1.1

(1)

1.1 P

1.

2.

3.

olyno

a) Suo b) Suo c) Suo suunta

a) f(-2) b) f(-2 c) f(-2)

a) f(-16

x 0 1 2

omifun

oran kulm oran kulm oran kulm ainen (vaa

) = -3 · (- ) = (

3 1 

) = 10 –

6) = 2 · ( Piste f(x) = - - -

nktio

makerroin makerroin makerroin akasuora

-2) – 1 = 4 5 )

2  



6 · (-2) =

(-16) – 6 e ei ole k

= 2x - 6 -6 -4 -2

n k = –2 <

n k = 0,4 n k = 0, jo a). Suora

5

3 41

= 22

= -38 ≠ 6 kuvaajalla

< 0 , jote

> 0, jote oten suor

ei siis ol

67 a.

en suora o en suora o ra on x-a le nousev

on laskev on nouse akselin

va eikä la va.

eva.

askeva.

(2)

4.

b) f(-1

x 0 1 2

a) -6x x b) -3x c) 4x –

4

6) = 3 – Piste

f(x) = - -

= 0 |:

= 0 + 9 = 0

-3x = -9 x = 3 – 5 = 0

4 5 5 4



 x x

4 · (-16) e on kuva

= 3 – 4x 3

-1 -5

(-6)

|: (-3)

4

|:

= 67 aajalla.

(3)

5. a) Kuvaaja leikkaa y-akselin, kun x = 0.

2 1 4

2 0 0 3

2 ) 0

(       f

Kuvaaja leikkaa y-akselin pisteessä 



 



 2 ,1 0

b) Nollakohta saadaan yhtälöstä g(x) = 0.

 

5 2

5

|:

2 5

0 2 3 8

4

|:

4 0 2 3 4 8

4 0 2 3 1 2

4 0 2 2 3

) 4

















 



 



 



x x x x

x x

6. x-akseli:

8

) 3 (

|:

24 3

0 24 3

4

| 0 4 6

3





















x x x

x

leikkauspiste (-8, 0)

(4)

y-akseli:

6 6 4 0

) 3 0

(      f

y-akselin leikkauspiste (0, -6)

Huom! Funktion lauseke siinä muodossa, että y-akselin leikkauspisteen näkee myös suoraan vakiotermistä.

7. x-akselin leikkauspiste saadaan yhtälöstä f(x) = 0.

6

) 3 (

|:

18 3

0 2 2 5 20

10

| 10 0

2 2 10 5 10 20

5 0 1 2

1 2

5 0 1 2 2

) 2 ) 5 ) 10



















 





 





 





x x x x

x x

Kuvaaja leikkaa x-akselin pisteessä (6, 0).

(5)

8. a) Toisen asteen termin kerroin 4 > 0, joten paraabeli aukeaa ylöspäin

b) Toisen asteen termin kerroin -1 < 0, joten paraabelin aukeaa alaspäin.

c) Toisen asteen termin kerroin 4 > 0, joten paraabeli aukeaa ylöspäin.

d) Toisen asteen termin kerroin -12 < 0, joten paraabeli aukeaa alaspäin.

9. a) f(x) = (3 – 2x)(3 + 2x)

2

4 9

4 6 6 9

x

x x x











b) f(x) = -6x(4 – x) = -24x + 6x²

c) f(x) = (4x – 3)(4x – 3)

9 24 16

9 12 12

16

2 2













x x

x

d) f(x) = (7 – x)(4x – 8)

56 36

4

8 4

56 28

2















x x

x

(6)

10. a) x x x x x x x

g 3 4

2 8 2 6 2

8 ) 6

(  ²   ²   ² 

b) ² ² ²

5 1 5

1 3 5 5 3 5 5 5

3 ) 5

( x x x x x x

x

g         

11. a)

4 31 4 2

6 4 2 1

2 3 4 2 1

2 3 1 2

1 2

1 ²



















 



 









 

 h

b) 0

6 1 6 1 4 1 3 2 6 1 2

1 3 2 2 1 3 1 2

1 ²      



 









 



 

 h

12. a) -2x² + 4x = 0

2

) 2 (

|:

4 2

0 4 2 tai

0

0 ) 4 2 (





















x x x x

x x

b) x² – x – 42 = 0

2 13 1 2

169 1

1 2

) 42 ( 1 4 ) 1 ( ) 1

( ²

 













  x x

x = 7 tai x = -6

(7)

13. a) –x² + 3x + 4 = 0

2 5 3 2

25 3

) 1 ( 2

4 ) 1 ( 4 3

3 ²





 





 













  x x

x = -1 tai x = 4

b) x² – 4x + 4 = 0

2 2

0 4

1 2

4 1 4 ) 4 ( ) 4

( ²



 









 

x x x

c) x² + 6x + 10 = 0

2 4 6

1 2

10 1 4 6

6 ²





 







  x x

Ei ratkaisua

Funktiolla ei ole nollakohtia.

(8)

14. a) -10x + 2 = 0

5 1 10

2

) 10 (

|:

2 10













 x x

b) 2x² + 32x = 0 2x(x + 16) = 0

2x = 0 tai x + 16 = 0

x = 0 x = -16

c) 7x² + 7 = 0

7x² = -7 | :7 x² = -1

Ei ratkaisua

Funktiolla ei ole nollakohtia.

15. a) 2x² + 2x – 60 = 0 |: 2 x² + x – 30 = 0

2 11 1 2

121 1

1 2

) 30 ( 1 4 1

1 ²



 



 











  x x

x = 5 tai x = -6

(9)

16.

17.

b) x(3x x = 0

a) f(0)

b) f(0)=

c) f(0)

a) f(-0,

x 0 2 4

x + 9) = 0 tai 3x

= -0 + 3 piste

= -0² – 5 piste

= 2·0² - piste

,1) = -0,5 Piste f(x) = 0

x + 9 = 0 3x = - x = -

= 3 eessä (0, 5 = - 5

eessä (0, 4·0 = 0 eessä (0,

5 · (-0,1) e ei ole k

= -0,5x + 2

1 0

0

9 |:3 3

3)

-5)

0)

+ 2 = 2,0 kuvaajalla

2

05 ≠ 0,63 a.

3

(10)

18.

b) f(-0

x 0 1 -1 -2

a) g(-1 b) h(-1 c) r(-1

0,1) = 3 · Piste f(x) =

1) = -(-1) 1) = -(-1) ) = -2 · (

(-0,1)² + e on kuva

= 3x² + 4 1 1 0 5

+ 2 = 3 )² + 7 · (-

-1)³ + (-1

+ 4·(-0,1) aajalla.

4x + 1

1) = -8 1)² + 3 =

+ 1 = 0,

= 3

63

(11)

19. a) –x + 5 = 0 -x = -5 x = 5 b) x² + 11 = 0 x² = - 11 Ei ratkaisua Ei nollakohtia c) x² – 3x + 2 = 0

2 1 3 2

1 3

1 2

2 1 4 ) 3 ( ) 3

( ²

 









  x x

x = 2 tai x = 1

20. a) x-akseli: y-akseli:

15 1

) 15 (

|:

1 15

0 2 6 9 3

6

| 6 0

2 6 6 6

9 3

3 0 1 1 2

3

1 ⁶⁾ ²⁾

) 3



















 





 

x x x x

x x

6 1

3 1 2 1

3 0 1 2

0 3 ) 1

0 (









 

  g

leikkauspiste 



 



 ,0 15

1 leikkauspiste 



 



 6 ,1 0

(12)

b) x-akseli: y-akseli:

0 ) 5 (

0

2 5







 x x

x

x g(0) = 0² - 5·0 = 0

x = 0 tai x – 5 = 0 leikkauspiste: (0, 0)

x = 5

leikkauspisteet: (0, 0) ja (5, 0)

21. Sievennetään ensin funktion lauseketta.

3 3

1 4 2 2

) 1 ( ) 2 )(

2 ( ) 1 ( ) 2 (

2 2 2























x x

x

Lasketaan funktion nollakohta:

2 3 3

1 2

3 1 4 ) 3 ( ) 3 ( 0 3 3

2 2



 









 







x x x x

Ei ratkaisua

Kuvaaja ei leikkaa x-akselia.

(13)

x y

-1

1.2 Polynomifunktion merkki

22. a) Kuvaaja kulkee x-akselilla tai sen yläpuolella, kun x ≥ 2, joten

f(x) ≥ 0, kun x ≥ 2.

b) Kuvaaja kulkee x–akselilla tai sen yläpuolella, kun x ≤ 3, joten

f(x) ≥ 0, kun x ≤ 3.

23. a) Kuvaaja kulkee x-akselin alapuolella, kun x < 12, joten f saa negatiivisia arvoja (eli f(x) < 0), kun x < 12.

b) Kuvaaja kulkee x-akselin alapuolella, kun x > -6, joten f saa negatiivisia arvoja (eli f(x) < 0), kun x > -6.

24. a) Ratkaisuksi kelpaa mikä tahansa laskeva suora, joka

leikkaa x-akselin kohdassa x = - 1.

b) Ratkaisuksi kelpaa mikä tahansa nouseva suora, joka leikkaa x-akselin kohdassa x = 1.

x y

1

(14)

25.

26.

Tapa 1 Ratkai 2x - 6 = 2x = x =

Funkti alapuo

Tapa 2 2x – 6 2x x

Ratkai

2 1 2 4 1 

x x x

Funkti yläpuo

1: kuvaaj istaan en

= 0

= 6 | : 2

= 3

io saa neg olella, jot

f(x) <

2: ilman

< 0

< 6 |

< 3

istaan en

8

| 4 0 4







x x

io saa po olella, jot

jan avull sin nolla 2

gatiivisia ten

< 0, kun kuvaajaa

: 3

sin nolla

2

sitiivisia ten

la

akohdat:

a arvoja,

x < 3 a

akohdat:

a arvoja, k

kun kuv

kun kuva

aaja kulk

kee x-aks

kee x-aks selin

elin

(15)

27. a)

2

) 4 ( : 8 4

2 6 4















x x x

b)

4

) 1 ( : 4

2 5 1 3

















x x

28. a)

2 1

) 2 ( : 1 2

2 5 1 3















 x x

x x

b)

2 1

2 : 1

2 5 4 2

5 ) 2 ( 2









x x x x

(16)

29. a)

2

) 4 ( : 8

4

2 12 4 2

2 12 ) 4 2 (

























x x

b)

5 2

5 : 2

5

1 2 3

4

1 2 )

3 4 (

















x x

x

x x

x

30. a)

1 0

2 7 2 6

2 7 ) 3 ( 2













x x

Tosi, joten epäyhtälön ratkaisuna kaikki x:n arvot.

b)

1 0

4 8 3 3 5

4 8 ) 1 ( 3 5





















x x

x

x x

x

Epätosi, joten epäyhtälöllä ei ole ratkaisua.

(17)

31. a)

30

) 1 ( : 30 5 30 4

10 10 5 10 30 10

4

3 2 5

2 ₁₀₎ ⁵⁾

) 2

























x x

b)

8 1 24

3

) 24 ( : 3

24

2 28 1 4

4 4 2 4 28 4

1 4

2 1 1

7 4

1 4

2 7 1 4

1 4

3 (

) 2 )

4

















 



 



 

x x x

x x

(18)

32.

3 1 9 3

) 9 ( : 3

9

12 2

6 9 3 2

) 6 ( 2 6 ) 3 ( 3 2

6 6 ) 6 ( 2 6 6 6

) 3 ( 3 6 2

3 6 1

2 3 3

3 6 2

3 3

3 (

) 2 ) 6 )

3 ) 2





























 



 



 

 



 

 



x x x

x

x x

x x x

x

33.

 

2 3 4 6

) 4 ( : 6 4

2 4

2 2

2 4 )

2 )(

2 (

2 4 )

2 (

2 ( 2 2

2 2 2



























x x x x x

x x

x

x x

(19)

x

x - 30 34. a) Merkitään kateetteja kirjaimilla x ja y.

Koska kateettien yhteispituus on 30, saadaan x + y = 30

y = 30 - x

b) Ehto 1:

30

) 1 ( : 30 0 30











 x x x

Ehto 2: x 0

Yhdistämällä ehdot saadaan: 0 x 30

35. a) Olkoon korkeus y.

x y

y x

x y

y x





 







11 2

2 22

2 : 2

22 2

2

Suorakulmion korkeus on 11x.

x x

y y

(20)

b) Ehto 1: x 0 Ehto 2:

11

) 1 ( : 11 0 11











 x x x

Ehdot yhdistämällä saadaan: 0  x 11 36. a)

5 1

) 5 ( : 1 5

0 5 1











 x x x

b)

3 31

3 10

) 3 ( : 10 3

0 10 3

2 2 0

10 3

















 



x x x x x

(21)

37. a)

b)

f(x) ≥

≥0, kun x

≥ 0, kun

x ≤1 tai x

-5 ≤ x ≤ x ≥ 8

1

(22)

38. a)

b)

g(x) Muu g(x)

g(x)

= 0, kun ulloin fun

≤ 0, kun

≤ 0 kaik

n x = -3 nktion arv n x = -3

killa muut

vot posit

ttujan x a

tiivisia, jo

arvoilla

oten

(23)

39.

40.

g(x) <

a) Fun b)

f(x) < 0

0, kun x nktion no

0, kun -4

< -4 tai llakohda

4 < x < 2

0 < x < 6 at x = -4,

tai x > 4 6

x = 2 ja xx = 4.

(24)

41. a) Merkitään f(x)  x² 3x4. Funktion f nollakohdat:

1 tai

4 2

5 3

2 25 3

1 2

) 4 ( 1 4 ) 3 ( ) 3 ( 0 4 3

2 2





 













 





x x

x x x x x

f :n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli.

-1

x

4

+

f

+

-

4 tai

1 kun

0 )

(x  x   x 

f

(25)

b) Merkitään f(x)  x² 5,4x2. Funktion f nollakohdat:

5 tai

4 , 0

2 6 , 4 4 , 5

) 1 ( 2

) 2 ( ) 1 ( 4 4 , 5 4 , 5 0 2 4 , 5

2 2







 

















 









x x

x x x x

f :n kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

0,4 ⁵

x

f

+

- -

5 4

, 0 kun 0

)

(x   x 

f

(26)

42. a)

0 16 4

16 4

2 2





 x x

Merkitään 16f (x)  4x²  . Nollakohdat:

2 4

4 : 16 4

0 16 4

2 2 2







x x x x

-2 ₂ x

+ f +

-

2 2

kun 0

)

(x    x 

f

(27)

b)

0 100 10

2

10 2

100

2







 x

x

x x

Merkitään 100f(x)  2x² 10x . Funktion f nollakohdat:

10 tai

5 4

30 10

4 900 10

) 2 ( 2

100 ) 2 ( 4 10 10

0 100 10

2

2 2











 





 













 







x x

x x x x

x

-5 ¹⁰ x

f

+

- -

10 tai

5 kun

0 )

(x  x  x 

f

(28)

43. a) Merkitään f (x)  x² 4x6. Nollakohdat:

2 8 4

1 2

6 1 4 4 4 0 6 4

2 2





 







 





x x x x

Koska juurrettava -8 < 0, yhtälöllä ei ole ratkaisuja eikä funktiolla f siis nollakohtia.

f :n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka ei leikkaa x- akselia.

x f

0 ) (x 

f kaikilla x:n arvoilla.

(29)

b) 2x² 12x180

Merkitään f (x)  2x² 12x18. Nollakohdat:

3 4

0 12

) 2 ( 2

) 18 ( ) 2 ( 4 12 12

0 18 12

2

2 2







 

















 









x x x x x

f :n kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joka sivuaa x- akselia kohdassa x = 3.

3

x

f

f ei saa positiivisia arvoja millään x:n arvolla eli epäyhtälöllä 0

18 12

2 ²   

 x x ei ole ratkaisua.

(30)

44. a) Merkitään f(x)  x² 2x1. Nollakohdat:

1 2

0 2

1 2

1 1 4 2 2

0 1 2

2 2







 







 





x x x x x

f :n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka sivuaa x- akselia kohdassa x = -1.

-1 x

f

1 kun

vain 0

)

(x  x  

f .

(31)

b) 2x² 20x500

Merkitään f (x)  2x²  20x50. Nollakohdat:

4 5 0 20

) 2 ( 2

) 50 ( ) 2 ( 4 20 20

0 50 20

2

2 2

 



 

















 









x x x x

f :n kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joka sivuaa x- akselia kohdassa x = 5.

5 x

f

f saa negatiivisia arvoja muualla paitsi kohdassa x = 5.

Näin ollen 2x² 20x50 0 kun x 5.

(32)

45. a) Merkitään f(x)  6x²  x9. Nollakohdat:

12 215 1

) 6 ( 2

) 9 ( ) 6 ( 4 1 1 0 9 6

2 2





 

















 









x x x x

Koska juurrettava -215 < 0, yhtälöllä ei ole ratkaisuja eikä funktiolla f ole nollakohtia.

Funktion f kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joka ei leikkaa x-akselia.

x f

0 ) (x 

f kaikilla x:n arvoilla.

(33)

b) 8x² 2x9 0

Merkitään f (x)  8x² 2x9. Nollakohdat:

16 284 2

8 2

9 8 4 2 2 0 9 2 8

2 2





 







 





x x x x

Koska juurrettava -284 < 0, yhtälöllä ei ole ratkaisuja eikä funktiolla f nollakohtia.

x f

f saa vain positiivisia arvoja, joten epäyhtälöllä 0

9 2

8x²  x  ei ole ratkaisuja.

(34)

46. Merkitään f (x)  2x² 3x20. Nollakohdat:

4 2 tai

21 4 10

4 13 3

4 169 3

2 2

) 20 ( 2 4 3 3 0 20 3

2

2 2







 



 











 







x x

x x x x x

-4

x

2½

+

f

+

-

0

2 21 4

kun 0

)

(x    x 

f

Koska epäyhtälön ratkaisuun hyväksytään vain x:n positiivisia arvoja,

2 21 0 x .

(35)

47. Aitauksen ala

2 2

30 ) 2 30 ( )

(x x x x x

A    

Aitauksen pinta-alan tulisi olla vähintään 100 m², joten saadaan epäyhtälö:

0 100 30

2

100 2

30

100 )

(

2













 x

x

x x

x A

Merkitään 100f (x)  2x² 30x . Nollakohdat:

10 tai

5 4

10 30

) 2 ( 2

) 100 ( ) 2 ( 4 30 30

0 100 30

2

2 2







 

















 









x x

x x x

x

5 ¹⁰ x

f

+

- -

10 5

kun , 0 )

(x   x 

f

Näin ollen ala on vähintään 100 m², kun kohtisuoran sivun pituus kuuluu välille



5m,10m



eli 5 x10 (metriä).

x x 30 – 2x

(36)

48. a)

Funkti b)

Funkti

io saa neg

gatiivisia

a arvoja (

(eli g(x) <

< 0), kun

n x < 3.

n 2

1  x3

(37)

49. a) g(x)  0, kun

2 1

2 : 1 2

0 1 2









 x x x

b) g(x)  2x² 10x Nollakohdat:

0 ) 10 2

(

0 10 2 ²











 x x

x x

0

x tai -2x + 10 = 0

-2x = -10|: (-2)

x = 5

g :n kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

0 ⁵

x

g

+

- -

5 tai

0 kun

, 0 )

(x  x x 

g .

(38)

50. a) 4x + 5 < 5x - 1

6

) 1 ( : 6







 x x

b) 2(x – 5) < -4(x + 1) – x + 1

1

7 : 7

7

3 5 10 2

1 4

4 10 2















x x

x

51. a) 8x² ≥ 72 0 72 8x²  

Merkitään 72f (x) 8x²  . Nollakohdat:

3 9

8 : 72 8

0 72 8

2 2 2







x x x x

f :n kuvaaja ylöspäin aukeava paraabeli.

-3 ₃ x

+ f +

-

3 tai

3 kun

, 0 )

(x  x   x 

f

(39)

b) x² 8x210

Merkitään 21f(x)  x² 8x Nollakohdat:

2 20 8

1 2

21 1 4 8 8 0 21 8

2 2





 







 





x x x x

Koska juurrettava -20 < 20, yhtälöllä ei ole ratkaisuja eikä funktiolla f ole nollakohtia.

x f

f saa vain positiivisia arvoja, joten epäyhtälöllä 0

21

2 8x 

x ei ole ratkaisuja.

(40)

52.

x x

15-2x

20-2x

a) Ehto 1:

5 , 7

) 2 ( : 15 2

0 2 15











 x x x

Ehto 2:

10

) 2 ( : 20 2

0 2 20











 x x x

Ehto 3:

 0 x

Kun ehdot yhdistetään saadaan (cm) 2

71 0  x  b)

300 70

4

4 40 30

300

) 2 20 )(

2 15 ( ) (

2

















x x

x x x

x x

x A

(41)

c) Vaaditaan, että A(x)150 eli

0 150 70

4

150 300

70 4

2 2











 x x

x x

Merkitään 150f(x)  4x² 70x . Nollakohdat:

5 , 2 tai

15 8

50 70

4 2

150 4 4 ) 70 ( ) 70 ( 0 150 70

4

2 2



 









 







x x

x x x

x

2,5

x

15

+

f

+

-

15 5

, 2 kun ,

0 )

(x   x

f

(42)

53.

1.3 F

a) Kun ollaan b) Ens Keskin

c) Roo veroto d) Palu Aikaa

Funkt

n lähdöst perillä. E simmäise

nopeus o

osa ”ei lii imistossa uumatka

kuluu sii

tion m

ä on kulu Etäisyys en puolen

n siis , 0 50

iku”, kun a kuluu 0

alkaa he is 0,75h

muuto

unut 1,0 kotoa on n tunnin a

h 10 5 ,

km

0 

n 1,0 t  1 h 25 ,

0 

etkellä t  min

 45

osnope

h, Roosa n 75 km.

aikana R

h 00km

25 ,

1 , jo min 15 .

25 ,

1 ja n .

eus

a ei enää

Roosa on

oten aikaa

päättyy,

liiku, jot

ajanut 50

aa

kun t  ten

0 km.

0 , 2 .

(43)

54.

a) 0,5 h 30 min Junan

b) Tup 60 km Isomäk Tuppu

c) Juna

Matka

d) Kok

= 1,5 h Keskin

h = 30 m n aikana j keskinop

ppukylän .

ki sijaitse ukylästä o 80 k amatka T

90 m an pituus

 v ko matka h.

nopeus o min

juna on k peus v 

asemalle ee 80 km on matka m – 60 k Tuppukyl min – 70 m

oli 20 km 3h 1

km 20

an pituus

n 1

 80 v

kulkenut h 5 , 0

km

50 

e pysähd m:n pääss aa Isomäe km = 20 k lästä Isom min = 20 m, joten k

k m 60

on 80 km

h 5 ,5

km

0 

t 50 km m km/h 100

dytään, ku sä lähtöas

elle km

mäelle ke 0 min =

6 2

keskinop km/h

m ja matk

km ...

33 , 53

matkan.

h

un matka semalta, j

estää 3 h 1 60 20 

peus on

kaan kulu

53 m/h

aa on tait joten

h

luu aikaa

km/h

ttunut

a 90 min

(44)

55. a)

Välillä suurem kuvaav jyrkem

b)

Välillä koska molem

ä [-2, 0] p mpi, kosk

van suora mmin)

ä [-2, 3] f keskimä mmat vaa

punaisell ka funktio

an kulma

funktioid äräistä m kasuoria

la piirrety olle f kes akerroin

den muut muutosno

a.

yn funkti skimäärä on suure

tosnopeu opeutta ku

ion f muu äistä muu empi (suo

det ovat uvaavat s

utosnope utosnopeu

ora nouse

yhtä suu suorat ov

eus on utta ee

uret, vat

(45)

56.

a) Ke laskem kulma

b) Pis kulma

c) Pis kulma

eskimäärä malla pis akerroin

0 4

0 1



steiden (4 akerroin

4 5

1 0



steiden (0 akerroin

0 5

0 0



äinen mu steiden (0

: 4 0 1 0

0  

4,1) ja (5 :

1 1 4

1   

0, 0) ja (5 :

5 0 0 0

0  

uutosnop 0, 0) ja (4

25 , 0

5, 0) kaut

1



5, 0) kau 0

peus välil 4, 1) kau

tta piirret

utta piirre

lä

 

⁰^,⁴

utta piirre

tyn suora

etyn suora

saadaan etyn suor

an

ran

(46)

57. a) Suo (1, 1) j Keskim

1 4

1

3 



b) Suo (1, -1) Keskim

1 4

( 2



c) Suo (1, 0) j Keskim

1 4

0 2



ora kulkee ja (4, 3) k määräine

3

 2

ora kulke ja (4, 2) määräine

3 1 3 )

1  

ora kulkee ja (4, -2) määräine

3 2 0  

e pisteide kautta en muuto

e pisteid kautta en muuto

1

e pisteide kautta en muuto

en

osnopeus

en

osnopeus

en

osnopeus

(47)

58.

a) Laitt kosk b) Suor Läm

c) Suor Läm

teisto alk ka tällöin

ra kulkee mpötilan

18 25



ra kulkee mpötilan 12 24



kaa puhal lämpötil pisteide keskimä 2 1 16

24  



pisteide keskimä 6 4 6

20  



ltaa kylm laa kuvaa en (16, 24 ääräinen m

C ( 5 ,

0 



en (6, 20) ääräinen m

6 , 3 0 2 



mää ilmaa ava käyrä 4) ja (18,

muutosn ) h / C

) ja (12, 2 muutosn

0 ...

666 

a 26 astee ä kääntyy

25) kaut opeus on

24) kautt opeus on

/ C ( 7

, 

en lämpö y alaspäi tta.

n

ta.

n ) h

ötilassa, in.

(48)

59. funktio muuto

funkti funkti funkti a) Suu funktio b) Pien funktio d) Suur

g ja h Mole Funk

oiden kes snopeud

io f: 3 5 , 2



 io g:

3 4



 io h:

3 3 1



urin keski olla g nin keski olla h rin hetkel

h.

empien h ktion f he

skimäärä et välillä , 1 0

5 , 3 



 1 2 0  1 1 3  

imääräin

imääräine

llinen mu

hetkelline etkellinen

äiset ä [1, 3]:

5 ,

nen muuto

en muuto

uutosnop

en muuto n muutos

osnopeus

peus kohd

osnopeus snopeus o

s välillä [

dassa x =

on 0.

on -0,5.

[1, 3] on

= 3 on funnktioilla

(49)

60.

61.

a) Fun muuto on ≈ 0

b) Piirr keskim kuvaav Siirretä kohdat tangen Hetkel sama k x ≈ -2,

a) Hetk b) Hetk piirrety

nktion het snopeus

retään en määräistä

va suora.

ään suora t, joissa s nttina.

llinen mu kohdissa

2 ja

kellinen kellinen yn tangen

0 3

0 6



tkellinen kohdass

nsin ä muutosn

.

aa ja etsi suora on

uutosnop x ≈

muutosn muutosn nttisuora 0 2

0 

n

a x = -2

nopeutta

itään

peus on

≈ 1

nopeus ko nopeus ko an avulla

ohdassa x ohdassa x . Hetkell

x = -1 on

x = 0 saa inen muu

n 0.

adaan kuv utosnope

vaan eus on

(50)

62. a) Hetk sama k kohdas

b) Hetk sama k kohdas

kellinen kuin välil

ssa x ≈ -1

kellinen kuin välil

ssa x ≈ -

muutosn llä [-2, 0 1

muutosn llä [-3, 0

1,5

nopeus on ]

n

(51)

63.

a) Ed Ka b) Ka ruudu c) Pii

Edlan Huom Myös d) Ed kotiin

dla on kau auppa on aupassaol un mittain irretään t

n nopeus mautus: K

s tulos 6 dla saapuu

n on 4 km

upassa v n siis 2 km

loaikaa k nen eli 0 angentti 2 , 0

, 1

on noin Kuvaajas

h km on u Millan m.

älillä, jol m päässä kuvaava p 0,25 h = 1

kohtaan 0 25

0 3

, 



5 h km.

sta on vai n täysin h n luo, kun

lloin etäi ä.

pätkä käy 15 min.

25 ,

0 t

25 5 , 0

3 ,

1 

ikea luke hyväksyt n t 1,0,

isyys kot

yrää on n

. Sen ku

ea tarkkoj ttävä.

jolloin e

toa ei kas

noin yhd

ulmakerro

ja pisteit

etäisyys E sva.

en

oin on

tä.

Edlan

(52)

64.

a) Kes

b) Kes

c) Kes

d) Het

Het

skimäärä 2 15



 skimäärä

2 31

20

 skimäärä

2 21

20

 tkellinen

2 15



tkellinen 4 25



inen muu 3 0

15 



inen muu

2 11 10 0



 





inen muu

2 11 2 1

5

0 



muutosn ) 3 (

25 



muutosn 3 10

15 



utosnope

utosnope 5 2 10 



utosnope 4 3

15 



nopeus ko 1

10  



nopeus ko

eus välill

eus välill 2

eus välill 4 75 ,

3   ohdassa x 10

ohdassa x

ä [-2, 3]:

ä  , 2 11

ä  , 2 21

x = -2:

x = -3:

:

 2 31 :

 2 11 , :

(53)

65. a) Suo k_s

b) Etsi sellain kuvaaj suoran

c) Kes muuto on

Keskim

oran s kul ( 0

4



 

itään suo nen kohta jalla, joss n s suunta x ≈ 2 skimääräi osnopeus

0 1

5 0



määräine

lmakerro ) 2

2 0 

raa siirtä a funktion

sa tangen ainen.

2 inen s välillä [ 0 5

5 

en muuto oin

ämällä n f ntti on

[0, 1]

osnopeus on pieneempi väliillä [0, 1]].

(54)

66.

a) Kes aika

b) Läm

c) Het

d) Het

skimäärä ana on

3 14



mpötilan 18 20



tkellinen 18

21



tkellinen 21 18



inen muu

3 2 0

16  

keskimä 9 4 9

16  



muutosn ( 15 0

21



muutosn 3 2 24 16

 



utosnope 66 , 2  0

ääräinen m ..

444 ,

0

nopeus kl ) h / (C

nopeus kl 66 , 3  0

eus kolm 0 ...

66  muutosn

( 4 , 0

. 

lo 15.00

lo 21.00 0 ...

66  

en ensim h / C ( 7 ,  opeus vä

) h /

C on

on

/ C ( 7 ,

0 

mmäisen t )

h älillä [9,

) h

tunnin

18] on

(55)

67.

68.

2.1 F

a) f(4 b) Lask (4, 16) kulmak

5 24



 f

c) f(2 d) Lask

( 4 12





 f

a) f(-1) b) f(0 c) Lask

d) Lask

Funkt

16 ) 4 

ketaan p ) piirretyn

kerroin:

8 ) 4 (

2 16 3

8

 

 



4 ) 2 

ketaan p

4 ) 2 (

3 12 1

0



 



) ≈ 2 0,5) ≈ 1

ketaan pi 1 2



ketaan p 5 , 0

4 1



tion d

isteeseen n tangen 6  8

isteeseen

 4

isteeseen 0 1

1  



isteeseen , 0

, 3 1

5 , 4



 



deriva

n ntin

n (2, 4) p

n (-1, 2) p

n (0,5;1) 5 7

, 5 

atta

piirretyn t

piirretyn

tangentin

n tangenti

n kulmak

in kulmak

tin kulma

kerroin:

akerroin:

(56)

69.

70.

a) Lask

b) Lask

Piirretä tangen

Deriva saadaa kulmak

ketaan pi 2 2



ketaan p 2

( 2



ään funk ntti kohta

aatta koh an tangen

kertoime

0 1

4 2



isteeseen ) 1 (

) 2 (

 



isteeseen 1 4 1

) 2

( 



ktion kuv aan x = 1.

dassa x = nttisuoran esta:

0 2 4  

n (-2, 2) p 1 4

4  



n (2, 2) p

4

vaajalle .

= 1 n

piirretyn

piirretyn t

tangentin

in kulmak

n kulmak

kerroin:

(57)

71.

72.

a) Piirr kuvaaj kohtaa

f'(1

b) Piirr kuvaaj kohtaa

2 ( ' f

a) ) 2 (

) 2 (



 f

f

(tange b)

) 2 (



 f

f

retään fu jalle tang an x = 1.

0 1 ) 2

1





 

retään fu jalle tang an x = 2.

2 1 2 2 ) 1 2





 



 

0 5



entti x-ak

3 5 , 5



unktion gentti

2 ) 2 (



unktion gentti

3

1

selin suuuntainen))

a)

b)

(58)

73.

( f Pisf 

74.

) 3

( on hu steeseen

0 ) 3 ( 



x 1 -1

2 -2

x

uippupist (3, -1) p

f 1

( 1



1 ( 1



2 4



( 2

0 4



teen y-ko iirretyn t

’(x) 0 2

) 1 

 0 2

) 1  

 1 4 0 

 ) 4 1 (

0  

 2x

3

oordinaat tangentin

4

tti eli f( n kulmak

1 )

3   . kerroin no

x

olla eli

(59)

75.

76.

x 1 -1

2 -2

x

a) Piirr

b) Etsi yhdens

a)

f 1

( 1



1 1



2 ( 8



( 2

8



 3

retään fu

( '  f itään tang suuntaine x ≈ 7

’(x) 0 3

) 2 

 0 3 2 



 1 12

) 4 

 ) 12 1 (

4 



 3x²

unktion k

1 ) 1

1  

 



genttia si en a-koh 7

2

kuvaajalle

0 1 0 



iirtämällä hdan tilan

e tangent

ä muut k nteen kan

tti kohtaa

kohdat, jo nssa.

an x = -1

oissa tang b)

gentti

(60)

77.

78.

a) g(2)

b) x ≈- c) x ≈-

Pistees kulmak

Käyräl tangen pisteis b)

) = -3

-2,5 -8,5

seen (0, 0 kerroin:

eli ( 1

( 1



f lle voida ntteja koh

iin (-1, -2 c)

( ' g

ja

0) piirret

1 ) 0 (

) 1 1 (

) 1 (

 

 



f

an piirtää htiin x 

2) ja (1, )

2 ) 3

2 (  

x

tyn tange

ä samans ja

1 x 0).

3 2

) 1

( 



x ≈-9

entin

suuntaisi

1

x eli

2

a

a)

(61)

79.

80.

a) f ’(x x ≈ - f(x) = x ≈ -5t

b) f ’(x x ≈ - f(x) = x ≈ -2,

b, c, e

x) = 0, ku -1

0, kun tai x ≈ 3

x) = 0, ku -0,5 tai x 0, kun x ≈ 2 tai

e, f, i

un

un x ≈ 3

i x ≈ 4

(62)

81.

82.

Funkti

1 4 x

Kohta ( 2

2



ion nollak 3

, 4

an x₁   ) 3 , 4 (

0 



kohdat:

2  3 x

3 ,

4 piir ...

869 , 0

3 ,

3 x

rretyn tan

3 0 x

ngentin k eli f

4  x

kulmaker 9 , 0 ) (x₁ 

3 ,

3

rroin:

9

,

5  4

x 3

(63)

83.

84.

a) f(0) b) f'(0 c) f(2) d) f'(2

a) g(-1 b)g'(

c) Fun x ≈ -4 j d) Der x ≈ -2

≈ 1

0 ( ) 1

0 

 

≈ -1

2 ) 1

2 



 

1) ≈ -3

1 ) 3

1  



 



nktion no ja x ≈ 0 rivaatan n

1 5 ) 4  



3 3 2 



) 2 (

) 5

( 



llakohda

nollakoht 5

2

at:

ta:

(64)

85.

86.

Piirretä tangen

) 1 ( '  f

a) g(5)

b) x ≈ c) x ≈ b)

ään ensin nttisuora

2 1

( 2



 

) ≈ -1

1,5 ja x ≈

≈-3 c)

n kuvaaja kohtaan

) 1 3 



≈ -3,5

alle x = 1.

) 5 (

' 

g 5 6

2

1 



 3

a)

(65)

2.2 Derivoimissääntöjä ja -kaavoja

87. a) D(-5)  0

b) D(-4,3x) 4,3 c) D

7 4 7

4  



 



 x

d) 3

1 3

D 1

D 3  



 



 



 



 x x

88. a) f (x)  3x³^¹  3x²

b) m(x)  43x³^¹  12x²

c) 5 ⁵ ¹ 3 ⁴

5 ) 3

(t t t

g    ^ 

d) h(r) 0,67r⁷^¹  4,2r⁶

89. a) D(-5x³) = -5 D(x³) = -5 · 3x^{3 – 1} = -15x² b) D(3x² – x + 4) = D(3x²) – D(x) + D(4)

= 3 · 2x^{2 – 1} – 1 + 0 = 6x – 1

c) 3

2 5

4 3

2 5

4 3

2 5

4 3

2  



 



 



 



 



 



 

 



 



 x D x D x D

D

(66)

90. a) f (x) 10

b) f (r)  33r³^¹  9r²

c) 5f (x)  73x³^¹ 5  21x² 

d) 3

1 3

2 1 2 ) 1

(     ² ¹    

 t t ^ t

f

91. a) 4f(x)  3x²  b) f (x)  24x

c) f(x)  15x⁴ 1,2x³ 10x

d) 6 ⁵ 14 ⁵

3 ) 7

(r r r

f      

92. a) ^D



³^x¹¹^⁴^x

  

^ ^D³^x¹¹ ^^D

^{ }

⁴^x ^³³^x¹⁰ ^⁴

b) ^D



^⁵^b³^¹

  

^ ^D ^⁵^b³ ^^D

^{ }

¹ ^ ^¹⁵^b²

c)

       

x x

x

x x

2 12

24

D 4

D 3

D 4

3 D

2 7

2 3

8 2

3 8





















d) ^D



²⁵^⁷^x^⁰^,⁵^x²



^ ^D

^{ }

²⁵ ^^D

^

^⁷^x

^

^^D



^⁰^,⁵^x²



^ ^⁷^ ^x

(67)

93. a)

2 2 1

2

2 1 3 1

3 4 2

2 ) 1 3 1 2

1 3

2 2

D 1

2 3

3 4



























x x

x (

b) ^D



⁴^x^⁷^ ^x⁴



^ ⁴^¹^⁰^⁴^x³ ^ ⁴^x³^⁴

c) 5

4 5

1 6 5 2 4 5 3 5

4 5

3 5

4 5

3 ² ₂















 



 

 











 x  x D x x x x

D

d) 3

2 2

0 1 3 1

2 2 4 1 4 3 3

2 4

1 ₂       



 



 x  x x x

D

94. a) f(x) = 10x⁴ + 15x²

f ’(x) = 10 · 4x³ + 15 · 2x = 40x³ + 30x

b) f(x) = (x – 5)(x – 5) = x² -5x – 5x + 25 = x² – 10x + 25 f ’ (x) = 2x – 10

c) x x x x x x

x

f 3 2

3 6 3 3 3 ) 9

(  ⁴  ²   ⁴  ² 

f ’(x) = 3 · 4x³ + 2x – 2 = 12x³ + 2x – 2 d) f(x) = 2x² – 3x² + 4x = -x² + 4x

f ’(x) = -2x + 4

(68)

95. a) ^g⁽^x⁾ ^ ⁴

 

^x² ^¹ ^ ⁴^x² ^⁴

g(x) 8x

b) g(x)  x²



2x6



 2x³ 6x² g(x)  6x² 12x

c) g(t) 



t3



t3



t² 3t 3t9t² 6t 9 g(x)  8x

d) g(r)



r 1



r 1



 r² r r 1r² 1 g(r)  2r

96. a) t t

t

m 3

1 6

) 2

(    

3 ) 1

(  

 t m

b) 5

3 5

1 5

) 3

(  x  x x

h

5 ) 1 ( 

 x h

c) 2 4 1

3

3 12

) 6

(  x⁵  x³   x⁵  x³  x

g

g(x) 10x⁴ 12x²

d) r r r r r r

r

f 2 8

2

16 2

) 4

( ⁵ ²

2

5    





 

f (r)  10r⁴ 2r 8

(69)

97.

  

9 16 9

40 9

25

9

16 20

20 25

9

4 5 4 5 3

4 ) 5

(

2 2 2











 



 



 



 



x x

x x x

f

9 40 9

50 9

2 40 9 ) 25

(     

 x x x

f

98. 3

3 1 )

(r   r⁴  k

12 3

)

(r r

k  

3 472 3

2 1 3 )

2

(    ⁴    k

96 2

12 )

2

(    ³   k

99. m(t)  2t⁶ 4t² 5 t t

t

m( ) 12 ⁵ 8

7 5

) 1 ( 4 ) 1 ( 2 ) 1

(    ⁶    ²    m

4 )

1 ( 8 ) 1 ( 12 ) 1

(    ⁵      m