Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a

802152P

Luentomoniste Kari Myllylä Niina Korteslahti Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syksy 2013

Sisältö

1 Perusmatematiikkaa 3

1.1 Lukujoukot . . . 3

1.2 Rationaalilukujen laskutoimitukset . . . 3

1.3 Potensseista ja juurista . . . 4

1.4 Induktioperiaate . . . 5

1.5 Merkintöjä ja muuta tärkeää . . . 6

2 Funktiot 9 2.1 Funktion määritelmä . . . 9

2.2 Funktion kuvaaja (graafinen esitys) . . . 9

2.3 Funktion kasvavuus ja vähenevyys . . . 10

2.4 Funktion kuperuus . . . 11

3 Polynomifunktiot 13 3.1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio eli lineaarinen funktio . . . 13

3.1.1 Ensimmäisen asteen yhtälö . . . 14

3.1.2 Ensimmäisen asteen epäyhtälö . . . 15

3.2 Toisen asteen polynomifunktio . . . 16

3.2.1 Toisen asteen yhtälö . . . 17

3.2.2 Toisen asteen epäyhtälö . . . 17

3.3 Korkeamman asteen polynomifunktio . . . 19

3.3.1 Korkeamman asteen yhtälö . . . 19

3.3.2 Korkeamman asteen epäyhtälö . . . 20

3.4 Polynomifunktion sovellutuksia taloustieteessä . . . 20

4 Rationaalifunktio 23 4.1 Murtoyhtälö . . . 23

4.2 Murtoepäyhtälö . . . 23

5 Itseisarvofunktio 25 5.1 Itseisarvoyhtälö . . . 25

5.2 Itseisarvoepäyhtälö . . . 26

6 Neliöjuurifunktio 27 6.1 Neliöjuuriyhtälö . . . 27

6.2 Neliöjuuriepäyhtälö . . . 28

7 Potenssifunktio 29

7.1 Potenssiyhtälö . . . 29

8 Eksponenttifunktio 31 9 Logaritmifunktio 32 10 Eksponentti- ja logaritmifunktion sovelluksia taloustieteessä 34 11 Funktioiden algebraa 37 11.1 Funktioiden laskutoimituksia . . . 37

11.2 Yhdistetty funktio . . . 37

11.3 Surjektio, injektio ja bijektio . . . 38

11.4 Käänteisfunktio . . . 39

12 Yhtälöparit 41 12.1 Lineaarinen yhtälöpari . . . 41

12.2 Käyrien yhteisten pisteiden etsiminen . . . 42

13 Raja-arvo 43 13.1 Funktion raja-arvo . . . 43

13.2 Raja-arvon määräämisestä . . . 47

13.2.1 Polynomifunktio . . . 47

13.2.2 Rationaalifunktio . . . 47

13.2.3 Neliöjuurilausekkeet raja-arvotehtävissä . . . 49

13.2.4 Potenssilausekkeet raja-arvotehtävissä . . . 49

14 Funktion jatkuvuus 50 14.1 Jatkuvuuden määritelmä . . . 50

14.2 Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia . . . 52

15 Lukujonot ja sarjat 56 15.1 Lukujonon raja-arvo . . . 56

15.2 Sarjateoria . . . 57

1 Perusmatematiikkaa

1.1 Lukujoukot

Luonnollisten lukujen joukkoN={0,1,2, . . .}

Positiivisten luonnollisten lukujen joukkoN+ ={1,2, . . .}

Kokonaislukujen joukko Z={. . . ,−2,−1,0,1,2, . . .}

Rationaalilukujen joukkoQ={^m_n |m, n∈Z, n6= 0}

Kun täydennetään rationaalilukujen joukkoaQvieläirrationaaliluvuilla(luvuilla, joiden desimaaliosa on päättymätön ja jaksoton), saadaan reaalilukujen joukko R.

Reaaliluvuilla on voimassa seuraavat laskulait (a, b, c ∈R)

• kommutatiivisuus eli vaihdannaisuus

a+b =b+a, ab=ba

• assosiatiivisuus eli liitännäisyys

(a+b) +c=a+ (b+c), (ab)c=a(bc)

• distributiivisuus eli osittelulaki

a(b+c) = ab+ac, (a+b)c=ac+bc

1.2 Rationaalilukujen laskutoimitukset (a, b, c, d, k∈Z)

• laventaminen

k)a b = ka

kb, k 6= 0

• supistaminen

ka kb = a

b, k6= 0

• yhteenlasku (lavennus samannimisiksi)

d)a

b + ^b)c d = ad

bd + bc

bd = ad+bc bd

• vähennyslasku (lavennus samannimisiksi)

d)a

b − ^b)c d = ad

bd − bc

bd = ad−bc bd

• kertolasku

a b · c

d = ac

• jakolasku bd

a b : c

d = a b · d

c = ad bc

Esimerkki 1.1. Esitä seuraavat luvut murtolukuina, jos mahdollista.

a) 1 2 +2

3 c) 1

2 : 2

3 e)1,23567

b) 1 2 · 2

3 d)2·

3 + 2

3

f) 3.123123123123. . . g)3.123454545. . .

1.3 Potensseista ja juurista

Olkoon a reaaliluku ja n ∈ N+. Tällöin määritellään aⁿ =a·a·. . .·a (tekijöitä a onn kappaletta).

Siis a¹ =a ja aⁿ⁺¹ =aⁿ·a . Lisäksi a⁰ = 1 ja a⁻ⁿ= _a¹n .

Potenssin laskulakeja: (a, b∈R ja m, n∈Z)

1) a^m·aⁿ=a^m+n 2) a^m

aⁿ =a^m−n

3) (a^m)ⁿ =a^m·n 4) aⁿ·bⁿ= (a·b)ⁿ

5) aⁿ bⁿ =a

b n

6) a b

−n

= b

a n

7) 1ⁿ = 1

8) Jos 0≤a, b, niin a=b ⇔ a² =b² 9) Jos 0≤a < b, niin 0≤a² < b²

10) Jos 0≤a, b ja n∈N+, niin a=b ⇔ aⁿ =bⁿ 11) Jos 0≤a < b ja n ∈N+, niin 0≤aⁿ< bⁿ

Juuret:

Olkoon nyta∈Rjan ∈Z+kokonaisluku. Yhtälönxⁿ =a(positiivista) ratkaisua sanotaan luvun a n:nneksi juureksi ja merkitään: x= √ⁿ

a.

√n

a: mikä luku n:teen korotettuna antaa luvun a? Siis x= √ⁿ

a ⇒ xⁿ=a. Lisäksi aⁿ¹ = √ⁿ

a ja a^mn = (√ⁿ a)^m. Huomautus.

• (a+b)(a−b) =a²−b²

• (a+b)² =a² + 2ab+b²

• (a−b)² =a²−2ab+b² Esimerkki 1.2. Sievennä lauseke

(√ x+√

y)(√⁴ x+√⁴

y)(√⁴ x−√⁴

y)

1.4 Induktioperiaate

Jos on todistettava, että jokin väite P(n) on tosi kaikilla n ∈ N⁺, toimitaan seuraavasti:

(i) Osoitetaan, että P(1) on tosi (ts. väite arvolla n = 1).

(ii) Oletetaan, että P(k) on tosi jollakin luonnollisella luvulla k (ts. väite ar- vollan =k) (induktio-oletus).

(iii) Osoitetaan induktio-oletusta käyttäen, että myösP(k+1)on tosi (ts. väite arvollan =k+ 1) (induktioväite).

(i)–(iii) ⇒ väite P(n)tosi kaikilla n∈N+.

Esimerkki 1.3. Osoita, että 1 + 2 +. . .+n= ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ aina, kun n∈N+. Esimerkki 1.4. Osoita, että n+n² = 2n ∀ n∈N+.

1.5 Merkintöjä ja muuta tärkeää

∃ =on olemassa 6 ∃ = ei ole olemassa ∀ = kaikilla, aina kun

∞ =ääretön −∞ = miinus ääretön

∨=tai : Riittää kun kumpi tahansa ehdoista on voimassa

∧=ja : Molempien ehtojen oltava voimassa yhtä aikaa

∪=unioni (joukoilla) ∩=leikkaus (joukoilla)

⇒ =implikaatio (jos . . ., niin. . .tai . . . seuraa. . .)

⇔ = ekvivalenssi (jos ja vain jos tai yhtäpitävää) Esimerkki 1.5.

Tulon 0–sääntö:

f(x)·g(x)·h(x) = 0 ⇔ f(x) = 0 ∨ g(x) = 0 ∨ h(x) = 0

Epäyhtälöiden ominaisuuksia:

Olkoot a ja b reaalilukuja. Tällöin a < b ⇔ a+c < b+c aina, kun c∈R a < b ⇔ ac > bc, kun c <0

a < b ⇔ ac < bc, kun c >0 0< a < b ⇔ ¹_a > ¹_b >0 a < b ja b < c ⇒ a < c a < b ⇔ a² < b², kun a, b >0

a < b ⇔ aⁿ< bⁿ, kuna, b > 0ja n ∈N⁺ Yllä < voidaan korvata merkeillä≥, > ja ≤.

Summa ja tulo:

Olkoot x₁, . . . , x_n reaalilukuja. Tällöin merkitään:

n

X

i=1

x_i =x₁+. . .+x_n ja

n

Y

i=1

x_i =x₁ ·. . .·x_n

Induktioperiaatteen nojalla voidaan liitäntä-, vaihdanta- ja osittelulakien nojalla osoittaa, että

1)

c·

n

X

i=1

xi =

n

X

i=1

(cxi) , c=vakio

2) n

X

i=1

(xi+yi) =

n

X

i=1

xi+

n

X

i=1

yi

3) n

X

i=1

(x_i+c) =

n

X

i=1

x_i+nc , c=vakio

Esimerkki 1.6. Olkoon x_i = 2i ja y_i =i kaikilla i∈N+. Laske a) 2·

4

X

i=1

x_i b)

2

X

i=1

(x_i+y_i) c)

3

X

i=1

(x_i+ 2)

Reaaliakselin välit:

Olkoot a, b∈R ja a < b.

]a, b[={x∈R|a < x < b} avoin väli [a, b] ={x∈R|a≤x≤b} suljettu väli

]a, b] ={x∈R|a < x≤b}

[a, b[={x∈R|a≤x < b}







puoliavoimet välit

]a,∞[={x∈R|x > a}

[a,∞[={x∈R|x≥a}

]− ∞, a[={x∈R|x < a}

]− ∞, a] ={x∈R|x≤a}

]− ∞,∞[={x∈R| − ∞< x <∞}=R



































äärettömät

2 Funktiot

2.1 Funktion määritelmä

OlkootX jaY joukkoja jaf funktio eli kuvaus joukostaX joukolleY; merkitään f :X →Y. Tällöin funktiof kuvaa kunkin joukonX alkionxtäsmälleen yhdeksi joukon Y alkioksif(x).

Joukko X =D_f on funktion f määrittelyjoukko, eli joukko, jossa funktion arvo voidaan määrittää. JoukkoY on funktionf maalijoukko, joka sisältää mm. funk- tion arvot. Lisäksi x on muuttuja, joka edustaa määrittelyjoukon alkioita. Mer- kintäy=f(x)tarkoittaa:y on funktionf arvo muuttujan arvollax. Funktion f arvojen joukkoa

R_f ={f(x)|x∈D_f} ⊆ Y sanotaan funktionf arvojoukoksi.

2.2 Funktion kuvaaja (graafinen esitys)

Joukon B_f = {(x, y)|y = f(x), x ∈ D_f} kuvaa xy–koordinaatistossa sanotaan funktion f kuvaajaksi. Puhutaan myös käyrästäy=f(x).

Eräiden funktioiden kuvaajia:

1. Vakiofunktio

f(x) =c ∀ x∈R, c=vakio

Df = Rf =

2. Identtinen funktio f(x) =x ∀ x∈R

D_f = R_f =

3. Itseisarvofunktio f(x) =|x|=

(x, kunx≥0

−x, kunx <0

D_f = R_f =

2.3 Funktion kasvavuus ja vähenevyys Reaalifunktiof(x)on välillä I(⊂R).

- kasvava, jos x₁ < x₂ ⇒ f(x₁)≤f(x₂)

- aidosti kasvava, josx₁ < x₂ ⇒ f(x₁)< f(x₂) - vähenevä, josx₁ < x₂ ⇒ f(x₁)≥f(x₂)

- aidosti vähenevä, jos x₁ < x₂ ⇒ f(x₁)> f(x₂) aina, kunx₁, x₂ ∈I.

Funktio f on välillä I monotoninen, jos se on tällä välillä kasvava tai vähenevä ja aidosti monotoninen, jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Funktio f on välillä I paloittain monotoninen, jos väli I voidaan jakaa osaväleihin, joilla kullakin f on monotoninen.

Esimerkki 2.1. Osoita, että f(x) = 5x−3 on aidosti kasvava.

2.4 Funktion kuperuus

Olkoonf(x)reaalifunktio. Tarkastellaan väliä[x₁, x₂]. Mielivaltainen välin[x₁, x₂] piste z voidaan esittää muodossa:

z =x₁+β(x₂−x₁), 0≤β ≤1

= (1−β)x₁+βx₂

=αx1+ (1−α)x2, 0≤α ≤1, α= 1−β

Pisteen Q y–koordinaatti on f(αx1 + (1−α)x2). Koska kuviossa on yhdenmuo- toiset kolmiot, niin pisteen P y–koordinaatti on muotoa

f(x₁) +β(f(x₂)−f(x₁)) = (1−β)f(x₁) +βf(x₂)

=αf(x₁) + (1−α)f(x₂) Reaalifunktiof(x)on välillä I alaspäin kupera, jos

αf(x₁) + (1−α)f(x₂)≥f(αx₁ + (1−α)x₂) aina, kunx₁, x₂ ∈I ja 0≤α≤1.

Vastaavasti funktio f on välilläI ylöspäin kupera, jos

f(αx₁+ (1−α)x₂)≥αf(x₁) + (1−α)f(x₂) aina, kunx₁, x₂ ∈I ja 0< α <1.

Geometrisesti:

Funktio f onalaspäin kuperaelikonveksi, jos jokainen jana, joka piirretään käy- räny=f(x)kaksi pistettä päätypisteinä, on kokonaisuudessaan käyräny=f(x) yläpuolella tai käyrällä.

Vastaavasti funktio f on ylöspäin kupera eli konkaavi, jos jokainen jana, joka piirretään käyräny=f(x)kaksi pistettä päätypisteinään, on kokonaisuudessaan käyrän y=f(x) alapuolella tai käyrällä.

3 Polynomifunktiot

Olkoon n∈N. Tällöin n:nnen asteen polynomifunktio on muotoa y=f(x) = a_nxⁿ+an−1xⁿ⁻¹+. . .+a₂x²+a₁x+a₀, missä a_i ∈R vakioita ja a_n 6= 0.

Polynomifunktion f(x) määrittelyjoukko D_f =R ellei muuta sovita.

3.1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio eli lineaarinen funktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio on muotoa

y=f(x) =ax+b, a, b∈R. Lineaarisen funktion kuvaaja onsuora:

a >0 : a <0 : a= 0 :

Olkoon a >0. Tällöin

x₁ < x₂ ⇔ f(x₂)−f(x₁) = (ax₂+b)−(ax₁+b) = a(x₂−x₁)>0, jotenf(x1)< f(x2)ja siten f(x) =ax+b on aidosti kasvava.

Olkoon a <0. Tällöin

x₁ < x₂ ⇔ f(x₂)−f(x₁) = (ax₂+b)−(ax₁+b) = a(x₂−x₁)<0, jotenf(x₁)> f(x₂)ja siten f(x) =ax+b on aidosti vähenevä.

Olkoon a= 0. Tällöin

x1 < x2 ⇔ f(x2)−f(x1) = (ax2+b)−(ax1+b) = a(x2−x1) = 0, jotenf(x1) =f(x2)ja siten f(x) =ax+b=b on sekä kasvava että vähenevä.

Kulmakerroin:

Olkoot x₁, x₂ ∈R ja x₁ < x₂.

Olkoon y₁ =f(x₁) = ax₁+b ja y₂ =f(x₂) =ax₂+b.

Nyt y₂−y₁ = (ax₂+b)−(ax₁+b) =a(x₂−x₁) ⇔ a= y₂−y₁ x₂−x₁.

Siis vakio a on funktion arvon muutos jaettuna muuttajan arvon muutoksella.

Vakioa on suorankulmakerroinja se ilmaisee funktion kasvunopeudenja suoran nousujyrkkyyden.

Suoranf(x) =ax+b yhtälö saadaan määrättyä, kun tunnetaan

• yksi suoran piste ja kulmakerroin tai

• kaksi suoran pistettä.

Jos suoran kulmakerroin on a ja suora kulkee pisteen (x₀, y₀) kautta (siis y₀ =f(x₀)), niin suoran yhtälö on

y−y₀ =a(x−x₀).

Tästä ratkaisemalla y saadaan esille funktio y=f(x) =ax+b.

Esimerkki 3.1. Mikä on se lineaarinen funktio, jota vastaava suora kulkee pistei- den (−1,3) ja (2,1) kautta?

3.1.1 Ensimmäisen asteen yhtälö Normaalimuoto:

ax+b = 0

Funktion f(x) = ax+b kuvaaja:

a >0 : a <0 :

Yhtälön ax+b= 0 ratkaisu on funktionf(x) =ax+b nollakohta eli juuri.

Esimerkki 3.2. 2x+ 5 = 0

3.1.2 Ensimmäisen asteen epäyhtälö Normaalimuoto:

ax+b >0 (≤,≥, <)

a >0 : ax+b >0 ⇔ ax >(−b) |:a ⇔ x >−b a

a <0 : ax+b >0 ⇔ ax >(−b) |:a ⇔ x <−b a

3.2 Toisen asteen polynomifunktio

Toisen asteen polynomifunktio on muotoa y=f(x) =ax²+bx+c, a, b, c ∈R, a6= 0.

Funktion f(x) = ax²+bx+ckuvaaja:

a >0 :

a <0 :

Funktio y =ax²+bx+c on ylöspäin aukeava paraabeli, kun a > 0, ja alaspäin aukeava paraabeli, kuna <0.

3.2.1 Toisen asteen yhtälö Normaalimuoto:

ax² +bx+c= 0 (1)

Ratkaisuksi saadaan

x= −b±√

b²−4ac 2a

Lukua D=b²−4ac kutsutaan diskriminantiksi. Jos

(i) D >0, niin yhtälöllä on2 erisuurta reaaliratkaisua (nollakohtaa, juurta) (ii) D= 0, niin yhtälöllä on1 reaaliratkaisu (kaksinkertainen)

(iii) D < 0, niin yhtälöllä ei ole reaaliratkaisua (kompleksilukujuuret, ks.

MPTT2)

Olkootx₁ ja x₂ yhtälön (1) nollakohdat. Tällöin lauseke voidaan jakaa tekijöihin seuraavasti:

ax²+bx+c=a(x−x₁)(x−x₂) Josx₁ on kaksinkertainen nollakohta, niin

ax²+bx+c=a(x−x₁)(x−x₁) =a(x−x₁)² Jos ei nollakohtia ⇒ ei jakaannu reaalisiin 1. asteen tekijöihin Esimerkki 3.3. Osoita, että lauseketta ^2x_x²²_+x−2^+x−1 ei voi supistaa.

3.2.2 Toisen asteen epäyhtälö Normaalimuoto:

ax²+bx+c >0 (≤,≥, <)

Ratkaisumenettely:

(i) Ratkaistaan yhtälö

ax²+bx+c= 0 (2)

(ii) Päätellään ratkaisu paraabeliny =ax²+bx+ckuvaajan (tai merkkikaa- vion) avulla.

Olkoon a >0.

1. Yhtälöllä (2) kaksi erisuurta juurta x₁ ja x₂. ax²+bx+c >0 ⇔ x < x₁ tai x > x₂

++ – – ++

2. Yhtälöllä (2) kaksoisjuuri x₁.

ax²+bx+c >0 ⇔ x∈R ja x6=x₁

+++ +++

3. Yhtälöllä (2) ei ole reaalijuuria.

ax²+bx+c >0 ⇔ ∀ x∈R

++++++++++++

Olkoon a <0.

1. Yhtälöllä (2) kaksi erisuurta juurta x₁ ja x₂. ax²+bx+c >0 ⇔ x₁ < x < x₂

– – ++ – –

2. Yhtälöllä (2) kaksoisjuuri x₁.

ax²+bx+c >0 ⇔ ei ratkaisua

– – – – – –

3. Yhtälöllä (2) ei ole reaalijuuria.

ax²+bx+c >0 ⇔ ei ratkaisua

– – – – – – – – – – –

Esimerkki 3.4. Ratkaise epäyhtälö x²+x−1≤0.

3.3 Korkeamman asteen polynomifunktio Korkeamman asteen polynomifunktio on muotoa

f(x) =a_nxⁿ+an−1xⁿ⁻¹+. . .+a₁x+a₀, a_i ∈R ∀ i ja a_n 6= 0.

Esimerkiksi kolmannen asteen polynomifunktio on muotoa y=f(x) = ax³+bx²+cx+d, a, b, c, d∈R.

a >0 : a <0 :

3.3.1 Korkeamman asteen yhtälö Normaalimuoto:

P(x) =anxⁿ+an−1xⁿ⁻¹+. . .+a1x+a0 = 0, an6= 0 (3) Ainoita mahdollisia rationaalilukuratkaisujaovat luvut ^p_q, missä pon a₀:n tekijä ja q on a_n:n tekijä.

n. asteen yhtälön ratkaiseminen:

(i) Etsitään edellä mainitut mahdolliset rationaalijuuret.

(ii) Tutkitaan onko jokin niistä todellinen nollakohta sijoittamalla juuriehdok- kaat yhtälöön.

(iii) Oletetaan nyt, ettäx=x₁ on todellinen juuri. Tällöin(x−x₁)on yhtälön vasemmanpuolen eliP(x):n tekijä.

(iv) JaetaanP(x)tekijällä (x−x₁). SaadaanP(x) = (x−x₁)Q(x), missäQ(x) on astetta n−1.

(v) Nyt P(x) = (x−x₁)·Q(x) = 0 ⇔ x−x₁ = 0 ∨ Q(x) = 0. (vi) Jatketaan ratkaisemalla yhtälö Q(x) = 0 samalla tavalla.

Esimerkki 3.5. 2x³+ 6 = 3x²+ 5x

Josx₁, . . . , x_novat yhtälön (3) nollakohdat, niin lausekeP(x)jakaantuu tekijöihin seuraavasti:

P(x) =a_nxⁿ+an−1xⁿ⁻¹+. . .+a₁x+a₀ =a_n(x−x₁)(x−x₂). . .(x−x_n)

3.3.2 Korkeamman asteen epäyhtälö Normaalimuoto:

a_nxⁿ+an−1xⁿ⁻¹+. . .+a₁x+a₀ >0 (≤,≥, <) Ratkaisumenettely:

(i) Jaetaan vasen puoli 1. ja 2. asteen tekijöihin.

(ii) Päätellään tekijöiden merkkikaavion avulla epäyhtälön ratkaisu.

Esimerkki 3.6. x³+ 6≥2x²+ 5x

3.4 Polynomifunktion sovellutuksia taloustieteessä Sovellus 1:

OlkoonP tavaran hinta. KuvatkoonD=aP+b kysynnänmäärää jaS =cP+d tarjonnanmäärää hinnalla P. Nyt P, D, S >0.

Tällöin on oltava:

(i) b >0, jotta kysyntä hinnalla 0 olisi positiivinen.

(ii) a <0, jotta kysyntä hinnan noustessa pienenisi.

(iii) d <0, jotta tarjonta olisi negatiivinen hinnalla 0. (iv) c >0, jotta tarjonta hinnan noustessa kasvaisi.

Kysynnän ja tarjonnan tasapaino:

Tasapainossa D=S (D=aP +b

S=cP +d

⇔ cP +d =aP +b

⇔ (c−a)P =b−d

⇔ P = b−d

c−a (hinta, jolla kysyntä ja tarjonta ovat tasapainossa)

⇒ D =a· b−d

c−a +b (kysynnän ja tarjonnan määrä)

Sovellus 2:

Olkoot hyödykemäärän x kokonaistuotantokustannukset C(x) = ax² +bx+c, missäa, bjacovat positiivisia vakioita. Jos tuotetta myydään yksikköhintaanP, niin kokonaistuotto R(x) = P x. VoittoΠ(x) on tällöin

Π(x) = R(x)−C(x) = P x−(ax² +bx+c) =−ax²+ (P −b)x−c.

Laskemalla suoran R(x) ja paraabelin C(x) leikkauspisteet, saadaan ne arvot x (määrät), joilla voitto Π(x) = 0 eli kokonaistuotto=tuotantokustannukset.

Siis (

R(x) =P x

C(x) = ax²+bx+c

Koska voiton Π(x)kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, voitto on positiivinen leikkauspisteiden välisillä (tuotannon määrän) arvoilla.

Maksimivoitto (Π_max) saavutetaan paraabelin huippua vastaavalla tuotannon- määrän arvolla.

4 Rationaalifunktio

Rationaalifunktio on muotoa

f(x) = P(x) Q(x).

Rationaalifunktion määrittelyjoukkoD_f määräytyy ehdosta Q(x)6= 0.

4.1 Murtoyhtälö Normaalimuoto:

P(x) Q(x) = 0 Ehto Q(x)6= 0.

Ratkaisumenettely:

P(x)

Q(x) = 0 ⇔ P(x) = 0 Esimerkki 4.1.

5−x 2x+ 1 = 3

Nopeuttava ratkaisuvaihtoehto: voit kertoa nimittäjällä puolittain.

4.2 Murtoepäyhtälö Normaalimuoto:

P(x)

Q(x) >0 (<,≤,≥) Ehto Q(x)6= 0.

Ratkaisumenettely:

(i) Osoittaja ja nimittäjä jaetaan 1. ja 2. asteen tekijöihin.

(ii) Päätellään merkkikaavion avulla epäyhtälön ratkaisu.

Esimerkki 4.2. _2x+1^5−x ≤3

Nopeuttava ratkaisuvaihtoehto: voit kertoa nimittäjällä, jos olet varma sen mer- kistä, tai huomioit merkin vaihtumisen (osavälijako).

5 Itseisarvofunktio

Josa ∈R, niin

|a|=

(a, kuna ≥0

−a, kuna <0.

Samoin

|f(x)|=

(f(x), kun f(x)≥0

−f(x), kun f(x)<0.

Itseisarvoja sisältävän funktion määrittelyjoukko D_f =R, ellei muuta sovita.

Huomautus. |f(x)| ≥0 kaikillax∈R.

5.1 Itseisarvoyhtälö Ratkaisumenettely:

Itseisarvoyhtälön ratkaisemiseksi itseisarvomerkit poistetaan tutkimalla itseisar- von sisällä olevan lausekkeen positiivisuutta/negatiivisuutta määrittelyjoukossa ja tämän jälkeen ratkaistaan yhtälö (osavälijako).

Esimerkki 5.1. |x−3|+|x+ 2|= 10

Nopeuttavia sääntöjä itseisarvoyhtälön ratkaisussa:

1. |f(x)|=|g(x)| ⇔ f(x) = g(x) tai f(x) =−g(x)

2. |f(x)|=a ⇔











f(x) =a tai f(x) = −a, kun a >0 f(x) = 0, kuna = 0

ei ratkaisua, kun a <0 3. |f(x)|=g(x) ⇔

(f(x) =g(x) tai f(x) =−g(x) g(x)≥0

Varmin tapa:

Jos yhtälössäuseita itseisarvolausekkeita, niin poistetaan itseisarvot ainatarkas- telemalla erikseen joukkoja, joissa itseisarvon sisällä oleva lauseke on positiivinen tai negatiivinen (osavälijako).

Esimerkki 5.2. |x−1|= ^x₂

5.2 Itseisarvoepäyhtälö Ratkaisumenettely:

Poistetaan itseisarvomerkit ja ratkaistaan saatu epäyhtälö (osavälijako).

Esimerkki 5.3. |x−3|+|x+ 2|<10

Nopeuttavia sääntöjä itseisarvoepäyhtälön ratkaisussa:

1.

|f(x)|< g(x) ⇔ −g(x)< f(x)< g(x)

⇔ −g(x)< f(x) ja f(x)< g(x) Jos g(x)≤0, ratkaisua ei ole.

2.

|f(x)|> g(x) ⇔ f(x)<−g(x) tai f(x)> g(x) Jos g(x)<0 ⇔ epäyhtälö voimassa.

3. Jos epäyhtälön molemmat puoletpositiivisia, korota puolittain toiseen. Varmin tapa:

Jos itseisarvolausekkeita on useampia, niin itseisarvomerkit voidaan poistaa tar- kastelemalla erikseen joukkoja, joissa itseisarvomerkkien sisällä oleva lauseke on positiivinen tai negatiivinen (osavälijako).

Esimerkki 5.4. |x−6| ≥3−2x Esimerkki 5.5. |x−6| ≤ |x−1|

Esimerkki 5.6. |x−6|<3−2x

6 Neliöjuurifunktio

Sisältää termin

pf(x) Määrittelyjoukko määräytyy ehdosta f(x)≥0. Huomautus.

1. p

f(x)≥0aina, kun f(x)≥0 2. p

f(x) ei ole olemassa, kunf(x)<0 3. p

f(x)2

=f(x). 6.1 Neliöjuuriyhtälö Perusmuoto:

pf(x) =g(x)

Jotta reaalinen ratkaisu on olemassa, on oltava voimassa ehto:

(f(x)≥0 g(x)≥0

Tällöin yhtälö voidaan korottaa puolittain toiseen:

pf(x) =g(x) | ( )²

⇔ f(x) =g(x)²

Ratkaisumenettely neliöjuurta sisältävissä yhtälöissä:

(i) Siirretään termejä sopivasti.

(ii) Tarkastellaan ehdot.

(iii) Korotetaan puolittain toiseen.

(iv) Ratkaistaan yhtälö.

(v) Tarkistetaan, toteuttavatko ratkaisut alkuperäisen yhtälön. (Tarpeen, jos ehtoja ei ole huomioitu.)

Esimerkki 6.1. √

3x+ 1 +x−1 = 0

6.2 Neliöjuuriepäyhtälö 1. Perusmuoto:

pf(x)≤g(x) [<]

Ehdot:

(f(x)≥0

g(x)≥0 [>]

Ratkaisu:

pf(x)≤g(x) |( )² [<]

⇔ f(x)≤g(x)² [<]

⇔ . . . 2. Perusmuoto:

pf(x)≥g(x) [>]

Osavälijako:

1^o g(x)≥0 2^o g(x)<0 Ratkaisu:

1^o g(x)≥0

pf(x)≥g(x) [>]

Ehto: f(x)≥0

pf(x)≥g(x) |( )²

⇔ f(x)≥g(x)²

⇔ . . . 2^o g(x)<0

pf(x)≥g(x) [>]

Ehto: f(x)≥0

Tällä osavälillä ko. ehdon ollessa voimassa, epäyhtälö f(x)≥g(x) toteutuu.

3. Jos molemmat puolet ovat positiivisia, niin korota epäyhtälö puolittain toiseen.

7 Potenssifunktio

Potenssifunktio on muotoa

f(x) =x^r, r∈R, r 6= 0.

Määrittelyjoukko D_f =R+, tai jotain laajempaa riippuen eksponentista r. Esimerkki 7.1.

a) f(x) = x³ d) f(x) =x⁻¹² b) f(x) = x¹² e) f(x) =x²³ c) f(x) = x⁻³ f) f(x) =x³²

Potenssifunktio f(x) = x^r on joukossa R+ aidosti kasvava, kun r > 0, ja aidosti vähenevä, kunr < 0.

7.1 Potenssiyhtälö

• x^p =a ⇔ x=±√^p

a, kun p parillinen ja a≥0

• x^p =a ⇔ x= √^p

a, kun ppariton

• x^p =a ⇔ ei ratkaisua, kun p on parillinen jaa <0

Esimerkki 7.2. Ratkaise yhtälöt

a)x² = 5 d) x² =−3

b)x³ = 5 e) x³ =−3

c)x⁴ = 5 f) x⁴ =−3

8 Eksponenttifunktio

Funktio y =f(x) = a^x on a–kantainen eksponenttifunktio, kun a >0 ja a 6= 1. Määrittely- ja arvojoukko: D_f =R ja R_f =R+.

Funktio f(x) = a^x on aidosti kasvava, kun a > 1, ja aidosti vähenevä, kun 0< a <1.

a >1 : 0< a <1 :

Edellisen perusteella saadaan:

a^x1 =a^x2 ⇔ x₁ =x₂ a^x1 < a^x2 ⇔

(x1 < x2, kuna >1 x₁ > x₂, kun0< a <1 Siis

a^f(x) =a^g(x) ⇔ f(x) = g(x) a^f(x) < a^g(x) ⇔

(f(x)< g(x), kun a >1 f(x)> g(x), kun 0< a <1

Erityisen tärkeä on e–kantainen eksponenttifunktio f(x) = e^x, jonka kantaluku onNeperin luku e≈2,718.

Esimerkki 8.1. Ratkaise yhtälöt a) 4·4^x = 1

8 b) 81^−2x = 1

√6

27 Esimerkki 8.2. Ratkaise epäyhtälöt

a) 2^2−x < 1

4 b) 3^x− 3

3^x + 2 >0

9 Logaritmifunktio

Tarkastellaan yhtälöäx=a^y, missäa >0ja a6= 1. Siten yon se potenssi, johon a on korotettava, jotta saadaan x.

Lukuy määritelläänluvun x a–kantaiseksi logaritmiksi ja merkitääny= log_ax. Siis y= log_ax ⇔ x=a^y.

log_ax: Mihin a on korotettava, jotta saadaan x? Saadaan funktio f :R⁺ →R,

f(x) = log_ax, D_f =]0,∞[ ja R_f =R.

Logaritmin ominaisuuksia:

Olkoon x, y >0, z ∈R. Tällöin

1) log_a(xy) = log_ax+ log_ay 5) log_a1 = 0 2) log_a

x y

= log_ax−log_ay 6) log_aa^f(x)=f(x) 3) log_ax^z =z·log_ax 7) a^logaf(x) =f(x) 4) log_aa = 1 8) log_bc= log_ac

log_ab

Sovellusten kannalta e–kantainen eli luonnollinen logaritmi on tärkeä. Funktiota merkitään

f(x) = log_ex= lnx.

Logaritmifunktiof(x) = log_axon aidosti kasvava, kuna >1,ja aidosti vähenevä, kun 0< a <1.

a >1 : 0< a <1 :

Edellisen perusteella saadaan:

(x₁, x₂ >0)

log_ax₁ = log_ax₂ ⇔ x₁ =x₂ log_ax₁ <log_ax₂ ⇔

(x₁ < x₂, kun a >1 x₁ > x₂, kun 0< a <1.

Siis

(f(x), g(x)>0)

log_af(x) = log_ag(x) ⇔ f(x) =g(x) log_af(x)<log_ag(x) ⇔

(f(x)< g(x), kuna >1 f(x)> g(x), kun0< a <1.

Esimerkki 9.1. Määritä a) log₄256 b) kantaluku a, kun log_a0,001 =−3. Esimerkki 9.2. Ratkaise epäyhtälö log¹

3 (x+ 4)>log¹

3 (5x−2) Esimerkki 9.3. Ratkaise epäyhtälö log¹

3 (x+ 4)<2 + log¹

3 (2x) Esimerkki 9.4. a)2^x = 3 b)2e^x = 7

Esimerkki 9.5. a)2^3x= 3^2x b)log₂(2x) = log₄x

10 Eksponentti- ja logaritmifunktion sovelluksia taloustieteessä

Koronkorko:

Jos korkokanta on 100·i prosenttia vuodessa ja korko lisätään alkupääomaan x k kertaa vuodessa, niin n:n vuoden kuluttua pääoma on

y =x·

1 + i k

nk

y =xeⁱⁿ, kunk on suuri.

Kasvufunktiot:

Kasvufunktioilla voidaan esittää:

• yrityksen työntekijöiden lukumäärä vuotuisen myynnin funktiona

• käytetyn pääoman määrä ajan funktiona

• myynti mainoskulujen funktiona

• käyttökustannukset koneen käyttöajan funktiona

• myynnin määrä markkinoilla olon funktiona Kasvufunktiot ovat kasvavia funktioita.

1^o Biologista kasvua kuvaavat funktiot

Monia biologisen kasvun lakeja voidaan esittää yhtälöllä N(t) =N₀R^t, missä

N(t) =populaation jäsenten lukumäärä ajan hetkellä t

N₀ =populaation jäsenten lukumäärä ajan hetkelä t= 0 (eli alussa) R =kasvun aste (>0)

Oletus: Jokainen populaation jäsen lisää populaation määrää R − 1 jäsenellä aikayksikössä ja kukaan jäsenistä ei kuole.

Edellistä funktiota voidaan jossain määrin käyttää kuvaamaan nopeasti kehitty- vän yrityksen kasvun alkua.

Esimerkki 10.1. Yhtiö aloittaa toimintansa5:llä työntekijällä. Kunkin vuoden lo- pussa jokainen työntekijä palkkaa3apulaista. Kuinka monta työntekijää yhtiössä on 10 vuoden kuluttua, jos kukaan ei poistu yhtiön palveluksesta?

Ratkaisu:

N(10) = 5·4¹⁰ = 5 242 880

2^o Gompertzin funktiot

Gompertzin funktiot ovat muotoa N(t) =ca^Rt, missä

R=kasvun aste (>0)

a=alkupopulaation suhteellinen osuus populaation ylärajasta 0< a <1 c=populaation yläraja (c > 0)

Kun t= 0, niinN(0) =ca.

Esimerkki 10.2. Yrityksen työntekijöiden lukumäärän kehitystä kuvataan funk- tiolla

N(t) = 200·(0,04)^0,5t,

missäN(t)on työntekijöiden lukumäärättoimintavuoden jälkeen. Kuinka monta työntekijää yhtiössä oli alunperin? Entä 3 vuoden jälkeen? Kuinka paljon henki- lökuntaa yhtiössä on yrityksen ollessa suurimmillaan?

Ratkaisu:

Työntekijöitä alunperin:

N(0) = 200·(0,04)^0,50 = 8 Työntekijöitä 3 vuoden jälkeen:

N(3) = 200·(0,04)^0,53 = 133,748...≈133 Työntekijöitä yrityksen ollessa suurimmillaan:

Koska populaation yläraja c= 200, niin työtekijöitä on enimmillään 200.

3^o Oppimisfunktiot

Psykologit käyttävät funkiota

y=c−ae^−kt, t=aika kuvaamaan oppimista. (c, a ja k ovat positiivisia vakioita)

Edellä mainittua muotoa olevia funktioita voidaan käyttää esittämään kustannus- ja tuotantofunktioita.

11 Funktioiden algebraa

11.1 Funktioiden laskutoimituksia

Funktioiden yhtäsuuruus: Funktiot f ja g ovat yhtäsuuret eli samat jos ja vain jos niiden määrittelyjoukot ovat samat ja arvot yhtyvät, ts.

f =g ⇔ D_f =D_g ja f(x) =g(x) ∀ x∈D_f

Esimerkki 11.1. Ovatko funktiot f(x) = x²−1

x+ 1 ja g(x) =x−1 samat?

Määritellään:

(f ±g)(x) = f(x)±g(x) D_f±g =D_f ∩D_g (f ·g)(x) = f(x)·g(x) Df·g =D_f ∩D_g

f g

(x) = f(x)

g(x) D^f

g = (D_f ∩D_g)\ {x|g(x) = 0}

(cf)(x) =c·f(x), c=vakio Dcf =Df

Esimerkki 11.2. Määrää funktioiden f(x) = √

x−1 ja g(x) = √

2−x tulo- ja osamääräfunktio.

Funktio f on parillinen, jos f(−x) = f(x) ∀ x ∈ D_f, ja pariton, jos f(−x) =

−f(x) ∀ x∈D_f.

11.2 Yhdistetty funktio

Annettujen funktioiden f ja g yhdistetty funktio (f ◦g)(x) =f(g(x)) ja

Df◦g ={x∈R|x∈D_g ja g(x)∈D_f}.

Funktio f on ulkofunktio ja g on sisäfunktio.

Huomautus. g ◦f on yleensä eri kuin f ◦g (ei vaihdannainen). Kuitenkin (f◦g)◦h=f◦(g◦h) (liitännäinen).

Esimerkki 11.3. Olkoon f(x) = ¹_x ja g(x) = √

x+ 1. Määrää (f ◦ g)(x) ja (g◦f)(x) sekäDf◦g ja Dg◦f.

11.3 Surjektio, injektio ja bijektio

Olkoon f : X → Y funktio, ts. jokaista x ∈ X = (D_f) vastaa täsmälleen yksi y=f(x)∈Y.

Funktio f : X → Y on surjektio joukosta X joukkoon Y, jos arvojoukko Rf ={f(x)|x∈X}=Y.

Siisf on surjektio joukostaX joukkoonY, jos jokaistay ∈Y vastaa ainakin yksi sellainen x∈X, että f(x) = y (ts. löytyy ainakin yksialkukuva).

Esimerkki 11.4. Olkoon X ={1,2,3,4}, Y ={1,2,3}. Funktio f :X →Y, jolle f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 2, f(4) = 3, on surjektio, sillä jokaisella joukon Y alkiolla on alkukuva.

Jos X = {1,2,3,4} ja Y = {1,2,3,4}, niin edellä olevalla tavalla määritelty funktiof ei ole surjektio.

Esimerkki 11.5. Onko funktio f :R →R, jolla f(x) =x², surjektio? Entä onko funktiof(x) =x² surjektio R→[0,∞[?

Funktio f :X →Y on injektio, jos f(x₁) = f(x₂) ⇔ x₁ =x₂.

Siis f on injektio, kun f kuvaa kaikki joukon X alkiot joukon Y eri alkioiksi.

(Siis yksikäsitteinen alkukuva, jos alkukuva on olemassa.)

Esimerkki 11.6. Onko funktio f :R⁺ →R, jolla f(x) =√

x, injektio?

Esimerkki 11.7. Onko funktio f :R→[0,∞[, jolla f(x) = x², injektio?

Funktio f :X →Y on bijektio, jos se on sekä surjektio että injektio.

Siis f :X →Y on bijektio, kun 1. R_f =Y

2. f(x1) =f(x2) ⇔ x1 =x2.

Siten f : X → Y on bijektio, jos jokaista y ∈ Y kohti on olemassa täsmälleen yksi x∈X, jolle y=f(x).

Esimerkki 11.8. Onko funktio f(x) = 5x+ 3 bijektio?

Esimerkki 11.9. Onko funktio f(x) = x+ 1

x−2 bijektio?

11.4 Käänteisfunktio

Jos f : X → Y on bijektio, voidaan määritellä funktio f⁻¹ : Y → X, jolle x=f⁻¹(y), kun y=f(x).

Siis f⁻¹ kuvaa jokaisen y∈Y alkukuvakseen elix=f⁻¹(y) ⇔ y=f(x).

Funktiota f⁻¹ sanotaan funktionf käänteisfunktioksi. Nyt D_f⁻¹ =R_f ja R_f⁻¹ =D_f.

Koska y=f(x) ⇔ x=f⁻¹(y), saadaan f⁻¹(f(x)) =x ja f(f⁻¹(y)) =y.

Funktion y=f(x) käänteisfunktion määrääminen:

1. Onko f⁻¹ olemassa eli onkof bijektio?

2. Ratkaistaan yhtälö y=f(x)muuttujan x suhteen.

3. Vaihdetaan muuttujien x ja y paikat, ts. esitetään käänteisfunktio muo- dossa y=f⁻¹(x)(x:n funktiona).

Lause 11.1. Jokaisella aidosti kasvavalla (aidosti vähenevällä) funktiolla f :D_f →R_f on käänteisfunktio (ovat bijektioita).

Esimerkki 11.10. Määrää funktion y=f(x) = x+ 1

x−2 käänteisfunktio.

Olkoon f : X → Y reaaliarvoinen funktio ja f⁻¹ : Y → X sen käänteisfunk- tio. Siten funktion f(x) kuvaajan pistettä (x, f(x)) vastaa aina käänteisfunktion f⁻¹(x) kuvaajan piste (f(x), x). Näin ollen funktion f ja käänteisfunktion f⁻¹ kuvaajat ovat symmetrisiä suorany =x suhteen.

Esimerkki 11.11. a–kantainen eksponenttifunktio f(x) = a^x (a > 0, a 6= 1) on joko aidosti kasvava(a >1)tai aidosti vähenevä(0< a <1). Lauseen 11.1 nojalla sillä on olemassa käänteisfunktio. Koska y =a^x ⇔ x= log_ay, niin a–kantaisen eksponenttifunktion käänteisfunktio on a–kantainen logaritmifunktio.

12 Yhtälöparit

12.1 Lineaarinen yhtälöpari Ratkaistava yhtälöpari:

(a1x+b1y+c1 = 0

a₂x+b₂y+c₂ = 0 (4)

Yhtälöparin ratkaiseminen:

1) Ratkaistaan jommasta kummasta yhtälöstä yksi tuntematon toisen avulla lausuttuna.

2) Sijoitetaan ratkaistun tuntemattoman lauseke toiseen yhtälöön.

3) Ratkaistaan näin saatu yhtälö jäljelle jääneen tuntemattoman suhteen.

4) Sijoitetaan ratkaistu tuntemattoman arvo jompaan kumpaan alkuperäi- sistä yhtälöistä ja ratkaistaan toinen tuntematon.

Esimerkki 12.1. Ratkaise yhtälöpari

(2x+ 3y+ 1 = 0 x+ 4y+ 3 = 0 .

Toinen tapa: termien hävittäminen laskemalla yhtälöt sopivasti kerrottuna puo- littain yhteen.

Suoran yhtälö esitetään yleensä muodossa y = f(x) = ax+b. Tämä esitys voi- daan muokata implisiittiseen muotoon a₁x+b₁y+ c₁ = 0, eli muotoon, jossa muuttuja x ja funktion arvo y esiintyy yhtälön samalla puolella. Näin ollen li- neaarisen yhtälöparin ratkaiseminen merkitsee käytännössä vastaavien suorien leikkauspisteiden etsimistä:

- Suorat leikkaavat, jos ratkaisu on yksikäsitteinen.

- Suorat samat, jos ratkaisuja on ääretön määrä (identtisesti tosi, esim.

0 = 0).

- Suorat ovat yhdensuuntaiset eri suorat, jos yhtälöparilla ei ole ratkaisuja.

(identtisesti epätosi, esim.0 = 5) Huomautus.

• Suorat yhdensuuntaiset: kulmakertoimet samat.

• Suorat kohtisuorassa: kulmakertoimien tulo on −1.

12.2 Käyrien yhteisten pisteiden etsiminen Ratkaistava yhtälöpari

(y=f(x) y=g(x)

Yhtälöparin ratkaiseminen:

1) Asetetaan f(x) = g(x). 2) Ratkaistaan yhtälöstä x.

3) Sijoitetaan saatux:n arvo (arvot) toiseen alkuperäisistä yhtälöistä, jolloin saadaan leikkauspistettä vastaava y:n arvo (arvot).

Tai: kuten lineaarisen yhtälöparin ratkaisemisen 2. tapa.

Esimerkki 12.2. Määritä käyrien x²−y+ 1 = 0ja y−2x= 0 yhteiset pisteet.

13 Raja-arvo

13.1 Funktion raja-arvo

Määrättäessä funktion raja-arvoa pisteessä a tutkitaan funktion kulkua, kun x valitaan yhä lähempää arvoaa. (Mitä arvoaf(x) lähestyy, kunx lähestyy arvoa a?)

Tarkastellaan esim. funktiota

f(x) = 3x²−8x+ 4

x−2 , D_f ={x∈R|x6= 2}.

Toisaalta

f(x) = 3x²−8x+ 4

x−2 = (3x−2)(x−2)

x−2 = 3x−2, x6= 2.

Siten funktion f(x) kuvaaja on suoray = 3x−2, josta on poistettu piste (2,4). Kun x lähestyy arvoa 2, niin f(x) lähestyy arvoa 4. Tällöin merkitään

x→2limf(x) = 4.

Raja-arvon määritelmä:

Olkoon funktiof(x)määritelty välillä]a−r, a+r[,(r >0)mahdollisesti lukuun- ottamatta kohtaax=a. Funktiollafon raja-arvobkohdassaa, jos jokaista lukua ε > 0vastaa sellainen luku δ >0, että |f(x)−b| < ε aina, kun 0<|x−a|< δ. Tällöin merkitään

x→alimf(x) =b.

Siis funktiollaf(x)on raja-arvobkohdassax=a, jos funktionf(x)arvo saadaan miten lähelle tahansa arvoab, kunhan vain x valitaan riittävän läheltä arvoa a. Esimerkki 13.1. Osoita määritelmän nojalla, että

x→2lim

3x²−8x+ 4 x−2 = 4.

Huomautus. Raja-arvon määritelmässä oleva luku δ saa riippua sekä luvusta a että luvusta ε, ei kuitenkaan muuttujasta x.

Huomautus. Funktion raja-arvo on yksikäsitteinen, jos on olemassa.

Raja-arvon peruslaskusääntöjä:

Lause 13.1. Olkoon lim

x→af(x) =b ja lim

x→ag(x) = cja k ∈R vakio. Tällöin a) lim

x→a(f±g)(x) = lim

x→af(x)±lim

x→ag(x) =b±c b) lim

x→a(f·g)(x) = lim

x→af(x)·lim

x→ag(x) =b·c c) lim

x→a

f g

(x) = ^x→alim_lim^f(x)

x→ag(x) = ^b_c, josc6= 0 d) lim

x→akf(x) =k·lim

x→af(x) =kb, k vakio

Lause 13.2. Olkoot P(x) ja Q(x) polynomeja ja a∈R. Tällöin a) lim

x→aP(x) =P(a) b) Jos Q(a)6= 0, niin lim

x→a P(x)

Q(x) = ^P_Q(a)^(a)

c) Jos f on vakiofunktio, eli f(x) =c ∀ x∈R, niin lim

x→af(x) = lim

x→ac=c Esimerkki 13.2. Laske lim

x→1

x³+ 2x+ 1 x+ 1 . Toispuoleiset raja-arvot:

Tarkastellaan funktiotaf(x) =

(−x−1, x <0

x, x≥0.

Nyt f(x) lähenee arvoa nolla, kun xlähenee nollaa oikealta. Merkitään lim

x→0⁺f(x) = lim

x→0x= 0 (oikeanpuoleinen raja-arvo 0:ssa).

Toisaalta f(x) lähenee arvoa −1, kun x lähenee nollaa vasemmalta. Merkitään

x→0lim⁻f(x) = lim

x→0(−x−1) =−1 (vasemmanpuoleinen raja-arvo 0:ssa).

Tällaisia raja-arvoja kutsutaantoispuoleisiksi raja-arvoiksi.

Lause 13.3. Funktiolla f(x) on kohdassa x=a raja-arvo jos ja vain jos funk- tiolla f(x) on kohdassa x=a sekä vasemman- että oikeanpuoleinen raja-arvo ja ne ovat yhtäsuuret.

Siis

x→alimf(x) ∃ ⇔ lim

x→a⁻f(x) = lim

x→a⁺f(x).

Tällöin

x→alimf(x) = lim

x→a⁻f(x) = lim

x→a⁺f(x) Esimerkki 13.3. Olkoon f(x) =

(x²+ 1, x <0

2^x+a−1, x≥0. Millä parametrin a arvolla funktiolla f on raja-arvo kohdassa x= 0?

Raja-arvon toinen tärkeä käyttökohde on tutkia funktion arvon kehittymistä, kun muuttujanxarvo kasvaa tai pienenee rajatta. Tällöin puhutaan raja-arvosta äärettömyydessä ja käytetään merkintöjä

x→∞lim f(x) ja lim

x→−∞f(x).

Raja-arvot äärettömyydessä: (x→ ±∞) Tarkastellaan funktiotaf(x) = 1

x.

Kun x kasvaa rajatta,f(x)lähenee nollaa. Siis

x→∞lim f(x) = lim

x→∞

1 x = 0.

Vastaavasti, kun x→ −∞, niin f(x)→0. Siis

x→−∞lim 1 x = 0.

Epäoleelliset raja-arvot: (f(x)→ ±∞) Tarkastellaan raja-arvoa lim

x→0f(x) = lim

x→0

1 x.

Kun x→0⁺, niin f(x)→ ∞ ja kun x→0⁻, niin f(x)→ −∞.

Siis lim

x→0⁻

1

x =−∞ ja lim

x→0⁺

1 x =∞. Näin ollen lim

x→0 1

x ei ole olemassa.

Tarkastellaan vielä raja-arvoa lim

x→0 1

|x|. Nyt lim

x→0⁺ 1

|x| =∞ ja lim

x→0⁻ 1

|x| =∞ eli lim

x→0 1

|x| =∞. Vastaavasti

limx→0

1

x^a =∞, kuna parillinen limx→0

1

x^a ei ole olemassa, kuna pariton.

Epäoleelliset raja-arvot äärettömyydessä: (x, f(x)→ ±∞) Tarkastellaan funktiota f(x) =x³.

Kun x→ ∞, niin f(x)→ ∞ eli lim

x→∞x³ =∞. Vastaavasti lim

x→−∞x³ =−∞. Samalla tavalla saadaan lim

x→−∞−x³ =∞ ja lim

x→−∞x⁴ =∞. Esimerkki 13.4. Laske

a) lim

x→∞

(1 +x)²

x³ b) lim

x→0

(x²+ 1)² x⁶

Symbolia∞ koskevia laskusääntöjä:

a) ∞+∞=∞, (−∞) + (−∞) =−∞

b) ∞ ±r =∞, −∞ ±r=−∞, kunr ∈R

c) ∞ · ∞=∞, ∞ ·(−∞) =−∞, (−∞)·(−∞) =∞ d) ∞ ·r =

(∞, jos r >0

−∞, jos r <0

e) ∞ r =

(∞, jos r >0

−∞, jos r <0 f) r

∞ = r

−∞ = 0, kun r∈R g) ∞^r =∞, kun r >0

∞^r = 0, kunr <0.

Seuraavat muodot eivät ole määriteltyjä:

∞ − ∞, 0· ∞, ∞

∞, 0 0, ∞

0 , ∞⁰.

13.2 Raja-arvon määräämisestä 13.2.1 Polynomifunktio

A) Olkoon P(x)polynomi. Lauseen 13.2 nojalla lim

x→aP(x) = P(a). B) Määrättäessä raja-arvoja lim

x→∞P(x) ja lim

x→−∞P(x), voidaan ottaa tekijäksi korkein esiintyvän muuttujan x potenssi ja päätellä sen jälkeen raja-arvo.

Toisaalta raja-arvot lim

x→∞P(x)ja lim

x→−∞P(x)määräytyvät korkeinta muuttujan x potenssia sisältävän termin perusteella.

Esimerkki 13.5. Laske a) lim

x→3(x⁴+ 4x³+ 6x²+ 4x+ 1) b) lim

x→∞(x⁴−2x³−3x²−4x)

13.2.2 Rationaalifunktio

Rationaalifunktio on muotoa P(x) Q(x). Laskettava lim

x→a P(x)

Q(x), missä a∈R.

A) Jos Q(a)6= 0, niin lim

x→a P(x)

Q(x) = ^P_Q(a)^(a) (vrt. lause 13.2).

Esimerkki 13.6.

x→1lim

x³−4x+ 3 x⁵+ 7x−2 B) Jos sekä P(a) = 0 että Q(a) = 0, eli lim

x→a P(x)

Q(x) = ^P_Q(a)^(a) = ⁰₀, niin osoittajassa ja nimittäjässä on tekijänä termi x−a, joka supistetaan pois ja lasketaan sitten raja-arvo kuten edellä.

Esimerkki 13.7.

x→3lim

x²−2x−3 x² −9 C) Jos P(a)6= 0, mutta Q(a) = 0, eli lim

x→a P(x)

Q(x) = ^P(a)₀ , mikä ei ole määritelty, pitää tutkia erikseen toispuoleiset raja-arvot lim

x→a⁻ P(x)

Q(x) ja lim

x→a⁺ P(x)

Q(x) . Jos kyseiset raja-arvot ovat yhtä suuret, niin lim

x→a P(x)

Q(x) on olemassa ja se on joko∞ tai −∞

(riippuen osoittajan ja nimittäjän merkistä).

Esimerkki 13.8. Tutki raja-arvoja lim

x→0 1

x² ja lim

x→5 1 x−5. Esimerkki 13.9.

a) lim

x→−2

x

(x+ 2)² b) lim

x→−2

x x+ 2 Laskettava lim

x→∞

P(x)

Q(x) tai lim

x→−∞

P(x) Q(x). D) Määrättäessä raja-arvoja lim

x→∞

P(x)

Q(x) ja lim

x→−∞

P(x)

Q(x) voidaan supistaa nimittä- jässä esiintyvällä korkeimmalla muuttujanx potenssilla.

Toisaalta raja-arvot lim

x→∞

P(x)

Q(x) ja lim

x→−∞

P(x)

Q(x) määräytyvät osoittajan ja nimittäjän korkeimman asteen termien perusteella.

Esimerkki 13.10. a) lim

x→∞

x−2

x² + 3 b) lim

x→∞

4x²+ 3x+ 2

2x²+ 1 c) lim

x→−∞

x⁵+ 2 x²+ 3x+ 1

13.2.3 Neliöjuurilausekkeet raja-arvotehtävissä Jos f(x) sisältää neliöjuurilausekkeen niin lim

x→af(x) = f(a), jos f(a) ei ole epämääräinen.

Monissa tapauksissa on apua laventamisesta (p

x+p y)(p

x−p

y) =x−y

Esimerkki 13.11. a) lim

x→0

√

2−x+x² b) lim

x→−∞(p

1−x+p

x²+ 2) c) lim

x→∞

px+ 1−p x

d) lim

x→0

√x+ 1−1 x

Termejä voidaan kuljettaa neliöjuuren sisään tai ulos sieltä seuraavasti:

- √

x² =|x|=

(x, kunx≥0

−x, kunx <0.

- Neliöjuuren alle ei saa viedä negatiivista.

Esimerkki 13.12. a) lim

x→∞

√x−1

2x² b) lim

x→−∞

√x²−1

2x c) lim

x→−∞

√ x

x² +x+ 1

13.2.4 Potenssilausekkeet raja-arvotehtävissä

x→∞lim a^x =











0, kun 0≤a <1

∞, kun a >1

ei ole olemassa, kuna <0 Huomautus.

x→∞lim

1 + 1 x

x

=e.

14 Funktion jatkuvuus

14.1 Jatkuvuuden määritelmä

Funktio f(x) onjatkuva kohdassa x0 ∈Df, jos lim

x→x⁻₀

f(x) = lim

x→x⁺₀

f(x) = f(x0).

Funktio f(x)on jatkuva välillä ]a, b[, jos se on jatkuva välin ]a, b[ jokaisessa pis- teessä.

Funktio f(x) on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa määrittelyjoukkonsa pis- teessä.

Geometrisesti:

f(x) on jatkuva välillä]a, b[, jos funktion f kuvaaja välillä ]a, b[ ei katkea.

Esimerkkejä eri tilanteista:

1) Funktio f(x) on jatkuva välillä]a, b[

2) Funktio f(x) ei ole jatkuva kohdassa x=x₀, sillä lim

x→x0

f(x)6=f(x₀)

3) Funktio f(x) ei ole jatkuva kohdassa x₀, sillä lim

x→x0

f(x) ei ole olemassa, koska lim

x→x⁺₀

f(x)6= lim

x→x⁻₀

f(x)

Funktion jatkuvuuden tutkiminen kohdassa x=x₀: (i) Onko f(x)määritelty kohdassa x=x0?

(Jos ei ole ⇒ ei jatkuva; katso nimittäjä, √ ja log) (ii) Onko lim

x→x0

f(x) olemassa?

lim

x→x⁻₀

f(x) = lim

x→x⁺₀

f(x) ?

!

(iii) Onko lim

x→x0

f(x) =f(x0)?

Määrittelyjoukossaan jatkuvia funktioita:

• polynomi- ja rationaalifunktiot

• eksponentti- ja logaritmifunktiot

• trigonometriset funktiot (sin, cos, tan ja cot)

Esimerkki 14.1. Tutki onko funktio f(x) =

(x, x <0

x²+x, x≥0 jatkuva.

14.2 Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia

Lause 14.1. Jos funktiot f ja g ovat jatkuvia kohdassa x = x₀, niin myös funktiot f +g, f −g, f ·g ja c·f (c ∈ R vakio) ovat jatkuvia kohdassa x=x₀ . Lisäksi funktio ^f_g on jatkuva kohdassa x₀, jos g(x₀)6= 0.

Siis funktioyhdistelmät jatkuvia ⇔ jokainen funktio on yksinään jatkuva.

Esimerkki 14.2. Määrää a siten, että funktio f(x) =

(x−1, x≥0

−x² +a, x <0 on jat- kuva.

Lause 14.2. Olkoon funktio g(x) jatkuva kohdassa x₀ ja funktio f(x) jatkuva kohdassa g(x₀). Tällöin yhdistetty funktio (f ◦g)(x) on jatkuva kohdassa x₀.

Suljetulla välillä jatkuva funktio:

Sanotaan, että funktio f(x) on jatkuva suljetulla välillä [a, b], jos se on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja lisäksi lim

x→a⁺f(x) = f(a) ja lim

x→b⁻f(x) =f(b). Esimerkkejä eri tilanteista:

1) Funktio f(x) on jatkuva välillä[a, b]

2) Funktiof(x)on jatkuva välillä ]a, b[muttei välillä[a, b], sillä lim

x→b⁻f(x)6=

f(b). Kuitenkin f(x)on jatkuva välillä [a, b[.

Lause 14.3. Suljetulla välillä[a, b]jatkuva funktio f(x) saavuttaa suurimmanja pienimmän arvonsa tällä välillä.

Siis voidaan löytää sellaiset x₁, x₂ ∈ [a, b], että f(x₁) ≤ f(x) ≤ f(x₂) aina, kun x∈[a, b].

Lísäksi jokaista lukua d∈[f(x₁), f(x₂)]kohti on olemassa ainakin yksi sellainen c∈[a, b], ettäf(c) = d.

Geometrisesti:

f(x₁)≤f(x)≤f(x₂)aina, kun x∈[a, b]. minf(x) =f(x₁) ja maxf(x) =f(x₂). d∈[f(x₁), f(x₂)] ja d=f(c₁) =f(c₂).

Esimerkki 14.3. Funktio f(x) = x²−3x+ 2on jatkuva suljetulla välillä [0,3]. Se saavuttaa pienimmän arvonsa kohdassa x= ³₂, jolloin f(³₂) =−¹₄, ja suurimman arvonsa kohdissa x= 0ja x= 3. Tällöinf(0) =f(3) = 2. (Maksimin ja minimin etsimisestä myöhemmin!)

Esimerkki 14.4. Funktio f(x) =

(x, x <0

−x, x >0 on epäjatkuva suljetulla välillä [−1,1], sillä f(x) ei ole jatkuva kohdassa x = 0, koska f(x) ei ole määritelty kohdassa x= 0.

Nyt funktiolla f on pienin arvo välillä [−1,1] kohdissa x =−1 ja x = 1, jolloin f(−1) =f(1) =−1.

Suurinta arvoa funktiollaf(x)ei ole välillä [−1,1]. Funktiollaf(x) on kuitenkin ylärajana arvo 0 välillä [−1,1].

Esimerkki 14.5. Funktio f(x) = ¹_x on rationaalifunktiona jatkuva välillä ]0,3[. Nyt lim

x→3⁻f(x) = ¹₃ =f(3) ja siten f(x) on jatkuva välillä ]0,3]. Funktio f ei ole määritelty kohdassa x = 0, joten se ei ole jatkuva kohdassa x = 0. Funktiolla f on pienin arvo välillä]0,3]kohdassax= 3 ja f(3) = ¹₃. Nyt funktiolla f(x)ei ole suurinta arvoa välillä ]0,3], sillä lim

x→0⁺f(x) = lim

x→0⁺ 1 x =∞.

Seuraus 14.4 (Bolzanon lause). Olkoon f suljetulla välillä [a, b] jatkuva funktio ja oletetaan, että f(a) ja f(b) ovat erimerkkiset. Tällöin on olemassa sellainen c ∈]a, b[, että f(c) = 0. (Jatkuva funktio ei voi vaihtaa merkkiä saamatta arvoa 0.)

Geometrisesti:

Esimerkki 14.6. Osoita, että yhtälöllä20x³−3x²−40x+6 = 0on kolme erisuurta reaalijuurta (nollakohtaa, ratkaisua).