Kun tarkastellaan vain laatan tasaista kutistumista 𝜀0 ja laatan korkeuden yli lineaarisen ku-tistumaeron aiheuttamaa laatan käyristymää 𝜅0, voidaan sisäisesti estetylle tasaiselle muo-donmuutokselle 𝜀𝑒𝑠𝑡𝑒𝑡𝑡𝑦 ja käyristymälle 𝜅𝑒𝑠𝑡𝑒𝑡𝑡𝑦 kirjoittaa seuraavat yhtälöt:
𝜀𝑒𝑠𝑡𝑒𝑡𝑡𝑦 = − 𝜀0(1+
1
𝛽)−𝜅0ℎ𝑙𝛾∗𝛽1
12𝛾2∗𝛽1+(1+𝛽1)(1+𝛼1) (71)
𝜅𝑒𝑠𝑡𝑒𝑡𝑡𝑦 = −𝜅0(12𝛾
2∗𝛽1+1+𝛼1)−12𝜀0𝛾 𝛽ℎ𝑙 12𝛾2
𝛽 +(1+𝛽1)(1+1𝛼) (72)
joissa dimensiottomat suureet ovat:
𝛼 =𝐸𝑝𝐴𝑝
𝐸𝑙𝐴𝑙 (73)
𝛽 =𝐸𝑝𝐼𝑝
𝐸𝑐𝐼𝑐 (74)
𝛾 =
ℎ𝑙 2+ℎ𝑝2
ℎ𝑙 (75)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Pakkovoimakerroin Rax
Pilarianturoiden määrä/ laatan puolikas
Rax käsin Rax FEM Rax FEM*1.5
Alaindeksi 𝑙 tarkoittaa laattaa ja 𝑝 palkkia. Sisäisesti estetystä osuudesta voidaan nyt laskea laatan ja palkin normaalivoimat ja taivutusmomentit:
𝑁𝑙 = 𝜀𝑒𝑠𝑡𝑒𝑡𝑡𝑦𝐸𝑙𝐴𝑙 (76)
𝑀𝑙 = −𝜅𝑒𝑠𝑡𝑒𝑡𝑡𝑦𝐸𝑙𝐼𝑙 (77)
𝑁𝑝 = −𝑁𝑙 (78)
𝑀𝑝= −(𝜅𝑒𝑠𝑡𝑒𝑡𝑡𝑦 + 𝜅0)𝐸𝑝𝐼𝑝 (79)
Poikkileikkauksen vapaasti tapahtuva osuus muodonmuutoksista voidaan laskea nyt:
Δ𝜀0 =𝜀0𝐸𝑙𝐴𝑙
𝐸𝐴 (80)
Δ𝜅0 = −𝜀0𝐸𝑙𝐴𝑙(𝑦0−
ℎ𝑙
2)+𝜅0𝐸𝑙𝐼𝑙
𝐸𝐼 (81)
jossa 𝐸𝐴 on koko poikkileikkauksen aksiaalinen jäykkyys 𝐸𝐼 on koko poikkileikkauksen taivutusjäykkyys 𝑦0 on koko poikkileikkauksen painopiste
Edellisten yhtälöiden johtamisessa käytettiin apuna lähteitä (21) ja (38). Laatan suurimmalle vetojännitykselle voidaan kirjoittaa nyt pakkovoimakerroin, kun muodonmuutoskuormana on vain tasainen kutistumamuodonmuutos.
𝑅𝑚𝑎𝑥 =(|𝜀𝑒𝑠𝑡𝑒𝑡𝑡𝑦|±|𝜅𝑒𝑠𝑡𝑒𝑡𝑡𝑦∗
ℎ𝑙 2|)
−𝜀0 (82)
4.6.2 Laattapalkkirakenteen tarkastelu tasokehänä
Tässä kappaleessa tarkastellaan laattapalkin pakkovoimia Excel-laskuin tasokehänä ja 3D FEM-analyysilla. Perustiedot esitetään taulukossa 12. Kuormitukseksi otettiin laatan lämpö-kutistuma. Rakenteen omaa painoa ei huomioitu.
Taulukko 12. Lähtötietoja.
Selite Arvo Yksikkö
Laatan korkeus 0,3 m
Palkkien K-jako 6 m
Laatan kimmokerroin 34077 MPa
Palkin korkeus 0,8 m
Palkin leveys 0,8 m
Palkin kimmokerroin 34077 MPa
Laatan lämpötilanmuutos -28,4 ℃
Laskelmissa tarkasteltiin 30 m pitkää, viisiaukkoista kaistaa, jossa laipan leveys on 6 m ja paaluja 6 m välein. FEM-mallissa käytettiin solid-elementtejä laatan sekä palkin osalta ja jousia paalujen osalta. Paalujen jouset laskettiin lyhytaikaistilanteen jäykkyydellä. Laatan ja
palkin maajousia ei huomioitu. Vain puolet rakenteesta mallinnettiin symmetriaa hyödyn-täen. Excel-laskelmissa laskettiin ensin sisäinen pakkojännitys sekä vapaasti tapahtuva koko poikkileikkauksen keskimääräinen muodonmuutos ja käyristymä edellisen kappaleen mene-telmällä. Vapaasti tapahtuvat muodonmuutokset asetettiin kuormaksi ja voimasuureet sekä jännitykset laskettiin siirtymämenetelmällä. Lopuksi jännitykset summattiin.
Kuva 45. Laattapalkkikaista 3D FEM-mallissa.
Excel- ja FEM-laskennan tulokset (kuva 46) olivat muuten suuruusluokiltaan samoja, lu-kuun ottamatta laatan alapinnan jännityksiä palkin ja laatan liitoskohdassa, jossa FEM-mal-lissa laatan jännitykset olivat 2,6–3-kertaisia Excel-laskennan tuloksiin nähden. Excel-las-kelmissa suurin pakkovoimakerroin oli R=0,25 ja FEM-mallista laskettu suurin pakkovoi-makerroin oli R=0,65-0,75. Kauempana palkista laatan jännitykset olivat Excel-laskennan tulosten suuruusluokkien osalta melko lähellä FEM-laskennan tuloksia ja Exceliin-ohjel-moitu menetelmä vaikuttaisi sopivan suuruusluokkatarkistuksiin niiltä osin. Laatan jännitys-huippuja tasokehän siirtymämenetelmä ei tavoita ja palkkien alueiden jännityksiä on arvioi-tava muilla keinoin.
Kuva 46. Tasokehäanalyysin ja 3D kehäanalyysin vertailujännityksiä. Tulokset esitetty vain symmetrisen pal-kin puolikkaalta. Palkkilaatan reuna on kuvan vasemmassa päässä.
-9 -4 1 6
- 1 1 3 5 7 9 1 1 1 3 1 5
Jännitys [MPa]
x [mm]
Laatan yläpinta Laatan alapinta Palkin yläpinta
Palkin alapinta FEM Alapinta palkin kohdalla FEM Yläpinta palkin kohdalla FEM Yläpinta kentässä FEM Alapintkentässä FEM-Palkin alapinta FEM-Palkin yläpinta
4.6.3 Kahteen suuntaan kantavan laattapalkkirakenteen tarkastelu 3D-FEM analyyseillä
Seuraavaksi tarkasteltiin palkkilaattarakennetta, jossa palkkeja oli molempiin suuntiin 6 m välein. Lähtötiedot olivat taulukon 12 mukaisia. Paalut sijaitsivat palkkien risteyskohdissa.
Rakennetta havainnollistetaan kuvassa 47, joka esittää mallinnettua rakenteen neljännestä.
Tarkastelut suoritettiin FEM-mallilla, johon palkit mallinnettiin solid-elementeillä ja laatta kuorielementeillä. Tulokset tarkistettiin mallilla, jossa myös laatta oli mallinnettu solid-elementeillä eikä tuloksissa ollut merkittäviä eroja (Liite 2).
Peräkkäisten kenttien määrä yhdessä suunnassa vaihteli välillä 5-20. Tarkasteluissa tutkittiin myös paalujen ja maajousien vaikutusta ottamalla mallista vuorotellen pois kaikki maajouset, paalut tai molemmat. Jälkimmäisessä tapauksessa asetettiin pienen jäykkyyden omaavia jousia tuiksi, jotta rakenne oli tasapainossa. Rakenteen omaa painoa ei huomioitu.
Kuva 47. Ote 3D FEM-mallista, jossa kenttien määrä yhteen suuntaan on 5 kpl. Kokonaiskenttämäärä on 5*5=25 kpl. Kuvassa laatan neljännes.
Kuvissa 48 ja 49 esitetään pakkovoimakertoimet kuvaajina. Kuvaajissa ilmoitetaan erikseen laatan painopisteen aksiaalinen pakkovoimakerroin 𝑅𝑎𝑥 ja poikkileikkauksen suurimman jännityksen perusteella laskettu pakkovoimakerroin 𝑅𝑚𝑎𝑥. Molemmat arvot ilmoitetaan erikseen laatan kutistumakeskiötä lähimmän kentän keskellä, sekä suoraan palkin yläpuolella.
Kuva 48. Palkkilaatan pakkovoimakertoimia kentän keskellä 3d FEM-laskelmilla (maajouset taulukon 15 mu-kaan)
Kuva 49. Palkkilaatan pakkovoimakertoimia palkin yllä 3d FEM-laskelmilla (maajouset taulukon 15 mukaan).
Paalujen vaakajäykkyyden merkitys laatan pakkovoimiin oli varsin pieni, sillä paalujen vai-kutus pakkovoimakertoimeen oli lähestulkoon vakio valualueen koosta riippumatta. Suu-rempi merkitys oli sillä, ottaako paalu vastaan vetovoimia. Laatan alapintaan liittyvät anturat estivät laatan kutistumista, mistä aiheutui koko rakenteen käyristymää. Anturoiden alapin-taan liittyvät paalut estivät käyristymisen aiheuttamaa nurkkien nousua, jolloin laatalapin-taan syn-tyi varsin suuri vetovoimaresultantti ja paaluihin keskenään tasapainossa olevia aksiaalisia voimia. Paalujen merkitystä laatan jännityksiin havainnollistetaan kuvassa 50, jossa vasem-malla puolella esitetään laatan jännitykset kutistumakeskiössä, kun paalujen aksiaalinen jäykkyys oli 𝐸𝐴 = 2712 𝑀𝑁 ja oikealla, kun paalujen aksiaalinen jäykkyys pienennettiin
0 1a) Rax, kentän keskellä, Maajouset, paalut 1b)) Rax, kentän keskellä, Maajouset 1c) Rax, kentän keskellä, paalut 1d) Rax, kentän keskellä 2a) Rmax, kentän keskellä, Maajouset, paalut 2b) Rmax, kentän keskellä, Maajouset 2c) Rmax, kentän keskellä, paalut 2d) Rmax, kentän keskellä 3a) Rax, palkin yllä, Maajouset, paalut 3b) Rax, palkin yllä, Maajouset 3c) Rax, palkin yllä, paalut 3d) Rax, palkin yllä 4a) Rmax, palkin yllä, Maajouset, paalut 4b) Rmax, palkin yllä, Maajouset 4c) Rmax, palkin yllä, paalut 4d) Rmax, palkin yllä
arvoon 𝐸𝐴 = 0,2712 𝑀𝑁. Vasemmanpuoleinen kuva vastaa tapauksia 1a) ja 2a) ja oikean-puoleinen kuva tapauksia 1b) ja 2b).
Kuva 50. Vasemmalla laatan jännitys x- ja y-suunnissa kutistumakeskiössä, kun paalujen suhteellinen jäykkyys oli EA=2712MN. Oikealla laatan jännitys x- ja y-suunnissa kutistumakeskiössä, kun paalun aksiaalinen jäyk-kyys oli EA=0,2712MN.
Yhteenvetona voidaan todeta, ettei kohteen paalun vaakasuuntainen jäykkyys (paalua ym-päröivä maa huomioiden) tuottanut suurta kiinnitysastetta laatalle. Paalun aksiaalisella jäyk-kyydellä ja kyvyllä vastaanottaa vetovoimia oli vaikutus laatan pakkovoimiin. Vaikutus täy-tyy arvioida mekaanisten kuormien kanssa samanaikaisesti, jos paalut eivät vastaanota ve-tovoimia. Anturoita ympäröivä maa yhdessä laatan alapinnan ja maan välisen kitkan kanssa aiheutti pakkovoimia, joiden suuruus kasvoi selvästi kenttien määrän kasvaessa. Palkkien yläpuolella laatan rasitukset olivat erittäin suuria ja suurin pakkovoimakerroin vaihteli vä-lillä 0,84-0,97. Laattakenttien keskellä suurin pakkovoimakerroin vaihteli vävä-lillä 0,45-0,65.
4.7 Laatan halkeilun vaikutus voimasuurejakaumaan