Kestomagnetoidun aksiaalivuomoottorin lämpenemän mallintaminen

TEKNILLINEN KORKEAKOULU Sähkö- ja tietoliikennetekniikan osasto

Ari Haavisto

KESTOMAGNETOIDUN AKSIAALIVUOMOOTTORIN LÄMPENEMÄN MALLINTAMINEN

Diplomityö, joka on jätetty opinnäytteenä tarkastettavaksi diplomi-insinöörin tutkintoa varten Espoossa 10.1.2006

Työn valvoja Professori Antero Arkkio

Työn ohjaaja TkT Jussi Lähteenmäki

TEKNILLINEN KORKEAKOULU Diplomityön tiivistelmä

Tekijä: Ari Haavisto

Työn nimi: Kestomagnetoidun aksiaalivuomoottorin lämpenemän mallintaminen

Päivämäärä 10.1.2006 Sivumäärä: 60

Osasto: Sähkö- ja tietoliikennetekniikka

Professuuri S-17 Sähkötekniikka (Sähkömekaniikka) Työn valvoja: Professori Antero Arkkio

Työn ohjaaja: TkT Jussi Lähteenmäki

Työn tavoitteena oli laatia dynaaminen lämpömalli kestomagnetoidulle aksiaali- vuomoottorille. Mallin avulla voi mitoittaa kyseistä moottorityyppiä ja suunnitella sille uudenlaisia jäähdytysratkaisuja.

Malli on lämpöverkko, jonka komponentit on ratkaistu kirjallisuuteen perustuen.

Häviöt ja niiden jakaantuminen koneen osiin oletetaan tunnetuksi. Mallissa olevat lämpökapasitanssit mahdollistavat mallin käytön myös jaksollisessa käy- tössä. Jako kuuteen erilliseen lohkoon mahdollistaa epäsymmetristen rakenteiden ja jäähdytyksen tutkimisen.

Malli ratkaistaan APLAC^® -piirisimulaattorilla tai Matlab^® -ohjelmistolla. Läm- mönsiirtymiskertoimien määrittäminen on tehty lämpenemämittausten avulla.

Ulkoisen puhaltimen vaikutus on kokeiltu mittauksin ja mallintaen. Mallin avul- la on tarkasteltu myös häviöissä, ilmavirroissa ja lämmönsiirtymiskertoimissa olevien epätarkkuuksien vaikutusta käämityksen sekä muiden osien lämpötilaan.

Laadittu malli ei vaadi suurta laskentatehoa, joten se toimii nopeasti mikrotieto- koneissa. Se on helposti sovellettavissa ja muokattavissa erilaisiin moottorin rakenneratkaisuihin.

Avainsanat: lämpöverkko, lämpömalli, kestomagneettimoottori, aksiaalivuomoottori

HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Abstract of Master's Thesis

Author: Ari Haavisto

Name of the thesis: A Thermal Model for an Axial-Flux Permanent Magnet Machine

Date: 10 January 2006 Number of pages: 60

Department: Electrical and Communications Engineering Professorship S-17 Electrical Engineering (Electromechanics) Supervisor: Professor Antero Arkkio

Instructor: Jussi Lähteenmäki, DrSc(Tech)

The aim of this stydy was to design a dynamic thermal model for axial-flux permanent magnet machine. The model can be used to design new cooling methods and constructions for this machine type.

The model is a thermal network whose components are mainly based on the evidence of existing literature. The power losses in each part of the machine were assumed to be known. The dynamic model can be used to simulate cyclic loading and transient action. The thermal network is divided into six sectors, thereby enabling analysis of an asymmetric cooling system and construction.

The model can be realised using either an APLAC^® circuit simulator or Matlab^® software. The heat transfer coefficients are defined from measured data. The effect of external ventilation is examined with measurements and modelling. The model also examines the effect of variation in parameters on thermal behaviour.

Critical parameters are defined.

The constructed model requires no heavy computing and runs efficiently on a microcomputer. The model can be modified and applied to different machine constructions.

Keywords: thermal network, thermal model, permanent magnet machine, axial-flux machine

ALKULAUSE

Tämä diplomityö on tehty Teknillisen korkeakoulun Sähkö- ja tietoliikennetekniikan osastolla sähkömekaniikan laboratoriossa. Lämpömallinnus ja virtaustekniikka olivat aikaisemmin itselleni vieraita tieteenaloja. Kiitän kaikkia tutkijoita, sekä entisiä ja nykyisiä työtovereitani saamistani neuvoista.

Erityisesti osoitan kiitokseni työryhmäni jäsenille emeritusprofessori Tapani Jokiselle ja laboratorioinsinööri Jarmo Perholle, joilta sain materiaalia ja kävin heidän kan- ssaan antoisia keskusteluita. Kiitän työn valvojaa professori Antero Arkkiota, oh- jaajaa TkT Jussi Lähteenmäkeä ja kuvat puhtaaksi piirtänyttä Petri Koskea. Mittaus- järjestelyt onnistuivat yhdessä DI Pekka Lehtiön kanssa, josta hänelle kiitokseni.

Espoossa 10. tammikuuta 2006

Ari Haavisto

Sisällysluettelo

TIIVISTELMÄ...2

ABSTRACT...3

ALKULAUSE...4

SYMBOLI JA LYHENNELUETTELO... 6

1. JOHDANTO... 10

1.1 Tavoite...10

2. KIRJALLISUUSKATSAUS...11

3. LÄMMÖNSIIRTO JA HÄVIÖT... 12

3.1 Lämpövirtaus... 12

3.2 Lämmön siirtyminen ilmaan...13

3.2.1 Konvektio...13

3.2.2 Säteily...14

3.3 Verkon ratkaisu... 15

3.4 Ohjatut jännitelähteet...16

3.4.1 Ilmanvirtauksen vaikutus... 16

3.4.2 Ohjatut jännitelähteet solmupistematriisissa...18

3.5 Muutostilojen laskenta...20

4. LÄMPÖMALLI... 22

4.1 Staattorin malli... 23

4.2 Roottorin malli... 32

4.3 Rungon lämpöverkko... 38

4.4 Häviötehot... 44

4.5 Lämpömallin ratkaisu... 45

5. MITTAUKSET... 46

5.1 Häviömittaukset...46

5.2 Kuormituskoe... 47

6. LASKETTUJEN JA MITATTUJEN LÄMPENEMIEN VERTAILU... 48

6.1 Pysyvän tilan lämpenemäerot ilman tuuletusta... 48

6.2 Pysyvän tilan lämpenemäerot ulkopuolisella tuuletuksella...50

6.3 Lämpenemän nousu käynnistyksen jälkeen...53

6.4 Herkkyystarkastelu... 55

7. YHTEENVETO...57

LÄHDEVIITTEET...59 LIITTEET

Liite 1: Materiaalitietoja

Liite 2: Lämpötilojen mittauspisteet testikoneessa Liite 3: Luettelo lämmönsiirtymiskertoimista

Symboli ja lyhenneluettelo

Symbolit

A poikkipinta-ala

α lämmönsiirtymiskerroin

b vahvuus, väli

β kaasun lämpölaajenemiskerroin

C kapasitanssi

cp ominaislämpökapasiteetti

γ sähkönjohtavuus

d halkaisija

δ ilmavälin pituus, eristeen vahvuus εr suhteellinen säteilykerroin

ED 75% ajoittaiskäyttö ja ajoittaiskäyttökerroin ffe täytekerroin

G konduktanssi

g putoamiskiihtyvyys

Gr Grashofin luku

h korkeus

I sähkövirta

θ lämpenemä, lämpötilaero J sähkövirran tiheys

k1 vyyhdenpääeristeen pinta-alan korjauskerroin

λ lämmönjohtavuus

l pituus

m massa

N laskentalohkojen lukumäärä, muu lukumäärä indeksoitu Nu Nusseltin luku

ν kaasun kinemaattinen viskositeetti P häviöteho, lämpövirta

Q uraluku

q kaasun tilavuusvirta, lämpövirran tiheys Pr Prandtlin luku

R resistanssi, lämpöresistanssi

Re Reynoldsin luku

ρ tiheys

σ Stefan-Boltzmannin vakio

T lämpötila

T∞ kaasun lämpötila pienen etäisyyden päässä pinnasta

Ta Taylorin luku

u ilman virtausnopeus

U jännite

x karakteristinen pituus

V tilavuus

w leveys

Lämpöverkon solmupisteet

Ai...Fi solmupiste laskentalohkoittain, i on numero nFi rungossa oleva solmupiste

RTi roottorissa oleva solmupiste AG1 ilmavälissä oleva solmupiste

Vpi sisemmän vyyhdenpään ilmatilan solmupiste Vpo ulomman vyyhdenpään ilmatilan solmupiste Alaindeksit

0 magneetin mitta

1 viittaa yleensä staattorin suureeseen 2 viittaa yleensä roottorin suureeseen

Al alumiini

AF vyyhdenpääilman- ja rungon välinen suure av average, keskiarvosuure

c convection, konvektiota koskeva suure

Cu kupari

end loppuarvo

Fe rauta, teräs

Fr frame, runkoon viittaava suure i inner, sisäkehän suure

o outer, ulkokehän suure J jarrua koskeva suure

KP kiinnityspalaan liittyvä suure p levysydämeen liittyvä suure PM kestomagneettiin liittyvä suure R roottorin komponentti

r radiation, säteilyä koskeva suure res resultoiva suure

S staattorin komponentti

s solid, kiinteää ainetta koskeva tai sähköinen suure

SF rungon komponentti SL suojalevyä koskeva suure uer uraeristettä koskeva suure th thermal, terminen suure

z hammas

zd hampaan pää

yo yoke, staattorin selkä

VP magneettien kehyslevyä koskeva suure Vpi sisemmän vyyhdenpään alueella oleva suure Vpo ulomman vyyhdenpään alueella oleva suure

1. Johdanto

Hidaskäyntisten kestomagnetoitujen sähkömoottoreiden kehitys on ollut nopeaa voimakkaiden Neodyymi-Rauta-Boori (Nb-Fe-B) magneettien tultua markkinoille 80-luvulla. Kestomagneeteilla voidaan tehdä moninapaisia ja vääntömomentiltaan voimakkaita tahtimoottoreita. Tällöin erillistä, huoltoa ja tilaa vaativaa alennus- vaihdetta ei tarvita ja moottori voidaan helposti integroida osaksi työkonetta. Kesto- magneettimoottoria syötetään useimmiten taajuusmuuttajalla, jolloin käynnistys sekä pyörimisnopeuden muutos tehdään taajuutta muuttamalla. Tällaisella koneella myös hyötysuhde sekä tehokerroin ovat parempia kuin oikosulkumoottorilla. Kesto- magneettimoottoreita on alettu käyttää erilaisissa säädetyissä käytöissä, esimerkiksi hissi, tuulimylly ja autosovelluksissa korvaamaan huoltoa vaativa tasavirtamoottori sekä vaihteisto.

Aksiaalivuokoneeksi kutsutaan sähkökonetta, jonka ilmavälissä oleva magneettivuo on akselin suuntainen. Tällaisessa konetyypissä on levymäinen roottorikiekko, joka pyörii vasten staattoria, kahden staattorin välissä tai kaksi roottorikiekkoa staattorin molemmin puolin. Tällaisella rakenteella voidaan tehdä akselin suunnassa hyvin lyhyt moottori, jonka pyörimisnopeus on suhteellisen pieni ja vääntömomentti suuri (Hakala 2000). Kun rakenne integroidaan työkoneeseen, saadaan varsin pieneen tilaan menevä työkone, kuten hissikuiluun sopiva nostomoottori. Tämäntyyppisessä rakenteessa myös jäähdyttävä pinta-ala on suhteellisen iso ja hyötysuhteeltaan hyvän koneen jäähtyminen voi tapahtua jopa kokonaan ilman puhallinta. Haluttaessa sähkö- moottorista enemmän tehoa suhteessa fyysiseen kokoon, pitää sen jäähdytykseen käyttää puhallinta. Tällöin koneen mitoituksessa pitää huomioida myös ilma- virtausten vaikutus. Perinteisiä radiaalivuokoneita on tutkittu ja optimoitu jo useiden vuosikymmenien ajan, mutta aksiaalivuokoneen osalla on vielä tarvetta lämpötek- niseen optimointiin.

1.1 Tavoite

Työn tavoitteena oli kehittää lämpömalli, jolla voidaan analyyttisesti mallintaa kesto- magnetoidun aksiaalivuokoneen häviöiden johtumista ulos koneesta. Häviöiden laskenta ei sisälly työhön. Tämän laskentamallin tavoitteena on myös helppo ilmavir- tausten muuttelu koneen sisällä, jolloin se on kätevä työkalu oikeanlaisten jäähdytys- ratkaisujen suunnittelemiseksi. Lämpömallinnusta voidaan tehdä myös elementti- menetelmällä, mutta se vaatii runsaasti laskentatehoa ja -aikaa. Kyseisessä moottori-

ratkaisussa tarvittaisiin lisäksi kolmiulotteinen mallinnus. Työssä tullaan tarkaste- lemaan myös kriittisiä häiriötekijöitä ja mallin lähtöarvoissa esiintyvien virheiden vaikutusta moottorin lämpenemään.

2. Kirjallisuuskatsaus

Kuten aikaisemmin mainittiin, on erilaisten radiaalivuokoneiden lämpöverkoista tehty paljon tutkimustyötä ja julkaisuja. Perusperiaatteet ovat tässä konetyypissä samat, vain rakenne on erityyppinen. Oikosulkumoottorille mallia on rakennettu ja viritetty useissa lähteissä. Asiaa ovat tutkineet mm. Kaltenbacher & Saari (1992), Putkonen (1995) sekä Kylander (1995). Varsinkin suurnopeuskoneiden tuotekehi- tyksessä on lämpömalli ollut tärkeä työkalu (1995), koska niissä tehotiheydet ja häviöt ovat merkittäviä. Ilmanvirtauksen vaikutustavoista jäähdytyksessä on tutkittu paljon mm. Gotter (1954), Incropera (1990) sekä luentomonisteissa Koziej (1989) ja Kotrba (1993). Aksiaalivuokoneiden kehitys on niin uutta, että niille laadittuja analyyttisiä malleja ei juuri löydy. Tällaisia koneita on tutkinut mm. Hakala (2000), Parviainen (2005), Yang et al (2004) sekä Mbidi et al (2000). Useissa artikkeleissa todettiin käytetyn jotain lämpö- ja magneettikentän laskentaohjelmistoa, eikä niiden käyttämiä laskentaperiaatteita ole sen paremmin selvitetty.

3. Lämmönsiirto ja häviöt

3.1 Lämpövirtaus

Lämpö siirtyy ylemmästä potentiaalista alempaan kuten sähkövirta. Se voi siirtyä johtumalla, säteilemällä tai konvektiolla. Lämpöverkko koostuu tutuista virtapiirin komponenteista, joilla voidaan hyvin kuvata lämmön lähteitä, varastoitumista ja virtausta alempaan potentiaaliin. Tämä teoria perustuu enimmäkseen lähteisiin Incropera (1990) ja Gotter (1954). Kiinteässä kappaleessa lämpö siirtyy alenevan lämpötilagradientin suuntaan, jolloin lämpövirtauksen tiheyttä q voidaan kuvata yhtälöllä

q=−λ∇T 3.1

Missä T on absoluuttinen lämpötila ja λ suhteellisuuskerroin, jota sanotaan lämmön- johtavuudeksi. Se on materiaalille ominainen suure, jonka yksikkö on W/mK.

Eristeiden ja johteiden lämmönjohtavuuksia on mitattu ja taulukoitu (Gotter 1954, Koncar 1984). Sitä analogisesti vastaava suure on sähkötekniikassa sähkönjohtavuus γ. Johtavuuden avulla kappaleelle voidaan määrittää lämpöresistanssi Rth, kun tiede- tään kappaleen pituus l ja poikkipinta-ala A.

R_th=1 λ

∫

0 l dx

Ax 3.2

Lämpöresistanssin yksikkö on [R]= [l]

[λ][A]= m

W/mKm²=K/W 3.3

Ohmin laissa virta saadaan vastuksen yli olevan jännitteen avulla. Vastaavasti kahden pisteen lämpötilaero θ saa aikaan em. vastuksen R läpi lämpövirran P

P=λ A l θ=θ

R 3.4

Toisin sanoen pisteiden lämpötilaero θ saadaan häviötehon aiheuttaman lämpövirran P ja lämpöresistanssin R tulona.

θ=R P 3.5

Tällöin θ kuvaa pisteen lämpenemää ympäristöönsä nähden, jos siihen tuodaan häviöteho P ja vastus ympäristön lämpötilan tasoon on R.

Kappaleeseen sitoutuvaa lämpömäärää Qth vastaa sähköisessä mallissa kondensaat- torin varaus Qs. Kappaleen lämpömäärä on

Q_th=m c_pθ 3.6

missä m on kappaleen massa, cp ominaislämpökapasiteetti ja θ lämpötilaero. Tällöin kappaleen lämpökapasiteetti saadaan osan tilavuudesta tulona

C=c_pρV 3.7

Edellä mainittujen yhtälöiden avulla voidaan yleisille sähkötekniikan ja lämpömallin suureille analogisesti määrittää vastaavuudet:

Lämmönvirtaus Sähkönvirtaus

Virta P W Virta I A

Virran tiheys q W/m² Virran tiheys J A/m²

Lämpötila T K Potentiaali V V

Lämpötilaero θ K Jännite U V

Johtavuus λ W/mK Johtavuus γ 1/Ωm

Resistanssi R K/W Resistanssi R Ω

Kapasitanssi C Ws/K Kapasitanssi Cs F

3.2 Lämmön siirtyminen ilmaan

3.2.1 Konvektio

Ilman virratessa pitkin kiinteää pintaa siirtyy siihen lämpöä johtumalla rajapinnan läpi. Tätä johtumista kutsutaan konvektioksi. Lämpövirran tiheys on suoraan verran- nollinen lämpötilaeroon θ.

q_c=αcθ 3.8

Yhtälössä kerrointa αc kutsutaan lämmönsiirtymiskertoimeksi, jonka yksikkö on W/m²K. Sen määrittäminen on varsin monimutkaista ja se määritetään usein koke- musperäisesti tai mittauksin. Konvektiivinen lämpöresistanssi pinnan Ac läpi voidaan laskea

R_th,c=T_s−T_∞ q_cA_c = 1

α_cA_c 3.9

jossa T∞ on kaasun lämpötila jonkin matkan päässä pinnasta. Lämmönsiirtymisker- roin saadaan käyttäen Nusseltin lukua Nu (Incropera 1990)

α_c=λ

x Nu 3.10

jossa λ on kaasun lämmönjohtavuus, Nu Nusseltin luku ja x lämpöä siirtävän pinnan karakteristinen pituus virtaussuunnassa. Nusseltin luku on dimensioton suure, joka riippuu väliaineen fyysisistä ominaisuuksista ja virtauksen nopeudesta kanavassa, joten voidaan kirjoittaa (Saari 1995)

Nu=fGr , R e , Pr 3.11

missä Gr on Grashofin luku, Re Reynoldsin luku ja Pr Prandtlin luku. Vapaalle konvektiolle, jossa ei esiinny turbulenttista virtausta, määritellään

Gr=g βT_s−T_∞x³

ν² 3.12

jossa g on putoamiskiihtyvyys, β lämpölaajenemiskerroin, x pinnan karakteristinen pituus ja ν on kaasun kinemaattinen viskositeetti (Kylander 1995). Reynoldsin luku on

R e=u x

ν 3.13

missä u on kaasun virtausnopeus (Incropera 1990). Prandthin luku määritellään Pr=ν ρ c_p

λ 3.14

missä ρ on kaasun tiheys, cp ominaislämpökapasiteetti ja λ lämmönjohtavuus. Näiden kertoimien vaikutus riippuu kaasun virtauksesta ja sitä ohjaavasta geometriasta sekä pyörteilystä. Tästä syystä jokaista erilaista geometrista tapausta on käsiteltävä erikseen.

3.2.2 Säteily

Säteilynä siirtyvän lämpövirran tiheys on Stefan-Boltzmanin lain mukaan

q_r=ε_rσT_s⁴−T_∞⁴ 3.15

missä εr on pintojen välinen suhteellinen resultoiva säteilykerroin ja σ on täysin mustan kappaleen säteilykerroin (Stefan-Boltzmannin vakio), jonka likiarvo on

5,67*10^-8 W/m²K⁴. Suhteellinen säteilykerroin riippuu pintojen laadusta ja niiden asemasta toisiinsa nähden. Eri materiaaleille on taulukoitu suhteellisia säteilyker- toimia. Täysin mustalla kappaleella luku on yksi. Säteilyn lämmönsiirtymiskerroin määritellään yhtälöllä

α_r= q_r

T_s−T_∞=ε_rσT_s⁴−T_∞⁴

T_s−T_∞ 3.16

Koneen maalatun ulkokuoren ja huoneen seinien välisenä resultoivana säteily- kertoimena voidaan käyttää arvoa εr = 0,85. Jos lisäksi oletetaan kuoren ja ympä- ristön lämpötilaeroksi noin 40 ˚C, voidaan lämmönsiirtymiskertoimen suuruudeksi arvioida αr = 6 W/m²K. Jos huoneen seinien ja ilman lämpötila sekä konvektoiva ja säteilevä pinta-ala ovat yhtä suuret, voidaan em. konvektion ja säteilyn kertoimet laskea yhteen (Jokinen 1972). Kokonaislämmönsiirtymiskerroin on tällöin

α=α_cα_r 3.17

Kokonainen lämmönsiirtymisresistanssi R pinnasta A ilmaan voidaan siis laskea, kuten konvektiolla yhtälössä (3.9).

3.3 Verkon ratkaisu

Kuten mainittiin, lämpöverkko on kuin sähköinen piiri (kuva 3.1). Tällöin ratkaisuun voi käyttää piiriyhtälöiden ratkaisuun soveltuvia menetelmiä. Näistä solmupiste- menetelmä on kätevin käytettäessä tietokonetta ratkaisemisessa. Nollatasoksi vali- taan yleensä ympäristön lämpötila, jolloin solmupisteiden potentiaalit vastaavat niiden lämpenemiä ympäristöön nähden. Resistanssien käänteisarvoilla eli konduk- tansseilla muodostetaan yleisesti solmupistematriisi (Kylander 1995).

[G]=

[ ^∑

^∑

^∑

^∑

]

Kuva 3.1 Lämpöverkon esimerkki

Häviötehot eli virtalähteet muodostavat yksisarakkeisen matriisin [P]

[P]=

[

]

ja potentiaali- eli lämpenemämatriisi [θ] on

[θ]=

[

]

Näiden matriisien tulona saadaan

[P]=[G][θ] 3.21

josta voidaan ratkaista helposti tietokoneohjelmistoja kuten Matlabia^® tai APLAC^®:ia käyttäen lämpenemämatriisi

[θ]=[G]⁻¹[P] 3.22

3.4 Ohjatut jännitelähteet

3.4.1 Ilmanvirtauksen vaikutus

Ilmavirtaus siirtää mukanaan lämpöä. Moottorin ilmatilassa on muutamia solmu- pisteitä, joissa ilmavirta lämpenee ja siirtää häviöitä koneen osasta toiseen. Tämän ilmavirran vaikutusta voidaan kuvata jännitelähteellä solmupisteiden välillä (Jokinen

& Saari 1997). Tarkastellaan ilmavirtaa kuvassa 3.2 solmujen S1, S2 ja S3 välillä.

P₁ R₁

R₂

R₃ C₁

S1 S2

N

θ_S2 θ_S1

Kuva 3.2. Jäähdytysaineen lämpenemän kehitys kulkiessaan koneen läpi.

Kuva 3.3. Jäähdytysaineen vaikutus on korvattu ohjatuilla lämpölähteillä θ1, θ2 ja θ3.

Ympäristönlämpöinen ilma virtaa pisteeseen S1 ja absorboi lämpöenergiaa solmuun tulevasta tehovirrasta P1:n verran. Ilma lämpenee ympäristön tasolta θ1 tasolle θ1end, jolloin sen lämpenemä vyyhdenpään alueella on laskettavissa yhtälöllä

θ_1end= 2 P₁

2ρ c_pq=2R_qP₁ 3.23

missä ρ on kaasun tiheys, cp ominaislämpökapasiteetti ja q tilavuusvirta. Tällöin voidaan olettaa massavirtauksen olevan vakio, vaikka ilma lämpenisi ja laajenisi.

Vastus Rq kuvaa virtaavan kaasun kykyä absorboida lämpöä, yksikkönä [K/W].

Keskimääräinen lämpenemä solmun S1 alueella on θ_1av=θ_1end−θ₁

2 =RqP₁ 3.24

S1

S2

S3 q q

P₃ P₂

P₁ θ

x θ_1av

θ_2av

θ_3av θ_1end θ_2end

θ_3end

θ₁

S1

S2

S3 P₃ P₂

P₁

θ₁ θ₃

θ₂

Samalla tavalla tapahtuu solmussa S2, jolloin ilma lämpenee vastaavasti pisteeseen tulevasta tehovirrasta P2 keskimäärin

θ_2av−θ_1end=R_qP₂ 3.25

Kun ilma lämpenee ensin tasolle θ1end ja virtaa siitä pisteeseen S2, voidaan laskea molempien solmun lämpenemät kumulatiivisesti yhteen seuraavasti

θ_2end=2R_qP₁P₂ 3.26

Solmun S2 alueella esim. ilmavälissä keskimääräinen lämpenemä ulkoilman tasolta θ1 on vastaavasti

θ_2av=2R_qP₁R_qP₂ 3.27

Samoin tapahtuu solmussa S3, jolloin kokonaislämpenemä ulkoilman tasolta θ1

solmun S3 keskimääräiselle tasolle θ3av on

θ_3av=2R_qP₁2R_qP₂R_qP₃ 3.28

Edellisissä tapauksissa ohjattu lähde on kunkin solmupisteen ja maan välillä kuten kuvassa 3.3. Yhtä hyvin nämä lähteet voisivat olla kytkettynä solmujen S1 ja S2 väliin sekä solmujen S2 ja S3 väliin. Lämpenemien nousut θ2av ja θ3av voidaan kirjoit- taa muotoon

θ_2av=θ1avθ_2end

2 =θ1avR_qP₁R_qP₂=θ1avθ12 3.29 θ_3av=θ_2avθ_3end−θ1end

2 =θ_2avR_qP₂R_qP₃=θ_2avθ₂₃ 3.30 joista voidaan johtaa jännitelähteet solmupisteiden välille

θ₁₂=R_qP₁P₂

θ₂₃=R_qP₂P₃ 3.31

3.4.2 Ohjatut jännitelähteet solmupistematriisissa

Kun johtavuusmatriisissa (3.18) kirjataan kaikki ilmatilassa olevat solmut eli xF1, Vpi, Vpo ja AG1 matriisin oikeaan alakulmaan, voidaan niiden välille muodostaa riippuvuus ilmavirtauksista (Jokinen 1972). Näihin solmuihin virtaavat tuntemat- tomat häviötehot [Pu] sijoitetaan lähdematriisiin. Tällöin matriisiyhtälö (3.21) on tarkemmin esitettynä

[G][θ]=

[

]

^[

^]

[

]

missä [P] on tunnettujen häviöiden muodostama pystyvektori ja

[P_u]=

[

]

Matriisi muodostuu ilmatilan solmuihin tulevista tuntemattomista häviöistä. Koska myös lämpenemät em. solmuissa ovat tuntemattomia, ei yhtälöä voi ratkaista ilman ilmanvirtauksesta saatavia lisäyhtälöitä.

Luvussa 3.4 johdetut lähteiden yhtälöt voidaan kirjoittaa myös matriisimuodossa.

Kun ympäristön ilma virtaa tuuletusaukosta sisään solmuun S1, lämpenee se siihen absorboituvasta lämmöstä keskimääräisesti yhtälöiden (3.24), (3.27) ja (3.28) mukaisesti ja ne voidaan kirjoittaa matriisimuotoon

[

]

[

] [

]

eli lyhyesti

[θ_u]=[R_u][P_u] 3.35

Ratkaistaan edellinen yhtälö [Pu]:n suhteen ja sijoitetaan se yhtälöön (3.32), jolloin lämpöverkon matriisiyhtälöksi saadaan

[G][θ]=

[

]

[

]

Tästä siirretään θu:n sisältävät termit vasemmalle puolelle jättämällä vain solmuihin tulevat tehot oikealle puolelle

[

^[

^] ]

^[

^]

josta lämpenemämatriisi [θ] on ratkaistavissa

[θ]=

[

^[

^] ]

^[

^]

3.5 Muutostilojen laskenta

Työssä mallinnetaan lämpökäyttäytymistä erityisesti jaksollisessa käytössä. Moot- torin osien massojen avulla lasketaan malliin laitettavat kapasitanssit kuten yhtälössä (3.7). Massat lasketaan vastuksien laskennassa käytettyjen mittojen ja tiheyden avulla. Kapasitanssit kytketään maan sekä joidenkin metallissa olevien solmupistei- den väliin eli ne tulevat solmupistematriisin diagonaalille. Lämpenemämatriisi [θ]

ratkaistaan osittaisdifferentiaaliyhtälöstä [C][dθ

dt ][G][θ]=[P] 3.39

Matlab^®:ssa tai APLAC^®:ssa ei tarvitse määritellä sen tarkemmin, miten kapasitanssit otetaan huomioon laskennassa. Matlab^®:ssa tehdään numeerinen ratkaisu edelliselle yhtälölle. Yhtälöstä ratkaistaan ensin aikaderivaatta dθ/dt, jota käytetään apuna ratkaistaessa ode-funktiolla lopullinen yhtälö. Em. funktio (ordinary differential equation) on osittaisdifferentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaisija, joka perustuu Runge-Kutta menetelmään. On kuitenkin otettava huomioon, että kapasitanssi esiin- tyy vain noin puolessa solmupisteistä eli toinen puoli on tavallisia algebrallisia yhtälöitä. Tämän ratkaisemiseksi on tehty jako osamatriiseihin, joissa ensimmäistä osaa integroidaan em. ode-funktiolla ja jälkimmäinen ratkaistaan edellisen perus- teella. Osamatriisiyhtälö on

[

] [

]

[

] [

]

[

]

jossa Matlab^®:n funktioilla on etsitty ensimmäiselle riville kapasitansseihin liittyvät differentiaaliyhtälöt ja alemmalle riville tavalliset yhtälöt. Tällöin rivit ovat auki- kirjoitettuina

[C₁][ ˙θ₁]=[G₁₁][θ₁][G₁₂][θ₂][P₁]

0 =[G₂₁][θ1][G₂₂][θ₂][P₂] 3.41

Alemmasta yhtälöstä voidaan ratkaista θ2

[θ₂]=





ja sijoittaa se ylempään yhtälöön, niin saadaan osittaisdifferentiaaliyhtälö

[C₁][ ˙θ₁]=





Tätä voidaan kuvata lyhyesti

[ ˙θ₁]=A[θ₁]B 3.44

Matlab^®:ssa funktiot ode23 ja ode45 integroivat em. yhtälön avulla osamatriisille θ1

arvot joka aika-askeleelle. Tämän jälkeen voidaan taas yhtälöllä (3.42) palauttaa θ2:n arvot vastaaville aika-askeleille.

4. Lämpömalli

Moottorin lämpömallin suunnittelu lähti staattorin ja rungon jakamisesta kuuteen erilliseen laskentalohkoon eli sektoriin (kuva 4.1). Lämpömallin laskentakoodiin on jätetty mahdollisuus, jolla lohkojen määrän myöhempi muuttaminen on mahdollista.

Määrää kuvaa muuttuja N, jonka arvo on toistaiseksi kuusi (6). Kussakin viipaleessa on samanlainen malli, mutta lohkoille voidaan haluttaessa antaa erisuuruisia ilma- virtauksia ja lämmönsiirtymiskertoimia. Tällöin mallilla voidaan tarkastella myös epäsymmetrisen tuuletuksen vaikutusta lämpöjakaumaan. Ilmanvirtauksen muutta- minen mallissa vaatii ohjatun jännitelähteen kytkemistä joidenkin ilmatilan solmu- pisteiden väliin. Häviöt on laskettu magneettipiirien laskentaohjelmilla ja oletetaan tunnetuiksi. Staattorin häviötehot jaetaan N:llä tasan kuhunkin laskentalohkoon.

Myös staattorin sekä rungon pinta-alat ja tilavuudet jaetaan lohkoihin. Tarvittaessa voidaan lisätä muita häviölähteitä, kuten jarrun aiheuttama häviölähde.

Solmupisteiden numeroinnissa on eritelty laskentalohko kirjainkoodilla A...F, jota seuraa järjestysnumero esim. solmu A2 on staattorin selässä lohkossa A. Vyyhden- päiden ilmatilassa olevat solmupisteet on nimetty tunnuksilla Vpi tai Vpo, jossa 'i' merkitsee sisäkehän ilmatilaa ja 'o' ulkokehän ilmatilaa. Tunnuksen lopussa on järjestysnumero. Kussakin lohkossa on kaksi Vpi ja kaksi Vpo solmua. Kaikki ilmatilassa olevat solmut on verkon kuvissa ympyröity kaksoisympyrällä. Moottorin rungossa olevat lämpömallin solmupisteet on nimetty lohkosta riippuen tunnuksilla AF...FF, jonka jälkeen tulee järjestysnumero. Ilmavälissä on vain yksi solmupiste AG1, sillä roottorin pyöriessä ilmavälin ilma sekoittuu ja tasoittaa lämpötilat. Root- toria tarkastellaan perinteisesti yhtenä pyörähdyssymmetrisenä kappaleena. Root- torissa olevat solmut on nimetty tunnuksilla RT1...RT10, joista RT10 on paikallaan pysyvä laakerin keskiö.

Kuva 4.1. Staattorin ja roottorin viipalekuva. Rungon ulkoreuna on leikattu pois.

4.1 Staattorin malli

Kaikille koneen osille lasketaan lämpövastukset perusyhtälön (3.1) mukaan. Tarvit- tavat dimensiot on esitetty kuvissa 4.2 ja 4.3. Ensin laaditaan lämpöverkko staattori- sydämen osalta, joka on esitetty kuvassa 4.3. Lämpövastuksia laskettaessa ei tarvitse huomioida sähkölevyn eristeen lämmönjohtavuutta, sillä lämpövastukset lasketaan ainoastaan levyn suuntaisesti. Ympyrän kehän suuntaisten vastuksien yhtälöissä on pituus aproksimoitu kehän kaaren pituuden avulla. Staattorisydän on kiinnitetty kiinnityspaloin runkoon niin, että selän ja rungon väliin jää pieni ilmaväli (kuva 4.2).

Kuva 4.2. Staattorin ja kiinnityspalan dimensiot.

Kuva 4.3. Staattorilevysydän leikattuna urien poikki ja sen lämpöverkko.

Ød1iØd1avØd1o

h^s

ls l_kp

h_kp

hfr2

Ødfri2

w_^kp

R^S1

R^S2 R^S2

R^S1

R^S3 R^S5 R^S4

R^S3 R^S6 2

3

7 4

AG1 P^1fe,z P^1cu,u

P^1fe,y 1

C^S2

C^S7 C^S4

h13

h1

hs h1y

b¹²

b¹¹

Staattorin levysydän

Lämpövastuksien laskenta aloitetaan määrittämällä tarvittavat poikkipinnat. Staat- torin pinta-ala aksiaalisuunnassa on

A_1Fe= π

4 N d_1o² −d_1i² 4.1

missä d1o ja d1i ovat staattorin ulko- ja sisähalkaisija sekä N on laskentalohkojen luku- määrä, joka on toistaiseksi kuusi (6). Tätä samaa pinta-alaa tullaan käyttämään myö- hemmin monessa kohdin. Hampaan raudan poikkipinta-ala saadaan vähentämällä edellisestä urien ala

A_1z=f_fe





missä ffe on levysydämen täytekerroin, Q1 uraluku, b12 uran leveys ja ls uran pituus.

Hampaiden päiden pinta-ala on

A_1zd=f_fe





missä b11 on uran suuaukon leveys. Pinta-alan A1Fe avulla voidaan laskea selän pinnan solmun A1 solmuun A2 yhdistävän aksiaalisuuntaisen vastuksen RS1 arvo

R_S1= h_1y

2 λ_pA_1Fe f_fe 4.4

jossa h1y on selän vahvuus. Selässä olevia lohkojen välisiä solmuja A2, B2, C2, ...

yhdistää kehän suuntaisesti vastus RS2, joka on R_S2≈ πd_1av

2 λ_pl_sh_1yN 4.5

Selästä hampaaseen eli roottoria kohti vaikuttaa vastus R_S3= h₁

2 λ_pA_1z 4.6

Hampaasta uraan päin eli kuvitteelliseen keskiarvosolmuun 4, vaikuttaa vastus R_S4=−R₃

3

Hampaan pään pinta-alan avulla lasketaan hampaasta ilmavälin solmuun AG1 vaikuttava vastus

R_S6= 1

α_S6A_1zd 4.8

jossa ilmavälin ja raudan välinen lämmönsiirtymiskerroin αS6 lasketaan Kylanderin (1995) mukaan

α_S6=Nu λ_air

 4.9

Yhtälössä Nu on Nusseltin luku, jolle käytetään lukuarvoa 3, koska Taylorin luku on alle 1800 (Kylander 1995) ja (Parviainen 2005). Tällöin ilmavälin radiaalinen virtaus on hyvin pieni. Yhtälössä λair on ilman lämmönjohtavuus ja δ on ilmavälin suuruus.

Oletetaan, että staattorin ura-aukosta ei siirry lämpöä ilmaväliin, vaan lämpö siirtyy kokonaan hampaan kautta. Uraeristeen lämpövastuksen RS5 laskemiseksi pitää laskea ensin urien seinämien pinta-ala

A_1s=

Q₁ l_s2h₁₃π 2 b₁₂ N

4.10

jossa h13 on uran suoran osan korkeus. Em. keskiarvosolmun 4 ja uran kuparissa olevan keskiarvosolmun 7 välinen vastus uran seinämän läpi on

R_S5= 1

k_1uerA_1s 4.11

jossa kerroin k1uer voidaan laskea Jokisen (1972) ja Gotterin (1954) mukaan summana vyyhden-, uraeristeen- ja metallikosketuksen lämmönsiirtymiskertoimista

k_1uer= b₁₃

6 λ_resε_uer λ_uer 1

α_uer

−1

4.12 missä b13 on uran leveys vähennettynä uraeristeellä, εuer uraeristeen vahvuus ja αuer

uraeristeen ja raudan välinen kosketusresistanssi. Ensimmäinen termi jaetaan kuu- della, koska uran keskimääräinen lämpenemä on 2/3 θmax ja sen pisteen etäisyys uran reunasta on 1/4 b13. Yhtälössä uran poikittainen lämmönjohtavuus λres hampaaseen päin lasketaan em. lähteiden mukaan ns. resultoivana resistanssina pyörölankakäämin poikkisuunnassa. Koska kuparin lämmönjohtavuus on moninkertaisesti suurempi

kuin eristeiden, voidaan se jättää huomiotta. Tällöin resultoiva lämmönjohtavuus on λ_res=λ_insd

i

i

d ' 4.13

jossa λins on emalieristeen johtavuus, d on langan kupariosan halkaisija, d' langan kokonaishalkaisija ja δi emalieristekerrosten vahvuus.

Uran pituussuunta

Uran kuparisissa käämilangoissa muodostuva häviö jakaantuu tasaisesti koko uran mitalle. Tällöin tilannetta voi kuvata tikapuumallilla kuten sähkölinjaa, jossa vaikut- taa konduktanssi maata vastaan jokaista metriä kohden. Eli resistanssi tai konduk- tanssi voidaan laskea pituusyksikköä kohden. Nämä rinnan- ja sarjaankytketyt pienet vastukset voidaan mallissa yhdistää yhdeksi T-malliseksi sijaiskytkennäksi, jonka haaroissa on alku- ja loppupään lämpenemät ja keskellä keskimääräinen lämpenemä (Jokinen 1972). Vyyhden verkko on kuvattu kuvassa 4.4.

Vastus uran suunnassa on R_K1= N l_s

λ_CuQ₁ A_1Cu 4.14

Uran seinämän ja hampaan välillä vaikuttaa uran alueella konduktanssi G_K1= 1

R_S5 4.15

Keskiarvosolmun A8 ja urassa olevan todellisen solmun A7 välissä on vastus R_S7= 1

G_K1



sinh



= 1

G_K1 2



e^{RK1GK1}−e^{−RK1GK1}−1

4.16

RA4

VPo2

A5

P1Cu,VPo

A9 RA3

RS13

VPo1

RS11 RS9 RS8 A8

RS7

RS8

A7

P

RS12 A6

RS10 RS14

P1Cu,VPi

A10

RA1

RA2

VPi1 VPi2

CS7

CS6

CS5

Solmusta A8 jakaantuu vyyhdenpäiden suuntaan vastus R_S8=R_K1

2

tanh1

2



1

2



= R_K1 2

e

1 2 ^RK1GK1

−e⁻

1 2 ^RK1GK1

e

1 2 ^RK1GK1

e⁻

1 2 ^RK1GK1

1

2



4.17

merkitsemällä nimittäjä lyhyesti x=1

2



saadaan sievennetty yhtälö R_S8=R_K1

2x⋅e^x−e^−x e^x−e^−x=R_K1

2x⋅e^2x−1

e^2x1 4.19

Laskentaohjelmassa eksponenttilauseke e^2x on ohjelmarivin yksinkertaistamiseksi korvattu muuttujalla exg

exg=e^2x=e^{RK1GK1} 4.20

Ulkokehän vyyhdenpää

Samaa laskentamenetelmää käytetään sisä- ja ulkovyyhdenpäässä. Ensin pitää laskea ulomman vyyhdenpään jäähdyttävä ala.

A_1vpo=k_1vpoπd_1o−l_1vpo

2 l_1vpo1

N 4.21

jossa k1vpo on vyyhdenpään pinta-alan korjauskerroin ja l1vpo vyyhdenpään pituus.

Vastus ulomman vyyhdenpään kuparin suunnassa on R_Ko= N l_1vpo

2λ_CuQ₁ A_1Cu

4.22 Lämmönjohtavuus vyyhdenpäässä lasketaan samoin kuin urasta hampaaseen

k_1vpoer= b_vpo 6 λ_res

−1 4.23

jossa resultoiva lämmönjohtavuus lasketaan yhtälöllä (4.13). Ulomman vyyhdenpään sisältä vyyhden pintaan vaikuttava lämpövastus on

R_S13= 1

k_1vpoerA_1vpo 4.24

Vyyhdenpään matkalla vaikuttaa konduktanssi ympäristöön samoin kuin urassa G_Ko= 1

R_S13 4.25

Näistä lasketaan yhteinen muuttuja, kuten edellä x_o=1

2



exg=e^2xo=e^{RKoGKo} 4.27

Vastukset R_S9=R_Ko

2x_o⋅exg−1

exg1 4.28

R_S11=R_S13 4 x_o

exg−1/exg−1 4.29

yhdistävät uran ulompaan vyyhdenpäähän Sisäkehän vyyhdenpää

Sisäkehän tilanne on identtinen ulkokehän kanssa. Jäähdyttävä ala on A_1vpi=k_1vpiπd_1i−l_1vpi

2 l_1vpi1

N 4.30

Vastus sisemmän vyyhdenpään kuparin suunnassa on R_Ki= N l_1vpi

2λ_CuQ₁ A_1Cu 4.31

Vyyhden sisältä ulkopintaan vaikuttaa vastus R_S14= 1

k_1vpierA_1vpi 4.32

Vastukset

R_S10=R_Ki

2x_i⋅exg−1

exg1 4.33

R_S12=R_S14 4 x_i

exg−1/exg−1 4.34

yhdistävät uran sisempään vyyhdenpäähän

Vyyhdenpään pinnasta lämpö siirtyy konvektion avulla vyyhdenpään ilmatilaan molemmin puolin vyyhteä sekä sisä-, että ulkokehällä kuten kuvassa 4.4. Nämä resistanssit lasketaan erikseen kussakin lohkossa, RB1, RC1, .... Lisätuuletuksella saattaa eri lohkoissa olla eri suuruinen ilman virtaus, jolloin αB1, αC1, ... ovat myös eri suuruisia. Lohkossa A vyyhdenpään pinnasta sisempään ilmatilaan roottorin puolelle vaikuttaa vastus

R_A1= 2

α_A1A_1vpi 4.35

Vyyhdenpään pinnasta sisempään ilmatilaan staattorin puolelle on vastus R_A2= 2

α_A2A_1vpi 4.36

Vyyhdenpään pinnasta ulompaan ilmatilaan staattorin puolelle on vastus R_A3= 2

α_A3A_1vpo 4.37

Vyyhdenpään pinnasta ulompaan ilmatilaan roottorin puolelle on vastus R_A4= 2

α_A4A_1vpo 4.38

Staattori on kiinnitetty valurautaiseen runkoon kiinnityspaloin, jotka hitsataan staat- torisselkään. Yhdessä lohkossa olevien palojen pinta-ala staattoriselän puolella on

A_1KPD=N_KPl_KPDw_KP

N 4.39

jossa NKP on palojen lukumäärä ja runkoon ruuvein kiinnitetty kosketusala A1KPN

lohkoa kohden on vähän isompi A_1KPN=N_KPl_KPNw_KP

N 4.40

Lämpöresistanssi staattorin selän pinnan solmusta A1 kiinnityspalaan on R_SF1= 1

α_SF1A_1KPD h_KP

2λ_FeA_1KPD 4.41

jossa hKP on palan korkeus. Resistanssi kiinnityspalasta rungon solmuun AF2 on vastaavasti

R_SF2= h_KP

2λ_FeA_1KPN 1

α_SF2A_1KPN h_Fr2

2λ_FrA_1KPN 4.42

Siirtymisresistanssi RA5 staattorin solmusta A1 sen ja rungon välisessä ilmatilassa olevaan solmuun AF1 saadaan yhtälöstä

R_A5= 1

α_A5A_1FeFr 4.43

Tämä resistanssi lasketaan myös erikseen lohkoittain, RB5, RC5, ... Lisätuuletuksella saattaa eri lohkoissa ilman virtaus olla eri suuruinen, jolloin αB5, αC5, ... ovat myös eri suuruisia. Em. yhtälössä ilmatilan pinta-ala A1FeFr saadaan erotuksena staattorin pinta- alasta

A_1FeFr=A_1Fe−A_1KPD 4.45

Staattorin lämpökapasitanssit

Kuvassa 4.3 on muutamaan solmuun liitetty kondensaattori, jotka kuvaavat lämpö- kapasiteettia. Edellä esitettyjä pinta-aloja hyväksikäyttäen lasketaan osien tilavuudet, joista saadaan kapasitanssit kertomalla ne tiheydellä ja ominaislämpökapasiteetilla.

Kiinnityspalan muodostama lämpökapasitanssi vaikuttaa staattorin solmuissa A1, B1, ... seuraavasti

C_SF1=ρ_Fec_FeA_1KPNh_KP 4.46

Staattoriselän kapasitanssi solmuissa A2, B2, ... lasketaan staattorin raudan tila- vuuden avulla on

C_S2=ρ_pc_pA_1Fe f_feh_1y 4.47

Koska uraeriste on rautaan verrattuna kevyttä materiaalia, jätetään sen kapasitanssi huomioimatta. Kun staattorin ilmavälin puoleisesta tilavuudesta vähennetään urien leikkaama osa, saadaan hampaiden raudan tilavuus ja solmussa A4 kapasitanssiksi

C_S4=ρ_pc_p f_fe

[

]

Uran solmussa A7 olevan kuparin kapasitanssi on lyhyesti C_S7=ρ_cuc_cu A_1cul_sQ₁

N 4.49

Kuparin kapasitanssi ulomman vyyhdenpään solmussa A5 on C_S5=ρ_cuc_cu A_1cul_ivpoQ₁

N 4.50

Kuparin kapasitanssi sisemmän vyyhdenpään solmussa A6 on C_S6=ρ_cuc_cu A_1cul_ivpiQ₁

N 4.51

4.2 Roottorin malli

Roottori lasketaan yhtenä pyörähdyssymmetrisenä kappaleena eikä sitä jaeta loh- koihin kuten staattori, sillä pyörimisliike tasoittaa lämpötilat. Magneettien kohdalla oleva lämpöverkko on esitetty kuvassa 4.5. Roottorin dimensiot on kuvattu kuvassa 4.6 ja lämpöverkko kuvassa 4.7.

Kuva 4.5. Roottorin lämpöverkko magneettien kohdalla.

Al

Fe

Ilmaväli

PM Al

Ympäristöilma

R^R1

R^R2

R^R3 AG1 RT1

RT2

RT3

R^R4

P^2fe P^hSL

P^hPM C^R2

C^R3

C^R4 R¹⁶ h0h02h01

Kuva 4.6. Roottorin dimensiot.

Kuva 4.7. Roottorin lämpöverkko.

Lähdetään tarkastelussa liikkeelle ilmavälin solmusta AG1 laskemalla ensin tarvit- tavat pinta-alat. Kestomagneettien pinnalla oleva alumiininen ohut suojalevy peittää koko staattoria vasten olevan alan, joten sen pinta-ala on yksinkertaisesti

A_2SL=A_1FeN 4.52

jossa N on laskentalohkojen lukumäärä. Kestomagneettien yhteispinta-ala saadaan kertomalla yhden magneetin ala APM niiden lukumäärällä NPM

A_2PM=A_PMN_PM 4.53

Magneettien välissä on alumiininen kehyslevy, johon on jyrsitty aukot magneettien kohdalle. Sen pinta-ala on edellisten avulla laskettuna

A_2VL=A_2SL−A_2PM 4.54

Roottorin vastusverkko

Vastus RR1 ilmavälistä suojalevyyn on R_R1= 1

α_R1A_2SL h₀₁

2λ_AlA_2SL 4.55

missä h01 on suojalevyn vahvuus. Vastus suojalevystä magneettiin on R_R2= h₀₁

2λ_AlA_2PM 1

α_R2A_2PM h₀

2λ_PMA_2PM 4.56

missä h0 on magneetin vahvuus. Vastus magneetista roottorin rungon teräslevyyn eli solmuun RT3 on

R_R3= h₀

2λ_PMA_2PM 1

α_R3A_2PM h₀₂

2λ_FeA_2PM 4.57

missä h02 on roottorin vahvuus. Magneetteja ympäröivän kehyslevyn läpi pääsee lämpöä myös rinnakkaista reittiä solmusta RT1 solmuun RT3

R_R4= h₀₁

2 λ_AlA_2VL 1

α_AlA_2VL h₀

λ_AlA_2VL 1

α_R4A_2VL h₀₂

2 λ_FeA_2VL 4.58

Roottorin ulko- ja sisäkehän laskutoimituksia varten lasketaan ko. alueiden pinta-alat käyttäen roottorin halkaisijoita, jotka on esitetty kuvassa 4.6. Ulkokehän vyyhden- päätilaa vastaan on pinta-ala

A_2vpo=π

4 d_2o² −d_1o²  4.59

ja sisäkehän vyyhdenpäätä vastaan on pinta-ala A_2vpi=π

4 d_1i² −d_2i² 4.60

Säteissuunnassa roottorin ulkokehää kohti eli solmusta RT3 solmuun RT4 johtaa vastus

R_R5= 1

2 πh₀₂ λ_Fe⋅ln d_1od2o

d_1od_1i 4.61

Roottorin ulkokehältä ulompaan vyyhdenpäätilaan eli solmuun RT5 johtaa raudan ja pinnan vastukset

R_R6= h₀₃

2 λ_FeA_2vpo 4.62

R_R7= 1

α_R7A_2vpo 4.63

Säteissuunnassa roottorin sisäkehää kohti eli solmusta RT3 solmuun RT6 johtaa vastus

R_R8= 1

2 πh₀₂ λ_Feln d_1od_1i

d_1id_2av 4.64

Roottorin keskikehältä sisempään vyyhdenpäätilaan eli solmuun RT7 johtaa raudan ja pinnan vastukset

R_R9= h₀₂

2λ_R9A_2vpi 4.65

R_R10= 1

α_R10A_2vpi 4.66

Roottorin laakerin ulkokehältä eli solmusta RT8 solmuun RT6 johtaa säteittäisesti vastus

R_R11= 1

2 πh₀₄ λ_Felnd_1id_2av

2 d_2i 4.67

jossa h04 on roottorin vahvuus ohuemmasta kohdin ja d2av on halkaisija kohdasta,