Stresses caused by granular material in vessels

A’

Kemian tekniikan korkeakoulu Kemian tekniikan tutkinto-ohjelma

Juho Perälä

Rakeisen kiintoaineen aiheuttamat jännitykset säiliöissä

Diplomityö, joka on jätetty opinnäytteenä tarkastettavaksi diplom insinöörin tutkintoa varten Espoossa 3.5.2012.

Valvoja Professori Ville Alopaeus

Ohjaajat Tekniikan tohtori Antti Pyhälahti Tekniikan tohtori Juhani Aittamaa

A Aalto-yliopisto Kemian tekniikan korkeakoulu

Kemian tekniikan korkeakoulu Diplomityön tiivistelmä Kemian tekniikan koulutusohjelma

Tekijä

Juho Perälä

Diplomityön nimi

Rakeisen kiintoaineen aiheuttamat jännitykset säiliöissä

Tiivistelmä

Tämä työ käsittelee rakeisen kiintoaineen aiheuttamia jännityksiä säiliöissä ja työn erityisenä tavoitteena on arvioida rakeisen kiintoaineen tilavuuden kasvaessa syntyviä jännityksiä.

Mallinnettavana tapauksena on käytetty kationinvaihtohartsilla pakattua kiintokerrosreaktoria.

Kadoninvaihtohartsi turpoaa polaarisen liuottimen vaikutuksesta ja reaktorin kiintokerroksen tilavuus saattaa vaihdella merkittävästi riippuen prosessiolosuhteista. Kationinvaihtohartseja käytetään esimerkiksi öljynjalostuksessa eetteröinti- ja dimerointireaktioiden katalysoimiseen.

Työssä on selvitetty analyyttisiä ja numeerisia malleja, joilla voidaan arvioida turpoamisesta seuraavan jännitystilan suuruutta. Lisäksi työssä on esitetty menetelmiä rakeisen aineen ominaisuuksien määrittämiseen. Työn soveltavassa osassa on arvioitu kationinvaihtohartsin turpoamisen aiheuttamia jännityksiä kiintokerrosreaktorissa. Ongelmaa on tarkasteltu analyyttisella Janssenin mallilla ja numeerisesti elementtimenetelmän avulla.

Elementtimenetelmämallissa rakeinen aine on kuvattu elastis-plastisella materiaalimallilla. Mallien soveltamiseksi on mitattu erään kaupallisen kationinvaihtohartsin lujuusominaisuuksia.

Kationinvaihtohartsin elastista ja plastista käyttäytymistä tutkittiin suoralla leikkauskokeella, ödometrikokeella ja kolmiaksiaalisella kokeella.

Työn tuloksien perusteella kationinvaihtohartsin turpoaminen voi aiheuttaa merkittäviä jännityksiä, jotka on huomioitava suunniteltaessa ioninvaihtohartsilla pakattuja reaktoreita.

Mallien mukaan suurin jännitystila syntyy lähelle rakeisen aineen pakkauksen pohjaa, ja jännitystilan ylärajan määrittää rakeisen aineen pakkauksen murtuminen. Työssä tunnistettiin tärkeimmät murtumiseen vaikuttavat parametrit ja havaittiin, että murtotilan jännitysten suuruus kasvaa pakkauksen korkeushalkaisijasuhteen, sisäisen kitkakulman, seinämäkitkakertoimen, pakkauksen painon tai painehäviön kasvaessa.

Professuurin nimi

Kemian laitetekniikka

Professuurin koodi

KE-42

Työn valvoja Sivumäärä

Professori Ville Alopaeus 121 (+ 3)

Työn ohjaajat Kieli

TkT Antti Pyhälahti suomi

TkT Juhani Aittamaa

Avainsanat Päiväys

Rakeinen aine, ioninvaihtohartsi, jännitys, elastis- 3.5.2012 plastisuus, elementtimenetelmä

Як Aalto University .jr School of Chemical Я Technology

School of Chemical Technology Abstract of Master’s Thesis Degree Programme of Chemical Technology

Author

Juho Perälä

Title of Thesis

Stresses caused by granular material in vessels

Abstract

Tliis Masters' thesis discusses the stresses caused by granular material in process vessels. The objective of the thesis is to study and model stresses which are caused by expanding or swelling granular material. Modeled case is a catalytic fixed-bed reactor which is packed with cationic ion- exchange resin. Ion-exchange resin swells due to changes in the polarity of the reactor's liquid feed. Cationic ion-exchange resins are used for example in oil refining as etherification and dimerization catalysts.

Literature part reviews analytical and numerical methods which can be used to model stresses in granular material that is confined in a vessel. Literature part

measuring physical properties of granular materials.

reviews also different methods for

In the applied part stresses caused by swelling granular ion-exchange resin are modeled with analytical Janssen model and numerically with finite element method (FEM). In the FEM-model ion-exchange resin was modeled as elastic-plastic. Physical properties of one commercial ion- exchange resin were measured and used in modeling. Experiments included direct shear test, oedometer test and triaxial test.

Based on the modeling results, swelling can cause significant stresses, which should be taken into account when designing fixed-bed reactors packed with ion exchange resin. Models indicated that the largest stresses are localized at the bottom of the fixed-bed and the magnitude is dictated by the yielding of granular packing. Different factors affecting the stress were also studied. Based on the models stresses at the bottom of the reactor are increased with increasing aspect ratio, internal angle of friction, wall friction, weight of the packing and the pressure drop caused by flow through the bed.

Chair Chair code

Chemical engineering KE-42

Supervisor Pages

Professor Ville Alopaeus 121 (+3)

Instructors Language

D.Sc. (Tech.) Antti Pyhälahti D.Sc. (Tech.) Juhani Aittamaa

Finnish

Keywords Date

Granular material, ion-exchange resin, stress, elastic- plastic, FEM

3.5.2012

Esipuhe

Tämä diplomityö on tehty Neste Jacobs Oy: n Teknologia ja prosessi osaamiskeskuksessa lokakuun 2011 ja maaliskuun 2012 välillä.

Työn aikana saamastani avusta ja tuesta haluan kiittää ohjaajiani Antti Pyhälahtea ja Juhani Aittamaata, joilta sain sekä kannustusta että rakentavia kommentteja työn aikana. Professori Ville Alopaeusta kiitän sekä tähän diplomityöhön saadusta avusta että yliopistolla saamistani opeista. Tämän diplomityön osalta haluan vielä lausua Aalto Yliopiston pohjarakennuksen ja maamekaniikan laboratorion Matti Lojanderille ja Jarmo Vihervuorelle suuren kiitoksen, sillä he olivat suureksi avuksi työhön liittyvien mittausten järjestämisessä.

Koko Neste Jacobsin prosessisuunnittelun ja teknologian väelle kuuluu suuri kiitos mukavasta työskentely-ympäristöstä sekä polveilevien kahvitaukokeskustelujen tarjoamasta vastapainosta.

Suuri kiitos kuuluu tämän kaiken ohella myös Otaniemelle ja siellä tapaamilleni hienoille ihmisille. Nämä opiskeluvuodet ovat olleet todella hienoa ja ehdottoman hauskaa aikaa. Autokoulunopettaja Veikko Sompa ja hänen oppilaansa ansaitsevat erityiskiitoksen avustaan niin loivissa kaarteissa kuin tiukoissa mäkilähdöissä.

Viimeinen kiitos kuuluu vanhemmilleni sekä siskolleni.

Espoossa 24.4.2012

Sisällysluettelo

1 JOHDANTO... 1

KIRJALLISUUSOSA...2

2 RAKEINEN AINE... 3

2.1 Sisäisetjännityksetrakeisessaaineessa...4

2.2 Rakeisenaineensisäinenkitka... 5

2.3 Rankinensivupaineteoria...7

2.3.1 Lepopaine... 7

2.3.2 Aktiivinenja passiivinen sivupaine.... 8

3 RAKEISEN AINEEN OMINAISUUDET JA NIIDEN ARVIOIMINEN...11

3.1 Partikkelikokojarakeisuus... 11

3.2 Tiheysjahuokoisuus...12

3.3 Luonnollinenkaatumiskulma... 13

3.4 Leikkauslujuus... 15

3.5 ÖDOMETRIKOE...17

3.6 Kolmiaksiaaunenkoe... 18

3.7 Partikkelienelastisuudesta... 19

4 RAKEISEN AINEEN SÄILIÖT...21

4.1 Seinämäkitka...22

4.2 Siilojenseinämiinkohdistuvastaattinenpaineja Jansseninmalli...23

4.2.1 Tyhjenemspaine.... 26

4.2.2 Seinämäpaine suppilossa...28

4.3 Käännetty J ansseninmalli... 28

4.4 Virtausrakeisenaineenpakkauksenläpi...31

5 KIINTEÄN JATKUVAN AINEEN MEKANIIKASTA...33

5.1 JÄNNITYS JA VENYMÄ RAKEISESSA AINEESSA... 33

5.2 Elastinenmuodonmuutos... 36

5.3 Epälineaarinenelastisuus... 38

5.4 Elastis-plastinenmuodonmuutos...40

5.4.1 Myötöehto...41

5.4.2 Mohr-Coulomb myötöehto...41

5.4.3 Drucker-Prager myötöehto...42

5.4.4 Suljettu ntyötöpinta...43

5.4.5 Myötösääntö...44

6 ELEMENTTIMENETELMÄ...46

6.1 LASKENTAVERKKO JA DISKRETOINTI... 46

6.3 Ohjelmistot... 49

6.4 DEM Discrete Element Method...50

7 IONINVAIHTOHARTSIT...52

7.1 Kationinvaihtohartsitkatalyyttinä... 52

7.2 Reaktorityypit... 53

7.3 Turpoaminen...55

7.4 IONINVAIHTOHARTSIN SISÄISET JÄNNITYKSET...58

SOVELTAVA OSA...1... 59

8 IONINVAIHTOHARTSIEN LUJUUSOMINAISUUDET... 60

8.1 Näytteidenvalmistaminen...61

8.2 Suoraleikkauskoe... 63

8.3 Portaittainenödometrikoe...65

8.4 KOLMIAKSIAAUNEN KOE... 70

9 IONFVAIHTOHARTSILLA PAKATTU KIINTOKERROSREAKTORI... 75

9.1 Elementtimenetelmänalungeometria...76

9.2 IONINVAIHTOHARTSIN MATERIAAUMALL1... 77

9.3 Seinämäjapohjarakenne... 77

9.4 Seinämäkitka...79

9.5 Virtausvastusjapakkauksenpaino...79

10 PAKKAUS LEPOTILASSA... 81

10.1 Kitkatonseinä... 81

10.2 Kitkallinenseinä... 82

10.3 Täydellinengeometria... 87

11 PAKKAUKSEN TURPOAMISEN AIHEUTTAMA JÄNNITYS... 89

11.1 Kitkatonseinä... 89

11.2 Kitkallinenseinä...91

11.3 Täydellinengeometria... 97

12 PARAMETRIEN HERKKYYSANALYYSI...105

12.1 Käännetty J ansseninmalli ...105

12.2 Elementttmenetelmämalli...108

13 TULOSTEN TARKASTELU JA JOHTOPÄÄTÖKSET... 112

13.1 Ehdotuksetsuunnitteluun...113

13.2 Jatkotutkimusehdotukset... 114

LÄHDELUETTELO...116

LIITTEET...122 LIITE I. MOHR-COULOMB EHDON GRAAFINEN ESITYS

Symboliluettelo

Latinalaiset kirjaimet

A Pinta-ala [m2] KP Sivupainekerroin, passiivinen

b

c Koheesio [Pa] tn Massa Peg];

Cw Seinän adheesio [Pa] Moduuliluku

c

c

D Sisähalkaisija [m] ms Liuottimen massa [g]

DP Partikkelikoko [m] m». Pintakuivan hartsin massa [g]

E Youngin moduuli [Pa] N Lukumäärä

e ^Huokosluku n Koordinaatioluku

E, Tangenttimoduuli [kPa] n N ormaalivektori

Eoed Ödometrimoduuli [Pa] p Keskimääräinen jännitys [Pa]:

F voima [N] Paine [Pa]

f Myötöehto, myötöfunkdo p* Ilmanpaine 1 atm

./des Säiliön suunnittelujännitys [Pa] Pdes Säiliön suunnittelupaine [Pa]

G Plastinen potentiaalifunktio; Pf Fluidin paine [Pa]

Liukumoduuli [Pa] P\ Säiliön sisäinen paine [Pa]

g Putouskiihtyvyys [m/s2]; Я Deviatorinen jännitys [Pa]

Kontaktiparin etäisyys Qo Pintakuorma [Pa]

H Pakkauksen korkeus [m] я у Tilavuusperustainen

h

lu h, J ännitysinvariantit я» Liuottimen sorptio

h, h [g(liuotin) /g(kuiva hartsi)]

K Puristuskerroin [Pa] r Säde [m]

k Drucker-Prager parametri R Säiliön sisäsäde [m]

K0 Sivupainekerroin, lepopaine T Lämpötila [K]

Ka Shaipainekerroin, aktiivinen t seinämävahvuus [mm]

Kj Janssenin vakio u Siirtymävektori

K„ Normaali jousivakio

и, Siirtymä koordinaattiakselin i suunnassa

V Tilavuus [m3]

vo Tyhjäputkivirtausnopeus [m/s]

Vd Kuivan hartsin tilavuus

Kreikkalaiset kirjaimet

a Luonnollinen kaatumiskulma;

Drucker-Prager kitkaparametri ß Jännityseksponentti

Ô Hertzin kontakti, partikkelien yhteinen muodonmuutos [m]

У Tilavuuspaino [N/m3];

Liukuma

Уу Liukuma tasolla ij

£ Venymä, Normaalivenymä Ç Drucker-Prager kitkaparametri еь Pakkauksen huokoisuus

£e Elastinen venymä

£¡i i-suuntainen normaalivenymä

£j Venymä tasolla ij if Plastinen venymä

Eo Alkuvenymävektori Су Tilavuuden muutos в Partikkelin huokoisuus к Drucker-Prager parametri Я Lamén parametri;

Plastinen

Verrannollisuuskerroin [1 /s]

Vf Väliaineen tilavuus [m3]

Vpore Huokostilavuus [cm /g]

Fw Tur\"onneen hartsin tilavuus w Vesipitoisuus [%]

/V Sisäinen kitkakerroin;

dynaaminen viskositeetti [Pa s]

/*»• Seinän kitkakerroin

Ф

Ф,

P Tiheys; matriisitiheys [kg/m ’[

Pb Irtotiheys [kg/m’]

pf Väliaineen tiheys [kg/ m3]

Ps Partikkelitiheys [kg/m3]

Ap ^Tiheysero рь -p/[kg/m3]

a Normaalij ännity^s [Pa]

0\, <У2, Oi Pääjännitykset [Pa]

O Jännitysmatriisi;

Jännitysvektori

(Ta i-suuntainen normaalijännitys

°y Leikkausjännitys tasolla ij 4 Leikkausjännitys tasolla ij T Leikkausjännitys [Pa]

Tw Leikkausjännitys seinällä [Pa]

V Poissonin luku

1 Johdanto

Pienistä kiintoainehiukkasista koostuvaa ainetta kutsutaan rakeiseksi aineeksi.

Rakeinen aine on olennaisesti epäjatkuvaa, mutta tiivisti pakkautuneena se voidaan kuvata jatkuvana elastisena tai elastis-plastisena. Rakeista kiintoainetta käsitellään laajasti prosessiteollisuudessa ja suunniteltaessa rakeisen aineen säiliöitä on huomioitava rakeisen aineen aiheuttamat jännitykset. Tässä työssä tarkastellaan rakeisen aineen käyttäytymistä säiliöissä ja selvitetään laskentamenetelmiä, jotka soveltuvat käytettäväksi rakeisen aiheuttaminen jännitysten arvioimiseen.

Työn erityisenä tavoitteena on tarkastella jännityksiä, jotka voivat syntyä rakeisen aineen laajentuessa säiliössä. Esimerkkitapauksena mallinnetaan kiintokerrosreaktoria, joka on pakattu kationinvaihtohartsilla. Kationinvaihtohartseja käytetään esimerkiksi öljynjalostuksessa eetteröinti- ja dimerointireaktioiden katalysoimiseen ja niiden tilavuus saattaa muuttua reaktorissa prosessin aikana esimerkiksi veden tai muun polaarisen liuottimen vaikutuksesta.

Ongelmaa tarkastellaan analyyttisilla ja numeerisilla malleilla kvalitatiivisesti. Mallien avulla tehdään havaintoja syntyvän jännitystilan muodosta ja suuruusluokasta sekä tunnistetaan jännitystilaan vaikuttavat parametrit. Mallien soveltamiseksi on työn yhteydessä mitatm erään kaupallisen ioninvaihtohartsin lujuusominaisuuksia.

Tuloksien pohjalta tehdään johtopäätöksiä, joita voidaan hyödyntää entistä tehokkaampien ja turvallisempien kiintokerrosreaktoreiden suunnittelussa.

Kirjallisuusosa

Kirjallisuusosa luo yleiskatsauksen rakeisen aineen statiikkaan ja esittää menetelmiä, joilla voidaan arvioida rakeisen aineen ja säiliön seinämän välisiä jännityksiä.

Työn aluksi tarkastellaan sisäisten jännitysten välittymistä rakeisessa aineessa, esitetään rakeisen aineen mekaniikan perusteet ja tarkastellaan malleja, joilla voidaan kuvata säiliöiden sekä siilojen seinämiin kohdistuvia paineita. Säiliöiden ja siilojen suunniteluun kannalta olennaiset rakeisen aineen ominaisuudet käydään läpi ja esitetään menetelmiä ominaisuuksien arvioimiseen.

Rakeisen aineen sisäiset jännitykset aiheutuvat oleellisesti yksittäisten partikkelien välisistä vuorovaikutuksista. Yksittäisten partikkelien vuorovaikutusten tarkasteleminen on kuitenkin mahdollista vain yksinkertaisissa systeemeissä ja tällöinkin tietokoneiden laskentateho asettaa rajoituksen tarkasteltavan systeemin koolle. Todellisten systeemien mallintamiseksi joudutaankin tarkastelemaan rakeista ainetta jatkuvana. Työssä esitetään jatkuvan kiinteän aineen mekaniikan perusteet ja lineaarisen elastisen sekä elastis-plastisen materiaalimallin tärkeimmät osat. Työssä esitellään numeerisia menetelmiä, joita voidaan soveltaa rakeisen aineen ongelmien ratkaisemiseen. Tässä keskitytään elementtimenetelmän soveltamiseen rakeisen aineen mallintamisessa.

Lopuksi käsitellään vahvojen kationinvaihtohartsien käyttämistä katalyyttinä. Tässä yhteydessä tarkastellaan hartsien ominaisuuksia ja erityisesti niiden turpoamista.

Vahvoja kationinvaihtohartseja voidaan käyttää öljynjalostuksessa esimerkiksi happokatalvsoitujen eetteröinti- ja dimerointireaktioiden katalysoimiseen. Työssä esitetään joitakin yleisimmin käytettyjä prosesseja sekä reaktori tyyppejä.

2 Rakeinen aine

Pienistä kiintoainehiukkasista koostuvaa materiaalia kutsutaan yleisesti rakeiseksi aineeksi (eng. granular material). Esimerkiksi pulverit, jauheet sekä karkeammat kiintoaineet, kuten sora tai viljanjyvät luetaan kuuluvaksi rakeisiin aineisiin.

Määritelmä sisältää aineet, joiden yksittäisten partikkelien koko on suurempi kuin 1 pm. Rakeisen aineen hiukkasille ei havaita Brownin liikettä ja ne ovat käytännössä makroskooppisia.

Rakeisen aineen käyttäytyminen on monin tavoin poikkeavaa verrattuna fluideihin ja kiinteään aineeseen. Tiiviisti pakkautuneena rakeinen aine muistuttaa kiinteää ainetta, mutta löyhästi pakattuna se voi virrata kuten fluidi. Kokoonpuristettaessa rakeinen aine käyttäytyy kiinteän aineen tavoin, mutta se kestää vain vähän vetoa. Erityinen rakeisen aineen ominaisuus on sisäinen kitka, joka vastustaa materiaalin leikkausta.

Esimerkiksi Brown ja Richards (1970) sekä Duran (1999) ovat kuvanneet kirjoissaan rakeista ainetta ja sen käyttäytymistä.

Rakeisen aineen käyttäytyminen ja ominaisuudet ovat seurausta yksittäisten partikkelien välisistä vuorovaikutuksista, mutta suurena joukkona ne käyttäytyvät kuten jatkuva aine. Tiiviisti pakattu rakeinen aine voidaan kuvata elastis-plastisena ja sille voidaan määritellä kiinteän aineen tavoin jännitys ja venymä sekä murtuminen.

Prosessiteollisuudessa käsitellään paljon erilaisia jauheita, murskeita sekä granuloituja aineita. Rakeisen aineen käyttäytymisen tunteminen onkin olennaista suunnitellessa kiintoaineen prosessilaitteita, säiliöitä sekä siiloja. Rakeisen aineen statiikan ja kinematiikan perusteet on esitetty Brownin ja Richardsin (1970) kirjassa ja monenlaisia menetelmiä statiikan ja kinematiikan ongelmien ratkaisuun on kuvannut kirjassaan Nedderman (1992).

2.1 Sisäiset jännitykset rakeisessa aineessa

Rakeisen aineen sisäisten jännitysten käyttäytyminen poikkeaa jatkuvan kiinteän aineen käyttäytymisestä. Erityinen käyttäytyminen johtuu materiaalin oleellisesta epäjatkuvuudesta. Rakeisen aineen osaset ovat järjestyneet mielivaltaisesti ja niiden väliset kontaktit aiheuttavat jännityksen epäsäännöllisen jakautumisen. Lisäksi rakeisen aineen osasten välillä vaikuttaa kitka- ja koheesiovoimia. Jännitys välittyy rakeisessa aineessa yksittäisten partikkelien välillä ja muodostaa haarautuvia ketjuja (Kuva 1). Kuvassa havaitaan pystysuoran jännityksen välittyvän vaakasuuntaiseksi ja kohdistuvan kohti materiaalia rajoittavia jäykkiä seiniä.

Kuva 1 Kaksiulotteinen kuvaus jännitysten jakautumisesta rakeisessa aineessa.

(Danni 1957)

Klassisissa teorioissa rakeinen aine kuvataan jatkuvana ja elastisena tai elastis- plastisena kiinteänä aineena. Klassiset teoriat rakeisen aineen sisäisistä jännityksistä ovat peräisin 1800-luvulta ja niiden muotoilemiseen ovat vaikuttaneet etenkin Coulomb ja Rankine. Tärkeimmät klassiset teoriat ovat kappaleessa 2.2 käsiteltävä rakeisen aineen sisäinen kitka ja kappaleessa 2.3 esitettävä Rankinen sivupaineteoria.

Klassisten teorioiden pohjalta on kehitetty' monenlaisia malleja esimerkiksi säiliössä olevan rakeisen aineen statiikasta ja virtauksesta aukon tai suppilon läpi. (Brown, Richards 1970, N edderman 1992). Myös maamekaniikan alalla maaperän jännitystilaa tarkastellaan tavallisesti olettamalla rakeisesta aineesta koostuva maa-aines jatkuvaksi elastiseksi tai elastis-plastiseksi aineeksi. (Selvadurai, Davis 2002)

Rakeisen aineen sisäisten jännitysten jakautumista on pyritty kuvaamaan myös yksittäisten hiukkasten välisten vuorovaikutusten perusteella. Duranin (1999) mukaan lepotilassa olevan rakeisen aineen jännitystila on oleellisesti määrittelemätön, koska partikkelien väliset kontaktit muodostuvat satunnaisesti rakeisen aineen pakkauksen muodostuessa ja kontaktit voivat järjestyä uudelleen ulkoisten voimien vaikutuksesta.

Lisäksi partikkelien väliset kitkavoimat ovat jakautuneet satunnaisesti ja mobilisoituneet epätäydellisestä jolloin kitkavoima voi saada paikallisesti minkä tahansa arvon nollan ja lepokitkan väliltä.

Rakeiselle aineelle on ominaista, että se voi järjestyä ulkoisten olosuhteiden tai voimien vaikutuksesta lukkiutuneeksi systeemiksi. Lukkiutuneessa tilassa rakenne saattaa sietää suuriakin jännityksiä tietyssä suunnassa, mutta jännityksen suuntien muuttuessa rakenne hajoaa helposti (Liu 1998). Lukkiutuminen voi johtaa säiliöissä tai siiloissa virtausongelmiin. Esimerkiksi Cates et. ai (1998) ovat esittäneet hypoteesin rakeisen aineen näennäisestä hauraudesta (eng. fragüe material). Hypoteesin mukaan jännitys välittyy hauraassa aineessa eräänlaisina ketjuina (eng. force chains). Näiden ketjujen suunnassa aine kestää suuria jännityksiä ja käyttäytyy oleellisesti kuin kiinteä.

Ketjut kuitenkin murtuvat helposti, mikäli jännitystila muuttuu niiden suhteen leikkaavaksi. Tämän jälkeen materiaali saattaa muovautua mutta pian syntyy uusia ketjuja hajonneiden tilalle ja systeemi jumiutuu uudestaan. Rakeisen aineen makroskooppisen käyttäytymisen mallintaminen mikroskooppisten vuorovaikutusten perusteella on kuitenkin vasta aluillaan.

2.2 Rakeisen aineen sisäinen kitka

Kuten makroskooppisilla kappaleilla, myös rakeisen aineen partikkelien välillä vaikuttaa liukumista estävä kitka. Yleisesti on tunnettua, että kitkavoima on suoraan verrannollinen kappaleiden välisten pintojen normaalivoimaan ja riippuvuutta kutsutaan Coulombin kitkaksi. Rakeisen aineen osasten välinen sisäinen kitka määrittää rakeisen aineen muodostaman systeemin murtumisominaisuudet.

Murtumisella tarkoitetaan tässä tilannetta, jossa saavutetaan rakeisen aineen osasten välisen sisäisen kitkan suurin mahdollinen arvo. Tällöin materiaaliin syntyy liukupinta, jolla materiaalin rakenneosaset liukuvat toistensa ohi.

Liukupinnalla vallitseva leikkausjännitys г on rakeisessa aineessa riippuvainen liukupinnalle kohdistuvasta normaalijännityksestä a. Suurimmillaan leikkausjännitys on, kun kitka on täysin mobilisoitunut. Kun tämä riippuvuus on lineaarista, materiaalia kutsutaan ideaaliseksi Coulomb-materiaaliksi.

r = f{a)= l«r + c (2.1)

Yhtälön /.t on rakeisen aineen sisäinen kitkakerroin ja c koheesio, joka kuvaa rakeisen aineksen yhtenäisyyttä. Levossa olevalle rakeiselle aineelle sisäinen kitka voi saada minkä tahansa arvon nollan ja yhtälön (2.1) ilmoittaman rajatapauksen väliltä ja yhtälö antaa maksimiarvon rakeisen aineen leikkausjännitykselle. Rakeisen aineen sisäinen kitkakerroin määritekään materiaalin sisäisen kitkakulman ф armila.

ц = tanø (2.2)

Rakeisen materiaalin kitkakulma kuvaa materiaalin herkkäliikkeisvyttä. Materiaali, jolla on pieni kitkakulma, on herkkäliikkeistä ja se murtuu helposti, jos se on puristuksen suhteen jännittämättömässä tilassa. Koheesio mittaa yhtälön (2.1) mukaisesti aineen ominaisuutta vastustaa leikkausta kuormittamattomassa tilassa. Koheesiovoimien syntyyn vaikuttavat elektrostaattiset voimat, partikkelien pintarakenne ja erityisesti kosteus. Kosteus muodostaa partikkelien välille eräänlaisia siltoja, jotka pitävät partikkelit yhdessä pintajännityksen avulla (Duran 1999). Esimerkiksi sara on rakeinen materiaali, jolla on voimakas koheesio. Tyypillisesti monet rakeiset aineet ovat kuivina lähes koheesiottomia. (Brown, Richards 1970)

Ybtälö (2.1) voidaan ilmaista myös pääjännitysten avulla, jolloin koheesiottomalle aineelle saadaan.

1 + sin Ф

= CT3--- —

l-sin ф ^(2.3)

Riippuvuutta kutsutaan Mohr-Coulombin myötöehdoksi ja sillä on erittäin tärkeä asema tarkastellessa rakeisen aineen plastista käyttäytymistä. Mohr-Coulombin myötöehdon johtaminen ja graafinen kuvaus on esitetty" Liitteessä II ja myötöehtoja tarkastellaan tarkemmin kappaleessa 5.4.1.

2.3 Rankinen sivupaineteoria

Monissa käytännön ongelmissa on tarve arvioida rakeisen aineen ja sitä rajoittavan seinämän välistä jännitystilaa. Seinämään kohdistuvasta normaalijännityksestä käytetään yhteydestä riippuen termiä sivupaine tai maanpaine (eng. earth pressure).

Termi maanpaine on peräisin maamekaniikan alalta, jossa sitä käytetään kuvaamaan maamassaa tukeviin seinämiin kohdistuvia jännityksiä (Terzaghi 1996).

Materiaalin ja sitä rajoittavien seinien välillä voidaan määritellä lepopaine ja rakeisen aineen murtumistilaa vastaava aktiivinen sekä passiivinen sivupaine. Rankinen sivupaineteoriassa tarkastellaan materiaalia, jota tukee äärettömän jäykkä ja äärettömän laaja seinä. Tässä seinämän ja materiaalin välillä ei oleteta vallitsevan kitkaa. Oletuksista seuraa että pääjännitykset materiaalissa ovat vaaka- ja pystysuuntaisen koordinaattiakselin suuntaiset ja niitä voidaan tarkastella kaksiulotteisessa tilanteessa.

2.3.1 Lepopaine

Lepopaineella tarkoitetaan vaakasuoran pinnan alapuolella olevaa vaakasuoraa pääjännitystä tilanteessa, jossa rakeinen aine ei ole murtotilassa. Tässä tilanteessa jännitys voidaan määritellä normaalin elastisuuden avulla. Tarkastellaan tilannetta, jossa elastista materiaalia kuormitetaan siten että siirtymiä tapahtuu vain materiaalin syvyyssuunnassa ja oletetaan materiaalin pinnan suuntaiset jännitykset yhtä suuriksi.

Jos oletetaan muodonmuutos elastiseksi, voidaan jännitykset määritellä kyseisessä tilanteessa Poissonin Imam и avulla (Korhonen, Mäkelä 1985).

= CTvv = 1 — V

(2.4)

Pystysuuntainen jännitys saadaan materiaalin massan ja mahdollisen pintakuorman Qo avulla

=pg + Q0 ^(2.5)

Poissonin luvun määritteleminen rakeiselle aineelle on usein vaikeaa. Geotekniikan яЫ1я edellinen riippuvuus ilmaistaan usein käyttämällä pääjännitysten suhdetta kuvaavaa lepopainekerrointa Ko, joka voidaan arvioida J akyn kaavalla rakeisen aineen sisäisen kitkakulman perusteella. (Terzaghi 1996)

°xx = a„ = K0a.: = (l - sin ф)а^ (2.6)

Poissonin luku voi vaihdella normaalisti välillä 0...0.5 ja lepopainekertoimen laskennallinen vaihteluväli on 0...1. Esimerkiksi hiekalle tyypillinen lepopainekerroin on 0.4...0.5. (Korhonen, Mäkelä 1985) Rakeisen aineen säiliöiden suunnittelussa sovellettavia lepopainekertoimen arvoja on käsitelty standardissa (SFS-EN 1991-4 2006)

2.3.2 Aktiivinen ja passiivinen sivupaine

Mikäli rakeinen aine saavuttaa murtotilan, pääjännitysten keskinäisen suhde voidaan määritellä kappaleessa 2.2 esitetyllä Mohr-Coulombin myötöehdolla. Tässä tapauksessa seinämään kohdistuva jännitys on riippuvainen rakeisen aineen ja sitä tukevan jäykän seinämän suhteellisesta liikkeestä, jonka perusteella voidaan erotella kaksi tapausta: aktiivinen ja passiivinen murtuminen (Kuva 2). Kun rakeisen aineen paino aiheuttaa seinämään kohdistuvan jännityksen käytetään termiä aktiivipaine, jos taas seinämään kohdistetaan jännitys, joka työntää rakeista materiaalia kyse on passiivipaineesta.

Kuva 2 a) Aktiivinen ja b) Passiivinen murtuminen (Nedderman 1992)

Olennainen ero passiivi- ja aktiivitapauksen välillä on rakeisen materiaalin suurimman kokoonpuristavan pääjännityksen suunta. Aktiivisessa tapauksessa suurin kokoonpuristava pääjännitys on seinämän suuntainen ja passiivisessa tapauksessa kohtisuoraan seinämää vastainen. Aktiivisen ja passiivisen murtotilan saavuttamien

edellyttää aina että seinämän suhteellinen liike saa aikaan riittävän eron pääjännitysten välille, mikä johtaa myötöehdon täyttymiseen.

Rankinen teorian mukaan jännitys aktiivisessa ja passiivisessa murtumisessa on 1 - sm 0 _ cosé

er . =--- —<т - 2c---—

1 + sin ф 1 + sin ф ^(2.7)

1 + sinø „ costi

CT : --- -er +2 c---—

1 - sin 0 1 — sin 0 (2.8)

Näiden perusteella voidaan määritellä jännitysten suhdetta kuvaava aktiiviselle ja passiiviselle tapaukselle seuraavasti

sivupainekerroin

fr _ 1— sin ф

A 1 + sin ф ^(2.9)

1 + sin ф

Л р 1 - sin 0 (2.10)

Rankinen teoria antaa rajan mahdollisille seinämään kohdistuvan jännityksen arvoille.

Rankinen aktiivisen ja passiivisen tilan välissä materiaali ei ole murtotilassa ja se käyttäytyy elastisesta (Kuva 3).

T — o tañó + e

Passiivinen Elastinen

Kuva 3 Rankinen maanpaineteorian mukainen tilanne aktiiviselle ja passiiviselle murtumiselle kuvattuna Mohrin ympyrällä (Liite I). Aktiivisen ja massiivisen murtotilan välillä materiaali käyttäytyy elastisesti.

Myötöehdon toteutuessa materiaalin rakenneosaset alkavat liukuvat toistensa ohi.

Murtuminen tapahtuu liukupinnalla, jonka suunta on määriteltävissä pääjännitysten suuntien avulla. Liukupinta muodostaa suurimman kokoonpuristavan pääjännityksen kanssa kulman ± П ф

~4~2 . Kuvassa 4 on esitetty esimerkkinä passiivisessa murtumisessa syntyvien liukupintojen suunta.

Kuva 4 Liukupintojen suunta passiivisessa murtotilassa. (Brown, Richards 1970)

3 Rakeisen aineen ominaisuudet ja niiden arvioiminen

Tässä kappaleessa käsitellään rakeisen aineen statiikan kannalta tärkeimmät ominaisuudet. Pulvereiden ja rakeisen aineen ominaisuuksia on käsitelty tätä laajemmin esimerkiksi Brownin (1970) sekä Fayedin ja Ottenin (1997) kirjoissa. Tässä yhteydessä tarkastellaan lähinnä rakeisen aineen muodostaman systeemin, huikin, ominaisuuksia. Kappaleessa esitetään myös menetelmiä suunnittelussa tarvittavien ominaisuuksien mittaamiseen. Koemenetelmiä tätä laajemmin on käsitelty esimerkiksi Schulzen (2008) kirjassa.

Rakeisen aineen säiliöiden suunnittelua määrittävässä standardissa (SFS-EN 1991-4 2006) on määritelty suunnittelussa tarvittavat rakeisen aineen ominaisuudet sekä menetelmät niiden määrittämiseksi. Suuri osa menetelmistä on tarkoitettu ensisijaisesti hiekan ja muun maa-aineksen ominaisuuksien mittaamiseen, mutta niitä voidaan soveltaa myös muihin rakeisiin aineisiin. Geoteknisten materiaalien osalta koemenetelmiä on käsitelty standardissa (ISO/TS 17892 2004).

3.1 Partikkelikoko ja rakeisuus

Partikkelien koko ja muoto vaikuttavat rakeisen aineen pakkautumiseen ja käyttäytymisen. Karakteristisen halkaisijan Dp perusteella rakeinen aine voidaan jakaa pulvereihin (1 -100 pm) ja raemaiseen aineisiin (100 - 3000 pm). Bulkkimateriaali sisältää useimmiten laajan joukon erikokoisia partikkeleita. Monien partikkelisysteemien kokojakauman on havaittu noudattavan varsin hyvin log- normaalia tai Weibull (Rosin-Rammler) jakaumaa (Nedderman 1992).

Yksittäisen partikkelien koko voidaan määrittää mikroskoopilla ja suuremmat partikkelit voidaan niitata myös mikrometrillä. Partikkelikoon jakaumaa voidaan tutkia seulomiskokeilla tai välillisesti virtausmekaniikan keinoin, esimerkiksi putoamisen rajanopeuteen perustuvilla kokeilla.

3.2 Tiheys ja huokoisuus

Rakeisen aineen partikkeleille voidaan määritellä matriisitiheys (eng. true density, skeletal density) ja partikkelidheys (eng. particle density). Matriisitiheys p kuvaa partikkelin kiinteän osan tiheyttä, josta on poistettu partikkelin sisäisten huokosten tilavuuden vaikutus. Partikkelitihevdellä ps kuvataan partikkelin näennäistä tiheyttä, joka sisältää myös partikkelin sisäisten huokosten tilavuuden osuuden 6. Tässä pj on väliaineen tiheys.

Ps =(1-0)P + 0P/ ^(3.1)

Bulkin pakkautumista voidaan kuvata huokoisuudella Еь (eng. void fraction), joka kuvaa partikkelien väliin jäävän tilan suhdetta koko pakkauksen tilavuuteen.

£b ^(3.2)

Kiinteän aineen osuus pakkauksen tilavuudesta on vastaavasti (1 — £h). Säännölliselle tiiviille pakkaukselle, joka koostuu samansuuruisista pallomaisista partikkeleista, voidaan analyyttisesti todeta huokoisuuden olevan minimissään 0,26 (romboedrinen hila) ja maksimissaan 0,48 (kuutiollinen hila) (Fayed, Otten 1997). Käytännön sovelluksissa satunnaisesti järjestyneen pakkauksen huokoisuus tasakokoisille partikkeleille on yleensä 0,38 - 0,47. (Zenz, Othmer 1960)

Huokoisuuden ohella pakkautumista voidaan kuvata huokosluvulla e, jolla tarkoitetaan väliaineen tilavuuden ja kiintoaineen tilavuuden suhdetta. Huokosluvun ja huokoisuuden välillä on seuraava yhteys

e = ^(3.3)

Rakeisen aineen pakkauksen näennäinen tiheys, irtotiheys pi„ sisältää myös partikkelien väliin jäävän tyhjän tilan

Рь = ps(\-£b) + pfeb (3.4)

Irtotiheyden ohella käytetään usein tilavuuspainoa y, jolla tarkoitetaan pakkautuneen rakeisen aineen painoa suhteessa tilavuuteen

Г = PbS (3.5)

Irto tiheys voidaan määrittää yksinkertaisella kokeella, jossa rakeista ainetta punnittaan astiaan, jonka tilavuus tunnetaan tarkasti. Tällä tavoin saadut irtotiheyden arvot voivat kuitenkin vaihdella paljon, sillä ne riippuvat rakeisen aineen pakkautumisesta.

Pakkautuminen ja sitä kautta irto tiheys on riippuvainen myös materiaalin kuormitustilasta. Seuraavassa kuvassa on esitetty esimerkkinä murskatun hiilen irtotiheys puristavan konsolidointijännityksen kasvaessa.

„ 950 S1 900

& 850

coal, 12% moisture

"о 800

0 20 40 60 80 100

consolidation stress a1 [кРа] --- ►

Kuva 5 Irtotiheyden kasvaminen konsolidoitaessa rakeisen aineen näytettä (Schulze 2008)

Kuormimksen kasvaessa materiaali pakkautuu tiiviimmin, jolloin huokoisuus vähenee ja irtotiheys kasvaa. Pakkautuminen johtuu pääosin partikkelien uudelleen järjestymisestä, mutta suurilla jännityksillä voi tapahtua myös partikkelien deformaatiota sekä murskautumista.

3.3 Luonnollinen kaatumiskulma

Luonnollinen kaatumiskulma a (eng. angle of repose) kuvaa materiaalin käyttäytymistä murtumistilanteessa. Luonnollinen kaatumiskulma määritellään suurimpana mahdollisena kulmana, mihin rakeinen aine voi kasautua. Täysin

koheesiottomalla ideaalisella Coulombisella materiaalilla kitkakulma ja luonnollinen kaatumiskulma a ovat yhtä suuret.

Luonnollisen kaatumiskulman määrittämiseksi on kehitetty lukuisia menetelmiä (Kuva 6). Kaatumiskulma voidaan mitata kaatamalla rakeista ainetta kasan muotoon, jolloin kaatumiskulman määrää muodostuvan keon pohjakulma. Toinen mahdollisuus on tarkastella rakeisen aineen käyttäytymistä kallistettavassa astiassa tai pyörivässä sylinterissä. Tällä tavoin mitatusta arvosta käytetään joskus termiä dynaaminen kaatumiskulma (eng. dynamic angle of repose, instantaneous angle of repose). Sylinterin pyörimisnopeus vaikuttaa tulokseen merkittävästi etenkin koheesiomateriaaleilla. Luonnollinen kaatumiskulma voidaan myös määrittää valuttamalla rakeista ainetta astiasta, jonka pohjalla on avattava luukku (eng. drained angle of repose).

Kuva 6 Koejärjestelyjä luonnollisen kaammiskulman a määrittämiseksi a) kasaaminen b) kallistuva astia tai pyörivä sylinteri c) tyhjenevä astia. (Brown, Richards

1970, Train 1958)

Kri menetelmillä saadut tulokset poikkeavat toisistaan ja useimmille materiaaleille kasaamalla saatava kulma on pienempi kuin tyhjenevässä astiassa havaittava kulma (Duran 1999). Kaatumiskulmaa ei voida pitää materiaalin sisäisenä ominaisuutena, sillä se riippuu paljolti näytteen valmistelemisesta sekä koelaitteen mitoista ja geometriasta. Koheesiomateriaaleilla ei voida edes määritellä yhtä luonnollisen kaatumiskulman arvoa, sillä ne muodostavat aina kaarena sortumispintoja (Schulze 2008).

3.4 Leikkauslujuus

Leikkauslujuus kytkeytyy kappaleessa 2.2 käsiteltyyn sisäiseen kitkaan ja on riippuvainen materiaalin jännitystilasta. Leikkauslujuus voidaan määrittää monilla koejärjestelyillä (Kuva 7), joista käytetään yleisesti termiä leikkauskoe. Yleisimpiä käytettyjä menetelmiä ovat suora leikkausrasiakoe (eng. shear box test) ja rengasleikkauskoe. Leikkauskokeessa

normaalij ännitvksellä ja mitataan leikkausjännitys.

rakeista ainetta kuormitetaan tasaisella materiaalin leikkaamiseksi tarvittava

'////////////у!///////.

Kuva 7 Periaatekuva a) suoran leikkausrasiakokeen ja b) rengasleikkauskokeen suorittamisesta (Schulze 2008)

Suoralla leikkauskokeella voidaan määrittää myös rakeisen materiaalin ja seinämän väliset kitkaominaisuudet. Mittaus voidaan suorittaa könyämällä leikkausrasian toinen puolisko seinämateriaalilla (Kuva 8).

Kuva 8 Periaatekuva seinän kitkakertoimen määrittämisestä suoralla leikkauskokeella. (Schulze 2008)

Kuvassa 9 on esitetty tiiviisti pakatun rakeisen aineen tyypillinen käyttäytyminen suoran leikkauskokeen aikana. Leikkauksen alussa tarvittava leikkausvoima kasvaa nopeasti (A) ja saavuttaa huippunsa (B). Leikkauksen alussa materiaali painuu

tyypillisesti kasaan, mutta laajenee leikkausjännityksen saavuttaessa suurimman arvonsa. Leikkauksen edetessä materiaali myötää tilavuuden ja leikkausvoiman pystyessä vakiona (C - D). Leikkauksen aikana tapahtuvaa tilavuuden kasvamista kutsutaan dilataatioksi ja se on seurausta partikkelien pakkautumisen löyhtymisestä niiden liukuessa toistensa ohitse. Kuvassa on esitetty myös löyhästi pakatun rakeisen aineen käyttäytyminen.

Kuva 9 Rakeiselle aineelle tyypillinen a) leikkausvoiman ja b) tilavuuden muuttuminen leikkauskokeen aikana. Yhtenäinen viiva kuvaa tiivistä näytettä ja katkoviiva löyhää näytettä (Nedderman 1992)

Kun leikkausrasiakoe toistetaan usealla eri normaali jännityksen arvolla ja mitataan leikkaamiseen tarvittava leikkausjännitys, voidaan määrittää rakeisen aineen murtumista kuvaavan myötöehdon parametrit. Tuloksista voidaan määrittää esimerkiksi Mohr-Coulombin ehdon parametrit ф ja c. Joitakin tyypillisiä rakeisen aineen kitkakulmia on esitetty' taulukossa 1.

Taulukko 1 Esimerkkejä tyypillisistä rakeisen aineen sisäisistä kitkakulmista ja sisäisistä ldtkakertoimista. (SFS-EN 1991-4 2006)

Materiaali Ф n A

Alumiinioksidi 30 0.58

Hiekka 36 0.73

Sokeri 32 0.62

Lentotuhka 35 0.70

Soijapavut 25 0.47

3.5 Ödometrikoe

Kun rakeista ainetta kuormitetaan kokoonpuristamalla, tapahtuu aineessa tilavuuden muutos. Riippuen kuormitustilanteesta ja rakeisen aineen tilasta ennen kuormitusta kokoonpuristuminen voi tapahtua elastisesti tai plasdsesti. Plastinen muodonmuutos on palautumatonta ja siihen voi liittyä pakkautumisen muuttuminen, joka ilmenee käytännössä lujittumisena, irtotihevden kasvamisena ja huokoisuuden pienenemisenä.

Kokoonpuristuvuutta ja lujittumista voidaan tutkia ödometrikokeella (eng.

oedometer) (Kuva 10). Kokeessa näytettä puristetaan aksiaaliseen, siten ettei sen ole mahdollista laajentua sivusuunnassa. Kokeen perusteella voidaan määrittää näytteen tilavuudenmuutos suhteessa kuormittavaan jännitykseen. Tilavuudenmuutos voidaan ilmaista myös irtotihevden tai huokosluvun muutoksena.

area A X

h

Kuva 10 Periaatekuva ödometrikokeen suorittamisesta (Schulze 2008)

Ödometrikokeessa voidaan tutkia näytteen käyttäytymistä myös monella perättäisellä puristuksella. Tyypillisesti rakeisille aineille havaitaan, että käyttäytyminen eroaa jännitystä poistettaessa (rebound) ja uudelleenpuristuksessa (recompression) (Kuva 11) Ensimmäisellä kuormituksen (virgin curve) tapahtuu palautumattomia plastisia muutoksia. Ideaaliselle materiaalille ensimmäisen kuormimksen käyrä on lähes riippumaton palautuksesta ja uudelleenpuristuksesta.

Initial compression Initiai compression Recompression

Recompression 2 0.64

Virgin curve Rebound

Rebound Virgin curve

Second rebound Second

rebound 0.62 ~

0.60 L

40 0.01

Axial stress, crA (kg/cm2) (log scale) Axial stress, aA (kg/cm2)

Kuva 11 Esimerkki rakeisen aineen käyttäytymisestä ödometrikokeessa. (Harr 1977)

3.6 Kolmiaksiaalinen koe

Kolmiaksiaalinen koe (eng. triaxial test) on yleisesti käytetty testausmenetelmä etenkin maanäytteitä mtkittaessa. Kokeen avulla voidaan selvittää rakeisen aineen leikkauslujuus sekä jännitys-muodonmuutosominaisuudet. (Rantamäki 1997)

Kokeessa sylinterinmuotoinen näyte asetetaan niin kutsuttuun selliin, jossa sitä kuormittaa tasainen jännitys a, = (7, = <r3. Tämän jälkeen näytettä puristetaan kokoon aksiaalisesti ja mitataan pystysuuntaisen jännityksen muutos Her,. Puristusta jatkettaessa Aax saavuttaa maksimiarvonsa ja näyte saavuttaa murtotilanteen. Koska koe on suunniteltu maaperänäytteille, joiden huokoisiin sitoutuu kosteutta, on koelaitteissa mahdollisuus joko poistaa huokosvesi tai mitata sen paine. (Rantamäki 1997)

Ахю/ Sf ress Increment er, r a-jf-Ла-, Åer, per Unit Areo

-Load mg Cop

___,~Impermeobie ,/ Flexible Membrane

Porous Stone

.^Porewoter Pressure

/ /"ЛЛЛ«Л/(ЛЛ

Kuva 12 Periaatekuva kolmiaksiaalisen kokeen suorittamisesta. (Terzaghi 1996)

Kolmiaksiaalisen kokeen perusteella voidaan määrittää rakeisen aineen jännitys- vcnymä käyttäytyminen elastisella alueella sekä plastista käyttäytymistä kuvaavan myötöehdon parametrit.

3.7 Partikkelien elastisuudesta

Pallomaisille partikkeleille Heinrich Hertz on osoittanut, että venymän ja jännityksen suhde on epälineaarinen ja muuttuu kontaktipinnan A kasvaessa. (Johnson 1985)

8

44 E*-Jr*

V3

(3.6)

Tässä F on partikkeleita yhteen puristava voima ja 8 kappaleiden yhteinen muodonmuutos. Tässä R määritellään partikkelien säteiden E elastisten ominaisuuksien avulla. (Johnson 1985)

1 1-v2 l-v22

_ Et + E2

r rx r2

(3.7)

Yhtälön 3.6 avulla voidaan määrittää kokeellisesti yksittäisen partikkelin elastisuusominaisuudet puristamalla pallomaista kappaletta sellaista tasopintaa vasten, jolla on merkittävästi tutkittavaa ainetta suurempi Youngin moduuli, siten että

E2 » £j ja R2 » R}.

Rakeisen aineen muodostamaa makroskooppisen systeemin elastisuusominaisuuksia on pyritty määrittelemään analyyttisesti perustuen yksittäisten partikkelien elastisuuteen. Äärettömän sileiden partikkeleiden efektiivinen Poissonin luku on и = 0.25 ja äärettömän karkeista partikkeleista kostuvan isotrooppisen tiiviin pakkauksen efektiivinen Poissonin luku saadaan seuraavalla kaavalla partikkelin Poissonin luvun upande avulla. (Bathurst, Rothenburg 1988, Walton 1987)

и = о,_panele 2(5-31^)

(3.8)

Bulkkimateriaalin elastisuus on myös mahdollista määritellä pakkauksille, joilla elastisuustensori on symmetrinen. Jos oletetaan partikkelien välisen elastisen kontaktin olevan lineaarinen, saadaan suljetun muodon ratkaisu isotrooppiselle materiaalille (Chang, Misra 1990)

- 2rN E =---

15V ^(3.9)

v = Kn~Ks 4 K„+Ks

(3.10)

Näissä yhtälöissä parametreinä kätketään lineaarisen kontaktimallin normaalia ja tangentiaalista jousivakioita K„ ja Ks. Olennaista on lisäksi että elastisuus riippuu mallin mukaan partikkelien välisten kontaktien lukumäärästä N tilavuutta V kohden.

Tämä riippuvuus voidaan määritellä R-säteisille partikkeleille keskimääräisen koordinaatioluvun n ja pakkauksen huokoisuuden Eh avulla.

N _ 3 n

V~

4 Rakeisen aineen säiliöt

Rakeista ainetta käsitteellään monilla eri prosessiteollisuuden aloilla. Suurimpia rakeisten ja jauhemaisten aineiden käyttäjiä ovat kalkki ja sementtiteollisuus sekä kaivannaisteollisuus. Myös suuri osa elintarviketeollisuuden raaka-aineista ja tuotteista on raemaisia tai erilaisia jauheita. Lisäksi kivihiilen ja muun kiinteän polttoaineen käsittely voimalaitoksissa vaatii rakeisen aineen käsittelyä. Petrokemian alalla tuotetaan polymeerejä, jotka voivat olla hienojakoista pulveria tai valmiiksi granuloituja pellettejä. Lisäksi öljynjalostuksessa ja petrokemian prosesseissa käytetään useita kiinteitä katalyytteja.

Rakeisen aineen varastoinnissa käytetään tyypillisesti siiloja, jotka koostuvat sylinterinmuotoisesta säiliöstä ja kartionmuotoisesta suppilosta. Säiliöiden ja siilojen suunnittelun kannalta on oleellista määrittää seinämiin kohdistuvat jännitykset eri tilanteissa. Siilojen ja säiliöiden suunnittelua ohjaa standardi SFS-EN 1991-4:2006.

Täytön aikana rakeinen aine muodostaa liukupintoja, jolloin materiaali holvautuu ja sisäiset jännitykset kohdistuvat säiliön seinämiin. Staattisen varastoindtilanteen lisäksi jännitykset on huomioitava rakeisen aineen tarratessa esimerkiksi siilon tyhjentyessä.

Erityisiä jännityksiä voi aiheutua myös olosuhteiden, esimerkiksi lämpötilan tai kosteuden, aiheuttamista materiaalin tai säiliön muodonmuutoksista.

Rakeinen aine ei ole aina homogeenistä ja sen tårtaaminen on harvoin tasaista.

Monenlaiset virtausongelmat ja tukokset ovatkin tyypillisiä siiloissa. Myös olosuhteiden aiheuttama aineen rakenteen muuttuminen saattaa aiheuttaa ongelmia.

Mahdollisia ilmiöitä ovat esimerkiksi paakkuuntumisesta ja materiaalin lajittuminen.

Rakeisen aineen virtausta on käsitelty laajemmin alan perusteoksissa (Nedderman 1992, Schulze 2008).

Seuraavissa kappaleissa käsitellään klassisia teorioita ja menetelmiä, joilla voidaan mallintaa rakeisen aineen säiliöiden sisäisiä jännityksiä.

4.1 Seinämäkitka

Kappaleessa 2.2 kuvattiin rakeisen materiaalin sisäinen kitka. Säiliössä olevaan rakeiseen materiaaliin vaikuttaa sisäisen kitkan lisäksi seinämäkitka. Seinämäkitka voidaan esittää täysin analogisesti sisäisen kitkan kanssa, jolloin saadaan yhtälöä (2.1) vastaava muoto (Nedderman 1992). Kun seinämäkitka on täysin mobilisoitunut ja saavuttanut suurimman mahdollisen arvonsa saadaan leikkausjännitys seinämällä

K =/V7,T+cw (4-1)

Tässä fiw on seinämän ja materiaalin välinen kitkakerroin ja Cw seinämän adheesio.

Seinämällä voidaan määritellä myös yhtälöä 2.2 vastaava kitkakulma фк.

Rakeisen aineen seinämäkitkaa voidaan tarkastella Mohrin diagrammilla (Kuva 13).

Materiaalin mahdolliset jännitystilat sijaitsevat Mohrin ympyrän kehällä, jota rajoittaa sisäisen kitkan mvötöehto IYL ja seinämäkitkan myötöehto WYL. Mikäli seinämällä olevan pisteen jännitystila sijaitsee käyrällä BC tai AD kitka estää materiaalin liikkeen seinämällä. Mikäli jännitystila on käyrällä AB tai CD materiaali luistaa seinämällä.

(Nedderman 1992)

Kuva 13 Mohrin piirros, jossa esitetty seinämän myötöehto (WYL) ja materiaalin sisäinen myötöehto (IYL). (Nedderman 1992)

On huomioitava, että seinämäkitka määrittää materiaalin myötämisen ainoastaan suhteessa seinään ja myös sisäisen kitkan myötöehdon on pädettävä seinällä.

Seinämän ldtkakertoimen ja koheesion ollessa sisäistä kitkaa ja koheesiota suurempia

päädytään tilanteeseen josta käytetään termiä täysin karkea seinä (eng. fully rough wall). Tässä tilanteessa voidaan ajatella seinän vieressä olevien partikkelien pysyvän kiinni seinässä, jolloin myötäminen tapahtuu partikkelien välillä, jotka ovat seinämän vieressä. Mikään todellinen seinämä ei vastaa edellä kuvattua täysin karkeaa seinää, ja yleisesti voidaan todeta ehto seinämän kitkakulmalle. (Nedderman 1992)

Ф,^Ф (4-2)

4.2 Siilojen seinämiin kohdistuva staattinen paine ja Janssonin malli

Kun tarkastellaan rakeista ainetta säiliössä tai siilossa, havaitaan että seiniin kohdistuva paine ja säiliön pohjaan kohdistuva paine missä tahansa tarkastelupisteessä on pienempi kuin aineen tiheyttä vastaava hydrostaattinen paine.

Kasvatettaessa säiliön korkeutta, havaitaan lisäksi seinämäpaineen saarnattavan tietyllä syvyydellä maksimiarvonsa. Ilmiö havaitaan yleisesti säiliöillä joiden korkeus on kolme kertaa suurempi kuin säiliön halkaisija. (McCabe, Smith & Harriott 2005) Siiloissa ja säiliöissä havaittavan paineen tasaantumisen selitti ensimmäisenä Janssen (1895) suoritettuaan kokeita maissin varastointiin käytettävillä siiloilla. Janssen esitti, että säiliön seinämät kantavat osan materiaalin painosta ja totesi ilmiön johtuman rakeisen aineen ja seinämän välisestä kitkasta. Kokeidensa pohjalta Janssen laati yksiulotteisen mallin kuvaamaan siilojen seinämään kohdistuvaa painetta. (Speri 2006) Janssenin malli perustuu oletuksille, että rakeisen aineen jännitysprofiili on vakio

säiliön vaakasuuntaiselle poikkileikkaukselle ja rakeisen aineen sisällä vaakasuuntainen ja pystysuuntainen jännitys ovat pääjännitykset. Näiden oletusten perusteella pystysuuntainen ja vaakasuuntainen jännitys {an ja or:) ovat verrannollisia syvyydestä riippumattoman Janssenin vakion Kj mukaisesti.

(4.3) Janssenin mallin yhteys Rankinen maanpaineteorian on ilmeinen. Mikäli materiaali on

murtotilassa, voidaan Janssenin vakio arvioida Rankinen teorian mukaisesti

yhtälöiden (2.9) ja (2.10) avulla. Janssenin vakio on oleellisesti kuitenkin kokeellinen vakio, jonka arvo vaihtelee riippuen materiaalista ja siilosta. (Nedderman 1992)

Janssenin mallissa oletetaan, että materiaalin ja seinän välillä vallitsee kitkasta aiheutuva leikkausjännitys yhtälön (4.1) mukaisesti ja se voidaan ilmaista käyttämällä edellä esitettyä pääjännitysten yhteyttä.

= ^Mn°rr = А'.ЛЛ.-г (4-4)

Rakeisen aineen pakkaukseen vaikuttaa lisäksi painovoima. Mikäli väliaineen tiheys on merkittävä, huomioidaan myös noste käyttämällä rakeisen aineen irtotiheyden ja väliaineen tiheyden erotusta Ap. Rakeisen materiaalin osuus pakkauksen tilavuudesta on (l -£6). Tilavuusalkioon kohdistuva voima saadaan seuraavasti

(p, - Pr

X

a)

Л-

H

z

R

b)

— /hrT

Kuva 14 a) Janssenin mallissa käytetty sylinterikoordinaatisto b) Rakeisen aineen pakkauksen differentiaaliseen siivuun vaikuttavat jännitykset ja voimat.

Muodostamalla tasapainoehto sylinterin poikkileikkauksen suuntaiselle siivulle saadaan

da= | 2fiwKj

dz R o= =Apg ^(4.6)

Integroimalla reunaehdolla ø_(z = 0) = Q0 ja olettamalla /ty, /1/9 sekä Л) olevan saadaan pysty- ja vaakasuuntaiselle jännityskomponen tille Janssenin pro flik

(7_ =

ApgR 1-exp

2аЛл'|" n

Í 2^KA

+ Qq exP

l R ).

)

-exp R + Q0 exp ²цЛ/

R ^(4.8)

Yhtälön muodosta nähdään että Janssenin malli lähestyy maksimijännitystä, kun z arvo kasvaa kohti sylinterin pohjaa.

ApgR

2^Л,

(4.9)

Mallin mukaan jännitys myös tasaantuu tälle tasolle, vaikka rakeista ainetta kuormittaisi tätä rajajännitystä suurempi pintapaine Qq. Janssenin mallin muoto sekä pintapaineen vaikutus mallin käyttäytymiseen on esitetty kuvassa 15. Kuvasta havaitaan, että jännitys tasaantuu z kasvaessa.

zz,azz,inf

Kuva 15 Janssenin mallin käyttäytyminen eri pintapaineilla Qo. Jännitys ilmaistuna tässä dimensiottomana suhteessa rajajännitykseen a.. x ja korkeuskoordinaatti suhteessa säiliön säteeseen.

Janssenin sülomallin on havaittu pätevän hyvin todellisille siiloille ja se on perusteena nykyisille siilojen mitoituksessa käytettäville korrelaatioille sekä standardeille. Myös Suomessa sovellettava standardi (SFS-EN 1991-4:2006) perustuu Janssenin mallin oletuksille. Mallin sovellettavuuden kannalta on olennaisen tärkeää tietää verrannollisuuskertoimen K, arvo tai pystyä määrittämään se jollakin koejärjestelyllä.

Heisiä siilojen suunnitteluun soveltuvaa arvoja on listattu sekä alan kirjallisuudessa että standardissa (SFS-EN 1991-4:2006). Parametrin kokeellinen määritys on haastavaa, sillä sen on havaittu materiaalin lisäksi riippuvan myös siilosta.

Jännitystilanteeseen vaikuttaa siilon geometrian ja materiaalin lisäksi myös täyttötapa.

Standardissa (SFS-EN 1991-4:2006) ohjeistetaankin käyttämään mitatun arvon lisäksi varmuuskerrointa.

Neddermanin mukaan Janssenin mallin johdossa tehdyt oletukset pääjännitysten suunnista ja siilon poikkileikkauksen vakiosta jännitysprofiilistä eivät pidä täysin paikkaansa. Näiden oletusten korjaamiseksi on mahdollista käyttää Walkerin (1966) kehittämää menetelmää. Korjatun mallin antama tulos poikkeaa hieman Janssenin alkuperäisen mallin tuloksesta, mutta sitä ei juurikaan käytetä laajemmin johtuen sen monimutkaisemmasta muodosta (Nedderman 1992). Ongelmaan on esitetty myös muita analyyttisiä ratkaisuja, esimerkkinä ratkaisu aktiiviselle ja passiiviselle murtotilalle karakteristikamenetelmällä (eng. method of characteristics) (Horne, Nedderman 1976) ja analyyttinen elastisuuteen perustuva ratkaisu (Schillinger, Malla 2008).

4.2.1 Tyhjenemispaine

Siilon tyhjentyessä syntyy paikallinen jännityshuippu (eng. Swatch stress) kohdassa, jossa materiaali lähtee liikkeelle. (Walters 1973)

Walters on esittänyt analyysin, joka perustuu seuraaviin pääoletuksiin.

1. Siilo on seiniltään suora ja staattisessa tilassa jännitykset noudattavat Janssenin malka ja lähestyvät asymptoottisesti yhtälön (4.9) tulosta.

2. Tyhjenevässä osassa siiloa vaakasuora jännitys on suurin kokoonpuristava jännitys, ja materiaali on passiivisessa murtotilassa.

Waltersin analyysin avulla voidaan tarkastella suoraseinäisessä säiliössä tyhjennyksen aikana syntyviä jännityksiä. Dynaamisen tilanteen alkuhetkellä, kun virtaus ei ole ehtinyt edetä koko siilon alueelle syvyyden z = H alapuolella jännitykset saadaan

ApgR ApgR

<7__ =--- h

2MJC,

A

_1

~Kp J

1 -exp ²^Kpy

R (4.10)

- Kpa,

Yleisemmin ratkaisu saadaan ratkaisemalla yhtälöt (4.7) ja (4.8) säiliön yläosassa käyttämällä Rankinen aktiivista sivupainekerrointa Ka, jonka jälkeen ratkaistaan vastaavat yhtälöt säiliön alaosassa käyttämällä passiivista sivupainekerrointa Kp ja yläosan yhtälöistä ratkaistua rajajännitystä .

Kuva 16 Waltersin analyysi siilon tyhjenemisessä syntyvästä jännityshuipusta sovellettuna suoraan säiliöön R=1.5 m, L= 6m ja H=5m. Käytetyt parametrit (t/„,=0.25, Ap =1000 kg/m3, ф =25°)

4.2.2 Seinämäpaine suppilossa

Edellä esitetty Janssenin malli pätee siilon pystysuoralle osalle. Sidon kartionmuotoisessa suppilossa seinämäpainetta voidaan tarkastella esimerkiksi Walkerin (Walker 1966) esittämällä menetelmällä. Myös standardissa (SFS-EN 1991-4 :2006) on esitetty menetelmä suppilon seinämän mitoittamiseksi.

Walters on yleistänyt edellä esitetyn tarkastelun tyhjenemistilanteessa esiintyvistä paineista siilolle, jossa on kartionmuotoinen suppilo (Walters 1977).

Kuvassa 17 on esitetty7 tyypillinen seinämäpaineen käyttäytyminen suppilolla varustetussa siilossa sekä staattisessa varastointitilanteessa, että tyhjennettäessä siiloa.

Kuva 17 Seinämäpaineen jakautuminen suppilolla varustetussa siilossa a) staattinen tilanne b) dynaaminen tilanne siilon tyhjentyessä. (Fayed, Otten 1997)

4.3 Käännetty Janssenin malli

Janssenin mallia on myös mahdollista soveltaa tilanteeseen, missä materiaali pyrkii liukumaan vastakkaiseen suuntaan kuin siihen vaikuttava painovoima. Tällainen tilanne voi syntyä esimerkiksi seinämän kutistuessa lämpötilan vaikutuksesta tai materiaalin laajentuessa (Nedderman 1992). Vastaava tarkastelu kuvaa myös tilannetta, jossa säiliön pohjalla oleva tasainen paine työntää männän tavoin materiaalia ylöspäin (Schulze 2008).

Tasapainoehto voidaan muodostaa kuten yhtälössä (4.6), mutta tässä seinän ja materiaalin välinen kitka vaikuttaa vastakkaiseen suuntaan.

i/(7

dz

2РЛ,

R =&Pg ^(4.12)

Differentiaaliyhtälön ratkaisuna saadaan yhtälöitä (4.7) ja (4.8) vastaava jännitvsprofiili

a.. — ApgR

o„. -

2 IiJCj

ApgR

exp ² pJCjZ

V

R

-1

f

+ ö, exp lp,Kjz R

2/K

2аД,0 Л

+

Qo

¡2pwKjz)

exp

1

R J

(4.13)

(4.14)

Teorian mukaan jännitykset kasvavat eksponentiaalisesti spyyden z kasvaessa (Kuva 18). jännitykset on kuvassa ilmaistu eri sivupainekertoimen ar\roilla. Rajatiloina on esitetty7 aktiivisen ja passiivisen murtumisen tila yhtälöiden (2.9) ja (2.10) mukaisesti.

к = 0.5 K = 0.7 K = 1.2

— K = 0.41 K = 2.46

Ï 2.5

özz/özz,inf

Kuva 18 Janssenin malli tilanteessa, jossa seinämäldtkan suunta on kohti säiliön pohjaa. Jännitys ilmaistuna tässä dimensiottomana suhteessa rajajännitykseen a^ ж ja korkeuskoordinaatti suhteessa säiliön säteeseen R. Tässä parametreinä käytetty [Aw=0.3 ja ф = 25 0

Tässä tapauksessa olisi mallin sovellettavuuden kannalta oleellista tietää Janssenin kertoimen K, tarkka arvo, sillä kuten kuvasta 18 havaitaan, vaikutus on varsin dramaattinen.

Edellä kuvattua tilannetta on tutkittu kokeellisesti järjestelyllä, jossa mäntä työntää rakeista materiaalia erittäin hiljaisella nopeudella ylöspäin sylinterinmuotoisissa kolonnissa (Arroyo Getto 2003, Ovarlez 2001). Kokeissa havaittu mäntään kohdistuva jännitvs noudatti edellä käsitellyn mallin mukaista profiilia. Arroyo et. ai.

kokeissa havaittu jännitysprofiüi sijoittui mallin ennustaman aktiivisen ja passiivisen tilan välille.

Vaakasuuntainen jännitys voi kasvaa pystysuuntaista jännitystä suuremmaksi tilanteessa, jossa seinämän liike sisäänpäin tai materiaalin turpoaminen aiheuttaa vaakasuuntaisen jännityksen. Tällöin Janssenin vakion arvo on suurempi kuin yksi ja tilanne johtaa todella suuriin jännityksiin lähellä säiliön pohjaa (Kuva 18). Tässä tilanteessa suurimman arvon Janssenin vakiolle antaa Rankinen passiivinen murtotilanne ja kerroin Kj voidaan arvioida yhtälön (2.10) mukaisesti sisäisen kitkakulman ф avulla.

KJ=K, 1 + sin ф

1 - sin ф ^(4.15)

Neddermanin (1992) mukaan passiivisen murtotilan saavuttaminen vaatii erittäin suuren jännitystilan kehittymisen ja tarkastelussa on tällöin huomioitava myös seinämän ja rakeisen materiaalin elastisuus. Passiivista murtotilaa vastaavien jännitysten syntyminen on Neddermanin mukaan kuitenkin mahdollista rakeisen aineen turvotessa merkittävästi. Suuria jännityksiä voi syntyä myös lämpölaajenemisen vaikutuksesta kemiallisissa reaktoreissa, joissa lämpötilavaihtelut voivat olla useita satoja asteita.

De Gennes (1999) on esittänyt tarkastelun rakeisen aineen lämpölaajenemisen vaikutuksista sylinterin muotoisessa jäykkäseinäisessä säiliössä. De Gennes esittää, että lämpölaajenemisen seurauksena lähelle säiliön pintaa syntyy alue, missä jännitykset käyttäytyvät käännetyn Janssenin mallin mukaisesti. Säiliön pohjalla rakeinen aine ei kuitenkaan pysty laajentumaan ja materiaali käyttäytyy elastisesti.

Helenbrook (2009) on esittänyt vastaavan tarkastelun rakeisen materiaalin pakkauksen puristumisesta kokoon kahden seinämän välissä, kun lämpölaajeneminen aiheuttaa seinämien suhteellisen liikkeen. Helenbrookin mukaan yläosassa pakkausta materiaali saavuttaa murtotilan ja jännitykset noudattavat käännettyä Janssenin mallia passiivisen murtotilan sivupamekertoimella. Tietyn syvyyden alapuolella materiaali ei ole kuitenkaan murtotilassa vaan sen muodonmuutos on elastinen.

Käännetyn Janssenin mallin perusteella rakeisen materiaalin liikkuminen ylöspäin tai turpoaminen voi aiheuttaa merkittäviä jännityksiä suhteessa normaaleihin rakeisen aineen ja seinämän välisiin jännityksiin. Tilanteessa on kuitenkin huomioitava myös rakeisen aineen ja seinämän elastisuus, jotka eivät ole mukana Janssenin mallissa.

Janssenin mallin johdossa tehtyjen yksinkertaistusten tmoksi sen ei voida olettaa pitävän paikkaansa eksaktisti, mutta voidaan todeta, että materiaalin laajenemisesta seuraava passiivinen murtotila voi johtaa erittäin suuriin seinämäpaineisiin ja jopa laitevaurioihin.

4.4 Virtaus rakeisen aineen pakkauksen läpi

Monissa käytännön sovelluksissa rakeisen aineen kerroksen läpi virtaa nestettä tai kaasua. Tällainen tilanne on esimerkiksi kiintokerrosreaktoreissa, joissa neste tai kaasu virtaa kiinteän katalyyttikerroksen läpi tai kuivauslaitteissa, joissa kuivausilmaa puhalletaan kiinteän rakeisen aineen läpi.

Rakeisen aineen kerros vastustaa fluidin virtausta, ja aiheuttaa painehäviön dpf/dz.

Pienillä virtausnopeuksilla ja pienillä partikkeleilla painehäviö noudattaa Darcyn lain mukaista muotoa, jonka mukaan virtausnopeus huokoisen pakkauksen läpi on suoraan verrannollinen painehäviöön ja kääntäen verrannollinen virtaavaan fluidin viskositeettiin. Kiinteän kerroksen painehäviölle on johdettu useita korrelaatioita, joista käytetyimpiä on seuraava Ergunin yhtälö. (Bird, Stewart & Lightfoot 2007)

dz D\ £b 4 Dp sb ^(4.16)

Painehäviön suuruuden määrää fluidin virtausnopeus ja pakkauksen huokoisuus £*.

Tässä fluidin virtausnopeutta kuvataan niin sanotulla tyhjäputkinopeudella vq (eng.