Yleisesti ottaen funktiolla ei välttämättä ole käänteisfunktiota, sillä käänteisfunktion olemassaolo edellyttää bijektiivisen kuvauksen (ks. luku 1.3). Jos kuitenkin funktio on jollakin välillä aidosti monotoninen ja jatkuva, niin funktio on bijektio ja sillä on käänteiskuvaus (joka myös on aidosti monotoninen ja jatkuva).
Lause 5.30. Olkoon 𝑓: [𝑎, 𝑏] → Rsellainen aidosti kasvava ja jatkuva funk-tio, että 𝑓(𝑎) = 𝐴 ja 𝑓(𝑏) = 𝐵. Tällöin funktiolla 𝑓 : [𝑎, 𝑏] → [𝐴, 𝐵] on käänteisfunktio 𝑓−1: [𝐴, 𝐵] → [𝑎, 𝑏], joka on välillä [𝐴, 𝐵] aidosti kasvava ja jatkuva.
Todistus. 1o: Osoitetaan ensin, että 𝑓 on bijektio, jolloin funktiolla 𝑓 on käänteis-funktio 𝑓−1: [𝐴, 𝐵] → [𝑎, 𝑏]. Koska 𝑓 on aidosti kasvava, niin
𝑥1≠ 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1)≠ 𝑓(𝑥2)
kaikilla𝑥1, 𝑥2 ∈ [𝑎, 𝑏]. Siis kuvaus 𝑓: [𝑎, 𝑏] → [𝐴, 𝐵] on injektio.
Lisäksi 𝑓(𝑎) = 𝐴, 𝑓(𝑏) =𝐵ja 𝑓 on aidosti kasvava sekä jatkuva, joten seurauk-sen 5.28 todistukseurauk-sen nojalla 𝑓( [𝑎, 𝑏]) = [𝐴, 𝐵] ja kuvaus 𝑓: [𝑎, 𝑏] → [𝐴, 𝐵] on surjektio.
Siis funktio 𝑓: [𝑎, 𝑏] → [𝐴, 𝐵] on bijektio, joten on olemassa käänteisfunktio 𝑓−1: [𝐴, 𝐵] → [𝑎, 𝑏].
2o: Osoitetaan sitten, että käänteisfunktio 𝑓−1on aidosti kasvava välillä [𝐴, 𝐵].
Oletetaan, että 𝑦1, 𝑦2 ∈ [𝐴, 𝐵] ja 𝑦1 < 𝑦2. Tällöin on olemassa sellaiset pisteet 𝑥1, 𝑥2 ∈ [𝑎, 𝑏], että 𝑓(𝑥1) = 𝑦1ja 𝑓(𝑥2) =𝑦2. Lisäksi siis 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2). Koska 𝑓 on aidosti kasvava, niin tällöin myös𝑥1 < 𝑥2eli
𝑓−1(𝑦1) = 𝑥1 < 𝑥2 = 𝑓−1(𝑦2). Siis funktio 𝑓−1on aidosti kasvava välillä[𝐴, 𝐵].
3o: Osoitetaan lopuksi, että 𝑓−1on jatkuva välillä[𝐴, 𝐵]. Oletetaan ensin, että 𝑦0 ∈ ]𝐴, 𝐵[. Koska 𝑓(𝑎) = 𝐴, 𝑓(𝑏) = 𝐵 ja 𝑓 on bijektio, on tällöin olemassa sellainen𝑥0∈ ]𝑎, 𝑏[, että
(5.3) 𝑓(𝑥0) = 𝑦0 ja 𝑓−1(𝑦0) = 𝑥0.
Valitaan nyt mielivaltainen𝜀 > 0. Todistuksen yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että𝜀 < min{𝑥0−𝑎, 𝑏−𝑥0}eli U𝜀(𝑥0) ⊂ ]𝑎, 𝑏[eli
𝑎 < 𝑥0−𝜀 < 𝑥0 < 𝑥0+𝜀 < 𝑏 . Koska 𝑓 on aidosti kasvava, niin tällöin
𝑓(𝑥0−𝜀) < 𝑦0 < 𝑓(𝑥0+𝜀).
Merkitään
𝛿 = min{𝑦0− 𝑓(𝑥0−𝜀), 𝑓(𝑥0+𝜀) −𝑦0}. Tällöin𝛿 >0 ja
(5.4) ]𝑦0−𝛿, 𝑦0+𝛿[ ⊆ ]𝑓(𝑥0−𝜀), 𝑓(𝑥0+𝜀) [, joten
𝑦 ∈U𝛿(𝑦0) ⇔ 𝑦 ∈ ]𝑦0−𝛿, 𝑦0+𝛿[
(5.4)
⇒ 𝑦 ∈ ]𝑓(𝑥0−𝜀), 𝑓(𝑥0+𝜀) [
𝑓−1aid. kasv.
⇔ 𝑓−1(𝑦) ∈ ]𝑓−1(𝑓(𝑥0−𝜀)), 𝑓−1(𝑓(𝑥0+𝜀)) [
𝑓bijektio
⇔ 𝑓−1(𝑦) ∈ ]𝑥0−𝜀, 𝑥0+𝜀[
(5.3)
⇔ 𝑓−1(𝑦) ∈ ]𝑓−1(𝑦0) −𝜀, 𝑓−1(𝑦0) +𝜀[
⇔ 𝑓−1(𝑦) ∈U𝜀(𝑓−1(𝑦0)). Siis
𝑓−1(𝑦) ∈U𝜀(𝑓−1(𝑦0)) aina, kun 𝑦 ∈U𝛿(𝑦0), joten huomautuksen 5.1 (s. 126) nojalla 𝑓−1on jatkuva pisteessä𝑦0.
Täysin yllä olevan kanssa analogisella tavalla voidaan todistaa, että 𝑓−1 on oikealta jatkuva pisteessä 𝐴 ja vasemmalta jatkuva pisteessä 𝐵 (harjoitustehtävä).
Siis 𝑓−1on jatkuva välillä[𝐴, 𝐵].
Lause 5.31. Olkoon 𝑓: [𝑎, 𝑏] → R sellainen aidosti vähenevä ja jatkuva funktio, että 𝑓(𝑎) = 𝐴ja 𝑓(𝑏) =𝐵. Tällöin funktiolla 𝑓: [𝑎, 𝑏] → [𝐵, 𝐴] on käänteisfunktio 𝑓−1: [𝐵, 𝐴] → [𝑎, 𝑏], joka on välillä[𝐵, 𝐴]aidosti vähenevä ja jatkuva.
Todistus. Kuten lause 5.30 (harjoitustehtävä).
Huomautus 5.32. Lauseet 5.30 ja 5.31 voidaan yleistää koskemaan minkä tahansa tyyppistä väliä𝐼 (harjoitustehtävä).
Lauseet 5.30 ja 5.31 antavat mahdollisuuden laajentaa tutkittavien funktioiden joukkoa. Tarkastellaan esimerkkeinä potenssifunktiota, joka tähän mennessä on määritelty vain kokonaislukupotensseille (huomautus 2.1, s. 28), ja trigonometristen funktioiden käänteisfunktioita.
Laajennetaan ensin potenssifunktio tapauksiin, joissa potenssi on rationaaliluku.
Laajennus reaalilukupotensseihin tehdään esimerkissä 6.2 (s. 180).
Esimerkki 5.29. Olkoon 𝑓: [0,∞[ → [0,∞[,
𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 (𝑛 ∈Z+).
Funktio 𝑓 on jatkuva (esimerkki 5.1, s. 127) ja selvästi aidosti kasvava välillä [0,∞[. Koska 𝑓(0) =0, niin lauseen 5.30 perusteella millä tahansa suljetulla välillä [0, 𝑏] (𝑏 > 0) funktiolla 𝑓: [0, 𝑏] → [0, 𝑏𝑛] on käänteisfunktio 𝑓−1: [0, 𝑏𝑛] → [0, 𝑏], joka on jatkuva ja aidosti kasvava. Huomautuksen 5.32 nojalla käänteisfunktio, jota merkitään
√𝑛
𝑥 tai 𝑥
1 𝑛,
on olemassa itse asiassa koko välillä[0,∞[. Koska selvästi lim
𝑥→∞
𝑥𝑛 = ∞,
niin funktiolla 𝑓: [0,∞[ → [0,∞[ on käänteisfunktio 𝑓−1: [0,∞[ → [0,∞[, joka on jatkuva ja aidosti kasvava välillä [0,∞[.
Käyttämällä lisäksi kaavoja (ks. s. 29) 𝑥0=1 ja 𝑥−𝑛= 1
𝑥 𝑛
(𝑥 >0) sekä
𝑥
𝑚
𝑛 = 𝑥
1 𝑛𝑚
(𝑥 ≥ 0, 𝑚 ∈Z+)
saadaan yhdistetyn funktion jatkuvuuden (lause 5.10 sekä huomautukset 5.11 ja 5.12, s. 136–137) nojalla (harjoitustehtävä), että rationaalinen potenssifunktio𝑥𝑞on jatkuva välillä]0,∞[, kun𝑞 ∈Q, ja välillä[0,∞[, kun𝑞 ∈Q+.
Tarkastellaan sitten trigonometristen funktioiden käänteisfunktioita. Koska tri-gonometriset funktiot ovat jaksollisia, ne saavat saman arvon äärettömän monessa pisteessä. Funktiot eivät siis ole injektioita, joten niille ei voida koko reaalilukua-lueella määritellä käänteisfunktioita. Trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot onkin määriteltävä vain tietyille väleille rajoitettujen trigonometristen funktioiden käänteisfunktioina.
Määrittelyssä yleisesti käytettyjen rajoittumien avulla saatuja käänteisfunktioi-ta nimitetään usein arkusfunktioidenpäähaaroiksi. Muita välejä käyttäen saatuja käänteisfunktioita kutsutaan vastaavastisivuhaaroiksi.
Esimerkki 5.30. Funktio
𝑓(𝑥) = sin𝑥
on jatkuva kaikilla𝑥 ∈R(esimerkki 5.2, s. 127) ja aidosti kasvava1välillä
−𝜋
2, 𝜋
2
. Koska lisäksi
sin −𝜋2
= −1 ja sin𝜋2 = 1, niin lauseen 5.30 nojalla funktiolla 𝑓:
−𝜋
2, 𝜋
2
→ [−1,1], 𝑓(𝑥) =sin𝑥
1Täsmällinen todistus monisteessa Analyysi B.
π2
−π2 1
−1 (a)sin𝑥.
π π
2
1
−1
(b)cos𝑥.
π2
π
−π2
−1 1
(c)arc sin𝑥(päähaara).
π
−1 1 (d)arc cos𝑥(päähaara).
Kuva 5.2. (a) Funktion sin𝑥 kuvaaja välillä
−𝜋2, 𝜋
2
, (b) funktion cos𝑥 kuvaaja välillä [0, 𝜋], (c) funktion arc sin𝑥päähaara, (d) funktion arc cos𝑥päähaara.
on olemassa jatkuva ja aidosti kasvava käänteisfunktio 𝑓−1: [−1,1] →
−𝜋
2, 𝜋
2
,
𝑓−1(𝑥) = arc sin𝑥 ,
jota kutsutaanarkussiniksitai täsmällisemmin arkussinin päähaaraksi, ks. kuva 5.2.
Vastaavasti cos𝑥 on jatkuva ja aidosti vähenevä1 välillä [0, 𝜋]. Koska lisäksi välin päätepisteissä
cos 0 = 1 ja cos𝜋 = −1, niin lauseen 5.31 nojalla funktiolla 𝑓: [0, 𝜋] → [−1,1],
𝑓(𝑥) = cos𝑥
on olemassa jatkuva ja aidosti vähenevä käänteisfunktio 𝑓−1: [−1,1] → [0, 𝜋], 𝑓−1(𝑥) = arc cos𝑥 ,
jota kutsutaanarkuskosiniksitai täsmällisemmin arkuskosinin päähaaraksi, ks. ku-va 5.2.
1Täsmällinen todistus monisteessa Analyysi B.
Huomautus 5.33. Siis esimerkiksi arc sin𝑥on sellainen kulma väliltä kaikilla𝑥 ∈ [−1,1]. Vastaavasti
arc sin(sin𝑥) = 𝑥 kaikilla𝑥 ∈
−𝜋
2, 𝜋
2
. Vastaavat tulokset ovat voimassa myös muilla arkusfunk-tioilla (asianmukaisilla väleillä).
Huomautus 5.34. Sinin ja kosinin perustuloksia käyttäen saadaan esimerkiksi arc sin 0 = 0, arc sin 1 = 𝜋
Kuva 5.3.Arkustangentin päähaara.
Esimerkki 5.31. Tarkastellaan funktiota (ks. kuva 1.2, s. 25) 𝑓(𝑥) = tan𝑥 = sin𝑥 niin 𝑓 on jatkuva välillä
−𝜋 (totea), niin huomautuksen 5.32 nojalla funktiolla 𝑓:
−𝜋
2, 𝜋
2
→R, 𝑓(𝑥) = tan𝑥
on jatkuva ja aidosti kasvava käänteisfunktio 𝑓−1: R→
−𝜋
2, 𝜋
2
, 𝑓−1(𝑥) = arc tan𝑥 ,
jota kutsutaanarkustangentiksitai täsmällisemmin arkustangentin päähaaraksi, ks.
kuva 5.3.
1Täsmällinen todistus monisteessa Analyysi B.
π 2π 3π 4π 5π
−π
−2π
−3π
−4π
−5π
π 2π 3π 4π 5π
−π
−2π
−3π
−4π
−5π
π2
Kuva 5.4.Arkuskotangentin päähaara.
Vastaavasti cot𝑥(ks. kuva 1.3, s. 25) on jatkuva ja aidosti vähenevä1välillä]0, 𝜋[.
Koska
𝑥→0+lim cot𝑥 = ∞ ja lim
𝑥→𝜋−cot𝑥 = −∞
(totea), niin huomautuksen 5.32 nojalla funktiolla 𝑓: ]0, 𝜋[ →R, 𝑓(𝑥) = cot𝑥
on jatkuva ja aidosti vähenevä käänteisfunktio 𝑓−1: R→ ]0, 𝜋[, 𝑓−1(𝑥) = arc cot𝑥 ,
jota kutsutaanarkuskotangentiksitai täsmällisemmin arkuskotangentin päähaaraksi, ks. kuva 5.4.
Huomautus 5.35. Tangentin ja kotangentin perustuloksista seuraa suoraan, että esimerkiksi
arc tan 0 = 0, arc tan 1 = 𝜋4, arc tan(−1) = −𝜋
4, arc cot 0 = 𝜋2, arc cot 1 = 𝜋4, arc cot(−1) = 34𝜋.
Huomautus 5.36. Arkustangentin määrittelystä seuraa suoraan, että lim
𝑥→−∞arc tan𝑥 = −𝜋
2 ja lim
𝑥→∞arc tan𝑥 = 𝜋
2,
(ks. kuva 5.3). Vastaavasti arkuskotangentin määrittelystä seuraa suoraan, että lim
𝑥→−∞arc cot𝑥 = 𝜋 ja lim
𝑥→∞arc cot𝑥 = 0 (ks. kuva 5.4).
Huomautus. Arkusfunktioiden päähaaroista käytetään joskus myös merkintöjä arc sin, arc cos, arc tan ja arc cot.
1Täsmällinen todistus monisteessa Analyysi B.
Harjoitustehtäviä
5.4.1. Olkoon funktio 𝑓 välillä[𝑎, 𝑏] jatkuva ja aidosti kasvava ja funktio𝑔välillä [𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏)]jatkuva ja aidosti vähenevä. Osoita, että funktiolla 𝑔◦ 𝑓 on käänteis-funktio välillä[𝑎, 𝑏]. Mikä on käänteisfunktion on määrittelyväli?
5.4.2. Olkoon 𝑓 välillä[𝑎, 𝑏]jatkuva funktio. Osoita, että jos 𝑓 on bijektio, niin 𝑓 on aidosti monotoninen välillä[𝑎, 𝑏].
5.4.3. Anna esimerkki välillä [0,1] aidosti kasvavasta funktiosta 𝑓, jolla ei ole käänteisfunktiota 𝑓−1: [𝑓(0), 𝑓(1)] → [0,1].
5.4.4. Olkoon 𝑓: [𝑎, 𝑏] → [𝐴, 𝐵] jokin välillä[𝑎, 𝑏]epäjatkuva funktio. (a) Onko mahdollista, että funktiolla 𝑓 on välillä[𝐴, 𝐵]määritelty käänteisfunktio? (b) Onko mahdollista, että funktion 𝑓 käänteisfunktio on jatkuva välillä[𝐴, 𝐵](jos käänteis-funktio on olemassa)?
Vihje: Voit olettaa tehtävän 5.4.2 tuloksen tunnetuksi.
5.4.5. Määritä käyttämättä laskinta tai taulukkokirjaa (a) arc sin𝑥 , kun𝑥= 12 ja𝑥 =−
√ 3
2 , (b) tan(arc sin𝑥), kun𝑥 = 14 ja𝑥 = 12. 5.4.6. Määritä suorakulmaisen kolmion kateetit, kun hypotenuusa on 5 ja yksi kulma on (radiaaneina) (a) arc sin35, (b) arc sin √1
2, (c) arc cos35.
5.4.7. Anna geometrinen perustelu (suorakulmaista kolmiota käyttäen) sille, että arc sin𝑥+arc cos𝑥 = 𝜋
2 ∀𝑥 ∈ ]0,1[. 5.4.8. Määritä (perustellen) inf𝐴ja sup𝐴, kun
(a) 𝐴 =
𝑦 ∈R
𝑦 =arc cos|𝑥| +arc sin√︁
1−𝑥2, 𝑥 ∈ [−1,1] , (b) 𝐴 = {𝑦 ∈R| 𝑦 =𝜋−arc cos|𝑥|, 𝑥 ∈ [−1,1] }.
5.4.9. Olkoon
𝑓(𝑥) =
(arc cos𝑥 , kun𝑥 ∈ [−1,0],
−arc sin𝑥 , kun𝑥 ∈ ]0,1].
Anna laajin sellainen väli 𝐼 ⊆ [−1,1], että sup𝐴 = 0, kun 𝐴 = { 𝑓(𝑥) | 𝑥 ∈ 𝐼} (a) ilman täsmällistä perustelua (eli riittää määrittää kysytty väli), (b) täsmällisesti perustellen.
5.4.10. Tutki, onko funktio 𝑓(𝑥) =
(b𝜋−𝑥c, kun𝑥 ≤ 𝜋, arc cos𝑥−𝜋𝑥 , kun𝑥 > 𝜋, jatkuva pisteessä𝑥 =𝜋.
5.4.11. Määritä raja-arvo
𝑥→∞lim 1 𝑥
𝑥arc cos1 𝑥
+sin
𝑥arc cos1 𝑥
. 5.4.12. Osoita täsmällisesti perustellen, että funktiolla
𝑓(𝑥) = 4𝑥+1−arc sin𝑥 on määrittelyalueellaan ainakin yksi nollakohta.
5.4.13. Määritä käyttämättä laskinta tai taulukkokirjaa (a) arc tan𝑥 , kun𝑥 =
√
3, (b) cos(arc tan𝑥) ja sin(arc cot𝑥), kun𝑥 =2
√ 2. 5.4.14. Määritä suorakulmaisen kolmion hypotenuusa ja toinen kateetti, kun toi-nen kateetti on 5 ja hypotenuusan ja tuntemattoman kateetin välitoi-nen kulma on (radiaaneina) (a) arc tan 125, (b) arc tan 5, (c) arc cot 2.
5.4.15. Kotangentin käänteisfunktio arc cot määritellään joskus arkustangentin avul-la siten, että
arc cot𝑥=
(arc tan1𝑥, kun𝑥 ≠0,
𝜋
2, kun𝑥 =0.
Miten tämä määrittely eroaa kurssimonisteen määrittelystä? Piirrä kurssimonisteessa määritellyn arkuskotangentin ja yllä määritellyn arkuskotangentin kuvaajat samaan koordinaatistoon.
5.4.16. Määritä (perustellen) inf𝐴ja sup𝐴, kun
𝐴={𝑦 ∈R | 𝑦 =𝜋− |arc tan(𝑥−2) |, 𝑥∈R}. 5.4.17. Määritä vakiot𝑎ja𝑏siten, että funktio
𝑓(𝑥) =
𝑎+arc cos 1
𝑥2+1, kun𝑥 <0,
𝜋, kun𝑥=0,
𝑏arc tan1𝑥, kun𝑥 >0, tulee jatkuvaksi pisteessä𝑥 =0.
5.4.18. Määritä vakio𝑏 ∈Rsiten, että funktio 𝑓(𝑥) =
(arc tan1−1𝑥, kun𝑥≠ 1,
𝑏, kun𝑥=1,
tulee jatkuvaksi pisteessä 𝑥 = 1, tai osoita, että 𝑓 on epäjatkuva pisteessä 𝑥 = 1 kaikilla vakion𝑏arvoilla.
5.4.19. Osoita täsmällisesti perustellen, että funktiolla 𝑓(𝑥) =arc cos𝑥+2 arc tan𝑥−2𝑥2 on ainakin kaksi nollakohtaa välillä]−1,1[.
5.4.20. Osoita täsmällisesti perustellen, että funktiolla 𝑓(𝑥) =arc cos|𝑥| +arc tan(𝑥2) −1 on ainakin kaksi nollakohtaa välillä]−1,1[.
∗ 5.5 Tasainen jatkuvuus
Jatkuvuuden määritelmässä kiinnitetään ensin piste 𝑎. Sen jälkeen etsitään jokaista lukua𝜀 >0 kohti sellainen𝛿 >0, että
|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) | < 𝜀 aina, kun |𝑥−𝑎| < 𝛿.
Yleensä luku𝛿riippuu paitsi funktiosta 𝑓 ja luvusta𝜀myös pisteestä𝑎. Jos kuitenkin jollakin välillä jokaista lukua 𝜀 > 0 kohti löytyy sellainen 𝛿 > 0, että 𝛿 ei riipu valitusta välin pisteestä, sanotaan funktion 𝑓 olevan tasaisesti jatkuva tällä välillä.
Määritelmä 5.6. Funktio 𝑓 ontasaisesti jatkuvavälillä𝐼, jos jokaista positii-vilukua𝜀 > 0 kohti on olemassa sellainen𝛿 >0, että
|𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥2) | < 𝜀 aina, kun𝑥1, 𝑥2∈ 𝐼 ja |𝑥1−𝑥2|< 𝛿.
Huomautus. Jos funktio 𝑓 on jollakin välillä tasaisesti jatkuva, funktio 𝑓 on tällä välillä myös jatkuva.
Huomautus. Jos funktio 𝑓 on tasaisesti jatkuva välillä𝐼, funktio 𝑓 on tasaisesti jatkuva myös jokaisella osavälillä 𝐼0⊆ 𝐼.
Huomautus. Tasainen jatkuvuus on oleellisesti väliin liittyvä käsite. Tavallinen jatkuvuus taas on oleellisesti yhteen pisteeseen liittyvä (lokaali) käsite.
Esimerkki 5.32. Osoitetaan, että funktio 𝑓(𝑥) = 1
𝑥
(𝑥 ≠ 0) on tasaisesti jatkuva välillä𝐼 =1
2,1 .
Valitaan mielivaltainen𝜀 > 0. Merkitään𝛿 = 𝜀4, ja oletetaan, että 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐼 ja
|𝑥1−𝑥2|< 𝛿. Tällöin𝑥1, 𝑥2> 1
2, joten
|𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥2) | =
1 𝑥1
− 1 𝑥2
=
𝑥2−𝑥1 𝑥1𝑥2
= 1 𝑥1𝑥2
· |𝑥1−𝑥2|
≤ 4· |𝑥1−𝑥2|
< 4· 𝜀
= 𝜀 . 4
Tulos seuraa nyt suoraan tasaisen jatkuvuuden määritelmästä.
Esimerkki 5.33. Osoitetaan, että funktio 𝑓(𝑥) = 1
𝑥
(𝑥 ≠ 0) ei ole tasaisesti jatkuva välillä]0,1[.
Olkoon𝜀=1 ja𝛿 >0. Olkoon lisäksi𝑎 > max Siis tasaisen jatkuvuuden ehto ei voi olla voimassa.
Lause 5.37. Jos funktiot 𝑓 ja𝑔ovat tasaisesti jatkuvia välillä𝐼, myös funktiot 𝑘 𝑓 (𝑘 ∈R)ja 𝑓 +𝑔ovat tasaisesti jatkuvia välillä 𝐼.
Todistus. Harjoitustehtävä.
Lause 5.38. Suljetulla välillä [𝑎, 𝑏] jatkuva funktio on tällä välillä tasaisesti jatkuva.
Todistus. Olkoon funktio 𝑓 jatkuva välillä [𝑎, 𝑏]. Tehdään vastaoletus, että 𝑓 ei ole tasaisesti jatkuva välillä [𝑎, 𝑏]. Tällöin on olemassa sellainen𝜀 >0, että
∀𝛿 >0 : ∃𝑥 , 𝑦 ∈ [𝑎, 𝑏] s.e. |𝑥−𝑦| < 𝛿 ja |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦) | ≥𝜀 .
Weierstrassin lauseen (lause 3.26, s. 71) nojalla lukujonolla (𝑥𝑛) on suppeneva osajono (𝑥𝑛
𝑘). Lisäksi Bolzanon–Weierstrassin lauseen todistuksen perusteella osa-jono(𝑥𝑛
𝑘)suppenee kohti pistettä𝑥0∈ [𝑎, 𝑏]. Koska
|𝑥𝑛− 𝑦𝑛| < 1 𝑛
∀𝑛 ∈Z+,
myös lukujono(𝑦𝑛
𝑘)suppenee kohti samaa pistettä𝑥0(harjoitustehtävä).
Koska 𝑓 on jatkuva välillä [𝑎, 𝑏], niin lauseen 5.13 (s. 137) ja sitä koskevien huomautusten 5.14 ja 5.15 perusteella
lim
𝑘→∞
𝑓(𝑥𝑛
𝑘) = 𝑓(𝑥0) = lim
𝑘→∞
𝑓(𝑦𝑛
𝑘). Tässä on kuitenkin ristiriita, sillä ehdon (5.5) nojalla
𝑓(𝑥𝑛
𝑘) − 𝑓(𝑦𝑛
𝑘)
≥ 𝜀 ∀𝑘 ∈Z+. Esimerkki 5.34. Funktio 𝑓: [2,7] →R,
𝑓(𝑥) =
√ 𝑥+1
𝑥
on selvästi jatkuva suljetulla välillä[2,7], joten se on tasaisesti jatkuva välillä [2,7]
(ja samalla jokaisella tämän välin osavälillä).
Lause 5.39. Avoimella välillä]𝑎, 𝑏[tasaisesti jatkuva funktio on tällä välillä rajoitettu.
Todistus. Olkoon funktio 𝑓 tasaisesti jatkuva välillä ]𝑎, 𝑏[. Tällöin on olemassa sellainen𝛿1 >0, että
|𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥2) | < 1 aina, kun𝑥1, 𝑥2 ∈ ]𝑎, 𝑏[ ja |𝑥1−𝑥2|< 𝛿1. Käyttämällä kolmioepäyhtälöä saadaan
|𝑓(𝑥1) | = |𝑓(𝑥2) + 𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥2) | ≤ |𝑓(𝑥2) | + |𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥2) |, joten
(5.6) |𝑓(𝑥1) | < |𝑓(𝑥2) | +1 aina, kun𝑥1, 𝑥2 ∈ ]𝑎, 𝑏[ja|𝑥1−𝑥2|< 𝛿1.
Merkitään𝛿=min 𝛿1, 𝑏−𝑎
3 , ja jaetaan väli]𝑎, 𝑏[kolmeen osaan ]𝑎, 𝑏[ = ]𝑎, 𝑎+𝛿[ ∪ [𝑎+𝛿, 𝑏−𝛿] ∪ ]𝑏−𝛿, 𝑏[.
1o: Jos𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑎+𝛿[, niin|𝑥− (𝑎+𝛿) | < 𝛿 ≤ 𝛿1. Täten ehdon (5.6) nojalla
|𝑓(𝑥) | < |𝑓(𝑎+𝛿) | +1.
2o: Jos𝑥 ∈ ]𝑏−𝛿, 𝑏[, niin|𝑥− (𝑏−𝛿) | < 𝛿 ≤ 𝛿1. Täten ehdon (5.6) nojalla
|𝑓(𝑥) | < |𝑓(𝑏−𝛿) | +1.
3o: Suljetulla välillä jatkuvana funktiona 𝑓 on lisäksi rajoitettu välillä[𝑎+𝛿, 𝑏−𝛿] (lause 5.26, s. 145), joten on olemassa sellainen 𝑀 >0, että
|𝑓(𝑥) | ≤ 𝑀 ∀𝑥 ∈ [𝑎+𝛿, 𝑏−𝛿].
Merkitään nyt
𝑀0 = max{|𝑓(𝑎+𝛿) | +1, |𝑓(𝑏−𝛿) | +1, 𝑀}. Tällöin kohtien 1o–3onojalla
|𝑓(𝑥) | ≤ 𝑀0 ∀𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[,
joten 𝑓 on välillä]𝑎, 𝑏[rajoitettu.
Esimerkki 5.35. Esimerkin 4.26 (s. 118) nojalla
𝑥→1lim
1−2𝑥
(1−𝑥)2 = −∞, joten funktio 𝑓: ]0,1[ →R,
𝑓(𝑥) = 1−2𝑥 (1−𝑥)2
ei ole rajoitettu välillä]0,1[. Siis lauseen 5.39 nojalla 𝑓 ei ole myöskään tasaisesti jatkuva välillä]0,1[.
Huomautus 5.40. Avoimella välillä]𝑎, 𝑏[jatkuva ja rajoitettu funktio ei vält-tämättä ole tasaisesti jatkuva tällä välillä.
Harjoitustehtäviä
5.5.1. Voidaan helposti osoittaa, että funktio 𝑓(𝑥) = 1
𝑥 on tasaisesti jatkuva välillä 1
√ 2
,
√ 2
. Määritä jokin sellainen𝛿 >0, että
|𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥2) | < 0,01 aina, kun𝑥1, 𝑥2 ∈ 1
√ 2
,
√ 2
ja|𝑥1−𝑥2|< 𝛿.
5.5.2. Osoita suoraan tasaisen jatkuvuuden määritelmään nojautuen, että funktio 𝑓(𝑥) = 𝑥2+5
on tasaisesti jatkuva välillä[0,3].
5.5.3. Olkoon𝑎 > 0. Osoita, että funktio
(a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥+2, (b) 𝑓(𝑥) = √ 𝑥 on tasaisesti jatkuva välillä[𝑎,∞[.
5.5.4. Osoita, että funktio
𝑓(𝑥) = 1 𝑥
√︁
2+𝑥2 on tasaisesti jatkuva välillä]2,∞[.
5.5.5. Osoita, että funktio
𝑓(𝑥) = 𝑥2 ei ole tasaisesti jatkuva välillä [1,∞[.
5.5.6. Todista, että jos funktiot 𝑓 ja 𝑔ovat tasaisesti jatkuvia välillä 𝐼, myös funk-tio 𝑓 +𝑔on tasaisesti jatkuva välillä𝐼.
5.5.7. Osoita (vastaesimerkillä), että vaikka funktiot 𝑓 ja𝑔ovat tasaisesti jatkuvia välillä 𝐼, niin funktio 𝑓 𝑔ei välttämättä ole tasaisesti jatkuva välillä𝐼.
5.5.8. Tutki, onko funktio
𝑓(𝑥) = sin 2𝑥 𝑥sin 𝜋2 −𝑥 tasaisesti jatkuva välillä
0, 𝜋
2
. 5.5.9. Tutki, onko funktio
𝑓(𝑥) = (𝜋−𝑥)sin 5𝑥 𝑥sin(𝜋−𝑥) tasaisesti jatkuva välillä]0, 𝜋[.
5.5.10. Anna esimerkki välillä]5,7[jatkuvasta funktiosta, joka ei ole tällä välillä tasaisesti jatkuva.
∗ 6 Eksponentti- ja logaritmifunktio
6.1 Eksponenttifunktio
Aiemmin luvussa 3.5 määriteltiin (huomautus 3.28, s. 77), että
𝑒 = lim
ja osoitettiin (huomautus 3.29, s. 77), että luvun𝑒 likiarvon laskemisessa voidaan käyttää epäyhtälöitä Edelleen luvussa 5.4 määriteltiin (esimerkki 5.29, s. 154), että
𝑒 joten funktio (ks. kuva 6.1, s. 173)
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
on määritelty kaikilla rationaaliluvuilla. Pyritään nyt määrittelemään 𝑓 siten, että funktio tulee jatkuvaksi kaikilla reaaliluvuilla. Koska rationaalilukuja on tiheäs-ti reaalilukujen joukossa, tämä määrittely voidaan tehdä vain yhdellä tavalla (ks.
esimerkki 5.21, s. 139).
6.1.1 Rationaaliluku eksponenttina
Ennen varsinaista eksponenttifunktion määrittelyä todetaan muutamia rationaalilu-vuilla määritellyn eksponenttifunktion ominaisuuksia.
Lause 6.1. Jos𝑛∈Z+ ja𝑛 ≥ 2, niin Todistus. Epäyhtälöiden (6.1) nojalla
kaikilla𝑛 ∈Z+. Valitsemalla epäyhtälön oikealla puolella luvun𝑛sijasta luku𝑛−1 saadaan
kaikilla𝑛 ≥ 2. Täten
Todistus. Tulos seuraa suoraan lauseesta 6.1 ja rationaalipotenssin laskusäännöistä.
Lause 6.3. Jos𝑥1, 𝑥2∈Q, niin𝑒𝑥1+𝑥2 =𝑒𝑥1𝑒𝑥2.
Todistus. Selvä rationaalipotenssin laskusääntöjen perusteella.
Lause 6.4. Jos𝑥1, 𝑥2∈Qja𝑥1< 𝑥2, niin𝑒𝑥1 < 𝑒𝑥2. Tällöin lauseen 6.4 nojalla
(6.2) 𝑒−
1
𝑝 < 𝑒𝑥𝑛 < 𝑒
1 𝑝
aina, kun𝑛 > 𝑛𝑝. Toisaalta lauseen 6.1 nojalla 0 < 1 Täten suppiloperiaatteen ja ehdon (6.2) nojalla
𝑛→∞lim
𝑒𝑥𝑛 = 1.
Lause 6.6. Jos𝑥 , 𝑥𝑛∈Q (𝑛∈Z+)ja lim
𝑛→∞
𝑥𝑛=𝑥, niin lim
𝑛→∞
𝑒𝑥𝑛 =𝑒𝑥.
Todistus. Lauseen 6.3 nojalla
𝑒𝑥𝑛 = 𝑒𝑥𝑛−𝑥+𝑥 = 𝑒𝑥𝑛−𝑥𝑒𝑥. Koska
𝑥𝑛−𝑥 ∈Q ja lim
𝑛→∞(𝑥𝑛−𝑥) =0, niin lauseen 6.5 nojalla
𝑛→∞lim
𝑒𝑥𝑛−𝑥 = 1. Siis
𝑛→∞lim
𝑒𝑥𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑒𝑥𝑛−𝑥𝑒𝑥 = 1·𝑒𝑥 = 𝑒𝑥.
6.1.2 Eksponenttifunktion määrittely ja perusominaisuuksia
Olkoon𝑥 ∈R. Tällöin joukko
𝐸𝑥 ={𝑒𝑟 |𝑟 < 𝑥 , 𝑟 ∈Q}
on lauseen 6.4 nojalla ylhäältä rajoitettu (ylärajaksi kelpaa mikä tahansa 𝑒𝑞, jolle 𝑥 < 𝑞 (𝑞 ∈ Q)). Täten joukolla 𝐸𝑥 on pienin yläraja ja voidaan asettaa seuraava määritelmä.
Määritelmä 6.1. Olkoon𝑥 ∈R\Q. Silloin
𝑒𝑥 =sup{𝑒𝑟 |𝑟 < 𝑥 , 𝑟 ∈Q}.
Tutkitaan sitten saaduneksponenttifunktion 𝑒𝑥 ominaisuuksia.
Lause 6.7. Olkoon𝑥 ∈R\Qja𝑥𝑛 ∈ Q(𝑛 ∈Z+). Jos𝑥𝑛 < 𝑥kaikilla𝑛∈ Z+
ja lim
𝑛→∞
𝑥𝑛=𝑥, niin
lim
𝑛→∞
𝑒𝑥𝑛 = 𝑒𝑥.
Todistus. Valitaan mielivaltainen𝜀 >0. Olkoon 𝐸𝑥 ={𝑒𝑟 |𝑟 < 𝑥 , 𝑟 ∈Q}
Koska𝑒𝑥 =sup𝐸𝑥, niin lauseen 2.5 (s. 33) nojalla on olemassa sellainen𝑟 ∈Q, että 𝑟 < 𝑥ja
(6.3) 𝑒𝑥 −𝜀 < 𝑒𝑟 ≤ 𝑒𝑥.
Lisäksi
𝑛→∞lim
𝑥𝑛=𝑥 ja 𝑥𝑛 < 𝑥 ∀𝑛 ∈Z+,
joten lukujonon arvon perusominaisuuksien nojalla on olemassa sellainen raja-luku𝑛𝜀 ∈Z+, että
𝑟 < 𝑥𝑛 < 𝑥 ∀𝑛 > 𝑛𝜀.
Täten lauseen 6.4 ja luvun𝑒𝑥määrittelyn (𝑒𝑥𝑛 ∈ 𝐸𝑥, 𝑒𝑥 =sup𝐸𝑥) perusteella 𝑒𝑟 < 𝑒𝑥𝑛 ≤ 𝑒𝑥 ∀𝑛 > 𝑛𝜀.
Siis ehdon (6.3) nojalla
𝑒𝑥−𝜀 < 𝑒𝑥𝑛 ≤ 𝑒𝑥 ∀𝑛 > 𝑛𝜀, joten lukujonon raja-arvon määritelmän perusteella
lim
𝑛→∞
𝑒𝑥𝑛 = 𝑒𝑥.
Lause 6.8. Jos𝑥 , 𝑦 ∈R, niin 𝑒𝑥+𝑦 =𝑒𝑥𝑒𝑦.
Todistus. Tarkastellaan1sellaisia lukujonoja (𝑥𝑛) ja(𝑦𝑛), että 𝑥𝑛 ∈Q, 𝑥𝑛 < 𝑥 ja lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 =𝑥 sekä
𝑦𝑛 ∈Q, 𝑦𝑛 < 𝑦 ja lim
𝑛→∞
𝑦𝑛=𝑦 . Tällöin
𝑥𝑛+𝑦𝑛 < 𝑥+𝑦 ∀𝑛 ∈Z+
ja
lim
𝑛→∞(𝑥𝑛+𝑦𝑛) = 𝑥+𝑦 .
Täten lauseen 6.6 (rationaaliluvut) ja lauseen 6.7 (irrationaaliluvut) nojalla
𝑛→∞lim
𝑒𝑥𝑛 = 𝑒𝑥, lim
𝑛→∞
𝑒𝑦𝑛 = 𝑒𝑦 ja lim
𝑛→∞
𝑒𝑥𝑛+𝑦𝑛 = 𝑒𝑥+𝑦.
Käyttämällä lisäksi lausetta 6.3 ja lukujonon raja-arvon laskusääntöjä saadaan 𝑒𝑥+𝑦 = lim
𝑛→∞
𝑒𝑥𝑛+𝑦𝑛 = lim
𝑛→∞(𝑒𝑥𝑛𝑒𝑦𝑛) = lim
𝑛→∞
𝑒𝑥𝑛· lim
𝑛→∞
𝑒𝑦𝑛 = 𝑒𝑥𝑒𝑦.
1Tällaiset lukujonot voidaan aina löytää esimerkiksi valitsemalla alkiot väleiltä
𝑥− 1𝑛, 𝑥 ja 𝑦−1𝑛, 𝑦
(𝑛∈Z+).
Lause 6.9. Eksponenttifunktio on positiivinen eli𝑒𝑥 >0kaikilla𝑥 ∈R.
Todistus. Lauseen 6.8 nojalla 𝑒𝑥 = 𝑒
𝑥 2+𝑥
2 = 𝑒
𝑥 2 ·𝑒
𝑥
2 = 𝑒
𝑥
22 ≥ 0 ∀𝑥 ∈R.
On siis enää osoitettava, että 𝑒𝑥 ≠ 0 kaikilla 𝑥 ∈ R. Tehdään vastaoletus, että on olemassa sellainen𝑥0∈R, että𝑒𝑥0 =0. Tällöin lauseen 6.8 perusteella
𝑒𝑥 = 𝑒𝑥0+𝑥−𝑥0 =
=0
𝑒𝑥0𝑒𝑥−𝑥0 = 0 ∀𝑥 ∈R,
missä on ristiriita, sillä𝑒1=𝑒 > 0.
Huomautus 6.10. Lauseista 6.8 ja 6.9 seuraa suoraan, että 𝑒−𝑥 = 𝑒−𝑥· 𝑒𝑥
𝑒𝑥
= 𝑒−𝑥+𝑥· 1 𝑒𝑥
= 𝑒0· 1 𝑒𝑥
= 1 𝑒𝑥 kaikilla𝑥 ∈R.
Lause 6.11. Eksponenttifunktio𝑒𝑥 on aidosti kasvava (joukossaR).
Todistus. Lauseen 6.4 nojalla 𝑒ℎ > 𝑒0 =1, jos ℎ > 0 ja ℎ ∈ Q. Jos taas ℎ > 0 ja ℎ ∈R\Q, niin on olemassa sellainen𝑟 ∈Q, että 0< 𝑟 < ℎ(ts. kahden reaaliluvun välissä on aina rationaaliluku). Tällöin lauseen 6.4 ja luvun𝑒ℎmäärittelyn perusteella
1 = 𝑒0 < 𝑒𝑟 ≤ 𝑒ℎ.
Siis𝑒ℎ> 1 kaikilla ℎ >0. Käyttämällä nyt lauseita 6.8 ja 6.9 saadaan
𝑒𝑥+ℎ−𝑒𝑥 = 𝑒𝑥𝑒ℎ−𝑒𝑥 =
>{ 0
𝑒𝑥(
>0
z}|{
𝑒ℎ−1) > 0 ∀𝑥 ∈Rja∀ℎ >0.
Täten𝑒𝑥on aidosti kasvava (joukossaR).
Huomautus 6.12. Koska𝑒𝑥on aidosti kasvava (lause 6.11), niin esimerkin 3.23 (s. 85) ja huomautuksen 6.10 nojalla
lim
𝑥→∞
𝑒𝑥 = ∞ ja
𝑥→−∞lim
𝑒𝑥 = lim
𝑥→∞
𝑒−𝑥 = lim
𝑥→∞
1 𝑒𝑥
= 0.
Lause 6.13. Eksponenttifunktio𝑒𝑥 on jatkuva kaikilla𝑥 ∈R.
Todistus. Tarkastellaan ensin funktiota𝑒𝑥 pisteessä𝑥 =0. Valitaan mielivaltainen 𝜀 >0. Lauseen 6.5 nojalla
lim
joten lukujonon raja-arvon määritelmän perusteella on olemassa sellainen𝑛𝜀 ∈Z+, että Koska lisäksi𝑒𝑥on lauseen 6.11 nojalla aidosti kasvava ( ja𝑒0 =1), niin
0 < 𝑒𝑥−1 < 𝑒 joten funktion raja-arvon määritelmän perusteella
𝑥→0lim
𝑒𝑥 = 1 (=𝑒0).
Olkoon sitten𝑥 ∈Rmielivaltainen. Tällöin lauseen 6.8 nojalla
𝑒𝑥+ℎ−𝑒𝑥 = 𝑒𝑥𝑒ℎ−𝑒𝑥 = 𝑒𝑥(𝑒ℎ−1) → 𝑒𝑥·0 = 0, kunℎ→ 0. Siis
ℎ→lim0
𝑒𝑥+ℎ = 𝑒𝑥,
eli𝑒𝑥 on jatkuva kaikilla𝑥 ∈R.
Myöhempää käyttöä varten todistetaan vielä seuraava raja-arvo.
Lause 6.14. lim
𝑥→0
𝑒𝑥−1 𝑥
= 1.
Todistus. Osoitetaan ensin, että
𝑥→lim0+
𝑒𝑥−1 𝑥
= 1. Olkoon 0 < 𝑥 < 1
2. Arkhimedeen lauseen nojalla on olemassa sellainen 𝑛𝑥 ∈ Z+, että𝑛𝑥𝑥 > 1. Koska𝑥 < 1
ja
1 𝑛𝑥
< 𝑥 ≤ 1 𝑛𝑥−1.
Koska eksponenttifunktio on aidosti kasvava (lause 6.11), niin lauseen 6.1 nojalla 1 Siis ehdon (6.4) nojalla
𝑛𝑥 −1 Jos sitten𝑥 <0, niin huomautuksen 6.10 nojalla
𝑒𝑥−1 6.1.2. Tutki, onko funktiolla
𝑓(𝑥) = 1
𝑒tan𝑥+1 (𝑥 ≠ 𝜋
2 +𝑛𝜋, 𝑛 ∈Z)
raja-arvo pisteessä𝑥 = 𝜋2. Entä onko funktiolla 𝑓 vasemmanpuoleinen tai oikeanpuo-leinen raja-arvo pisteessä𝑥= 𝜋
2? Myönteisessä tapauksessa määritä raja-arvot.
6.1.3. Olkoon 𝑓 sellainen funktio, että
|𝑓(𝑥) −𝑒𝑥|< 1 ∀𝑥 >0. Osoita, että
𝑥→∞lim 𝑓(𝑥) 𝑓(2𝑥) =0. 6.1.4. Osoita, että funktiolla
𝑓(𝑥) =𝑒𝑥−𝑥−3 on ainakin 2 nollakohtaa.
6.1.5. Määritä (a) lim
𝑥→0
𝑒𝑎𝑥 −1 𝑥
(𝑎 ∈R), (b) lim
𝑥→0
√︁
𝑒𝑥2−1
√ 2𝑥2
, (c) lim
𝑥→0
𝑒4𝑥−1 tan𝑥
. Tehtävissä 6.1.6–6.1.10 tarkastellaan hyperbolisia funktioita sinh𝑥 (hyperbolinen sini), cosh𝑥(hyperbolinen kosini) ja tanh𝑥(hyperbolinen tangentti). Funktiot mää-ritellään eksponenttifunktion avulla siten, että
sinh𝑥 = 𝑒𝑥−𝑒−𝑥
2 , cosh𝑥 = 𝑒𝑥+𝑒−𝑥
2 ja tanh𝑥 = sinh𝑥 cosh𝑥
kaikilla𝑥 ∈R. Hyperboliset funktiot muistuttavat monilta ominaisuuksiltaan trigo-nometrisia funktioita.
6.1.6. Osoita, että
(a) cosh2𝑥−sinh2𝑥 =1, (b) sinh(2𝑥)=2 sinh𝑥cosh𝑥 kaikilla𝑥 ∈R.
6.1.7. Osoita, että
(cosh𝑥+sinh𝑥)𝑛=cosh(𝑛𝑥) +sinh(𝑛𝑥) kaikilla𝑛 ∈Zja kaikilla𝑥 ∈R.
6.1.8. Osoita hyberbolisten funktioiden eksponenttiesityksiä käyttäen, että 1−tanh2𝑥 = 1
cosh2𝑥 kaikilla𝑥 ∈R.
6.1.9. Osoita, että
𝑥→lim0
sinh𝑥 𝑥
= lim
𝑥→0
sinh𝑥 sin𝑥
= 1.
6.1.10. Tutki, onko funktiolla sinh𝑥 käänteisfunktiota, ja jos on, niin mikä on käänteisfunktion määrittelyalue.
−5 1 5
−5 1 5
ln𝑥 𝑒𝑥
Kuva 6.1.Funktioiden𝑒𝑥ja ln𝑥kuvaajat ovat symmetrisiä suoran𝑦=𝑥suhteen.