Funktio

E-opilla on testitehtäviä seitsemän kappaletta. Lisäksi E-opilla on tässä osiossa kak-si linkkiä ulkoiseen materiaaliin. Enkak-simmäinen on linkki videoon, jonka aiheena on funktio ja funktion kuvaaja. Videon tekijäksi on erikseen mainittu Pekka Peura. Toi-nen on linkki GeoGebran algebra-sovellukseen, ja opiskelijaa kehotetaan kokeilemaan erilaisten funktioiden piirtoa syöttämällä funktio syöttökenttään.

E-Opilla on yksi interaktiivinen aihio (kuva 14), jossa funktion kuvaajasta määritetään graafisesti funktion arvoja eri muuttujan arvoilla. Funktio on f(x) = ¹₈x³ ja aihion avulla täytyy selvittää, mikä on lausekkeen ¹₈ ·2³ arvo sekä millä muuttujanxarvolla päteex = ¹₈x³. Aihion käyttötarkoitus on kirjoitettu aihion välittömään läheisyyteen, joten katson ohjeistuksen sisältyvän aihioon. Aihiossa voi siirtää kuvaajalle piirrettyä pistettä, jolloin pisteen koordinaatit muuttuvat ja funktion arvo muuttuu. Funktion arvo on esitetty verbaalisesti sekä numeerisesti. Luokittelen aihion interaktiiviseksi, koska se sisältää useamman esitysmuodon (graafinen, numeerinen, algebrallinen ja verbaa-linen), aihiossa on mahdollista siirtää pistettä kuvaajalla, jolloinx:n ja funktion arvo muuttuvat ja aihion käyttö ei tarvitse lisäohjeistusta.

Otavalla on yhteensä 16 testiaihiota, joista luvun testiosuudessa näistä on kuusi. Loput

kymmenen ovat harjoitustehtävien yhteydessä.

Otavalla on kaksi informatiivista aihiota, joista ensimmäinen on käytännössä animaa-tio, jossa muodostuu lämpötilakäyrä yhden vuorokauden aikana. Animaation edetessä kellon viisarit liikkuvat, lämpömittarin lukema vaihtelee ja piirretään lämpötilakäyrää.

Käyttäjä voi ainoastaan aloittaa animaation alusta, käynnistää ja pysäyttää sen. Toinen informatiivinen aihio on video, jossa PITÄISI näyttää, miten funktio voidaan piirtää GeoGebran avulla, mutta tässä videossa näytetään miten auton arvon aleneminen voi-daan laskea GeoGebran laskentataulukon avulla. (ts. tässä luvussa olevan aihion pitäisi olla prosenttilaskentaluvussa ja päinvastoin)

Otavalla on seitsemän virtuaalista aihiota, joista ensimmäisessä mallinnetaan funktio-konetta (kuva 15). Vasemmalla olevia pisteitä, joiden yläpuolella näkyy kunkin pis-teen arvo, vedetään koneen läpi oikealle puolelle, jolloin niiden arvo muuttuu. Toisin sanoen vasemmalla puolella on lähtöarvo ja oikealla puolella loppuarvo. Aihion avulla täytyy muodostaa sanallinen sääntö loppuarvon riippuvuudelle lähtöarvosta ja selvit-tää tuntematonta lähtöarvoa vastaava loppuarvo. Luokittelen aihion virtuaaliseksi, kos-ka se mallintaa ja vaatii lisäohjeistusta. Vastaavanlainen funktiokone löytyy tehtävän 608 yhteydestä.

Kuvassa 16 oleva aihio on kolmas virtuaalinen aihio. Se havainnollistaa funktion y = f(x) kuvaajan muodostumista lisättäessä pisteitä koordinaatistoon. Aluksi nä-kyy vain yksi piste origossa ja lopulta pisteitä on niin paljon, että pisteet näyttävät muodostavan yhtenäisen käyrän. Käyttäjä voi missä vaiheessa hyvänsä saada näkyviin funktion käyrän. Luokittelen aihio virtuaaliseksi, koska se mallintaa funktion käyrää käyttäjän haluamalla tarkkuudella ja sen käyttäminen vaatii lisäohjeistusta. Aihion

voi-Kuva 14: Funktion arvojen määrittäminen kuvaajasta.

Kuva 15: Otavan funktiokoneessa lähtöarvot ovat vasemmalla ja loppuarvot oikealla.

Käyttäjä kuljettaa tiettyjä lukuarvoja kuvaavia pisteitä koneen läpi, jolloin niiden arvot muuttuvat.

si luokitella myös informatiiviseksi, jos käyttäjä ei voisi valita haluaako funktion nä-kyvän vai ei. Muutenhan kyseessä olisi vain pelkkä diaesitys, jonka käyttötarkoitus ei olisi kovin selvä.

Tehtävän 622 yhteydessä on virtuaalinen aihio, joka havainnollistaa neliötä, jonka si-vun pituus on 1 ja jonka keskellä on toinen pienempi neliö. Pienemmän neliön ko-koa voi muuttaa liukusäätimellä ja ääriasennoissaan pienempi neliö täyttää isomman neliön tai katoaa kokonaan. Pienen neliön sivuja on jatkettu isomman neliön sivuille saakka. Nämä jatkeet rajaavat neljä yhtä suurta sinistä suorakulmiota, joiden pinta-alojen summa on näkyvissä koko ajan. Isompi neliö on siis käytännössä jaettu yhdek-sään osaan. Tehtävänä on muodostaa funktioA, joka ilmaisee sinisten suorakulmoiden pinta-alojen summan pienen neliön sivun pituuden xfunktiona sekä piirtää funktion Akuvaaja, jolta pitää selvittää funktion suurin arvo. Luokittelen aihion virtuaaliseksi, koska se on luonteeltaan mallintava ja käyttäjä tarvitsee lisäohjeita (ts. tehtävänannon) sen käyttämisessä.

Tehtävän 632 yhteydessä on aihio (kuva 17), jossa on siirrettävä funktion kuvaajal-la olevia pisteitä siten, että funktiolle asetetut ehdot täyttyvät. Tehtävän a-kohdassa funktion nollakohtien lisäksi on annettu yksi negatiivinen väli ja yksi positiivinen vä-li. Tehtävässä kysytään minkä merkkinen funktion arvo on välillä x < 0. Tehtävän b-kohdassa on annettu eri ehdot selvitettävä väli. Aihio on virtuaalinen, koska se mal-lintaa ja siitä ei ole mainittavaa hyötyä ilman tehtävänantoa (ts. vaatii lisäohjeistusta).

Tehtävässä 643 on taulukoituna korkeus merenpinnasta kilometreinä sekä lämpötila celsiusasteina vastaavalla korkeudella. Aihiolla täytyy piirtää ilmakehän lämpötilaa korkeuden x funktiona kuvaava kuvaaja. Aihio on virtuaalinen, koska se mallintaa,

Kuva 16: Otavan funktion kuvaajan piirtämistä mallintava virtuaalinen aihio.

Kuva 17: Otavan virtuaalinen aihio, missä täytyy kuvaajalla näkyviä pisteitä siirtää funktiolle asetettujen ehtojen mukaisesti.

eikä aihio avaudu ilman tehtävänantoa.

Aloitusaukeamaan liittyvien tehtävien yhteydessä on virtuaalinen aihio, joka sisältää havaintoaineiston liittyen kahden testiryhmän jäsenten hapenottokyvyn ja iän väliseen yhteyteen. Aineistoon voi sovittaa kaksi suoraa. Kummallakin suoralla on kaksi pis-tettä, joista vetämällä pisteiden paikkaa voi muuttaa. Aihio vaatii lisäohjeistusta (ts.

tehtävänannon), eikä aihiossa ole muita ominaisuuksia, joten luokittelen sen virtuaali-seksi aihioksi.

Ensimmäinen interaktiivinen aihio havainnollistaa ympyrän pinta-alan riippuvuutta sä-teestä (ks. luku 4.2, kuva 5). Käyttäjä voi muuttaa säteen suuruuttaa liukusäätimellä.

Aihiossa esitetään sama asia usealla eri tavalla, sillä kuvaajassa on pinta-ala säteen funktiona, 2) pinta-alan (ja säteen) arvot näkyvät kuvaajan vieressä lukuarvoina, 3) ympyrä on piirretty kuvaajan viereen. Kyseessä on interaktiivinen objekti, koska on käytetty useita esitysmuotoja (graafinen, numeerinen) ja käyttäjä voi muuttaa sädet-tä liukusäätimellä. Aihiossa on pieniä ongelmia, sillä piirretyn ympyrän säteen arvo on ruutujen lukumäärien mukaan laskettuna kaksinkertainen. Lisäksi on mahdollista vahingossa siirtää kuvaajaa alaspäin, jolloin pinta-ala voi olla negatiivinen.

Kahdessa interaktiivisessa aihiossa näkyy funktion y = f(x) käyrä piirrettynä koor-dinaatistoon ja käyttäjä voi muuttaa muuttujanxarvoa liukusäätimellä. Funktion arvo muuttuux:n muuttuessa ja tämä esitetään graafisesti ja numeerisesti. Muuttujanx ar-vo esitetään lisäksix:n arvoa kuvaavan pisteen lähellä. Lisäksi esitetään verbaalisesti onko funktion arvo negatiivinen, positiivinen vai nolla. Negatiivisuutta on korostettu sinisellä värillä ja positiivisuutta punaisella värillä. Luokittelen molemmat aihiot inte-raktiivisiin, koska käytössä on useampia esitysmuotoja.

Sanoma Prolla on kuusi testiaihiota (monivalintatehtävät luvun lopusssa), kolme vir-tuaalista aihiota, kolme interaktiivista aihiota sekä yksi staattinen työkalu. Lisäksi on kymmenen informatiivista aihiota, joista neljä on ratkaisuvideoita tehtävien yhdeydes-tä.

Ensimmäinen informatiivinen aihio esittää vaiheittain, miten sähkön kokonaishinta muodostuu perusmaksusta ja kulutuksesta riippuvasta energiamaksusta. Aihio on käy-tännössä diaesitys, joten luokittelu on selvä. Toisessa diaesityksen kaltaisessa informa-tiivisessa aihiossa näytetään, miten funktionf(x) = 2^x−1kuvaaja piirretään taulukoi-mallax:n jay:n arvoja. Aluksiy:n arvo lasketaan antamallax:lle kokonaislukuarvoja, merkitään pisteet koordinaatistoon ja tämän jälkeenx:lle annetaan desimaalilukuarvo-ja. Käyttäjä voi liukusäätimen avulla edetä haluamallaan tahdilla. Viimeiseksi vedetään

Kuva 18: Funktion arvon lukeminen koordinaatistolta, kun muuttujanxarvo tunnetaan.

käyrä piirrettyjen pisteiden kautta ja taulukko häviää.

Kuvan 18 aihio esittää kahta funktiota ja se opettaa lukemaan funktion arvoja kuvaa-jista. Kuvassa on esitettynä viimeinen vaihe, jolloin funktioidenf jag arvot on luettu.

Käytännössä aloitetaan lukemallaf(2)arvo; koordinaatiston kohtaanx = 2ilmestyy nuoli, joka törmääf:n kuvaajaan ja liukusäädintä liikuttamalla ilmestyy nuoli vasem-malle kohtaany=−1. Lisäksi kuvaan ilmestyvät koordinaatit(2,−1)ja funktion arvo kohdassax = 2, elif(2) = −1. Tämä sama toistuu funktiolle g. Luokittelen aihion informatiiviseksi, koska kyseessä on käytännössä diaesitys.

Lisäksi on kaksi edellisen kanssa samantyyppistä aihiota, joissa molemmissa funktion arvo, eli kuvaajany-koordinaatti on annettu ja tarkoituksena on lukea x-koordinaatti kuvaajalta. Tämä toteutetaan vaiheittain liukusäätimellä. Luokittelen molemmat infor-matiivisiksi aihioiksi. Aihion, jossa piirretään tiettyjen pisteiden kautta suora ja lopuk-si on tarkoitus tutkia ovatko kaklopuk-si muuta pistettä samalla suoralla, luokittelen myös informatiiviseksi aihioksi. Käytännössä kyse on diaesityksestä.

Staattisia työkaluja on yksi. Kyseessä on aihio, johon käyttäjä voi antaa syötteenä muuttujan x arvon ja aihio näyttää, miten funktion f(x) = √

16−x arvo lasketaan vaiheittain. Kaikki vaiheet tosin näkyvät kerralla. Esimerkiksi syötteen x ollessa 3, lasketaan ensin lukujen 16 ja 3 erotus ja tämän jälkeen lasketaan erotuksen neliöjuuri ja esitetään saatu arvo funktion arvona. Kyseessä on selkeästi vain laskimen jatke, ts.

staattinen työkalu.

Interaktiivisia aihioita on kolme. Ensimmäisessä aihiossa esitetään kahden funktion

Kuva 19: Sanoma Pron interaktiivisessa aihiossa käyttäjä voi antaa haluamansa funk-tion lausekkeen ja tutkia funkfunk-tion saamia arvoja kokonaisluvuillax∈[−10,10].

arvon laskeminen ja käyttäjä voi liukusäätimellä säätää muuttujan x:n arvoa välillä [−10,10]. Liukusäädin on ylimpänä ja vieressä näkyy x:n arvo. Jos x = −3, niin alempana näkyy ensimmäinen funktio f(x) = 2(x − 3) ja tämän alla f(−3) = 2(−3− 3) = −12. Näiden alla näkyy toinen funktio g(x) = 5x+ 9 ja tämän alla g(−3) = 5·(−3) + 9 = −6. Luokittelen aihion interaktiiviseksi, koska funktioista on algebrallinen sekä numeerinen esitysmuoto, käyttäjä voi muuttaa muuttujan arvoa liukusäätimellä nopeasti ja käyttäjä ei tarvitse lisäohjeistusta. Aihion voisi luokitella myös informatiiviseksi, sillä aihion voisi tulkita diaesitykseksikin käyttäjä manipuloi-dessa aihiota vain yhden liukusäätimen avulla. Aihio kuitenkin opettaa funktion arvon laskemista mielestäni riittävän hyvin.

Toisessa interaktiivisessa aihiossa (kuva 19) käyttäjä voi kirjoittaa haluamansa funktion f(x) lausekkeen ja antaa liukusäätimellä x:lle kokonaislukuarvoja (x ∈ [−10,10]). Aihio tulostaa funktion arvon kyseisessä kohdassa sekä tiedon siitä, on-ko kyseessä funktion nollaon-kohta tai funktion arvo on-kohdassa0. Luokittelen aihion in-teraktiiviseksi, koska käyttäjä voi syöttää haluamansa funktion, muuttaa muuttujanx arvoa liukusäätimella ja aihiossa on useampi esitysmuoto (algebrallinen, numeerinen ja verbaalinen).

Kolmannessa interaktiivisessa aihiossa luetaan arvoja funktion2^xkuvaajalta. Tässäx:n arvoa voi muuttaa liukusäätimellä ja samalla punainen pallukka liikkuu funktion ku-vaajalla ja funktion arvo tulostetaan. Luokittelun perusteluna ovat useampi esitysmuo-to (graafinen ja numeerinen) ja käyttäjän mahdollisuus muuttaa arvoja liukusäätimellä nopeasti. Aihiossa on muutama ongelma, sillä kaikki funktion arvot näkyvät likiarvoi-na, esim. 2² ≈ 4 ja lisäksi käyttäjä voi vahingossa siirtää kuvaajaa, jolloin tulostuu vääriä arvoja (myös negatiivisia arvoja).

Virtuaalisia aihioita on kolme, joista ensimmäinen esittää funktiokonetta, jonka läpi viedään kaksi lukua. Ensin viedään läpi luku 8, josta vähennetään 5 ja saadaan arvo 3.

Toisena viedään läpi luku 9, josta vähennetään 5 ja saadaan arvo 4. Luokittelen aihion virtuaaliseksi, koska se mallintaa (funktiokonetta) ja vaatii lisäohjeistusta. Aihiosta on huomattava, että se on diaesityksenä hyvin lähellä informatiivista aihiota.

Toisessa virtuaalisessa aihiossa on tarkoituksena siirtää pistettä kuvaajalla ja tarkastel-la pisteen koordinaatteja. Funktiollef(x)lasketaan ja ilmoitetaan arvox:n muuttuessa.

Siirrettävä piste muuttuu punaiseksi ollessaan positiivinen ja siniseksi ollessaan nega-tiivinen. Luokittelen aihion virtuaaliseksi, sillä funktio on esitetty vain graafisesti, eli siinä ei ole useampia esitysmuotoja. Lisäksi käyttäjä tarvitsee lisäohjeistusta (tehtä-vänannon, tms.).

Kolmannessa virtuaalisessa aihiossa voi liikuttaa käyrällä olevaa punaista pistettä liu-kusäätimen avulla samalla kun pisteen alla olevat lukemat muuttuvat sijainnin mukaan.

Tehtävänä on lukea energiankulutus kuvaajalta. Perusteluna luokittelulle aihio mallin-taa todellista tilannetta ja käyttäjä vaatii lisäohjeistusta.

Funktioon liittyvien aihioiden vertailua

Taulukossa 10 on vertailun helpottamiseksi koottuna funktioihin liittyvien aihiotyyp-pien esiintyvyydet kirjoittain sekä aihioiden lukumäärä yhteensä kirjoittain. Otavalla oli yhteensä eniten aihioita ja E-Opilla vähiten. E-Opilla oli vain yksi interaktiivinen aihio, kun taas Otavalla ja Sanoma Prolla molemmilla oli kolme. Otavalla oli E-Oppia ja Sanoma Prota enemmän testiaihioita sekä virtuaalisia aihioita. Sanoma Prolla oli selvästi eniten informatiivisia aihioita.

Taulukko 10: Funktioihin liittyvien aihiotyyppien esiintyvyydet kirjoittain sekä aihioi-den lukumäärä yhteensä kirjoittain.

Info Testi Virt. Staat. Interakt. Yhteensä

E-Oppi 1 7 0 0 1 9

Otava 2 16 7 0 3 28

Sanoma Pro 10 6 3 1 3 23

Kun verrataan Sanoma Pron funktiokoneaihiota Otavan funktiokoneeseen, niin Otavan kone vaati käyttäjältä enemmän osallistumista, koska sen läpi vietiin useampia arvoja ja käyttäjän piti konkreettisesti vetää luku koneen läpi toiselle puolelle. Sanoma Pron vastaava aihio muistutti lähinnä diaesitystä ja luokittelin sen vaivoin virtuaaliseksi.