6.2.1. PARAABELI (2. ASTEEN FUNKTION KUVAAJIA)

y = x² -1 y = x²+1

y = x²

aukeavat ylöspäin

symmetrisiä y-akselin suhteen

6.2.1. PARAABELI (2. ASTEEN FUNKTION KUVAAJIA)

Toisen asteen polynomifunktio f(x) = ax

+ bx + c , a  0

* kuvaaja paraabeli

* sijainti koordinaatistossa riippuu kertoimista a, b, c

* kaartumisen jyrkkyys riippuu kertoimesta a

* paraabeli on symmetrinen huipun kautta kulkevan pystysuoran akselin suhteen

Jos a > 0, paraabeli ylöspäin aukeava

a > 0 a < 0 Nollakohtien

lukumäärä eli

ax² + bx + c= 0, a0 2 nk

1 nk

ei

E.1.

Piirrä paraabeli y = x² - 4

x y = x² - 4 -2 (-2)² - 4 = 0 -1 (-1)² - 4 = -3 0 0² - 4 = -4 1 1² - 4 = -3 2 2² - 4 = 0

7.1.2. Yhtälö ax² + bx = 0

- vasen puoli jaetaan tekijöihin

- tulo on nolla jos ja vain jos jokin tulon tekijöistä on nolla Tulon nollasääntö

ab = 0  a = 0 tai b = 0

E.1. x(x – 2) = 0 x = 0 tai x – 2 = 0

x = 2

7.1.1. Toisen asteen yhtälön perusmuoto x² + bx + c = 0, a  0

E.2.

a) 4x² – 8x = 0 4x(x – 2) = 0

4x = 0 |:4 tai x – 2 = 0 x = 0 x = 2 V: x₁ = 0, x₂ = 2

b) x² = -4x x² + 4x = 0 x(x + 4) = 0

x = 0 tai x + 4 = 0 x = -4 V: x₁ = 0, x₂ = -4

7.1.3. Yhtälö ax² + c = 0 - ratkaistaan ensin x²: x² = r

E.3. a) x² – 9 = 0 x² = 9 x = ±3 b) 2x² – 10 = 0

2x² = 10 |:2 x² = 5

r

x  tai x   r

 5

 x

E.4.

a) (x + 2)(x – 2) = 12 x² – 4 = 12 x² = 16 x = ±4 b) (x + 2)² = 4x

x² +4x + 4 = 4x x² +4x + 4 - 4x = 0 x² = -4

V: ei reaalista ratkaisua

E.5.

10x³ – 10x = 0 10x(x² – 1) = 0

10x = 0 | :10 tai x² – 1 = 0

x = 0 x² = 1

x = ±1

7.2.2. asteen yhtälön ratkaisukaava

ax² + bx + c= 0, a0

a

ac b

x b

2

2

 4



 

E.1.

x² + 4x - 5 = 0

a = 1 b = 4 c = -5

6 4

ai t

2 1

6 4





 

  x 1

2

) 5 ( 1 4 4

4













  x

20 16

4  

  4  36  4  6

E.2. Ratkaise yhtälö x(x - 3) - 2 = 8

x² - 3x - 2 = 8 x² - 3x - 2 - 8 = 0 x² - 3x - 10 = 0

a =1 b = -3 c = -10

1 2

) 10 (

1 4 )

3 (

3













  x

2

40 9

3  



2 7 3

2 49

3 

 



V: x₁ = 5, x₂ = -2

E.3. Ratkaise yhtälö

1 2

) 16 (

1 4 6

6













  y

2

64 36

 6  



2 10 6

2

100

6  

 

 

V: x₁ = 2 x₂ = -8 0

4 2 3 8

1 ₂





 y

y | ·8

0 16

2  6y   y

a = 1 b = 6 c = -16

a

ac b

x b

2

2  4



 

Esimerkki 4x² - 2x = 0 Tapa 1:

Tulon nollasäännöllä:

2x(2x - 1) = 0

2x = 0 tai 2x - 1 = 0

x = 0 2x = 1 :2 x = ½

Tapa 2:

Ratkaisukaavalla:

a = 4 b = -2 c = 0

4 2

0 4 4 )

2 ( )

2

( ²















  x

8 4 2



x 8

2 2



x= ½ tai x = 0

a

ac b

x b

2

2  4



 

Esimerkki 4x² - 16 = 0

Tapa 1:

4x² - 16 = 0

4x² = 16 :4 x² = 4

Tapa 2:

Ratkaisukaavalla:

a = 4 b = 0 c = -16

4 2

) 16 ( 4 4 0

0 ²











  x

8 256 0



x 8

16 0



x= 2 tai x = -2

2 4  

 x 

7.2.3. Diskriminantti D = b² - 4ac

eli 2. asteen yhtälön ratkaisukaavassa neliöjuuren alla oleva lauseke.

E.1. Laske yhtälön diskriminantti

a) x² + 3x - 4 = 0 b) 3x² – 4x + 5 = 0 a) a = 1 b = 3 c = -4

D = 3² - 4·1·(-4) = 25

a) a = 3 b = -4 c = 5 D = (-4)² - 4·3·5 = -44

Toisen asteen yhtälön ratkaisujen lukumäärä diskriminantin avulla ax² + bx + c = 0

Jos D > 0, on yhtälöllä kaksi erisuurta reaalista ratkaisua.

a D x b

2



 

Jos D = 0, on yhtälöllä yksi kaksinkertainen reaalinen ratkaisu.

(kaksoisjuuri)

Jos D < 0, ei yhtälöllä ole yhtään reaalista ratkaisua

E.2. Montako ratkaisua on yhtälöllä a) 2x² - 3x - 4 = 0

b) 0,25x² + x + 1 = 0 c) 3x² - 4x + 2 = 0 ?

a) D = (-3)² – 4 · 2 ^· (-4) = 41 > 0  2 ratkaisua b) D = 1² - 4 ^· 0,25 ^· 1 = 0  1 ratkaisu

c) D = (-4)² - 4 · 3 · 2 = -8  ei ratkaisua reaalilukujoukossa

E.3. Millä a:n arvoilla yhtälöllä x² - 4x + a = 0 on a) kaksi b) yksi c) nolla ratkaisua?

D = (-4)² - 4 ^· 1 ^· a = 16 - 4a a) 16 – 4a > 0

-4a > -16 a < 4

b) Yksi ratkaisu, kun D = 0:

16 - 4a = 0 -4a = -16 a = 4

c) 16 – 4a < 0 -4a < -16 a > 4

E.4.

Määritä a, kun yhtälöllä x² + (a – 1)x + 9 = 0 on yksi reaalinen ratkaisu.

Mikä on tämä ratkaisu?

D = (a - 1)² – 4 · 1 · 9 = a² - 2a + 1 – 36 = a² – 2a - 35

a = 7:

x² + 6x + 9 = 0

1 2

9 1 4 6

6 ²











  x

1 2

) 35 ( 1 4 )

2 (

2 ²













  a

1 2

144 2



  a

12

2 a₁ = 7

1 2

0 6





  = -3

a = -5:

x² - 6x + 9 = 0

1 2

9 1 4 )

6 (

6 ²











 

x 2 1

0 6



  = 3

E.6. Köyden pituus on 100 m.

Sillä aidataan 600 m² suorakulmion muotoinen alue.

Miten pitkiä ovat sivut?

x(50 - x) = 600 50x - x² = 600

-x² + 50x - 600 = 0 x² – 50x + 600 = 0

x 50 - x

1 2

600 1

4 )

50 (

50 ²











  x

10 50

V: 30 m, 20 m 20 m, 30 m

7.3.1. 2. asteen yhtälön ratkaisujen summa ja tulo

Jos toisen asteen yhtälön ax² + bx + c = 0 ratkaisut ovat x₁ ja x₂ , niin

a x b

x₁  ₂  

a x c

x₁  ₂  Huomaa, jos a = 1, niin

x₁ + x₂ = -b ja x₁ · x₂ = c

E.1. Määritä yhtälön ratkaisujen summa ja tulo a) x² + 4x - 5 = 0

a = 1 b = 4 c = -5

x₁ + x₂ = - b = -4 x₁ · x₂ = c = -5 (aikasemmin: x₁ = 1 ja x₂ = -5)

b) 4x² - 2x = 0

2 1 4

2

2

1       

a x b

x

4 0 0

2

1    

a x c

x

7.3.2. Toisen asteen polynomin ax² + bx + c jakaminen tekijöihin 1) Laske nollakohdat x₁ ja x₂

2) ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂)

Huom: Jos x₁ = x₂, niin ax² + bx + c = a(x – x₁)² E.2. Jaa tekijöihin

a) x² – 4x – 5 b) 2x² – 5x - 3 a) Ratkaisukaavalla x₁ = 5 x₂ = - 1 x² - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1)

b) Ratkaisukaavalla x₁= 3 x₂ =-½ 2x² - 5x - 3 = 2(x - 3)(x + ½)

Tekijälause

x – a on P(x):n tekijä  P(a) = 0

Siis

Binomi (x – a) on polynomin P(x) tekijä, jos ja vain jos x = a on polynomin P(x) nollakohta

E.3. (t.550b)

Määritä a siten, että polynomilla ax² – 6x + 4 on tekijänä x – 1 Tekijälauseen mukaan x = 1 on polynomin nollakohta:

a · 1² – 6 · 1 + 4 = 0 a – 2 = 0

a = 2

Toisen asteen epäyhtälö

Ratkaisu nollakohtia ja kuvaajaa käyttäen

1) Epäyhtälö perusmuotoon

ax² + bx + c > 0 (tai <, ≤, ≥) 2) Ratkaistaan nollakohdat

3) Hahmotellaan paraabeli

(nollakohdat, aukeamissunnta) 4) Päätellään ratkaisu

E.1.

x² + 4x - 5 > 0

x = 1 tai x = -5 Kuvaaja:

1 2

) 5 ( 1 4 4

4 ²













  x

2 6 4

 

Nollakohdat: x² + 4x - 5 = 0

E.2

a) x² < 4  x² - 4 < 0

Nollakohdat: Kuvaaja:

2

+ -

V: -2 < x < 2

-2 + x² – 4 = 0

x² = 4 x = ±2

E.3. x² 9  6x x² - 6x + 9 < 0

Nollakohdat: x² – 6x + 9 = 0

2 3 0 6

1 2

9 1 4 )

6 (

6 ²

 

 









  x

x₁ = x₂ = 3

Kuvaaja:

V:

(tyhjä joukko)

+ 3

+

E.4.  x² 8x 16  0

Nollakohdat: -x² + 8x – 16 = 0

2 4 0 8

) 1 ( 2

) 16 ( ) 1 ( 4 8

8 ²

 



 

















  x

x₁ = x₂ = 4

Kuvaaja:

V: x  R

4

E.5. (t.570)

Osoita, että funktion f(x) = x² – 4x + 5 kaikki arvot ovat positiivisia x² – 4x + 5 > 0

Nollakohdat: ^x2 – 4x + 5 = 0

2 4 4

1 2

5 1 4 )

4 (

4 ²   











  x

ei ratkaisua, sillä D < 0

Kuvaaja:

=> f(x) > 0 kaikilla x  R

+ +

Esimerkkejä:

1. Millä x:n arvoilla funktio f(x) = 2x² - 3x + 2 saa pienempiä arvoja kuin 4?

2x² - 3x + 2 < 4 2x² - 3x - 2 < 0

nollakohdat, paraabeli, vastaus

2. Millä vakion a arvoilla yhtälön x² - 3ax + 2a = 0 ratkaisut ovat reaaliset?

D = (-3a)² - 4 *1*2a = 9a² - 8a 9a² - 8a > 0

nollakohdat, paraabeli, vastaus

Polynomin jakaminen tekijöihin Kertausta

1) a² + 2ab + b² = (a + b)² 2) a² - 2ab + b² = (a - b)² 3) a² – b² = (a + b) (a – b)

E.1. Jaa tekijöihin a) x² + 3x

= x(x + 3) b) 6x² – 8x

= 2x(3x – 4) c) 5x³ – 10x² = 5x²(x – 2) d) x + 6x + 9

e) x² – 2x + 1 = (x – 1)² f) x² – 49

=(x + 7)(x – 7)

8.1.2. Korkeamman asteen yhtälöt Yhtälöt

Tulo on nolla, jos jokin tulon tekijöistä on nolla

Merkitse kaikki tulon tekijät = 0 ja ratkaise näin saadut yhtälöt

E.2.

Ratkaise

(x – 2)(x² – 9) = 0

x – 2 = 0 tai x² – 9 = 0 x = 2 x² = 9 x =  3

Tulo = 0, yhteinen tekijä

Kaikki termit vasemmalle puolelle Jaetaan tekijöihin

Ratkaistaan näin saatu tulo = 0 yhtälö merkitsemällä kaikki tekijät = 0.

E.3. Ratkaise x³ – 2x² – 3x = 0

x(x² – 2x – 3 ) = 0 x₁ = 0 tai x² – 2x – 3 = 0

x₂ = 3, x₃ = -1 (RTK-KAAVALLA)

Tulo = 0, ryhmittely

Kaikki termit vasemmalle puolelle Ryhmittely, yhteinen tekijä

Tekijät = 0

E.4. Ratkaise

x³ – 3x² + x – 3 = 0 (x³ – 3x²) + (x – 3) = 0 x²(x – 3) + (x – 3) = 0 (x² + 1) (x – 3) = 0

x² + 1 = 0 tai x – 3 = 0 x² = -1 x = 3 ei ratkaisua

E.5. (598)

a) x⁴ – 5x² +4 = 0 b) x⁴ + 5x² + 4 = 0

Tulo > 0 ( <, ,  ) Tekijät =0, merkit

Lukusuorataulukko Vastauksen päättely

8.2. Korkeamman asteen epäyhtälöt

E.6. Ratkaise (x² – x)(x + 1) > 0 NK: (x² – x)(x + 1) = 0

x(x – 1)(x + 1) = 0

x₁ = 0 x – 1 = 0 x + 1 = 0

x₂ = 1 x₃ = -1 TAPA I: (kokeilu)

f(x) = (x² – x)(x + 1) = x³ + x² – x² – x = x³ - x

-1 0 1

x f(x) = x³ – x

-2 (-2)³ – (-2) = -6 < 0 - -½ (-½)³ – (-½) = 3/8 > 0

+

½ (½)³ – ½ = -3/8 < 0

- +

V: -1 < x < 0 tai x > 1

TAPA II:

x(x – 1)(x + 1) > 0 NK: Kuten edellä

x₁ = 0 x₂ = 1 x₃ = -1

E.7. Ratkaise 3x³ > 2x² + x 3x³ - 2x² – x > 0

x(3x² – 2x – 1) > 0 NK:

x(3x² – 2x – 1) = 0

x₁ = 0 V 3x² – 2x – 1 = 0

3 2

) 1 ( 3 4 )

2 (

2 ²













 

x 6

16 2 

 6

4 2 



x₂ = 1

3 1

3   x

Yhden ratkaisun etsiminen ”kokeilemalla”

Jos huomattu x = a, on tekijänä (x - a) Kaikki termit vasemmalle puolelle

Jakamalla vasen puoli yhteisellä tekijällä saat toisen tekijän Näin saat yhtälön tulo = 0, joka ratkaistaan

E.4. Ratkaise x³ - 4x² + 3x + 2 = 0 Kokeilemalla yksi rtk: x = 2

Onko annettu binomi polynomin tekijä?

x³ – x² - 5x – 3, (x – 3)

Siis

jos x – 3 on tekijänä => 3 on polynomin nollakohta

a) Tapa 1 nk: x = 1 x -1 tekijänä

0

4 4x

4 4x -

3 3

4 7

3 1

2 2















x x

x x

x



3x - 4

Tapa 2

Ratkaisukaavalla nollakohdat:

6 1 7 3

2

4 3 4 )

7 (

7 ²  











  x

x = 1 tai x = 4/3

3) )( 4

1 (

3 4 7

3x²  x   x  x ) 4 3

)(

1

(  

 x x

663. P(x) = ax³ -31x² + 1 eräs nollakohta on x = 1. Määritä a.

P(x) = 0 ?

P(1) = 0: a · 1³ - 31 · 1² + 1 = 0 a = 30 jakokulmassa

Johdantoesimerkki – kirja sivut 161 -162 E.1. Määritä paraabelin y = x² – 2x huippu

Kuvaaja ”katkoviiva”

Paraabelin symmetrisyyden perusteella huipun x-koordinaatti on x-akselin ja paraabelin

leikkauspisteiden keskiarvo

2 1 2 0 2

2

1  

 

 x x

x y sijoittamalla: y = 1² - 2·1 = -1

Huippu: (1, -1) E.2. Määritä paraabelin y = x² – 2x + 2 huippu Kuvaaja: 2 yksikköä ylöspäin

Huipun x – koordinaatti pysyy samana Huipun y-koordinaatti kasvaa 2:lla

Huippu (1, 1)

7.1.4. Paraabelin y= ax² + bx + c huipun määrittäminen

-Käytetään hyväksi paraabelia y = ax² + bx:

lasketaan nollakohdat ax² + bx = 0

huipun x koordinaatti on nollakohtien keskiarvo

huipun y-koordinaatti saadaan sitten sijoittamalla huipun x-korrdinaatti paraabelin yhtälöön

E.1. Määritä paraabelin huippu

a) y = 3x² - 4x b) y = x² - 6x + 5 a) 3x² – 4x = 0

x(3x – 4) = 0

x₁ = 0 tai 3x – 4 = 0 3x = 4 x₂ = 4/3

2

2

1 x

x  x 

2 3 0 4

 3

 2

3 4 3

4 2 3)

(2

3 ²    

 y

b) x² – 6x = 0 x(x – 6) = 0

x₁ = 0 tai x – 6 = 0 x₂ = 6

2

2

1 x

x  x  2

6 0

  3

4 5

3 6

3²     

 y

7.2.1. Neliöksi täydentäminen

ks. kirja sivut 165 - 166

E.1. Ratkaise x² – 2x + 1 = 9 (x – 1)² = 3²

x - 1 = 3tai x – 1 = -3

x = 4 tai x =-2

E.2. Ratkaise x² – 6x + 5 = 0 x² – 6x = -5

x² – 6x + 3² = -5 + 3² (x – 3)² = 4

(x – 3)² = 2²

x - 3 = 2tai x – 3 = -2

x = 5 tai x = 1

(a – b)² = a² -2ab + b²

E.3. Ratkaise 16x² + 24x - 16 = 0 16x² + 24x = 16 (4x)² + 2 · 3 ·4x = 16

(4x)² + 2 · 3 ·4x + 3² = 16 + 3²

(4x)² + 2 · 3 ·4x + 3² = 25

(4x + 3)² = 25 (4x + 3)² = 5²

4x + 3 = 5 tai 4x + 3 = -5

x = ½ tai x = -2

(a + b)² = a² + 2ab + b²

7.2.2. Ratkaisukaava. kirja s. 166 ax² + bx + c = 0

Kerrotaan puolittain luvulla 4a

4a²x² + 4abx + 4ac =0 4a²x² + 4abx = -4ac (2ax)² + 2 ·b · 2ax = -4ac

(2ax)² + 2 ·b · 2ax + b² = -4ac + b²

(2ax)² + 2 ·b · 2ax + b² = b² – 4ac Merkitään: b² – 4ac = D

(2ax + b)² = D

(a + b)² = a² + 2ab + b²

D b

ax    2

b D

ax    2

a D x b

2



 

a

ac b

x b

2

2  4



 