Matematiikan yleisopintojakso (MYOJ)
Syksy 2001
Tiivistelmä
Tämä luentorunko on laadittu Joensuun yliopistossa luennoitavalle kurssille Matematiikan yleisopintojakso. Kurssi on tarkoitettu kaikille asi- asta kiinnostuneille, mutta erityisesti niille matematiikan sivuaineopiske- lijoille, jotka ovat suorittaneet vain lukion yleisen oppimäärän tai vastaa- van. Kurssilla kertaamme ja täydennämme matematiikan perusvalmiuk- sia siten, että opiskelija voisi kurssin jälkeen aloittaa approbatur-tasoisten matematiikan kurssien opiskelun. Lähdeteoksina tullaan luultavasti käyt- tämään kirjoja [1], [2] ja [3].
Luentorungossa asiat esitetään yleensä melko tiiviissä muodossa. Luen- noilla vaikeita paikkoja käydään läpi tarkemmin ja ymmärrystä pyritään vahvistamaan esimerkein. Lisää esimerkkejä tulee myös viikoittaisissa las- kuharjoituksissa.
Koska kyseessä on luentorungon ensimmäinen koepainos, on virheiden olemassaolo valitettavasti enemmän kuin todennäköistä.
1 Perustietojen kertausta ja syventämistä
Joukko-oppia
Joukko muodostuu sen jäsenistä, eli alkioista, jotka voivat olla esimerkiksi lu- kuja, esineitä tai vaikkapa muita joukkoja. Joukko A on hyvin määritelty, jos jokaiselle alkiollexon voimassa joko (i)xkuuluu joukkoonA, merkitäänx∈A, tai (ii) xei kuulu joukkoonA, merkitäänx6∈A.
Tyhjä joukko, jota merkitään symbolilla ∅, ei sisällä yhtään alkiota. Jos kaikki joukonAalkiot ovat myös joukonB alkioita, niin joukkoAon joukonB osajoukko, merkitäänA⊂B.
Joukkojen A ja B välille määritellään seuraavat laskuoperaatiot: Yhdiste A∪B(vrt. yhteenlasku), erotusA\BtaiA−B(vrt. vähennyslasku) ja leikkaus A∩B. Joukkojen suhteita havainnollistetaan usein nk. Venn-diagrammeilla.
Esimerkki 1.1 OlkootA={−2,5,11}jaB={−3,1,5,7}. Määrää joukkojen AjaB yhdiste, leikkaus, sekä erotukset A\B jaB\A.
Peruslukujoukkoja ovat luonnolliset luvut N = {1,2,3, . . .}, kokonaisluvut Z = {. . . ,−2,−1,0,1,2, . . .} ja rationaaliluvut Q = {mn | m ∈ Z ja n ∈ N}. Reaalilukujen joukko R sisältää rationaalilukujen lisäksi irrationaaliluvut. Irra- tionaalilukuja ei voida esittää murtolukumuodossam/n. Joukko-opillisesti irra- tionaalilukujen joukko on R\Q. Reaalilukujoukkoa yleisempi on kompleksilu- kujen joukko C={z=a+ib|a, b∈R}, missäion nk. imaginaariyksikkö, joka toteuttaa yhtälöni2=−1.
1
Määritelmistä seuraa heti, että lukujoukkojen välillä on voimassa inkluusiot
N ( Z ( Q ( R ( C.
Esimerkki 1.2 Irrationaalilukujen joukko on siisR\Q. Mitä onQ\R?
Polynomit ja rationaalifunktiot
Tällä kurssilla tarkoitamme polynomilla summalauseketta, jonka yhteenlasket- tavat ovat reaaliluvuilla kerrottuja muuttujan potensseja. Toisin sanoen, poly- nomit ovat muotoa
P(x) =anxn+an−1xn−1+· · ·+a0, (1.1) missä n ∈ N ja a0, . . . , an ∈ R. Luku x ∈ R on muuttuja, joten polynomia P voidaan kutsua muuttujan x funktioksi. Luku n on polynomin P asteluku, merkitäändeg(P) =n.
Esimerkki 1.3 Esitä seuraavat polynomit muodossa (1.1).
(a) −5x3+ 12x2−6x+ 1−(2x2−6x+ 7) (b) (2x2−2)(x3+x2+ 5)
Kun polynomi jaetaan tekijöihin, se esitetään kahden tai useamman polyno- min tulona.
Esimerkki 1.4 Jaa tekijöihin seuraavat polynomit.
(a) 2x4+ 6x3+ 10x2 (b) 9x4−49
Rationaalilauseke on kahden polynomin osamäärä. Toisin sanoen, josR on rationaalilauseke, niin se on muotoa
R(x) = P(x) Q(x),
missäP jaQovat polynomeja. LausekeRon (supistetussa muodossaan) määri- telty kaikillax∈R, paitsi polynominQnollakohdissa. Koska polynomitP jaQ ovat kaikkialla jatkuvia funktioita, on myös R jatkuva funktio kaikkialla paitsi polynominQnollakohdissa, joissa se ei ole edes määritelty. Rationaalifunktion R asteluku ondeg(R) = max{deg(P),deg(Q)}.
Esimerkki 1.5 Missä pisteissäx∈Ron funktioR(x) =x6+2x2x−13−5xmääritelty?
Esimerkki 1.6 Miksi luvulla 0 ei saa jakaa?
Esimerkki 1.7 Jakamalla tekijöihin, sievennä lauseke x2x+x·xx−12−1.
Edellinen esimerkki antaa toivoa siitä, että jaettaessa polynomia toisella po- lynomilla jako voi joskus mennä tasan.
Esimerkki 1.8 Polynomien jakokulmaa käyttäen, laske x3−3xx−12+2.
Polynomien nollakohtia ja polynomeilla jakamista tarkastellaan lisää myö- hemmin tällä kurssilla.
2
Viitteet
[1] Finney R., Weir M. ja Giordano F., Thomas' calculus (Early transcenden- tals), 10. painos, Addison Wesley, 2001.
[2] Häkkinen K., Matematiikan propedeuttinen kurssi, Jyväskylän yliopiston ta- loustieteellisen osaston julkaisu n:o 112, 1998.
[3] Rucker R., Mieli ja äärettömyys: Äärettömyyden tiedettä ja losoaa, Art- house, 1998.
