4.4 Usean paalun ja maan kitkan aiheuttama kiinnitysaste
4.4.2 Menetelmiä useasta paalusta aiheutuvan aksiaalisen kiinnitysasteen
Edellisistä yhtälöistä voidaan huomata, että kun maa tukee paalua koko paalun pituudelta, jäykällä liitoksella paalun yläpään vaakasiirtymä puolittuu nivelliseen liitokseen nähden.
Paalun elastiselle pituudelle voidaan vakio-alustaluvun tapauksessa kirjoittaa (43 s. 161):
𝐿∗ = √4 𝐸𝑘 𝑝 𝐼𝑝
𝑠𝑅 𝑑𝑝
4 [m] (59)
jossa 𝐸𝑝 on paalun kimmokerroin 𝐼𝑝 on paalun jäyhyysmomentti 𝑘𝑠𝑅 on alustaluku
𝑑𝑝 on paalun halkaisija
Yhtälöt 57 ja 58 edellyttävät, että paalun pituus on riittävästi paalun elastista pituutta suurempi, jolloin vaakajousivakio ei riipu paalun pituudesta, eikä paalun pituuden kasvattaminen tietystä raja-arvosta enää vaikuta paalun yläpään vaakasiirtymän ja vaakavoiman väliseen suhteeseen. Kokonaan maassa sijaitsevalla paalulla tämä toteutuu, kun todellisen pituuden ja elastisen pituuden suhde on kolme tai suurempi alustaluvun ollessa vakio (21 s. 79).
4.4.2 Menetelmiä useasta paalusta aiheutuvan aksiaalisen kiinnitysas-teen arvoimiseksi laatalle
Seuraava menetelmä on tarkoitettu paalulaatan aksiaalisen pakkovoiman alustavaan arvioin-tiin symmetriselle laatalle. Vain paalujen yläpään vaakasuuntaiset pistevoima-siirtymäyh-teydet 𝐾𝐻𝐻 otetaan mukaan.
Kun paaluja on laatassa tasajaoin ja laatta kutistuu, voidaan Rostasyn (21 s. 84) mukaan laattaan kehittyvää suurinta aksiaalista pakkovoimaa arvioida seuraavasti:
𝑁𝑝 = −𝜀0 𝐸𝑒 𝑑𝑐𝑏𝑝∗ 1
1+𝐸𝑒𝑑𝑐𝑏𝑝 𝑐𝑝𝑎𝑝
(60)
missä 𝑐𝑝 lasketaan paalumäärän perusteella:
𝑐𝑝 = 𝐾𝐻𝐻∗ 𝑛𝑛+1
2 (61)
ja 𝐸𝑒 on laatan keskimääräinen kimmokerroin
𝑎𝑝 on paalujen etäisyys toisistaan tarkastelusuunnassa 𝑑𝑐 on laatan korkeus
𝑏𝑝 on paalujen etäisyys toisistaan poikkisuunnassa n on peräkkäisten paalurivien määrä matkalla L/2 L on laatan pituus tarkastelusuunnassa
𝐾𝐻𝐻 on yhden paalun vaakajäykkyys
Kuvassa 36 havainnollistetaan Rostasyn menetelmän perusajatusta. Menetelmässä laatta yk-sinkertaistetaan kaistoihin, joiden leveys on yhtä suuri kuin poikittainen paaluväli. Laatan kutistuessa pakkovoima kasvaa paalu paalulta kumulatiivisesti kohti laatan symmetrialinjaa.
Jäykästä kiinnityksestä tai paalun upotussyvyyteen liittyvästä epäkeskeisyydestä aiheutuvat laatan momentit voidaan lähteen (21 s. 82) mukaan jättää huomiotta, sillä ne pienenevät laatan reunoilta kohti laatan keskipistettä, missä taas normaalivoima on suurimmillaan.
Kuva 36. Paalulaatan normaalivoima symmetriaa hyödyntäen (muokattu lähteestä (21 ss. 82-84)).
Laatan aksiaalinen pakkovoimakerroin voidaan nyt laskea seuraavasti:
𝑅𝑎𝑝 = 1
1+𝐸𝑒𝑑𝑐𝑏𝑝 𝑐𝑝𝑎𝑝
(62) 4.4.3 Menetelmiä laatan ja maan välisen kitkan huomioimiseen
Yksinkertaisin tapa arvioida kitkavoiman suuruutta tasapaksulla laatalla on olettaa laatan liukuvan koko pituudeltaan, jolloin laatan suurinta normaalivoimaa symmetrialinjalla voi-daan arvioida yhtälöllä: (21 s. 19)
𝑁𝑓 =𝐿
2∗ 𝜇𝑓∗ 𝜎𝑛 (63)
missä 𝐿 on laatan pituus
𝜇𝑓 on laatan ja alustan välinen kitkakerroin 𝜎𝑛 on pystysuuntainen normaalijännitys
Kitkan ja paalujen yhteisvaikutuksesta laatan symmetria-akselilla vaikuttava pakkovoima 𝑁𝑝𝑓 voidaan laskea seuraavasti: (21 s. 19)
𝑁𝑝𝑓 = −𝜀0𝐸𝑒𝑑𝑐𝑏𝑝 𝑅𝑎𝑝+ (𝑁𝑓) (1 − 𝑅𝑎𝑝) (64) missä 𝑏𝑝 on paalurivien välinen etäisyys toisistaan leveyssuunnassa
(tarkastelule-veys)
𝑑𝑐 on laatan paksuus
𝑅𝑎𝑝 on paaluista aiheutuva pakkovoimakerroin
4.4.4 1D siirtymämenetelmän käyttö paalulaatan pakkovoimien arvioin-nissa
Hieman monimutkaisempi menetelmä laatan aksiaalisen pakkovoiman arviointiin on yhden vapausasteen aksiaalisesti kuormitetun sauvan siirtymämenetelmä. Menetelmässä kaikki laattaa kiinni pitävät rakenteet yksinkertaistetaan vaakajousiksi. Menetelmä kuvataan tar-kemmin lähteessä (44 ss. 86-95), missä menetelmään sisällytettiin paalujen lisäksi myös reu-napalkit. Tässä työssä menetelmää sovellettiin paalujen ja kitkan yhteisvaikutuksen lasken-nassa. Kitkajouset voidaan käytännön suunnittelussa mallintaa bi-lineaarisina jousina, kun tunnetaan kitkakerroin ja liukukitkan syntyyn vaadittava siirtymä (45 s. 47).
4.4.5 Vertailulaskelmat paalujen sekä maan ja laatan välisen kitkan vai-kutuksille
Tässä kappaleessa arvioidaan edellä esitetyillä yksinkertaisilla menetelmillä paalulaatan ak-siaalista pakkovoimaa. Tässä arvioidaan:
1. Paaluista aiheutuva pakkovoima tasapaksulle laatalle a. Rostasyn menetelmällä
b. Elementtimenetelmällä (laatta kuorielementeillä, paalut jousielementeillä) 2. Kuten kohta 1, mutta myös laatan ja maan välinen kitka huomioidaan
a. Rostasyn menetelmällä
b. Elementtimenetelmällä (laatta kuorielementeillä, paalut jousielementeillä) c. 1D-siirtymämenetelmällä
Kuvassa 37 esitetään käsin yhtälöllä 62 (1a) ja FEM-laskennalla (1b) lasketut paaluista joh-tuvat pakkovoimakertoimet. FEM-laskennassa pakkojännitys arvioitiin laatan keskipis-teestä. Paalut olivat nivelellisesti laattaan kiinnitettyjä porapaaluja (RD220/12,5, betoni-täyttö C35/45) 3 m:n jaolla molemmissa suunnissa. Paalujen yläpään jousivakio oli KHH=1,8 MN/m. Betonin kimmokerroin oli 34 GPa, ja lämpökuorma laskettiin poikkileik-kauksen korkeuden perusteella ja ilmoitetaan kuvissa. 300 mm korkealle laatalle käytettiin betonitoimittajan laskelman mukaista lämpötilanmuutosta ja muille poikkileikkauksille läm-pötilanpudotus laskettiin JSCE:n mukaista lämpötilanlaskentaa hyödyntävällä Excel-poh-jalla.
Pakkovoimakertoimet jäivät erittäin alhaisiksi (kuva 37). Esimerkiksi 300 mm korkealle, 90 m pitkälle ja leveälle laatalle laskettu pakkovoimakerroin Rap=0,022, johtaa noin 0,2 MPa jännitykseen, kun kuormana on -28,4 oC lämpötilanmuutos (ac=0.00001 *1/oC). Paalujen kohdalle syntyviä pistemäisestä kiinnityksestä aiheutuvia jännityshuippuja ei arvioitu.
Kuva 37. Paaluista johtuva aksiaalinen pakkovoimakerroin. Ehjällä viivalla käsin Rostasyn menetelmällä las-kettuina ja katkoviivalla elementtimenetelmällä laslas-kettuina, missä laatta oli kuorielementti ja paalut jousia.
Kuvassa 38 esitetään paalujen ja kitkan yhteisvaikutuksesta laatan keskelle syntyvä suurin pakkojännitys käsin laskettuna yhtälöllä 64 Rostasyn menetelmällä (2a) ja FEM-laskennalla (2b). Lisäksi esitetään pelkästään paalujen vaikutuksesta syntyvä pakkojännitys. Kitkan ar-vioinnissa huomioitiin laatan oman painon lisäksi myös 1 kN/m2 pintakuormaa. Kitkasta aiheutui laattaan huomattavasti suurempia jännityksiä kuin paaluista. FEM-laskennan ja kä-sin lasketut tulokset vastasivat hyvin toisiaan.
Kuva 38. Paalujen ja kitkan yhteisvaikutuksesta aiheutuva pakkojännitys laatan keskellä.
Kuvassa 39 esitetään 1D siirtymämenetelmällä (2c) lasketut paalujen ja kitkan aiheuttamat pakkojännitykset pitkin laatan pituutta. Kitkajouset laskettiin 1,5 mm liukumalla. Tällä ker-taa myös viruma huomioitiin virumaluvulla. Kimmokertoimen arvo laskettiin 28 päivän
0
ikäiselle betonille. Kitkajousien bi-lineaarisuus huomiotiin laskennassa iteratiivisesti, mitä varten luotiin erillinen Excel-sovellus. Lämpökuormat olivat samoja kuin edellä ja ne ilmoi-tetaan kuvassa. Kuvassa 39 esitetään jännitykset vain laatan puolikkaalle siten, että laatan keskipiste on kuvaajan vasemmassa reunassa. Kuvan 38 käsinlasketut jännitykset olivat hy-vin lähellä kuvan 39 jännityksiä.
Kuva 39. Paalujen ja kitkan yhteisvaikutus 1d siirtymämenetelmällä.
Edellä ei huomioitu paalujen ja maan epäkeskisyyttä ja siitä aiheutuvia taivutusrasituksia.
Kuvassa 40 esitetään FEM-laskennan tulokset tilanteelle, jossa laatan referenssilinja mallin-nettiin laatan alapintaan. Jännitys arvioitiin laatan keskipisteen suurimpana pintojen pääjän-nityksenä. Kun laatan korkeus oli 300 mm, eroa ei juuri ollut, mutta 1200 mm korkeassa laatassa epäkeskeisen tapauksen jännitys oli selvästi suurempi.
Kuva 40. Paalujen yläpään epäkeskisyyden vaikutus aksiaalisiin pakkojännityksiin FEM-laskennalla.
0
L=30 Kitka μ=1 HL=0.3m, p=8.5kPa Paalu KHH=1.8 - k3m, φ=1.417χ=1Ec.eff=14099.6ecs=-0.234303 L=60 Kitka μ=1 HL=0.3m, p=8.5kPa Paalu KHH=1.8 - k3m, φ=1.417χ=1Ec.eff=14099.6ecs=-0.234303 L=90 Kitka μ=1 HL=0.3m, p=8.5kPa Paalu KHH=1.8 - k3m, φ=1.417χ=1Ec.eff=14099.6ecs=-0.234303 L=30 Kitka μ=1 HL=0.5m, p=13.5kPa Paalu KHH=1.8 - k3m, φ=1.379χ=1Ec.eff=14323.6ecs=-0.228376 L=60 Kitka μ=1 HL=0.5m, p=13.5kPa Paalu KHH=1.8 - k3m, φ=1.379χ=1Ec.eff=14323.6ecs=-0.228376 L=90 Kitka μ=1 HL=0.5m, p=13.5kPa Paalu KHH=1.8 - k3m, φ=1.379χ=1Ec.eff=14323.6ecs=-0.228376 L=30 Kitka μ=1 HL=0.8m, p=21kPa Paalu KHH=1.8 - k3m, φ=1.35χ=1Ec.eff=14503.5ecs=-0.218108 L=60 Kitka μ=1 HL=0.8m, p=21kPa Paalu KHH=1.8 - k3m, φ=1.35χ=1Ec.eff=14503.5ecs=-0.218108 L=90 Kitka μ=1 HL=0.8m, p=21kPa Paalu KHH=1.8 - k3m, φ=1.35χ=1Ec.eff=14503.5ecs=-0.218108 L=30 Kitka μ=1 HL=1.2m, p=31kPa Paalu KHH=1.8 - k3m, φ=1.328χ=1Ec.eff=14640.6ecs=-0.203651 L=60 Kitka μ=1 HL=1.2m, p=31kPa Paalu KHH=1.8 - k3m, φ=1.328χ=1Ec.eff=14640.6ecs=-0.203651 L=90 Kitka μ=1 HL=1.2m, p=31kPa Paalu KHH=1.8 - k3m, φ=1.328χ=1Ec.eff=14640.6ecs=-0.203651
0.25
epäkeskisyys -σ.apf - PAALUT k3m - KITKA μf=1,σn=8.5kPa - FEM - HL300 - T=28.4 epäkeskisyys -σ.apf - PAALUT k3m - KITKA μf=1,σn=31kPa - FEM - HL1200 - T=52 σ.apf - PAALUT k3m - KITKA μf=1,σn=8.5kPa - FEM - HL300 - T=28.4
σ.apf - PAALUT k3m - KITKA μf=1,σn=31kPa - FEM - HL1200 - T=52
4.5 Pilarianturoiden ja maan yhteisvaikutus laatan pakkovoimiin 4.5.1 Menetelmiä pilarianturan ja maan yhteisjäykkyyden arviointiin Tässä kappaleessa esitetään menetelmä pilarianturasta johtuvan kiinnitysasteen arvioi-miseksi. Kiinnitysaste arvioidaan idealisoimalla pilariantura jäykäksi kappaleeksi. Anturan liikettä estää paalut ja ympäröivä maa, joiden jäykkyys kuvataan kappaleessa 3.2 lasketuilla jousilla. Maajouset sijoiteltiin anturan pystysivuihin ja pohjaan. Anturan kokonaisjäykkyy-den arvioinnissa käytettiin siirtymämenetelmää. Laskennan kulku esitetään lähdettä (43 s.
213) soveltaen niillä eroilla, että tarkastellaan vain tasotapausta ja anturan maajouset otetaan huomioon.
Kuva 41. Pilarianturan jousimallin periaate.
Yksittäisen paalun yläpään jäykkyysmatriisi, jota tässä merkitään [𝑆]𝑖 lasketaan kappaleen 4.4.1 mukaan. Paalun lokaalin referenssikoordinaatiston origoksi valitaan paalun yläpää.
Koko systeemin jäykkyys saadaan muuntamalla [𝑠]𝑖 valittuun globaaliin koordinaatistoon ja summaamalla yksittäisten paalujen jäykkyysmatriisit seuraavan yhtälön mukaan:
[𝑆] = ∑𝑛𝑖=1[𝑇]𝑖[𝑆]𝑖[𝑇]𝑖𝑇 (65)
Kiertomatriisi saadaan yhtälöstä 66
𝑇 = [
𝑝𝑥𝑥 𝑝𝑥𝑦 0 𝑝𝑦𝑥 𝑝𝑦𝑦 0 𝑝𝑐𝑥 𝑝𝑐𝑦 𝑝𝑧𝑧
] (66)
Kiertomatriisin termit saadaan yhtälöistä:
𝑝𝑥𝑥 = cos (𝛼) (67)
𝑝𝑥𝑦 = −sin (𝛼) 𝑝𝑦𝑦 = cos (𝛼) 𝑝𝑦𝑥 = sin (𝛼) 𝑝𝑧𝑧 = 1
𝑝𝑐𝑥 = 𝑥 ∗ 𝑝𝑦𝑥 − 𝑦 ∗ 𝑝𝑥𝑥 𝑝𝑐𝑦 = 𝑥 ∗ 𝑝𝑦𝑦− 𝑦 ∗ 𝑝𝑥𝑦
Kuvassa 42 esitetään xy-tasotapauksen (ja avaruustapauksen) positiiviset suunnat.
Kuva 42. Paalun lokaali koordinaatisto ja anturan globaali koordinaatisto (43 s. 217).
Koko systeemin siirtymävektori saadaan systeemin jäykkyysmatriisiin käänteismatriisin ja kuormavektorin tulona:
{𝑣} = [𝑆]−1{𝐹} (68)
Yksittäisten paalujen siirtymät saadaan muuntamalla globaali siirtymävektori paikalliseen koordinaatistoon kunkin paalun osalta erikseen:
{𝑣}𝑖 = [𝑇]𝑖𝑇{𝑣} (69)
Paalun yläpään voimasuureet saadaan yksittäisen paalun jäykkyysmatriisin ja siirtymävek-torin tulona lokaalikoordinaatistossa yhtälöllä 70. Paalujen voimasuureet pitkin paalun pi-tuutta saadaan laskettua kappaleen 4.3 menetelmillä.
{𝑅}𝑖 = [𝑆]𝑖{𝑣}𝑖 (70)
Maajousia ja kitkajousia käsitellään laskennassa kuten paaluja, joilla on vain aksiaalinen jäykkyys. Anturan vaakavoima-sivusiirtymäyhteys saadaan asettamalla yksikkövoima laa-tan ja anturan liitospinnan kohdalle kuormitukseksi ja laskemalla anturan sivusiirtymä.
4.5.2 Vertailulaskelmat pilarianturan ja maan yhteisjäykkyyden vaiku-tuksesta laatan pakkovoimiin
Seuraavaksi esitetään yhden pilarianturan jäykkyys edellisen kappaleen menetelmällä las-kettuna. Maajouset laskettiin taulukoiden 4 - 6 maan jäykkyyksillä. Anturan korkeus oli 1200 mm, leveys 2800 mm ja pituus vaakavoiman suunnassa 1800 mm. Vaakavoima koh-distettiin anturan yläpintaan. Rakennemalli oli kuvan 41 periaatteiden mukainen. Paaluja anturassa oli 6 kpl kahdessa kolmen paalun rivissä 1 m:n jaolla. Laskenta suoritettiin tätä varten luodulla Excel-sovelluksella, joka huomioi myös anturan maajousien epälineaarisuu-den. Paalujen jäykkyys otettiin vakiona. Vertailuna suoritetuissa FEM-laskelmissa antura mallinnettiin 3D elementeillä ja jouset asetettiin anturan pintoihin. Kuormana käytettiin an-turan yläpintaan kohdistuvaa vaakavoimaa, jota kasvatettiin 100 kN osissa.
Tulokset esitetään kuvassa 43. Kyseisillä otaksumilla anturan yläpinnan siirtymä-vaakavoi-mayhteys on varsin epälineaarinen. Alkujäykkyydellä ja 4-6 mm:n siirtymän jälkeisellä
jäykkyydellä on varsin merkittävä ero. Excel-laskennan ja FEM-laskennan tulokset vastaa-vat hyvin toisiaan. Kuvassa esitetään myös erikseen eri jousien jäykkyydet. Pienillä siirty-millä paalujen vaakajäykkyys oli varsin vähäinen anturan maajousien jäykkyyksiin verrat-tuna.
Kuva 43. Pilarianturan sivusiirtymäyhteys Excel-laskennalla ja FEM-laskennalla.
Seuraavaksi tarkasteltiin usean peräkkäisen pilarianturan aiheuttamaa kiinnitystä pilariantu-roiden varaan valettuun kutistuvaan laattakaistaan. Kuvassa 44 esitetään Excel-laskelman tulokset, jossa anturan maajouset ovat lineaarisia ja FEM-laskennan tulokset, jossa maajou-set ovat epälineaarisia. Excel-laskennassa sovellettiin yhtälöä 62, mutta yksittäisen paalun jousivakion sijaan käytettiin koko anturalle laskettua vaakajäykkyyttä ja paalujen etäisyyk-sien termit korvattiin anturoiden etäisyyksillä. Sekä FEM-laskelmissa, että Excel-laskel-missa tarkasteltiin 6 m leveää laattakaistaa. Anturoiden k-jako oli 12 m laatan pituussuun-nassa, laatan korkeus 0,3 m, kimmokerroin 34 GPa ja laatan lämpömuodonmuutos -0.0003.
Yhden anturan jäykkyys esitetään kuvassa 43 (Siirtymä anturan yläpinnan tasolla- excel).
Laattakaistan tarkasteluissa hyödynnettiin symmetriaa. Kuvaajassa 44 ilmoitetaan anturoi-den määrä laattakaistan puolikkaalla.
Lineaarisella Excel-laskennalla yhden anturan perusteella laskettu pakkovoimakerroin oli noin 0,03. Epälineaariset maajouset huomioivalla FEM-laskennalla pakkovoimakertoimen arvo oli 0,1 symmetrialinjalla, kun peräkkäisiä anturoita oli 3 kpl symmetrialinjan molem-min puolin. Kasvatettaessa anturamäärää, pakkovoimakerroin kasvoi suurin piirtein arvolla 0,05 jokaista uutta anturaa kohden laatan puolikkaalla. Excel laskennalla pakkovoimakertoi-met olivat suurin piirtein 1,5-kertaisia epälineaarisella FEM-laskennalla laskettuihin pakko-voimakertoimiin nähden.
0 250 500 750 1000
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Vaakavoima [kN]
Siirtymä [mm]
Siirtymä anturan alapinnan tasolla - excel Siirtymä anturan alapinnan tasolla - FEM Siirtymä anturan yläpinnan tasolla - excel Siirtymä anturan yläpinnan tasolla - FEM
Maanpainejouset Vain paalut 6kpl KHH1.81
Anturan alapinnan kitka Anturan kylkien kitka
Kuva 44. Usean peräkkäisen pilarianturan tuottama kiinnitysaste lineaarisella Excel-laskennalla ja epäline-aarisella FEM-laskennalla. Alla esitetty Excel-laskennan periaate tapaukselle, jossa laattakaistassa on yh-teensä 2 anturaa symmetrialinjan yhdellä puolella.
4.6 Jatkuvien anturoiden (palkkien) vaikutus laatan pakkovoimiin 4.6.1 T-poikkileikkauksen jännitysjakauma analyyttisesti
Kun tarkastellaan vain laatan tasaista kutistumista 𝜀0 ja laatan korkeuden yli lineaarisen ku-tistumaeron aiheuttamaa laatan käyristymää 𝜅0, voidaan sisäisesti estetylle tasaiselle muo-donmuutokselle 𝜀𝑒𝑠𝑡𝑒𝑡𝑡𝑦 ja käyristymälle 𝜅𝑒𝑠𝑡𝑒𝑡𝑡𝑦 kirjoittaa seuraavat yhtälöt:
𝜀𝑒𝑠𝑡𝑒𝑡𝑡𝑦 = − 𝜀0(1+
1
𝛽)−𝜅0ℎ𝑙𝛾∗𝛽1
12𝛾2∗𝛽1+(1+𝛽1)(1+𝛼1) (71)
𝜅𝑒𝑠𝑡𝑒𝑡𝑡𝑦 = −𝜅0(12𝛾
2∗𝛽1+1+𝛼1)−12𝜀0𝛾 𝛽ℎ𝑙 12𝛾2
𝛽 +(1+𝛽1)(1+1𝛼) (72)
joissa dimensiottomat suureet ovat:
𝛼 =𝐸𝑝𝐴𝑝
𝐸𝑙𝐴𝑙 (73)
𝛽 =𝐸𝑝𝐼𝑝
𝐸𝑐𝐼𝑐 (74)
𝛾 =
ℎ𝑙 2+ℎ𝑝2
ℎ𝑙 (75)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Pakkovoimakerroin Rax
Pilarianturoiden määrä/ laatan puolikas
Rax käsin Rax FEM Rax FEM*1.5
Alaindeksi 𝑙 tarkoittaa laattaa ja 𝑝 palkkia. Sisäisesti estetystä osuudesta voidaan nyt laskea laatan ja palkin normaalivoimat ja taivutusmomentit:
𝑁𝑙 = 𝜀𝑒𝑠𝑡𝑒𝑡𝑡𝑦𝐸𝑙𝐴𝑙 (76)
𝑀𝑙 = −𝜅𝑒𝑠𝑡𝑒𝑡𝑡𝑦𝐸𝑙𝐼𝑙 (77)
𝑁𝑝 = −𝑁𝑙 (78)
𝑀𝑝= −(𝜅𝑒𝑠𝑡𝑒𝑡𝑡𝑦 + 𝜅0)𝐸𝑝𝐼𝑝 (79)
Poikkileikkauksen vapaasti tapahtuva osuus muodonmuutoksista voidaan laskea nyt:
Δ𝜀0 =𝜀0𝐸𝑙𝐴𝑙
𝐸𝐴 (80)
Δ𝜅0 = −𝜀0𝐸𝑙𝐴𝑙(𝑦0−
ℎ𝑙
2)+𝜅0𝐸𝑙𝐼𝑙
𝐸𝐼 (81)
jossa 𝐸𝐴 on koko poikkileikkauksen aksiaalinen jäykkyys 𝐸𝐼 on koko poikkileikkauksen taivutusjäykkyys 𝑦0 on koko poikkileikkauksen painopiste
Edellisten yhtälöiden johtamisessa käytettiin apuna lähteitä (21) ja (38). Laatan suurimmalle vetojännitykselle voidaan kirjoittaa nyt pakkovoimakerroin, kun muodonmuutoskuormana on vain tasainen kutistumamuodonmuutos.
𝑅𝑚𝑎𝑥 =(|𝜀𝑒𝑠𝑡𝑒𝑡𝑡𝑦|±|𝜅𝑒𝑠𝑡𝑒𝑡𝑡𝑦∗
ℎ𝑙 2|)
−𝜀0 (82)
4.6.2 Laattapalkkirakenteen tarkastelu tasokehänä
Tässä kappaleessa tarkastellaan laattapalkin pakkovoimia Excel-laskuin tasokehänä ja 3D FEM-analyysilla. Perustiedot esitetään taulukossa 12. Kuormitukseksi otettiin laatan lämpö-kutistuma. Rakenteen omaa painoa ei huomioitu.
Taulukko 12. Lähtötietoja.
Selite Arvo Yksikkö
Laatan korkeus 0,3 m
Palkkien K-jako 6 m
Laatan kimmokerroin 34077 MPa
Palkin korkeus 0,8 m
Palkin leveys 0,8 m
Palkin kimmokerroin 34077 MPa
Laatan lämpötilanmuutos -28,4 ℃
Laskelmissa tarkasteltiin 30 m pitkää, viisiaukkoista kaistaa, jossa laipan leveys on 6 m ja paaluja 6 m välein. FEM-mallissa käytettiin solid-elementtejä laatan sekä palkin osalta ja jousia paalujen osalta. Paalujen jouset laskettiin lyhytaikaistilanteen jäykkyydellä. Laatan ja
palkin maajousia ei huomioitu. Vain puolet rakenteesta mallinnettiin symmetriaa hyödyn-täen. Excel-laskelmissa laskettiin ensin sisäinen pakkojännitys sekä vapaasti tapahtuva koko poikkileikkauksen keskimääräinen muodonmuutos ja käyristymä edellisen kappaleen mene-telmällä. Vapaasti tapahtuvat muodonmuutokset asetettiin kuormaksi ja voimasuureet sekä jännitykset laskettiin siirtymämenetelmällä. Lopuksi jännitykset summattiin.
Kuva 45. Laattapalkkikaista 3D FEM-mallissa.
Excel- ja FEM-laskennan tulokset (kuva 46) olivat muuten suuruusluokiltaan samoja, lu-kuun ottamatta laatan alapinnan jännityksiä palkin ja laatan liitoskohdassa, jossa FEM-mal-lissa laatan jännitykset olivat 2,6–3-kertaisia Excel-laskennan tuloksiin nähden. Excel-las-kelmissa suurin pakkovoimakerroin oli R=0,25 ja FEM-mallista laskettu suurin pakkovoi-makerroin oli R=0,65-0,75. Kauempana palkista laatan jännitykset olivat Excel-laskennan tulosten suuruusluokkien osalta melko lähellä FEM-laskennan tuloksia ja Exceliin-ohjel-moitu menetelmä vaikuttaisi sopivan suuruusluokkatarkistuksiin niiltä osin. Laatan jännitys-huippuja tasokehän siirtymämenetelmä ei tavoita ja palkkien alueiden jännityksiä on arvioi-tava muilla keinoin.
Kuva 46. Tasokehäanalyysin ja 3D kehäanalyysin vertailujännityksiä. Tulokset esitetty vain symmetrisen pal-kin puolikkaalta. Palkkilaatan reuna on kuvan vasemmassa päässä.
-9 -4 1 6
- 1 1 3 5 7 9 1 1 1 3 1 5
Jännitys [MPa]
x [mm]
Laatan yläpinta Laatan alapinta Palkin yläpinta
Palkin alapinta FEM Alapinta palkin kohdalla FEM Yläpinta palkin kohdalla FEM Yläpinta kentässä FEM Alapintkentässä FEM-Palkin alapinta FEM-Palkin yläpinta
4.6.3 Kahteen suuntaan kantavan laattapalkkirakenteen tarkastelu 3D-FEM analyyseillä
Seuraavaksi tarkasteltiin palkkilaattarakennetta, jossa palkkeja oli molempiin suuntiin 6 m välein. Lähtötiedot olivat taulukon 12 mukaisia. Paalut sijaitsivat palkkien risteyskohdissa.
Rakennetta havainnollistetaan kuvassa 47, joka esittää mallinnettua rakenteen neljännestä.
Tarkastelut suoritettiin FEM-mallilla, johon palkit mallinnettiin solid-elementeillä ja laatta kuorielementeillä. Tulokset tarkistettiin mallilla, jossa myös laatta oli mallinnettu solid-elementeillä eikä tuloksissa ollut merkittäviä eroja (Liite 2).
Peräkkäisten kenttien määrä yhdessä suunnassa vaihteli välillä 5-20. Tarkasteluissa tutkittiin myös paalujen ja maajousien vaikutusta ottamalla mallista vuorotellen pois kaikki maajouset, paalut tai molemmat. Jälkimmäisessä tapauksessa asetettiin pienen jäykkyyden omaavia jousia tuiksi, jotta rakenne oli tasapainossa. Rakenteen omaa painoa ei huomioitu.
Kuva 47. Ote 3D FEM-mallista, jossa kenttien määrä yhteen suuntaan on 5 kpl. Kokonaiskenttämäärä on 5*5=25 kpl. Kuvassa laatan neljännes.
Kuvissa 48 ja 49 esitetään pakkovoimakertoimet kuvaajina. Kuvaajissa ilmoitetaan erikseen laatan painopisteen aksiaalinen pakkovoimakerroin 𝑅𝑎𝑥 ja poikkileikkauksen suurimman jännityksen perusteella laskettu pakkovoimakerroin 𝑅𝑚𝑎𝑥. Molemmat arvot ilmoitetaan erikseen laatan kutistumakeskiötä lähimmän kentän keskellä, sekä suoraan palkin yläpuolella.
Kuva 48. Palkkilaatan pakkovoimakertoimia kentän keskellä 3d FEM-laskelmilla (maajouset taulukon 15 mu-kaan)
Kuva 49. Palkkilaatan pakkovoimakertoimia palkin yllä 3d FEM-laskelmilla (maajouset taulukon 15 mukaan).
Paalujen vaakajäykkyyden merkitys laatan pakkovoimiin oli varsin pieni, sillä paalujen vai-kutus pakkovoimakertoimeen oli lähestulkoon vakio valualueen koosta riippumatta. Suu-rempi merkitys oli sillä, ottaako paalu vastaan vetovoimia. Laatan alapintaan liittyvät anturat estivät laatan kutistumista, mistä aiheutui koko rakenteen käyristymää. Anturoiden alapin-taan liittyvät paalut estivät käyristymisen aiheuttamaa nurkkien nousua, jolloin laatalapin-taan syn-tyi varsin suuri vetovoimaresultantti ja paaluihin keskenään tasapainossa olevia aksiaalisia voimia. Paalujen merkitystä laatan jännityksiin havainnollistetaan kuvassa 50, jossa vasem-malla puolella esitetään laatan jännitykset kutistumakeskiössä, kun paalujen aksiaalinen jäykkyys oli 𝐸𝐴 = 2712 𝑀𝑁 ja oikealla, kun paalujen aksiaalinen jäykkyys pienennettiin
0 1a) Rax, kentän keskellä, Maajouset, paalut 1b)) Rax, kentän keskellä, Maajouset 1c) Rax, kentän keskellä, paalut 1d) Rax, kentän keskellä 2a) Rmax, kentän keskellä, Maajouset, paalut 2b) Rmax, kentän keskellä, Maajouset 2c) Rmax, kentän keskellä, paalut 2d) Rmax, kentän keskellä 3a) Rax, palkin yllä, Maajouset, paalut 3b) Rax, palkin yllä, Maajouset 3c) Rax, palkin yllä, paalut 3d) Rax, palkin yllä 4a) Rmax, palkin yllä, Maajouset, paalut 4b) Rmax, palkin yllä, Maajouset 4c) Rmax, palkin yllä, paalut 4d) Rmax, palkin yllä
arvoon 𝐸𝐴 = 0,2712 𝑀𝑁. Vasemmanpuoleinen kuva vastaa tapauksia 1a) ja 2a) ja oikean-puoleinen kuva tapauksia 1b) ja 2b).
Kuva 50. Vasemmalla laatan jännitys x- ja y-suunnissa kutistumakeskiössä, kun paalujen suhteellinen jäykkyys oli EA=2712MN. Oikealla laatan jännitys x- ja y-suunnissa kutistumakeskiössä, kun paalun aksiaalinen jäyk-kyys oli EA=0,2712MN.
Yhteenvetona voidaan todeta, ettei kohteen paalun vaakasuuntainen jäykkyys (paalua ym-päröivä maa huomioiden) tuottanut suurta kiinnitysastetta laatalle. Paalun aksiaalisella jäyk-kyydellä ja kyvyllä vastaanottaa vetovoimia oli vaikutus laatan pakkovoimiin. Vaikutus täy-tyy arvioida mekaanisten kuormien kanssa samanaikaisesti, jos paalut eivät vastaanota ve-tovoimia. Anturoita ympäröivä maa yhdessä laatan alapinnan ja maan välisen kitkan kanssa aiheutti pakkovoimia, joiden suuruus kasvoi selvästi kenttien määrän kasvaessa. Palkkien yläpuolella laatan rasitukset olivat erittäin suuria ja suurin pakkovoimakerroin vaihteli vä-lillä 0,84-0,97. Laattakenttien keskellä suurin pakkovoimakerroin vaihteli vävä-lillä 0,45-0,65.
4.7 Laatan halkeilun vaikutus voimasuurejakaumaan 4.7.1 Vertailulaskelmat
Aiemmin käsitelty Paalu-Excel sekä kohteen paalulaatan tarkasteluissa käytettävä FEM-oh-jelma Sofistik käyttävät molemmat kerroksellista lähestymistapaa teräsbetonirakenteen poikkileikkauksen analysoinnissa. Paalu-laskentapohjasta muokattiin Kehä-laskentapohja, jolla voidaan laskea 10-aukkoisen tasokehänä toimivan T- tai suorakaidepoikkileikkauksel-lisen palkin pakkovoimat betonin halkeilu huomioiden. Tässä kappaleessa esitetään Excel-laskennan ja FEM-Excel-laskennan tuloksia yksinkertaiselle 2-aukkoiselle laattarakenteelle. Las-kelmien tavoitteena oli varmistua, että FEM-laskennalla saadaan odotetun suuruisia tuloksia halkeamaleveyksien ja voimasuureiden osalta. Excel- laskennassa halkeilun vaikutus huo-mioitiin iteratiivisesti kappaleen 4.3.1 menetelmällä. Menetelmään lisättiin vielä kutistuma ja lämpökuorma huomioimalla ne poikkileikkauksen jäykkyyden mukaan laskettavilla kuor-mitustermillä.
Laskelmissa tarkasteltiin 1 m leveää kaksiaukkoista yhteen suuntaan kantavaa laattaa läm-pökuorman ja mekaanisen pintakuoman yhdistelmälle ja erikseen. Laskelmissa laatan kor-keus oli 0,3 m, yhden jännevälin pituus 10 m, betonin lujuusluokka C35/45 (Ec=34077 MPa), tasainen lämpökuorma -30 oC, joka suuruusluokaltaan vastaa 300 mm korkean laatan
varhaisvaiheen lämpötilanlaskua talvivalussa, sekä mekaaninen pystykuorma 10 kN/m2. Raudoituksen pinta-alaa ei vähennetty betonin pinta-alasta Excel-laskennassa. Alapinnan raudoituksena käytettiin 10 kappaletta 32 mm tankoja ja yläpinnan raudoituksena 4 kappa-letta 32 mm tankoja. Betonin ja teräksen lämpölaajenemiskertoimena käytettiin arvoa 0.00001 /oC. Laatan referenssilinjaksi valittiin laatan korkeuden puoliväli, jossa myös laatan vaaka- ja pystyliikkeen estävät kolme viivatukea sijaitsevat korkeussuunnassa. FEM-lasken-nassa laatan Poissonin luku asetettiin nollaksi ja jakoraudoitukseksi 8 mm:n raudoitus mää-rittämällä raudoitusalaksi 100mm2/m molempiin pintoihin. Pääraudoituksen keskiöetäisyys lähimpään pintaan oli 50 mm. Excel-laskennassa laatta jaettiin pituussuunnassa kahteen-kymmeneen elementtiin. Alla kuvassa havainnollistetaan rakennemallia ja siirtymiä Sofisti-kissa. Excel-laskennassa jokainen poikkileikkaus jaettiin 20 kerrokseen ja FEM-laskelmissa 10 kerrokseen.
Kuva 51. Tarkasteltu kaksiaukkoinen laattakaista, taipuma mekaanisesta pintakuormasta.
Rakenteelle arvioitiin ensin normaalivoimat, taivutusmomentit ja siirtymät kolmella eri So-fistik-mallilla. Ensimmäisessä mallissa laatta koostui pelkästä Hooken lain mukaan toimi-vasta betonista. Toisessa mallissa käytettiin betonille epälineaarista jännitys-muodonmuu-tosyhteyttä puristuksessa (kuvan 30 vasen puoli), lineaarista jännitys-muodonmuutosyh-teyttä vedossa ilman halkeilua ja huomiotiin raudoitus. Kolmannessa mallissa erona oli toi-seen malliin, että betonin vetolujuudeksi asetettiin 0 MPa.
Samat kolme mallia laskettiin myös Excel-laskuin siirtymämenetelmällä sillä erolla, että be-tonin puristuspuolen jännitys-muodonmuutosyhteys oli kaikissa tarkasteluissa lineaarinen.
Pelkän lämpökuorman osalta saatiin yksinkertaisella käsinlaskulla laatan normaalivoimaksi 3067 kN, kun pelkästään betoni huomioitiin. Kun lisäksi huomioitiin raudoitus, muttei vielä annettu betonin haljeta, saatiin Excel-laskennalla normaalivoimaksi 3735 kN ja FEM-las-kennalla 3696 kN. Laatan painopiste oli raudoituksen vaikutuksesta keskilinjan alapuolella, ja keskilinjaan mallinnetut tuet estivät venymän keskilinjalla, jonka epäkeskisyys painopis-teeseen nähden aiheutti laattaan myös taivutusmomenttia. Excel-laskennalla taivutusmo-mentiksi keskituella saatiin 43 kNm ja FEM-laskennalla 36 kNm. Kun laatan vetolujuus asetettiin nollaksi, normaalivoima Excel-laskennalla oli 640 kN ja FEM-laskennalla 640 kN.
Taivutusmomentti Excel-laskennalla oli 41 kNm ja FEM-laskennalla 41 kNm.
Pelkän mekaanisen pystykuorman tapauksessa ei normaalivoimaa synny, jos epäkeskeistä raudoitusta ei huomioida. Keskituen taivutusmomentti oli -125 kNm molemmilla menetel-millä. Kun raudoituksen epäkeskisyys huomioitiin, mutta betonin ei sallittu halkeavan, Ex-cel-laskennalla momentiksi saatiin edelleen -125 kNm ja FEM-laskennalla -126 kNm. Epä-keskisyydestä aiheutuva normaalivoima oli Excel-laskennalla -313 kN ja FEM-laskennalla -332 kN. Kun betonin vetolujuus asetettiin nollaksi, Excel-laskennalla saatiin keskituen mo-mentiksi -107 kNm ja FEM-laskennalla -109 kNm. Vastaavasti normaalivoimiksi saatiin Excel-laskennalla -325 kN ja FEM-laskennalla keskituen alueen normaalivoiman vaihtelu-väliksi -323…-382 kN, vaakatukireaktioiden ollessa päätytuilla -331 kN.
Mekaanisen kuorman ja lämpökuorman yhteisvaikutuksen osalta voidaan käyttää superpo-sitioperiaatetta tarkasteluissa, joissa betonin ei sallita halkeavan. Kun raudoitusta ei huomi-oitu, normaalivoimaa aiheutui ainoastaan lämpökuormasta ja taivutusmomenttia ainoastaan mekaanisesta kuormituksesta. Nämä on esitetty yllä. Kun raudoitus huomioitiin, mutta be-tonin ei sallittu halkeavan, saatiin normaalivoimaksi Excel-laskennalla 3756 kN ja FEM-laskennalla 3713 kN. Keskituen taivutusmomentiksi saatiin Excel-FEM-laskennalla -81 kNm ja FEM-laskennalla -90 kNm. Kun betonin vetolujuus asetettiin nollaksi, saatiin normaalivoi-maksi Excel-laskennalla 712 kN ja FEM-laskennalla 700 kN. Keskituen taivutusmomentiksi saatiin Excel-laskennalla -75 kNm ja FEM-laskennalla -75 kNm.
Mekaanisen kuorman ja lämpökuorman yhteisvaikutuksen osalta voidaan käyttää superpo-sitioperiaatetta tarkasteluissa, joissa betonin ei sallita halkeavan. Kun raudoitusta ei huomi-oitu, normaalivoimaa aiheutui ainoastaan lämpökuormasta ja taivutusmomenttia ainoastaan mekaanisesta kuormituksesta. Nämä on esitetty yllä. Kun raudoitus huomioitiin, mutta be-tonin ei sallittu halkeavan, saatiin normaalivoimaksi Excel-laskennalla 3756 kN ja FEM-laskennalla 3713 kN. Keskituen taivutusmomentiksi saatiin Excel-FEM-laskennalla -81 kNm ja FEM-laskennalla -90 kNm. Kun betonin vetolujuus asetettiin nollaksi, saatiin normaalivoi-maksi Excel-laskennalla 712 kN ja FEM-laskennalla 700 kN. Keskituen taivutusmomentiksi saatiin Excel-laskennalla -75 kNm ja FEM-laskennalla -75 kNm.