1.1. Joukko-oppi
Merkinnät
x kuuluu joukkoon A eli on joukon A alkio:
x A
x ei kuulu joukkoon A eli ei ole joukon A alkio:
x A
Kaksi joukkoa A ja B ovat samat eli identtiset, jos niissä täsmälleen samat alkiot:
A = B
Tyhjässä joukossa
ei ole yhtään alkiotaE.1. a) 3 N
b) ½ Q, ½ N
E.2. a) {x Z | -2 < x < 3}
= {-1, 0, 1, 2}
b) {x Z | 2 < x < 3}
= ”tyhjä joukko”
1.1.2 Osajoukko ja Venn-diagrammi
Joukko A on joukon B osajoukko, jos jokainen joukon A alkio kuuluu myös joukkoon B
E.3. a) N Z b) {1, 2 , 3} {1, 2, 3, 4 ,5 ,6}
E
4, 5, 6
1, 2, 3
A
E
A B
Venn-diagrammi
A = {1, 2 , 3} E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B A A B
1.1.3 Joukko-opin laskutoimitukset YHDISTE eli UNIONI, A B
=niiden alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon A tai joukkoon B A B = { x E | x A tai x B}
E
A B
E.4. A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 4, 6, 8}
A B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}
Venn-diagrammina: ks. muistiinpanot
E
A B
LEIKKAUS A B
=niiden alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon A ja joukkoon B A B = { x E | x A ja x B}
Jos leikkauksena tyhjä joukko, niin joukot erillisiä
E.5. A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 4, 6, 8}
A B = {2, 4}
Venn-diagrammina: ks. muistiinpanot
x A x B
B
A \ |
x E x A
A
E \ |
E
A
JOUKKO-OPILLINEN EROTUS
KOMPLEMENTTI A = E \ A
E \ A
E.6. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {1, 2, 3} B = {3, 4, 5, 6}
a) A \ B = {1, 2 } B \ A = {4, 5, 6}
b) A = E \ A = {4, 5, 6}
1.1.4. Summaperiaate
Jos A ja B ovat äärellisiä joukkoja, niin
N(A B ) = N(A) + N(B) – N(A B) “lukumäärä”
Erillisille joukoille:
N(A B ) = N(A) + N(B)
E.7. Korttipakasta otetaan hertat ja kympit. Kuinka monta korttia saadaan?
A = {hertat} B = {kympit}
A B = {herttakymppi}
N(A) = 13 N(B) = 4 N(A B) = 1
N(A B ) = N(A) + N(B) – N(A B) = 13 + 4 – 1 = 16
