8 IONINVAIHTOHARTSIEN LUJUUSOMINAISUUDET
8.3 P ortaittainen ödometrikoe
Näytteen kokoonpuristuvuusominaisuuksia tutkittiin portaittaisen ödometrikokeen availla (CEN ISO/TS 17892-5 2004). Kokoonpuristuvuusominaisuudet määritettiin sekä vedellä kyllästetylle että uunissa kuivatulle näytteelle. Ödometrikoe tehtiin molemmille näytteille kahdella perättäisellä kuormitussyklillä, jolloin voitiin arvioida löyhän ja tiivistyneen materiaalin käyttäytymistä.
Kokeen aikana näytteeseen kohdistuvaa pystyjännitystä aZ2 kasvatettiin portaittain punnuksilla. Kuormitusportaiden aikana näytteen muodonmuutosta seurattiin ajan funktiona. Muodonmuutos voitiin mitata mittakellolla (± 0.002 mm) sekä tietokoneeseen kytketyllä anturilla.
Kuva 35 Koelaite, jolla portaittaiset ödometrikokeet suoritettiin, Aalto Yliopiston pohjarakennuksen ja maamekaniikan laboratorio
Näytteet punnittiiin ödometrirenkaaseen, jonka tilavuus oli 40 cm' (Taulukko 6).
Vedellä kyllästettyä näytetttä valmistettaessa tulee mukaan jonkin verran ylimääräistä vettä, joka poistuu näytteestä ödometrin selliin ja näytteen massan perusteella on vaikea arvioida tarkaa huokoisuutta. Irto tiheyden ja huokoisuuden osalta kyllästetty näyte vastaa taulukossa 4 esitettyjä arvoja.
Taulukko 6 Ödometrikokeiden näytteet
Näyte Kyllästetty Kuiva
Näytteen massa /И näyte g 45.3 32.32
Näytteen korkeus ho cm 2 2
Näytteen tilavuus Vo cm1 40 40
Kosteuspitoisuus Wo % 225 0
IrtotiheyS(b) ph kg/m’ 1132.5 808
Fluidin tiheys Pr kg/ m’ 1000 0
Partikkelitiheys(a) ps kg/m ’ 1182 1375
Huokoisuus(b) £ьо 0.41 0.41
Huokosluku(b) eo 0.69 0.70
a. (Casas 2011) b. amo
Ödometrikokeiden tuloksiin soitettiin maamekaniikassa yleisesti käytetty Janbun tangenttimoduulimalli
r V
£_
-mß VCTv J
+ C (8.2)
Tässä m ja ß ovat tangenttimoduulimallin moduuliluku ja jännityseksponentti.
Vertailujännityksenä crv käytetään yleensä 100 kPa.
Tuloksia verrattiin myös lineaarisen elastisuuden ratkaisuun. Ödometrille saadaan Hooken laista olettamalla jäykässä ödometrirenkaassa pätevän sn. = £ee = 0
£_ + £,0; (8.3)
Tämän perusteella voidaan määritellä ödometrinmoduuli (sekanttimoduuli)
E„ed - a<7=-e
0-°)
(l + uXl -2u) (8.4)
Varsinaisia elastisia parametreja E ja v ei voida määrittää suoraan ödometrikokeen tuloksista, sillä laitteisto ei mahdollista vaakasuuntaisen jännityksen mittaamista.
Ödometrimoduulin ohella on kuitenkin esitetty Youngin moduuli tapauksessa, jossa Poissonin luku on oletettu vakioksi v = 0.2. Lineaarinen elastinen ratkaisu sovitettiin palautus-toisto kuormituksen mittauksiin.
Täysin vedellä kostutetun näytteen ödometrikokeen tulokset on esitetty kuvassa 36 ja mittauksiin sovitetut parametrit on esitetty taulukossa 8. Uunissa kuivatun näytteen ödometrikokeen tulokset on esitetty kuvassa 38 ja tuloksiin sovitetut parametrit taulukossa 7. Lisäksi kuvissa 37 ja 39 on esitetty ödometrikokeen eri kuormitusportaille määritetty' sekanttimoduuli.
200 400 800 1000 1200
— Tangenttiin oduu li -Lineaarinen
elastisuus
Kuva 36 Kyllästetyn näytteen ödometrikoe. Vertailuna esitetty lineaarinen elastinen ratkaisu ja Janbun tangenttimoduulimalli (Taulukko 8).
12000
— Ensimmäinen kuormitus ---Toistokuormitus
600 800 1000 1200 1400
o22 (kPa)
Kuva 37 Kyllästetyn näytteen ödometrimoduuli (sekanttimoduuli) eri kuormitusportailla ensimmäisessä kuormituksessa ja toistokuormituksessa.
Ozz [кРэ]
О 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
3 —
e Kuormitus 1
• Palutus 1
■ Toisto 1 D Palautus 2
— Tangenttimoduuli -Lineaarinen
elastisuus
Kuva 38 Kuivan näytteen ödometrikoe. Vertailuna esitetty ensikuormitukseen sovitettu tangenttimoduulimalli ja toistokuormitukseen sovitettu lineaarinen elastinen ratkaisu (Taulukko 7).
x 104
- 3
Ensimmäinen kuormitus Toistokuomnitus
ozz (kPa)
Kuva 39 Kuivan näytteen ödometrimoduuli (sekanttimoduuli) eri kuormitusportailla ensimmäisessä kuormituksessa ja toistokuormituksessa.
Taulukko 7 Kuivan näytteen ödometrikokeen tuloksiin sovitettu lineaarinen elastinen
Taulukko 8 Kyllästetyn näytteen ödometrikokeen tuloksiin sovitettu lineaarinen elastinen ratkaisu ja tangenttimoduulimalli
Lineaarinen elastisuus Eoed 7666.67 kPa
E 6900 kPa
V 0.2
janbun tangenttimoduuli
1. kuormitus 2. kuormitus
m 41.01 45.47
ß 0.56 0.52
C 0.00 0.02
Ödometrikokeiden tuloksena havaittiin, että ioninvaihtohartsin moduuliluku on epälineaarinen sekä jännitystilan että turpoamisasteen suhteen. Turvonnut hartsi on merkittävästi kuivaa hartsia kimmoisampaa ja kuivan hartsin moduuliluku on yli viisinkertainen turvonneeseen verrattuna. Kuivalle hartsille havaittiin toistokuormituksella jännity seksponentin olevan korkeampi kuin turvonneelle kylläiselle hartsille ja kuivan hartsin elastinen käyttäytyminen on siten jonkin verran lineaarisempaa.
8.4 Kolmiaksiaalinen koe
Näytteen käyttäytymistä elastisella ja plastisella alueella tutkittiin avoimella kolmiaksiaalisella kokeella (CEN ISO/TS 17892-9 2004). Kokeen tavoitteena ok erityisesti elastisten ominaisuuksien määrittäminen näytteen toistokuormituksesta.
Kolmiaksiaalinen koe tehtiin ainoastaan kyllästetylle näytteelle.
Koekappale rakennettiin kumikalvon sisään messinkimuotin avulla (korkeus 10 cm, halkaisija 5 cm). Vedellä kyllästettyä näytetttä valmistettaessa mlee mukaan jonkin verran ylimääräistä vettä, jonka vuoksi on vaikea arvioida näytteen tarkkaa massaa.
Huokoisuuden ja irtotiheyden osalta näyte vastaa taulukossa 4 kyllästetylle näytteelle esitettyjä arvoja.
Näytteen kokoamisen jälkeen näytettä konsolidoidin vuorokauden ajan, siten että sellipaine näytteen ympärillä pidettiin vakiona <73 = 60 kPa ja näytteeseen pystysuunnassa vaikuttava jännitys oli Oi =75 kPa.
Kolmiaksiaalisen kokeen leikkausvaiheen aikana sellipaine näytteen ympärillä pidettiin vakiona O3 = 60 kPa ja näyte leikattiin vakionopeudella 0.01 mm/min. Mittauksen aikana seurattiin näytteen korkeuden muutosta mittakellolla ja näytteeseen kohdistuva aksiaalinen jännitys mitattiin voima-anturilla. Näytteen tilavuuden muutosta seurattiin mittaamalla näytteestä poistuvan veden määrä byretillä. Korkeuden ja tilavuuden muutosta mitattiin myös tietokoneeseen kytketyillä antureilla.
Kuva 40 Näyte kolmiaksiaalisen kokeen leikkauksen aikana. Aalto Yliopiston pohjarakennuksen ja maamekaniikan laboratorio.
Kolmiaksiaalisessa kokeessa pääjännityksille pätee ö", > ö"2 = cr3, jolloin keskimääräinen jännitys p ja deviatorinen jännitys saavat muodon
<7, + 2cr3
q = °ì-°3 (8.6)
Kuvassa 41 on esitetty näytteen käyttäytyminen kolmiaksiaalisen kokeen leikkausvaiheen aikana. Kuvaajasta voidaan erottaa ensimmäinen kuormitus, toistokuormitus ja tasaisen leikkauksen alue.
10.00
Kuva 41 Deviatorinen, leikkaava, jännitys q ja aksiaalinen muodonmuutos £/
kolmiaksiaalisen kokeen aikana
Kolmiaksiaalisen kokeen aikana mitattu p-q jännityspolku on esitetty kuvassa 42.
Materiaalin myötöehto voidaan määritellä näiden jännitysinvarianttien avulla.
70
Kuva 42 Jännityspolku kolmiaksiaalisen kokeen aikana. Keskimääräinen jännitysp ja deviatorinen jännitys qeri aksiaalisen muodonmuutoksen £¡ arvoilla
Myötöehdon parametrien määrittämiseksi olisi tarpeen tehdä useita kolmiaksiaalisia kokeita eri sellipaineen arvoilla. Tässä voidaan kuitenkin verrata kolmiaksiaalisen kokeen tuloksia leikkausrasiakokeen perusteella määritettyyn kitkakulman arvoon.
Leikkauksen aikana jännityssuhteen maksimi on
Г \q_ 0.82 ( \
<t\
\®ъ J
2.12
Mohr-Coulombin myötöehtoa noudattavalle koheesiottomalle materiaalille tämä vastaa kitkakulman arvoa 21.1 °.
Elastisten ominaisuuksien arvioimiseksi nätte palautettiin kesken leikkauksen ja kuormitettiin uudelleen. Elastiset ominaisuudet määritettiin toistokuormituksen ensimmäisen puoliskon mittauksien perusteella.
Poissonin luku voidaan määritellä aksiaalisen venymän £\ ja tilavuuden muutoksen £v attilla (Lade 1987) (Kuva 43). Toistokuormituksesta määritetty Poissonin luku oli 0.19
v (8.7)
0,0045
0,0035
0,0025 y = 0.6145X - 0,0056
R2 = 0,9749 0,0015
0,001 0,0005
Kuva 43 Tilavuuden muutos ja aksiaalinen venymä toistokuormituksen alussa.
Sovitetun suoran kulmakertoimesta voidaan ratkaista Poissonin luku kaavalla (8.7) Youngin moduuli saadaan aksiaalisen jännityksen ja aksiaalisen muodonmuutoksen suhteena (Kuva 44). Aksiaalisen jännityksen asemasta voidaan käyttää deviatorista jännitystä q sillä kokeen aikana Ö3 pysyy vakiona. (Korhonen, Mäkelä 1990) Toistokuormituksesta määritetty' Youngin moduuli oli 7600 kPa.
E = ^ = ^~ (8.8)
Я 40
у = 7603X - 65,461
£1
Kuva 44 Deviatorinen jännitys ja aksiaalinen venymä toistokuormituksen alussa.
Youngin moduuli saadaan tuloksiin sovitetun suoran kulmakertoimena yhtälön (8.8) mukaisesti
9 lonivaihtohartsilla pakattu kiintokerrosreaktori
Tarkasteltava systeemi on ioninvaihtohartsilla pakattu kiintokerrosreaktori (Taulukko 9, Kuva 45). Pakkauksen läpi virtaa hiilivetvseos, jonka normaali virtaussuunta on ylhäältä alas. Reaktori koostuu suorasta sylinterinkuoresta sekä elliptisistä tai korikaaren muotoisista päädyistä. Pakkaus lepää säiliön pohjalla olevan tukiverkon tai inertistä keraamista valmistetun hartsia tukevan pakkauksen päällä. Pakkauksen yläpuolella oleva tyhjä tila on nesteen täyttämä.
Taulukko 9 Ioninvaihtohartsin pakkauksen ominaisuudet
Kuva 45 Mallinnettavan säiliön yksinkertaistettu geometria
Tavoitteena on tarkastella ioninvaihtohartsin pakkauksen sisäisiä jännityksiä ja arvioida säiliön seinämiin kohdistuvaa painetta. Jännitystila voi pakkauksen sisällä vaihdella riippuen esimerkiksi virtausvastuksesta tai pakkauksen laajenemisesta. Tässä työssä tarkastellaan jännitystilaa lepotilassa olevassa pakkauksessa sekä jännitystilaa, joka seuraa pakkauksen turvotessa polaarisen liuottimen tai muun parametrin vaikutuksesta. Lisäksi tarkastellaan säiliön elastisen sylinterikuoren ja pakkauksen pohjan tuennan vaikutusta jännitystilaan ja toisaalta rakenteisiin kohdistuvia jännityksiä. Tutkittavaa tapausta tarkastellaan kappaleessa käistellyllä Janssenin mallilla sekä elementtimentelmän avulla käyttämällä yleistä elementtimenetelmäohjelmistoa COMSOL Multiphysics 4.2a.
Pakkauksen korkeus Ho mm 6000
Sisähalkaisija D mm 3000
S einämävah vuus t mm 50
Reaktorin korkeus TL-TL mm 8800
Partikkelitiheys Ps kg/ mJ 1200
Pedin huokoisuus £b 0,40
Fluidin tiheys Pr kg/m' 550
Pedin bulktiheys Ph kg/m3 940
Virtausnopeus Vo mm/s 5
Nesteen viskositeetti n Pa s 0,2-10"3
Partikkelikoko Dp mm 0,5
9.1 Elementtimenetelmämallin geometria
Kiintokerrosreaktoria mallinnettiin työssä demen ttimenetelmämallilla. Mallissa säiliön päädvt ovat kuvattu elliptisinä ja seinämä suoran sylinterinkuoren muotoisena.
Geometria on kuvattu sylinterikoordinaatistossa ja oletetaan tässä symmetriseksi pyörähdysakselin suhteen. Geometrian dimensiot vastaavat edellä esitettyjä mittoja (Taulukko 9). Mallinnettu säiliön geometria on esitetty kuvassa 46a.
Ioninvaihtohartsin pakkausta tarkasteltiin yksinkertaistetulla ja koko säiliötä kuvaavalla elementtimentelmämallilla. Yksinkertaistetussa mallissa säiliön pohja ja seinä kuvattiin jäykkänä (Kuva 46b). Käytetty laskentaverkko oli tyypiltään rakenteellinen nelikulmainen verkko. Koko säiliön mallissa kuvattiin pakkauksen lisäksi säiliön seinä ja pakkauksen pohjan tuenta (Kuva 46c). Käytetty laskentaverkko on tyypiltään suorakulmainen lukuun ottamatta elliptisen pohjan verkkoa joka on epäsäännöllinen nelikulmainen.
Kuva 46 a) Mallinnettu säiliön geometria b) Laskentaverkko yksinkertaistetulle tapaukselle c) Laskentaverkko koko säiliön geometrialle
9.2 loninvaihtohartsin materiaalimalli
Ioninvaihtohartsi on kuvattu käyttämällä ideaalista elastis-plastista materiaalimallia, jonka parametrit on esitetty taulukossa 10. Malliaineena on vahva kationinvaihtohartsi, jonka parametrit vastaavat Amberlyst™ 16 Wet hartsille mitattuja arvoja. Reaktio-olosuhteissa hartsi on turvonnut vain osittain ja materiaalimallissa on käytetty konservatiivisena amona kuivaa hartsia vastaavia parametreja. loninvaihtohartsin elastisuus on tässä oletettu lineaariseksi.
Plastisen muodonmuutoksen kuvaamiseen käytetään Dmcker-Prager myötöehtoa ja assosiatiivista mvötösääntöä. Mohr-Coulomb myötöehtoa on testattu työn yhteydessä mutta se havaittiin numeerisesti haastavammaksi kuin Drucker-Prager myötöehto.
Drucker-Prager ehdon parametrit määritettiin siten että myötöpinta noudattaa Mohr- Coulomb ehtoa yhtälöiden (5.26) mukaisesti. Maltissa käytettiin koheesiolle pientä arvoa, jotta materiaali pysyisi myötöehdon sisällä tapauksessa, jossa materiaaliin ei vaikuta kokoonpuristavia jännityksiä.
Taulukko 10 Rakeisen aineen materiaalimallin parametrit
Youngin moduuli E MPa 36
Poissonin luku V 0.2
Sisäinen kitkakulma Ф O 24
Koheesio c Pa 0
Drucker-Prager alpha a 0.138
Drucker-Prager k k Pa 0
9.3 Seinämä ja pohjarakenne
Säiliön seinämävahvuus voidaan arvioida seuraavalla yksinkertaistetulla tavalla (Sinnott, Richardson & Coulson 2005). Tasainen seinämään kohdistuva säiliön sisäinen paine p\ aiheuttaa ohuen sylinterikuoren seinämässä kehäjännityksen <J00.
Tässä t on seinämävahvuus ja D sylinterikuoren sisähalkaisija.
aee ~
M
2t (9.1)
Seinämän minimivahvuus saadaan suunnittelupaineen pdes ja suunnittelu]ännityksen
/des avulla
PdesD 2 f des Pdes
(9.2)
Reaktorin päädyt ovat tyypillisesti elliptisiä tai korikaaren muotoisia. Elliptisen päädyn, jonka puoliakseleiden pituuden suhde on kaksi, minimivahvuus voidaan arvioida seuraavalla kaavalla.
PdesD
2 f des - 0.2Pdes
(9.3)
Oletetaan tässä että säiliön sisähalkaisija D = 3 m ja suunnittelupaine on p¡¡es = 3000 kPa, jolloin seinän minimivahvuus on 45.7 mm käytettäessä suunnittelujännityksenä f des — 100 MPa. Vastaava elliptisen päädyn minimivahvuus on 45.1 mm.
Elementtimenetlmämallissa säiliön seinämävahvuutena t käytettiin 50 mm ja seinä on kuvattu lineaarisesti elastisella materiaalimallilla (£'=200 GPa, v=0.3).
Pakatun reaktorin pohjalla voi olla metallinen tukiverkko tai inertistä keraamisesta materiaalista valmistettu tukikerros. Elementtimenetelmämallissa tarkasteltiin reaktoria, jossa ioninvaihtohartsin pakkausta tukee inertistä rakeisesta aineesta valmistettu tukikerros. Tukikerros on kuvattu elastis-plastisella materiaalimallilla (£=50 MPa, v=0.3, ф — 30 °, C=0). Elastis-plastinen malli on vastaava kuin ioninvaihtohartsille käytetty" malli.
9.4 Seinämäkitka
Seinämäkitkakerroin riippuu sekä pakkausmateriaalista, että seinämämateriaalista ja sen karheudesta. Vastaaville materiaaleille mitatut seinämäkitkakertoimet vaihtelevat välillä 0.15...0.4 (Östergren et ai. 1998, Yew 2003). Seinämäkitkakertoimen yläraja vastaa sisäisen kitkan arvoa yhtälön (4.2) mukaisesti, jolloin Mw-max — 0.45.
Seinämäkitkaa ei tämän työn yhteydessä määritetty’ kokeellisesti ja sille on käytetty seuraavaa annota.
Hw = tan<, = -tanø (9.4)
Mallissa käytetvn sisäisen kitkakulman arvolla ф = 24 ° seinämäkitkakertoimeksi saadaan fiw = 0.22. Elementtimentelmämallissa seinämäkitkan on kuvattu käyttämällä COMSOL:in kontaktimallia, jonka periaate on kuvattu kappaleessa 6.2.1. Tässä kitka on oletettu täysin mobilisoituneeksi koko seinän alalla.
9.5 Virtausvastus ja pakkauksen paino
Pakkauksen painehäviö voidaan amoida Ergunin (4.16) tai Kozeny-Carmanin (4.17) vhtälön mukaan. Kuvassa 48 on esitetty huokoisuuden ja virtausnopeuden vaikutus pakkauksen painehäviöön Ergunin yhtälön armila. Hartsivalmistajan suosittama maksimi painehäviö koko pakkaukselle on 100 kPa (Rohm & Haas 2009).
Normaalitilassa (Sb = 0.4, v = 5 mm/s) pakkauksen painehäviö on 3.8 kPa/m.
Ergunin yhtälön avulla laskettua painehäviötä käytettiin sekä Janssenin mallissa että elementtimenetelmämallissa. Painehäviö on molemmissa malleissa oletettu vakioksi pakkauksen differentiaaliselle siivulle.
70
50 —J
"я 40
N 30
10
— 1 mm/s — 3 mm/s —5 mm/s
— 7 mm/s — 10 mm/s
Kuva 47 Ergunin yhtälöstä laskettu pakkauksen painehäviö huokoisuuden funktiona eri virtausnopeuden arvoilla normaaliparametreilla (Taulukko 9).
Partikkelien omasta painosta aiheutuvassa jännityksessä on huomioitava pakkauksen paino sekä väliaineesta aiheutuva noste. Kuvassa 48 on esitetty yhtälöstä (4.5) laskettu pakkauksen paino huokoisuuden funktiona. Normaaleilla parametreillä (Taulukko 9) pakkauksen painosta aiheutuva jännitys 3.8 kPa/m.
Kuva 48 Pakkauksen paino huokoisuuden funktiona, kun partikkeli tiheys on 1200 kg/m3 ja väliaineen tiheys 550 kg/m3
10 Pakkaus lepotilassa
Tässä kappaleessa tarkastellaan pakkauksen jännityksiä lepotilassa, kun materiaaliin kohdistuvat jännitykset aiheutuvat pelkästään materiaalin omasta painosta sekä virtaavan fluidin aiheuttamasta vastuksesta.
Erikoistapauksena on esitetty ratkaisu tapaukselle, missä seinän ja pakkauksen välillä ei ole kitkaa. Kitkallisen seinämän tapauksessa ongelmaa on tarkasteltu normaalin janssenin mallin ja elementtimenetelmämallin avulla yksinkertaistetussa geometriassa.
Lisäksi elementtimenetelmällä on mallinnettu jännityksiä täydellisessä geometriassa, huomioiden myös säiliön seinän elastisuus.
10.1 Kitkaton seinä
Tarkastellaan tilannetta, jossa materiaaliin kohdistuvat jännitykset aiheutuvat pelkästään materiaalin painosta sekä virtaavan fluidin aiheuttamasta vastuksesta. Kun seinä on täysin kitkaton, saadaan pystysuuntainen jännitys
z
(10.1)
<7 V
Seinämä on tässä tarkastelussa oletettu äärimmäisen jäykäksi ja materiaalin venymä £rr säteen suunnassa on estetty-. Mikäli materiaali liukuu seinämillä täysin kitkattomasti, voidaan vaakasuuntainen jännitys ratkaista suoraan Hooken laista (Litte II)
v <7 (10.2)
10.2 Kitkallinen seinä
Kitkallisen seinän tapauksessa ongelmaa tarkasteltiin elementtimenetelmämallilla ja normaalimuotoisella janssenin mallilla. Elementtimenetelmämallissa pakkaus on kuvattu elastis-plastisena (Taulukko 10) ja seinämän kitka on kuvattu käyttämällä COMSOL:in kitkamallia.
Elementtimenetelmämallin avulla määritetty säteissuuntainen ja pystysuuntainen jännitys on esitetty kuvassa 49.
6.5 • 6 • 5.5 • 5 ■ 4.5 -
4 •
3.5 ■ 3
-2.5 -
2 ■
1.5 -
1 •
0.5
0
0.5
--1
Surface: (kPa)
Kuva 49 Elementtimenetelmämallin säteissuuntainen ja pystysuuntainen jännitys lepotilassa olevassa pakkauksessa.
Kuvassa 50 on esitetty jännitykset seinämällä ja keskellä pakkausta. Jännitykset seinällä ja keskellä pakkausta ovat lähellä toisiaan, mutta pystysuuntaisen jännityksen osalta ne poikkeavat lähellä säiliön pohjaa.
---etrr (wall) 5.5
-<?„ (center) erZ2 (center)
Kuva 50 Elementtimenetelmämallin säteissuuntainen ja pystysuuntainen jännitys seinällä (l* = 1.5 m) ja keskellä pakkausta (r = 0 m)
Tapausta voidaan arvioida myös normaalilla Janssenin mallilla, joka on käsitelty kappaleissa 4.2 ja 4.4. janssenin mallin soveltamiseksi on tunnettava sivupainekerroin K. Jos materiaali ei ole murtotilassa ja käyttäytyy täysin elastisesti, Janssenin mallin sivupainekerroin voidaan ilmoittaa Poissonin luvun avulla, (de Gennes 1998, Ovarlez 2005)
Kj — —— (10.3)
1 -v
Toisaalta tarkasteltavassa tilanteessa voi syntyä aktiivinen murtotila, jolloin sivupainekerroin saadaan yhtälöllä (2.9).
Kuvassa 51 on vertailtu kappaleessa 4.2 käsitellyn normaalin Janssenin mallin ja elementtimenetelmän atadla laskettua seinämällä vallitsevaa jännitystä. Janssenin malli on esitetty sekä elastisuuteen perustuvan että aktiivisen murtotilan sivupainekertoimen atadla. Tässä havaitaan, että elementtimenetelmämenetelmän tuloksena saatu jännitys noudattaa aktiivisen murtotdan käyttäytymistä.
rr, Janssen, elastic zz, Janssen, elastic rr, Janssen, active zz,Janssen,active
a [kPa]
Kuva 51 Seinämäpaine lepotilassa. Elementtimenetelmän ratkaisu verrattuna Janssenin malliin eri sivupainekertoimilla (elastinen muodonuutos, aktiivinen murtotila ).
Elementtimenetelmän ja Janssenin mallin tulokset ovat muodoltaan lähes yhtenevät ja niiden suuruusluokka on sama. Molempien maitien tulosten perusteella sisäiset jännitykset tasaantuvat syvällä pakkauksessa. Ero mallien välillä havaitaan pakkauksen pohjalla, jossa elementdmenetelmämallin perusteella pystysuuntainen jännitys laskee nopeasti. Työn yhteydessä havaittiin myös, että elementdmenetelmämallin tulokset vastaavat Janssenin mallia elastisuuteen perustuvalla sivupainekertoimen arvolla, mikäli käytetään elastis-plastisessa mallissa suurempaa koheesion arvoa, jolloin myötöehto ei toteudeu.
Elernenttdmenetelmämallin avulla tarkasteltiin myös Janssenin mallin johdossa tehtyjä oletuksia. Janssenin mallin johdossa tehtiin oletus, että suurimman ja pienimmän pääjännityksen suunta vastaa koordinaattiakselien z ja r suuntaa ja oletettiin poikkileikkauksen jännitykset vakioiksi. Kuvassa 52 on esitetty elementtimentelmämallin suurimman kokoonpuristavan pääjännityksen suunta.
Tulosten perusteella pääjännitykset ovat lähellä Janssenin mallin oletuksia, mutta suunta kääntyy7 lähellä säililön seinää.
Principal stress Cty (kPa)
▲ 17.939
Kuva 52 Elementtimenetelmämallin suurin kokoonpuristava pääjännitys ioninvaihtohartsin pakkauksessa. Nuolet ilmaisevat pääjännityksen suunnan.
Kuvassa 53 on esitetty poikkileikkauksen jännitysprofiili eri syvyyksillä pakkausta.
Tulosten perusteella jännitysprofiili ei ole vakio poikkileikkauksen alalla. Tässäkin erot ovat pieniä lukuun ottamatta pakkauksen pohjaa, missä erityisesti pystysuuntainen jännitys muuttuu merkittävästi poikkileikkauksen alalla.
r-coordìnate (m)
■1.0 m
■1.5 m
r-coordinate (m)
Kuva 53 Elementtimenetelmämallin säteissuuntainen ja pystysuuntainen jännitys pakkauksen poikkileikkauksen yli kolmella eri korkeudella.
Kuvassa 54 on esitetty kontaktini allin pintakuorma ja kitkavoima seinällä. Tulosten perusteella kitka on täysin mobilisoitunut ja saavuttanut suurimman mahdollisen arvonsa koko seinämän alueella, lukuun ottamatta pientä aluetta seinän alaosassa.
Kuva 54 Elementtimenetelmämallin kontaktiin allin pintakuorma <7rr ja kitkavoima
Giz (kPa). Kitkan suunta on ylöspäin.
10.3 Täydellinen geometria
Lepotilassa olevan pakkauksen jännitykset ratkaistiin elementtimenetelmän aroilla myös täydelliselle geometrialle. Täydellisessä geometriassa määritetty säteissuuntainen ja pystysuuntainen jännitys on esitetty kuvassa 55.
Kuva 55 Elementtimenetelmämallin säteissuuntainen ja pystysuuntainen jännitys täydellisessä geometriassa lepotilassa olevalle pakkaukselle.
Elementtimenetelmän tulosta verrattiin tässäkin tapauksessa Janssenin malliin.
Janssenin mallin avulla ratkaistiin jännitykset suoran sylinterikuoren alueella käyttämällä aktiivista murtotilaa vastaavaa sivupainekertoimen arvoa. Mallin perusteella säiliön seinällä ja säiliön pohjarakenteella ei tässä tapauksessa ole suurta vaikutusta itse pakkauksen jännityksiin ja mallin tulokset vastaavat ioninvaihtohartsin pakkauksen osalta yksinkertaistetun mallin tuloksia. Elementtimenetelmämallin ja normaalin Janssenin mallin tulokset ovat lähellä toisiaan (Kuva 56). Tässä Janssenin malli on esitetty aktiivisen murtotilan sivupainekertoimen aroilla.
гг, Janssen, active zz, Janssen, active
---о,
--- G.
zz. FEM
g [kPa]
Kuva 56 Elementtimenetelmällä ratkaistu jännitystila seinällä verrattuna normaaliin Janssenin malliin.
11 Pakkauksen turpoamisen aiheuttama jännitys
Tässä kappaleessa tarkastellaan pakkauksen sisäisiä jännityksiä, kun pakkaus turpoaa esimerkiksi veden tai muun polaarisen liuottimen vaikutuksesta. Turpoaminen on määritelty pakkauksen tasaisena alkuvenymänä kaikissa suunnissa
£0 = &0.IT ~ ^0,86 = ^0,zz
Vastaava pakkauksen tilavuuden muutos saadaan V
K
=k+i )3 (11.2)
Erikoistapauksena esitetään ratkaisu tapaukselle, missä seinän ja pakkauksen välillä ei ole kitkaa, jolloin ratkaisu saadaan analyyttisesti Mohr-Coulombin ehdon ja lineaarisen elastisen ratkaisun availla. Kitkallisen seinämän tapauksessa ongelmaa on mallinnettu yksinkertaistetulla elementtimenetelmämallilla, jossa seinä ja pakkauksen pohjan menta on kuvattu jäykkänä (Kuva 46b). Elementtimenetelmän ratkaisua vertaillaan kappaleessa 4.3 esitetyn käännetyn Janssenin mallin ratkaisuun. Lisäksi elementtimenetelmän armila on mallinnettu jännityksiä täydellisessä geometriassa (Kuva 46c) huomioiden myös seinän ja pakkauksen pohjan elastisuus.
11.1 Kitkaton seinä
Oletetaan, että rakeiseen aineeseen aiheutuva pystysuuntainen jännitys aiheutuu materiaalin omasta painosta sekä väliaineen virtauksesta ja materiaali liukuu seinämällä täysin kitkattomasti. Kun rakeinen aine laajenee venymän Eo mukaisesti, saadaan jännitystilaksi Hooken laista
tr., =f. Ф
Edellä esitetty tulos kuvaa lineaarisesti elastista materiaalia. Säteissuuntainen jännitys ei kuitenkaan voi kasvaa rajatta ilman että pakkaus murtuu. Murtumista voidaan tarkastella Mohr-Coulombin myötöehdolla.
Kun seinämät ovat täysin kitkattomat, vallitsevat pääjännitykset ovat koordinaattiakseleiden suuntaiset. Tässä tilanteessa säteen suuntainen jännityskomponentti on suurin kokoonpuristava pääjännitys <T\ ja Mohr-Coulombin myötöehdosta saadaan
1 + sin^ . COSÒ
G = cr..---+ 2c
---'M - sin ф 1 - sin ф (11.5)
Myötöehto ilmoittaa mahdollisen jännitystilan ylärajan. Pienemmillä jännityksen arvoilla materiaalin käyttäytyy lineaarisesti elastisesti (Kuva 57).
arr £=0.00075 arr£n=°.0015 --o (Mohr-Coulomb)
-a [kPa]
Kuva 57 Turpoavan pakkauksen jännitys, kun seinämän ja materiaalin välillä ei vallitse kitkaa. Kuvassa on esitetty jännitystila eri turpoamisen arvoilla sekä Mohr- Coulombin myötöehto.
11.2 Kitkallinen seinä
Kitkallisen seinän tapauksessa ongelmaa tarkasteltiin elementtimenetelmämallilla ja käännetyllä Janssenin mallilla. ElementtimenetelmämaUissa ioninvaihtohartsi on kuvattu elastis-plastisella materiaalimallilla (Taulukko 10). Seinämäkitka on kuvatm COMSOLdn kitkamallilla ja kitka on oletettu täysin mobüisoituneeksi. Ongelmaa on tarkasteltu yksinkertaistetussa geometriassa, jossa seinä ja pakkauksen pohja oletettiin jäykäksi.
Kuvissa 58 ja 59 on esitetty säteissuuntainen ja pystysuuntainen jännityskomponentti pakkauksessa turpoamisen £0 arvoilla 0.01 ja 0.03. Jännityshuippu sijoittuu elementtimenetelmämallin mukaan ioninvaihtohartsin pakkauksen pohjalle lähelle seinämää.
e0=0.01, Surface: (kPa) e0=0.01, Surface: a= (l<Pa)
A 678.83 7 •
Kuva 58 Elementtimenetelmämallin jännityskomponentit <Tn. ja ö"„_ pakkauksessa kun £n = 0.01
e0=0.030, Surface: On- (кРа) e0=0.03, Surface: (kPa)
Kuva 59 Elementtimenetelmämallin jännityskomponentit Gn. ja cr„ pakkauksessa kun £0 = 0.03
Kuvassa 60 on esitetty elementtimenetelmällä ratkaistu säteen suuntainen jännitys seinämällä eri turpoamisen arvoilla. Ratkaisusta havaitaan kuinka materiaalin turvotessa jännitystila kasvaa, kunnes myötöehto saavutetaan.
Pakkauksen pohjalla vallitsee tila, jossa pakkaus ei pysty juurikaan laajentumaan.
Tässä tapauksessa kaikki jännityskomponentit lähestyvät Hooken lain mukaisesti arvoa.
o - -£q£
1 -2v
(11.6)
Kuvassa 61 on vertailtu säteissuuntaista ja pystysuuntaista jännitystä seinällä ja pakkauksen pohjalla. Seinämäkitkan vaikutuksesta havaitaan pystysuuntaisen jännityksen olevan seinällä suurempi kuin pakkauksen keskellä. Murtotilassa jännitysprofiilin muoto on yhtenevä seinällä ja keskellä pakkausta.
2000 E"
Kuva 60 Elementtimenetelmäni allin j ännity skomponentti ö"rr seinämällä R=1.5 m eri turpoamisen arvoilla. Käyrien parametreinä on turpoaminen £0. Kuvaan merkitty lisäksi kolmioilla Hooken lain mukainen rajajännitys (11.6).
e0=0.01 e0=0.03
Kuva 61 Elementtimenetelmämallin säteissuuntainen ja pystysuuntainen jännitys seinällä (r = 1.5 m) ja keskellä pakkausta (r = 0 m) eri turpoamisen arvoilla.
Työssä havaittiin, että elementtimenetelmäin allin perusteella pakkauksen tilavuuden muutos on merkittävästi suurempi kuin yhtälön (11.2) perusteella tulisi olla. Tulos johtuu käytetystä assosiatiivisesta mvötösäännöstä, joka aiheuttaa materiaalin myötäessä dilataation.
Turpoamisen kasvaessa myötöehto saavutetaan lopulta myös pakkauksen pohjalla.
Tällöin koko pakkaus on murtotilassa ja jännitystilaa voidaan tällöin arvioida myös kappaleessa 4.3 esitetyllä käännetyllä Janssenin mallilla. Turpoavan pakkauksen tapauksessa seinämäkitka pyrkii estämään materiaalin laajenemisen ja kitkan suunta on kohti säiliön pohjaa.
Kuvissa 62 ja 63 on esitetty elementtimenetelmämallin ratkaisu verrattuna käännettyyn Janssenin malliin. Tässä Janssenin malli on ratkaistu elementtimenetelmää vastaavilla parametreillä ja kääntämällä turvonneen pakkauksen korkeutena vertailun vuoksi elementtimenetelmämallin ratkaisua. Pienillä turpoamisen arvoilla elementtimenetelmämallin tulos ja Janssenin mallin tulos ovat lähellä toisiaan ja Janssenin malli näyttää kuvaavan murtotilassa olevan osan pakkauksesta hyvin (Kuva 62)
rr, Janssen zz.Janssen
1000 1200 1400 1600 1800 o [kPa]
Kuva 62 Elementtimenetelmämallin tulos verrattuna passiivista murtotilannetta kuvaavaan Janssenin malliin £0 = 0.01.
Suurilla turpoamisen arvoilla Janssenin mallin tuloksena saatavat jännitykset ovat paljon elementtimenetelmämallin tuloksia suurempia (Kuva 63). Mallien tulokset ovat kuitenkin muodoltaan lähes yhteneviä ja molempien mukaan tuloksena on säiliön pohjaa kohti eksponentiaalisesti kasvava jännitysprofiili, kun koko pakkaus on murtotilassa.
rr, Janssen zz.Janssen
---a.
a [kPa]
Kuva 63 Elementtimenetelmämallin tulos verrattuna passiivista murtotilannetta kuvaavaan Janssenin malliin £0 = 0.03.
Suurin ja keskimmäinen kokoonpuristava pääjännitys on esitetty kuvassa 64.
Turpoavan hartsin tapauksessa suurin kokoonpuristava pääjännitys pakkauksen pohjalla on в -suuntainen. Keskimmäinen pääjännitys on säteissuuntainen ja se käänny seinän lähellä kitkan vaikutuksesta.
e0=0.03 Principal stresses, Surface: (kPa)
Kuva 64 Elementtimenetelmäni allin suurimmat kokoonpuristavat pääjännitykset O", (sin.) ja <7, (vihr.) laajenevan ioninvaihtohartsin pakkauksessa. Kuvassa esitetty lisäksi suurimman pääjännityksen suuruus turpoamisen arvolla £0 = 0.03.
Kontaktimallin tulosten perusteella kitka on täysin mobilisoitunut lukuun ottamatta pakkauksen alaosaa, jossa materiaali ei alussa pysty laajentumaan vapaasti.
Turpoamisen edetessä havaitaan että kitka on täysin mobilisoitunut (Kuva 65).
e0=0.01 e0=0.03
Kuva 65 Elementtimenetelmämallin kontaktimallin pintakuorma <7n. ja kitkavoima O",, (kPa). Kitkan suunta on negatiivisen z-akselin suuntaan. /,/и, =0.22
11.3 Täydellinen geometria
EdeUä tarkastellussa mallissa säiliön seinämä ja pakkauksen pohja oli kuvattu jäykkänä. Todellisuudessa säiliön seinä on elastinen ja rakeisen aineen siihen
EdeUä tarkastellussa mallissa säiliön seinämä ja pakkauksen pohja oli kuvattu jäykkänä. Todellisuudessa säiliön seinä on elastinen ja rakeisen aineen siihen