Esitetään seuraavaksi muutamia lauseita, jotka helpottavat lukujonojen raja-arvo-jen määrittämistä käytännön tilanteissa. Ennen varsinaisia lauseita esitetään yksi todistuksia helpottava aputulos.
Usein raja-arvoa koskevissa todistuksissa ensin valitaan mielivaltainen𝜀 > 0 ja sitten osoitetaan, että
|𝑥𝑛−𝑥| < 𝜀
aina, kun𝑛on riittävän suuri. Tällöin lukujonon raja-arvon määritelmän nojalla lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 = 𝑥 .
Tällaisissa todistuksissa ei ole välttämätöntä saada lopulliseksi arvioksi juuri lukua𝜀, vaan riittää saada luku𝜀kerrottuna jollakin positiivisellavakiolla. Oleellista on, että vakio ei riipu luvusta𝜀tai indeksistä𝑛.
Lause 3.14. Olkoon 𝑎 > 0 (𝑎 ∈ R). Oletetaan, että jokaista positiivilukua 𝜀 > 0kohti on olemassa sellainen luku𝑛𝜀 ∈Z+, että
|𝑥𝑛−𝑥| < 𝑎·𝜀 aina, kun𝑛 > 𝑛𝜀. Tällöin
𝑛→∞lim
𝑥𝑛 = 𝑥 .
Todistus. Valitaan mielivaltainen 𝜀 > 0. Merkitään 𝜀0 = 𝜀/𝑎. Koska 𝑎 > 0, niin 𝜀0> 0. Jos lauseen oletukset ovat voimassa, niin tällöin on olemassa sellainen luku 𝑛𝜀 ∈Z+, että
|𝑥𝑛−𝑥| < 𝑎·𝜀0 = 𝑎· (𝜀/𝑎) = 𝜀
aina, kun𝑛 > 𝑛𝜀, Väite seuraa nyt lukujonon raja-arvon määritelmästä.
Huomautus. Toistetaan jo luvussa 3.1 (s. 44) esitetty huomautus. Ensin valitaan mielivaltainen𝜀 >0. Valinnan jälkeen𝜀on kiinteä.
Tutkitaan sitten suppenevien lukujonojen(𝑥𝑛)ja(𝑦𝑛)summaa(𝑥𝑛+𝑦𝑛), erotusta (𝑥𝑛− 𝑦𝑛)ja tuloa (𝑥𝑛𝑦𝑛)sekä lukujonon kertomista vakiolla.
Lause 3.15. Olkoon lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 =𝑥ja lim
𝑛→∞
𝑦𝑛 =𝑦. Tällöin (i) lim
𝑛→∞(𝑥𝑛+𝑦𝑛) =𝑥+𝑦, (ii) lim
𝑛→∞(𝑥𝑛−𝑦𝑛)=𝑥−𝑦, (iii) lim
𝑛→∞(𝑥𝑛𝑦𝑛) =𝑥 𝑦, (iv) lim
𝑛→∞(𝑘 𝑥𝑛) = 𝑘 𝑥 (𝑘 ∈R).
Todistus. Väite (iv) seuraa kohdasta (iii) valitsemalla lukujonoksi (𝑦𝑛) vakiojono 𝑘 , 𝑘 , . . ., ja väite (ii) seuraa kohdista (i) ja (iv). Kohtien (i) ja (iii) todistuksissa hyödynnetään lausetta 3.14.
Valitaan siis mielivaltainen𝜀 >0. Koska lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 =𝑥 ja lim
𝑛→∞
𝑦𝑛= 𝑦, niin lukujo-non raja-arvon määritelmän nojalla
∃𝑛1 ∈Z+: |𝑥𝑛−𝑥| < 𝜀 ∀𝑛 > 𝑛1,
∃𝑛2∈Z+: |𝑦𝑛−𝑦| < 𝜀 ∀𝑛 > 𝑛2.
Todistetaan ensin kohta (i). Olkoon nyt𝑛 > 𝑛𝜀 =max{𝑛1, 𝑛2}. Tällöin
| (𝑥𝑛+𝑦𝑛) − (𝑥+𝑦) | = | (𝑥𝑛−𝑥) + (𝑦𝑛−𝑦) |
≤ |𝑥𝑛−𝑥| + |𝑦𝑛−𝑦|
< 𝜀+𝜀
= 2𝜀, joten väite (i) seuraa lauseesta 3.14.
Tarkastellaan sitten väitettä (iii). Koska lukujono (𝑥𝑛) suppenee, niin (𝑥𝑛) on rajoitettu (lause 3.9, s. 50). Täten huomautuksen 3.8 (s. 50) nojalla on olemassa sellainen𝑀 >0, että
|𝑥𝑛| ≤ 𝑀 ∀𝑛 ∈Z+. Oletetaan lisäksi, että𝑛 > 𝑛𝜀 =max{𝑛1, 𝑛2}. Tällöin
|𝑥𝑛𝑦𝑛−𝑥 𝑦| = |𝑥𝑛𝑦𝑛−𝑥𝑛𝑦+𝑥𝑛𝑦−𝑥 𝑦|
= |𝑥𝑛(𝑦𝑛−𝑦) +𝑦(𝑥𝑛−𝑥) |
≤ |𝑥𝑛(𝑦𝑛−𝑦) | + |𝑦(𝑥𝑛−𝑥) |
= |𝑥𝑛| |𝑦𝑛−𝑦| + |𝑦| |𝑥𝑛−𝑥|
< |𝑥𝑛| ·𝜀 + |𝑦| ·𝜀
= (|𝑥𝑛| + |𝑦|) ·𝜀
≤ (𝑀+ |𝑦|) ·𝜀 .
Koska𝑀 + |𝑦| >0 on kiinteä, väite (iii) seuraa lauseesta 3.14.
Lause 3.15 voidaan todistaa myös käyttämättä lausetta 3.14. Tällöin on vain kohdassa (i) valittava𝑛1ja𝑛2siten, että
|𝑥𝑛−𝑥| < 𝜀/2 ja |𝑦𝑛−𝑦| < 𝜀/2. Kohdassa (iii) vastaava ehto on
|𝑥𝑛−𝑥| <
𝜀
𝑀 + |𝑦| ja |𝑦𝑛−𝑦| <
𝜀 𝑀+ |𝑦|. Kohdassa (iii) valinnat voidaan myös eriyttää ja valita𝑛1siten, että1
|𝑥𝑛−𝑥| <
𝜀 2(|𝑦| +1),
1Nimittäjään on valittava vakion 2|𝑦|sijasta 2(|𝑦| +1), sillä𝑦voi olla 0.
ja𝑛2siten, että
|𝑦𝑛−𝑦| <
𝜀 2𝑀
. Tällöin
|𝑥𝑛| |𝑦𝑛−𝑦| + |𝑦| |𝑥𝑛−𝑥| < |𝑥𝑛| · 𝜀 2𝑀
+ |𝑦| · 𝜀 2(|𝑦| +1)
≤ 𝑀
2𝑀
·𝜀 + |𝑦|
|𝑦| +1 · 𝜀 2
≤ 𝜀/2 + 𝜀/2
= 𝜀 .
Seuraus 3.16. Olkoon
𝑛→∞lim
𝑥𝑛 = 𝑥 ja lim
𝑛→∞
𝑦𝑛 = 𝑦 .
Jos tällöin on olemassa sellainen luku 𝑛0 ∈ Z+, että𝑥𝑛 ≤ 𝑦𝑛 kaikilla𝑛 > 𝑛0, niin𝑥 ≤ 𝑦.
Todistus. Lauseen 3.15 kohdan (ii) nojalla lim
𝑛→∞(𝑥𝑛−𝑦𝑛) = 𝑥− 𝑦 .
Lisäksi𝑥𝑛−𝑦𝑛 ≤ 0 kaikilla𝑛 > 𝑛0, joten lauseen 3.11 (s. 51) nojalla𝑥−𝑦 ≤ 0.
Huomautus. Vaikka𝑥𝑛 < 𝑦𝑛kaikilla𝑛 > 𝑛0(seurauksessa 3.16), niin silti ei välttämättä päde𝑥 < 𝑦(ts. voi olla𝑥= 𝑦).
Jos lukujonon(𝑦𝑛)termit ovat nollasta eroavia, voidaan tarkastella myös lukujo-nojen(𝑥𝑛)ja(𝑦𝑛)osamäärää.
Lause 3.17. Olkoon
𝑛→∞lim
𝑥𝑛 = 𝑥 ja lim
𝑛→∞
𝑦𝑛 = 𝑦 . Jos tällöin 𝑦≠ 0ja𝑦𝑛 ≠0kaikilla𝑛 ∈Z+, niin
lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 𝑦𝑛
= 𝑥 𝑦 .
Todistus. Osoitetaan, että
𝑛→∞lim 1 𝑦𝑛
= 1 𝑦 .
Tällöin väite seuraa lauseen 3.15 kohdasta (iii). Hyödynnetään taas lausetta 3.14.
Valitaan mielivaltainen 𝜀 > 0. Koska lim
𝑛→∞
𝑦𝑛 = 𝑦, niin lukujonon raja-arvon määritelmän nojalla on olemassa𝑛1∈Z+ siten, että
|𝑦𝑛−𝑦| < 𝜀 ∀𝑛 > 𝑛1.
Koska 𝑦 ≠ 0, niin lauseen 3.13 (s. 52) perusteella on lisäksi olemassa sellainen 𝑛2 ∈Z+, että
> 0 on vakio, väite seuraa lauseesta 3.14.
Jos mikään lukujonon (𝑥𝑛) termi ei ole negatiivinen, voidaan tarkastella myös lukujonon(𝑥𝑛)neliöjuurta.
Lause 3.18. Olkoon lim
𝑛→∞
Todistus. Valitaan mielivaltainen𝜀 >0. Todistetaan väite kahdessa osassa.
(i) Oletetaan ensin, että 𝑥 > 0. Koska lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 = 𝑥, niin lukujonon raja-arvon määritelmän perusteella on olemassa sellainen rajaluku𝑛1∈Z+, että
|𝑥𝑛−𝑥| < 𝜀 ∀𝑛 > 𝑛1.
>0 on vakio, väite seuraa lauseesta 3.14.
(ii) Oletetaan sitten, että𝑥 =0. Tällöin siis lim
𝑛→∞
𝑥𝑛=0, joten lukujonon raja-arvon määritelmän ja ehdon𝑥𝑛 ≥ 0 nojalla on olemassa sellainen𝑛0 ∈Z+, että
0≤ 𝑥𝑛 < 𝜀2 ∀𝑛 > 𝑛0.
Olkoon nyt𝑛 > 𝑛0. Tällöin
mistä väite seuraa lukujonon raja-arvon määritelmän perusteella.
Huomautus. Lauseissa 3.17 ja 3.18 ei ole oleellista, että lukujono on määritelty kaikilla𝑛 ∈Z+. Oleellista on, että ehdot𝑦𝑛≠ 0 ja𝑥𝑛 ≥ 0 pätevät kaikille luku-jonon alkioille.
Esimerkki 3.9. Olkoon
𝑥𝑛 = 2𝑛2−𝑛
𝑛2+3𝑛+3 (𝑛∈Z+). Tällöin lukujonon(𝑥𝑛)raja-arvoksi saadaan
2𝑛2−𝑛 Yleensä asiaa ei tarvitse tämän enempää perustella, mutta käydään tehdyt päättelyt esimerkin vuoksi vielä yksityiskohtaisesti läpi (yllä on käytetty hyväksi esimerkkejä 3.2 (s. 44) ja 3.3 (s. 44) sekä lauseita 3.15 ja 3.17).
Ottamalla𝑛2yhteiseksi tekijäksi ja supistamalla yhteinen tekijä pois saadaan 𝑥𝑛 = 2𝑛2−𝑛 Esimerkin 3.3 (s. 44) nojalla
𝑛→∞lim 1 𝑛
=0, joten lauseen 3.15 nojalla
𝑛→∞lim
Koska vakiojonon raja-arvo on kyseinen vakio (esimerkki 3.2, s. 44), saadaan edelleen lauseen 3.15 nojalla
Jälkimmäisessä tapauksessa lausetta 3.15 on itse asiassa käytetty kaksi kertaa. So-veltamalla lopuksi lausetta 3.17 saadaan
lim
Seuraava esimerkki ei hyödynnä suoraan lukujonon raja-arvon laskusääntöjä, mutta ratkaisussa hyödynnetään samoja ideoita kuin laskusääntöjen todistuksissa.
Esimerkki 3.10. Olkoon lim
𝑛→∞
Valitaan aluksi mielivaltainen𝜀 > 0. Koska(𝑥𝑛)suppenee, niin(𝑥𝑛)on rajoitettu (lause 3.9, s. 50). Täten myös lukujono (𝑥𝑛−𝑥) on rajoitettu ja huomautuksen 3.8 (s. 50) nojalla
∃𝑀 >0 : |𝑥𝑛−𝑥| < 𝑀 ∀𝑛∈Z+. Lisäksi lukujonon raja-arvon määritelmän nojalla
∃𝑛𝜀 ∈Z+: |𝑥𝑛−𝑥| < 𝜀/2 ∀𝑛 > 𝑛𝜀.
Väite seuraa nyt lukujonon raja-arvon määritelmästä, sillä määritelmässä vaadituksi rajaluvuksi voidaan asettaa mikä tahansa kokonaisluku, joka on suurempi kuin
max
𝑛𝜀, 2𝑀 𝑛𝜀 𝜀
.
Tutkitaan vielä tapausta, jossa kahdella lukujonolla on sama raja-arvo. Lausetta kutsutaansuppiloperiaatteeksi.
Lause 3.19 (Suppiloperiaate). Olkoon lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑦𝑛 =𝑥. Jos on olemassa sellainen𝑛0∈Z+, että
𝑥𝑛 ≤ 𝑧𝑛 ≤ 𝑦𝑛 ∀𝑛 > 𝑛0, niin
𝑛→∞lim
𝑧𝑛 = 𝑥 .
Todistus. Oletetaan, että on olemassa sellainen𝑛0 ∈Z+, että𝑥𝑛 ≤ 𝑧𝑛 ≤ 𝑦𝑛aina, kun 𝑛 > 𝑛0. Valitaan mielivaltainen𝜀 > 0. Koska
lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑦𝑛 = 𝑥 ,
niin lukujonon raja-arvon määritelmän (huomautus 3.3, s. 43) perusteella on olemassa sellainen𝑛1 ∈Z+, että
𝑥𝑛∈U𝜀(𝑥) eli 𝑥𝑛∈ ]𝑥−𝜀, 𝑥+𝜀[ ∀𝑛 > 𝑛1, ja sellainen𝑛2∈Z+, että
𝑦𝑛 ∈U𝜀(𝑥) eli 𝑦𝑛 ∈ ]𝑥−𝜀, 𝑥+𝜀[ ∀𝑛 > 𝑛2. Olkoon nyt𝑛 > 𝑛𝜀 =max{𝑛0, 𝑛1, 𝑛2}. Tällöin
𝑥−𝜀 < 𝑥𝑛 ≤ 𝑧𝑛 ≤ 𝑦𝑛 < 𝑥+𝜀, joten myös
𝑧𝑛 ∈ ]𝑥−𝜀, 𝑥+𝜀[ eli 𝑧𝑛∈U𝜀(𝑥).
Siis lause on tosi lukujonon raja-arvon määritelmän (huomautus 3.3, s. 43)
perus-teella.
Huomautus. Jos jostakin indeksin𝑛 arvosta𝑛0lähtien 𝑥𝑛 ≤ 𝑧𝑛 ≤ 𝑦𝑛, mutta lukujonoilla (𝑥𝑛) ja (𝑦𝑛) on eri raja-arvot, niin lukujonon (𝑧𝑛) raja-arvon olemassaolosta ei voida sanoa lauseen 3.19 perusteella mitään.
Esimerkki 3.11. Määritetään lukujonon (𝑧𝑛) raja-arvo, kun joten suppiloperiaatteen (lause 3.19) nojalla
lim
𝑛→∞
𝑧𝑛 = 3.
Esimerkki 3.12. Määritetään lukujonon (𝑧𝑛) raja-arvo, kun 𝑧𝑛 = joten suppiloperiaatteen (lause 3.19) nojalla
lim
𝑛→∞
𝑧𝑛 = 1.
Harjoitustehtäviä
3.3.1. Osoita suoraan lukujonon arvon määritelmään perustuen, että jos raja-arvo lim Todista täsmällisesti perustellen, että
sup𝐴 = inf𝐵.
3.3.4. Osoita suoraan lukujonon raja-arvon määritelmään nojautuen, että jos𝑥𝑛 ≠0 kaikilla𝑛 ∈Z+ja Huom. Riittää määrittää kyseiset raja-arvot. Suppenemistuloksia ei tarvitse perustella nojautumalla suoraan lukujonon raja-arvon määritelmään.
3.3.6. Osoita suoraan lukujonon raja-arvon määritelmään perustuen, että jos𝑥𝑛> 0 kaikilla𝑛 ∈Z+ja
tai osoita, että lukujono hajaantuu.
3.3.8. Määritä raja-arvo tai osoita, että lukujono hajaantuu.
3.3.9. Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jos lukujono(𝑥𝑛) hajaan-tuu ja
𝑦𝑛 = 𝑥𝑛
√ 𝑛
∀𝑛∈Z+, niin myös lukujono(𝑦𝑛) hajaantuu.
3.3.10. Määritä 3.3.14. Määritä sellainen vakio𝑏 ∈R, että
lim
3.3.18. Olkoot (𝑥𝑛) ja(𝑦𝑛)sellaisia lukujonoja, että(𝑥𝑛) suppenee ja
|𝑥𝑛−𝑦𝑛| <
1 𝑛
∀𝑛∈Z+.
Osoita suppiloperiaatetta käyttäen, että lukujono(𝑦𝑛)suppenee.
3.3.19. Olkoon (𝑥𝑛) sellainen lukujono, että
|2𝑥𝑛−𝑛| < 2020 ∀𝑛 ∈Z+. Määritä
𝑛→∞lim 2𝑥𝑛
𝑛
ja todista tulos suoraan lukujonon raja-arvon määritelmään nojautuen.
3.3.20. Tarkastellaan seuraavaa päättelyä: Olkoon(𝑧𝑛)sellainen lukujono, että
∀𝜀 > 0 : 1+𝜀 < 𝑧𝑛 < 1+3𝜀 .
Valitsemalla luvut 𝜀sopivasti (esimerkiksi 𝜀𝑛 = 1/𝑛) voidaan muodostaa sellaiset lukujonot(𝑥𝑛)ja (𝑦𝑛), että𝑥𝑛 ≤ 𝑧𝑛 ≤ 𝑦𝑛kaikilla𝑛∈Z+ ja
𝑛→∞lim
𝑥𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑦𝑛 = 1. Siis suppiloperiaatteen nojalla myös
𝑛→∞lim
𝑧𝑛 = 1. Mikä ongelma päättelyssä on?