Kun t ∈ [0,12] niin f(t

Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Gripenberg/Siljander Mat-1.1040 L4

1. v¨alikoe 23.2.2010

Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ! Laskin (yo-kirjoituksissa hyv¨aksytty) on sallittu apuv¨aline t¨ass¨a kokeessa!

1. Olkoonf(t) = min{t,1−t}, t ∈ [0,1]. Kun n ≥ 1niinf:n Fourier- kertoimet ovatf(n) =ˆ ⁽⁻¹⁾_2π2ⁿn⁻¹² .

(a) P¨a¨attele ja/tai laske mit¨a Fourier-kertoimetf(n)ˆ ovat kunn≤0.

(b) Laske n¨aiden tulosten avullaP∞ n=1 1

(2n−1)⁴ (tai selit¨a ainakin miten laskisit t¨am¨an sarjan summan jos olisit ratkaissut (a)-kohdan).

Ratkaisu:(a)

f(0) =ˆ Z 1

0

f(t)dt= 1/2

1

t² 2 +

1 1/2

(t− ^t₂²) = 1

8+ 1−1 2 − 1

2+ 1 8 = 1

4. Kun t ∈ [0,¹₂] niin f(t) = t ja kun t ∈ [¹₂,1]niin f(t) = 1−t. Kun f jatketaan jaksolliseksi funktioksi niinf(t) = 1−(t−1) = −t = |t|kun t∈[−¹₂,0], elif on parillinen funktio. T¨ast¨a seuraa, ett¨a josn <0niin

fˆ(n) = Z ¹₂

−¹₂

e^−i2πntf(t)dt= Z ¹₂

−¹₂

e^{−i2πn(−s)}f(−s)ds

= Z ¹₂

−¹₂

e^i2πnsf(s)ds= ˆf(−n) = (−1)⁻ⁿ−1

2π²(−n)² = (−1)ⁿ−1 2π²n²

(b) Edellisest¨a kohdasta n¨ahd¨a¨an, ett¨afˆ(n) = −_π2¹n² josnon pariton jaf(n) = 0ˆ josnon parillinen ja6= 0. Lis¨aksi p¨ateef(n) = ˆˆ f(−n). N¨ain ollen

X

n∈Z

|f(n)|ˆ ² =|fˆ(0)|²+ 2 X∞

n=1

|fˆ(2n−1)|² = 1 16+ 2

π⁴ X∞

n=1

1 (2n−1)⁴. Koska

Z 1 0

f(t)²dt = Z

−¹₂

1

2t²dt= 2 Z ¹

2

0

t²dt= 2 ¹₂

0

1

3t³ = 1 12, niin kaavastaP

n∈Z|f(n)|ˆ ² =R1

0|f(t)|²dtsaadaan X∞

n=1

1

(2n−1)⁴ = π⁴ 2

1 12 − 1

16

= π⁴ 96.

2. Oleta tunnetuksi, ett¨a josg ∈L¹(R)jag(ω) = 0ˆ kun|ω| ≥ ¹₂ niin g(t) =

X∞

n=−∞

g(n)sin(π(t−n)) π(t−n) .

(a) Osoita, ett¨a josf ∈ L¹(R)jafˆ(ω) = 0kun|ω| ≥ _2a¹ miss¨aa > 0 niin

f(t) = X∞

n=−∞

f(na)sin(^π_a(t−na))

π

a(t−na) .

(b) Miksi p¨atee (a)-kohdan oletuksilla, ett¨a f on jatkuva (tai ainakin, ett¨af(t) = F(t)melkein kaikkialla miss¨aF on jatkuva)?

Ratkaisu:M¨a¨aritell¨a¨ang(t) = f(at). Silloing ∈ L¹(R)jag(ω) =ˆ ¹_afˆ(^ω_a).

Nyt|^ω_a| ≥ _2a¹ t¨asm¨alleen silloin kun|ω| ≥ ¹₂ jotenˆg(ω) = 0kun|ω| ≥ ¹₂. Jos nyt oletettuun kaavaang:n paikalle sijoitetaanf(at)saadaan tulokseksi

f(at) = X∞

n=−∞

f(an)sin(π(t−n)) π(t−n) . ja jos t¨ass¨a kaavassa valitaant = ^τ_a saadaan

f(τ) = X∞

n=−∞

f(an)sin(π(^τ_a−n)) π(^τ_a−n) =

X∞

n=−∞

f(an)sin(^π_a(τ −na))

π

a(τ −na) , ja v¨aite on todistettu.

(b) Josf ∈ L¹(R)niinfˆ∈ C(R)ja kun oletetaan, ett¨af(ω) = 0ˆ kun

|ω| ≥ _2a¹ niin fˆ ∈ L¹(R) ja koskaf on k¨a¨anteiskaavan nojalla funktion fˆ(−ω)Fourier-muunnos niinf on jatkuva.

3. Oletetaan, ett¨af on jatkuva ja jaksollinen funktio (jonka jakso on1) ja ett¨a sen arvot f(_N^k) tunnetaan pisteiss¨a _N^k kunk = 0,1, . . . , N −1. Esit¨a jokin j¨arkev¨a ja tehokas tapa funktionf Fourier-kertoimien approksimaa- tioden laskemiseksi.

Ratkaisu:Valitaan jokin sopiva funktiopN :R→Csiten, ett¨apN(t+ 1) = pN(t)ja

pN(t) =

(1, t = 0,

0, t = _N^k, k = 1,2, . . . , N −1, ja m¨a¨aritell¨a¨an sen avulla

g(t) =

NX−1

k=0

f _N^k

p_N t− _N^k .

T¨am¨a funktio on jaksollinen jaksolla1ja jost = _N^j miss¨a0 ≤j ≤ N −1 niin p_N t− _N^k

= 1kun k = j ja 0muilla arvoilla k ∈ {0, . . . , N −1}

ja siit¨a seuraa, ett¨ag(_N^j) = f(_N^j). M¨a¨airtell¨a¨anF(k) =f(_N^k)ja lasketaan funktiong Fourier-kertoimet jolloin saadaan

ˆ g(m) =

Z 1 0

e^−i2πmt

NX−1

k=0

F(k)pN t−_N^k dt

=

N−1X

k=0

e^−i2πmkN F(k) Z 1

0

e^{−i2πm(t−Nk)}p_N t− _N^k dt=

=

NX−1

k=0

e^−i2πmkN F(k) Z 1−N^k

−_N^k

e^−i2πmtp_N(t)dt

=

NX−1

k=0

e^−i2πmkN F(k)pc_N(m) = ˆF(m)pc_N(m).

4.

(a) Selit¨a miten harmonisten funktioiden maksimiperiaatteesta seuraa, ett¨a josΩ⊂R^don avoin ja rajoitettu niin on olemassa korkeintaan yksi funktio u ∈ C(Ω) siten ett¨a u on harmoninen joukossa Ω ja u=greunalla∂Ωmiss¨ag on annettu funktio.

(b) Oletetaan, ett¨auon harmoninenR^d:ss¨a ja on olemassa positiiviset vakiot vakiotα jaβ sek¨aγ ∈ (0,1)siten, ett¨a|u(x)| ≤ α+β|x|^γ kaikillax∈R^d. Seuraako t¨ast¨a, ett¨auon vakio? Perustele!

Ratkaisu: Oletetaan, ett¨a olisi olemassa kaksi funktiotau₁ ja u₂, jotka to- teuttava annetut ehdot ja on osoitettava, ett¨au₁ =u₂. Erotusv =v₁−u₂on my¨os harmoninen joukossaΩ, jatkuva sen sulkeumassaΩjav =g−g = 0 reunalla∂Ω. Kun maksimiperiaatetta sovelletaan funktioon v saadaan ett¨a v(x) ≤ maxy∈∂Ωv(y) = 0 kun x ∈ Ω ja kun se sovelletaan funktion

−v (joka tietenkin toteuttaa samat ehdot) niin todetaan, ett¨a −v(x) ≤ maxy∈∂Ω(−v(y)) = 0 kunx ∈ Ω ja t¨ast¨a seuraa, ett¨a v(x) = 0kaikilla x∈Ωjau₁ =u₂.

(b) Olkoon |x| = r < R ja v(x) = u(x) +α +βR^γ. Silloin v on harmoninenR^d:ss¨a jav(y)≥0kun|y| ≤R. Poissonin kaavan mukaan

v(x) = 1 Ra(S^d−1)

Z

|y|=R

R²− |x|²

|x−y|^d v(y)dS(y),

ja keskiarvo-ominaisuuden nojalla

v(0) = 1 R^d−1a(S^d−1)

Z

|y|=R

v(y)dS(y).

Koska v(y) ≥ 0jaR−r ≤ |x−y| ≤ R+r kun|y| = R niin saadaan ensin ep¨ayht¨al¨o

(R−r)R^d−2

(R+r)^d−1 v(0)≤v(x)≤ (R+r)R^d−2 (R−r)^d−1 v(0), jolloin funktionvm¨a¨aritelm¨ast¨a seuraa, ett¨a

(R−r)R^d−2 (R+r)^d−1 −1

u(0) +α+βR^γ

≤u(x)−u(0)

≤

(R+r)R^d−2 (R−r)^d−1 −1

u(0) +α+βR^γ . Nyt

R→∞lim R

(R−r)R^d−2 (R+r)^d−1 −1

= lim

R→∞RR^d−1−rR^d−2−R^d−1−Pd−1 j=1

d−1 j

R^d−1−jr^j

(R−r)^d−1 =−dr,

ja

R→∞lim R

(R+r)R^d−2 (R−r)^d−1 −1

= lim

R→∞RR^d−1+rR^d−2−R^d−1−Pd−1 j=1

d−1 j

R^d−1−j(−r)^j

(R−r)^d−1 =dr.

Koskaγ ∈(0,1)niin t¨ast¨a seuraa, ett¨a

R→∞lim

(R−r)R^d−2 (R+r)^d−1 −1

u(0) +α+βR^γ

= lim

R→∞

(R+r)R^d−2 (R−r)^d−1 −1

u(0) +α+βR^γ

= 0, josta seuraa, ett¨au(x) = u(0)ja koska xoli mielivaltainen niin n¨ahd¨a¨an, ett¨auon vakio.