3.2.2. Pinta
3.2.2. Pinta -ala alkioiden summana - ala alkioiden summana
Ks. kirja s. 76
∫
∫ =
=
b
a b
a
dx x f dA
A ( )
3.2.3. Kahden k
3.2.3. Kahden k ä ä yr yr ä ä n vä n v älinen alue linen alue
Kahden k
Kahden kääyryrään vn välisen alan laskeminenälisen alan laskeminen Laske käyrien leikkauspisteet (a ja b).
Piirrä kuvaajat, josta saat selville kumpi käyristä kulkee korkeammalla (olkoon f(x) > g(x) ).
∫ −
=
b
a
dx x
g x
f
A ( ( ) ( ))
E.3. Laske sen alueen ala, jota rajoittavat käyrät y = xE.3. 2 + 3, y = x2 - 4, x = -1 ja x = 3.
∫
−
−
− +
=
31
2
2
3 ) ( 4 ))
(( x x dx
A
∫
−
+
− +
=
31
2
2
3 4 )
( x x dx
∫
−
=
3
1
7dx
x 7 /
3
−1
= = ( 7 ⋅ 3 ) − ( 7 ⋅ ( − 1 )) = 28
E.4. Laske paraabelien y = xE.4. 2 - x - 1 ja y = -x2 + x + 3 rajoittaman alueen ala.
y = -x2 + x + 3
y = x2 - x - 1
∫
−
−
−
− +
+
−
=
21
2
2
3 ) ( 1 ))
(( x x x x dx
A
∫
−
+ +
− + +
−
=
21
2
2
3 1 )
( x x x x dx
∫
−
+ +
−
=
21
2
2 4 )
2
( x x dx
) 3 4
( 2
/
3 22
1
− x + x + x
=
−Leikkauskohdat:
x
2− x − 1 = − x
2+ x + 3 ⇔ 2 x
2− 2 x − 4 = 0
Ratkaisukaavalla: x1 = -1, x2 = 2
)) 1 ( 4 )
1 ( )
1 3 (
( 2 ) 2 4 2
3 2
( − 2 ⋅
3+
2+ ⋅ − − ⋅ −
3+ −
2+ ⋅ −
= ) 4 3 1
( 2 ) 8 3 4
( − 16 + + − + −
= 9
3 27 3
7 3
20 + = =
=
Ks. kirjan esimerkki 4, sivu 76
1. Integroiminen y
1. Integroiminen y--akselia pitkinakselia pitkin Määritä rajat (a, b).
Piirrä kuvaaja (kummalla puolella y-akselia).
Käyrä yleensä muotoa x = x(y).
Jos käyrä on y-akselin oikealla puolella, niin
3.1.4. K
3.1.4. K äyr ä yr ä ä n ja y- n ja y - akselin vä akselin v ä linen alue linen alue
∫
=
b
a
dy y x A ( )
2. Muuttujan vaihto alan laskemiseksi 2. Muuttujan vaihto alan laskemiseksi
Vaihda x ↔ y, jolloin pääsee laskemaan näin saadun käyrän ja x-akselin välistä alaa
E.5. Laske käyrän x = 4 - yE.5. 2 ja y-akselin rajoittaman alueen ala.
TAPA I:
RAJAT: 4 – y2 = 0 y = ± 2
∫
−
−
=
2
2
2
) 4
( y dy A
3 ) 4 1
(
/
32
2
y − y
=
−) ) 2 3 (
) 1 2 ( 4 ( ) 3 2
2 1 4
( ⋅ −
3− ⋅ − − ⋅ −
3=
3 10 2 3
) 32 3 ( 16 3
16 − − = =
=
TAPA II:
RAJAT: x = 0
x = 4 – 02 = 4
dx x
dx x
A = ∫ − = ∫
4−
0
½ 4
0
1
4 ( 4 )
2 / 4 3
0
( 4 )
½ 1
/ 1 − x
− +
=
3 ) 16 3 0 16
( − =
−
= )
) 0 4 3 ( ) 2
4 4 3 (
( 2 −
3/2− −
3/2−
=
dx
∫ − ⋅ − x
−
=
4
0
)
½4 ( ) 1 (
2 / 4 3
0
