Aluksi määritellään, mitä monotonisilla jonoilla tarkoitetaan.
Määritelmä 3.3. Seuraavan tyyppisiä lukujonoja𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, . . . sanotaan mo-notonisiksi:
• kasvavalukujono, jolle𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ 𝑥3 ≤ · · ·
• vähenevälukujono, jolle𝑥1 ≥𝑥2 ≥ 𝑥3 ≥ · · ·
• aidosti kasvavalukujono, jolle𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3 < · · ·
• aidosti vähenevälukujono, jolle𝑥1 > 𝑥2> 𝑥3> · · ·
Aidosti kasvavia ja aidosti väheneviä lukujonoja sanotaanaidosti monotonisiksi lukujonoiksi.
Huomautus. Lukojono voi olla samalla sekä kasvava että vähenevä. Esimerkiksi jono 1,1, . . . on sekä kasvava että vähenevä.
Huomautus. Koska
𝑥𝑛 ≤ 𝑥𝑛+1 ⇔ 𝑥𝑛+1−𝑥𝑛 ≥ 0,
niin lukujonon kasvavuus voidaan usein osoittaa tutkimalla kahden peräkkäisen termin erotusta. Myös osamäärää voidaan tutkia, mutta tällöin on huomioitava termien merkki. Jos esimerkiksi termit ovat positiivisia, niin
𝑥𝑛 ≤ 𝑥𝑛+1 ⇔ 𝑥𝑛+1 𝑥𝑛
≥ 1.
Muille tapauksille (vähenevä, aidosti kasvava, aidosti vähenevä) ehtoja voidaan muokata vastaavasti.
Lause 3.20 (Monotonisten jonojen peruslause). Jos lukujono (𝑥𝑛)on kasva-va ja ylhäältä rajoitettu, niin jono(𝑥𝑛) suppenee.
Todistus. Olkoon (𝑥𝑛)jokin kasvava ylhäältä rajoitettu lukujono. Valitaan mielival-tainen𝜀 > 0. Merkitään
𝐾 = sup{𝑥𝑛 |𝑛 ∈Z+}. Tällöin lauseen 2.5 (s. 33) nojalla
𝑥𝑛 ≤ 𝐾 ∀𝑛∈Z+
ja
∃𝑛𝜀 ∈Z+: 𝑥𝑛
𝜀
> 𝐾−𝜀 . Koska lukujono(𝑥𝑛)on kasvava, niin
𝑥𝑛 > 𝐾−𝜀 ∀𝑛 > 𝑛𝜀.
Siis
𝑥𝑛 ∈U𝜀(𝐾) ∀𝑛 > 𝑛𝜀, joten huomautuksen 3.3 (s. 43) perusteella
𝑛→∞lim
𝑥𝑛 = 𝐾 .
Lause 3.21. Jos lukujono(𝑥𝑛)on vähenevä ja alhaalta rajoitettu, niin jono(𝑥𝑛) suppenee.
Todistus. Harjoitustehtävä.
Huomautus 3.22. Lauseen 3.20 todistuksen perusteella
𝑛→∞lim
𝑥𝑛 = sup{𝑥𝑛 | 𝑛∈Z+}, jos lauseen oletukset ovat voimassa.
Huomautus 3.23. Lauseessa 3.20 itse asiassa riittää, että lukujono on kasvava jostakin indeksin𝑛arvosta𝑛0alkaen. Tällöin kuitenkin voi olla
𝑛→∞lim
𝑥𝑛 ≠ sup{𝑥𝑛 |𝑛 ∈Z+}.
Huomautus 3.24. Huomautuksia 3.22 ja 3.23 vastaavat tulokset ovat voimassa väheneville alhaalta rajoitetuille lukujonoille.
Esimerkki 3.13. Olkoon
𝑥𝑛 = 1− 1 𝑛
(𝑛∈Z+). Osoitetaan, että lukujono(𝑥𝑛)suppenee.
1o: Lukujono (𝑥𝑛) on kasvava, sillä 𝑥𝑛+1−𝑥𝑛 =
1− 1 𝑛+1
− 1− 1
𝑛
= 1 𝑛
− 1
𝑛+1 > 0 kaikilla𝑛∈Z+.
2o: Lukujono (𝑥𝑛) on ylhäältä rajoitettu, sillä 1− 1 𝑛
< 1 kaikilla𝑛 ∈Z+.
Kohdista 1o ja 2o seuraa monotonisten jonojen peruslauseen (lause 3.20) nojalla, että lukujono (𝑥𝑛) suppenee. Lisäksi huomautuksen 3.22 ja esimerkin 2.2 (s. 32) perusteella
𝑛→∞lim
𝑥𝑛 = sup n
1− 1 𝑛
𝑛 ∈Z+
o
= 1.
Esimerkki 3.14. Olkoon𝑥𝑛 =𝑞𝑛 (𝑛 ∈Z+), missä 0 < 𝑞 < 1 (𝑞 ∈ R). Osoitetaan, että
lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 =0
hyödyntämällä lausetta 3.21 (vrt. esimerkki 3.6, s. 46).
1o: Jono(𝑥𝑛) on vähenevä, sillä𝑥𝑛 > 0 ja 𝑥𝑛+1
𝑥𝑛
= 𝑞𝑛+1 𝑞𝑛
= 𝑞 < 1 ∀𝑛 ∈Z+.
2o: Jono(𝑥𝑛) on alhaalta rajoitettu, sillä𝑥𝑛 =𝑞𝑛> 0 kaikilla𝑛 ∈Z+. Kohdista 1oja 2oseuraa lauseen 3.21 nojalla, että on olemassa lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 =𝑥. Edelleen koska
𝑛→∞lim
𝑥𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑥𝑛+1 ja lim
𝑛→∞
𝑥𝑛+1 = lim
𝑛→∞
𝑞·𝑥𝑛 = 𝑞· lim
𝑛→∞
𝑥𝑛, saadaan
𝑥 = 𝑞·𝑥 (0< 𝑞 <1). Siis𝑥 =0, joten
𝑛→∞lim
𝑞𝑛 = 0, kun 0< 𝑞 <1.
Esimerkki 3.15. Olkoon 𝑥𝑛 =
𝑛
∑︁
𝑖=1
1 𝑖2
= 1+ 1
22 + · · · + 1 𝑛2
(𝑛 ∈Z+).
Osoitetaan, että lukujono(𝑥𝑛)suppenee (vrt. esimerkki 3.20, s. 82).
1o: Jono(𝑥𝑛) on kasvava, sillä
𝑥𝑛+1−𝑥𝑛 = 1
(𝑛+1)2 > 0 ∀𝑛∈Z+. 2o: Osoitetaan induktiolla, että
(3.1) 𝑥𝑛 ≤ 2− 1
𝑛
∀𝑛 ∈Z+. Tällöin jono(𝑥𝑛) on ylhäältä rajoitettu.
1. Perusaskel. Kun𝑛=1, niin𝑥𝑛=1 ja epäyhtälön oikea puoli on 2−11 =1, joten epäyhtälö on voimassa.
2. Induktio-oletus:𝑥𝑘 ≤ 2− 1 𝑘
(𝑘 ∈Z+). 3. Induktioväite:𝑥𝑘+1 ≤ 2− 1
𝑘+1.
4. Induktioaskel. Induktio-oletusta käyttämällä saadaan joten induktioväite on tosi.
Kohdista 1– 4 seuraa induktioperiaatteen nojalla, että väite (3.1) on tosi.
Siis kohtien 1oja 2osekä monotonisten jonojen peruslauseen (lause 3.20) nojalla jono(𝑥𝑛)suppenee.
Esimerkki 3.16. Olkoon𝑎 > 0 (𝑎 ∈R). Tarkastellaan sellaista lukujonoa(𝑥𝑛), että 𝑥1 > induktiolla). Täten lukujono (𝑥𝑛)on alhaalta rajoitettu. Lisäksi
𝑥𝑛+1−√
Kohdista 1oja 2oseuraa lauseen 3.21 nojalla, että on olemassa lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 = 𝑥 . Lisäksi kohdan 1oja lauseen 3.11 (s. 51) perusteella
𝑥 ≥ √
𝑎 > 0.
Koska
𝑛→∞lim
𝑥𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑥𝑛+1, saadaan raja-arvojen laskusääntöjä käyttämällä tällöin
𝑥 = 1 2
𝑥+ 𝑎 𝑥
⇔ 2𝑥 = 𝑥2+𝑎 𝑥
⇔ 2𝑥2=𝑥2+𝑎
⇔ 𝑥2=𝑎
⇔ 𝑥 =√ 𝑎 .
Lause 3.25 (Sisäkkäisten välien lause). Olkoon (𝐼𝑛),𝐼𝑛 = [𝑎𝑛, 𝑏𝑛], jono sul-jettuja välejä, joille
(i) [𝑎𝑛+1, 𝑏𝑛+1] ⊆ [𝑎𝑛, 𝑏𝑛] ja (ii) lim
𝑛→∞(𝑏𝑛−𝑎𝑛) =0. Tällöin
∞
Ù
𝑛=1
[𝑎𝑛, 𝑏𝑛]sisältää täsmälleen yhden pisteen.
Todistus. Nyt
𝑎1 ≤ 𝑎𝑛 < 𝑏𝑛 ≤ 𝑏1 ∀𝑛 ∈Z+,
joten lukujono (𝑎𝑛)on ylhäältä rajoitettu ja jono (𝑏𝑛)alhaalta rajoitettu. Lisäksi 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1 ja 𝑏𝑛+1 ≤ 𝑏𝑛 ∀𝑛∈Z+,
joten (𝑎𝑛) on kasvava ja (𝑏𝑛) vähenevä. Siis lauseiden 3.20 ja 3.21 perusteella raja-arvot
𝑛→∞lim
𝑎𝑛 = 𝑎 ja lim
𝑛→∞
𝑏𝑛 = 𝑏
ovat olemassa. Näin ollen lauseen 3.15 (s. 55) ja oletuksen (ii) nojalla 𝑏−𝑎 = lim
𝑛→∞
𝑏𝑛− lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞(𝑏𝑛−𝑎𝑛) = 0, joten𝑎 =𝑏. Siis
𝑎𝑛 ≤ 𝑎 = 𝑏 ≤ 𝑏𝑛 ∀𝑛∈Z+, joten
𝑎 ∈
∞
Ù
𝑛=1
[𝑎𝑛, 𝑏𝑛]. Täten ainakin piste𝑎 kuuluu leikkaukseen.
Oletetaan nyt, että𝑥 ≠ 𝑎. Merkitään𝜀 =|𝑥−𝑎| > 0. Tällöin𝑥 ∉U𝜀(𝑎). Koska
𝑛→∞lim
𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑏𝑛 = 𝑎,
niin huomautuksen 3.3 (s. 43) nojalla on olemassa sellainen𝑛𝜀 ∈Z+, että 𝑎𝑛, 𝑏𝑛∈U𝜀(𝑎) ∀𝑛 > 𝑛𝜀.
Koska𝑥∉U𝜀(𝑎), niin𝑥 ∉ [𝑎𝑛, 𝑏𝑛], kun𝑛 > 𝑛𝜀. Siis 𝑥 ∉
∞
Ù
𝑛=1
[𝑎𝑛, 𝑏𝑛], joten
∞
Ù
𝑛=1
[𝑎𝑛, 𝑏𝑛] = {𝑎}.
Lause 3.26 (Bolzanon–Weierstrassin lause). Rajoitetulla lukujonolla on sup-peneva osajono.
Todistus. Olkoon (𝑥𝑛) jokin rajoitettu jono. Tällöin on olemassa väli𝐼1 = [𝑎1, 𝑏1], joka sisältää kaikki jonon(𝑥𝑛)pisteet. Olkoon
𝑐1 = 𝑎1+𝑏1 2
välin𝐼1keskipiste. Tällöin ainakin toinen väleistä[𝑎1, 𝑐1]ja [𝑐1, 𝑏1]sisältää ääret-tömän monta jonon(𝑥𝑛) alkiota. Merkitään sitä 𝐼2 = [𝑎2, 𝑏2]. Jos molemmat välit sisältävät äärettömän monta jonon(𝑥𝑛)alkiota, valitaan𝐼2 =[𝑎1, 𝑐1].
Jatketaan menettelyä siten, että jos
𝑐𝑘 = 𝑎𝑘 +𝑏𝑘 2
on välin 𝐼𝑘 keskipiste, niin valitaan väleistä [𝑎𝑘, 𝑐𝑘] ja [𝑐𝑘, 𝑏𝑘] se, kumpi sisältää äärettömän monta lukujonon (𝑥𝑛) alkiota, ja merkitään sitä 𝐼𝑘+1 = [𝑎𝑘+1, 𝑏𝑘+1].
Jos molemmat välit sisältävät äärettömän monta lukujonon (𝑥𝑛) alkiota, valitaan 𝐼𝑘+1= [𝑎𝑘, 𝑐𝑘].
Näin saadaan jono (𝑘 =1,2, . . .) suljettuja välejä 𝐼𝑘 = [𝑎𝑘, 𝑏𝑘], joille𝐼𝑘+1 ⊆ 𝐼𝑘. Edelleen välin pituus
𝑏𝑘 −𝑎𝑘 = 𝑏𝑘−1−𝑎𝑘−1
2 = · · · = 𝑏1−𝑎1
2𝑘−1 → 0, kun𝑘 → ∞. Siis sisäkkäisten välien lauseen nojalla on olemassa sellainen𝑎 ∈R, että
∞
Ù
𝑘=1
[𝑎𝑘, 𝑏𝑘] = {𝑎}. Olkoon nyt𝑥𝑛
1 jokin jonon(𝑥𝑛)alkio, jolloin𝑥𝑛
1 ∈ 𝐼1. Valitaan (järjestyksessä) jonon(𝑥𝑛)alkiot𝑥𝑛
2,𝑥𝑛
3, . . . siten, että 𝑥𝑛
𝑘 ∈𝐼𝑘 ja 𝑛𝑘 > 𝑛𝑘−1. Kukin alkio𝑥𝑛
𝑘 voidaan valita, sillä väli 𝐼𝑘 sisältää äärettömän monta jonon (𝑥𝑛) alkiota ja kussakin valintatilanteessa on siihen mennessä valittu vain äärellinen määrä alkioita. Jono (𝑥𝑛
𝑘) on nyt jonon (𝑥𝑛) osajono. Lisäksi𝑎, 𝑥𝑛
𝑘 ∈ 𝐼𝑘 kaikilla 𝑘 ∈ Z+, joten
|𝑥𝑛
𝑘 −𝑎| ≤ 𝑏𝑘−𝑎𝑘 → 0, kun𝑘 → ∞. Siis osajono(𝑥𝑛
𝑘) suppenee (kohti raja-arvoa𝑎).
Harjoitustehtäviä
3.4.1. Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jos (𝑥𝑛) ja (𝑦𝑛) ovat kasvavia lukujonoja, niin myös lukujono (a)(𝑥𝑛+𝑦𝑛), (b)(𝑥𝑛𝑦𝑛)on kasvava.
3.4.2. Olkoon lukujono(𝑥𝑛)kasvava. Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodek-si, että jos
(a) 𝑦𝑛=𝑥𝑛+𝑥𝑛+1, (b) 𝑦𝑛=𝑥𝑛𝑥𝑛+1 (𝑛 ∈Z+), niin myös lukujono(𝑦𝑛) on kasvava.
3.4.3. Olkoon
𝑥𝑛 =𝑛2−8𝑛 (𝑛∈Z+).
Tutki, onko olemassa sellaista lukua 𝑘 ∈ Z+, että lukujono 𝑥𝑘, 𝑥𝑘+1, 𝑥𝑘+2, . . . on kasvava.
3.4.4. Olkoon (𝑥𝑛) sellainen lukujono, että
𝑥𝑛 >0 ∀𝑛 ∈Z+ ja lim
𝑛→∞
𝑥𝑛=0. Osoita, että lukujonolla(𝑥𝑛)on aidosti monotoninen osajono.
3.4.5. Anna esimerkki suppenevasta lukujonosta, joka ei ole monotoninen.
3.4.6. Olkoon
𝑥𝑛= 4𝑛−1 𝑛
(𝑛 ∈Z+).
Osoita monotonisten jonojen peruslausetta käyttäen, että lukujono(𝑥𝑛) suppenee.
3.4.7. Olkoon
𝑥𝑛 =
𝑛
∑︁
𝑘=1
1 3𝑘 +𝑘
(𝑛∈Z+). Osoita, että lukujono(𝑥𝑛) suppenee.
3.4.8. Oletetaan, että lukujono (𝑥𝑛) on vähenevä, lukujono (𝑦𝑛) on kasvava ja 𝑦𝑛 ≤ 𝑥𝑛kaikilla𝑛 ∈Z+. Osoita, että lukujonot(𝑥𝑛)ja (𝑦𝑛) suppenevat.
3.4.9. Olkoon (𝑥𝑛)kasvava ja (𝑦𝑛) suppeneva lukujono. Oletetaan lisäksi, että on olemassa sellainen 𝑛0 ∈ Z+, että 𝑥𝑛 ≤ 𝑦𝑛 kaikilla 𝑛 ≥ 𝑛0. Osoita täsmällisesti perustellen, että lukujono(𝑥𝑛)suppenee.
3.4.10. Olkoon (𝑥𝑛) sellainen kasvava lukujono, että sen osajono (𝑥5𝑛) suppenee.
Osoita täsmällisesti perustellen, että lukujono (𝑥𝑛) suppenee.
3.4.11. Joukko𝑆 ⊆ Ronavoin, jos jokaista joukon𝑆pistettä 𝑠kohti on olemassa sellainen postiiviluku𝜀 > 0, että
U𝜀(𝑠) ⊆ 𝑆 .
Osoita täsmällisesti perustellen, että jos(𝑥𝑛)on aidosti kasvava ja ylhäältä rajoitettu lukujono ja
𝐴 = {𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, . . .}, niin joukkoR\𝐴ei ole avoin.
3.4.12. Osoita käyttämättä täydellisyysaksioomaa, että jos kasvava ja ylhäältä rajoi-tettu lukujono (𝑥𝑛) suppenee, niin joukolla
𝐴={𝑥𝑛 | 𝑛∈Z+} on pienin yläraja (eli on olemassa sup𝐴).
3.4.13. Olkoon 𝐴 ⊂ R+jokin epätyhjä ylhäältä rajoitettu joukko ja 𝑚𝑛=min{𝑚 ∈Z+ | 𝑚·10−𝑛on joukon 𝐴yläraja} (𝑛 ∈Z+). Osoita, että lukujono(𝑥𝑛) suppenee, kun𝑥𝑛 =𝑚𝑛10−𝑛.
3.4.14. Olkoon (𝑥𝑛) tehtävän 3.4.13 lukujono. Osoita, että lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 =sup𝐴. 3.4.15. Olkoon𝑥1=1 ja
𝑥𝑛+1=√︁
7𝑥𝑛+8 ∀𝑛 ∈Z+.
Osoita, että lukujono(𝑥𝑛)on kasvava jono, joka suppenee. Mikä on kyseisen jonon raja-arvo?
3.4.16. Olkoon𝑥1=11 ja
𝑥𝑛+1=√︁
2𝑥𝑛+3 ∀𝑛 ∈Z+.
Osoita, että lukujono(𝑥𝑛)on vähenevä jono, joka suppenee. Mikä on kyseisen jonon raja-arvo?
3.4.17. Olkoon𝑥1=1 ja
𝑥𝑛+1 = 3𝑥𝑛 1+𝑥𝑛
∀𝑛∈Z+. Osoita, että lukujono(𝑥𝑛) suppenee ja määritä lim
𝑥→∞
𝑥𝑛. 3.4.18. Olkoon
𝑥𝑛 = cos(𝑛2+1) +sin(𝑛2−1) (𝑛 ∈Z+). Osoita, että lukujonolla(𝑥𝑛)on suppeneva osajono.
3.4.19. Olkoon𝜋 =3,𝑥1𝑥2𝑥3. . . luvun𝜋 desimaaliesitys ja 𝑦𝑛 = 𝑥𝑛+cos(𝑛+𝑥𝑛) ∀𝑛 ∈Z+. Osoita, että lukujonolla(𝑦𝑛)on suppeneva osajono.
3.4.20. Osoita, että lukujonolla (𝑥𝑛) on suppeneva osajono sekä muodostamalla jokin lukujonon (𝑥𝑛) suppeneva osajono että käyttämällä Bolzanon–Weierstrassin lausetta, kun
(a) 𝑥𝑛 =1+ (−1)𝑛, (b) 𝑥𝑛 = 𝑛+1
𝑛+2 + (−1)𝑛 𝑛 2𝑛+1, (c) 𝑥𝑛 =sin𝑛𝜋
2 , (d) 𝑥𝑛 = 𝑛+1 𝑛+2
sin2𝜋𝑛
3 +cos2𝜋𝑛 3
.
∗ 3.5 Luvun e määrittely
Tutkitaan sitten luvun 𝑒 määrittelyä. Osoitetaan ensin, että lauseen 3.27 lukujonot suppenevat kohti samaa raja-arvoa.
Lause 3.27. Olkoot
Todistus. Jaetaan todistus kolmeen osaan.
(i) Osoitetaan ensin, että lukujono(𝑦𝑛)suppenee.
1o: Jono(𝑦𝑛)on kasvava, sillä
Kohdista 1oja 2oseuraa monotonisten jonojen peruslauseen (lause 3.20) nojalla, että lukujono(𝑦𝑛)suppenee eli on olemassa lim
𝑛→∞
𝑦𝑛 =𝑦. (ii) Osoitetaan toiseksi, että lukujono(𝑥𝑛)suppenee.
1o: Induktiolla voidaan osoittaa, että kun𝑛 ≥ 2 (𝑛 ∈Z), niin
(harjoitustehtävä). Jos siis𝑛 ≥ 2, niin
2o: Jono (𝑥𝑛) on ylhäältä rajoitettu, sillä binomikaavan (esimerkki 1.16, s. 11) nojalla
Kohdista 1oja 2oseuraa monotonisten jonojen peruslauseen (lause 3.20) nojalla, että lukujono(𝑥𝑛)suppenee eli on olemassa lim
𝑛→∞
𝑥𝑛=𝑥.
(iii) Osoitetaan lopuksi, että𝑥 =𝑦.
Kohdan (ii) perusteella 𝑥𝑛 ≤ 𝑦𝑛 kaikilla 𝑛 ∈ Z+, joten kohtien (i) ja (ii) raja-arvotulosten sekä seurauksen 3.16 (s. 57) nojalla
𝑥 ≤ 𝑦 .
Tällöin𝑧𝑛on termistä𝑥𝑛kohdassa (ii) binomikaavan avulla saadun summalausekkeen osasumma (jos𝑛 ≥ 𝑘). Lukujonoille (𝑧𝑛)ja(𝑥𝑛)saadaan nyt seuraavat tulokset.
Täten kohtien 1o–3oja seurauksen 3.16 (s. 57) nojalla
(3.2) 𝑦𝑘 ≤ 𝑥 .
Koska luku𝑘 >1 oli mielivaltainen, epäyhtälö (3.2) pätee kaikilla𝑘 > 1. Lisäksi kohdan (i) nojalla
lim
𝑘→∞
𝑦𝑘 = 𝑦, joten lauseen 3.11 (s. 51) perusteella
𝑦 ≤ 𝑥 .
Siis𝑥 ≤ 𝑦ja𝑦 ≤ 𝑥, joten𝑥 =𝑦.
Huomautus 3.28. Lauseessa 3.27 esiintyvää raja-arvoa sanotaanNeperin lu-vuksija merkitään kirjaimella𝑒.
Huomautus 3.29. Luvun𝑒likiarvon laskemiseksi saadaan epäyhtälöt
Todistus. Vasen epäyhtälö seuraa lauseen 3.27 todistuksen kohdasta (ii). Oikeanpuo-leisen epäyhtälön todistamiseksi merkitään
𝑤𝑛 =
Lisäksi lukujono (𝑤𝑛)on vähenevä, sillä jos𝑛 >1, niin Bernoullin epäyhtälön (ks.
esimerkki 1.5, s. 6) nojalla 𝑤𝑛−1
Esimerkki 3.17. Osoitetaan, että
Esimerkki 3.18. Koska suppenevan lukujonon jokainen osajono suppenee kohti alkuperäisen lukujonon raja-arvoa (lause 3.5, s. 49), niin
𝑛→∞lim
3.5.3. Määritä tai osoita, että lukujono hajaantuu.
3.5.7. Määritä
3.5.10. Osoita tehtävän 3.5.9 epäyhtälöiden avulla, että𝑒ei ole rationaaliluku.
Vihje: Tee vastaoletus, että𝑒on rationaaliluku. Tällöin𝑛!𝑒on kokonaisluku, kun𝑛 on riittävän suuri. Kerro sitten epäyhtälöt puolittain𝑛!:lla.