossakin pisteen𝑎 ympäristös-sä (piste 𝑎 mukaan luettuna). Tällöin 𝑓 on jatkuva pisteessä 𝑎, jos jokaista positiivilukua𝜀 >0 kohti on olemassa sellainen𝛿 >0, että
|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) | < 𝜀 aina, kun |𝑥−𝑎| < 𝛿, eli jos
𝑥→𝑎lim
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).
Huomautus 5.1. Ehto funktion 𝑓 jatkuvuudelle pisteessä𝑎voidaan ilmoittaa myös muodossa (vrt. huomautus 4.1, s. 88)
∀𝜀 >0 : ∃𝛿 >0 : |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) | < 𝜀 aina, kun𝑥 ∈U𝛿(𝑎), tai
∀𝜀 > 0 :∃𝛿 >0 : 𝑓(𝑥) ∈U𝜀(𝑓(𝑎)) aina, kun |𝑥−𝑎|< 𝛿, tai
∀𝜀 > 0 : ∃𝛿 >0 : 𝑓(𝑥) ∈U𝜀(𝑓(𝑎)) aina, kun𝑥 ∈U𝛿(𝑎).
Määritelmä 5.2. Funktio 𝑓 on vasemmalta jatkuva pisteessä 𝑎, jos jokaista positiivilukua𝜀 >0 kohti on olemassa sellainen𝛿 >0, että
|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) | < 𝜀 aina, kun𝑎−𝛿 < 𝑥 ≤ 𝑎, eli jos
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎),
ja oikealta jatkuva pisteessä 𝑎, jos jokaista positiivilukua 𝜀 > 0 kohti on olemassa sellainen𝛿 >0, että
|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) | < 𝜀 aina, kun𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑎+𝛿, eli jos
𝑥→𝑎+lim
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).
Huomautus 5.2. Lauseen 4.19 (s. 110) sekä määritelmien 5.1 ja 5.2 nojalla 𝑓 on jatkuva pisteessä 𝑎 silloin ja vain silloin, kun 𝑓 on sekä vasemmalta että oikealta jatkuva pisteessä𝑎.
Huomautus 5.3. Määritelmistä 5.1 ja 5.2 sekä huomautuksista 4.5 (s. 89) ja 4.18 (s. 109) seuraa suoraan, että funktio 𝑓 on jatkuva pisteessä𝑎täsmälleen silloin, kun
ℎ→lim0
𝑓(𝑎+ℎ) = 𝑓(𝑎),
funktio 𝑓 on oikealta jatkuva pisteessä𝑎täsmälleen silloin, kun
ℎ→0+lim
𝑓(𝑎+ℎ) = 𝑓(𝑎),
ja funktio 𝑓 on vasemmalta jatkuva pisteessä𝑎täsmälleen silloin, kun
ℎ→0−lim
𝑓(𝑎+ℎ) = 𝑓(𝑎).
Määritelmä 5.3. Funktio 𝑓 onjatkuva avoimella välillä]𝑎, 𝑏[, jos 𝑓 on jatkuva jokaisessa välin pisteessä.
Määritelmä 5.4. Funktio 𝑓 onjatkuva suljetulla välillä[𝑎, 𝑏], jos 𝑓 on jatkuva välillä]𝑎, 𝑏[sekä oikealta jatkuva pisteessä𝑎ja vasemmalta jatkuva pisteessä𝑏.
Määritelmä 5.5. Funktio 𝑓 on jatkuva välillä [𝑎, 𝑏[, jos 𝑓 on jatkuva välil-lä]𝑎, 𝑏[sekä oikealta jatkuva pisteessä𝑎, ja 𝑓 on jatkuva välillä]𝑎, 𝑏], jos 𝑓 on jatkuva välillä]𝑎, 𝑏[sekä vasemmalta jatkuva pisteessä𝑏.
Jatkuvuuden määritelmän ja luvun 4 esimerkkien perusteella saadaan suoraan seuraavat tulokset.
Esimerkki 5.1. Polynomifunktio 𝑝(𝑥) =𝑎𝑛𝑥𝑛+ · · · +𝑎1𝑥+𝑎0on jatkuva jokaisella reaalilukuvälillä, sillä esimerkin 4.13 (s. 101) perusteella
lim
𝑥→𝑥0
𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑥0) kaikilla𝑥0∈R.
Esimerkki 5.2. Esimerkin 4.9 (s. 93) nojalla
𝑥→𝑎limsin𝑥 = sin𝑎 ja lim
𝑥→𝑎cos𝑥 = cos𝑎
kaikilla𝑎 ∈R, joten sin𝑥 ja cos𝑥ovat jatkuvia kaikilla reaalilukuväleillä.
Esimerkki 5.3. Esimerkkien 4.8 (s. 93) ja 4.21 (s. 109) perusteella lim
𝑥→𝑎
√ 𝑥 = √
𝑎 (𝑎 >0) ja lim
𝑥→0+
√ 𝑥 = 0. Siis√
𝑥on jatkuva välillä [0,∞[.
Tarkastellaan sitten vielä muutamaa funktiota, joiden jatkuvuustulokset eivät ole aivan ilmeisiä.
Esimerkki 5.4. Osoitetaan, ettäDirichlet’n funktio 𝑓(𝑥) =
(1, kun𝑥 ∈Q, 0, kun𝑥 ∈R\Q, ei ole jatkuva missään joukonRpisteessä.
Olkoon siis 𝑎 ∈ R. Valitaan 𝜀 = 1
2. Olkoon 𝛿 > 0. Koska väli ]𝑎−𝛿, 𝑎+𝛿[ sisältää sekä rationaali- että irrationaalilukuja (seuraus 2.9, s. 37), on olemassa sellainen𝑥1 ∈ ]𝑎−𝛿, 𝑎+𝛿[, että𝑥1 ∈R\Q, jos𝑎 ∈Q, ja 𝑥1 ∈ Q, jos𝑎 ∈R\Q.
Siis
|𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑎) | = 1 > 1
2 = 𝜀 . Siis ehto
|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) | < 𝜀 aina, kun |𝑥−𝑎| < 𝛿, ei ole voimassa millään luvun 𝛿 > 0 arvolla (kun 𝜀 = 1
2). Täten 𝑓 ei ole jatkuva pisteessä𝑎(eikä siis missään joukonRpisteessä).
Esimerkki 5.5. Osoitetaan, että funktio 𝑓(𝑥) =
(
𝑥 , kun𝑥 ∈Q, 0, kun𝑥 ∈R\Q, on jatkuva pisteessä𝑥 =0.
Suppiloperiaatetta ja huomautusta 4.6 (s. 89) käyttäen on helppo osoittaa, että funktion 𝑓(𝑥)raja-arvo pisteessä𝑥=0 on nolla eli funktio on jatkuva pisteessä𝑥=0.
Seuraavassa tulos todistetaan esimerkin vuoksi kuitenkin vielä suoraan käyttämättä tätä raja-arvotulosta.
Valitaan mielivaltainen𝜀 >0. Merkitään𝛿𝜀 =𝜀, ja oletetaan, että|𝑥−0| < 𝛿𝜀. Jos nyt𝑥 ∈R\Q, niin
|𝑓(𝑥) − 𝑓(0) | = |0−0| = 0 < 𝜀, ja jos𝑥 ∈Q, niin
|𝑓(𝑥) − 𝑓(0) | = |𝑥−0| < 𝛿𝜀 = 𝜀 . Täten tulos seuraa suoraan jatkuvuuden määritelmästä.
Huomautus. Vastaavalla tavalla kuin esimerkissä 5.4 voidaan osoittaa (harjoitus-tehtävä), että esimerkin 5.5 funktio
𝑓(𝑥) = (
𝑥 , kun𝑥 ∈Q, 0, kun𝑥 ∈R\Q,
ei ole jatkuva missään muussa joukonRpisteessä kuin pisteessä𝑥 =0. Täten 𝑓 on jatkuva täsmälleen yhdessä pisteessä.
1/4 1/2 3/4 1 12
13
15 18 201
Kuva 5.1.Thomaen funktion arvot 1𝑞 (𝑞 =1,2, . . . ,20) välillä]0,1[.
Esimerkki 5.6. Thomaen funktio1
𝑓(𝑥) =
0, kun𝑥 ∈R\Q, 1, kun𝑥 =0,
1 𝑞
, kun𝑥 ∈Qja𝑥 = 𝑝 𝑞
(𝑝≠ 0, 𝑞 >0) on supistetussa muodossa, on jatkuva kaikilla𝑥 ∈R\Qmutta ei ole jatkuva millään𝑥 ∈Q(harjoitustehtävä).
Seuraavassa esimerkissä voitaisiin hyödyntää myös tietoa, että funktio on rajoi-tettu pisteen𝑎jossakin (mahdollisesti puhkaistussa) ympäristössä, jos funktiolla on raja-arvo pisteessä𝑎(lause 4.10, s. 98) tai funktio on jatkuva pisteessä𝑎(lause 5.16, s. 138). Ratkaistaan tehtävä esimerkin vuoksi nyt kuitenkin käyttämällä suoraan jatkuvuuden määritelmää.
Esimerkki 5.7. Olkoon 𝑓 sellainen pisteessä𝑥 =0 jatkuva funktio, että
|𝑓(𝑥) | ≤ 1
|𝑥| ∀𝑥 ≠0. Osoitetaan, että 𝑓 on rajoitettu joukossaR.
1o: Koska 𝑓 on jatkuva pisteessä𝑥 =0, niin jatkuvuuden määritelmän nojalla on olemassa sellainen𝛿 >0, että
|𝑓(𝑥) − 𝑓(0) | < 1 aina, kun |𝑥−0| < 𝛿.
Jos siis |𝑥| < 𝛿, niin
|𝑓(𝑥) | = |𝑓(0) + 𝑓(𝑥) − 𝑓(0) | ≤ |𝑓(0) | + |𝑓(𝑥) − 𝑓(0) | < |𝑓(0) | +1. 2o: Jos taas |𝑥| ≥ 𝛿, niin
|𝑓(𝑥) | ≤ 1
|𝑥| ≤ 1 𝛿 . Siis kohtien 1oja 2onojalla
|𝑓(𝑥) | ≤ 𝑀 = max n
|𝑓(0) | +1, 1 𝛿 o
∀𝑥 ∈R.
1Funktiota kutsutaan myös popcorn-, sadepisara- tai viivotinfunktioksi.
Huomautus 5.4. Funktio 𝑓 onepäjatkuvapisteessä𝑎täsmälleen silloin, kun (i) raja-arvo lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)ei ole (äärellisenä) olemassa, tai (ii) raja-arvo lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐴 on olemassa, mutta 𝑓(𝑎) ≠ 𝐴 tai 𝑓(𝑎) ei ole määritelty.1
Esimerkki 5.8. Funktio
𝑓(𝑥) =
sin1
𝑥
, kun𝑥 ≠ 0, 0, kun𝑥 =0,
on epäjatkuva pisteessä𝑥 =0, sillä esimerkin 4.11 (s. 98) mukaan raja-arvo lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) ei ole olemassa (ks. myös kuva 4.2, s. 98).
Funktio on kuitenkin jatkuva, kun𝑥 ≠ 0 (ks. esimerkki 5.16, s. 136).
Esimerkki 5.9. Funktio
𝑓(𝑥) =
(1, kun𝑥 =0, 0, kun𝑥 ≠ 0, on epäjatkuva pisteessä𝑥 =0, sillä
lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = 0 ≠ 1 = 𝑓(0).
Huomautus. Jos funktio 𝑓 ei ole määritelty pisteessä𝑎, mutta raja-arvo lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐴
on äärellisenä olemassa, niin funktiolla 𝑓 on pisteessä𝑎epäoleellinen(tai näen-näinen) epäjatkuvuuskohta. Muussa tapauksessa epäjatkuvuuskohta on oleel-linen. Epäoleellisessa epäjatkuvuuskohdassa 𝑎 funktio 𝑓 saadaan jatkuvaksi asettamalla lisämääritelmä
𝑓(𝑎) = 𝐴.
Oleellisessa epäjatkuvuuskohdassa tämä ei ole mahdollista, vaan funktion raja-arvoa ei ole (äärellisenä) olemassa tai funktio on määritelty, mutta
𝑓(𝑎) ≠ 𝐴.
1Jos 𝑓(𝑎) ei ole määritelty, niin täsmällisesti ottaen funktio 𝑓 ei ole jatkuva eikä epäjatkuva pisteessä𝑎. Hivenen epätäsmällisesti voidaan tällöin kuitenkin ajatella ainakin ”havainnollisesti”, että funktio on epäjatkuva.
Esimerkki 5.10. Funktio
𝑓(𝑥) = sin𝑥 𝑥
on epäjatkuva pisteessä𝑥 =0, sillä 𝑓 ei ole määritelty pisteessä𝑥 =0. Funktion 𝑓 epäjatkuvuuskohta pisteessä 𝑥 = 0 on epäoleellinen, sillä esimerkin 4.15 (s. 102) nojalla
𝑥→0lim sin𝑥
𝑥
= 1. Jos nyt määritellään
𝑔(𝑥) =
sin𝑥
𝑥
, kun𝑥≠ 0, 1, kun𝑥=0, niin funktio𝑔on jatkuva pisteessä𝑥 =0.
Harjoitustehtäviä
5.1.1. Tarkastellaan väitettä
∀𝑎 > 0 : ∃𝑏 >0 : ∀𝑐 > 0 : ∃𝑑 ∈U𝑐(𝑎): 𝑓(𝑑) ∉U𝑏(𝑓(𝑎)),
missä𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈R. Mitä funktion 𝑓 jatkuvuudesta tällöin väitetään? Kirjoita väite myös käyttäen tavanomaisia kirjainsymboleja𝜀, 𝛿jne.
5.1.2. Olkoot𝑐 > 0 ja𝑑 > 0 vakioita, 𝑎 ∈ R ja 𝑓 sellainen funktio, että jokaista positiivilukua𝜀 > 0 kohti on olemassa sellainen𝛿 >0, että
|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) | < 𝑐·𝜀
aina, kun|𝑥−𝑎| < 𝑑·𝛿. Osoita, että 𝑓 on jatkuva pisteessä𝑎. 5.1.3. Olkoon 𝑓 sellainen funktio, että
|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦) | ≤ 15|𝑥−𝑦| ∀𝑥 , 𝑦 ∈R. Osoita, että 𝑓 on jatkuva kaikilla𝑥 ∈R.
5.1.4. Olkoon 𝑓 sellainen funktio, että
𝑓(𝑥+𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) ∀𝑥 , 𝑦 ∈R.
Osoita, että jos 𝑓 on jatkuva pisteessä𝑥=0, niin 𝑓 on jatkuva kaikilla𝑥 ∈R.
5.1.5. Tutki funktion
(a) 𝑓(𝑥) = 𝑥b𝑥c, (b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ b𝑥2c jatkuvuutta pisteissä𝑥 =0 ja𝑥=1.
5.1.6. Tutki funktion
𝑓(𝑥) = b𝑥+1c − d𝑥−1e jatkuvuutta pisteessä𝑥 =2.
5.1.7. Tutki funktion
jatkuvuutta pisteessä𝑥 =0.
5.1.8. Määritä vakiot𝑎ja𝑏siten, että funktio
𝑓(𝑥) = tulee jatkuvaksi pisteessä𝑥 =0.
5.1.9. Määritä vakio𝑏 ∈Rsiten, että funktio 𝑓(𝑥) = tulee jatkuvaksi pisteessä𝑥 =𝜋.
5.1.10. Määritä vakiot𝑎ja𝑏siten, että funktio
𝑓(𝑥) =
tulee jatkuvaksi pisteessä𝑥 =0.
5.1.11. Olkoon𝑛∈Z+ ja
5.1.12. Osoita, että funktio 𝑓(𝑥)=
(
𝑥2, kun𝑥 ∈Q,
−𝑥2, kun𝑥 ∈R\Q, on jatkuva pisteessä𝑥 =0.
5.1.13. Osoita, että funktio 𝑓(𝑥) =
(
𝑥 , kun𝑥 ∈Q, 0, kun𝑥 ∈R\Q, ei ole jatkuva, kun𝑥 ≠0.
5.1.14. Anna esimerkki sellaisesta funktiosta 𝑓 : R → R, että 𝑓 on epäjatkuva pisteissä 1, 12, 13, 14, . . . ja jatkuva muualla. Tässä tehtävässä funktion jatkuvuutta tai epäjatkuvuutta ei tarvitse perustella täsmällisesti. Esimerkiksi funktion kuvaajaan tukeutuva perustelu on riittävä.
5.1.15. Anna esimerkki pisteessä 𝑥 = 0 jatkuvasta funktiosta 𝑓: R → R, joka on bijektio, mutta ei ole monotoninen millään välillä ]−𝑎, 𝑎[ (𝑎 > 0). Tässä teh-tävässä funktion jatkuvuutta tai epäjatkuvuutta ei tarvitse perustella täsmällisesti.
Esimerkiksi funktion kuvaajaan tukeutuva perustelu on riittävä.
5.1.16. Olkoon𝑎jokin välin]0,1[rationaaliluku ja𝑏jokin välin]0,1[ irrationaali-luku. Osoita, että funktio
𝑓(𝑥) =
0, kun𝑥 ∈R\Q, 1, kun𝑥=0,
1 𝑞
, kun𝑥 ∈Qja𝑥= 𝑝 𝑞
(𝑝 ≠0,𝑞 > 0) on supistetussa muodossa, (a) ei ole jatkuva pisteessä𝑥=𝑎, (b) on jatkuva pisteessä𝑥 =𝑏.
5.1.17. Voidaanko funktio
𝑓(𝑥) = sin 5𝑥−sin 3𝑥 𝑥
(𝑥 ≠0)
määritellä pisteessä𝑥 =0 siten, että funktiosta 𝑓 tulee pisteessä𝑥 =0 jatkuva?
5.1.18. Tutki, onko funktiolla 𝑓: R\ {1} →R, (a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2−1
𝑥−1 , (b) 𝑓(𝑥) = sin 1
𝑥−1 pisteessä𝑥 =1 oleellinen vai epäoleellinen epäjatkuvuuskohta.
5.1.19. Tutki, onko funktiolla
𝑓(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑥+ℎ 𝑥−ℎ
pisteessä𝑥 =0 oleellinen vai epäoleellinen epäjatkuvuuskohta.
5.1.20. Funktio 𝑓 on jaksollinen, jaksona𝜔 >0, jos 𝑓(𝑥+𝜔) = 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈R.
Anna sekä esimerkki epäjatkuvasta jaksollisesta funktiosta, joka saadan jatkuvaksi korjaamalla funktion määrittelyä yksittäisissä pisteissä, että esimerkki epäjatkuvasta jaksollisesta funktiosta, jota ei saada jatkuvaksi korjaamalla funktion määrittelyä yksittäisissä pisteissä.