Kuvassa 1 on esitetty yhden vapausasteen aktiivisen magneettilaakerin periaate. Kuvassa olevassa j¨arjestelm¨ass¨a painovoiman fg vaikutus kumotaan magneettisella vetovoimalla fm, jolloin jos roottorin mahdollinen liikerata olisi vain vertikaalisuuntainen eli koordinaatistos-sa katsottunaY suuntainen, oikein s¨a¨adetty magneettinen vetovoima pit¨a¨a roottorin halutussa paikassa paikkareferenssin mukaisesti. Mitatun paikan ja paikkareferenssin erotuksen kaut-ta kaut-takaisinkytketty s¨a¨adin mahdolliskaut-taa j¨arjestelm¨an skaut-tabiloimisen, my¨os esimerkiksi kap-paleeseen kohdistuvat ulkoiset voimat voidaan kompensoida s¨ahk¨omagneetin avulla. Paik-kas¨a¨atimen teht¨av¨an¨a on muodostaa virtas¨a¨atimelle ohje, joka luo s¨ahk¨omagneeteilla mag-neettisen vetovoiman kappaleeseen. (Schweitzer et al. 2009).
Usein k¨ayt¨ann¨on applikaatiossa aktiivimagneettilaakerin avulla halutaan stabiloida roottori sek¨a radiaali- ett¨a aksiaalisuunnassa, jolloin s¨a¨adett¨avi¨a vapausasteita on useampi. Kuvassa 2a on esitetty viiden vapausasteen magneettilaakerij¨arjestelm¨a, jossa laakereiden luomat tu-kevat voimat ovat esitetty nuolin. Radiaalilaakerit siis tutu-kevat roottoriaxjaysuunnassa, kun laakerij¨arjestelm¨a¨a tarkasteltaisiin roottoria pitkin elizsuunnassa. Aksiaalilaakerin teht¨av¨a on tukea j¨arjestelm¨a¨azeli pitkitt¨aissuunnassa. N¨ain laakerij¨arjestelm¨all¨a on 5 akselia, joita
x y
fₘ Paikkasäädin
Paikan referenssi
Virtavahvistin
Mitattu paikka
Kuva 1. Yhden vapausasteen aktiivisen magneettilaakerin yksikertaistettu malli. Kuvan periaate n¨aht¨avill¨a (Schweitzer et al. 2009)
ohjaavat magneettilaakerit. Kuvan 2a radiaalilaakeri 1 muodostaa niist¨a kaksi eli x1 ja y1, jolloin radiaalilaakeri 2 muodostaax2jay2. Aksiaalilaakeri muodostaa viidennen akselin eli zakselin (Chiba et al. 2005).
Kuvan 2b laakerij¨arjestelm¨a on malli t¨ass¨a ty¨oss¨a esitett¨av¨ast¨a kahden vapausasteen aktiivi-sesta radiaalilaakerij¨arjestelm¨ast¨a. J¨arjestelm¨a voidaan jakaa kuvan 2a yhteydess¨a esiteltyi-hin akseleiesiteltyi-hinx1,y1,x2,y2jaz. On kuitenkin huomattava, ett¨a t¨ass¨a j¨arjestelm¨ass¨a vainx1ja y1ovat magneettilaakerin muodostamia ja akselitx2,y2jazmuodostuvat j¨arjestelm¨an toisen
Radiaalilaakeri 1 Radiaalilaakeri 2
Aksiaalilaakeri Roottori
(a)
Radiaalilaakeri Roottori
(b)
Kuva 2.Yksinkertaistetut viiden (a) ja kahden (b) vapausasteen aktiiviset laakerij¨arjestelm¨at. Kuvat pohjautuvat (Chiba et al. 2005)
p¨a¨adyn kuulalaakerin ansiosta, jonka teht¨av¨a on pit¨a¨a roottori paikallaanx2,y2jaz-akselien suhteen (Chiba et al. 2005). J¨arjestelm¨an stabiloinnin edellytyksen¨a on, ett¨a roottorin liik-keit¨a mitataan akseleilla ja niit¨a s¨a¨adet¨a¨an sopivasti, kuten kuvassa 1 on havainnoillistettu.
3 Aktiivisen magneettilaakerin dynamiikan mallinnus
Lineaarinen malli tarkoittaa matemaattista mallia, joka kuvaa systeemin sis¨a¨antulon ja ulos-tulon v¨alisen dynamiikan lineaarisesti. Yleisesti ottaen lineaarisia malleja on helpompi k¨asite-ll¨a matemaattisesti ja ep¨alineaaristen j¨arjestelmien s¨a¨ad¨on yhteydess¨a, joskin sen kyky ku-vata systeemin toimintaa riippuu halutusta systeemin k¨aytt¨oalueen laajuudesta. Aktiivisen magneettilaakerin tapauksessa linearisointi halutaan tehd¨a toivottuun toimintapisteeseenx0, y0 eli laakerikoordinaatiston keskipisteeseen, jossa laakerin on tarkoitus leijuttaa roottoria.
K¨ayt¨ann¨oss¨a aktiivisen magneettilaakerin toivotunlaiseen toimintaan riitt¨a¨a linearinen malli, koska lineaarinen malli kuvaa dynamiikkaa oikein, riitt¨av¨an suurelta osalta. Ep¨alineaarista mallia voidaan joutua k¨aytt¨am¨a¨an matalien biasointivirtojen ja magneettisen kyll¨astymisen v¨altt¨amiseksi (Schweitzer et al. 2009). Laakeria mallinnettaessa systeemin todellinen k¨aytt¨ay-tyminen on ep¨alineaarista, mutta malli pyrit¨a¨an linearisoimaan, jotta sen k¨asittely ja k¨aytt¨o olisi helpompaa.
3.1 Lineaarinen ja ep¨alineaarinen mallinnus
T¨ass¨a luvussa k¨asitell¨a¨an laakerin toiminnan kannalta oleellinen teoria ja lineaarisen sek¨a ep¨alineaarisen mallin muodostus. U-muotoisen magneettipiirin periaate on esitetty kuvassa
Φ
s
f/2 f/2
f
A
aKuva 3.U-muotoisen s¨ahkomagneetin toiminta. Kuva pohjautuu (Schweitzer et al. 2009)
3, jossanon k¨a¨amin kierrosluku,ion k¨a¨amiss¨a kulkeva virta,Aaon ilmav¨alin pinta ala,son ilmav¨ali jaΦmagneetivuo. Magneettipiiri¨a tarkastellessa oletetaan, ett¨a hajavoita ei synny.
Amperen lain mukaisesti (1) k¨a¨amiss¨a kulkeva virta luo magneettikent¨an rautasyd¨ameen ja ilmav¨aliin
lf eHf e+2sHa=ni, (1) jossalf eon syd¨amen magnettikent¨an pituus magneettipiiriss¨a.Hf eon magneettikent¨an voi-makkuus syd¨amess¨a jaHamagneettikent¨an voimakkuus ilmav¨aliss¨a. (Hynynen 2011) Olete-taan kent¨anvoimakkuuden olevan yht¨asuuri ilmav¨aliss¨a ja rautasyd¨amess¨aHf e=Hat¨all¨oin
Ba=Haµ0µr, (2)
jossaµ0 on tyhji¨on permeabiliteetti jaµr on raudan suhteellinen permeabiliteetti. Magneet-tivuon suuruus Φ on kent¨antiheyden ja magneettipiirin poikkileikkauksen pinta-alan tulo Φ=BaAa. Ilmav¨alin pinta-alan oletetaan olevan yht¨a suuri kuin syd¨amen poikkileikkauk-sen pinta-alaAa=Af e, vaikka todellisuudessa muun muassa roottorin py¨ore¨a pinnanmuoto aiheuttaa pinta-alojen v¨alille eroa, kuten n¨ahd¨a¨an kuvasta 4 (Schweitzer et al. 2009). Ole-tetaan, ett¨a magneettikent¨ass¨a ei esiinny hajavoita. Edell¨a mainittujen oletusten mukaisesti vuontiheydet raudassa ja ilmassa ovat yht¨a suuretBf e=Ba, jolloin yhtal¨o (1) saadaan muo-toon
lf e Bf e
µ0µr +2sBa
µ0 =ni. (3)
Ratkaistaan yht¨al¨ost¨a (3) vuontiheysBja yht¨al¨o yksikertaistuu muotoon (4), kun tiedet¨a¨an raudan suhteellisen permeabiliteetin olevan suuriµr1 ja j¨atet¨a¨an raudan magnetoituminen huomioimatta. (Hynynen 2011) (Gr¨asbeck 2018).
B=µ0ni
2s (4)
Kappaleen leijuttaminen magneettikent¨ass¨a on havainnollistettu kuvassa 4, jossai on virta
i n
S
0A
fef
GKuva 4.Kappaleen leijuttaminen s¨ahk¨omagneetin avulla. Kuva pohjautuu (Schweitzer et al. 2009)
ja n k¨a¨aminkierrosluku, s0 on ilmav¨ali toimintapisteess¨a ja Af e on syd¨amen poikkipinta-ala. Ilmav¨aliin varastoitunut energia saadaan yht¨al¨ost¨a (5), jossaVa on ilmav¨alin tilavuus.
Tilavuus voidaan esitt¨a¨a ilmav¨alin ja sen pinta-alan avulla Wa= 1
2BaHaVa= 1
2BaHaAa2s. (5)
Voima saadaan varastoituneesta energiasta osittaisderivoimalla energia ilmav¨alin suhteen (Gr¨asbeck 2018)
f = ∂Wa
∂s =BaHaAa. (6)
Yht¨al¨o¨on (6) sijoittamalla yht¨al¨ot (2) ja (4) saadaan voimalle f =µ0Aa(ni
2s)2= 1
4µ0n2Aai2
s2, (7)
josta voidaan muodostaa niin sanottu magneettinen j¨aykkyysk 1
4µ0n2Aa=k. (8)
Yht¨al¨oss¨a (9) esitet¨a¨an magneetin luoma voima tietyss¨a kulmassaα. Kulma m¨a¨ar¨aytyy laa-kerin napaparien m¨a¨ar¨an mukaan.(Schweitzer et al. 2009)
f =ki2
Kuva 5.K¨a¨amivirtojen biasointi mallissa. Kuva pohjautuu (Schweitzer et al. 2009)
Laakerikoordinaatiston akselinsuuntainen voima saadaan yht¨al¨ost¨a (12), jota on havainnol-listettu kuvan 5 avulla. Akselinsuuntainen voima saadaan magneeteissa kulkevien virtojen
muodostamien voimien erotuksena eli toisin sanoen kyseisen liikesuunnan vaikuttavana voi-mana. Laakerikoordinaatiston akselilla on kaksi s¨ahk¨omagneettia, joiden voimien erotuk-sesta syntyy akselin suuntainen voima. Virtojen biasoinnissa alemman magneetin virta saa-daan v¨ahent¨am¨all¨a ohjausvirta ic biasointivirrasta i0 ja ylemm¨an magneetin virta saadaan summaamalla ohjaus- ja biasointivirta. Biasointivirta on vakiovirta, joka kulkee oletuksena magneeteissa (Gr¨asbeck 2018). Laakerikoordinaatiston suuntaiset voimat saadaan yht¨al¨on (9) ja kuvasta 5 n¨aht¨avien virtojen biasoinnin avulla.s0 on ilmav¨ali kun roottori on laake-rikoordinaatiston origossa, joten mahdollinen poikkeama voidaan huomioida summaamalla tai v¨ahent¨am¨all¨a poikkeama ilmav¨alist¨as0±x. Sijoitetaan yht¨al¨o¨on (9)(i0+ic)virran tilalle ja(s0−x)ilmav¨alin tilalle, jolloin saadaan yht¨al¨o (10) laakerikoordinaatistossa positiivisen suuntaiselle magneettiselle vetovoimalle
f+=k(i0+ic)2
(s0−x)2cos(α). (10)
Sijoitetaan nyt yht¨al¨o¨on (9)(i0−ic)virran tilalle ja(s0+x)ilmav¨alin tilalle, jolloin saadaan yht¨al¨o (11) laakerikoordinaatistossa negatiivisen suuntaiselle magneettiselle vetovoimalle
f−=k(i0−ic)2
(s0+x)2cos(α). (11)
Roottoriin vaikuttava voima voidaan esitt¨a¨a yht¨al¨oll¨a (12). Vaikuttava voima on siis positii-visen ja negatiipositii-visen suuntaisten voimien erotus (Schweitzer et al. 2009)
fx= f+−f−=k((i0+ic)2
(s0−x)2 −(i0−ic)2
(s0+x)2)cos(α). (12) Siirtym¨a voidaan linearisoida toimintapisteeseen oletuksella, ett¨a siirtym¨at ovat huomatta-van pieni¨a verrattuna ilmav¨aliin s0 x. (Schweitzer et al. 2009). Virtojen biasoinnin ja edell¨amainitun oletuksen perusteella yht¨al¨o (13) on nyt linearisoitu siirtym¨an ja virran suh-teen (Gr¨asbeck 2018)
fx=4ki0
s20 cos(α)ix−4ki20
s30 cos(α)x. (13)
Voima fxvoidaan esitt¨a¨a virtaj¨aykkyydenkija paikkaj¨aykkyydenksavulla lineaarisesti yht¨al¨o-ll¨a (14).
fx(ix,x) =kiix+ksx (14) Yht¨al¨on (14) virta- ja paikkaj¨aykkyys saadaan yht¨al¨on (13) avulla, jolloin n¨am¨a voidaan esitt¨a¨a (Schweitzer et al. 2009)
ki= 4ki0
s20 cos(α), (15)
Kuva 6.Virta- ja paikkaj¨aykkyyden lineariset ja ep¨alineaariset kuvaajat.
ks=4ki20
s30 cos(α). (16)
Kuten yht¨al¨ost¨a (12) huomataan, ilman linearisointia virta- ja paikkaj¨aykkyydet eiv¨at ole va-kioita, vaan ne muuttuvat virran ja roottorin paikan mukaan. T¨ast¨a voidaan todeta, ett¨a line-aarisen mallin kyky kuvata systeemin k¨aytt¨aytymist¨a on tarkkaa ainoastaan linearisointipis-teen l¨aheisyydess¨a. Laakerin virta- ja paikkaj¨aykkydet voidaan laskea analyyttisesti edell¨a mainituilla tavoilla, mutta t¨ass¨a ty¨oss¨a mallin virta- ja paikkaj¨aykkyydet on saatu FEM-mallinnuksesta saatujen datapisteiden kautta. FEM-mallintaminen antaa tarkemmat tulok-set laakerin ominaisuuksista. Kuvaajassa 6 on esitetty FEM mallinnuksella saatujen virta- ja paikkaj¨aykkyyksien kuvaajat ja niiden linearisoinnit toimintapisteess¨a.
Kuvaajasta 6 n¨ahd¨a¨an tehty linearisointi, joka mallintaa tarkasti toimintapisteen aluetta. Ku-vaajista huomataan, ett¨a suurilla paikan tai virran muutoksilla linearisoitu malli kuvastaa huonosti systeemin todellista k¨aytt¨aytymist¨a. Paikkaj¨aykkyyden linearisen mallin huoma-taan kuvaavan systeemi¨a hyvin alle 100µm siirtymill¨a, jonka j¨alkeen vaadittu voima kas-vaa lineaarisen mallin kukas-vaamaa voimaa suuremmaksi. Sama tapahtuu virtaj¨aykkyydess¨a eli vaadittu virta voiman tuottamiseksi magneetilla kasvaa. Ep¨alineaarisen mallin etuna on my¨os toiminnan ¨a¨arialueiden k¨aytt¨aytymisen tarkempi mallinnus. Linearisointi suoritettiin pienimm¨an neli¨osumman menetelm¨all¨a, 10 datapisteen matkalta toimintapisteen eli
laake-y x
Kuva 7.Kahden vapausasteen aktiiviinen radiaalilaakeri laakerikoordinaatisto k¨a¨annettyn¨a 45°.
rikoordinaatistossa x0, y0 -ymp¨arist¨ost¨a. Menetelm¨all¨a saatu tulos virtaj¨aykkyydelle ki ja paikkaj¨aykkyydelleks on n¨aht¨aviss¨a taulukosta 2. Mallin linearisointi helpottaa mallin ma-temaattista k¨asittely¨a. Mallia graafisesti kuvattaessa l¨aht¨o on aina tietyn kertoimen kautta verrannollinen tuloon. Kuvaajassa 6 linearisoidut virta- ja paikkaj¨aykkyydet ovat n¨aht¨avill¨a katkoviivalla piirrettyn¨a.