Esitetään seuraavaksi muutamia funktion raja-arvon perusominaisuuksia.
Lause 4.7. Mikäli funktion raja-arvo on olemassa, se on yksikäsitteinen.
Todistus. Harjoitustehtävä (vrt. vastaava lukujonoja koskeva lause).
Lause 4.8. Olkoon lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐴. Jos tällöin on olemassa sellainen𝛿𝑀 > 0, että
𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 ∀𝑥 ∈U0𝛿
𝑀(𝑎), niin 𝐴 ≤ 𝑀, ja jos on olemassa sellainen𝛿𝑚 >0, että
𝑓(𝑥) ≥ 𝑚 ∀𝑥 ∈U0𝛿
𝑚(𝑎), niin 𝐴 ≥ 𝑚.
Todistus. Harjoitustehtävä (vrt. vastaava lukujonoja koskeva lause).
Lause 4.9. Jos
𝑥→𝑎lim
𝑓(𝑥) = 𝐴,
niin jokaista positiivilukua𝜀 >0kohti on olemassa sellainen𝛿 >0, että
|𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥2) | < 𝜀 aina, kun𝑥1, 𝑥2 ∈U0𝛿(𝑎). Todistus. Harjoitustehtävä.
Huomautus. Lausetta 4.9 voidaan käyttää sen osoittamiseen, että funktiolla 𝑓 ei ole raja-arvoa pisteessä𝑎.
Esimerkki 4.10. Osoitetaan, että funktiolla 𝑓(𝑥) =
(3, kun𝑥 ≥ 1,
−1, kun𝑥 <1, ei ole raja-arvoa pisteessä𝑥 =1.
Olkoon 𝜀 = 2. Valitaan mielivaltainen 𝛿 > 0. Tällöin on olemassa sellainen 𝑥1 ∈ U0𝛿(1), että 𝑓(𝑥1) = −1 (esimerkiksi𝑥1 = 1−𝛿/2), ja sellainen 𝑥2 ∈ U0𝛿(1), että 𝑓(𝑥2) =3 (esimerkiksi𝑥2 =1+𝛿/2). Siis
|𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥2) | = | (−1) −3| = |−4| = 4 > 2 = 𝜀 . Täten lauseen 4.9 nojalla funktiolla 𝑓 ei ole raja-arvoa pisteessä𝑥=1.
-0.15 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.15
-1 -0.5 0.5 1
Kuva 4.2.Funktion sin1𝑥 (𝑥≠0) kuvaaja välillä
−21𝜋, 1
2𝜋
.
Esimerkki 4.11. Osoitetaan, että funktiolla 𝑓(𝑥) = sin1
𝑥
(𝑥 ≠ 0) ei ole raja-arvoa pisteessä𝑥 =0.
Valitaan𝜀 = 1
2, ja osoitetaan, että jokaisessa pisteen 𝑥 =0 puhkaistussa ympä-ristössä on piste𝑥1, jolle 𝑓(𝑥1) =0, ja piste𝑥2, jolle 𝑓(𝑥2)=1. Tällöin lauseen 4.9 nojalla funktiolla 𝑓 ei voi olla raja-arvoa pisteessä𝑥 =0.
Olkoon siis𝛿 >0. Valitaan𝑘 = 1
2𝜋 𝛿
+1, ja merkitään
𝑥1 = 1
𝑘·2𝜋
ja 𝑥2 = 1
𝜋
2 +𝑘·2𝜋 . Tällöin
𝑓(𝑥1) = sin(𝑘2𝜋) = 0 ja
𝑓(𝑥2) = sin 𝜋2 +𝑘2𝜋
= 1. Lisäksi𝑥1> 0 ja𝑥2 > 0. Koska
𝑘 > 1 2𝜋 𝛿
, niin
𝑥1 = 1 𝑘2𝜋
< 𝛿 ja 𝑥2 = 1
𝜋
2 +𝑘2𝜋
<
1 𝑘2𝜋
< 𝛿.
Täten
𝑥1 ∈U0𝛿(0) ja 𝑥2∈U0𝛿(0). Siis
∀𝛿 >0 : ∃𝑥1, 𝑥2 ∈U0𝛿(0): |𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥2) | =1,
joten lauseen 4.9 nojalla funktiolla 𝑓 ei voi olla raja-arvoa pisteessä𝑥=0.
Lause 4.10. Jos raja-arvo lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)on olemassa, niin on olemassa sellainen 𝛿 >0, että 𝑓 on rajoitettu puhkaistussa ympäristössäU0𝛿(𝑎).
Todistus. Harjoitustehtävä (vrt. vastaava lukujonoja koskeva lause).
Lause 4.11. Olkoon lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)= 𝐴. Jos 𝐴 > 0, niin on olemassa sellainen 𝛿 >0, että
𝑓(𝑥) > 0 ∀𝑥 ∈U0𝛿(𝑎), ja jos 𝐴 < 0, niin on olemassa sellainen𝛿 >0, että
𝑓(𝑥) < 0 ∀𝑥 ∈U0𝛿(𝑎).
Todistus. Todistetaan tapaus 𝐴 >0 (tapaus 𝐴 < 0 vastaavasti). Merkitään
𝐾 = 𝐴
2.
Koska𝐾 >0, niin funktion raja-arvon määritelmän nojalla (huomautus 4.1, s. 88) on olemassa sellainen𝛿 >0, että
𝑓(𝑥) ∈U𝐾(𝐴) ∀𝑥 ∈U0𝛿(𝑎). Siis
𝑓(𝑥) > 𝐴−𝐾 = 𝐴− 𝐴 2 = 𝐴
2 > 0 ∀𝑥 ∈U0𝛿(𝑎).
Seuraus 4.12. Olkoon lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐴. Jos 𝐴 ≠ 0, niin on olemassa sellainen 𝛿 >0, että
|𝑓(𝑥) | ≥ |𝐴|
2 ∀𝑥 ∈U0𝛿(𝑎). Todistus. Harjoitustehtävä.
Seuraavaa lausetta käyttäen voidaan monet lukujonojen raja-arvoja koskevat tulokset muuttaa vastaaviksi funktion raja-arvoja koskeviksi tuloksiksi. Lauseessa oletetaan tietysti, että lukujonon(𝑥𝑛)termit kuuluvat funktion 𝑓 määrittelyalueeseen.
Muutenhan ei voitaisi puhua funktion arvosta pisteessä𝑥𝑛.
Lause 4.13 (Lukujonon ja funktion raja-arvojen yhteys). Funktiolla 𝑓 on pisteessä𝑎raja-arvo
𝑥→𝑎lim
𝑓(𝑥) = 𝐴, jos ja vain jos
lim
𝑛→∞
𝑓(𝑥𝑛) = 𝐴
aina, kun(𝑥𝑛)on sellainen lukujono, että𝑥𝑛≠ 𝑎kaikilla𝑛 ∈Z+ja lim
𝑛→∞
𝑥𝑛=𝑎.
Todistus. Oletetaan ensin, että lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐴 ja (𝑥𝑛) on sellainen lukujono, että 𝑥𝑛 ≠ 𝑎 kaikilla 𝑛 ∈ Z+ ja lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 = 𝑎. Valitaan mielivaltainen 𝜀 > 0. Koska
𝑥→𝑎lim
𝑓(𝑥) = 𝐴, niin funktion raja-arvon määritelmän (huomautus 4.1, s. 88) nojalla on olemassa sellainen𝛿 >0, että
|𝑓(𝑥) − 𝐴| < 𝜀 ∀𝑥 ∈U0𝛿(𝑎). Toisaalta lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 = 𝑎 ja𝑥𝑛 ≠ 𝑎, joten lukujonon raja-arvon määritelmän (huomau-tus 3.3, s. 43) nojalla on olemassa sellainen𝑛𝛿 ∈Z+, että
𝑥𝑛∈U0𝛿(𝑎) ∀𝑛 > 𝑛𝛿. Siis
|𝑓(𝑥𝑛) − 𝐴| < 𝜀 ∀𝑛 > 𝑛𝛿, joten lukujonon raja-arvon määritelmän nojalla
lim
𝑛→∞
𝑓(𝑥𝑛)= 𝐴.
Oletetaan sitten, että
lim
𝑛→∞
𝑓(𝑥𝑛) = 𝐴
aina, kun (𝑥𝑛) on sellainen lukujono, että 𝑥𝑛 ≠ 𝑎 kaikilla 𝑛 ∈ Z+ ja lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 = 𝑎. Tehdään vastaoletus, että funktiolla 𝑓 ei ole pisteessä𝑎raja-arvoa tai
𝑥→𝑎lim
𝑓(𝑥) ≠ 𝐴.
Tällöin on olemassa sellainen𝜀 >0, että
∀𝛿 >0 : ∃𝑥 ∈U0𝛿(𝑎) s.e. 𝑓(𝑥) ∉U𝜀(𝐴).
Valitaan nyt luvun 𝛿 arvoja 1/𝑛 (𝑛 = 1,2, . . .) vastaavat luvut𝑥𝑛 ∈ U01/𝑛(𝑎), joille 𝑓(𝑥𝑛) ∉U𝜀(𝐴). Tällöin
𝑥𝑛 ≠𝑎 ja 𝑥𝑛 ∈
𝑎− 1
𝑛, 𝑎+ 1
𝑛
∀𝑛∈Z+. Täten lukujonojen suppiloperiaatteen nojalla lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 =𝑎ja edelleen oletuksen nojalla lim
𝑛→∞
𝑓(𝑥𝑛) = 𝐴.
Kuitenkin 𝑓(𝑥𝑛)∉U𝜀(𝐴)kaikilla𝑛 ∈Z+, joten lim
𝑛→∞
𝑓(𝑥𝑛) ≠ 𝐴,
jos raja-arvo ylipäätään on olemassa. Siis seuraa ristiriita.
Huomautus. Lauseessa 4.13 edellytetään𝑥𝑛 ≠ 𝑎, koska funktiota 𝑓 ei välttä-mättä ole määritelty pisteessä𝑎.
Esimerkkinä lauseen 4.13 käytöstä tarkastellaan funktion raja-arvon laskusään-töjä.
Lause 4.14. Olkoon lim
Todistus. Todistetaan kohta (i). Kohdat (ii)–(v) voidaan todistaa vastaavalla tavalla (harjoitustehtävä). Olkoon siis
𝑥→𝑎lim
𝑓(𝑥) = 𝐴 ja lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐵.
Valitaan jokin1sellainen lukujono (𝑥𝑛), että
𝑥→∞lim
𝑥𝑛 = 𝑎 ja 𝑥𝑛≠ 𝑎 ∀𝑛 ∈Z+. Tällöin lauseen 4.13 nojalla myös
lim
𝑛→∞
𝑓(𝑥𝑛) = 𝐴 ja lim
𝑛→∞
𝑔(𝑥𝑛) = 𝐵, joten lauseen 3.15 (s. 55) nojalla
𝑛→∞lim
𝑓(𝑥𝑛) +𝑔(𝑥𝑛)
= 𝐴+𝐵.
Siis lauseen 4.13 nojalla lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) +𝑔(𝑥)
= 𝐴+𝐵.
Esimerkki 4.12. Esimerkin 4.2 (s. 89) perusteella
lim
𝑥→𝑥0
𝑥 = 𝑥0, joten lauseen 4.14 nojalla
𝑥→𝑥lim0
𝑥𝑛 = 𝑥𝑛
0
kaikilla𝑥0∈Rja kaikilla𝑛 ∈Z+.
Esimerkki 4.13. Jos 𝑝(𝑥)on polynomi𝑎𝑛𝑥𝑛+ · · · +𝑎1𝑥+𝑎0, niin esimerkeistä 4.1 (s. 89) ja 4.12 seuraa lauseen 4.14 perusteella, että
lim
𝑥→𝑥0
𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑥0) kaikilla𝑥0∈R.
1Tällaisia lukujonoja on olemassa, esimerkiksi𝑥𝑛=𝑎+ 1𝑛.
Esimerkki 4.14. Määritetään Esimerkin 4.13 ja lauseen 4.14 perusteella
𝑓(𝑥) = (𝑥−1) (𝑥+2)
(𝑥−1) (𝑥+3) = 𝑥+2
𝑥+3 → 1+2 1+3 = 3
4, kun𝑥→ 1. Suppiloperiaate on voimassa myös funktioiden raja-arvoille.
Lause 4.15 (Suppiloperiaate). Olkoon lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐴. Jos on olemassa sellainen𝛿 >0, että
𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ∀𝑥 ∈U0𝛿(𝑎), niin
lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) = 𝐴.
Todistus. Harjoitustehtävä (vrt. vastaava lukujonoja koskeva lause).
Esimerkki 4.15. Osoitetaan, että
𝑥→lim0
sin𝑥 𝑥
= 1. Palautetaan ensin mieleen trigonometriasta kaava (4.5) |sin𝑥| ≤ |𝑥| ≤ |tan𝑥| ∀𝑥 ∈ Osoitetaan sitten aputuloksena, että
cos𝑥 ≤ sin𝑥
ja edelleen
Koska tarkasteltavassa alueessa cos𝑥 >0 ja sin𝑥 sekä𝑥ovat molemmat yhtäaikai-sesti joko positiivisia tai negatiivisia, niin
cos𝑥 ≤ sin𝑥 𝑥
≤ 1 ∀𝑥 ∈U0𝜋
2(0).
Koska vakiofunktion raja-arvo on kyseinen vakio (esimerkki 4.1, s. 89) ja esi-merkin 4.9 (s. 93) perusteella
𝑥→0limcos𝑥 = cos 0 = 1, niin suppiloperiaatteen (lause 4.15) nojalla
𝑥→0lim sin𝑥
𝑥
= 1.
Esimerkki 4.16. Lauseen 4.14 sekä esimerkkien 4.1 (s. 89), 4.9 (s. 93) ja 4.15 perusteella Tarkastellaan vielä yhdistetyn funktion raja-arvoa.
Lause 4.16. Olkoon
Todistus. Valitaan mielivaltainen𝜀 >0. Koska lim
𝑦→𝑏
𝑔(𝑦) = 𝑔(𝑏) = 𝐴,
niin funktion raja-arvon määritelmän nojalla on olemassa sellainen𝛿1> 0, että
|𝑔(𝑦) −𝐴| < 𝜀 aina, kun 0 ≤ |𝑦−𝑏| < 𝛿1. Koska
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑏, on lisäksi olemassa sellainen𝛿2 >0, että
|𝑓(𝑥) −𝑏| < 𝛿1 aina, kun 0 < |𝑥−𝑎| < 𝛿2. Siis
| (𝑔◦ 𝑓) (𝑥) − 𝐴| = |𝑔(𝑓(𝑥)) − 𝐴| < 𝜀 aina, kun 0 < |𝑥−𝑎| < 𝛿2, joten funktion raja-arvon määritelmän perusteella
𝑥→𝑎lim(𝑔◦ 𝑓) (𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝐴.
Huomautus. Yhdistetyn funktion𝑔◦ 𝑓 raja-arvon olemassaoloon ei riitä pel-kästään funktioiden 𝑓 ja𝑔raja-arvojen olemassaolo, sillä on mahdollista, että jokaisessa pisteen 𝑎 puhkaistussa ympäristössä on piste 𝑥, jolle 𝑓(𝑥) = 𝑏 (ja piste 𝑥0, jolle 𝑓(𝑥0) ≠ 𝑏). Lauseessa 4.16 asia on ratkaistu olettamalla, että funktio𝑔on määritelty pisteessä𝑏ja𝑔(𝑏) = 𝐴.1
Toinen mahdollisuus on olettaa, että 𝑓(𝑥) ≠ 𝑏jossakin pisteen 𝑎 puhkaistussa ympäristössä. Tällöin ei tarvitse olettaa, että𝑔on määritelty pisteessä𝑏.
Lause 4.17. Olkoon
lim
𝑦→𝑏
𝑔(𝑦) = 𝐴 ja lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑏 . Oletetaan lisäksi, että on olemassa sellainen𝛿 >0, että
𝑓(𝑥) ≠ 𝑏 ∀𝑥 ∈U0𝛿(𝑎). Tällöin
lim
𝑥→𝑎
(𝑔◦ 𝑓) (𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝐴.
Todistus. Harjoitustehtävä.
Ennen esimerkkejä 4.17 ja 4.18 palautetaan mieleen komplementtikulman sinin ja kosinin kaavat
(4.6) sin 𝜋2 −𝑥
= cos𝑥 ja cos 𝜋2 −𝑥
= sin𝑥 kaikilla𝑥 ∈R.
Esimerkki 4.17. Osoitetaan yhdistetyn funktion raja-arvoa käyttämällä, että
𝑥→𝑎limcos𝑥 = cos𝑎 kaikilla𝑎 ∈R(vrt. esimerkki 4.9, s. 93).
Esimerkin 4.9 (s. 93) nojalla lim
𝑦→𝑏
sin𝑦 = sin𝑏 kaikilla𝑏 ∈R, ja esimerkin 4.13 (s. 101) perusteella
lim
𝑥→𝑎 𝜋 2 −𝑥
= 𝜋
2 −𝑎 kaikilla𝑎 ∈R. Täten ehdon (4.6) ja lauseen 4.16 nojalla
lim
𝑥→𝑎
cos𝑥 = lim
𝑥→𝑎
sin 𝜋2 −𝑥
= sin 𝜋2 −𝑎
= cos𝑎 kaikilla𝑎 ∈R.
1Luvun 5 termejä käyttäen funktio𝑔on jatkuva pisteessä𝑏.
Esimerkki 4.18. Määritetään
käyttämällä yhdistetyn funktion raja-arvoa ja sopivia trigonometrisia kaavoja.
Funktion raja-arvon laskusääntöjen (lause 4.14, s. 101) ja esimerkin 4.15 (s. 102) perusteella
𝑦→0lim− 𝑦 sin𝑦
= −1, ja esimerkin 4.13 (s. 101) perusteella
𝑥→lim𝜋2 Täten ehdon (4.6) ja lauseen 4.17 nojalla
𝑥→lim𝜋2
Esimerkki 4.19. Tutkitaan yhdistetyn funktion𝑔◦ 𝑓 raja-arvon olemassaoloa pis-teessä𝑥 =1, kun Helposti havaitaan (totea), että
𝑥→1lim
𝑓(𝑥) = 2 ja lim
𝑦→2
𝑔(𝑦) = 4.
Jokaisessa pisteen 1 puhkaistussa ympäristössä on nyt pisteen 1 vasemmalla puolella piste𝑥1, jolle 𝑓(𝑥1) ≠2, ja pisteen 1 oikealla puolella piste𝑥2, jolle 𝑓(𝑥2) =2. Täten jokaisessa pisteen 1 puhkaistussa ympäristössä on piste𝑥1, jolle (𝑔◦ 𝑓) (𝑥1) = 4, ja piste𝑥2, jolle (𝑔◦ 𝑓) (𝑥2) =0. Siis yhdistetyllä funktiolla𝑔◦ 𝑓 ei ole raja-arvoa pisteessä𝑥 =1 (lause 4.9, s. 97).
Jos funktion𝑔sijasta tarkastellaan funktiota ℎ(𝑦) = 4 ∀𝑦 ∈R, niin
𝑦→2lim
ℎ(𝑦) = ℎ(2) = 4. Tällöin lauseen 4.16 nojalla
𝑥→lim1
(ℎ◦ 𝑓) (𝑥) = lim
𝑥→1
ℎ(𝑓(𝑥)) = 4.
Harjoitustehtäviä
4.2.1. Todista, että jos funktion raja-arvo on olemassa, se on yksikäsitteinen.
4.2.2. Olkoon𝑏 > 0, 𝐼 = ]−𝑏, 𝑏[ ja 𝑓 jokin sellainen välillä 𝐼 määritelty funktio, että lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = 𝐴. Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että (a) jos 𝑓(𝑥) > 0 kaikilla𝑥 ∈ 𝐼\ {0}, niin𝐴 > 0, (b) jos 𝑓(𝑥) ≥0 kaikilla𝑥 ∈ 𝐼\ {0}, niin 𝐴≥ 0.
4.2.3. Todista, että jos lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐴, niin jokaista positiivilukua 𝜀 > 0 kohti on olemassa sellainen𝛿 >0, että
|𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥2) | < 𝜀 aina, kun𝑥1, 𝑥2∈U0𝛿(𝑎). 4.2.4. Osoita täsmällisesti perustellen, että funktiolla
𝑓(𝑥) =
(1, kun𝑥 ≥ 0,
−1, kun𝑥 <0, ei ole raja-arvoa pisteessä𝑥 =0.
4.2.5. Osoita täsmällisesti perustellen, että funktiolla 𝑓(𝑥) =cos 1
3𝑥
(𝑥 ≠0) ei ole raja-arvoa pisteessä𝑥 =0.
4.2.6. Olkoon
𝑓(𝑥) =
(1, kun𝑥 ∈Q, 𝑥 , kun𝑥 ∈R\Q.
Tutki täsmällisesti perustellen, onko funktiolla 𝑓 raja-arvo pisteessä𝑎, kun (a)𝑎=1, (b)𝑎≠ 1.
4.2.7. Todista,että jos raja-arvo lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) on olemassa, niin on olemassa sellainen 𝛿 >0, että 𝑓 on rajoitettu puhkaistussa ympäristössä U0𝛿(𝑎).
4.2.8. Oletetaan, että
𝑥→𝑎lim
𝑓(𝑥) = 2 ja lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 3. Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että
𝑥→𝑎lim
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 6. 4.2.9. Oletetaan, että
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐴 ≠ 0.
Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että
𝑥→𝑎lim 1
𝑓(𝑥) = 1 𝐴 .
4.2.10. Oletetaan, että
𝑥→𝑎lim
𝑓(𝑥) = 𝐴 ≠ 0.
Osoita suoraan funktion raja-arvon määritelmään nojautuen, että lim 4.2.11. Osoita lausetta 4.13 käyttäen, että funktiolla
𝑓(𝑥) = sin1 𝑥
(𝑥 ≠ 0) ei ole raja-arvoa pisteessä𝑥 =0.
4.2.12. Määritä
4.2.16. Olkoon 𝑓 sellainen funktio, että
1 < 𝑓(𝑥) −𝑥 < 3 ∀𝑥 ∈R.