3 Tasasähkökatkojat
4.1.1 Pienimmän neliösumman menetelmä
4.1.1 Pienimmän neliösumman menetelmä
Pienimmän neliösumman (PNS) menetelmä on yleiskäyttöinen menetelmä mate
maattisten mallien parametrien estimointiin. Menetelmässä mallille etsitään para
metrit siten, että estimointivirheen neliösumma on pienin mahdollinen. Tässä työs
sä estimoidaan mallirakennetta, joka on lineaarinen parametriensa suhteen. Tällöin estimaatti voidaan ratkaista analyyttisesti. Pienimmän neliösumman estimaatti voi
daan myös laskea rekursiivisesti, mikä mahdollistaa sen käytön prosessin toiminnan aikana. [25]
PNS-menetelmässä estimoidaan mallia muotoa
y{i) = + 02(¿)02 + ■ • • 4>n{i)0n = Ф1 0,
jossa y on selitettävä ja vektori ф1 = [</>!, ф2, ... , фп] selittävä suure. Vektori
в
= [<9i, #2, • • • , Уп]Г on parametrivektori, jota ei tunneta. Suureista ф ja у saadaan N mittausta, joiden perusteella voidaan laskea estimointivirheen neliösumma V(22)
1 "
V(e,N) = -^e(i)2 2^2(У^-ФТ(^в)2- (23)
i=l t=l
Yhtälön (23) minimoiva parametrivektori в saadaan yhtälöstä в = (ФГФ)-1ФТ¥,
edellyttäen, että (Ф1 Ф) on kääntyvä. Matriisit Ф ja Y on määritelty
(24)
Y(A0=[t/(l) 2/(2) ... y(N)]T Г</>т(1)1
ФТ(2)
Ф(¥) = (25)
ФТ(Ю
Pienimmän neliösumman estimaatti voidaan laskea myös rekursiivisesti yhtälöillä
P(A00(7V + 1)
7(iV) =
</)r(iV + l)p(iv)(/)(yv + 1) + Л
P{N + 1) = {l-1(N)(pT(N + l))P(N). (28)
Estimaatti в lasketaan kuten yhtälössä (26). Jos unohduskerroin Л on 1, yhtälö (28) palautuu yhtälöksi (26). [25]
4.1.2 Askelvastekoe
Askelvastekoe on menetelmä, jolla voidaan selvittää yksinkertaisen mallin paramet
rit syöttämällä prosessiin askelherätteen ja tarkastelemalla systeemin vastetta. Ko
keessa ohjaussuuretta muutetaan askelmaisesti uuteen arvoon ja vasteen arvot tal
lennetaan. Kerätty data skaalataan siten, että heräte vastaa yksikköaskelta. Tämän jälkeen dataan sovitetaan jokin siirtofunktiomalli. [26]
Useita prosesseja voidaan mallintaa ensimmäisen asteen siirtofunktiolla ja viiveellä
Kp e~sLd, (29)
P(s) =
1 + sT Р(Л0</>(А + 1) 7(A) =
4>T(N + l)P(A)ø(A + 1) + 1
è(N + 1) = à{N) + 7(A) [y(N + 1) - </>T(A + l)ä(A))
P(A + !)=(/- 7(A)</)T(A + 1)) P(A), (26) jolloin jokaisella kierroksella on päivitettävä estimaatin G lisäksi painokerroin 7 ja
matriisi P. Jos alkuarvoja ei tunneta, voidaan valita 0(0) = 0 ja P(0) = ai, jossa a on jokin suuri luku. [25]
Aiemmassa tarkastelussa mallin (22) parametrit on oletettu vakioiksi. Usein pa
rametrit kuitenkin muuttuvat hitaasti ajan funktiona, jolloin tavallista PNS-esti- maattoria ei voida käyttää. Menetelmää voidaan kuitenkin muokata niin, että es- timaattori ottaa aikavariantit parametrit huomioon. Yksi mahdollisuus on käyttää eksponentiaalista unohdusta, jossa uusia mittauksia painotetaan vanhoja enemmän.
Minimoitava neliösumma on nyt
= 5 ¿ - Фтт2,
(27)
i=l
jossa unohduskerroin A on välillä 0 < A < 1. Uusimman mittauksen paino on 1, ja vanhempien mittausten paino pienenee eksponentiaalisesti. Unohduskertoimen kanssa rekursiivisiksi PNS-vhtälöiksi saadaan
’—1I
/
Kp
0,63Kp
к
о
Zi
jossa Kp on järjestelmän staattinen vahvistus, T on aikavakio ja Ld on viive. Kuvas
sa 19 on esitetty, miten tämän mallin parametrit voidaan arvioida vasteesta. Jär
jestelmän staattinen vahvistus Kp saadaan laskemalla vasteen alku- ja loppuarvojen erotus. Jos heräte ei ole yksikköaskel, vaste täytyy kuitenkin skaalata ennen vah
vistuksen määrittämistä. Näennäinen viive Ld määräytyy vasteen derivaatan mak- simikohtaan piirretyn tangentin ja aika-akselin leikkauspisteestä. Keskimääräinen viipymäaika Tar — T + Ld saadaan pisteestä, jossa vaste on saavuttanut 63 % lop- puarvostaan. Tästä voidaan laskea prosessin aikavakio T. [26]
L+T 0 L
Aika
Kuva 19: Prosessin parametrien määrittäminen askelvasteesta
Monia järjestelmiä voidaan approksimoida yhtälöllä (29) riittävällä tarkkuudella.
Jos prosessi on kuitenkin puhdas integraattori, vaste ei tasaannu mihinkään lop
pu arvo on, eikä sitä voida mallintaa ensimmäisen asteen siirtofunktiona. Tällaiselle järjestelmälle voidaan kuitenkin käyttää mallia
P(s) = —e-sLd (30)
■S
jossa Kv on vahvistus. Kuvassa 19 on esitetty myös tällaisen mallin parametrien arviointi. Viive Ld määräytyy samalla tavalla kuin ensimmäisen asteen mallia käy
tettäessä. Vahvistus Kv on vasteen derivaatan maksimikohtaan piirretyn tangentin kulmakerroin, eli vasteen derivaatan maksimiarvo. |26]
Askelherätteen amplitudin pitäisi olla riittävän suuri, jotta kohinan vaikutus olisi mahdollisimman pieni. Toisaalta moni järjestelmä on todellisuudessa epälineaari
nen, jolle on johdettu lineaarinen malli toimintapisteessä. Liian suurella herätteellä
Vasteу
systeemin dynamiikka voi olla epälineaarista, eikä lineaarisen siirtofunktion sovit
taminen vasteeseen enää toimi. Tavallisesti askelvastekoetta on toistettava useita kertoja, jotta tulokset olisivat riittävän tarkkoja. [26]
4.2 PID-säädin
PID-säädin on todennäköisesti yleisin teollisuudessa käytetty säädin. Se esitetään tavallisesti muodossa
u(t) = K ^e(t) + Y.J0 e(T)d de(t)
(31)
T + Td dt
jossa e — r — y on prosessin vasteen y poikkeama asetusarvosta r ja и on ohjaussig
naali. PID-säädin rakentuu kolmesta osasta. P-osa (Proportional) on verrannollinen virhetermiin, I-osa (Integral) on verrannollinen virheen integraaliin ja D-osa (De
rivative) on verrannollinen virheen derivaattaan. Laplace-tasossa säätimen yhtälö on [26|
C(s) = k(i + 1 + Tds^j TiS (32)
PID-säätimen jokaisella termillä on oma tehtävänsä. P-termin avulla säädin reagoi asetusarvon muutoksiin ja kuormitushäiriöihin. I-termin pääasiallinen tarkoitus on poistaa pysyvän tilan virhe. Derivointia käyttämällä voidaan parantaa suljetun jär
jestelmän stabiiliutta ja nopeutta. D-termi on kuitenkin herkkä mittauskohinalle ja tarvitsee siksi yleensä jonkinlaista suodatusta. Usein D-termi jätetään pois, jolloin saadaan Pl-säädin. [26]
PID-säätimestä saadaan helposti yksinkertainen kahden vapausasteen säädin pai
nottamalla asetusarvoa, jolloin säätimestä tulee
ded(t) eO)dr + Td—
f
Jo
1 (33)
u(t) = K ep(t) + — Ti jossa verrannollisen osan virhe on
(34)
ep = br - у
ja derivoivan osan virhe
(35)
ed = cr -y.
Tässä 6 ja c ovat vapaasti valittavia painokertoimia. Integroivan osan virhetermiä ei painoteta, jotta vasteeseen ei syntyisi pysyvää poikkeamaa. Painotukset vaikuttavat
Kuva 20: PID-säätimen anti-windup -toteutus [26]
Windup-ilmiön kompensointiin voidaan käyttää kuvassa 20 esiintyvää rakennetta.
Siinä integraattorin sisääntuloon lisätään todellisen ohjaussignaalin и ja säätimen antaman ohjaussignaalin v erotus painotettuna termillä l/Tt. Tällä keinolla este
tään integraattoritermin kasvu, kun todellinen ohjaussignaali eroaa halutusta. Kun ohjaus ei ole saturoitunut, I-termi toimii normaalisti. [26]
PI-säätimen viritysmenetelmät 4.3
4.3.1 AMIGO
PID-säätimille on kehitetty useita yksinkertaisia viritysmenetelmiä, joissa säätimen parametrit lasketaan joidenkin systeemin dynamiikkaa kuvaavien ominaisuuksien perusteella. Yleensä prosessia mallinnetaan ensimmäisen kertaluvun mallilla, jonka parametrit saadaan esimerkiksi askelvastekokeen avulla. Tunnetuimpia menetelmiä ovat Zieglerin ja Nicholsin kaksi menetelmää sekä näiden lukuisat muunnelmat. Ne pohjautuvat kuitenkin enemmän tai vähemmän heuristiseen päättelyyn, eikä niiden avulla yleensä saada kovin hyvää viritystä. Menetelmien etuna kuitenkin on, että niitä on helppo käyttää, eikä virittäminen vaadi syvällistä säätötekniikan tuntemus
ta. [26]
säätimen vasteeseen, kun asetusarvo muuttuu. Säädin kuitenkin reagoi kuormitus- ja mittaushäiriöihin samalla tavalla, painotuskertoimista riippumatta. PID-säätimen kanssa voi tietysti käyttää myös muunlaista myötäkytkentärakennetta. [26]
PID-säätimen integraalitermin vuoksi säädintä suunnitellessa on otettava huomioon windup-ilmiö, joka johtuu toimilaitteiden saturaatiosta. Jos säätimen antama ohjaus on suurempi kuin mitä toimilaitteelle on mahdollista, ohjaus saturoituu toimilait
teen maksimiarvoon. Jos vaste ei tällöin saavuta aset usar voaan, säätimen I-termi jatkaa virhesignaalin integroimista, ja virheen integraali voi kasvaa hyvin suureksi.
Tällöin myös I-termin pieneneminen kestää kauan, eikä säädin kykene reagoimaan asetusarvon muutoksiin lainkaan. [26]
KTds
<
sh r:K
+1<M)
I
У1
-
У1-e
-H|>;
AMIGO (Approximate M constrained Integral Gain Optimization) on samaan toi
mintaperiaatteeseen perustuva viritysmenetelmä. Se pyrkii säilyttämään muiden vastaavien menetelmien helppouden, mutta viritysparametrien laskentakaavat poh
jautuvat niitä vankemmin säätöteoriaan. AMIGO-menetelmässä PID-säätimen inte- graalitermin vahvistus viritetään suureksi, jotta kuormitushäiriöiden vaikutus vas
teeseen olisi mahdollisimman vähäinen. Samalla kuitenkin asetetaan reunaehto ta
kaisinkytketyn järjestelmän robustisuudelle. Menetelmän kaavat on saatu virittä
mällä suuri joukko esimerkkiprosesseja annettujen kriteereiden mukaan ja etsimällä korrelaatioita säädinten ja prosessien parametrien välillä. (26]
AMIGO-menetelmässä prosessia mallinnetaan yhtälössä (29) esitetyllä ensimmäisen asteen viiveellisellä mallilla. Jos prosessi on integroiva, sitä mallinnetaan yhtälöl
lä (30). Mallien parametrit voidaan selvittää esimerkiksi kohdassa 4.1.2 esitellyn askelvastekokeen perusteella. Ensimmäisen asteen mallia käytettäessä PI-säätimen parametreiksi saadaan [26]
°'1= + (o,35-
p V
LdT T
K = (Ld + T)2J KpLd
l3LdT2 T2 + l2LdT +7 L2d
K
Ti = 0,35Ld + (36)
Integroiville prosesseille kaavat yksinkertaistuvat muotoon K = 0,35
Ki)Td
Ti = 13,4Ld (37)