Ajankäännös-operaatio

Ajankäännökset suoritetaan neliulotteisessa aika-avaruudessa, jolloin niiden geometrinen kuvaus on sellainen, jossa kolmiulotteinen avaruus on supistettu kaksiulotteiseksi ja aika on kuvattu kolmante-na ulottuvuutekolmante-na. Aika-avaruuden objekteja (kuten tapahtumia, kappaleita, maailmanlinjoja¹⁶ ja kenttiä) kuvataan tällöin geometrisilla objekteilla (kuten pisteillä, viivoilla ja vektoreilla). Nyt mikä tahansa, jonkin teorian mukainen, prosessi aika-avaruudessa voidaan kuvata kolmiulotteisesti kuvan 3.1 esittämällä tavalla. (Kuvassa 3.1 on kuvattu mahdollisimman yksinkertainen prosessi eli yhden partikkelin maailmanlinja α). Tässä kuvassa ei ole vielä sitouduttu kumpaankaan ajan suuntaan, jolloin partikkelin maailmanlinja α voidaan määrittää antamatta sille kuitenkaan suuntaa. Lisäksi kuvan 3.1 aikaviipaleiden (time slice) järjestystä ei tarvitse vielä määrittää. (Earman 2002, 249–

250.)

16 Maailmanlinjalla tarkoitetaan yhden pisteen piirtämää linjaa aika-avaruudessa. Jotakin kappaletta vastaava maailmanlinja määrittää siis kaikki aika-avaruuden pisteet, jotka tämä kappale kokee historiansa aikana.

Tavallaan se on jonkin persistoivan kappaleen neliulotteinen (aika-avaruudellinen) kuvaus.

Kuva 3.1 (Partikkelin historia, eli maailmanlinja, α ajallisesti ei-suunnistetussa aika-avaruudessa.)

Kun ajan suunta valitaan, niin partikkelin maailmanlinjalle voidaan määrittää suunta, ja aikaviipa-leet voidaan laittaa ajalliseen järjestykseen. Ajan suunnan valinta tapahtuu valitsemalla jompikumpi kahdesta, jatkuvasta, ajankaltaisesta¹⁷ (timelike) vektorikentästä aika-avaruudessa tulevaisuuden suuntaiseksi vektorikentäksi. (Earman, 2002, 249). Ajankaltaisella vektorikentällä tarkoitetaan, että jokaiseen aika-avaruuden (tässä kolmiulotteinen kuvaus) pisteeseen on liitetty ajankaltainen vektori ja että kaikki nämä vektorit osoittavat samaan aikasuuntaan (jos tällainen ajankaltainen vektorikent-tä on olemassa, niin silloin aika-avaruus on ajallisesti suunnistuva¹⁸). Suunnistuvassa aika-avaruudessa ajankaltaisia vektorikenttiä on aina kaksi, joista toinen osoittaa menneisyyden ja toinen tulevaisuuden suunnan. Tässä siis tehdään valinta kahden mahdollisen ajan suunnan välillä, ja mää-ritellään tulevaisuuden suunnaksi toinen näistä vektorikentistä. Halutun ajan suunnan (vektoriken-tän) valinnan jälkeen partikkelin historia β on kuvan 3.2 kaltainen (Earman 2002, 250).

17 Ajankaltaisella vektorilla tarkoitetaan vektoria, jonka alkupiste ja loppupiste ovat kausaalisesti yhdistettä-viä. Ajankaltaisen vektorin on siis pysyttävä sen alkupisteestä lähtevän valokartion sisällä. (Tapahtuman X valokartiolla tarkoitetaan siitä piirrettyjä aika-avaruusdiagrammin kahta kartiota, joiden sivuina toimivat valonsäteet. Toinen kartio osoittaa menneisyyteen ja sisältää siis tapahtumat, joista on kausaalinen yhteys X:ään, ja toinen kartio osoittaa tulevaisuuteen, ja sisältää tapahtumat, joihin X:stä on kausaalinen yhteys.

Yhdessä nämä kartiot muodostavat siis tiimalasin mallisen valokartion tapahtumalle X.) Jos vektori ei pysy valokartion sisällä, niin silloin kyseessä on avaruudenkaltainen (spacelike) vektori, ja sen lähtö- ja päätepis-teiden välillä ei voi olla kausaalista yhteyttä. Myöhemmin tullaan huomaamaan, että keskenään avaruuden-kaltaiset tapahtumat ovat samanaikaisia (ainakin kausaalisen ajanteorian mukaan).

18 Luvussa 3.3 käsitellään tarkemmin ajallista suunnistuvuutta.

Kuva 3.2 (Partikkelin historia β, kun ajan suunta on valittu: aika t kasvaa ylöspäin, ja partikkeli liikkuu va-semmalta oikealle.)

Jill North esittää, että ajankäännös voidaan suorittaa kahdella eri tavalla: standardimuunnoksella ja hänen termiään käyttäen Malamentin muunnoksella (David Malamentin esittämän version mukaan).

(North 2008, 206–208 ja 211–212.) Ajankäännöksen standardimuunnoksessa aika-avaruuden fun-damentaaliset objektit (pois lukien ajan suunta, joka kylläkin voidaan ymmärtää vektorikenttänä) peilataan halutun aikaviipaleen suhteen. Tässä muunnoksessa objektien paikat vaihtuvat paikoista (t, x, y, z) paikkoihin (-t, x, y, z). (North 2008, 210.) Kuvassa 3.3 maailmanlinja β’’ on standardi ajankäännös maailmanlinjasta β. Tässä ajankäännöksessä peilaus on suoritettu aikaviipaleen t=0 suhteen.

Kuva 3.3 (Partikkelin historia β ja sen standardimuunnoksella tuotettu ajankäännös β’’.)

Standardimuunnoksen mukaan teorian lait ovat ajankäännös-invariantteja, jos ne salliessaan kuvan 3.3 historian β sallivat myös historian β’’. Kuvasta 3.3 huomataan, että β’’:n suuntanuolet osoitta-vat ylöspäin. Tämä geometrinen havainnollistus vastaa maailmanlinjan (historian) jokaiseen pistee-seen liitettävän nelinopeuden¹⁹ (four-velocity) kääntämistä toisen suuntaiseksi. Koska nelinopeus on maailmanlinjan pisteen tangentti, niin niitä on aina kaksi yhtä maailmanlinjan pistettä kohden (yksi kumpaankin ajan t suuntaan). Itse asiassa, koska nelinopeudet ovat tangentteja, niin ne voi-daan määritellä vasta kun ajan suunta on kiinnitetty. (North 2008, 211.)

Nelinopeudet eivät siis ole aika-avaruuden fundamentaalisia objekteja, eli ne eivät ole olemassa ajan suunnasta riippumattomina olioina. Tämän vuoksi standardimuunnos ei peilaakaan niitä suo-raan aikaviipaleen yli. Jos se peilaisi nelinopeudet samalla tavalla kuin fundamentaalit objektit, niin kuvan 3.3 historian β’’ nuolet olisivat toisen suuntaiset. Koska niiden suunta kuitenkin riippuu vali-tusta ajan suunnasta, niin nelinopeudet osoittavat aina samaan suuntaan kuin aika t. Kuvasta 3.3 käy hyvin selväksi, etteivät maailmanlinjan β’’ nuolet voisi osoittaa toiseen suuntaan, jos tarkoituksena on esittää β:n historia ajallisesti käännettynä. Koska nelinopeudet kussakin maailmanlinjan pistees-sä kääntyvät standardimuunnoksessa, niin tällöin kääntyvät tietenkin myös kaikki muut

19 Nelinopeudella tarkoitetaan jokaiseen maailmanlinjan pisteeseen liitettävää vektoria, joka kertoo välittö-män (instantaneous) nopeuden neliulotteisessa aika-avaruudessa. Partikkelin nelinopeus tietyssä pisteessä on siis maailmanlinjan pisteen tangentin suuntainen vektori.

det, jotka johtuvat nelinopeuksista. Tällainen ominaisuus on esimerkiksi edellä keskustelun aiheena ollut magneettikenttien suunta. Magneettikenttien suunta muuttuu, koska kaikkien partikkelien – myös sähkölatauksien, jotka synnyttävät magneettikentät – suunta vaihtuu. Kuvasta 3.3 nähdään selkeästi, että β’’:a vastaava partikkeli liikkuu ajankäännöksen jälkeen oikealta vasemmalle, kun β:aa vastaava partikkeli liikkuu vasemmalta oikealle.

Standardimuunnos saattaa vaikuttaa epäluonnolliselta, koska siinä manipuloidaan objekteja, jotka eivät kirjaimellisessa ajankäännöksessä muuttuisi. Malamentin muunnos toimiikin luontevampana vaihtoehtona standardimuunnokselle, sillä siinä objektit säilyvät ennallaan, eikä maailmanlinjojen peilauksia tarvita. Malamentin muunnos (eli kirjaimellinen ajan suunnan käännös) muuttaa kuvan 3.2 tilan tilaksi, joka näyttää kuvalta 3.4 (Earman 2002, 250–251). Tässä ainoat muutokset on tehty ajan suunnalle (se kasvaa nyt alaspäin) ja nelinopeuksille (nuolet ovat muuttaneet suuntaansa). Mi-hinkään fundamentaalisiin objekteihin ei ole koskettu tässä muunnoksessa. Silti nelinopeuksien suunta kääntyy ajan kanssa samansuuntaiseksi, koska edellä huomattiin, että nelinopeudet oli määri-telty vain kun ajan suuntaan oli sitouduttu. Nyt siis ajan suunta käännetään, jolloin myös nelinopeu-det kääntyvät. Nelinopeuksien kääntymisestä johtuen historian β’ nuolet kääntyvät osoittamaan alaspäin (eli samaan suuntaan kuin aika t). Jälleen huomataan, että myös partikkelin liikesuunta on muuttunut ja kulkee oikealta vasemmalle, kuten standardimuunnoksessa tapahtui partikkelille β’’.²⁰ Siis myös Malamentin muunnoksessa esimerkkinä olleet magneettikenttien suunnat kääntyvät, kos-ka sähkölatauksien liikesuunta muuttuu.

20 Huomaa, että aika kulkee nyt alaspäin ja myös nelinopeudet osoittavat alaspäin, joten partikkeli lävistää ensin ylimmän aikaviipaleen, sitten aikaviipaleen t=0 ja vasta viimeisenä alimman aikaviipaleen.

Kuva 3.4 (Malamentin muunnoksella tehty ajankäännös partikkelin historiasta β’. Tässä muunnoksessa ajan suunta on käännetty ja aika t kasvaa alaspäin.)

Havainnollistuksena edellisessä luvussa käsitellystä ajan- ja pariteetinkäännöksestä toimii kuva 3.5.

Ajan- ja pariteetinkäännöksen jälkeen partikkelin historia vastaisi ^Pβ’:a. Tästä kuvasta huomataan, että ^Pβ’ kuvaa historiaa, jossa partikkeli liikkuu samaan suuntaan kuin alkuperäisessä kuvan 3.2 historiassa β (eli vasemmalta oikealle). Täten myöskään sähkölatausten liikesuunta ei muutu, jolloin magneettikentät eivät vaihda suuntaansa. Tämä havainnollistaa Malamentin (2004, 312–314) väitet-tä, että magneettikenttien suunta riippuu ajan suunnan ja avaruuden suunnan (pariteetin) valinnasta, eikä sitä voida määrittää, ennen kuin molempiin on sitouduttu.

Kuva 3.5 (Partikkelin historia ^Pβ’, joka vastaa pariteettikäännöksen läpikäynyttä historiaa β’ (Ks. Kuva 3.4), tai ajan- ja pariteetinkäännöksen läpikäynyttä historiaa β (Ks. Kuva 3.2).)

Ajankäännöksen voi siis suorittaa kahdella eri tavalla, mutta kumpi kahdesta muunnoksesta sitten on parempi? Esimerkiksi North argumentoi Malamentin muunnoksen paremmuuden puolesta. Hän huomauttaa muun muassa, että standardimuunnoksessa täytyy olettaa, että lait toimivat samalla ta-valla kaikkina ajan hetkinä. Mikään tunnettu laki ei ainakaan nykytietämyksen mukaan muutu ajan kuluessa, mutta Malamentin muunnoksessa ei jouduta tekemään tällaista oletusta. Malamentin muunnos toimii myös paremmin indeterminististen teorioiden kanssa, sillä siinä tietty prosessi säi-lyy tiukasti samana prosessina, kun standardimuunnoksessa prosessi on vain samanlainen kuin al-kuperäinen. Tällöin joudutaan olettamaan, että jos prosessin tilat ovat samat, niin ne kehittyvät sa-malla tavalla jatkossakin. Lisäksi Malamentin muunnos toimii yhtä hyvin niin kaarevissa aika-avaruuksissa kuin tasaisissakin. Standardimuunnoksessa meidän täytyy peilata objekteja aikaviipa-leen suhteen, mikä vaatii, että pystymme mittaamaan kaarevassa aika-avaruudessa kaksi keskenään yhtä pitkää matkaa peilaavasta aikaviipaleesta katsoen ja samalla pitämään objektien väliset etäi-syydet ennallaan. Kaarevassa aika-avaruudessa ei voida käyttää suoria linjoja etäisyyksien mittaa-miseen, vaan tällöin on käytettävä geodeettisia linjoja. Geodeettiset linjat voivat kuitenkin esimer-kiksi leikata, jolloin kaksi erillistä peilattavaa pistettä voisi peilautua samaan yhteen pisteeseen.

Northin mukaan tärkein argumentti Malamentin muunnoksen paremmuudesta seuraa siitä, että standardimuunnos muuttaa spatiotemporaalisen kätisyyden²¹ peilattavissa objekteissa.²² Tästä joh-tuen emme voi tietää standardikäännöksen tehtyämme, kumpi aiheutti lain mahdollisen epäinva-rianssin: ajankäännös vai objektien spatiotemporaalisen kätisyyden vaihtuminen. (North 2008, 218–

222.)

Malamentin muunnos saattaa siis vaikuttaa suotavammalta kuin standardimuunnos, mutta on yksi syy, miksi standardimuunnos on pysynyt standardina: sen avulla voidaan aktuaalisesti testata teori-an ajteori-ankäännös-invariteori-anssia. Esimerkiksi Earmteori-an (2002, 250) huomauttaa, että ”emme voi aktuaali-sessa maailmassamme muuttaa ajan suuntaa, tai tarkistaa ajankäännös-invarianssia liikkumalla

21 Kätisyydellä tarkoitetaan sitä, että objekti voi olla muodoltaan sellainen, että sitä ei voi muuttaa peiliku-vakseen normaalein muunnoksin (kiertämällä ja liikuttamalla). Esimerkiksi oikeaa kättä ei voi muuttaa va-semmaksi muuten kuin peilaamisen avulla. Spatiotemporaalisen kätisyyden muuttuessa aika-avaruuden ob-jektista tulee siis oma peilikuvansa.

22 Huomaa, että spatiaalinen kätisyys ei muutu, ja täten spatiotemporaalisen kätisyyden muutos ei vaikuta esimerkiksi magneettikenttien suuntaan. (Ks. Esim. Malament 2004, 311–312 spatiotemporaalisesta paritee-tin muunnoksesta ja magneettikentistä.)

vien 3.2 ja 3.4 maailmojen välillä – ainakaan ilman jotakin taianomaista rakettia, jolla voi matkus-taa metafyysisen tilan halki mahdollisesta maailmasta toiseen.”²³ Jotta siis voidaan saada tietoa teo-rian ajankäännös-invateo-rianssista, niin havainnot on tehtävä joka tapauksessa tietystä ajan suunnasta käsin. Havaintoja tehtäessä voidaan muuttaa partikkelien paikkoja ja niiden nopeuksien suuntia, mutta ajan suuntaa ei voida muuttaa. Standardimuunnos voidaan suorittaa kokeellisesti (ainakin periaatteessa, jos oletetaan, että aika-avaruus ei oleellisesti muutu prosessin ja sen ajankäännös-prosessin havaitsemisen välillä), mutta Malamentin muunnosta ei.