Kahden vapausasteen radiaalilaakerijärjestelmän mallinnus ja säätö

KAHDEN VAPAUSASTEEN

RADIAALILAAKERIJÄRJESTELMÄN MALLINNUS JA SÄÄTÖ

Modeling and Control of a Two Degrees-of-Freedom Radial Bearing System

Krister Gräsbeck

Kandidaatintyö 12.2.2018

LUT School of Energy Systems Sähkötekniikka

Tiivistelmä

Lappeenrannan teknillinen yliopisto LUT School of Energy Systems Sähkötekniikka

Krister Gräsbeck

Kahden vapausasteen radiaalilaakerijärjestelmän mallinnus ja säätö 2018

Kandidaatintyö.

21 s.

Tarkastaja: TkT Niko Nevaranta

Tässä kandidaatin työssä mallinnetaan kahden vapausasteen magneettilaakeri ja suunni- tellaan sille säätö. Magneettilaakereilla tuetaan roottoreita leijuttamalla niitä magneetti- kentässä. Niitä käytetään pääasiassa suurnopeusturbokoneissa. Leijuttamisen mahdollis- tamiseksi tarvitaan säätöjärjestelmä, joka mittaa roottorin paikan ja sen perusteella sää- tää laakerin roottoriin kohdistamaa voimaa. Voiman säätö mahdollistetaan käyttämällä sähkömagneetteja ja säätämällä magneettien käämeissä kulkevaa virtaa.

Tässä työssä mallinnus aloitetaan johtamalla yhtälö voimalle, jonka sähkömagneetti kohdistaa ferromagneettiseen kappaleeseen. Voiman havaitaan olevan neliöllisesti verran- nollinen virran suuruuteen ja käänteisesti verrannollinen ilmavälin pituuden neliöön. Sää- tösuunnittelua varten yhtälö linearisoidaan. Virran vaikutus linearisoidaan käyttämällä differentiaalista voiman tuottoa ja virtabiasoinnilla. Ilmavälin vaikutusta approksimoi- daan lineaarisesti leijutuspisteessä.

Johdettujen yhtälöiden avulla luodaan simulointimalli Simulink^®-ympäristöön. Liik- keen havainnollistamiseksi hyödynnetään 3D animointia. Järjestelmän fyysisenä perus- tana on pienen mittakoon magneettilaakerimalli, missä roottori on kiinnitetty toisesta päästä perinteisellä laakerilla. Tällöin toisessa päässä magneettilaakerilla hallitaan kahta vapausastetta. Tavoitteena on luoda simulointimalli, joka soveltuu säätötekniikan opetus- käyttöön virtuaalisena testiympäristönä, missä opiskelijat voivat testata omia säätösuun- nittelujaan, ennen siirtymistä oikean systeemin pariin.

Säätö toteutetaan kaskadirakenteena, missä paikkasäädin laskee virtaohjeen virtasää- timelle, joka taas säätää käämin virtaa kytkemällä siihen sopivan jännitteen. Molemmat säätimet suunnitellaan. Kaksi erilaista virtasäädinrakennetta esitellään ja kohdistetaan vertailulle; P-säädin resistiivisen jännitehäviön kompensoinnilla ja PI-säädin. Molempien havaitaan toimivan identtisesti, jos käämin ominaisuudet tiedetään tarkasti. Paikkasää- töön käytetään PID-tyypin säädintä. Paikkasäädin viritetään, siten että säädetylle systee- mille saadaan haluttu vaimennusvakio ja luonnollinen kulmataajuus. Suunniteltu säätö testataan luodulla simulaatiomallilla. Tämän lisäksi robustisuutta testataan olettamalla mallinnusepävarmuutta. Simulointitulosten perusteella suunniteltua säätöä voidaan pitää robustina.

Abstract

Lappeenranta University of Technology LUT School of Energy Systems

Electrical Engineering Krister Gräsbeck

Modeling and Control of a Two Degrees-of-Freedom Radial Bearing System 2018

Bachelor’s Thesis.

21 p.

Examiner: D.Sc. Niko Nevaranta

In this Bachelor’s Thesis a magnetic bearing with two degrees-of-freedom is modeled and control is designed. Magnetic bearings are used to provide contactless rotor suspension by levitation in a magnetic field. They are mainly used in high-speed turbo machinery applications. For the levitation to be possible, a control system is needed measure the position and according to that control the magnetic force applied to the rotor. This is achieved by using electromagnets and by controlling the current flowing in the coils of the magnets.

In this thesis the modeling process is started by deriving the equation for the force which an electromagnet exerts on a ferromagnetic object. The force is found to be propor- tional to the square of the current and inversely proportional to the square of the length of the air gap. For control design purposes the equation is linearized. The effect of the current is linearized by using differential driving method and current biasing. The effect of the air gap length is approximated linearly at the levitation point.

A simulation model is created using the derived equations in Simulink^® environment.

3D animation is used to visualize the motion. The reference for the system is a small scale magnetic bearing model where the rotor is fixed by a regular bearing at one end, thus having two degrees-of-freedom that are controlled by the magnetic bearing at the other end. The goal is to create a simulation model suitable for teaching of control engineering as a virtual testbed where students can test their control designs before trying them on the real plant.

A cascaded control structure is used where a position controller calculates a current reference which a current controller uses to apply a suitable voltage to the coil. Both con- trollers are designed. Two types of current controller designs are proposed and compared;

a P-controller with a feed-forward gain compensating for resistive voltage drop and a PI- controller. Both are found to perform identically if it is assumed that the properties of the coil are known with certainty. For the position control a PID-type controller is used.

The position controller is tuned to achieve desirable damping and natural angular fre- quency. The designed control is tested using the derived simulation model. In addition, robustness is tested by assuming some modeling uncertainty. Based on the simulations, the proposed control design is found to be robust.

Sisältö

Käytetyt merkinnät ja lyhenteet 4

1 Johdanto 6

2 Teoria ja mallinnus 6

3 Säädön suunnittelu 10

3.1 Virtasäätö . . . 10

3.1.1 P-säätö myötäkytkennällä . . . 10

3.1.2 PI-säätö . . . 12

3.2 Paikkasäätö . . . 12

4 Simulointimalli ja säädön toiminta 14 4.1 Koelaitteisto . . . 14

4.2 Simulointimalli . . . 14

4.3 Säätimien toiminnan analyysi . . . 16

4.3.1 Virtasäädön toiminta . . . 16

4.3.2 Paikkasäädön toiminta . . . 18

5 Yhteenveto ja kehitysehdotukset 19 5.1 Yhteenveto . . . 19

5.2 Kehitysehdotukset . . . 20

Viitteet 21

Käytetyt merkinnät ja lyhenteet

Lyhenteet

CAD Computer-Aided Design, tietokoneavusteinen suunnittelu DOF Degree-of-Freedom, vapausaste

FEM Finite Element Method

IR Resistanssista johtuva jännitehäviö

Mmv Magnetomotorinen voima

PID Proportional-Integral-Derivative

PWM Pulse Width Modulation, pulssinleveysmodulaatio VRML Virtual Reality Modeling Language

Merkinnät

α voiman vaikuttamiskulma

∆i virran muutos

∆t ajan muutos

µ₀ tyhjiön permeabiliteetti µ_r suhteellinen permeabiliteetti ω_n luonnollinen kulmataajuus

ω_bw kaistanleveys

ξ vaimennusvakio

A pinta-ala

B magneettivuon tiheys

C_{P D} PD-säätimen siirtofunktio C_{P ID} PID-säätimen siirtofunktio C_pl vaiheenjohtopiirin siirtofunktio

F voima

G_cc virtasäädetyn käämin siirtofunktio

H magneettikentän voimakkuus

i magnetointivirta

i_c kontrollivirta

i_bias biasointivirta i_max suurin sallittu virta

k voimavakio

Kd vaiheenjohtopiirin vahvistusparametri K_i PID-säätimen integraattorin vahvistus

k_i virtajäykkyys

K_p paikkasäätimen P-osan vahvistus

k_s paikkajäykkyys

k_u nopeuden indusoima jännitevakio K_b virtasäätimen integraattorin vahvistus K_{cf f} virtasäätimen myötäkytkennän vahvistus Kcp, Ka virtasäätimen vahvistus

L induktanssi

l_{f e} magneettipiirin rauta-osan pituus

m massa

n käämin kierrosluku

R resistanssi

s ilmavälin pituus, Laplace-tason muuttuja s₀ ilmavälin normaalipituus

T_f vaiheenjohtopiirin parametri

t_rise nousuaika

u käämin jännite

u_dc modulaattorin jännite

V tilavuus

W energia

x paikka x-akselilla

1 Johdanto

Aktiivimagneettilaakereilla tuetaan pyöriviä akseleita, eli roottoreita, leijuttamalla niitä magneettikentässä. Jotta leijuttaminen on mahdollista, pitää magneettikenttää jatkuvasti säätää. Laakeri ei ole fyysisessä kontaktissa roottorin kanssa, jolloin laakeriin ei kohdistu mekaanista kulumista. Magneettilaakerointi mahdollistaa hyvin suuret pyörimisnopeudet verrattuna perinteisiin mekaanisiin laakereihin. Toinen erittäin suuri aktiivimagneettilaa- kereiden etu on roottorin dynamiikan hallinta. Jos roottori ei ole täydellisesti tasapai- notettu (massa ei ole täysin symmetrinen pyörimisakselin suhteen), aiheuttaa se systee- miin värähteleviä voimia. Aktiivimagneettilaakeroinnilla nämä voimat voidaan tunnistaa ja kompensoida. Yleisin käyttökohde magneettilaakereille on erilaiset turbokoneet [1].

Käytännön aktiivimagneettilaakerisovelluksissa roottori on tuettu vähintään kahdel- la radiaalilaakerilla. Laakerit on sijoitettu roottorin kumpaakin päähän. Radiaalilaake- ri tuottaa voiman, joka on kohtisuorassa roottorin pituusakselia vastaan. Lisäksi tarvi- taan magneettiaksiaalilaakeri, joka pitää roottorin paikallaan sen pituussuunnassa. Täl- löin magneettilaakereilla hallitaan roottorin viittä vapausastetta.

Tässä kandidaatintyössä keskitytään pienen mittakoon opetusmalliin, joka koostuu yh- destä radiaalimagneettilaakerista ja roottorista. Laakerilla hallitaan roottorin kahta va- pausastetta, loput kolme on lukittu normaalilla kuulalaakerilla roottorin toisessa päässä.

Tällöin ongelma redusoituu pistemäisen massan leijuttamiseksi kahdessa ulottuvuudessa.

Systeemi mallinnetaan kirjallisuuslähteiden avulla ja mallin avulla luodaan virtuaaliesi- merkki Simulink-simulointiympäristöön. Tavoitteena on tuottaa opetuskäyttöön soveltu- va malli, jonka avulla voidaan testata erilaisia säätöratkaisuja. Virtuaaliesimerkissä hyö- dynnetään 3D-mallinnusta, jotta simulaatiosta saadaan mahdollisimman visuaalinen ja ymmärrettävä, jolloin se soveltuu hyvin säätötekniikan opetuskäyttöön.

Systeemin malli linearisoidaan ja sille tehdään säätösuunnittelu. Säädinrakenteena toi- mii PID-säädin (proportional-integral-derivative), jonka viritys perustuu lähteessä [2] esi- tettyihin periaatteisiin, joissa systeemille saadaan haluttu luonnollinen kulmataajuus ja vaimennusvakio. Säätimen toimintaa testataan ja analysoidaan simulaatiomallin avulla.

2 Teoria ja mallinnus

Magneettikentässä leijuva ferromagneettinen kappale on luonnostaan labiili. Pieninkin häiriö aiheuttaa kappaleen putoamisen tai magneettiin osumisen. Kappaletta on Erns- hawn teoreeman mukaan mahdotonta leijuttaa staattisessa magneettikentässä [3]. Leijut- taminen mahdollistetaan käyttämällä säätötekniikka systeemin stabiloimiseksi. Kappa- leen poikkeama halutusta paikasta mitataan ja säädin säätää sähkömagneetin käämissä kulkevaa virtaa sen mukaan. Kuvassa 2.1 on esitetty periaate kappaleen leijuttamisek- si magneettikentässä. Painovoima vetää roottoria alaspäin ja sähkömagneetilla tuotetaan ylöspäin suuntautuva voima. Tehovahvistin muuttaa säätimeltä tulevan jännitesignaalin käämin magnetointivirraksi.

Sähkömagneetin tuottaman voiman määrittämiseksi vaaditaan magneettipiirin tarkas- telemista. Magneettipiiri on esitetty kuvassa 2.2, missä i on virta, n käämin kierrosluku, A_a ilmavälin pinta-ala,A_{f e} rautasydämen poikkipinta-ala,l_{f e} piirin rautaosan keskimää- räinen pituus ja s ilmavälin pituus.

Käämissä kulkeva virta synnyttää magnetomotorisen voiman (mmv), joka on käämin kierrosluku kerrottuna virralla. Mmv synnyttää piiriin magneettivuon [4]. Amperen laista

Kuva 2.1: Magneettisen leijuttamisen periaate [1].

Kuva 2.2: Magneettipiiri [1].

saadaan [1][5]

l_{f e}H_{f e}+ 2sH_a =ni, (2.1) missä H_{f e} ja H_a on magneettikentän voimakkuus raudassa ja ilmassa. Oletetaan, et- tä hajavoita ei esiinny ja ilmavälin ja raudan poikkileikkauspinta-alat ovat yhtä suuret A_a =A_{f e} =A. Tällöin magneettivuon tiheysB on sama raudassa sekä ilmassa. Magneet- tikentän voimakkuus yhtälössä (2.1) voidaan korvata magneettikentän voimakkuuden ja magneettivuon tiheyden yhteydellä

B =µ₀µ_rH, (2.2)

missä µ₀ on tyhjiön permeabiliteetti ja µ_r väliaineen suhteellinen permeabiliteetti, jolloin saadaan

l_{f e} B µ0µr

+ 2sB µ0

=ni. (2.3)

Ratkaistaan yhtälöstä (2.3) B, jolloin saadaan B =µ0

ni

lf e

µr + 2s. (2.4)

Raudan suhteellinen permeabiliteetti on suuri, joten yhtälö (2.4) voidaan yksinkertaistaa muotoon

B =µ₀ni

2s. (2.5)

Ilmaväliin varastoituu energiaa W_a yhtälön W_a= 1

2BH_aV_a= 1

2BH_aA(2s) (2.6)

mukaan, missä V_a on ilmavälin tilavuus. Voima on energian osittaisderivaatta ilmavälin pituuden suhteen

F = ∂Wa

∂s =BH_aA. (2.7)

Sijoittamalla yhtälöt (2.2) ja (2.5) yhtälöön (2.7) saadaan F =µ0A

ni

2s 2

= 1

4µ0n²Ai²

s² =ki²

s² , (2.8)

missä

k = 1

4µ₀n²A. (2.9)

U-muotoisessa magneetissa voima vaikuttaa jossain kulmassa α (kuva 2.3), jolloin voima on

F =ki²

s² cosα. (2.10)

Kuva 2.3: U-muotoisen magneetin geometria [1].

Kokonaisessa radiaalilaakerissa käytetään usein kahdeksannapaista staattoria (kuva 2.4), jolloin se sisältää neljä sähkömagneettia. Kahdella magneettiparilla roottorin paik- kaa säädetään kahdella akselilla (ulottuvuudessa). Kaikissa magneeteissa kulkee oletukse- na biasointivirtai_bias. Tällöin akselin molemmat magneetit vaikuttavat roottoriin samalla voimalla, joten magneettinen nettovoima on nolla. Roottorin paikka mitataan kummalla- kin akselilla. Säädin laskee kontrollivirrat i_c,x ja i_c,y. Kontrollivirta summataan ylemmän magneetin biasointivirtaan ja vähennetään alemman magneetin biasointivirrasta. Tällöin positiivinen kontrollivirta lisää ylemmän magneetin vetovoimaa ja vähentää alemman, jol- loin kokonaisvoima on ylöspäin. Tällä tavalla voima saadaan kontrollivirran lineaariseksi funktioksi epälineaarisen magnetointivirran funktion sijaan. Roottorin akselit on kierret- ty 45° suhteessa painovoiman suuntaan (kuvassa 2.4 alaspäin), jolloin roottorin paino

Säädin +

- + +

+ + + - Tehovahvistin

x

ic_, y

ic_,

ibias ibias

Kuva 2.4: Kahdeksannapainen radiaalilaakeri paikanmittauksen ja paikkasäätimen kanssa.

jakautuu symmetrisesti molemmille akseleille, siten että molemmat akselit kannattelevat painosta 1/√

2 -osan.

Tarkastellaan magneettilaakerin x-akselilla tuottamaa kokonaisvoimaa F_x. Olkoon s₀ ilmaväli silloin, kun roottori on keskellä laakeria ja x roottorin poikkeama keskikohdas- ta. Kokonaisvoima on vastakkaisten magneettien tuottamien voimien summa. Sijoitetaan (i_bias±i_c,x)yhtälöön (2.10)i:n paikalle ja (s₀±x)s:n paikalle. Tällöin kokonaisvoima on

F_x(i_c,x, x) =k

(i_bias+i_c,x)²

(s0−x)² − (i_bias−i_c,x)² (s0+x)²

cosα. (2.11)

Yhtälö (2.11) on lineaarinen kontrollivirran suhteen mutta epälineaarinen poikkeaman suhteen. Yhtälö voidaan linearisoida poikkeaman suhteen toimintapisteen alueella, kun oletetaan, ettäxs0. Tällöin saadaan voiman lauseke, joka on lineaarinen kontrollivirran ja poikkeaman funktio

Fx = 4ki_bias

s²₀ cosα ic,x+4ki²_bias

s³₀ cosα x=kiic,x+ksx, (2.12) missä

k_i = 4ki_bias

s²₀ cosα = An²µ₀i_bias

s²₀ cosα (2.13)

ja

ks = 4ki²_bias

s³₀ cosα= An²µ₀i²_bias

s³₀ cosα. (2.14)

Yhtälöiden (2.13) ja (2.14) muuttujat k_i ja k_s ovat virtajäykkyys ja paikkajäykkyys. Vir- tajäykkyys kuvaa laakerin roottoriin kohdistamaa nettovoimaa suhteessa kontrollivirran arvoon ja vastaavasti paikkajäykkyys suhteessa roottorin siirtymään keskipisteestä. Virta- ja paikkajäykkyyden yksiköt ovat tällöin [N/A] ja [N/m].

Säätösuunnittelu pohjautuu usein lineaariseen malliin. Jos systeemin on tarkoitus toi- mia pienellä alueella, approksimoidaan epälineaarista mallia lineaarisesti toimintapisteen alueella. Tällöin voidaan soveltaa lineaarista säätöteoriaa, vaikka säädettävä systeemi on- kin oikeasti epälineaarinen. Lineaarinen voiman lauseke on esitetty graafisesti kuvassa 2.5.

-2 -1 0 1 2 ic [A]

-150 -100 -50 0 50 100 150

F [N]

F=k_ii_c

-2 -1 0 1 2

x [m] ₁₀^-4

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

F [N]

F(x) F = k_sx

Kuva 2.5: Vasemmalla voima kontrollivirran funktiona, oikealla voima poikkeaman funktiona, joka on linearisoitu toimintapisteeseen.

Analyyttisen yhtälön sijasta virta- ja paikkajäykkyyttä voidaan paremmin analysoida FEM (finite element method) -mallinnuksella. Tällöin laakerista tehdään malli johonkin FEM-ohjelmistoon. Paras arvio jäykkyyksistä saadaan kuitenkin identifioimalla systee- mi kokeellisilla mittauksilla. Yksi tällainen identifiointikeino on askelvastekoe [6], missä roottori nostetaan ala-asennosta yläasentoon kontrollivirran askeleella. Paikka mitataan noston aikana ja paikan funktioon luodaan sovite, josta saadaan arvio systeemin navoille, joista taas saadaan systeemin siirtofunktio ja jäykkyydet.

Virtajäykkyyden selvittämiseksi voidaan roottoria kannatella mitattavalla voimalla.

Voiman muutos eri kontrollivirroilla kertoo virtajäykkyyden arvon.

3 Säädön suunnittelu

Magneettilaakerin säätö toteutetaan kaskadisäädöllä, johon kuuluu paikka- ja virtasäädin.

Paikkasäätimenä voidaan käyttää perinteistä PID-säädintä. Paikkasäädin antaa virtaoh- jeen virtasäätimelle, joka taas säätää sähkömagneetin käämin jännitettä ja siten myös vir- taa. Kaskadisäädön lohkokaavio yhdelle liikeulottuvuudelle on esitetty kuvassa 3.1. Käy- tännössä käämin jännitteen säätö toteutetaan pulssinleveysmodulaatiolla (PWM). Modu- laattori kytkee käämiin tietyn tasajännitteen positiivisenau_dctai negatiivisena−u_dc. Kyt- kettyä jännitettä voidaan muuttaa suurella taajuudella, jolloin käämissä “näkyvä” jännite voi olla mikä tahansa −u_dc ja u_dc väliltä.

3.1 Virtasäätö

Virtasäätimeksi soveltuu esimerkiksi P-säätö myötäkytkennällä tai PI-säätö. Molemmilla saavutetaan tyypillinen ensimmäisen kertaluokan systeemin vaste.

3.1.1 P-säätö myötäkytkennällä

Yleisesti käytetty virtasäädin on P-säädin, jossa on myötäkytkentä. Virtatakaisinkytken- nällä kompensoidaan induktiivista jännitehäviötä. Myötäkytkentä kompensoi käämin re-

sistanssista johtuvaa jännitehäviötä, jolloin säädettyyn virtaan ei tule jatkuvuustilan vir- hettä. Tätä säätöratkaisua kutsutaan IR-kompensoinniksi. Käämin jännite u on

u=Ldi

dt +Ri+k_udx

dt , (3.1)

missä L on käämin induktanssi, R resistanssi, ja k_u nopeuden indusoima jännitevakio.

Roottorin nopeuden aiheuttama jännite voidaan yleensä olettaa pieneksi. Resistanssi on myös pieni, joten se voidaan jättää huomioimatta virtasäätimen vahvistuksen (P-osan) suunnittelussa. Käämin induktanssi riippuu roottorin paikasta, mutta koska systeemi on linearisoitu toimintapisteessä, voidaan se olettaa vakioksi säädön suunnittelussa.

Virtasäädin

K_cp -u_dc ... u_dc

i_ref

u 0 ... i_max

i K_cff

-K- -K-

R

1/L 1

s i x

Roottori PID(s)

Paikkasäädin 1

Paikkaohje

1 Paikka -^s

Kuva 3.1: Kaskadisäädön lohkokaavioesitys.

Kuvasta 3.1 saadaan takaisinkytketyn virtasäädön siirtofunktioksi G_cc(s), kun resis- tanssi jätetään huomiotta

G_cc(s) = i iref

≈ K_cp

sL+Kcp, (3.2)

missä K_cp on virtasäätimen vahvistus. Sama siirtofunktio voidaan esittää muodossa [5]

G_cc(s)≈ ω_bw

s+ω_bw, (3.3)

missä ω_bw on kaistanleveys. Nähdään, että vahvistuksella ja kaistanleveydellä on yhteys

K_cp=Lω_bw. (3.4)

Ensimmäisen kertaluvun systeemille pätee [7]

ω_bw = ln 9

t_rise , (3.5)

missät_rise on käämin virran nousuaika. Nousuaika määritellään kuluvaksi ajaksi siitä, kun askelvaste on saavuttanut 10% lopullisesta arvostaan siihen, kun saavutetaan 90% lopul- lisesta arvosta. Nousuaikaa ja siten myös kaistanleveyttä rajoittaa käämin induktanssi ja kytketty jännite. Suurin mahdollinen virta-askel systeemissä on käämin virran muutos

∆i biasointivirrasta maksimivirtaan i_max. Käämin jänniteyhtälöstä (3.1) saadaan virran maksimimuutosajaksi ∆t, kun otetaan vain induktanssi huomioon

L∆i. (3.6)

Koelaitteiston induktanssi on noin20mH. Biasointivirran ja maksimivirran erotus on 7 A ja käytetty jännite on 250 V. Tällöin virran maksimimuutosajaksi saadaan noin 0.6 ms. Tämä arvo on kuitenkin teoreettinen maksimi, joka on vastaa todellisuutta korkein- taan siinä vaiheessa, kun roottori nostetaan ala-asennosta toimintapisteeseen. Täten vali- taan nousuajaksi pienempi arvo0.4ms, jolloin saadaan virtasäätimelle hyvä kaistanleveys normaaliin toimintaan. Säätimen vahvistukselle saadaan nyt arvo

K_cp =Lω= ln (9)L

trise . (3.7)

Myötäkytkennän vahvistukseksi K_{cf f} valitaan yksinkertaisesti käämin resistanssi R. 3.1.2 PI-säätö

Toinen käytännöllinen virtasäädinrakenne on PI-säädin, joka on esitetty sarjamuodossa kuvassa 3.2. Parametri K_a määrittää säädetyn systeemin kaistanleveyden ja vastaa täy- sin P-säädön vahvistusparametria (yhtälö (3.7)). Parametri K_b asettaa säätimen nollan sijainnin. Valitsemalla nollan sijainnin sopivasti, voidaan sillä kumota toinen navoista, jolloin säädetyn systeemin vaste vastaa ensimmäisen kertaluvun järjestelmää [8]. Nolla kumoaa navan, kun valitaan

K_b = R

L. (3.8)

Virtaohje

Mitattu virta

Ka

Kb 1

s 1

In1

Jännite Virta

Käämi

Kuva 3.2: PI-virtasäädetty käämi.

Molempien virtasäätöratkaisujen viritys voidaan tehdä järjestelmän parametrien mu- kaan. Huomataan, että IR-kompensoidun P-säädön ja PI-säädön dynamiikat ovat ident- tisiä, jos oletetaan että resistanssi ja induktanssi tiedetään tarkasti. Jos käämin resistans- si poikkeaa myötäkytkennän vahvistuksesta, jää systeemiin jatkuvuustilan virhettä. PI- säädöllä jatkuvuustilan virhettä ei esiinny mutta jos yhtä napaa ei saada kompensoitua, esiintyy systeemissä toisen kertaluokan ominaisuuksia (ylitystä, värähtelyä).

3.2 Paikkasäätö

Magneettilaakerisysteemi saadaan vakaaksi PD-säätimellä. Säätimen parametreinä on P- ja D-osan vahvistukset K_p ja K_d. Ideaalisen PD-säätimen siirtofunktio C_{P D} on muotoa

C_{P D}(s) =K_p+K_ds, (3.9) missä s on nyt Laplace-tason muuttuja.

Parametrien valinnoilla vaikutetaan systeemin luonnolliseen kulmataajuuteen ja vai- mennusvakioon seuraavasti: [2]

K_p = mω²_n+k_s

k_i (3.10)

ja

K_d= 2mω_n

k_i ξ, (3.11)

missä ω_n on luonnollinen kulmataajuus,ξ vaimennusvakio jam laakerikohtaan kohdistu- vaa painoa vastaava massa.

Ideaalinen derivaattori vahvistaa voimakkaasti suuritaajuista kohinaa. Ongelma voi- daan korjata käyttämällä vaiheenjohtopiiriä, jolloin derivaattori toimii tietyllä taajuusa- lueella. Vaiheenjohtopiirin siirtofunktio G_pl on muotoa

Gpl(s) = K_ds+ 1

T_fs+ 1 , (3.12)

missä T_f on vakio. Nyt piiri toimii derivaattorina taajuusalueella [1/K_d,1/T_f] ja vahvis- tus on rajoitettu arvoon K_d/T_f. Kolme erilaista vaiheenjohtopiirin Bode-diagrammia on esitetty kuvassa 3.3.

0 20 40 60 80 100

Magnitude (dB)

10 / 1 100 / 0.1 1000 / 0.01 Kd / T

f

10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

0 45 90

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

Kuva 3.3: Vaiheenjohtopiirin Bode-diagrammi kolmella eri konfiguraatiolla.

Käytännössä PD-säädettyyn systeemiin jää jatkuvuustilan virhettä, eli roottori ei saa- vuta täysin ohjepaikkaa. Tällöin ulkoisen voiman aiheuttamaa siirtymää ei myöskään kor- jata. Virhe saadaan poistettua lisäämällä säätimeen integroiva osa, jolloin säädin ottaa huomioon ajan mukaan kertyvän virheen. Kun ideaalisen PD-säätimen D-osa korvataan vaiheenjohtopiirillä ja lisätään I-osa, niin saadaan käytännöllinen PID-säädin, jonka siir- tofunktio C_{P ID} on

C_{P ID} =K_p+K_i

s + K_ds+ 1

T_fs+ 1 , (3.13)

jossaK_i on integraattorin vahvistus. Integraattorin vahvistukselle ei saada mallipohjaista viritystä [2]. Vahvistus valitaan kokeilemalla ja simuloimalla siten, että haluttu dynamiik- ka saavutetaan (esim. nousuaika, asettumisaika, ylitys). Jos integraattorin vahvistus on liian suuri, kumoaa se vaiheenjohtopiirin vaikutusta ja aiheuttaa epästabiiliuuden [1].

4 Simulointimalli ja säädön toiminta

Tässä kappaleessa esitellään työssä käytetty kahden vapausasteen laakerijärjestelmä ja siihen perustuva simulaatiomalli ja analysoidaan PID-säätimen toimintaa simuloinnein.

Simuloinneissa käydään läpi roottorin nostotilanne sekä analysoidaan säädön toimintaa olettamalla mallinnusepävarmuutta. Tarkastellaan myös virtasäädön toimintaa askelvas- tein. Mallinnusepävarmuudeksi oletetaan R±10%, L±10%, k_i±20% ja k_s±20%.

4.1 Koelaitteisto

Simulointimalli ja säädön suunnittelu tehdään yhden radiaalilaakerin ja roottorin pie- noismallille, joka on esitetty kuvassa 4.1. Roottori on laakeroitu kiinteästi toisesta pääs- tä normaalilla kuulalaakerilla. Tällöin roottorilla on magneettilaakerointikohdassa kaksi vapausastetta, joita siis hallitaan magneettilaakerilla. Roottorin pituus on 30 cm ja mas- sa 2.64 kg. Roottorin laakerointikohtaan kohdistuvaa painoa vastaava massa on laskettu roottorin massan ja painopisteen avulla. Painopiste on laskettu roottorin CAD-mallista.

Laakerin käämien induktanssit ja resistanssit mitattiinKeysight U1733C LRC-mittarilla, kun roottori oli levossa ala-asennossaan. Mittaustuloksista otetaan keskiarvot. Koelait- teiston fyysiset parametrit on esitetty taulukossa 1.

Kuva 4.1: Kahden vapausasteen radiaalilaakerijärjestelmä.

4.2 Simulointimalli

Magneettilaakerista muodostetaan simulointimalli, sisältäen visuaalisen 3D-esityksen, Simulink-ympäristöön. 3D-malli on alun perin tehty SolidWorks CAD-ohjelmistolla, josta se on tuotu VRML (Virtual Reality Modeling Language) -muodossa Simulinkiin hyödyn- täen Simulink 3D Animation -lisäosaa [9]. Renderöity magneettilaakeri ja roottori on esi- tetty kuvassa 4.2. Roottorin laminoitu osa on esitetty punaisella. On syytä huomauttaa, että oikeassa systeemissä roottorin liike on niin pientä, että sitä on vaikea silmällä havain- noida. Tämän takia roottorin kokoa on pienennetty suhteessa staattoriin, jotta roottorin liikettä voidaan liioitella ja saada se paremmin näkyviin ja havainnollistaa sen liikettä paremmin.

Taulukko 1: Simulaatiossa käytetyt fyysiset parametrit Parametri Arvo Selitys

A 4.41·10⁻⁴ [m²] Sähkömagneetin muodostaman magneetti- piirin poikkipinta-ala

n 100 Sähkömagneettien käämien kierrosluku R 2.13[Ω] Sähkömagneettien käämien keskimääräinen

resistanssi

L 20 [mH] Sähkömagneettien käämien keskimääräinen induktanssi

ibias 3.0 [A] Biasointivirta

i_max 10.0 [A] Käämin suurin magnetointivirta

s₀ 0.5[mm] Ilmaväli, kun roottori on keskellä laakeria m 1.52[kg] Roottorin laakerikohtaan kohdistuvaa pai-

noa vastaava massa

k_i 61.4 [N/A] Virtajäykkyys (yhtälö (2.13) ja kuva 2.5) ks 3.69·10⁵ [N/m] Paikkajäykkyys (yhtälö (2.14) ja kuva 2.5) u_dc 250 [V] PW-modulaattorin jännite

Kuva 4.2: Magneettilaakeroidun akselin 3D-renderöinti.

Roottorin liike mallinnetaan käyttämällä Newtonin II lakia ja epälineaarista voimayh- tälöä (2.11). Roottorin osuminen laakeriin on mallinnettu siten, että seinämät toimivat jäykkinä ja hyvin vaimennettuina jousina. Kun roottori uppoaa hiemankin seinämään, sii- hen kohdistuu voima, jonka suunta on keskelle laakeria. Simulointimalli on esitetty kuvas- sa 4.3. Alisysteemi “2-DOF Magnetic Bearing” sisältää liikemallin kummallekin akselille sekä sähkömagneettimallit ja virtaohjaimet, joita on siis neljä kappaletta. Alisysteemin ulkopuolella on paikkatakaisinkytkennät ja -säätimet kummallekin akselille.

Malliin on myös sisälletty häiriön tuotto ulkoisen voiman muodossa. Liukurista vali- taan voiman suuruus ja suuntanapista voima kohdistuu roottorin laakerointikohtaan niin

kauan kuin nappia pidetään pohjassa. Käämien virtoja voidaan seurata graafeista, ja roottorin paikka nähdään graafista ja 3D-animaatiosta.

Click and hold on the buttons to apply an external force on the rotor in the direction specified.

Use the slider to select the amount of force to be applied.

Force [N]

0 X Position Reference

X Force Perturbation

X Control Current

Y Control Current

Y Force Perturbation

X Position Y Position X Current + X Current - Y Current + Y Current - 2-DOF Magnetic Bearing 0

Y Position Reference

PID(s)

Y Position Controller

Position

3D Visualization (motion exaggerated) 0

Constant -K- Scale

X Current

Y Current

-1 Gain1

Control Currents

PID(s)

X Position Controller

X Force

Y Force Perturbation

Kuva 4.3: Magneettilaakerisysteemin simulointimalli. Vasemmalla on paikkaohjeet, joista vähen- netään mitattu paikka. Paikkavirheet menevät paikkasäätimille, joista saadaan kontrollivirtaohje, joka syötetään laakerisysteemiin. Systeemin ulostulot syötetään graafeihin ja 3D-malliin.

4.3 Säätimien toiminnan analyysi

Paikkasäädin viritetään etsimällä simulaation avulla säätimen parametreille ω_n, ξ, T_f ja K_i arvot, joilla systeemi on stabiili. Luonnollisen kulmataajuuden arvolla vaikutetaan sys- teemin kaistanleveyteen. Jos kulmataajuus on liian pieni, ei säädin jaksa nostaa roottoria ala-asennosta keskikohtaan. Toisaalta, jos kulmataajuus on liian suuri, jää roottori oskil- loimaan ala- ja yläasennon välille hakaten laakerin reunoja. Löydetään kulmataajuuden arvolle melko kapea alue, josta valita. Vaimennusvakio vaikuttaa suoraan vaiheenjohtopii- rin vahvistukseen. Arvon pitää olla riittävän suuri, ettei roottori osu laakerin yläkohtaan nostossa.T_f vaikuttaa siihen mille taajuudelle vaiheenjohto osuu ja se valitaan siten, että saadaan riittävästi vaihevaraa. Integraattorin vahvistus valitaan riittävän pieneksi, että se ei kumoa vaiheenjohtoa. Valitut säädinparametrit on esitetty taulukossa 2 ja avoimen järjestelmän Bode-diagrammi kuvassa 4.4.

4.3.1 Virtasäädön toiminta

Verrataan kohdassa 3.1 esiteltyjä säätimiä ja tutkitaan mallinnusepävarmuuden aiheutta- mia vaikutuksia. Kuvassa 4.5 on esitetty säätimien askelvasteet (0 A - 1 A). Vasemmalla on PI-säätimen askelvasteet, kun säätimen virityksessä käytettävät resistanssi ja induk- tanssi vastaavat käämiä, ja kun induktanssi on arvioitu 10% liian pieneksi. Huomataan, että mallinnusepävarmuus aiheuttaa tässä tilanteessa noin kahden promillen ylityksen, jonka jälkeen virta asettuu tavoitearvoon. Ylitys on mallinnusepävarmuuteen suhteessa niin pieni, että sillä ei ole käytännön merkitystä.

Oikealla on IR-kompensoidun, P-säädetyn käämin askelvaste. Nyt oletetaan, että re- sistanssi on arvioitu 10% liian pieneksi. Tästä johtuen virta jää hieman tavoitearvostaan.

Taulukko 2: Simulaatiossa käytetyt säädinparametrit.

Parametri Arvo Selitys

K_cp 110 Virtasäätimen vahvistus (yhtälö (3.7)) Kcf f 2.13 Virtasäätimen myötäkytkennän vahvistus

ω_n 800 [rad/s] Säädetyn magneettilaakerisysteemin luon- nollinen kulmataajuus

ξ 1.0 Säädetyn magneettilaakerisysteemin vaimen- nusvakio

K_p 2.18·10⁴ Paikkasäätimen P-osan vahvistus (yhtälö (3.10))

K_d 39.5 Vaiheenjohtopiirin vahvistusparametri (yh- tälö (3.11))

Tf 2·10⁻⁴ Vaiheenjohtopiirin parametri (yhtälö (3.12)) K_i 1·10⁶ PID-säätimen integraattorin vahvistus

-100 -50 0 50

Magnitude (dB)

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵

-270 -225 -180 -135 -90

Phase (deg)

Frequency (rad/s)

Kuva 4.4: Säädetyn magneettilaakerisysteemin avoimen piirin Bode-diagrammi. Vaihevaraa on 54.7° ja vahvistusvaraa -10.4 dB.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 t [s]

0.995 0.996 0.997 0.998 0.999 1 1.001 1.002 1.003 1.004 1.005

i [A]

PI PI, L -10%

0 0.005 0.01

t [s]

0.995 0.996 0.997 0.998 0.999 1 1.001 1.002 1.003 1.004 1.005

i [A]

IR IR, R -10%

Kuva 4.5: Vasemmalla PI-virtasäädetyn käämin askelvaste ilman mallinnusepävarmuutta ja -10%

induktanssivirheen kanssa. Oikealla vastaava IR-kompensoidulle, P-säädetylle käämille, missä virhe koskee resistanssia.

Jatkuvuustilan virhe on noin kaksi promillea, joka on 10% virheeseen verrattuna hyvin pieni.

Molemmilla säätimillä saavutetaan samanlainen vaste, kun suunnittelussa käytetyt parametrit vastaavat käämin parametrejä. Nousuaika vastaa myös kohdassa 3.1.1 määri- teltyä arvoa.

4.3.2 Paikkasäädön toiminta

Kun magneettilaakeri kytketään päälle, pitää laakerin nostaa ala-asennossa oleva root- tori ylös laakerin keskelle. Tarkastellaan roottorin paikkaa yhdellä akselilla (liike toisella akselilla on identtistä) noston aikana. Tarkastellaan paikkaa myös, kun oletetaan, et- tä säädinsuunnittelussa käytettävät virta- ja paikkajäykkyyden arvot eroavat todellisista

±20%. Kuvassa 4.6 on esitetty roottorin x-akselin paikka ajan funktiona noston aikana, kun virta- ja paikkajäykkyys tiedetään tarkasti ja eri virhemarginaalien kombinaatioil- la. Kuvasta nähdään, että systeemi on stabiili kaikilla kombinaatioilla. Eroa on ylityksen suuruudessa, nousuajassa ja värähtelyn vaimenemisessa. Asettumisaika keskikohtaan on kaikilla kutakuinkin sama, noin 80 ms. Ylityksen suuruus on maksimissaan alle kolmas- osa keskikohdan ja yläkohdan välisestä etäisyydestä, eli roottori ei osu laakerin yläosaan nostossa.

Mallinnusepävarmuuden aiheuttamat erot säätimen toimintaan ovat pienet, joten paik- kasäätösuunnittelua voidaan pitää onnistuneena. Nyt jos säätö implementoitaisiin oikeaan systeemiin, niin tiedettäisiin sopivat alkuarvot säädinparametreille. Lopullinen hienosäätö tehtäisiin kokeellisesti.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 t [s]

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

x [m]

10^-4

k_i, k_s

k_i +20%, k_s +20%

k_i +20%, k_s -20%

k_i -20%, k_s +20%

k_i -20%, k_s -20%

Kuva 4.6: Roottorin x-akselin paikka ajan funktiona nostossa, erilaisilla jäykkyysparametreillä.

5 Yhteenveto ja kehitysehdotukset

Tässä kappaleessa esitetään yhteenveto työstä ja pohditaan miten tehtyä työtä pystyisi jatkossa kehittämään.

5.1 Yhteenveto

Tässä kandidaatintyössä mallinnettiin pienen mittakoon magneettilaakerisysteemi, joka koostuu yhdestä radiaalilaakerista ja roottorista. Roottorin toinen pää on kiinnitetty pe- rinteisellä kuulalaakerilla, jolloin magneettilaakerilla hallitaan roottorin kahta vapausas- tetta. Mallin perusteella suunniteltiin leijutuksen magneettikentässä mahdollistava sää- din.Mallinnus aloitettiin muodostamalla yhtälö voimalle, jonka sähkömagneetti kohdis- taa ferromagneettiseen roottoriin. Voiman tuotto toteutettiin differentiaalisesti, eli sähkö- magneettipari vetää kappaletta puoleensa molemmilta puolilta. Nettovoiman suuruutta hallitaan kontrollivirralla. Oletuksena molemmissa käämeissä kulkee biasointivirta. Kont- rollivirta lisätään toisen käämin oletusvirtaan ja vähennetään toisen oletusvirrasta. Tällä tavalla nettovoiman suuruus on suoraan verrannollinen kontrollivirtaan. Kokonaisvoiman yhtälö on kuitenkin epälineaarinen, koska sähkömagneetin tuottama voima on kääntäen verrannollinen etäisyyden, eli ilmavälin etäisyyteen. Jotta voitiin soveltaa lineaarista sää- töteoriaa, ilmavälin vaikutusta approksimoitiin lineaarisesti leijutuspisteen alueella.

Simulointia varten koko systeemi mallinnettiin lohkokaaviopohjaisella Simulink -ohjel- mistolla. Voimayhtälöiden avulla luotiin roottorin liikemalli kummallekin vapausasteel- le. Roottorin liikkeen havainnollistamiseksi luotiin animoitu 3D-malli magneettilaakerista ja roottorista. Liikemallien lisäksi kokonaismalliin kuuluu sähkömagneettimallit ja virta- sekä paikkasäätimet.

Säätösuunnittelu tehtiin mallipohjaisesti. Säätö toteutettiin kaskadirakenteena, jossa paikkasäädin laskee virtaohjeen, jonka perusteella virtasäädin kytkee käämiin jännitteen.

Virtasäätimelle esitettiin kaksi erilaista rakennetta: IR-kompensoitu P-säätö ja PI-säätö.

Huomattiin, että molemmilla saadaan identtinen vaste, kun oletetaan, että käämin omi- naisuudet tiedetään tarkasti. Vasteet eroavat todellisuudessa hieman toisistaan mallin- nusepävarmuudesta johtuen, mikä todettiin askelvasteesta, kun epävarmuudeksi oletet- tiin 10%. Virtasäätimien kaistanleveys suunniteltiin mahdollisimman nopeaksi, ottaen huomioon virran kasvunopeuden fyysiset rajoitteet.

Paikkasäädinrakenteeksi valittiin PID-säädin sen yksinkertaisuudesta johtuen. Ideaali- sen derivaattorin sijaan käytettiin vaiheenjohtopiiriä. Paikkasäädön viritykseen käytettiin säädinparametrien yhteyttä säädetyn systeemiin luonnolliseen kulmataajuuteen ja vai- mennusvakioon, joille etsittiin sopivat arvot simulaatiomallin avulla. Paikkasäädön toi- mintaa tutkittiin simuloimalla magneettilaakerin käynnistystilanne, jolloin laakeri nostaa roottorin ala-asennosta leijumaan roottorin keskelle. 20% mallinnusepävarmuus otettiin huomioon ja todettiin, että tällä on vähän vaikutusta paikkavasteeseen, joten suunniteltua säädintä voidaan pitää simulointien perusteella robustina.

5.2 Kehitysehdotukset

Magneettilaakerisysteemin Simulink-mallin luomisessa oli tavoitteena, että malli voisi toi- mia säätötekniikan opetuksessa virtuaaliympäristönä. Tällöin opiskelija voisi tehdä systee- mille säätösuunnittelun ja testata sitä virtuaalisesti, jonka jälkeen säädintä testattaisiin oikealla systeemillä. Ideaalisessa tilanteessa virtuaali- ja todellinen systeemi toimisivat identtisesti.

Tämän työn puitteissa suunniteltua säätöä ei kokeiltu oikeassa järjestelmässä. Myö- hemmin on tarkoitus ottaa järjestelmä käyttöön ja kokeilla tehtyä säätösuunnittelua käy- tännössä. Tällöin saadaan tietoa siitä, kuinka hyvin simulointimalli vastaa oikeaa systee- miä. Mallin parantamiseksi tarvittavaa lisätietoa saadaan kokeellisella identifioinnilla ja numeerisilla laskentatyökaluilla, kuten FEM-mallinnuksella.

FEM-mallinnuksella saataisiin malli esimerkiksi dynaamiselle induktanssille. Oikeassa systeemissä esiintyy kohinaa mittauksissa ja eri komponentit aiheuttavat järjestelmään viivettä. Kohina ja viiveet on mahdollista identifioida ja lisätä malliin. Tehovahvistin on mahdollista tehdä realistisemmaksi simuloimalla pulssinleveysmodulaatio. Simulointitark- kuudessa rajoittavaksi tekijäksi tulee laskentateho ja käytetyn ohjelmiston suorituskyky.

Simulointimallia tarkennettaessa simuloinnin ajo käy yhä raskaammaksi. Erilaisten sää- timien testaaminen tarkemmalla mallilla, jossa esimerkiksi roottorin noston simulointi kestää useita minuutteja, muuttuu paljon aikaa vieväksi. Loppuun on syytä huomauttaa, että säätösuunnittelu tehdään usein lineaariselle mallille ja on tärkeää testata suunnitellun säätimen toimintaa tarkempaa simulointimallia vasten, joka sisältää epälineaarisuuksia, viiveitä sekä muita oikean systeemin säätöjärjestelmän rajoittavia tekijöitä.

Viitteet

[1] G. Schweitzer ja E. H. Maslen. Magnetic Bearings, Theory, Design, and Application to Rotating Machinery. Springer, 2009.

[2] A. Chiba et al. Magnetic Bearings and Bearingless Drives. Newnes, 2005.

[3] S. Ernshaw. ”On the nature of the molecular forces which regulate the constitution of the luminiferous ether”. Trans. Camb. Phil. Soc. 7 (1840), s. 97–112.

[4] J. Pyrhönen ja J. Nerg. ”Sähkömagnetismi”. Opetusmoniste. LUT, 2004.

[5] K. Hynynen. ”Broadband Excitation in the System Identification of Active Magnetic Bearing Rotor Systems”. Väitöskirja. LUT, 2011.

[6] F. Lösch. ”Identification and Automated Controller Design for Active Magnetic Bea- ring Systems”. Väitöskirja. ETH Zürich, 2002.

[7] R. P. Jastrzebski. ”Design and Implementation of FPGA-Based LQ Control of Active Magnetic Bearings”. Väitöskirja. LUT, 2007.

[8] D. Wilson. Teaching Your PI Controller to Behave (Part II). 2015. url: https : //e2e.ti.com/blogs_/b/motordrivecontrol/archive/2015/07/20/teaching- your-pi-controller-to-behave-part-ii#pi318947=2 (viitattu 14. 12. 2017).

[9] MathWorks. Simulink 3D Animation. 2017. url: https : / / se . mathworks . com / products/3d-animation.html.