Kahden vapausasteen radiaalilaakerijärjestelmän epälineaarinen mallinnus ja tilasäätö

S¨ahk¨otekniikan koulutusohjelma Kandidaatinty¨o

Antti Paajanen

Kahden vapausasteen radiaalilaakerij¨arjestelm¨an ep¨alineaarinen mallinnus ja tilas¨a¨at¨o

6.5.2020

Lappeenrannan- Lahden teknillinen yliopisto LUT School of Energy Systems

S¨ahk¨otekniikan koulutusohjelma Antti Paajanen

Kahden vapausasteen radiaalilaakerij¨arjestelm¨an ep¨alineaarinen mallinnus ja tilas¨a¨at¨o

Kandidaatinty¨o 2020

33 sivua, 17 kuvaa, 3 taulukkoa Ohjaaja: TkT Niko Nevaranta

Avainsanat: Aktiivimagneettilaakeri; Mallinnus;

Aktiivisen magneettilaakerin mallinnus voidaan toteuttaa esimerkiksi analyyttisesti laske- malla, mallintamalla se esimerkiksi FEM (Finite Element Method) menetelm¨all¨a tai identi- fioimalla malli valmiista laakerista testien perusteella. Magneettilaakerit voidaan jakaa aktii- visiin, passiivisiin ja hybridilaakereihin, joissa k¨aytet¨a¨an aktiivisia ja passiivia komponent- teja. Magneettilaakereiden k¨aytt¨okohteita ovat suurnopeusk¨ayt¨ot ja pumput, erityisesti tilat ja olosuhteet, joissa mekaanisen laakerin voiteluaineista voi olla haittaa. Magneettilaake- rin suurimpia etuja ovat korkeiden py¨orimisnopeuksien kesto, voiteluaineiden tarpeettomuus sek¨a roottorin ja laakerin fyysisen kontaktin puute. Edell¨a mainituista eduista kaksi viimei- sint¨a takaavat pitk¨an k¨aytt¨oi¨an ja huoltovarmuuden.

T¨ass¨a kandidaatin ty¨oss¨a perehdyt¨a¨an aktiivisen magneettilaakerin mallinnukseen analyyt- tisesti laskennan perusteella sek¨a FEM mallinnuksen kautta luodun ep¨alineaarisen haku- taulukko mallin luomiseen. Ty¨on tavoitteena on luoda toimiva ep¨alineaarinen hakutaulukko malli, FEM mallinnetusta datasta Matlab ja Simulink ymp¨arist¨o¨on. Mallin toiminta verifioi- daan vertaamalla sit¨a analyyttisesti lasketun mallin simulointituloksiin sek¨a koelaitteiston mittaustuloksiin. S¨a¨at¨orakenteena k¨aytet¨a¨an tilas¨a¨adint¨a, jonka toiminta ja periaatteet rapor- toidaan ty¨oss¨a. Tilas¨a¨adin on viritetty napojen sijoittelulla ja sen virityst¨a muokataan sopi- vammaksi uudelle mallille. Malli todettiin toimivaksi vertaamalla sit¨a analyyttisen lasken- nan kautta saadun mallin simulaatioon, kun roottori nostettiin turvalaakereilta toimintapis- teeseen ja toimintapisteess¨a tehtyjen paikka referenssin askelmaisten muutosten luomiin vas- teisiin. Vasteista n¨ahd¨a¨an mallin kuvaavan systeemi¨a oikein analyyttisen mallin linearisointi alueella, sek¨a ep¨alineaarisen mallin dynamiikka toimittaessa linearisointi alueen ulkopuo- lella. Simuloinneista huomattiin j¨arjestelm¨an s¨a¨atimen tarvitsevan uudelleen virityst¨a, jotta ep¨alineaarisen mallia saatin s¨a¨adetty¨a. S¨a¨atimen virityksen j¨alkeen saatiin sen soveltuvuut- ta parannettua ep¨alineaariselle mallille, tulosten kautta n¨ahtiin my¨os analyyttisesti lasketun mallin ja alkuper¨aisen s¨a¨atimen mukanaan tuomat virheet.

Lappeenrannan- Lahden University of Technology LUT School of Energy Systems

Electrical Engineering Antti Paajanen

Non Linear Modelling and State-feedback Control of a 2 Degree of Freedom Radial Bearing System

Bachelor’s Thesis 2020

33 pages, 17 figures, 3 tables Ohjaaja: TkT Niko Nevaranta

Keywords: Active magnetic bearing; Modeling;

Modeling of an active magnetic bearing (AMB) system can be carried out by analytical calculation, from FEM (Finite Element Method)-based modeling or identification from bea- ring system with testing. Magnetic bearings can be divided into active, passive and hybrid magnetic bearing according to their properties. The hybrid bearing uses active and passive components in same bearing system. Some examples where magnetic bearings are applied are highspeed drives/pumps, especially under conditions, where lubricants of mechanical bearing are not suitable. Major advantages of AMBs are durability for high rotational speed, redundancy of lubricants, and lack of physical contact between the rotor and bearing. The last two mentioned guarantees long lifetime and good reliability.

In this thesis modeling of active magnetic bearing is presented through analytical calculation and by creating a nonlinear Look-Up-Table (LUT) model from FEM modelled data. The main goal is completing functional LUT model to Matlab and Simulink environment. Correct operation of the model is verified by comparing simulation results to results from analytical model and test results from test device. The controller for system is a state-space controller which is tuned by pole placement. The state-space controller is reported in this thesis and controller is tuned to correspond the new nonlinear model. The new model is noticed to work as expected by comparing it to simulation and test results, where rotor is lifted from safety bearing to operating point and moved in operating area by creating transient steps in position reference. The responses from simulations shows that the nonlinear model corresponds to the analytical model in proximity of the operating point and shows the benefits of nonlinear model in operating outside from operation point. From the simulations it can be seen that the controller needs further tuning to be used with the derived nonlinear model. By minor tuning, the controller was able to function better with the nonlinear model, from the results also the discrepancies of analytical model and original controller can be seen.

Symboliluettelo 6

Lyhenneluettelo 8

1 Johdanto 9

2 Magneettilaakerien toiminta 10

2.1 Kappaleen liikkeen stabiliointi ja vapausasteet . . . 10

3 Aktiivisen magneettilaakerin dynamiikan mallinnus 13 3.1 Lineaarinen ja ep¨alineaarinen mallinnus . . . 13

3.2 Kahden vapausasteen systeemi . . . 18

3.3 Mallinnus Simulink-ymp¨arist¨oss¨a . . . 19

3.4 Tilaesitys . . . 21

4 Tilas¨a¨at¨o 23 4.1 Tilaestimaattori . . . 23

4.2 Integroiva tilas¨a¨at¨o . . . 25

4.3 Lineaarisen tilas¨a¨ad¨on simulointimalli . . . 25

4.4 Ep¨alineaarisen mallin tilas¨a¨at¨o . . . 26

5 Mallin verifiointi 27 5.1 Mittaustulos . . . 27

5.2 Mallien simulaatiot . . . 28

6 Yhteenveto ja kehitysehdotukset 32

Taulukot 34

Kuvat 35

A Systeemimatriisi

A_a Ilmav¨alin poikkipinta-ala A_{f e} Rautasyd¨amen poikkipinta-ala α Voiman kulma

B Magneettivuontiheys B Ohjausmatriisi

B_a Magneettivuontiheys ilmav¨aliss¨a B_{f e} Magneettivuontiheys rautasyd¨amess¨a C L¨aht¨omatriisi

f Voima

f₋ Laakerikoordinaatistossa negatiivisen suuntainen voima f₊ Laakerikoordinaatistossa positiivisen suuntainen voima f_x Laakerikoordinaatistossa roottoriin vaikuttava voima g Putoamiskiihtyvyys

H_a Magneettikent¨anvoimakkuus ilmav¨aliss¨a H_{f e} Magneettikent¨anvoimakkuus syd¨amess¨a i K¨a¨amivirta

i₀ Biasointivirta i_c Ohjausvirta

i_max K¨a¨amin suurin magnetointivirta K Tilatakaisinkytkenn¨an vahvistus K_i Integroivan tilan vahvistus k Magneettinen j¨aykkyys k_s Paikkaj¨aykkyys

k_i Virtaj¨aykkyys

l_{f e} Rautasyd¨amen magneettikent¨an pituus

m Massa

µ₀ Tyhji¨on permeabiliteetti

µ_r Raudan suhteellinen permeabiliteetti n K¨a¨amin kierrosluku

Ilmav¨ali

s₀ Ilmav¨ali toimintapisteess¨a T Staattinen vahvistusvakio u Tulovektori

V_a Ilmav¨alin tilavuus

W_a Ilmav¨aliin varastoitunut energia

x Paikka x-akselilla laakerikoordinaatistossa / Siirtym¨a / tilamuuttuja y Paikka y-akselilla laakerikoordinaatistossa

AMB Active Magnetic Bearing FEM Finite Element Method LUT Look up table

SISO Single Input, Single Output

1 Johdanto

Aktiivimagneettilaakeriteknologiaa hy¨odynnet¨a¨an teollisuuden sovelluksissa kuten suurno- peuskoneissa. Suurimmat hy¨odyt magneettilaakerin k¨ayt¨oss¨a ovat v¨ah¨ainen kitka, joka joh- tuu laakerin fyysisen kontaktin puutteesta vastakappaleeseen, my¨os suurien py¨orimisno- peuksien kesto, sek¨a oikein toteutettuna huoltovarmuus ovat laakerin ehdottomia etuja. Laa- keria voidaan k¨aytt¨a¨a tiloissa, joissa voiteluaineista ja kemikaaleista on haittaa tai niit¨a ei voi- da k¨aytt¨a¨a(Mustonen 2015). Kohteissa, joissa mekaanisten laakereiden mahdollisista voite- luaineiden vuodoista on prosessille haittaa tai vuoto tuhoaa tuote-er¨an voidaan k¨aytt¨a¨a mag- neettilaakereita mekaanisten laakereiden sijasta, kuten esimerkiksi l¨a¨ake- ja elintarviketeolli- suudessa. My¨os erityisen vaativat toimintaymp¨arist¨ot, kuten matalat/korkeat k¨aytt¨oymp¨aris- t¨on l¨amp¨otilat, sek¨a laakereiden k¨aytt¨o tyhji¨oss¨a voivat vahingoittaa mekaanisia laakerointe- ja. Magneettilaakeri soveltuu n¨aihin kohteisiin hyvin toimintaperiaatteensa ja voiteluaineiden puutteen takia. (Chiba et al. 2005) (Larjo 2006). Aktiivisia magneettilaakereita on k¨ayt¨oss¨a suurnopeusteknologiaan perustuvissa moottoreissa ja pumpuissa, sek¨a niit¨a on my¨os hy¨odyn- netty esimerkiksi dialyysihoidoissa k¨aytett¨aviss¨a veripumpuissa. (Schweitzer et al. 2009) (Chiba et al. 2005).

T¨ass¨a kandidaatinty¨oss¨a perehdyt¨a¨an kahden vapausasteen aktiivisen magneettilaakerin ti- las¨a¨at¨o¨on sek¨a ep¨alineaariseen mallinnukseen. Tarkasteltavassa laitteistossa roottori on laa- keroitu toisesta p¨a¨ast¨a magneettilaakerilla. Vastaavasti toinen p¨a¨aty on laakeroitu kuulalaa- kerilla sek¨a tuettu siten, ett¨a roottorin pitkitt¨aissuuntainen liike on rajoitettu mekaanisesti.

Ep¨alineaarisen mallin perustana toimii laakerin FEM-malli, jonka avulla Matlab/Simulink ymp¨arist¨o¨on tehd¨a¨an hakutaulukko (engl. look-up-table (LUT)) kuvaamaan laakerin paikka- ja virtaj¨aykkyytt¨a. J¨arjestelm¨a¨a s¨a¨adet¨a¨an tilas¨a¨ad¨olla, jonka viritys perustuu napojen sijoit- teluun linearisoidulle mallille.

2 Magneettilaakerien toiminta

Magneettilaakerit voidaan jakaa passiivisiin ja aktiivisiin laakereihin toimintatapansa perus- teella. Aktiivinen magneettilaakeri perustuu magneettisen kappaleen leijuttamiseen s¨ahk¨o- magneeteilla luodun magneettikent¨an avulla. S¨a¨at¨otekniikan kannalta tarkasteltuna, laakerin toiminta perustuu magneettikent¨ast¨a aiheutuvan voiman aktiiviseen s¨a¨at¨o¨on riippuen mita- tusta roottorin hetkellisest¨a paikasta, eli roottorin keskipisteen et¨aisyydest¨a laakerin keski- pisteeseen (Schweitzer et al. 2009). Vastaavasti passiivinen magneettilaakeri perustuu kiin- teisiin magneettisiin ominaisuuksiin, joita ei voida s¨a¨at¨a¨a k¨ayt¨on aikana vaan ne on mitoi- tettava tietty¨a k¨aytt¨otarkoitusta varten. Esimerkiksi passiivilaakeri voidaan toteuttaa kesto- magneeteilla. Passiivisen magneettilaakerin heikkouksia ovat niiden liikkeen vaimennuksen puute sek¨a ominaisuuksien s¨a¨at¨amisen puute, jolloin v¨ar¨ahtelyit¨a ja muutostilanteita ei voida kompensoida (Gr¨asbeck 2018) (Chiba et al. 2005). Passiivisia magneettilaakereita voidaan k¨aytt¨a¨a yhdess¨a aktiivisten magneettilaakereiden kanssa, jolloin ominaisuuksien puutteita voidaan kompensoida aktiivisella laakerilla. Samalla saadaan k¨aytt¨o¨on my¨os passiivisen laa- kerin hy¨odyt, kuten toimintavarmuus ja se, ettei laakerin toimintaan vaadita kestomagneet- tien takia ulkoista energiaa. T¨allaista aktiivisten ja passiivisten magneettilaakereiden yhdis- telm¨a¨a kutsutaan hybridimagneettilaakeriksi. (Schweitzer et al. 2009).

2.1 Kappaleen liikkeen stabiliointi ja vapausasteet

Kuvassa 1 on esitetty yhden vapausasteen aktiivisen magneettilaakerin periaate. Kuvassa olevassa j¨arjestelm¨ass¨a painovoiman f_g vaikutus kumotaan magneettisella vetovoimalla f_m, jolloin jos roottorin mahdollinen liikerata olisi vain vertikaalisuuntainen eli koordinaatistos- sa katsottunaY suuntainen, oikein s¨a¨adetty magneettinen vetovoima pit¨a¨a roottorin halutussa paikassa paikkareferenssin mukaisesti. Mitatun paikan ja paikkareferenssin erotuksen kaut- ta takaisinkytketty s¨a¨adin mahdollistaa j¨arjestelm¨an stabiloimisen, my¨os esimerkiksi kap- paleeseen kohdistuvat ulkoiset voimat voidaan kompensoida s¨ahk¨omagneetin avulla. Paik- kas¨a¨atimen teht¨av¨an¨a on muodostaa virtas¨a¨atimelle ohje, joka luo s¨ahk¨omagneeteilla mag- neettisen vetovoiman kappaleeseen. (Schweitzer et al. 2009).

Usein k¨ayt¨ann¨on applikaatiossa aktiivimagneettilaakerin avulla halutaan stabiloida roottori sek¨a radiaali- ett¨a aksiaalisuunnassa, jolloin s¨a¨adett¨avi¨a vapausasteita on useampi. Kuvassa 2a on esitetty viiden vapausasteen magneettilaakerij¨arjestelm¨a, jossa laakereiden luomat tu- kevat voimat ovat esitetty nuolin. Radiaalilaakerit siis tukevat roottoriaxjaysuunnassa, kun laakerij¨arjestelm¨a¨a tarkasteltaisiin roottoria pitkin elizsuunnassa. Aksiaalilaakerin teht¨av¨a on tukea j¨arjestelm¨a¨azeli pitkitt¨aissuunnassa. N¨ain laakerij¨arjestelm¨all¨a on 5 akselia, joita

x y

fₘ Paikkasäädin

Paikan referenssi

Virtavahvistin

Mitattu paikka

Kuva 1. Yhden vapausasteen aktiivisen magneettilaakerin yksikertaistettu malli. Kuvan periaate n¨aht¨avill¨a (Schweitzer et al. 2009)

ohjaavat magneettilaakerit. Kuvan 2a radiaalilaakeri 1 muodostaa niist¨a kaksi eli x₁ ja y₁, jolloin radiaalilaakeri 2 muodostaax₂jay₂. Aksiaalilaakeri muodostaa viidennen akselin eli zakselin (Chiba et al. 2005).

Kuvan 2b laakerij¨arjestelm¨a on malli t¨ass¨a ty¨oss¨a esitett¨av¨ast¨a kahden vapausasteen aktiivi- sesta radiaalilaakerij¨arjestelm¨ast¨a. J¨arjestelm¨a voidaan jakaa kuvan 2a yhteydess¨a esiteltyi- hin akseleihinx₁,y₁,x₂,y₂jaz. On kuitenkin huomattava, ett¨a t¨ass¨a j¨arjestelm¨ass¨a vainx₁ja y₁ovat magneettilaakerin muodostamia ja akselitx₂,y₂jazmuodostuvat j¨arjestelm¨an toisen

Radiaalilaakeri 1 Radiaalilaakeri 2

Aksiaalilaakeri Roottori

(a)

Radiaalilaakeri Roottori

(b)

Kuva 2.Yksinkertaistetut viiden (a) ja kahden (b) vapausasteen aktiiviset laakerij¨arjestelm¨at. Kuvat pohjautuvat (Chiba et al. 2005)

p¨a¨adyn kuulalaakerin ansiosta, jonka teht¨av¨a on pit¨a¨a roottori paikallaanx₂,y₂jaz-akselien suhteen (Chiba et al. 2005). J¨arjestelm¨an stabiloinnin edellytyksen¨a on, ett¨a roottorin liik- keit¨a mitataan akseleilla ja niit¨a s¨a¨adet¨a¨an sopivasti, kuten kuvassa 1 on havainnoillistettu.

3 Aktiivisen magneettilaakerin dynamiikan mallinnus

Lineaarinen malli tarkoittaa matemaattista mallia, joka kuvaa systeemin sis¨a¨antulon ja ulos- tulon v¨alisen dynamiikan lineaarisesti. Yleisesti ottaen lineaarisia malleja on helpompi k¨asite- ll¨a matemaattisesti ja ep¨alineaaristen j¨arjestelmien s¨a¨ad¨on yhteydess¨a, joskin sen kyky ku- vata systeemin toimintaa riippuu halutusta systeemin k¨aytt¨oalueen laajuudesta. Aktiivisen magneettilaakerin tapauksessa linearisointi halutaan tehd¨a toivottuun toimintapisteeseenx₀, y₀ eli laakerikoordinaatiston keskipisteeseen, jossa laakerin on tarkoitus leijuttaa roottoria.

K¨ayt¨ann¨oss¨a aktiivisen magneettilaakerin toivotunlaiseen toimintaan riitt¨a¨a linearinen malli, koska lineaarinen malli kuvaa dynamiikkaa oikein, riitt¨av¨an suurelta osalta. Ep¨alineaarista mallia voidaan joutua k¨aytt¨am¨a¨an matalien biasointivirtojen ja magneettisen kyll¨astymisen v¨altt¨amiseksi (Schweitzer et al. 2009). Laakeria mallinnettaessa systeemin todellinen k¨aytt¨ay- tyminen on ep¨alineaarista, mutta malli pyrit¨a¨an linearisoimaan, jotta sen k¨asittely ja k¨aytt¨o olisi helpompaa.

3.1 Lineaarinen ja ep¨alineaarinen mallinnus

T¨ass¨a luvussa k¨asitell¨a¨an laakerin toiminnan kannalta oleellinen teoria ja lineaarisen sek¨a ep¨alineaarisen mallin muodostus. U-muotoisen magneettipiirin periaate on esitetty kuvassa

Φ

s

f/2 f/2

f

A

Kuva 3.U-muotoisen s¨ahkomagneetin toiminta. Kuva pohjautuu (Schweitzer et al. 2009)

3, jossanon k¨a¨amin kierrosluku,ion k¨a¨amiss¨a kulkeva virta,A_aon ilmav¨alin pinta ala,son ilmav¨ali jaΦmagneetivuo. Magneettipiiri¨a tarkastellessa oletetaan, ett¨a hajavoita ei synny.

Amperen lain mukaisesti (1) k¨a¨amiss¨a kulkeva virta luo magneettikent¨an rautasyd¨ameen ja ilmav¨aliin

l_{f e}H_{f e}+2sH_a=ni, (1) jossal_{f e}on syd¨amen magnettikent¨an pituus magneettipiiriss¨a.H_{f e}on magneettikent¨an voi- makkuus syd¨amess¨a jaH_amagneettikent¨an voimakkuus ilmav¨aliss¨a. (Hynynen 2011) Olete- taan kent¨anvoimakkuuden olevan yht¨asuuri ilmav¨aliss¨a ja rautasyd¨amess¨aH_{f e}=H_at¨all¨oin

B_a=H_aµ₀µ_r, (2)

jossaµ₀ on tyhji¨on permeabiliteetti jaµ_r on raudan suhteellinen permeabiliteetti. Magneet- tivuon suuruus Φ on kent¨antiheyden ja magneettipiirin poikkileikkauksen pinta-alan tulo Φ=B_aA_a. Ilmav¨alin pinta-alan oletetaan olevan yht¨a suuri kuin syd¨amen poikkileikkauk- sen pinta-alaA_a=A_{f e}, vaikka todellisuudessa muun muassa roottorin py¨ore¨a pinnanmuoto aiheuttaa pinta-alojen v¨alille eroa, kuten n¨ahd¨a¨an kuvasta 4 (Schweitzer et al. 2009). Ole- tetaan, ett¨a magneettikent¨ass¨a ei esiinny hajavoita. Edell¨a mainittujen oletusten mukaisesti vuontiheydet raudassa ja ilmassa ovat yht¨a suuretB_{f e}=B_a, jolloin yhtal¨o (1) saadaan muo- toon

l_{f e} B_{f e}

µ₀µ_r +2sB_a

µ₀ =ni. (3)

Ratkaistaan yht¨al¨ost¨a (3) vuontiheysBja yht¨al¨o yksikertaistuu muotoon (4), kun tiedet¨a¨an raudan suhteellisen permeabiliteetin olevan suuriµ_r1 ja j¨atet¨a¨an raudan magnetoituminen huomioimatta. (Hynynen 2011) (Gr¨asbeck 2018).

B=µ₀ni

2s (4)

Kappaleen leijuttaminen magneettikent¨ass¨a on havainnollistettu kuvassa 4, jossai on virta

i n

S

A

f

Kuva 4.Kappaleen leijuttaminen s¨ahk¨omagneetin avulla. Kuva pohjautuu (Schweitzer et al. 2009)

ja n k¨a¨aminkierrosluku, s₀ on ilmav¨ali toimintapisteess¨a ja A_{f e} on syd¨amen poikkipinta- ala. Ilmav¨aliin varastoitunut energia saadaan yht¨al¨ost¨a (5), jossaV_a on ilmav¨alin tilavuus.

Tilavuus voidaan esitt¨a¨a ilmav¨alin ja sen pinta-alan avulla W_a= 1

2B_aH_aV_a= 1

2B_aH_aA_a2s. (5)

Voima saadaan varastoituneesta energiasta osittaisderivoimalla energia ilmav¨alin suhteen (Gr¨asbeck 2018)

f = ∂W_a

∂s =B_aH_aA_a. (6)

Yht¨al¨o¨on (6) sijoittamalla yht¨al¨ot (2) ja (4) saadaan voimalle f =µ₀A_a(ni

2s)²= 1

4µ₀n²A_ai²

s², (7)

josta voidaan muodostaa niin sanottu magneettinen j¨aykkyysk 1

4µ₀n²A_a=k. (8)

Yht¨al¨oss¨a (9) esitet¨a¨an magneetin luoma voima tietyss¨a kulmassaα. Kulma m¨a¨ar¨aytyy laa- kerin napaparien m¨a¨ar¨an mukaan.(Schweitzer et al. 2009)

f =ki²

s²cos(α) (9)

f

f

x +

i

+ i

+ i

i

- i

i

_ +

Kuva 5.K¨a¨amivirtojen biasointi mallissa. Kuva pohjautuu (Schweitzer et al. 2009)

Laakerikoordinaatiston akselinsuuntainen voima saadaan yht¨al¨ost¨a (12), jota on havainnol- listettu kuvan 5 avulla. Akselinsuuntainen voima saadaan magneeteissa kulkevien virtojen

muodostamien voimien erotuksena eli toisin sanoen kyseisen liikesuunnan vaikuttavana voi- mana. Laakerikoordinaatiston akselilla on kaksi s¨ahk¨omagneettia, joiden voimien erotuk- sesta syntyy akselin suuntainen voima. Virtojen biasoinnissa alemman magneetin virta saa- daan v¨ahent¨am¨all¨a ohjausvirta i_c biasointivirrasta i₀ ja ylemm¨an magneetin virta saadaan summaamalla ohjaus- ja biasointivirta. Biasointivirta on vakiovirta, joka kulkee oletuksena magneeteissa (Gr¨asbeck 2018). Laakerikoordinaatiston suuntaiset voimat saadaan yht¨al¨on (9) ja kuvasta 5 n¨aht¨avien virtojen biasoinnin avulla.s₀ on ilmav¨ali kun roottori on laake- rikoordinaatiston origossa, joten mahdollinen poikkeama voidaan huomioida summaamalla tai v¨ahent¨am¨all¨a poikkeama ilmav¨alist¨as₀±x. Sijoitetaan yht¨al¨o¨on (9)(i₀+i_c)virran tilalle ja(s₀−x)ilmav¨alin tilalle, jolloin saadaan yht¨al¨o (10) laakerikoordinaatistossa positiivisen suuntaiselle magneettiselle vetovoimalle

f₊=k(i₀+i_c)²

(s₀−x)²cos(α). (10)

Sijoitetaan nyt yht¨al¨o¨on (9)(i₀−i_c)virran tilalle ja(s₀+x)ilmav¨alin tilalle, jolloin saadaan yht¨al¨o (11) laakerikoordinaatistossa negatiivisen suuntaiselle magneettiselle vetovoimalle

f₋=k(i₀−i_c)²

(s₀+x)²cos(α). (11)

Roottoriin vaikuttava voima voidaan esitt¨a¨a yht¨al¨oll¨a (12). Vaikuttava voima on siis positii- visen ja negatiivisen suuntaisten voimien erotus (Schweitzer et al. 2009)

f_x= f₊−f₋=k((i₀+i_c)²

(s₀−x)² −(i₀−i_c)²

(s₀+x)²)cos(α). (12) Siirtym¨a voidaan linearisoida toimintapisteeseen oletuksella, ett¨a siirtym¨at ovat huomatta- van pieni¨a verrattuna ilmav¨aliin s₀ x. (Schweitzer et al. 2009). Virtojen biasoinnin ja edell¨amainitun oletuksen perusteella yht¨al¨o (13) on nyt linearisoitu siirtym¨an ja virran suh- teen (Gr¨asbeck 2018)

f_x=4ki₀

s²₀ cos(α)i_x−4ki²₀

s³₀ cos(α)x. (13)

Voima f_xvoidaan esitt¨a¨a virtaj¨aykkyydenk_ija paikkaj¨aykkyydenk_savulla lineaarisesti yht¨al¨o- ll¨a (14).

f_x(i_x,x) =k_ii_x+k_sx (14) Yht¨al¨on (14) virta- ja paikkaj¨aykkyys saadaan yht¨al¨on (13) avulla, jolloin n¨am¨a voidaan esitt¨a¨a (Schweitzer et al. 2009)

k_i= 4ki₀

s²₀ cos(α), (15)

Kuva 6.Virta- ja paikkaj¨aykkyyden lineariset ja ep¨alineaariset kuvaajat.

k_s=4ki²₀

s³₀ cos(α). (16)

Kuten yht¨al¨ost¨a (12) huomataan, ilman linearisointia virta- ja paikkaj¨aykkyydet eiv¨at ole va- kioita, vaan ne muuttuvat virran ja roottorin paikan mukaan. T¨ast¨a voidaan todeta, ett¨a line- aarisen mallin kyky kuvata systeemin k¨aytt¨aytymist¨a on tarkkaa ainoastaan linearisointipis- teen l¨aheisyydess¨a. Laakerin virta- ja paikkaj¨aykkydet voidaan laskea analyyttisesti edell¨a mainituilla tavoilla, mutta t¨ass¨a ty¨oss¨a mallin virta- ja paikkaj¨aykkyydet on saatu FEM- mallinnuksesta saatujen datapisteiden kautta. FEM-mallintaminen antaa tarkemmat tulok- set laakerin ominaisuuksista. Kuvaajassa 6 on esitetty FEM mallinnuksella saatujen virta- ja paikkaj¨aykkyyksien kuvaajat ja niiden linearisoinnit toimintapisteess¨a.

Kuvaajasta 6 n¨ahd¨a¨an tehty linearisointi, joka mallintaa tarkasti toimintapisteen aluetta. Ku- vaajista huomataan, ett¨a suurilla paikan tai virran muutoksilla linearisoitu malli kuvastaa huonosti systeemin todellista k¨aytt¨aytymist¨a. Paikkaj¨aykkyyden linearisen mallin huoma- taan kuvaavan systeemi¨a hyvin alle 100µm siirtymill¨a, jonka j¨alkeen vaadittu voima kas- vaa lineaarisen mallin kuvaamaa voimaa suuremmaksi. Sama tapahtuu virtaj¨aykkyydess¨a eli vaadittu virta voiman tuottamiseksi magneetilla kasvaa. Ep¨alineaarisen mallin etuna on my¨os toiminnan ¨a¨arialueiden k¨aytt¨aytymisen tarkempi mallinnus. Linearisointi suoritettiin pienimm¨an neli¨osumman menetelm¨all¨a, 10 datapisteen matkalta toimintapisteen eli laake-

y x

i^y+

i^y-

45°

i^x+

i^x-

i^{0 ±} i^cx

i^{0 ±} i^cy

Kuva 7.Kahden vapausasteen aktiiviinen radiaalilaakeri laakerikoordinaatisto k¨a¨annettyn¨a 45°.

rikoordinaatistossa x₀, y₀ -ymp¨arist¨ost¨a. Menetelm¨all¨a saatu tulos virtaj¨aykkyydelle k_i ja paikkaj¨aykkyydellek_s on n¨aht¨aviss¨a taulukosta 2. Mallin linearisointi helpottaa mallin ma- temaattista k¨asittely¨a. Mallia graafisesti kuvattaessa l¨aht¨o on aina tietyn kertoimen kautta verrannollinen tuloon. Kuvaajassa 6 linearisoidut virta- ja paikkaj¨aykkyydet ovat n¨aht¨avill¨a katkoviivalla piirrettyn¨a.

3.2 Kahden vapausasteen systeemi

Kahden vapausasteen radiaalilaakeri voidaan toteuttaa k¨a¨ant¨am¨all¨a laakerikoordinaatistoa 45° vastap¨aiv¨a¨an kuten kuvassa 7 on havainnollistettu. T¨all¨oin gravitaatiovoima ja kuorma jakautuvat kummallekkin laakeriparille suhteessa ^√1

2. Kuvassa 7 esitetyn systeemin voimat voidaan nyt esitt¨a¨a yht¨al¨on (12) mukaisesti akselikohtaisesti eriteltyn¨a, jolloin akseleiden voimien yht¨al¨ot olisivat x-akselille (17) ja y-akselille (18). Yll¨amainittu radiaalilaakeri on nelj¨an napaparin laakeri, jolloin kulmaαon 22.5° (Chiba et al. 2005), (Gr¨asbeck 2018)

f_x= f_x+−f_x−=k((i₀+i_cx)²

(s₀−x)² −(i₀−i_cx)²

(s₀+x)² )cos(α), (17) f_y= f_y+−f_y−=k((i₀+i_cy)²

(s₀−y)² −(i₀−i_cy)²

(s₀+y)² )cos(α). (18)

3.3 Mallinnus Simulink-ymp¨arist¨oss¨a

Ep¨alineaarinen malli voidaan toteuttaa FEM-mallinnuksesta saatujen datapisteiden avulla muodostamalla hakutaulukko datapisteist¨a. Datapisteiden v¨aliin j¨a¨avi¨a arvoja voidaan esti- moida interpoloimalla, jotta malli ei olisi vain datapisteiden varassa. My¨os datapisteiden ul- kopuolisia arvoja voidaan ekstrapoloida k¨ayr¨an trendin mukaisesti, tosin t¨all¨oin mallin luo- tettuvuutta on vaikea arvioida. Simulointia varten malli toteutettiin Simulink ymp¨arist¨oss¨a Look-Up-Table (LUT) -lohkoja k¨aytt¨aen. Simulink LUT-lohkon periaate on approksimoida datapisteit¨a kuvaava funktio, joka palauttaa funktioon sy¨otetyn arvon. Samalla lohko suorit- taa approksimaation avulla datan mahdollisen interpoloinnin ja ekstrapoloinnin. LUT-lohko simulointimallissa kuvaa yht¨al¨on (13) virran ja voiman v¨alist¨a suhdetta eli virtaj¨aykkyytt¨ak_i tai siirtym¨an ja voiman v¨alist¨a suhdetta eli paikkaj¨aykkyytt¨ak_s.

i

x

f +

+

fₛ  (x)

fᵢ  (i)

(a)

+ -

f ẍ ẋ x

mg

√2

1/m

∫ ∫

(b)

Kuva 8. Ep¨alineaarisen mallin (a) Look-Up-Table -toteutus simuloinnissa ja (b) roottorin massan toteutus simulointimallissa.

Yht¨al¨on (14) mukaisesti voima voidaan esitet¨a¨an siirtym¨an ja virran funktiona (Larjo 2006).

Simulointimallissa voima virran ja siirtym¨an funktiona on toteuttettu kahdella LUT-lohkolla, joista toinen kuvaa virtaj¨aykkyytt¨a ja toinen paikkaj¨aykkyytt¨a. FEM-mallinnuksella saaduis- ta datapisteist¨a muodostetut hakutaulukot kuvaavat siis virtaj¨aykkyytt¨a ja paikkaj¨aykkyytt¨a.

N¨am¨a kuvaavat yhden laakeriparin voimaa laakerikoordinaatiston akselilla.

Kuvassa 8a on esitettyn¨a toteutus simulointimallissa LUT lohkojen avulla. Roottorin massan dynamiikan simulointimalli on esitetty kuvassa 8b. Roottorin dynamiikan mallinnuksessa k¨aytet¨a¨an massan arvoa, jota magneettilaakeri kannattaa. Malli saadaan Newtonin II lakiin pohjautuen, johon huomioidaan mukaan maan vetovoima suhteutettuna siten, ett¨a laakeri- koordinaatisto on k¨a¨annettyn¨a 45°, jolloin laakeripari n¨akee ^√1

2 osan vetovoimasta. Edell¨a esitetty roottorin malli kuvastaa siis roottorin massan k¨aytt¨aytymist¨a yhdess¨a laakerikoordi- naatiston akselissa.

Kuva 9. f(i,x)muodostama hakutaulukko.

Kuvaajassa 9 on esitetty yht¨al¨on (14) mukainen voima, virran ja siirtym¨an funktiona. Kuvaa- ja kuvastaa paikka ja virtaj¨aykkyyksien muutoksien aiheuttamia vaikutuksia voimaan. Ku- vaaja ei huomioi roottorin dynamiikkaa, vaan esitt¨a¨a FEM mallinnuksesta saadun datan vai- kutusta. Kuvaajassa mustalla ruudukolla on esitetty pienimm¨an neli¨osumman menetelm¨all¨a linearisoiduista datapisteist¨a luotu taulukko, ja punaisilla viivoilla on esitetty kuvaajassa 6 n¨akyv¨at virta- ja paikkaj¨aykkyydet. Kuten edell¨a mainittu, linearisoitu malli kuvastaa dy- namiikkaa hyvin vain toimintapisteess¨a ja sen v¨alitt¨om¨ass¨a l¨aheisyydess¨a. Kun linearisoitu malli toimii kaukana toimintapisteest¨a, se kuvaa mallia ep¨atarkasti, kuten kuvaajasta 9 tai 6 on n¨aht¨avill¨a. Lineaarinen malli esitt¨a¨a ¨a¨aritilojen virran / paikan ja voiman korrelaatiota samansuuruiseksi kuin linearisointipisteess¨a. Ep¨alineaarisesta mallista n¨ahd¨a¨an, ett¨a virran / paikan ja voiman suhde muuttuu mit¨a kauemmaksi siirryt¨a¨an toimintapisteest¨a.

Parametri Arvo Selite

g 9.81[^m

s²] Gravitaatiokiihtyvyys

m 1.52[kg] Magneettilaakerille kohdistuva massa

i₀ 3.00[A] Biasointivirta

i_max 7.50[A] K¨a¨amin suurin magnetointivirta s₀ 0.50∗10⁻³[m] Ilmav¨ali roottorin ollessa normaalitilassa k_i 166.81[^N_A] FEM mallinnuksesta saatu virtaj¨aykkyys k_s 1.19∗10⁶[^N_m] FEM mallinnuksesta saatu paikkaj¨aykkyys Taulukko 2.Hakutaulukkomallinnuksessa k¨aytetyt laakerin parametrit

3.4 Tilaesitys

Laakerin dynamiikka voidaan esitt¨a¨a tilaesityksen¨a tilamatriisien avulla. Tilaesityksess¨a suu- ren kertaluvun differentiaaliyht¨al¨o esitet¨a¨an ensimm¨aisen kertaluvun yht¨al¨oryhm¨an¨a. Tilae- sityksen muoto n¨ahd¨a¨an yht¨al¨oparista (19), jossaA on systeemimatriisi (20),B on ohjaus- matriisi (21) ja C on l¨aht¨omatriisi (22)(Gene F. Franklin et al. 2019). Esityksess¨a xkuvaa tilamuuttujia, joiksi valitaan[x,y,x,˙ y]˙^T, eli paikkoja ja niiden ensimm¨aisi¨a derivaattoja ajan suhteen.uon tulovektori, jossa on k¨a¨amivirrat[i_x,i_y]^T (Nevaranta et al. 2019).

˙

x(t) =Ax(t) +Bu(t), y(t) =Cx(t),

(19) Kahden vapausasteen laakerille voidaan esitt¨a¨a systeemimatriisi A ilman ristikk¨aisvaiku- tuksia, jossak_son paikkaj¨aykkyys

A=



















0 0 1 0

0 0 0 1

ks

m 0 0 0

0 ^k_m^s 0 0



















, (20)

ja vastaavasti ohjausmatriisiB, jossak_ion virtaj¨aykkyys

B=



















0 0

0 0

ki

m 0

0 ^k_mⁱ



















. (21)

L¨aht¨omatriisillaCkuvataan mitattavat tilat eli paikat

C=







1 0 0 0 0 1 0 0





. (22)

Tilaesityksell¨a kuvataan siis lineaarisoitua magneettilaakerin mallia, jossa virta- ja paik- kaj¨aykkyydet ovat vakioita. K¨ayt¨ann¨oss¨a malli kuvaa SISO dynamiikkaa molemmille ak- seleille, koska ristikk¨aisvaikutusta ei ole huomiotu.

4 Tilas¨a¨at¨o

Tilas¨a¨at¨o voidaan toteuttaan yksinkertaisimmillaan tekem¨all¨a tilatakaisinkytkent¨a tilamal- liin, joka muodostaa ohjaussuureen referenssin ja l¨aht¨osuureen erotuksesta. Tilatakaisinkyt- kent¨a¨a k¨aytett¨aess¨a on esitett¨av¨a kaksi uutta muuttujaa Kja T, joistaK on tilatakaisinkyt- kenn¨an kerroinmatriisi, jonka koon m¨a¨aritt¨av¨at tilamuuttujien m¨a¨ar¨a ja tulovektorinukoko.

Tilatakaisinkytkenn¨anKavulla on mahdollista m¨a¨aritell¨a systeemin dynamiikka halutunlai- seksi(Saarakkala 2008). Vastaavasti Ton ohjearvoa skaalaava vakio, joka mitoitetaan siten ett¨a staattinen vahvistus olisi 1. Jotta tilatakaisinkytkent¨a¨a voidaan k¨aytt¨a¨a systeemiss¨a, tulee systeemin olla tarkkailtava ja s¨a¨adett¨av¨a. Tarkkailtavuus tarkoittaa ett¨a systeemin tilat voi- daan m¨a¨aritt¨a¨a ajan hetkell¨at, kun tunnetaan systeemin tulot ja l¨ahd¨ot. S¨a¨adett¨avyys tarkoit- taa, ett¨a systeemi voidaan ajaa mihin tahansa tilaan systeemin mahdollisista tiloista. (Larjo 2006) Tilatakaisinkytkent¨a saadaan tilaesityksest¨a s¨a¨at¨olain u=−Kx avulla. Tilamalli on muotoa

x(t) =˙ Ax(t) +Bu(t), y(t) =Cx(t),

(23)

ja esitt¨am¨all¨a tulou(t)muodossa, jossar(t)on referenssisuure

u(t) =Tr(t)−Kx(t), (24)

saadaan seuraava muoto sijoittamallau(t)tilaesitykseen (Larjo 2006)

˙

x(t) = (A−BK)x(t) +BTr(t), y(t) =Cx(t).

(25)

Jolloin suljetun systeemin matriiseiksi saadaan (Ajanki et al. 2011), A˜ =A−BK

B˜ =BT.

(26)

Havaitaan, ett¨a valitsemallaKarvot voidaan suljetun systeemin dynamiikkaan vaikuttaa ja vastaavastiTskaalaa ohjearvoa.

4.1 Tilaestimaattori

Tilamallin perusteella n¨ahd¨a¨an, ett¨a j¨arjestelm¨an kaikkia tiloja ei voida mitata. Tilaestimaat- tori muodostetaan estimoimaan j¨arjestelm¨an mittaamattomia tiloja, ja siten estimoituja tiloja

k¨aytet¨a¨an takaisinkytkenn¨an kautta tilas¨a¨at¨o¨on. Kuten kuvasta 10 huomataan tuloina tilaes- timaattorille ovat ohjausu(t)ja l¨aht¨osuurey(t). Edell¨a mainittujen suureiden avulla pyrit¨a¨an pit¨am¨a¨an tilaestimaattorin ja todellisen tilan erotus mahdollisimman pienen¨a. Tilaestimaat- torin vahvistusmatriisinLavulla voidaan muokata estimaattorin dynamiikkaa. Estimaattorin dynamiikan tulisi olla nopeampi kuin s¨a¨atimen dynamiikan, jotta estimaattorin dynamiikka olisi dominoiva s¨a¨at¨osysteemin dynamiikassa (Saarakkala 2008). S¨a¨atimen ja tilaestimaatto- rin yht¨al¨ot

˙

x(t) =Ax(t) +Bu(t),

˙ˆ

x(t) = (A−LC)x(t) +ˆ Bu(t) +Ly(t). (27)

Sijoitetaan

u(t) =Tr(t)−Kx(t),ˆ

y(t) =Cx(t), (28)

tilas¨a¨atimen ja estimoijan yht¨al¨oihin,

˙

x(t) =Ax(t)−BKx(tˆ ) +BTr(t),

˙ˆ

x(t) = (A−LC−BK)x(tˆ ) +LCx(t) +BTr(t). (29)

Tilaestimaattorin yht¨al¨o voidaan ilmaista tilojen ja tilaestimaattien erotuksena ˙ˆx(t) =x(t)− e(t), jolloin

˙

x(t) = (A−BK)x(t)−BKe(t) +BTr(t),

˙

x(t)−e(t) = (A˙ −BK)x(t) + (A−LC−BK)e(t) +ˆ BTr(t). (30)

Sievennet¨a¨an yht¨al¨oparia ja saadaan,

˙

x(t) = (A−BK)x(t)−BKe(t) +BTr(t),

e(t) = (A˙ −LC)e(t). (31)

4.2 Integroiva tilas¨a¨at¨o

Itsess¨a¨an tilas¨a¨at¨o on P-tyyppinen s¨a¨at¨o, jolloin se ei sis¨all¨a integroivaa osaa. Integroivan s¨a¨atimen lis¨a¨aminen tilas¨a¨at¨o¨on poistaa jatkuvan tilan virhett¨a ja ulkoisia h¨airi¨oit¨a, joita tila- takasinkytkent¨a ei ota huomioon. (Larjo 2006) K¨aytett¨aess¨a integroivaa s¨a¨adint¨a, tilayht¨al¨o¨on tulee lis¨at¨a uusi tilax_i. Uusi tilamuutuja on virheen integraali ja se voidaan esitt¨a¨a tilamallissa huomioimalla uusi tila s¨a¨at¨olaissa,

u=

K_i K





 x_i

x





, (32)

jossa on K_i integraattorin vahvistus. Kahdenvapausasteen laakerin tapauksessa pit¨a¨a lis¨at¨a kaksi integroivaa tilaa, jotta voidaan poistaa jatkuvuustilan virhe s¨a¨adetyist¨a paikoista.

4.3 Lineaarisen tilas¨a¨ad¨on simulointimalli

Magneettilaakerin paikkas¨a¨at¨on¨a k¨aytet¨a¨an tilas¨a¨at¨o¨a, jossa on lis¨aksi integroiva s¨a¨adinosa, jolla voidaan korjata jatkuvan tilan virhett¨a. Tilas¨a¨ad¨oss¨a k¨aytet¨a¨an tilojen estimointiin ti- laestimaattoria, jolla estimoidaan systeemin mittaamattomia tiloja. Kuvassa 10 on esitettyn¨a linearisoidun laakerimallin tilas¨a¨at¨o¨on k¨aytetty simulointimalli. Simuloinnissa k¨aytet¨a¨an si- semp¨an¨a s¨a¨atimen¨a PI-tyyppist¨a virtas¨a¨adint¨a ja tilas¨a¨at¨o toimii uloimpana s¨a¨atimen¨a eli systeemin paikkas¨a¨at¨on¨a.

Tila- estimaattori Kᵢ

K

A n

B C

Virtasäädin

- + -

+ +

+ +

∫ + ∫

Kuva 10.Linearisoidun j¨arjestelm¨an tilas¨a¨ad¨on simulaatiomalli.

4.4 Ep¨alineaarisen mallin tilas¨a¨at¨o

Ep¨alineaarisen mallin tilas¨a¨at¨o toteutettiin korvaamalla tilamalli ep¨alineaarisella hakutau- lukkorakenteella. Taulukkorakenne on esitetty kuvassa 8a ja roottorin dynamiikan malli ku- vassa 8b. S¨a¨adinrakenteen tilaestimaattorina k¨aytettiin lineaarisen mallin pohjalta luotua estimaattoria. Ratkaisu ei ole paras mahdollinen, sill¨a ep¨alineaarisen ja lineaarisen mallin v¨alill¨a on eroja toiminta-alueen ¨a¨arilaidoilla. N¨am¨a erot voivat tuottaa ongelmia s¨a¨ad¨on toi- minnalle sill¨a estimaattori estimoi tiloja ¨a¨aritilanteissa liian optimistisesti. Kuten kuvaajas- ta 6 n¨ahd¨a¨an, toiminta-alueen ulkopuolella virta- ja paikkaj¨aykkyydet muuttuvat suhteessa voimaan. T¨all¨oin estimaattori olettaa j¨arjestelm¨an k¨aytt¨aytyv¨an linearisoidun mallin mukai- sesti vaikka todellisuudessa toiminta-alueen ulkopuolella k¨aytt¨aytyminen on hyvin erilaista.

Luonnollisesti kun estimaattori ja malli eiv¨at vastaa dynaamiselta toiminta-alueiltaan toisi- aan, tilojen ja tilaestimaattien erotus kasvaa, koska malli ei vastaa estimoituja tiloja.

x

Tila- estimaattori Kᵢ

K

Roottori Virtasäädin

fᵢ 

fₛ 

+

+ +

- -

+

+ +

∫ n

Kuva 11.Ep¨alineaarisen j¨arjestelm¨an tilas¨a¨ad¨on simulaatiomalli.

5 Mallin verifiointi

Simuloinnissa hakutaulukoilla muodostetusta j¨arjestelm¨ass¨a huomattiin aiheutuvan hallitse- matonta k¨ayt¨ost¨a roottorin nostossa, jolloin laakeri on toiminta-alueensa ¨a¨arirajoilla. Nostos- sa s¨a¨adinrakenne ei pystynyt pit¨am¨a¨an roottorin paikkaa hallussa vaan roottori paikka l¨ahti kasvamaan hallitsemattomasti. Ep¨alineaarisen mallin toiminta verifioitiin vertaamalla sit¨a alkuper¨aiseen lineaariseen malliin ja koelaitteiston mittaustuloksiin. Ep¨alineaarisen ja siit¨a linearisoidun mallin todettiin toimivan lineaarisen mallin kanssa l¨ahes samankaltaisesti, kun simuloinnit suoritettiin linearisoidun mallin toiminta-alueella. Eroavaisuudet ja s¨a¨atimen hal- litsemattomuus tulevat esille vasta siirrytt¨aess¨a pois lineaariselta toiminta-alueelta. S¨a¨atimen toimimattomuuteen yksi merkitt¨avimmist¨a syist¨a ep¨alineaarisen mallin kanssa on s¨a¨ad¨oss¨a k¨aytett¨av¨an ep¨alineaarisen mallin antamien arvojen ja lineaarisen tilaestimaatin eron kasvu

¨a¨arialueilla toimittaessa. Kyseist¨a erosuuretta s¨a¨adin taas yritt¨a¨a korjata kohti nollaa.

5.1 Mittaustulos

Kuva 12.Ep¨alinearisen mallin ja koelaitteiston vasteet askelmaiselle muutokselle.

Laboratoriokoelaitteelle tehty 50µmaskelmainen muutos paikkaan verrattuna ep¨alineaarisen mallin askelmaiseen paikanreferenssin muutokseen on n¨aht¨avill¨a kuvasta 12. Kuvassa esiin- tyv¨at mittaus ja simulaatio on suoritettu samanlaisella s¨a¨atimell¨a. Testilaitteen kuvaajasta on n¨aht¨avill¨a vaimenevaa v¨arin¨a¨a noin 40Hztaajuudella, samoin FEM-mallinnuksen kautta tehdyss¨a ep¨alineaarisessa mallissa on n¨aht¨avill¨a edell¨a mainittua k¨ayt¨ost¨a noin 50Hztaajuu- della. Vaikka mallinnuksen v¨arin¨an amplitudi on huomattavasti testilaitteiston v¨arin¨a¨a pie-

nempi, mallin v¨arin¨a on kuitenkin selv¨asti n¨aht¨avill¨a simulaatiosta, joten s¨a¨adin aiheuttaa kyseist¨a k¨aytt¨aytymist¨a. Todenn¨ak¨oinen syy v¨arin¨a¨an on s¨a¨atimen virityksess¨a k¨aytettyjen virta- ja paikkaj¨aykkyyksien huono kyky kuvata testilaitteiston laakerin ominaisuuksia. Toi- sin sanoen, FEM-mallinnuksella saadut arvot eiv¨at t¨aysin vastaa koelaitteiston dynamiikkaa ja voidaan olettaa, ett¨a esimerkiksi virtaj¨aykkyys on suurempi oikeassa laitteessa, joka n¨akyy v¨ar¨ahtelyn¨a tuloksessa. Tarkastellaan seuraavaksi dynamiikkaa simuloinnein.

Kuvasta 13 n¨ahd¨a¨an alkuper¨aisell¨a s¨a¨atimell¨a, alkuper¨aisell¨a- ja ep¨alineaarisella mallilla to- teutettu simulaatio. Simulaatiossa laakerikoordinaatistonxjayakseleiden referenssi¨a muu- tetaan askelmaisesti 50µm. Vasteiden huomataan olevan l¨ahes samanlaiset. Ep¨alineaarisen mallin vasteen ylitys on hieman matalampi kuin lineaarisella mallilla, mutta t¨am¨a johtuu suoraan ep¨alineaarisen mallin kyvyst¨a kuvata systeemi¨a paremmin pienill¨akin muutoksilla.

Kuva 13.Ep¨alineaarinen ja alkuper¨ainen malli alkuper¨aisell¨a s¨a¨atimell¨a simuloituna.

T¨am¨an ja kuvan 12 perusteella voidaan todeta ep¨alineaarinen malli toimivaksi kuvaamaan laakerin dynamiikkaa. Tosin j¨arjestelm¨alle pit¨aisi tehd¨a kokeita, jotta mallia voidaan tarken- taa.

5.2 Mallien simulaatiot

Kappaleessa esitet¨a¨an ep¨alineaarisen ja siit¨a linearisoidun laakerimallin simuloinnit ja verra- taan n¨ait¨a alkuper¨aiseen lineaarisen mallin simulointitulokseen. Taulukossa 3 esitet¨a¨an t¨ass¨a kappaleessa esiintyv¨at simulointitapaukset. Toisin sanoen, niiss¨a k¨aytett¨av¨at s¨a¨adinkonfigu- raatiot ja mallit. Alkuper¨ainen s¨a¨adin tarkoittaa s¨a¨adint¨a, joka on k¨ayt¨oss¨a sek¨a testilait-

Taulukko 3.Simulaatioiden malli- ja s¨a¨adinkombinaatiot.

Simulaatio Malli S¨a¨adin

Simulaatio I Ep¨alineaarinen S¨a¨adin I Simulaatio II Linearisoitu S¨a¨adin I Simulaatio III Linearisoitu Alkuper¨ainen Simulaatio IV Alkuper¨ainen Alkuper¨ainen

teistossa ett¨a alkuper¨aisess¨a lineaarisessa mallissa. Alkuper¨aisen s¨a¨atimen viritys on tehty kappaleessa 3 esitetyn tavan mukaisesti muodostetulle laakerimallille. Taulukossa 3 S¨a¨adin I on viritetty ep¨alineaarisesta mallista linearisoimalla saatujen virta- ja paikkaj¨aykkyyksien perusteella, jolloin tilas¨a¨atimen estimaattori on sovitettu vastaamaan muuttunutta mallia. Sa- moin s¨a¨atimen integroivan osan nopeutta on kasvatettu yll¨a esitetyn ongelman kompensoi- miseksi.

(a) (b)

Kuva 14.Simulaatio I: Ep¨alineaarisen mallin (a) liike kuvattuna x,y laakerikoordinaatistossa, (b) liike akselikohtaisesti ajan suhteen.

Edell¨a tarkastellussa simulaatiossa I eli ep¨alineaarisella mallilla ja alkuper¨aisell¨a s¨a¨atimell¨a oli ongelmia suoriutua roottorin nostosta turvalaakerilta toimintapisteeseen. S¨a¨atimen in- tegroivan osan nopeutta kasvattamalla pystyttiin systeemi pit¨am¨a¨an hallussa, kun nosto teh- tiin maksimissaan 200µmp¨a¨ast¨a toimintapisteest¨ax₀,y₀. Alkuper¨aisell¨a s¨a¨adinkonfiguraati- olla nosto pystyttiin toteuttamaan 75µm p¨a¨ast¨a toimintapisteest¨a. Kuvassa 14 simuloidaan roottorin nosto laakerikoordinaatiston pisteest¨a[−140,−200]toimintapisteeseen [0,0], jon- ka j¨alkeen akseleille annetaan 50µm askelmaiset muutokset referenssipaikkaan. Kuvasta

14a on n¨aht¨aviss¨a roottorin paikka laakerikoordinaatistossa havainnollistettuna. Kuvasta 14b n¨ahd¨a¨an laakerin nosto koordinaatistoakselikohtaisesti ja j¨arjestelm¨an vaste paikanreferens- si askelmuutokseen. Parhaiten ep¨alineaarisen mallin edut systeemiss¨a voidaan n¨ahd¨a kuvan 13 simulointituloksista, joissa askelmuutoksen j¨alkeinen ylitys on pienempi kun k¨ayt¨oss¨a on sama s¨a¨adin.

(a) (b)

Kuva 15.Simulaatio II: Linearisoidun mallin (a) liike kuvattuna x,y laakerikoordinaatistossa, (b) liike akselikohtaisesti ajan suhteen, kun k¨ayt¨oss¨a ep¨alineaariselle mallille muokattu s¨a¨adin.

Simulaatiossa II ja III, eli ep¨alineaarisesta mallista linearisoidun mallin simulaatiot eri s¨a¨ati- mill¨a on esitetty kuvissa 15 ja 16. Linearisoidulla mallilla nosto pystyttiin toteuttamaan on- nistuneesti sek¨a alkuper¨aisell¨a ett¨a ep¨alineaariselle mallille muokatulla s¨a¨atimell¨a. Kuvassa 15 s¨a¨at¨o on simulointuna muokatulla s¨a¨atimell¨a. Kuvassa 16 n¨ahd¨a¨an simulaatiot lineaari- soidulle mallille alkuper¨aisell¨a s¨a¨atimell¨a. Edell¨a mainituissa kuvissa simuloidaan roottorin nosto laakerikkordinaatiston pisteest¨a [−200,−285] toimintapisteeseen [0,0] jonka j¨alkeen akseleille annetaan 50µmaskelmaiset muutokset paikkareferenssiin. Kuvista 15a ja 16a on n¨aht¨aviss¨a roottorin paikka laakerikoordinaatistoon havainnollistettuna. Kuvista 15b ja 16b n¨ahd¨a¨an laakerin nosto koordinaatistoakselikohtaisesti ja j¨arjestelm¨an vaste paikanreferens- sin askelmuutokseen ajan suhteen.

Linearisoidun mallin simuloinnista kummallakin s¨a¨atimell¨a huomataan, ett¨a muokattu s¨a¨adin soveltuu linearisoidulle mallille hieman paremmin kuin alkuper¨ainen s¨a¨adin. Suurin ero k¨ayt¨oksess¨a on n¨aht¨avill¨a nostossa, jossa alkuper¨ainen s¨a¨adin luo laajemman kaaren noston aikana, (kuvassa 16a). Muokatulla s¨a¨atimell¨a liikeradalla esiintyv¨a kaari on huomattavasti pienenmpi ja roottori siirtyy toimintapisteeseen suoraviivaisemmin, kuvassa 15a.

Simulaatiossa IV alkuper¨aisen lineaarisen mallin simulaatio toteutettiin samoilla paramet- reilla kuin edell¨a mainitun linearisoidun maalin simulaatio alkuper¨aisell¨a s¨a¨atimell¨a. Nosto

(a) (b)

Kuva 16. Simulaatio III: Linearisoidun mallin (a) liike kuvattuna x,y laakerikoordinaatistossa, (b) liike akselikohtaisesti ajan suhteen, kun k¨ayt¨oss¨a alkuper¨ainen s¨a¨adin.

toteutettiin pisteest¨a[−200,−285]toimintapisteeseen[0,0]ja paikkareferenssille tehtiin sa- mat 50µmaskelmaiset muutokset. Simulaation tulokset ovat n¨aht¨avill¨a kuvasta 17.

Kun verrataan ep¨alineaarisen mallin kuvaajaa 14b ja alkuper¨aisen mallin kuvaajaa 17b, voi- daan n¨ahd¨a, ett¨a x-akselin noston j¨alkeinen ylitys on ep¨alineaarisessa mallissa noin 20µm pienempi. Taasy-akselin nostossa eroa ei ole juuri lainkaan. Mahdollinen syy edell¨a maini- tulle tilanteelle l¨oytyy s¨a¨atimest¨a sek¨a estimaattorista ja niiden viritykseen k¨aytetyst¨a mal- lista. Kuten kappaleessa 5 on kerrottu mallin arvojen ja estimaattorin eron kasvamisesta, mit¨a kauemmaksi siirryt¨a¨an toimintapisteest¨a x₀,y₀. T¨all¨oin kun nosto tapahtuu kauempa- na toimintapisteest¨a, mallin arvon ja tilaestimaattorin estimaattien v¨alill¨a on suuri ero. Lo- pulta mik¨ali nosto tehtiin tapeeksi l¨ahelt¨a toimintapistett¨a, s¨a¨adin sai systeemin stabiloitua.

Edell¨amainittua tukee my¨os kuvasta 13 n¨aht¨av¨a, alkuper¨aisell¨a s¨a¨atimell¨a totetutettu simu- laatio, jossa ep¨alineaarisen mallin ylitys on pienempi kuin alkuper¨aisen, kun toiminta on selke¨asti toimintapisteen ymp¨arist¨oss¨a. Paikkareferenssin muutoksessa simuloinnit vastaavat l¨ahes toisiaan. Suurimmat erot tulevatkin esille juuri laakerin nostossa tai suurissa liikkeiss¨a.

(a) (b)

Kuva 17.Simulaatio IV: Alkuper¨aisen lineaarisen mallin (a) liike kuvattuna x,y laakerikoordinaatis- tossa, (b) liike akselikohtaisesti ajan suhteen.

6 Yhteenveto ja kehitysehdotukset

Ty¨on p¨a¨atavoittena oli toteuttaa ep¨alineaarinen malli FEM-mallinnetuista virta- ja paikka- j¨aykkyyksist¨a simulointiymp¨arist¨o¨on, sek¨a verifioida mallin toimivuus vertaamalla sit¨a ana- lyyttisen laskennan kautta olemassa olevan mallin simulaatioon ja koelaitteiston mittauksiin.

Hakutaulukkorakenteella toteutettu malli todettiin toimivaksi ja sen tuomia muutoksia pyrit- tiin kompensoimaan viritt¨am¨all¨a s¨a¨adint¨a uudelleen ep¨alineaariselle mallille. Ty¨on jatkoke- hitysmahdollisuutena on tutkia s¨a¨atimen virityst¨a ja mallinnusta kokeellisesti. Erityisesti vi- ritt¨am¨all¨a s¨a¨adin uudelleen sopivaksi kokeellisesti m¨a¨aritetyn mallin avulla voidaan kehitt¨a¨a ratkaisua estimaattorin ja ep¨alineaarisen mallin ¨a¨aritilanteiden erosuureen hallitsemiseksi.

Ajanki, Antti, Maasalo, Valter, Riihim¨aki, Pasi ja Zenger, Kai (2011). Analogisen s¨a¨ad¨on verkkokurssi.URL:https://coursebackup.aalto.fi/as/Verkkokurssit/

AS-74.2111/index.html.

Chiba, Akira, Fukao, Tadashi, Osamu Ichikawa, Masahide Oshima, Takemoto, Masatsugu ja Dorrell, David G. (2005).Magnetic Bearings and Bearingless Drives. Elsevier.ISBN: 0750657278.

Gene F. Franklin, J. David Powell ja Enami-Naeini, Abbas (2019). Feedback Control of Dynamic Systems, Eight Edition. Pearson Education. ISBN: 1292274522.

Gr¨asbeck, Krister (2018). Kahden vapausasteen radiaalilaakerij¨arjestelm¨an mallinnus ja s¨a¨at¨o.URL:https://lutpub.lut.fi/handle/10024/149397.

Hynynen, Katja (2011).Broadband Excitation in the System Identification of Active Magne- tic Bearing Rotor Systems. URL: https://lutpub.lut.fi/handle/10024/

72391.

Larjo, Mikko (2006).Aktiivisten magneettilaakereiden tilas¨a¨ad¨on mallinnus ja simulointi.

URL:https://lutpub.lut.fi/handle/10024/30546.

Mustonen, Petteri (2015).Aktiivisten Magneettilaakereiden Ohjauslaitteiston Vaatimusm¨a¨arittely ja Toteutus.URL:https://lutpub.lut.fi/handle/10024/117396.

Nevaranta, Niko, Jaatinen, Pekko, Vuojolainen, Jouni, Sillanpaa, Teemu ja Pyrhonen, Olli (2019).Adaptive MIMO pole placement control for commissioning of a rotor system with active magnetic bearings. URL: https : / / lutpub . lut . fi / handle / 10024 / 160611.

Saarakkala, Seppo (2008).Lineaarisen Hammashihnaservok¨ayt¨on Tilas¨a¨at¨o.URL:https:

//lutpub.lut.fi/handle/10024/38636.

Schweitzer, Gerhard ja Maslen, Eric H. (2009). Magnetic Bearings Theory, Design and Application to Rotating Machinery. Springer Dordrecht Heidelberg.ISBN: 9783642004971.

2 Hakutaulukkomallinnuksessa k¨aytetyt laakerin parametrit . . . 21 3 Simulaatioiden malli- ja s¨a¨adinkombinaatiot. . . 29

1 Yhden vapausasteen aktiivisen magneettilaakerin yksikertaistettu malli . . . 11

2 Viiden ja kahden vapausasteen AMB j¨arjestelm¨at . . . 11

3 U-muotoisen s¨ahkomagneetin toiminta. Kuva pohjautuu (Schweitzer et al. 2009) . . . 13

4 Kappaleen leijuttaminen s¨ahk¨omagneetin avulla. . . 14

5 K¨a¨amivirtojen biasointi. . . 15

6 Virta- ja paikkaj¨aykkyyden lineariset ja ep¨alineaariset kuvaajat. . . 17

7 Kahden vapausasteen aktiiviinen radiaalilaakeri laakerikoordinaatisto k¨a¨annettyn¨a 45°. . . 18

8 Ep¨alineaarisen mallin (a) Look-Up-Table -toteutus simuloinnissa ja (b) root- torin massan toteutus simulointimallissa. . . 19

9 f(i,x)Hakutaulukko . . . 20

10 Linearisoidun j¨arjestelm¨an tilas¨a¨ad¨on simulaatiomalli . . . 25

11 Ep¨alineaarisen j¨arjestelm¨an tilas¨a¨ad¨on simulaatiomalli . . . 26

12 Ep¨alineaarisen mallin ja koelaitteiston vaste askelmaiselle muutokselle . . . 27

13 Ep¨alineaarinen ja alkuper¨ainen malli alkuper¨aisell¨a s¨a¨atimell¨a simuloituna . 28 14 Simulaatio I: Ep¨alineaarisen mallin (a) liike kuvattuna x,y laakerikoordinaa- tistossa, (b) liike akselikohtaisesti ajan suhteen. . . 29

15 Simulaatio II: Linearisoidun mallin (a) liike kuvattuna x,y laakerikoordinaa- tistossa, (b) liike akselikohtaisesti ajan suhteen, kun k¨ayt¨oss¨a ep¨alineaariselle mallille muokattu s¨a¨adin. . . 30

16 Simulaatio III: Linearisoidun mallin (a) liike kuvattuna x,y laakerikoordinaa- tistossa, (b) liike akselikohtaisesti ajan suhteen, kun k¨ayt¨oss¨a alkuper¨ainen s¨a¨adin. . . 31