Mat-1.1320 Matematiikan peruskurssi K2

(1)

Mat-1.1320 Matematiikan peruskurssi K2

Heikkinen/Tikanm¨aki

Toinen v¨ alikoe 29.03.2011

Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta.

1. Funktion f(x, y) asteen n Taylorin polynomi keskuksena (a, b) on

P_n(x, y) =

n

X

m=0 m

X

j=0

1 j!(m−j)!

∂^j

∂x^j

∂^m−j

∂y^m−jf(a, b)(x−a)^j(y−b)^m−j. Määrää funktionf(x, y) =e^x+2ytoisen asteen Taylorin polynomi keskuksena (0,0).

2. a) Laske R

√π 0

Rx

0 sin(x²)dy dx.

b) Laske RR

Dy dA, kun D on puolikiekko x²+y² ≤1,y≥0.

3. a) Laske

Z Z Z

R

xycosz dV,

kun R on suorakulmainen s¨armi¨o 0≤x ≤1, 0≤y ≤2, 0≤ z ≤ π/2.

b) Laske

Z Z Z

D

z dV,

kunDon epäyhtälöideny≥0,z ≥0 jax²+y²+z² ≤4 määräämä neljäsosapallo. Saatat tarvita pallokoordinaattimuunnosta

x=ρsinφcosθ y=ρsinφsinθ z=ρcosφ

dV =dx dy dz =ρ²sinφ dρ dθ dφ.

4. a) Onko vektorikentt¨a F(x, y) =−yi+xj konservatiivinen?

b) Laske Helix-käyränr(t) = (cost,sint, t) kaarenpituus parametrivälillä t∈[0,4π].

1

(2)

-^ /^^ d^ ^ f 37 -o

^

3:< ^ ^- ^r-

^1^ <u^> -+-) F"

^

.^ --t

(Ä^^-t 10^ .>

n

3 Cs-l

^1^ xl-t? £

f~So/^^ ^0>\)-l-xw nc??t.N <^~^ ,0^«^f

l" If^i-t-^.:-

jni^i-b

3" ^^^ o.\; f^*X?<--<*<J-

^

3

^

-P^^o

5"

0^»s

m

3

fm o^o^.s^0' II,p-s>"&cc <^J3

^

(/ov««l;

2t|qÄ- ^

r-+-c-coeott.o )^<?'Su^

^-

o-^o\^ ^&+x^^>

-b ?

//f ((^-^ <^oNcx.<L> l/ccccc-cCcoJS<l>1^Cc.^?

t ^

o^Cc\.l?ON>, /<>ou=3 a

^

t^ *^fft K^^<TCf»s> or-t^ ><o^/

r

^

ä-

-b/-^ ^>^t

W^!^ ?

^

-^xCP.0^ -of .t-o3c^' ?>Cfr-^?

^\-

C£IItl

^

xol* s^J"^<L>3c C-'- ^(^

r

of^pp>i-'> .^?s±c^ +.^-t-

^1-h ==.==.= ^ =

^--

5

» .?(^

^

3 f»h>(-< LfLf.o-^F-333353c;- H(/o

'/

onIIII11

L-X)

LC tltl

'?H

c^

^

?

^c/^-^ ftf^^tr\.N:o^'^ ccN ^*C--c-,&-c-c-/'/yfc- /-rHr*111nn

te

N/c "scc^c cc,

r

C£& »/ fJn3 >0&I/ ^

5~

«>; ^

o,

o^<

^

o^^Vo(/^ ^nCjc -c-

(3)

d

^

x

>^-< ^..s

^ -t^<^> -h

fi

.-o 1^(^

y H

<^/^^~~\ >^ f/ oa^-/^ ,0

^

»'r

If9CJT rsl?^ t//T-

:s

» +,?f^~ t(/NCt- -\+

>:j

.h

t

+3 K'".^o,+?s T

^

^ /^+

^

,0

?£.

x^+-/(<-"* ^Cjc esp^>^3 ^ns^^)

<n + c^a:ft>y ^-3^~?T^+J^

NS

+^+ +?Y rp /^

Ly" ->

N>!-~ ^><

.^ ?

^1-

£

\ > c^ Mt-A)

^ 3

v»t^* /^N+

s

t-^ Ki+ltCj& ^f^->

f ^fc^^ ^

^\-

+.^^>rCc+ ^+ c^

?

/ +^CJcN>o+f^ ^a~ ?-ö ^^^

"^ 5:

CTff ^-f- Crc&cc ^-t-

^ 3 ?

ftt- //f>pf^}- » <^.^

<0~0

><

^

^.

t

CT ^ ^^^ ^f

c r

C£<^~

^

o s>

R

.V-c- o^ .)

r

^~0 ^

s- J

t

^

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

^

-»- ^y-

^' ^

^ 3? c<y^^

p

r^^

~c 3 ^

=(=

o

-o Ccltyc»^r°X^ .+c^- o

Sf ^ lt ^'?

y

^

o-t;xz<

^ ^}

"o

TH

(^^^^\ /\3 ^/-\o

r<l

^^

5

^l/(^-

^ ll

9f

:?.pf

<yl/

4 ?

fVu» ^^^^ "><

ä

\)

^ J, ^> r->

CC u^

^

^o(/

^ l

'ni^

^

H

?f

?-^

^-

p r\33At/x^c-^<tl'y/ o ^L,o

'-)-,

>.-^^ Iftr-"H

^ ^

<^ :°^ vf

^1

*-^

t

t^\rrr^J

9

^ s-fr~'>.?t/Il.)^^>

^ -

\./ 1^-p«-<

f ->cr> ff"&S«tl

f*r

^

3T

-3^§

(^

f

Cf^J**

?'r .N*

c^Ilxr^<"^^ ^>rts.<-\:)Cc

7°

d-<T\+o" ^

5 ^

r~>

l- ^ sj

/ ^

&

n<>

^

<H-^

?

F^»eh

v pf

p/<^*^o'?\ r\CC ^&"^<p"^

ls~

^» Ku-c/->

'±

o-

z

tn^~\ a-y

r

uo'

flf!?-

n

^1<: ^ l

fc ul*

T1)

^.3ou

3 ^

^ -c-T.)}u

F'

pru\n-

^

r><^' o£qS_

m^

ll

3

^?

t,

o

s. tlH ^^

^ ftf SL

Ccocj:.f \^'-+ ^c^

^ -H)

<-:)«t(^'*?~ ^^ tn"h //~^ s.iL ?

^

&u^- ^

^i i-i'^^ ^?T 'ti ";,

ll

l;fC- r c^f

^^

fn tt

fi

32S^)0 +/f\f->

r

->^>

^

f-

^

3yy

-;M^ t^^

l» eh

^

n>rs.^-^11 c--' Pt\}^\.^ cc Il".o ^ (^/^(-£y/<s

r u? ö

rv- f--.3.>ocChoc-cr*\+c?.3'h.*»^/~\^ ^

^

?-s^00^

r

(^'-.r^^n>^ -T-p-

^ r ?

JO

- t°

(^<^ 0\ ^y

.ltl)^

fCl

^ ?<->^cS?<<t»

.t

>

s-

Jö o--/ ~0 ?=' ^"d^

^

<* ^1

^

(^

t

%^ ^Ci. ^

><

> ,L^/ <<. l/^f^ 1^

X?

a*G^>t^

5 ^

..< ^.><

s-,

Cc

%

^

\)

§-

<-y\..*