Paalun jäykkyyden arviointi siirtymämenetelmällä

Paalun ja maan yhteisjäykkyyttä arvioitiin tässä työssä lineaarisin ja epälineaarisin menetel-min. Seuraavaksi esitetään menetelmä paalun jäykkyyden arviointiin siten, kuin sitä sovel-lettiin tässä työssä Exceliin luodussa Paalu-sovelluksessa. Tässä osiossa sovelletaan pääasi-assa lähteissä (38), (41) ja (42) esitettyjä menetelmiä. Paalun jäykkyyden arvioinnilla on seuraavat vaiheet:

1. Paalun materiaalin, mittojen, kuormitusten ja maaperätietojen määritys

2. Paalun jako neljäänkymmeneen elementtiin ja maajousien asettaminen solmuihin 3. Jokaiselle elementille kootaan:

a. ensimmäisen kertaluvun jäykkyysmatriisi b. epälineaarinen geometrinen jäykkyysmatriisi

4. Kootaan kuormitusvektori ja rakenteen globaali jäykkyysmatriisi

5. Lasketaan solmujen siirtymät ja elementtien voimasuureet elastisella toisen kertalu-vun analyysillä tasokehän siirtymämenetelmällä

6. Lasketaan elementtikohtaisesti jokaisen poikkileikkauksen jännitysjakauma normaa-livoimasta ja momentista

7. Lasketaan edellisen kohdan perusteella rakenteen poikkileikkauksien jäykkyystermit EA, EB ja EI

8. Lasketaan maajousien jäykkyys uusilla siirtymillä

9. Mikäli jäykkyystermien ja maajousien jäykkyyksien muutos jää alle määritettyjen raja-arvojen, laskenta on valmis, muussa tapauksessa palataan kohtaan 3.

Kohdissa 1 ja 2 hyödynnetään tässä työssä aiemmin käsiteltyjä menetelmiä maajousien mää-rittämiseksi. Kohdan 3a matriisi saadaan kuvan 29 vasemmanpuoleisesta osiosta ja kohdan 3b matriisi oikeanpuoleisesta osiosta. Ensimmäisellä kierroksella geometrisessa jäykkyys-matriisissa normaalivoima on nolla ja seuraavilla kierroksilla se saadaan edellisen kierroksen kohdasta 5. Elementin jäykkyysmatriisi on näiden kahden matriisin summa.

-4

Kuva 29. Vasemmalla elementin ensimmäisen kertaluvun jäykkyysmatriisi (38 s. 436) ja oikealla elementin geometrinen jäykkyysmatriisi (41 s. 3).

Kohdassa 4 kootaan kuormitusvektori, joka sisältää mahdolliset maajousien jäykkyyden muutoksista aiheutuvat korvausvoimat sekä paalun yläpäähän asetettava vaakasuuntainen pakkosiirtymä, normaalivoima, vaakavoima tai momentti. Rakenteen globaali jäykkyysmatriisi kootaan yksittäisten elementtien jäykkyysmatriiseista, maajousien jäykkyystermeistä ja paalun päiden reunaehdoista. Kohdassa 5 ratkaistaan rakenteen solmupistesiirtymät tavanomaiseen tapaan gaussin eliminaatiolla, tässä Exceliin sisäänkirjoitettujen funktioiden avulla.

Kohdassa 6 lasketaan elementtien poikkileikkauksien jännitysjakaumat normaalivoimasta ja momentista. Laskenta suoritetaan jakamalla poikkileikkaus kerroksiin, joista jokainen toimii yksiaksiaalisesti vedettynä tai puristettuna. Pyöreä paaluputki ja täyttöbetoni jaetaan molemmat kahteenkymmeneen kerrokseen, ja raudoituksen sijainti määritetään betonipeitteen ja raudoitemäärän perusteella. Jokaiselle materiaalille voidaan antaa oma jännitys-muodonmuutosyhteys. Paaluputken teräksen ja paaluun sijoitettavan raudoituksen jännitys-muodonmuutosyhteydet voivat olla lineaarisia tai bi-lineaarisia. Vedetylle betonille voidaan epälineaarisessa laskennassa määrittää vetolujuus, jonka ylittyessä käytetään joko lineaarisesti laskevaa suoraa tai vertikaalisesti nollajännitysakselille palaavaa suoraa.

Puristuksessa betonille käytetään epälineaarisessa analyysissä eurokoodin mukaista rakenneanalyysiin tarkoitettua jännitys-muodonmuutosyhteyttä (kuvan 30 vasen kuvaaja), puhtaasti lineaarista jännitys-muodonmuutosyhteyttä tai mitoitukseen tarkoitettua eurokoodin mukaista jännitys-muodonmuutosyhteyttä (kuvan 30 oikea kuvaaja). Paalun betoniin sulkeutumisvaikutuksesta aiheutuvan kolmiaksiaalisen jännitystilan vaikutusta ei huomioida laskennassa.

Kuva 30. Vasemmalla: rakenneanalyysissä käytettävä jännitys-muodonmuutosyhteys (13 s. 35) , oikealla: ra-kennemitoituksessa käytettävät jännitys-muodonmuutosyhteydet (13 s. 36).

Poikkileikkauksen jännitysanalyysi suoritetaan iteratiivisesti. Poikkileikkauksen momentti ja normaalivoima saadaan edellisestä vaiheesta 5. Muuttujiksi otetaan poikkileikkauksen ylä- ja alareunojen venymät. Ensimmäisellä kierroksella venymät lasketaan halkeamattoman poikkileikkauksen mukaan tunnettujen normaalivoiman ja taivutusmomentin perusteella.

Kerrosten venymien perusteella lasketaan jokaisen kerroksen jännitykset niille määritettyjen jännitys-muodonmuutosyhteyksien avulla. Jännityksien perusteella lasketaan kerroksien normaalivoimat, joista lasketaan koko poikkileikkauksen normaalivoima ja momentti vali-tun referenssipisteen suhteen. Nyt poikkileikkaukselle laskettu momentti ja normaalivoima eivät vastaa globaalista analyysistä saatuja normaalivoimaa ja momenttia, paitsi tietenkin, jos epälineaarisia vaikutuksia ei ole syntynyt. Tavoitteena on löytää sellainen venymätila, jossa toteutuu materiaalimallien reunaehdot sekä globaalin analyysin voimasuureresultantit N ja M poikkileikkauksen venymistä laskettuna. Tässä sovelletaan lähteessä (42) esitettyä poikkileikkauksen analysoinnin menetelmää. Lähteessä ei oteta kantaa venymien iteroinnin menetelmiin. Tässä työssä venymien iteroinnissa käytetään Newtonin-menetelmää kahdelle muuttujalle. Menetelmässä tarvittavat osittaisderivaatat lasketaan numeerisesti. Kuvassa 31 esitetään poikkileikkauksen kerroksellisen analyysimenetelmän perusajatus. Poikkileik-kaustarkastelu suoritetaan seuraavissa vaiheissa 6.1-6.15:

6. Poikkileikkauksen venymätilan etsintä:

6.1. Merkitään globaalista analyysista saatua normaalivoimaa ja momenttia 𝑁 ja 𝑀 6.2. Kirjoitetaan globaalien voimasuureresultanttien perusteella laskettu venymien

läh-töarvaus vektorimuodossa:

𝒙^(𝟎)= 𝑥₁⁽⁰⁾= 𝜀_𝑡𝑜𝑝

𝑥₂⁽⁰⁾= 𝜀_𝑏𝑜𝑡 (43)

6.3. Lasketaan jokaisen kerroksen ja osan venymät:

𝜀_{𝑡𝑜𝑡.𝑖} = 𝜀_𝑡𝑜𝑝+ (𝜀_𝑏𝑜𝑡− 𝜀_𝑡𝑜𝑝) ∗^𝑦𝑖

𝐻 (44)

missä 𝑦_𝑖 on kerroksen painopisteen etäisyys referenssipisteestä 𝐻 on poikkileikkauksen korkeus

6.4. Lasketaan kerroksien ja osien jännityksiä aiheuttavat venymät

𝜀_𝑒.𝑖 = 𝜀_{𝑡𝑜𝑡.𝑖}− 𝜀_{𝑐,𝑠,𝑇} (45)

missä 𝜀_{𝑐,𝑠,𝑇} on kerroksen tai osan viruma-, kutistuma- ja lämpömuodonmuutos 6.5. Lasketaan jokaisen kerroksen jännitys valittujen jännitys-muodonmuutosyhteyksien

perusteella. Esimerkiksi, jos on valittu, että betoni ei ota vastaan vetoa, ja edellisessä kohdassa on saatu betonikerrokselle positiivinen jännitystä aiheuttava venymä, on kerroksen jännitys nolla.

6.6. Lasketaan uudet voimasuureresultantit 𝑁(𝜀_𝑡𝑜𝑝, 𝜀_𝑏𝑜𝑡) ja 𝑀(𝜀_𝑡𝑜𝑝, 𝜀_𝑏𝑜𝑡) 𝑁(𝜀_𝑡𝑜𝑝, 𝜀_𝑏𝑜𝑡) = ∑^𝑚_𝑖=1𝜎_𝑐𝑖𝑏_𝑖ℎ_𝑖 + ∑^𝑛_𝑖=1𝜎_𝑠𝑖𝐴_𝑖 (46) 𝑀(𝜀_𝑡𝑜𝑝, 𝜀_𝑏𝑜𝑡) = ∑^𝑚_𝑖=1−𝜎_𝑐𝑖𝑏_𝑖ℎ_𝑖∗ (𝑦̅ − 𝑦_𝑐𝑖)+ ∑^𝑛_𝑖=1−𝜎_𝑠𝑖𝐴_𝑖(𝑦̅ − 𝑦_𝑠𝑖) (47)

Kuva 31. Poikkileikkauksen jako kerroksiin ja raudoiteosiin (42 s. 494).

6.7. Määritetään pieni venymän muutos ℎ = ∆𝜀

6.8. Lasketaan normaalivoiman ja momentin arvot venymien alkuarvauksen lähellä seu-raavasti:

𝑁(𝜀_𝑡𝑜𝑝+ ℎ, 𝜀_𝑏𝑜𝑡), 𝑁(𝜀_𝑡𝑜𝑝− ℎ, 𝜀_𝑏𝑜𝑡), 𝑁(𝜀_𝑡𝑜𝑝, 𝜀_𝑏𝑜𝑡+ ℎ), 𝑁(𝜀_𝑡𝑜𝑝, 𝜀_𝑏𝑜𝑡− ℎ) (48) 𝑀(𝜀_𝑡𝑜𝑝+ ℎ, 𝜀_𝑏𝑜𝑡), 𝑀(𝜀_𝑡𝑜𝑝− ℎ, 𝜀_𝑏𝑜𝑡), 𝑀(𝜀_𝑡𝑜𝑝, 𝜀_𝑏𝑜𝑡+ ℎ), 𝑀(𝜀_𝑡𝑜𝑝, 𝜀_𝑏𝑜𝑡− ℎ) (49) 6.9. Merkitään iteroitava funktio seuraavasti:

𝑭 = 𝑓₁(𝜀_𝑡𝑜𝑝, 𝜀_𝑏𝑜𝑡) = 𝑁(𝜀_𝑡𝑜𝑝, 𝜀_𝑏𝑜𝑡) − 𝑁

𝑓₂(𝜀_𝑡𝑜𝑝, 𝜀_𝑏𝑜𝑡) = 𝑀(𝜀_𝑡𝑜𝑝, 𝜀_𝑏𝑜𝑡) − 𝑀 (50) 6.10. Lasketaan funktion arvot alkuvenymien läheisyydessä

𝑓₁(𝜀_𝑡𝑜𝑝+ ℎ, 𝜀_𝑏𝑜𝑡) = 𝑁(𝜀_𝑡𝑜𝑝+ ℎ, 𝜀_𝑏𝑜𝑡) − 𝑁 (51) 𝑓₁(𝜀_𝑡𝑜𝑝− ℎ, 𝜀_𝑏𝑜𝑡) = 𝑁(𝜀_𝑡𝑜𝑝− ℎ, 𝜀_𝑏𝑜𝑡) − 𝑁

𝑓₁(𝜀_𝑡𝑜𝑝, 𝜀_𝑏𝑜𝑡+ ℎ) = 𝑁(𝜀_𝑡𝑜𝑝, 𝜀_𝑏𝑜𝑡+ ℎ) − 𝑁 𝑓₁(𝜀_𝑡𝑜𝑝, 𝜀_𝑏𝑜𝑡− ℎ) = 𝑁(𝜀_𝑡𝑜𝑝, 𝜀_𝑏𝑜𝑡− ℎ) − 𝑁

𝑓₂(𝜀_𝑡𝑜𝑝+ ℎ, 𝜀_𝑏𝑜𝑡) = 𝑀(𝜀_𝑡𝑜𝑝+ ℎ, 𝜀_𝑏𝑜𝑡) − 𝑀 𝑓₂(𝜀_𝑡𝑜𝑝− ℎ, 𝜀_𝑏𝑜𝑡) = 𝑀(𝜀_𝑡𝑜𝑝− ℎ, 𝜀_𝑏𝑜𝑡) − 𝑀 𝑓₂(𝜀_𝑡𝑜𝑝, 𝜀_𝑏𝑜𝑡+ ℎ) = 𝑀(𝜀_𝑡𝑜𝑝, 𝜀_𝑏𝑜𝑡+ ℎ) − 𝑀 𝑓₂(𝜀_𝑡𝑜𝑝, 𝜀_𝑏𝑜𝑡− ℎ) = 𝑀(𝜀_𝑡𝑜𝑝, 𝜀_𝑏𝑜𝑡− ℎ) − 𝑀

6.11. Lasketaan funktion osittaisderivaatat

𝜕𝑓1

6.12. Muodostetaan Jacobin matriisi

𝑱 = [

6.14. Lasketaan uudet venymät

𝒙^(𝟏)= 𝒙^(𝟎)+ 𝒚⁽⁰⁾ (55)

6.15. Palataan kohtaan 6.2 käyttäen kohdan 6.14 muodonmuutoksia tai lopetetaan laskenta.

Kun funktion 𝑭 arvo on riittävän lähellä nollaa, laskenta voidaan lopettaa. Tämän työn las-kelmissa käytettiin iteraatioiden määränä vakiomäärää. Yleensä iteraatiokierroksia tarvittiin alle 15, joten kyseinen määrä määritettiin oletusasetukseksi.

Iteroinnin jälkeen lasketaan poikkileikkauksen jäykkyystermit 𝐸𝐴, 𝐸𝐵 ja 𝐸𝐼 vaiheessa 7.

Termi 𝐵 tarkoittaa poikkileikkauksen staattista momenttia. Jokaiselle kerrokselle lasketaan jäykkyyskerroin lasketun jännityksen suhteena kimmokertoimen ja lasketun kimmoisen ve-nymän tuloon. Tällä huomioidaan, että voimasuureresultanttien N ja M sekä poikkileikkauk-sen uusien jäykkyystermien EA, EB ja EI avulla laskettujen pintojen venymien tulee vastata poikkileikkauksen analyysistä saatuja venymiä.

Vaiheessa 8 maajousien jäykkyyksien muutokset huomioidaan laskemalla jousien uudet jäykkyydet ja korvausvoimat.

Vaiheessa 9 poikkileikkausanalyysin perusteella lasketut jäykkyystermit, maajousien uudet jäykkyydet, paalun normaalivoima ja korvausvoimat syötetään nyt seuraavaan globaaliin analyysikierrokseen lähtötiedoksi.

Kun poikkileikkauksen jäykkyystermit, maajousien jäykkyys ja siirtymät eivät enää muutu, globaalin analyysin iteraatio voidaan lopettaa.

Toistaiseksi paalun alkukäyryys on toteutettu paalun solmujen siirrolla alkukäyryyden mu-kaisesti. Alkukäyryys määräytyy paalun kriittisen nurjahduspituuden mukaan (28 s. 108), joka on Excel-pohjassa laskettu heikoimman maakerroksen sivuvastuksen mukaan.