Lukujonot ja summa

E-opilla on 17 testiaihion lisäksi neljä interaktiivista aihiota ja yksi staattinen työkalu.

Staattisella työkalulla voi laskea rekursiivisen lukujonon seitsemän ensimmäisen jä-senen arvon. Aihioon syötetään lukujonon ensimmäinen jäsen, kerroin sekä lisättävä luku. Yleisen jäsenen laskemista varten annetaan kaavaan =k·an−1+t. Numeerista sijoitusta ei tehdä. Käyttäjä voi klikata jäsenet 2-7 yksitellen esiin. Luokittelun perus-teena on se, että lukujonon jäsenet esitetään ainoastaan numeerisesti, eikä käyttäjän antamia lukuarvoja sijoiteta näkyvästi symbolisessa muodossa olevaan kaavaan. (Ai-hion oikeassa laidassa näkyy ruudukot, joiden vieressä on teksti näytä 2, näytä 3, jne.

Tässä luvun jälkeen pitäisi olla piste, sillä kyseessä on järjestysnumero, eli siis esim.

"näytä 2.").

Interaktiiviset aihiot ovat hyvin samantyyppisiä. Ensimmäinen on aihio, jolla voi las-kea aritmeettisen lukujonon tietyn jäsenen arvon. Kaava on esitetty symbolisesti ja lisäksi tehdään numeerinen sijoitus aihioon syötettyjen arvojen perusteella. Aihioon syötetään lukujonon ensimmäinen jäsen, peräkkäisten jäsenten erotus sekä halutun

jä-Kuva 23: E-Opilla on neljä samantyyppistä interaktiivista aihiota. jä-Kuvan aihiolla voi laskea aritmeettisen summan, jonka lisäksi aihio laskeen:n jäsenen arvon sekä tulostaa kuvaajan.

senen järjestysnumero. Aihio esittää lukujonon graafisesti sekä merkitsee lasketun jä-senen eri värillä kuvaajaan. Toinen vastaavanlainen aihio laskee geometrisen lukujonon tietyn jäsenen arvon ja tulostaa jonon kuvaajan. Luokittelun perusteluna on useampi esitysmuoto (graafinen, algebrallinen, numeerinen) ja käyttäjän mahdollisuus muokata arvoja.

Aritmeettisen ja geometrisen summan laskemista varten on omat aihionsa. Käyttäjä voi valita monenteenko jäseneen asti summa lasketaan. Aritmeettisen summan laskeva aihio (kuva 23) tulostaa palkkikuvaajan ja merkitsee erikseen ensimmäisen jäsenen ja viimeisen jäsenen pisteellä vetäen katkoviivan y-akselille. Lisäksi merkitään lukujonon jäsenten keskiarvo y-akselille pisteellä, mutta siitä ei sanota, mikä se on. Aritmeettisen summan kaava on annettu symbolisesti ja siihen tehdään numeerinen sijoitus käyttä-jän antamien syötteiden perusteella. Aihioon syötetään lukujonon ensimmäinen jäsen, peräkkäisten jäsenten erotus sekä summaan laskettavien jäsenten lukumäärä. Geomet-risen summan laskevaan aihioon voi syöttää lukujonon ensimmäisen jäsenen, peräk-käisten jäsenten suhteen sekä summaan laskettavien jäsenten lukumäärän. Aihio tulos-taa lukujonon palkkikuvaajan ja merkitsee summaan lasketut jäsenet eri värillä. Luo-kittelun perusteluna on useampi esitysmuoto (graafinen, algebrallinen, numeerinen) ja

Kuva 24: Otavan interaktiivisen aihion alkutilanne, jossa käyttäjä voi antaan:lle ha-luamansa arvon.

Kuva 25: Otavan interaktiivisessa aihiossa voi liikuttaa violetit neliöt erilleen havain-nollistamaan lukujonon säännön muodostumista.

käyttäjän mahdollisuus muokata arvoja.

Otavalla on 45 testiaihion lisäksi kaksi informatiivista aihiota, viisi virtuaalista aihiota, kaksi staattista työkalua ja yksi interaktiivinen aihio.

Interaktiivinen aihio havainnollistaa kuvion ruutujen lukumäärää kuvion leveyden n muuttuessa. Kuvassa 24 näkyy alkutilanne, kunn = 4. Liukua "liikuta"vetämällä ku-viossa olevat violetit ruudut siirtyvät erilleen sinisistä ruuduista kuvan 25 mukaisesti.

Aihiossa näkyy kuvion ruutujen lukumäärän laskemista varten muodostettu sääntö, jo-ka muuttuun:n muuttuessa. Luokittelen aihion interaktiiviseksi, koska säännön muo-dostuminen näkyy algebrallisesti, graafisesti ja numeerisesti. Lisäksi käyttäjä ei tarvit-se välttämättä lisäohjeistusta ja voi liikuttaa säännön muodostumitarvit-sen kannalta tärkeitä ruutuja.

Staattiset työkalut ovat molemmat laskentataulukkoja. Ensimmäinen on tehtävän 229 ja toinen tehtävän 443 yhteydessä. Edellisessä aihiossa annetaan lukujonon

ensimmäi-nen jäsen ja sääntö, miten seuraavat jäsenet saadaan. Tehtävänä on laskea lukujonon 10 ensimmäistä jäsentä. Laskentataulukossa on opastettu taulukon käyttöä esimerkiksi kertomalla, miten soluun A2 täytyy kirjoittaa kaava=A1−4. Jälkimmäisessä aihios-sa tehtävänä on selvittää, paljonko rahaa kertyy seitsemän vuoden aikana säästötilille, jolle tehdään halutun suuruinen talletus vuosittain. Tilin korko on lähdeveron pidät-tämisen jälkeen 2,0 %. Toisena tehtävänä on selvittää, miten suurella vuosittaisella talletuksella seitsemässä vuodessa tilille kertyisi 20 000e.

Hanhipopulaation kasvua kuvaavan aihion luokittelen virtuaaliseksi. Käyttäjä voi muuttaa hanhien alkuhetken lukumäärää sekä aikaa. Aihiota selittää teksti:"Appletti esittää hanhipopulaation kehitystä 200 ensimmäisen vuoden aikana. Hanhien lukumää-rää ja määrän kasvuvauhtia voi muuttaa."Tässä on huomattava, että ainoastaan hanhien alkulukumäärä vaikuttaa kasvuvauhtiin (tai vähenemisvauhtiin), eikä kasvuvauhtia voi muutoin manipuloida. Hanhipopulaation maksimi on 500 yksilöä, joten lähdettäessä millaisesta tilanteesta hyvänsä populaatio vakiintuu 500 yksilöön ajan kuluessa. Se, että aihiossa voi muuttaa aikaa, vaikka kuvaajan pitäisi esittää hanhipopulaation ke-hitystä 200 ensimmäisen vuoden aikana voi aiheuttaa hämmennystä käyttäjälle. Aika on tässä aihiossa lähes yhdentekevä muuttuja. Luokittelen aihion virtuaaliseksi, koska aihio mallintaa todellista tilannetta, aloituslukumäärää voi muuttaa liukusäätimellä ja aihion käyttö vaatii lisäohjeistusta (ts. tehtävänannon).

Toinen virtuaalinen aihio havainnollistaa kuviojonon muodostumista ensimmäisestä kuviosta viidenteen kuvioon. Kuvassa 26 näkyy viides kuvio. Sama kuviojono on myös kirjassa neljänteen kuvioon asti. Perustelut luokittelulle: aihiolle voisi olla fyysinen vastine ja sen käyttö vaatii lisäohjeistusta. Vastaavanlainen aihio on myös tehtävässä 367, jossa mallinnetaan Sierpinskin kolmion muodostumista. Aihiossa on viisi ensim-mäistä kuviota. Luokittelen tämänkin aihion virtuaaliseksi.

Kahdessa aihiossa mallinnetaan Von Kochin lumihiutaletta. Ensimmäisessä aihiossa voi liukusäätimen avulla tutkia kuutta ensimmäistä vaihetta. Toisessa aihiossa tulos-tetaan lisäksi kuvion reunan pituus ja pinta-ala. Ensimmäisessä kuviossa tasasivuisen kolmion sivun pituus on 1, jolloin reunan pituus on1·3 = 3ja pinta-alan arvoksi mer-kitäänA. Toisessa kuviossa kolmion jokainen sivu jaetaan kolmeen yhtä pitkään osaan, joista keskimmäisen tilalle tulee sitä vastaavan tasasivuisen kolmion kaksi muuta sivua.

Nyt reunan pituus on3·⁴₃ja pinta-ala onA+³₉A. Sama toistetaan ja esimerkiksi kuvios-sa viisi reunan pituus on3·(⁴₃)⁴ja pinta-ala onA+³₉A+³₉·⁴₉A+³₉·(⁴₉)²A+³₉·(⁴₉)³A.

Ensimmäisen aihion luokittelen virtuaaliseksi, koska aihio on mallintava, sille voisi olla olemassa fyysinen vastine ja se vaatii lisäohjeistusta. Toisen aihion luokittelen

informatiiviseksi kahdesta esitysmuodosta (graafinen ja numeerinen) huolimatta, sillä käyttäjällä ei ole mahdollisuuksia manipuloida kuin siirtymisiään kuvioiden välillä.

Virtuaaliseksi luokittelen aihion, jonka tarkoituksena on havainnollistaa, miten voidaan laskea summa3 + 5 + 7 +...+ 19 + 21laskematta lukuja yksitellen yhteen annetun ku-vion avulla. Kuku-vion ylimmällä rivillä on 3 ruutua, seuraavalla 5 ja niin edelleen jatkaen alimmalle riville, jolla on 21 ruutua. Aihion avulla vaalean sinisten ruutujen alta (kuva 27) pyöräytetään vastaava ruudukko ympäri täydentämään kuvio suorakulmioksi, ku-ten kuvassa 28 näkyy. Luokittelen aihion virtuaaliseksi, koska sille voisi olla olemassa fyysinen vastine ja se tarvitsee lisäohjeistusta auetakseen käyttäjälle.

Aihepiirin toinen informatiivinen aihio on äänetön video, jossa näytetään Fibonaccin lukujonon laskemista taulukkolaskentaohjelmalla.

Sanoma Prolla ei ole testitehtäviä lainkaan. Informatiivisia aihioita on 12, joista kaikki ovat tehtävien yhteydessä olevia ratkaisuvideoita.

Sanoma Prolla on kuusi virtuaalista aihiota. Ensimmäisessä aihiossa on tarkoituksena lukea arvoja lukujonon kuvaajalta, kunnkasvaa. Kuvassa 29 näkyy lukujonon viiden-nen jäseviiden-nen arvo (a₅ = 48). Liukusäätimellä voi käydä läpi muiden jäsenten arvot aina 13. jäseneen asti. Luokittelen aihion virtuaaliseksi, koska käyttäjä voi muuttaa ai-noastaan jäsenen numeroa sekä tarvitsee lisäohjeistusta. Lisäksi on vain numeerinen ja graafinen esitysmuoto.

Kuva 26: Otavan virtuaalinen aihio, joka havainnollistaa kuviojonon muodostumista.

Kuva 27: Otavan virtuaalinen aihio havainnollistaa aritmeettisen summan laskemista kuviota pyöräyttämällä. Tässä pyöräytys on aloitettu.

Kuva 28: Otavan virtuaalisen aihion kuvio pyöräytyksen lopuksi.

Lukujonon piirtämistä mallintavassa aihiossa kuvaaja piirretään yksi jäsen kerrallaan 10. jäseneen asti. Edellä olleen aihion tapaan tässäkin aihiossa näkyy n:nen jäsenen arvo numeerisesti ja graafisesti. Myös aritmeettista summaa selventävä aihio on sa-mantapainen, mutta kaikki summan 50 ensimmäistä jäsentä näkyvät heti kuvaajassa.

Käyttäjä voi kasvattaa ja pienentään:n arvoa liukusäätimellä. Luokittelen molemmat aihiot virtuaalisiksi, koska käyttäjä voi muuttaa ainoastaan jäsenen numeroa sekä tar-vitsee lisäohjeistusta. Lisäksi on vain numeerinen ja graafinen esitysmuoto.

Geometrista jonoa käsitteleviä aihioita on kolme kappaletta. Ensimmäisessä on nollaa kohti suppeneva jono, toisessa hajaantuva jono ja kolmannessa kasvava jono. Suppe-neva ja kasvava jono on piirretty valmiiksi, hajaantuvan jonon tapauksessa jäsenet piir-retään yksitellen. Jokaisessa käyttäjä voi muuttaa liukusäätimellä jäsenenn arvoa ja jäsen, jossa on menossa on väriltään punainen, paitsi hajaantuvan jonon tapauksessa sininen. Kaikki kolme aihiota luokittelen virtuaalisiin, koska mallintavat erilaisia luku-jonoja, käyttäjä voi muuttaa ainoastaan jäsenen numeroa sekä tarvitsee lisäohjeistusta.

Lisäksi on vain numeerinen ja graafinen esitysmuoto.

Lukujonoihin ja summiin liittyvien aihioiden vertailua

Taulukossa 12 on vertailun helpottamiseksi koottuna lukujonoihin ja summiin liitty-vien aihiotyyppien esiintyvyydet kirjoittain sekä aihioiden lukumäärä yhteensä kirjoit-tain. Otavalla on selvästi eniten aihepiiriin liittyviä aihioita, joista tosin suurin osa on testiaihioita. Myös E-Opilla suurin osa aihioista on testiaihioita. Sanoma Prolla on eni-ten informatiivisia aihioita sekä virtuaalisia aihioita. Otavalla on yksi virtuaalinen aihio vähemmän kuin Sanoma Prolla. E-Opilla on eniten interaktiivisia aihioita, joita Sano-ma Prolla ei ole yhtään. Staattisten työkalujen määrä on vähäinen, sillä Otavalla on

Kuva 29: Sanoma Pron aritmeettista lukujonoa havainnollistava virtuaalinen aihio.

kaksi, E-Opilla yksi ja Sanoma Prolla ei yhtään.

Taulukko 12: Lukujonoihin ja summiin liittyvien aihiotyyppien esiintyvyydet kirjoit-tain sekä aihioiden lukumäärä yhteensä kirjoitkirjoit-tain.

XXXX

Info Testi Virt. Staat. Interakt. Yhteensä

E-Oppi 0 17 0 1 4 22

Otava 2 45 5 2 1 55

Sanoma Pro 12 0 6 0 0 18