OPERAATIOANALYYSI¨A SOTILAILLE

SOTILAILLE

Matti Lehtinen

Sotilaan koulutuksen ydinaluetta on operaatiotaito ja taktiikka. Operaatioanalyysi on puo- lestaan oppi ja taito, jolla on k¨aytt¨o¨a mit¨a erilaisimmilla toiminnan alueilla. Operaatio- analyysi¨a ’toimintojen erittely¨a’ on harrastettu kautta aikojen. Nykyisin operaatioanalyy- siksi miellett¨av¨an tieteenalan katsotaan saaneen alkunsa erilaisista toisen maailmansodan aikana tehdyist¨a sodank¨aynnin tehostamiseen t¨ahd¨anneist¨a tarkasteluista ja niit¨a varten kootuista ryhmist¨a, joiden taitoa ja menetelmi¨a saatettiin sodan j¨alkeen k¨aytt¨a¨a hy¨odyksi mm. liike-el¨am¨ass¨a.

Operaatioanalyysin teht¨av¨akent¨an laajuudestakin johtuu, ett¨a operaatioanalyysin alle lue- taan varsin erilaisia menetelmi¨a. T¨ass¨a lyhyess¨a katsauksessa esitell¨a¨an tavallisimpia ja kirjallisuudessa useimmin esiintyvi¨a operaatioanalyysin alueita. Vaikka matemaattinen koneisto on pyritty pit¨am¨a¨an sivuosassa, menetelmist¨a esitet¨a¨an joitakin yksinkertaistet- tuja laskuesimerkkej¨a. Niiden l¨apik¨aynti kyn¨an ja paperin kanssa saattaa valaista asioita enemm¨an kuin pelkk¨a tekstiin tutustuminen. – Operaatioanalyysin oppikirjoihin juur- tuneen perinteen mukaisesti t¨ass¨akin esityksess¨a on omistettu runsaasti tilaa lineaarisen optimoinnin matematiikalle. Sit¨a koskeva osa on t¨ass¨a esitetty melko lailla alkeista l¨ah- tien. N¨am¨a lineaarialgebran jaksot voi lukija hyvin sivuuttaakin muun ymm¨art¨amisen k¨arsim¨att¨a. Viimeinen, jonoteoriaa k¨asittelev¨a luku vaatii esitiedoikseen jonkin verran todenn¨ak¨oisyyslaskennan ja differentiaaliyht¨al¨oiden tuntemusta.

Sis¨ allys

1 Yleist¨a . . . . 5

1.1 Operaatioanalyysin kulku . . . . 5

2 Simuloinnista . . . . 7

2.1 Satunnaisluvut . . . . 7

2.2 Simuloinnin tarkkuudesta . . . . 7

3 Taistelun mallintaminen . . . . 9

3.1 Mallintamisesta yleens¨a . . . . 9

3.2 Lanchesterin neli¨olaki . . . . 10

3.3 Lanchesterin lineaarinen laki . . . . 10

3.4 Monipuolisempia malleja . . . . 11

3.5 Stokastiset mallit . . . . 12

5.6 QJM. . . . 12

4 Lineaarista optimointia . . . . 15

4.1 Graafinen ratkaisu . . . . 15

4.2 Matriisilaskennan mieliinpalautusta. . . . 17

4.2.1 Vektorit ja vektoriavaruus. . . . 17

4.2.2 Matriisit . . . . 19

4.2.3 Lineaarinen yht¨al¨oryhm¨a . . . . 21

4.2.4 Gaussin – Jordanin eliminointimenettely . . . . 23

4.3 Simplex-algoritmi . . . . 25

4.4 Duaaliongelma ja herkkyysanalyysi . . . . 31

4.5 Kuljetusongelma . . . . 32

4.5.1 Kuljetusongelman ratkaisumenetelm¨a . . . . 33

4.5.2 T¨oidenjako-ongelma . . . . 33

5 P¨a¨at¨oksenteosta ep¨avarmoissa tilanteissa . . . . 35

5.1 Klassisia p¨a¨at¨oksentekoperiaatteita . . . . 35

5.2 Hy¨otyfunktio . . . . 37

5.3 P¨a¨at¨ospuu . . . . 38

6 Peliteoriaa . . . . 40

6.1 Nollasummapelit . . . . 40

6.1.1 Optimiratkaisun etsiminen lineaarisen ohjelmoinnin avulla . . . . 43

7 Verkoista . . . . 46

7.1 Verkkoon liittyvi¨a k¨asiteit¨a . . . . 46

7.2 Suunnatut verkot . . . . 49

7.3 Verkon optimointiteht¨avi¨a . . . . 49

8 Dynaamista optimointia . . . . 51

8.1 Esimerkkej¨a . . . . 51

8.2 Kriittisen polun menetelm¨a . . . . 52

9 Monitavoiteoptimoinnista . . . . 54

9.1 Kriteerist¨o . . . . 54

9.2 Kriteerien yhdist¨aminen . . . . 55

9.2.1 Sanakirjaj¨arjestys . . . . 55

9.2.2 Yhdist¨aminen hyvyysfunktion avulla. . . . 55

9.2.3 Kriteerien yhteismitallisuus. . . . 56

9.3 Painokertoimet . . . . 56

9.3.1 Parivertailumenetelm¨a . . . . 58

10 Analyyttinen hierarkiaprosessi . . . . 59

10.1 Kriteerien hierarkiamalli . . . . 59

10.2 Hiukan viel¨a matriisilaskennasta . . . . 60

10.3 Vertailujen yhteensopivuus . . . . 62

10.4 Useita arvioitsijoita . . . . 62

10.5 Alakriteerien pisteiden yhdist¨aminen . . . . 62

11 Monta p¨a¨att¨aj¨a¨a . . . . 64

11.1 Arrow’n paradoksi . . . . 64

11.2 Delphi-menetelm¨a . . . . 64

1 Yleist¨ a

Yhden alkuper¨aisen m¨a¨aritelm¨an mukaan operaatioanalyysi on tieteellinen metodi, joka tuottaa p¨a¨at¨oksentekij¨oille ratkaisujen kvantitatiivisia perusteita. Tyypillisesti p¨a¨at¨ok- senteko koskee asioita, joissa on ihmisi¨a, koneita ja organisaatioita ja useimmiten my¨os ep¨avarmuutta. Operaatioanalyysi etsii parasta, optimaalista menettelytapaa tai yleens¨a rationaalisesti perusteltavaa toimintatapaa p¨a¨at¨oksentekotilanteissa, joissa resurssit ja toi- mintamahdollisuudet ovat erilaisten ehtojen rajaamia. Operaatioanalyysi samastetaan usein ongelmien mallintamisessa ja anlysoinnissa k¨aytett¨avien matemaattisten menetel- mien kanssa. Tyypillist¨a on, ett¨a ratkaistavissa ongelmissa on my¨os piirteit¨a, joita ei voi tyydytt¨av¨asti mallintaa matemaattisesti. Operaatioanalyysin sanotaan olevan sekoitus tiedett¨a ja taidetta.

Operaatioanalyysin piiriin lukeutuvia, yleens¨a spesifeihin ja selv¨ahk¨orajaisiin kysymyk- siin sovellettavia tekniikkoja ovat mm.lineaariset ja ep¨alineaariset optimointimenetelm¨at, jonoteoria, erilaisetverkkomenetelm¨at, etsint¨ateoria, peliteoria jasimulointi. N¨aist¨a erote- taan toisinaan systeemianalyysi, joka miellet¨a¨an suurempien ja rajoiltaan ep¨aselvempien,

”strategisten” ongelmien tieteelliseksi ja kvantitatiiviseksi analysoimiseksi. Raja operaa- tioanalyysin ja systeemianalyysin v¨alill¨a on kiistanalainen: monet auktoriteetit pit¨av¨at oppeja periaatteessa samoina.

1.1 Operaatioanalyysin kulku

Operaatioanalyysin tarpeen ajatellaan usein tulevan esiin tilanteessa, jossa p¨a¨att¨aj¨all¨a on edess¨a¨an vaihtoehtoisia toimintatapoja, joiden kesken h¨an voi itse tehd¨a valintaa, tai eri tulevaisuusskenaarioita, joiden toteutumisen todenn¨ak¨oisyydest¨a voi antaa arvioita.

Valintansa tai ennustuksensa tueksi p¨a¨att¨aj¨a tarvitsee operaatioanalyytikon mielipiteen.

Operaatioanalyytikon ensimm¨ainen ja t¨arkein teht¨av¨a on ongelman muotoilu. Mik¨a on tavoite? Mitk¨a ovat valintavaihtoehdot? Mill¨a vaihtoehtojen hyvyytt¨a mitataan? Mitk¨a ovat tilanteeseen liittyv¨at muuttujat ja niiden keskin¨ainen riippuvuus? Toinen teht¨av¨a on mallintaminen. Mallilla ymm¨arret¨a¨an matemaattista tai muuta mallia.

Esimerkki. Ongelma: etsi nopein tieA:staB:hen, kun tied¨at matkustusajat useiden vaih- toehtoisten ja toisiinsa liittyvien reittipisteiden v¨alill¨a. Malli: Solmi narunp¨atki¨a, joiden pituudet ovat verrannollisia aikoihin, kuvioksi, jonka solmukohdat vastaavat reittipisteit¨a.

Ved¨a kuvio kire¨alle. Nopein reitti muodostuu niist¨a p¨atkist¨a jotka ovat kirein¨a.

Matemaattiseen malliin liittyy muuttujia, joista jotkut ovat toimijoiden s¨a¨adelt¨aviss¨a, jot- kut m¨a¨ar¨aytyv¨at ymp¨arist¨ost¨a. Matemaattinen malli on joukko muuttujista muodostet- tujen lausekkeiden v¨alisi¨a yht¨al¨oit¨a ja ep¨ayht¨al¨oit¨a.

Seuraava vaihe on malliin liittyv¨an datan hankinta ja mallin ratkaiseminen. Sotilaallisiin kysymyksiin liittyv¨a oikea data on usein vaikeasti hankittavaa. Ratkaisu voi olla joko

analyyttinen tai simuloitu. Analyyttisen ratkaisu on yleens¨a siin¨a mieless¨a paras, ett¨a kontrolloitavien muuttujien vaikutus vaihtoehtojen hyvyyteen voidaan lukea suorempaan.

Analyyttiset ratkaisut eiv¨at usein kuitenkaan onnistu; t¨all¨oin k¨aytet¨a¨an simulointia.

Mallin varmentaminen eli validointi tarkoittaa sen antamien tulosten vertaamista reaali- maailmaan. Jos vertailudataa on riitt¨av¨asti, validointi saattaa tarkoittaa mallin antamien tulosten vertaamista aineistoon tilastollisesti. Sotilaallisissa ongelmissa ei useinkaan ole olemassa mallinnettua asiaa koskevaa reaalista dataa. Validointi perustuu t¨all¨oin asiantun- tijamielipiteisiin ja esim. sen tarkasteluun, miten mallin tulos suhtautuu sen parametrien variointiin, ts. herkkyysanalyysiin. Mallin implementointi on analyysin viimeinen vaihe.

Operaatioanalyyttiset tutkimukset johtavat yleens¨a suositusluonteisiin ja ehdollisiin joh- top¨a¨at¨oksiin, ja p¨a¨att¨aj¨an vastuulle j¨a¨a niiden huomioon ottaminen tai ottamatta j¨att¨a- minen.

2 Simuloinnista

Operaatioanalyysin kannalta simuloinnilla tarkoitetaan yleens¨a ns. Monte Carlo -si- mulointia, jossa jokin malli ratkaistaan antamalla sille useita sarjoja satunnaisia (mutta mielekk¨ait¨a) sy¨otteit¨a ja p¨a¨attelem¨all¨a tulosten jakauman perusteella mallin ratkaisu. Sa- tunnaisuus tuotetaan sin¨ans¨a deterministisill¨a koneilla, joten se on lopulta n¨aenn¨aist¨a. – Vaikeiden ja kalliisti toteutettavien toimien kouluttaminen niit¨a matkivilla ja mallintavilla laitteilla, simulaattoreilla, ei sin¨ans¨a ole operaatioanalyysiss¨a tarkoitettavaa tutkimusta.

2.1 Satunnaisluvut

Tietokoneohjelmat generoivat ylens¨a v¨alille [0, 1] tasan jakautuneita satunnaislukuja qi. T¨allaisia lukuja on aikaisemmin tuotettu my¨os painetussa muodossa. Satunnaislukujen tuottaminen perustuu yleens¨a lukuteoreettisiin algoritmeihin, jotka synnytt¨av¨at hyvin pit- k¨an jakson j¨alkeen itse¨a¨an toistavan mutta ”ei-ennustettavasti k¨aytt¨aytyv¨an” lukujonon.

Koska t¨allaiset luvut muodostetaan kuitenkin viime k¨adess¨a deterministisesti, niit¨a kutsu- taan pseudosatunnaisluvuiksi. N¨aiss¨a jonoissa saattaa olla jaksollisuutta, joka voi v¨a¨arist¨a¨a varsinkin sellaisia simulaatioita, joissa jokainen kierros tarvitsee kerrallaan suuren m¨a¨ar¨an satunnaislukuja.

Simuloinnissa tarvitaan yleens¨a jonkin ilmi¨o¨on liittyv¨an jakauman, esim. normaalijakau- man tai eksponenttijakauman, omaavia lukujonoja. N¨ait¨a voidaan saada, kun tunnetaan halutun jakauman kertym¨afunktioF. Josr_i =F⁻¹(q_i), niin lukujenr_ijakauman kertym¨a- funktio on F: tapahtuman ri < r todenn¨ak¨oisyys on sama kuin tapahtumanqi < F(r) ja lukujenq_i jakauman tasaisuuden vuoksi viimemainittu toden¨ak¨oisyys on juuri F(r). F on siten lukujenri kertym¨afunktio, mik¨a merkitsee, ett¨a n¨aill¨a luvuilla on haluttu jakauma.

Satunnaislukuja ri, joiden jakauma on v¨alin [a, b] tasainen jakauma, saadaan lausekkeesta ri =a+ (b−a)qi.

Diskreettej¨a halutun jakauman omaavia satunnaismuuttujia tuotetaan periaatteessa sa- moin. Esim. satunnaismuuttujalle X, jonka arvon tulisi olla 0 todenn¨ak¨oisyydell¨a 0,6, 1 toden¨ak¨oisyydell¨a 0,3 ja 2 todenn¨ak¨oisyydell¨a 0,1, luetaan arvoja v¨alin [0, 1] tasaisesta jakaumasta generoiduin satunnaisluvuin qi niin, ett¨a X = 0, jos qi < 0,6, X = 1, jos 0,6≤qi < 0,9 ja X = 2, jos 0,9≤qi.

2.2 Simuloinnin tarkkuudesta

Jos simuloinnin tulos on suoraan luettavissa onnistumisten lukum¨a¨ar¨ast¨a (esim. kun arvioi- daan osumistodenn¨ak¨oisyytt¨a sen perusteella, kuinka moni iskem¨an koordinaatteja edus- tavan satunnaislukuparin tai -kolmikon mallintama osuma on maalin alueella), simuloidun tuloksen tarkkuutta ja simulointikierroksien lukum¨a¨ar¨an tarvetta voi arvioida binomija- kauman normaalijakauma-approksimaation avulla. Jos oikea osumatodenn¨ak¨oisyys on p

ja n:ll¨a simulointikierroksella on saatu k osumaa, niin k

n on satunnaismuuttuja, jonka ja- kauma on likimain normaalijakauma odotusarvollapja keskihajonnalla

p(1−p)

n . Koska p(1−p) ≤ 1

4 ja 95 %:n luotettavuustason haarukan pituus on normaalijakaumassa hiu- kan alle kaksi hajontaa, on k

n:n ja p:n ero 95 % todenn¨ak¨oisyydell¨a pienempi kuin 1

√n. Osumatodenn¨ak¨oisyyden saa siis melko varmasti 10 prosenttiyksik¨on haarukaan 100:lla simulointikierroksella ja yhden prosenttiyksik¨on haarukkaan 10000 simulointikierroksella.

Jos simulointiasetelma on monitahoisempi, mutta jokainen simulointikierros tai jokaisetm simulointikierrosta tuottavat jonkin simuloitavan suureen likiarvon Ai, niin tarvittavien kierrosten m¨a¨ar¨a¨a voidaan tarkkailla laskemalla lukujen A_i keskiarvoa A_n ja keskihajon- taa sn n:n kierroksen j¨alkeen. An:n jakauma on normaalijakauma, jonka keskihajonta on

√1

nsn. Simuloinnin tuloksen voidaan uskoa todenn¨ak¨oisyydell¨a 0,95 olevan enint¨a¨an a:n p¨a¨ass¨a A_n:st¨a silloin, kun 1,96 sn

√n < a. T¨all¨a tavoin ei kuitenkaan voida verifioida ek- sakteja hypoteeseja: menetelm¨a, jossa simulointi lopetetaan juuri silloin, kun keskiarvo on tasan tai melkein tasan se, mit¨a jostain syyst¨a halutaan tai odotetaan, on harhainen.

3 Taistelun mallintaminen

3.1 Mallintamisesta yleens¨ a

Taistelun lopputuloksen arvioiminen taistelevien osapuolten materiaalisten, henkisten ja olosuhdetekij¨oiden perusteella voi perustua erilaisiin menetelmiin, joissa matematiikan osuus voi olla suurempi tai v¨ah¨aisempi. Karkeasti ottaen hierarkiassa sotaharjoitus – manuaalinen sotapeli – tietokoneavusteinen sotapeli – interaktiivinen tietokonesotapeli – stokastinen tietokonesimulointi – stokastinen tai deterministinen analyyttinen taistelumalli menetelm¨an matemaattisuus kasvaa ja inhimillisten ja muiden reaalimaailmasta v¨alitt¨o- m¨asti per¨aisin olevien tekij¨oiden vaikutus v¨ahenee. Esimerkiksi tietokoneavusteisessa so- tapeliss¨a voidaan laskea pelaajien p¨a¨at¨osten mukaisten toimien aiheuttamaa asevaikutusta vastapuoleen ja generoida siihen hallitusti satunnaisuutta ja siis yll¨att¨avyytt¨a. Varsinai- sina matemaattisina taistelun kuvauksen ja sen lopputuloksen ennustamisen menetelmin¨a voi pit¨a¨a luettelon kahta viimeist¨a nimikett¨a, tietokonesimulointia ja analyyttisi¨a taistelu- malleja.

Taistelu on ilmi¨on¨a yleens¨a siin¨a m¨a¨arin monitahoinen, ett¨a sen lopputuloksen kertakaik- kinen ennustaminen ei useinkaan ole mielek¨ast¨a tai mahdollista. Kun mukaan tulee uusia ja reaalik¨ayt¨oss¨a testaamattomia asej¨arjestelmi¨a, ennustaminen tulee erityisen ep¨akiitol- liseksi. Hiukan tukevammalla pohjalla tunnutaan liikuttavan jos pyrit¨a¨an arvioimaan eri lopputulosvaihtoehtojen todenn¨ak¨oisyyksi¨a. N¨ait¨a todenn¨ak¨oisyyksi¨a realistisesti arvioi- taessa on kuitenkin tukeuduttava todenn¨ak¨oisyyden tilastolliseen tulkintaan: jos taistelu olisi mahdollista k¨ayd¨a tarpeeksi monta kertaa, eri lopputulosten jakauma antaisi approk- simaation eri lopputulosten todenn¨ak¨oisyyksille.

Luotettavien tulosten saaminen edellytt¨a¨a t¨all¨oin lukuisia toistoja. Oletetaan, ett¨a mah- dollisia lopputuloksia on kaksi, ”voitto” ja ”tappio” ja ett¨a voiton todenn¨ak¨oisyys on 30 %.

Jos koe toistettaisiin 10 kertaa, niin todenn¨ak¨oisyys saada juuri kolme voittoa olisi noin 27

%; jos voittotodenn¨ak¨oisyys ennustettaisiin kymmenen kokeen avulla, saataisiin noin 3/4 todenn¨ak¨oisyydell¨a virheellinen tulos. Jos koe toistettaisiin sata kertaa, todenn¨ak¨oisyys saada voittoja ainakin 25 mutta enint¨a¨an 34 eli 30 %:iin py¨oristyv¨a m¨a¨ar¨a olisi 72 %, joten virheellinen ennustus saataisiin taas noin 1/4:n todenn¨ak¨oisyydell¨a. Sen sijaan 1000 kertaa toistettu koe antaisi jokseenkin t¨aydell¨a varmuudella oikeat kymmenet prosentit.

On melko selv¨a¨a, ett¨a sotaharjoitusta tai pienimuotoisempaa ihmisinteraktiota vaativaa harjoitusta ei yleens¨a voi toistaa riitt¨av¨an usein kohtuullisenkaan tilastollisen varmuuden saamiseksi. Jos lis¨aksi tavoitteena on selvitt¨a¨a jonkun tai joidenkin muuteltavissa olevien parametrien vaikutusta, tarvittaisiin mahdollisesti kutakin alkuarvoyhdistelm¨a¨a kohden useita kokeita, mik¨a toki edelleen lis¨aisi tarvittavien kokeiden m¨a¨ar¨a¨a. Analyyttisten ja simulointimenetelmien laatu/hintasuhde voi olla huomattavan hyv¨a verrattuna puhtaasti empiiriseen tiedonhankintaan.

Toisaalta harjoituksissa ja sotapeleiss¨a esiin tulevien inhimillisten tekij¨oiden mallintaminen on vaikeampaa kuin taistelun fyysisen puolen, siis l¨ahinn¨a asevaikutuksen. Laskentamal- leilla ei voi korvata todellisuuden havainnointia ja empiirist¨a tutkimusmenetelm¨a¨a.

3.2 Lanchesterin neli¨ olaki

Lanchesterin teorian perustaistelumallit perustuvat melko voimakkaisiin ja osin ilmeisen ep¨arealistisiinkin oletuksiin. Ns. neli¨olaki eli t¨ahd¨atyn tulen laki olettaa, ett¨a taistelevien osapuolten B ja R joukot ovat homogeenisia, ett¨a kumpikin puoli pystyy t¨aht¨a¨am¨a¨an jo- kaista vastustajan yksikk¨o¨a ja tiet¨a¨a, milloin on eliminoinut t¨am¨an. Olkoot taistelun alussa osapuolten vahvuudetN_B ja N_R ja olkoot vahvuudet silloin, kun taistelua on k¨ayty aikat, nB(t) ja nR(t). Jos osapuoli B k¨aytt¨a¨a (keskim¨a¨arin) tulinopeutta λB ja jos B:n laukaus tuhoaa R:n yksil¨on todenn¨ak¨oisyydell¨a pB, niin aikana ∆t R:n vahvuus v¨ahenee m¨a¨a- r¨all¨a nB(t)λBpB∆t. Vastaavin merkinn¨oin B:n vahvuus v¨ahenee samana aikana m¨a¨ar¨all¨a nR(t)λRpP∆t. T¨am¨a asia on ilmaistavissanB:n janRmuutosnopeuksien eli derivaattojen n_B(t) ja n_R(t) avulla muodossa

n_B(t) =−aRnR(t)

n_R(t) =−aBnB(t) (L)

miss¨a on kirjoitettu a_B = λ_Bp_B ja a_R = λ_Rp_R. Koska kaavojen (L) tuntemattomat ovat joukkojen vahvuutta kuvaavat funktiot nB ja nR ja yht¨al¨ot m¨a¨aritt¨av¨at n¨am¨a tun- temattomat sellaisten ehtojen kautta, joissa esiintyy tuntemattoman muutosnopeuksia eli derivaattoja, kaavoissa (L) esiintyvi¨a yht¨al¨oit¨a kutsutaan differentiaaliyht¨al¨oiksi. Yht¨al¨o- parin (L) ratkaisu voidaan esitt¨a¨a eksponenttifunktioiden avulla, mutta mukavimmin sen olennaiset piirteet n¨akyv¨at muodosta

nB(t)²

aR − nR(t)²

aB = N_B²

aR − N_R² aB.

Jos edellisen yht¨al¨on oikea puoli on positiivinen,nR(t) saavuttaa arvon 0 ennen kuinnB(t), ja B voittaa taistelun. T¨am¨a tapahtuu, kun

N_B²

N_R² > aR

aB.

Lanchesterin neli¨olain tilanteessa ratkaisevaa on joukkojen m¨a¨ar¨a: esim.R:n kaksinkertai- sen ylivoiman tulinopeudessa ja tulen tehossa kompensoi B:n √

2-kertainen lukum¨a¨ar¨ayli- voima.

3.3 Lanchesterin lineaarinen laki

Lanchesterin lineaarisen lain oletuksissa luovutaan tulen t¨ahd¨attyydest¨a, ja oletetaan, ett¨a ammutaan alueelle, jossa vihollinen summittain on. Ampuja ei saa v¨alit¨ont¨a tietoa osu- mista ja niiden vaikutuksesta. Aikana ∆t osapuolen B v¨aheneminen on verrannollinen

paitsi tulen m¨a¨ar¨a¨an ja tehoon, my¨osnB(t):hen. Osapuolten vahvuuksien muutosnopeutta kuvaa nyt yht¨al¨opari

n_B(t) =−aRnR(t)nB(t)

n_R(t) =−aBnB(t)nR(t) (L) T¨ass¨a kulutuskertoimet aR ja aB ovat eri parametreja kuin yht¨al¨oparin (L) vastaavat symbolit. Yht¨al¨oparin (L’) ratkaisun voi esitt¨a¨a muodossa

n_B(t)

aR − n_R(t)

aB = N_B

aR − N_R aB. B voittaa taistelun, jos yht¨al¨on oikea puoli on positiivinen eli jos

NB

N_R > aR

a_B.

N¨aenn¨aisesti erilainen lopputulosehto johtuu siit¨a, ett¨a parametrit aB ja aR itse asiassa sis¨alt¨av¨at tiedon alkuvahvuuksista NB ja NR (osumatodenn¨ak¨oisyys riippuu siit¨a, miten tihe¨ass¨a joukot ovat, ja t¨am¨a taas joukkojen lukum¨a¨ar¨ast¨a).

3.4 Monipuolisempia malleja

Samalla periaatteella kuin yll¨a esitetyt kahden homogeenisen ja samalla tavalla toimivan vihollisen tapaukset voidaan pyrki¨a mallintamaan useasta erilaatuisesta ja eri tavoin vas- tustajaan vaikuttavasta tulenk¨aytt¨aj¨ast¨a koostuvien joukkojen taistelua. Mallina olisi yh- t¨al¨oparien (L) ja (L’) tyyppinen eri taistelevien osioiden vahvuuksienyi muutoksia kuvaava differentiaaliyht¨al¨oryhm¨a

y_i(t) =− n j=1

(a_iy_i+b_ijy_iy_j) +f_i(t), i= 1, 2, . . . , n, (L) miss¨a y₁, y₂,. . ., yk olisivat osapuolen B erilaisten joukkojen vahvuudet, yk+1, yk+2, . . ., yn osapuolenR erilaisten joukkojen vahvuudet ja funktioillafi mallinnettaisiin taisteluun mukaan tulevien reservien tulonopeutta. Kertoimiin a_j ja b_ij (jotka voivat olla nolliakin) sis¨altyy tieto eri osioiden vaikutuksesta toisiinsa. Ryhm¨an (L”) approksimatiivista numee- rista ratkaisemista voi hyvin kokeilla jo taulukkolaskentaohjelmiston tasoisella v¨alineell¨a.

Lanchesterin mallien parametreja on pyritty j¨alkik¨ateen m¨a¨aritt¨am¨a¨an todellisten k¨ay- tyjen taistelujen avulla. Klassinen on Iwo Jiman valloituksen helmi–maaliskuussa 1945 mallintaminen yht¨al¨oryhm¨all¨a (L) (B = amerikkalaiset, R = japanilaiset), jossa ensim- m¨aiseen yht¨al¨o¨on lis¨at¨a¨an joukkot¨aydennyksi¨a kuvaava termi. Laskelmat osoittavat, ett¨a valinnoilla aR = 0,0544, aB = 0,0106 malli vastaa varsin hyvin tositapahtumia.

Determinististen analyyttisten taistelumallien rajoitukset ovat ilmeisi¨a. On kuitenkin hyv¨a muistaa, ett¨a esim. lukemattomat erilaiset jatkuvasti aktiivisen mielenkiinnon kohteena olevat ekonomistiset mallit muuttavat nekin yleens¨a diskreettej¨a suureita (rahaa, tuotan- nontekij¨oit¨a) jatkuviksi ja kuvaavat maailmaa differentiaaliyht¨al¨oin.

3.5 Stokastiset mallit

Nykyaikainen teknisesti kehittyneill¨a, kalliilla, mutta usein suhteellisen harvalukuisilla aseilla k¨ayt¨av¨a taistelu on entist¨a huonommin mallinnettavissa niin, ett¨a taisteluvoimaa kuvattaisiin jatkuvin suurein. T¨all¨oin on syyt¨a k¨a¨anty¨a stokastisten mallien puoleen.

Analyyttiset stokastiset mallit k¨asittelev¨at taistelua per¨akk¨aisin¨a numeroituina ajanhet- kin¨a vallitsevina tiloina. Tilat ovat yleens¨a vektorisuureita, joiden komponentteina ovat esim. taistelevien puolten resurssien m¨a¨ar¨a ja sijainti. Esimerkiksi ohjuksin varustetun lentokoneen ja ilmatorjuntaohjuspatterin taistelun mallissa tila voisi sis¨alt¨a¨a informaa- tion lentokoneen ja patterin et¨aisyydest¨a ja lentokoneella sek¨a patterilla k¨aytett¨aviss¨a ole- vien ohjusten m¨a¨ar¨ast¨a. Ohjuksen laukaiseminen kahden ajanhetken v¨alill¨a eli j¨aljell¨a olevien ohjusten lukum¨a¨ar¨an pienentyminen on tapahtuma, jonka todenn¨ak¨oisyys riippuu mm. osapuolten v¨alimatkasta; osuman saaminen kyseisen¨a v¨aliaikana riippuu siit¨a, mil- loin vastapuoli on laukaissut ohjuksen ja ohjuksen maaliinosumisominaisuuksista jne. Jos jokaisesta mahdollisesta tilasta jokaiseen toiseen mahdolliseen siirtymisen todenn¨ak¨oisyy- det hallitaan, voidaan kunkin hetken vaihtoehtoisten tilojen todenn¨ak¨oisyydet laskea, joko numeerisesti tai matemaatikon kannalta onnekkaassa tapauksessa analyyttisestikin. Ma- tematiikan kannalta kyse on niin sanotusta stokastisesta prosessista. N¨ait¨a on runsaasti tutkittu. Yll¨a sivuttu lentokone–ilmatorjuntaesimerkkikin n¨aytt¨a¨a, ett¨a taistelun mallin- tamiseen eiv¨at yleens¨a riit¨a ns.Markov-prosessit, joissa tilan todenn¨ak¨oisyydet eiv¨at riipu muista kuin edellisen ajanhetken tiloista.

Esimerkki. Panssarivaunun T ja kahden pst-aseen S₁ ja S₂ taistelun alkeellinen kaksin- taistelumalli. Tulitetaan vuorotellen. S₁ aloittaa, vaunu, jos kykenee, tulittaa sit¨a Sj:t¨a, joka ampui viimeksi. Si:n laukaus tuhoaa T:n todenn¨ak¨oisyydell¨a 0,3, T:n laukaus tuhoaa Si:n todenn¨ak¨oisyydell¨a 0,5. Systeemill¨a on tilat V S₁S₂, V S₁, V S₂, S₁S₂, S₁ ja S₂. Jos S_i on ampumisvuorossa, systeemi saattaa siirty¨a tilasta V S₁S₂ tiloihin V S₁S₂ tai S₁S₂, tilasta V Si tiloihin V Si tai Si. Kummassakin tapauksessa ensimm¨aisen siirtym¨an todenn¨ak¨oisyys on 0,7 (S_i ei onnistu tuhoamaan V:t¨a) ja j¨alkimm¨aisen 0,3. Jos V ampuu Si:t¨a, mahdolliset siirtym¨at ovat vastaavasti V S₁S₂:sta V S₁S₂:een tai V Sj:hin (j = i) ja V S_i:st¨a V S_i:hin tai V:hen. Kaikkien n¨aiden siirtymien todenn¨ak¨oisyys on 0,5. Eri tilojen todenn¨ak¨oisyydet kehittyv¨at oheisen kaavion mukaisesti.

Mallin perusteella voidaan p¨a¨atell¨a, ett¨a jos taistelua voitaisiin jatkaa rajatta, niin vaunu voittaisi noin 29 % todenn¨ak¨oisyydell¨a, torjunta noin 46 % todenn¨ak¨oisyydell¨a ilman omia tappioita ja 24 % todenn¨ak¨oisyydell¨a vaunu tosin tuhottaisiin, mutta toisen torjuvan aseen kustannuksella.

3.6 QJM

Amerikkalaisen eversti Trevor N. Dupuyn 1960- ja -70-luvuilla kehitt¨am¨a Quantified Jud- gement Method on historialliseen tilastomateriaaliin perustuva menetelm¨a taistelun lop- putuloksen ennustamiseksi. Siin¨a kummallekin osapuolelle lasketaantaistelupotentiaali P, ja taistelun lopputulos perustuu osapuolten taistelupotentiaalin vertaamiseen. Dupuyn taistelupotentiaalia varten m¨a¨aritet¨a¨an ensin aseiden teoreettiset ja operatiiviset tappa- vuusindeksit. N¨am¨a perustuvat aseen kantamaan, tarkkuuteen ja tehoon sek¨a maalien tiheyteen. Tappavuusindeksej¨a modifioidaan olosuhdetekij¨oill¨a, ja n¨ain saadaan joukon

V S₁S₂ V S₁ V S₂ S₁S₂ S₁ S₂ V

1 0 0 0 0 0 0

S₁ →V 0,70 0,00 0,00 0,30 0,00 0,00 0,00

V →S₁ 0,35 0,00 0,35 0,30 0,00 0,00 0,00

S₂ →V 0,25 0,00 0,25 0,41 0,00 0,11 0,00

V →S₂ 0,12 0,12 0,12 0,41 0,00 0,11 0,12

S₁ →V 0,09 0,09 0,12 0,44 0,04 0,11 0,12

V →S₁ 0,04 0,04 0,17 0,44 0,04 0,11 0,17

S₂ →V 0,03 0,04 0,12 0,45 0,04 0,15 0,17

V →S₂ 0,02 0,06 0,06 0,45 0,04 0,15 0,22

S₁ →V 0,01 0,04 0,06 0,46 0,05 0,15 0,22

V →S₁ 0,01 0,02 0,06 0,46 0,05 0,15 0,24

S₂ →V 0,00 0,02 0,04 0,46 0,05 0,17 0,24

V →S₂ 0,00 0,02 0,02 0,46 0,05 0,17 0,27

S₁ →V 0,00 0,02 0,02 0,46 0,06 0,17 0,27

V →S₁ 0,00 0,01 0,02 0,46 0,06 0,17 0,27

S₂ →V 0,00 0,01 0,02 0,46 0,06 0,18 0,27

V →S₂ 0,00 0,01 0,01 0,46 0,06 0,18 0,28

S₁ →V 0,00 0,01 0,01 0,46 0,06 0,18 0,28

V →S₁ 0,00 0,00 0,01 0,46 0,06 0,18 0,28

S₂ →V 0,00 0,00 0,01 0,46 0,06 0,18 0,28

V →S₂ 0,00 0,00 0,00 0,46 0,06 0,18 0,29

S₁ →V 0,00 0,00 0,00 0,46 0,06 0,18 0,29

V →S₁ 0,00 0,00 0,00 0,46 0,06 0,18 0,29

S₂ →V 0,00 0,00 0,00 0,46 0,06 0,18 0,29

V →S₂ 0,00 0,00 0,00 0,46 0,06 0,18 0,29

S₁ →V 0,00 0,00 0,00 0,46 0,06 0,18 0,29

V →S₁ 0,00 0,00 0,00 0,46 0,06 0,18 0,29

S₂ →V 0,00 0,00 0,00 0,46 0,06 0,18 0,29

V →S₂ 0,00 0,00 0,00 0,46 0,06 0,18 0,29

Vaunun ja sinkojen kasintaistelu

tulivoimaindeksi, joka Dupuylla on

S = (W_k+W_kt+W_r+W_pt)·r_j+ (W_t+W_i)(r_r·h_r·v_r·w_r) +W_p·r_p·h_p+W_l·r_l·h_l·z_l·w_l. T¨ass¨a W:t ovat joukon eri aseiden yhteenlaskettuja operatiivisia tappavuusindeksej¨a, r:t maastotekij¨akertoimia, h:t s¨a¨atekij¨akertoimia, z:t vuodenaikatekij¨akertoimia ja w:t ilma- herruustekij¨akertoimia. Alaindeksi k viittaa k¨asiaseisiin, kt konetuliaseisiin, r jalkav¨aen raskaaseen aseistukseen, pt panssarintorjunta-aseistukseen, t tykist¨o¨on, i ilmatorjunta- aseistukseen, p panssariaseisiin ja l ilma-aseisiin. Kun tulivoimaindeksi¨a modifioidaan viel¨a useammilla operatiiviseen tilanteeseen liittyvill¨a kertoimilla, saadaan taistelupotentiaali

P =S·l·j·k·m·h·r_s·r_r·s_r·z_r·a,

miss¨alon liikkuvuustekij¨a,j johtamistekij¨a,k koulutustekij¨a,mmoraalitekij¨a,hlogistiik- katekij¨a, r_s joukon vahvuuden huomioon ottava ryhmitystekij¨a, r_r ryhmityksen huomioon ottava maastotekij¨a,s_r ryhmityksen huomioon ottava s¨a¨atekij¨a,z_r ryhmityksen huomioon ottava vuodenaikatekij¨a ja a haavoittuvuustekij¨a. Kun molempien taistelevien osapuolten taistelupotentiaalit on laskettu, niin ennusteen mukaan suuremman taistelupotentiaalin omaava osapuoli voittaa tastelun.

Mallin monet parametrit m¨a¨aritell¨a¨an tavoilla, jotka perustuvat historialliseen tilastoai- neistoon. Osa parametrista joudutaan joka tapauksessa pelk¨ast¨a¨an arvioimaan tai arvaa- maan. Mallin perusteella on kuitenkin kyetty ”takautuvasti ennustamaan” kohtuullisen hyvin useita perinteisin asein k¨aytyj¨a taisteluja.

4 Lineaarista optimointia

Pisimp¨a¨an tutkimuksen kohteena olleet matemaattiset mallit ovat lineaarisia. Lineaaristen mallien k¨aytt¨o¨a, erityisesti lineaaristen optimointiteht¨avien ratkaisemista, kutsutaan usein lineaariseksi ohjelmoinniksi.

Lineaarisen optimonnin tai ohjelmoinnin malleissa sek¨a optimoitava funktio f eli tavoite- funktio,

f(x₁, x₂, . . . , x_n) = n k=1

a_kx_k,

ett¨a rajoitteet ovat muuttujien lineaarisia lausekkeita koskevia ep¨ayht¨al¨oit¨a tai yht¨al¨oit¨a.

Rajoitteet ovat muotoa

n j=1

bijxj ≤ci tai n j=1

bijxj =ci.

Mallissa suureita x₁, x₂, . . ., xn voidaan pit¨a¨a taloudellisen tai muun toiminnan (”jalos- tetaan raaka-ainetta r”) kvantitatiivisina tasoina tai m¨a¨arin¨a ja suureita ak toimintojen tuottamina yksikk¨ohy¨otyin¨a. Rajoitteet kuvaavat resurssien saatavuuden tai k¨aytett¨aviss¨a olemisen rajoituksia. Toiminta j k¨aytt¨a¨a resurssia i yksikk¨o¨a kohti m¨a¨ar¨an bij ja i:nnen resurssin k¨ayt¨on yl¨arajaa esitt¨a¨a ci.

Rajoitteet m¨a¨arittelev¨at teht¨av¨an luvallisten ratkaisujen joukon eli ratkaisuavaruuden.

Sit¨a kutsutaan my¨os k¨ayv¨aksi alueeksi. Se on n-ulotteisen avaruuden Rⁿ konveksi os- ajoukko, mik¨a tarkoittaa sit¨a, ett¨a jos pisteet xja y kuuluvat joukkoon, niintx+ (1−t)y kuuluu siihen aina, kun 0≤t ≤1. Mutta f(tx+ (1−t)y) on t:n lineaarinen funktio, siis muotoa f(t) =at+b, eik¨a voi saada ¨a¨ariarvoa v¨alin (0, 1) pisteiss¨a muuten kuin olemalla vakio. Ainoaksi mahdolliseksi ¨a¨ariarvopaikaksi osoittautuu sallitun alueen jokin k¨arki- piste. Jos ratkaisuavaruus ei ole rajoitettu, on mahdollista, ett¨a tavoitefunktio voi saada mielivaltaisen suuria arvoja. T¨all¨oin optimointiteht¨av¨all¨a ei tietenk¨a¨an ole ratkaisua.

4.1 Graafinen ratkaisu

Lineaarisen optimointiteht¨av¨an ratkaisu on havainnollinen silloin, kun muuttujia on kaksi;

t¨all¨oin ratkaisun luonne voidaan yleens¨a selvitt¨a¨a graafisesti. Graafisen ratkaisun periaate selvi¨a¨a esimerkist¨a.

Esimerkki. Tulosvastuinen varikko valmistaa kahta tuotetta A ja B raaka-aineista C ja D. Tonniin tuotetta A tarvitaan 1 tonni C:t¨a ja 2 tonnia D:t¨a ja tonniin tuotetta B tarvitaan 2 tonnia C:t¨a ja 1 tonni D:t¨a. Raaka-ainetta C saadaan enint¨a¨an 6 tonnia viikossa ja raaka-ainetta D enint¨a¨an 8 tonnia viikossa. Tuotteen B kysynt¨a on enint¨a¨an 1 tonni viikossa enemm¨an kuin tuotteen A kysynt¨a ja tuotteen B kysynt¨a on enint¨a¨an 2

tonnia viikossa. TuotteenA arvo on 3000 euroa tonnilta ja tuotteenB 2000 euroa tonnilta.

Kuinka paljon tuotteita pit¨aisi valmistaa, ett¨a tuotannon arvo olisi mahdollisimman suuri?

Ratkaisu. Otetaan rahan yksik¨oksi 1000 euroa. Olkoon x tuotteen A valmistusm¨a¨ar¨a ja y tuotteen B valmistusm¨a¨ar¨a. T¨all¨oin haetaan funktion

z =f(x, y) = 3x+ 2y

suurinta arvoa, kun vallitsee joukko rajoitteita. Rajoitteet ovat x≥0

y ≥0 x+ 2y ≤6 (a) 2x+y ≤8 (b) y−x≤1 (d) y ≤2 (c)

Kukin rajoite (n¨ait¨a edustavat kuvassa suorat a, b, c, d ja e sek¨a koordinaattiakselit) m¨a¨a- rittelee xy-tason er¨a¨an puolitason. N¨aiden leikkaus on teht¨av¨an ratkaisuavaruus. Puoli- tasojen leikkausjoukko on kuusikulmio, jonka k¨arjet ovat (0, 0), (4, 0), (3¹₃,1¹₃), (2, 2), (1, 2) ja (0, 1). Tavoitefunktiolla on vakioarvo jokaisella suoralla

3x+ 2y=k.

(Oheiseen kuviossa on piirretty yksi t¨allainen suora f; se on saatu, kunk = 8.) Piirt¨am¨all¨a n¨ait¨a suoria kuvioon n¨ahd¨a¨an helposti, ett¨a suurin tavoitefunktion arvo saavutetaan, kun suora kulkee k¨arkipisteen (3¹₃, 1¹₃) kautta. Tuotteiden myynnist¨a saatu tulo on silloin 12₃² (tuhatta euroa).

Kun ratkaisu on saatu, voidaan siirty¨a herkkyysanalyysiin, sen selvitt¨amiseen, miss¨a m¨a¨a- rin saatu ratkaisu m¨a¨arittyy annetuista ehdoista ja miten paljon muutokset ehdoissa vai- kuttavat ratkaisuun.

Esimerkki. Edellisen esimerkin herkkyysanalyysiss¨a todetaan ensin, ett¨a rajoitteista vain kaksi on sitovia. Ne ovat maksimikohdan m¨a¨aritt¨av¨at ehdot x + 2y ≤ 6 ja 2x +y ≤ 8. N¨ait¨a ehtoja ei v kirist¨a¨a pienent¨am¨att¨a samalla maksimia. Jos raaka-ainetta C on k¨ayt¨oss¨a enemm¨an, maksimia voidaan parantaa, kunnes ¨a¨ariarvopisteeksi tulee suorien y = 2 ja 2x +y = 8 leikkauspiste (3, 2). T¨all¨oin raaka-aineen C k¨aytt¨o olisi 7 tonnia ja prosessin tuotto olisi 13000 mk. Jos raaka-ainetta D on k¨ayt¨oss¨a enemm¨an, ratkaisua voidaan parantaa, kunnes ¨a¨ariarvopisteeksi tulee suorien y = 0 jax+ 2y= 6 leikkauspiste (6, 0). Raaka-ainetta D k¨aytett¨aisiin nyt 12 tonnia. Tuotto olisi nyt 18000 mk. T¨ast¨a n¨ahd¨a¨an, ett¨a tonnin lis¨ays raaka-aineenCsaatavuudessa merkitsee ¹₃ tuhannen euron lis¨a¨a tuottoon, mutta tonnin lis¨ays raaka-aineen D k¨ayt¨oss¨a lis¨aisi tuottoa ⁴₃ tuhatta euroa.

Samalla tavalla voidaan todeta, ett¨a ehtojay ≤2 ja −x+y≤ 1 voidaan kumpaakin jonkin verran tiukentaa ratkaisun huonontumatta. – Herkkyysanalyysiss¨a voidaan viel¨a selvitt¨a¨a tuottofunktion kertoimien vaikutus ¨a¨ariarvopisteeseen. Kertoimien suhteen muutos heijas- tuu tavoitefunktion kuvaajan kiertymisen¨a. Riitt¨av¨an suuri kiertyminen merkitsee, ett¨a

¨

a¨ariarvopiste korvautuu sen jommallakummalla naapurik¨arkipisteell¨a. T¨all¨oin optimikohta muuttuu toiseksi.

Lineaarisen optimoinnin vaatima laskenta tapahtuu k¨ayt¨ann¨oss¨a valmisohjelmien avulla.

Seuraavissa alaluvuissa on alkeista l¨ahtien esitelty sit¨a, mit¨a laskennassa itse asiassa tapah- tuu: kyseess¨a on sin¨ans¨a yksinkertainen matriisilaskennan sovellus, ja teknisesti lineaarisen optimointiongelman ratkaisu ns. simplex-menetelm¨all¨a on paljolti samanlaista kuin lineaa- risen yht¨al¨oryhm¨an ratkaisu ns. Gaussin–Jordanin eliminointimenettelyll¨a. Alaluvut voi esityksen pahasti katkeamatta sivuuttaakin. Matriisit tosin tulevat lukijaa vastaan t¨ass¨a vihkosessa my¨ohemminkin.

4.2 Matriisilaskennan mieliinpalautusta

4.2.1 Vektorit ja vektoriavaruus

Avaruuden Rⁿ pisteet eli vektorit v ovat reaalilukujonoja v = (a₁, a₂, . . . , an). Luvut ai

ovat v:n koordinaatit. Vektoreita voidaan laskea yhteen:

(a₁, a₂, . . . , an) + (b₁, b₂, . . . , bn) = (a₁+b₁, a₂+b₂, . . . , an+bn) ja kertoa luvulla:

tv= (ta₁, ta₂, . . . , ta_n).

Vektori (0, 0, . . . , 0) on nollavektori 0. Vektorin v vastavektori −v on se yksik¨asitteinen vektori, jolle

v+ (−v) =0.

Vektorienv ja u= (b₁, b₂, . . . , bn)skalaaritulo elisis¨atulo (jota eri yhteyksiss¨a on tapana merkit¨a erilaisin symbolein) on

u·v= n k=1

akbk,

vektorinpituus eli normi on

|v|=√

v·v= ⁿ

i=1

a²_i.

Vektorien v ja u v¨alinenkulma on se kulma α, 0≤α ≤π, jolle cosα = v·u

|v||u|.

Vektoritv ja u ovat kohtisuorassa eli ortogonaaliset, jos u·v= 0. – Mik¨a hyv¨ans¨a mate- maattisten objektien joukko, jolle luvulla kertominen ja yhteenlasku voidaan mielekk¨a¨asti m¨a¨aritell¨a (tietenkin niin, ett¨a er¨a¨at perusominaisuudet kuten vaihdanta- ja liit¨ant¨alait ovat voimassa), voidaan tulkita vektoriavaruudeksi. Monissa matemaattisissa malleissa vektorit ovat alkuaan tyyten muuta kuin geometristen k¨asitteiden yleistyksi¨a.

Vektoriavaruuden V osajoukko U on V:n aliavaruus, jos U:n alkioihin sovellettujen las- kutoimitusten tulokset ovat edelleen U:n alkioita. Vektorijoukko A = {u1, u2, . . . ,u^k} viritt¨a¨a aina er¨a¨an V:n aliavaruuden U = U(A), nimitt¨ain sen, joka muodostuu kaikista muotoa λ₁u1+λ₂u2+. . .+λku^k olevista vektoreista, miss¨a λi:t ovat mielivaltaisia reaa- lilukuja.

VektoriavaruudenV vektorijoukko{v1, v2, . . . , v^k}onvapaa elilineaarisesti riippumaton, jos yht¨al¨on

λ₁v1+λ₂v2+. . .+λkv^k =0

ainoa ratkaisu on λ₁ =λ₂ = . . .= λk = 0. Vektorijoukko, joka ei ole vapaa, on sidottu eli lineaarisesti riippuva.

Esimerkki. R⁴:n vektorit (2, 1, 0,0), (0, −1, 2, 0) ja (0, 0,0, 1) muodostavat vapaan joukon, sill¨a yht¨al¨ost¨a

0 =λ₁(2, 1, 0, 0) +λ₂(0, −1, 2, 0) +λ₃(0, 0, 0, 1) = (2λ₁, λ₁−λ₂, 2λ₂, λ₃) seuraa ilmeisesti λ₁ =λ₂ =λ₃ = 0.

Vektoriavaruuden V kanta on sellainen vapaa vektorijoukko, jonka alkioiden lukum¨a¨ar¨a on maksimaalinen. T¨am¨a maksimaalinen vapaan joukon alkioiden lukum¨a¨ar¨a on vekto- riavaruuden ulotteisuusluku eli dimensio. Kannan viritt¨am¨a aliavaruus on V itse; kanta on samalla minimaalinen sellainen V:n vektorijoukko, joka viritt¨a¨a V:n. Rⁿ:n vektorien tapauksessa kannan alkioiden lukum¨a¨ar¨a on n.

Vektorijoukon A ={u1, u2, . . . , u^k} viritt¨am¨an aliavaruudenU(A) ulotteisuusluku (joka on ≤ n) on vektorijoukon A aste. A:n aste on samalla maksimaalinen A:n vapaan os- ajoukon alkioiden lukum¨a¨ar¨a. Vektoriavaruuden aliavaruudet, joiden ulotteisuusluku on 1, ovat suoria, ja aliavaruudet, joiden ulotteisuusluku onn−1, ovathypertasoja.

Rⁿ:n vektorien standardikannan muodostavat ne n vektoria e1, e2, . . ., en, miss¨a ek on vektori, jonka k:s koordinaatti on 1 ja muut nollia.

4.2.2 Matriisit

Matriisi on vektorik¨asitteen laajennus. Kun n-vektorin u m¨a¨aritteleen tietyss¨a j¨arjestyk- sess¨a olevaa lukuaa₁,a₂,. . .,an, niinm×n-matriisin elityyppi¨a m×nolevan matriisinA m¨a¨aritteleemn j¨arjestyksess¨a olevaa lukua a₁₁, a₁₂, . . ., a₁n, a₂₁, a₂₂, . . .,a₂m, . . ., am1, am2, . . ., amn. (Itse asiassa voitaisiin sanoa, ett¨a m×n-matriisi on mn-vektori!) Mat- riiseille m¨a¨aritelt¨av¨at, tavallisia laskutoimituksia muistuttavat operaatiot tekev¨at monet useiden lukujen samanaikaista k¨asittely¨a vaativat toimet lyhyiksi merkit¨a ja helpommiksi hallita.

Matriisi on tapana kirjoittaa suorakulmaisen kaavion muotoon:

A=

⎛

⎜⎜

⎝

a₁₁ a₁₂ . . . a₁n

a₂₁ a₂₂ . . . a₂n

... . ..

am1 am2 . . . amn

⎞

⎟⎟

⎠.

Kaavion vaakarivit voidaan tulkita n-vektoreiksi

aⁱ· = (ai1, ai2, . . . , ain), eli vaakavektoreiksi ja pystyrivit

a·j =

⎛

⎜⎜

⎝ a₁j

a₂j

... amj

⎞

⎟⎟

⎠

m-vektoreiksi eli pystyvektoreiksi. Luvut aij ovat matriisin alkioita. Matriisia merkit¨a¨an toisinaan kirjoittamalla sen ”yleinen” alkio sulkeisiin: A = (aij) = (aij)1≤i≤m

1≤j≤n. Vastaavasti matriisinA i:nnen rivinj:tt¨a alkiota merkit¨a¨an Aij.

Matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia, on nollamatriisi 0. n × n-matriisi on n- neli¨omatriisi. Neli¨omatriisin (aij) alkiot aii, i = 1, 2, . . . , n muodostavat neli¨omatriisin p¨a¨al¨avist¨aj¨an.

Neli¨omatriisi A= (aij) on diagonaalimatriisi, jos aij = 0 aina, kuni =j, ts. jos matriisin ainoat (mahdollisesti) nollasta eroavat alkiot ovat p¨a¨al¨avist¨aj¨all¨a. n-diagonaalimatriisi, jonka kaikki p¨a¨al¨avist¨aj¨an alkiot ovat ykk¨osi¨a, onyksikk¨omatriisi In taiI.

Matriiseille m¨a¨aritell¨a¨an useita eri laskutoimituksia. Mielivaltainen matriisi A = (aij) kerrotaan luvulla cniin, ett¨a A:n jokainen alkio kerrotaan c:ll¨a:

(cA)ij =caij.

Matriisit A ja B voidaan laskea yhteen vain, jos ne ovat samaa tyyppi¨a; yhteenlasku m¨a¨aritell¨a¨an luonnollisella tavalla,

(A+B)ij =Aij +Bij

kaikillai ja j.

Kaksi matriisiaA ja B voidaan kertoa kesken¨a¨an, jos ne ovat sopivaa tyyppi¨a. Tulon AB muodostamisen edellytys on, ett¨a A on tyyppi¨a m× n ja B tyyppi¨a n ×p, jollakin n.

TulomatriisiC =AB on t¨all¨oin se m×p-matriisi, jonka alkiot lasketaan kaavasta cik =

n j=1

aijbjk.

Itse asiassa

cik =aⁱ··b·j.

Tulon alkiot ovat siis kertojamatriisin vaakavektoreiden ja kerrottavan matriisin pystyvek- torien skalaarituloja. K¨ayt¨ann¨on laskuissacik l¨oydet¨a¨an ”kertomallaB:nk:s pystyriviA:n i:nnell¨a vaakarivill¨a”.

Matriisitulo ei yleens¨a noudata vaihdantalakia, siin¨ak¨a¨an tapauksessa ett¨a matriisien koot mahdollistaisivat molempien kertomisj¨arjestysten k¨aytt¨amisen. Sen sijaan tulo noudattaa osittelu- ja liit¨ant¨alakeja:

A(B+C) =AB+AC, (A+B)C =AC+BC,

A(BC) = (AB)C.

Liit¨ant¨alaki edellytt¨a¨a tietenkin, ett¨a kaikki tulot voidaan muodostaa, ts. ett¨aA onm×n- matriisi, B n×k-matriisi ja C k×p-matriisi.

Nollamatriisin ja mink¨a hyv¨ans¨a matriisin tulo, jos se voidaan matriisien tyyppien puolesta muodostaa, on aina nollamatriisi. Jos m×n-matriisi A kerrotaan vasemmalta yksikk¨o- matriisilla I_m tai oikealta yksikk¨omatriisillaI_n, saadaan A.

Operaatio, jossa matriisin vaaka- ja pystyvektorit vaihdetaan toisikseen, on nimelt¨a¨an matriisin transponointi. Jos A on m× n-matriisi, niin sen transponoitu matriisi B = A^T = A (merkinn¨at eiv¨at ole t¨aysin vakiintuneita; muitakin voi esiinty¨a) on se n×m- matriisi, jonka alkiot saadaan kaavasta Bij = Aji. Transponoinnin perusominaisuudet ovat

(A^T)^T =A,

(pA+qB)^T =pA^T +qB^T, (AB)^T =B^TA^T. MatriisiB on neli¨omatriisin A k¨a¨anteismatriisi, jos

AB =BA=I.

T¨all¨oin merkit¨a¨anB=A⁻¹. Kaikilla matriiseilla ei ole k¨a¨anteismatriisia, mutta jos k¨a¨an- teismatriisi on olemassa, se on yksik¨asitteinen. Matriisia A jolla on k¨a¨anteismatriisi, sa- notaans¨a¨ann¨olliseksi, muut ovat singulaarisia.

K¨a¨anteismatriisin muodostaminen eli matriisin k¨a¨ant¨aminen noudattaa mm. seuraavia s¨a¨ant¨oj¨a:

(rA)⁻¹ = 1 rA⁻¹, (AB)⁻¹ =B⁻¹A⁻¹,

A^T−1

= A⁻¹T

.

K¨a¨anteismatriisin laskeminen voidaan tehd¨a joko k¨aytt¨aen apuna ns. determinantteja tai sitten yht¨al¨oryhm¨an ratkaisualgoritmin avulla. Isompien matriisien tapauksessa laskenta on ty¨ol¨as ja se on melkein pakko tehd¨a koneella.

4.2.3 Lineaarinen yht¨al¨oryhm¨a

Yht¨al¨oryhm¨a, jossa onn tuntematontax₁, x₂, . . ., x_n ja n lineaarista yht¨al¨o¨a

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

a₁₁x₁+a₁₂x₂+. . .+a₁nxn=b₁ a₂₁x₁+a₂₂x₂+. . .+a₂nxn=b₂

. . .

an1x₁+an2x₂+. . .+annxn =bn, voidaan kirjoittaa lyhyeen matriisimuotoon

Ax=b, miss¨a A= (aij),

x=

⎛

⎜⎜

⎝ x₁ x₂ ... xn

⎞

⎟⎟

⎠, b =

⎛

⎜⎜

⎝ b₁ b₂ ... bn

⎞

⎟⎟

⎠.

Jos A:lla on k¨a¨anteismatriisi A⁻¹, yht¨al¨oryhm¨an ratkaisu saadaan suoraan kaavasta x=A⁻¹b.

Yht¨al¨oryhm¨an ratkaiseminen on siten olennaisesti sama asia kuin matriisin k¨a¨ant¨aminen.

Jos A:lla ei ole k¨a¨anteismatriisia, ryhm¨all¨a joko ei ole ratkaisua lainkaan, tai sill¨a on

¨

a¨arett¨om¨an monta eri ratkaisua.

Tarkastellaan nyt yleisemp¨a¨a tilannetta, jossa ryhm¨an sis¨alt¨amien yht¨al¨oiden ja tuntemat- tomien m¨a¨ar¨a ei v¨altt¨am¨att¨a ole sama, ts. muotoa

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

a₁₁x₁+a₁₂x₂+. . .+a₁nxn =b₁ a₂₁x₁+a₂₂x₂+. . .+a₂nxn =b₂

. . .

am1x₁+am2x₂+. . .+amnxn =bm

olevaa ryhm¨a¨a.

My¨os t¨am¨a yht¨al¨oryhm¨a voidaan kirjoittaa matriisiyht¨al¨oksi

Ax=b (1)

tai yhden vektoriyht¨al¨on

x₁a·1+x₂a·2+. . .+xna·n =b muotoon. Matriisi A on nyt m×n-matriisi ja

b=

⎛

⎜⎜

⎝ b₁ b₂ ... b_m

⎞

⎟⎟

⎠.

Yht¨al¨oryhm¨an vektorimuoto osoittaa, ett¨a yht¨al¨oryhm¨all¨a on ratkaisu aina ja vain, kun b voidaan esitt¨a¨a jonakinA:n pystyvektorien lineaarikombinaationa.

MatriisinA aste r(A) on A:n pystyvektorien viritt¨am¨an vektoriavaruuden ulotteisuusluku eli suurimman pystyvektoreista muodostettavissa olevan vapaan joukon alkioiden luku- m¨a¨ar¨a. Ellei A ole nollamatriisi, niin r(A)≥ 1. Joka tapauksessa r(A) ≤n ja r(A) ≤ m (koska pystyvektorit ovat m-vektoreita). Voidaan todistaa, ett¨a r(A) on suurin niist¨a lu- vuista p, joille on mahdollista muodostaa A:n vaaka- ja pystyriveist¨a p-neli¨omatriisi s¨a¨an- n¨ollinen neli¨omatriisi. Koska matriisin transponointi ei vaikuta sen s¨a¨ann¨ollisyyteen, niin r(A) kertoo my¨os A:n vaakavektorien joukosta poimittavissa olevien vapaiden joukkojen suurimman mahdollisen alkiom¨a¨ar¨an.

Yht¨al¨oryhm¨an (1) ratkaisujen luonteen selvitt¨amiseksi otetaan k¨aytt¨o¨on m × (n + 1)- matriisi A|b, joka saadaan liitt¨am¨all¨a b A:han (n+ 1):seksi pystyvektoriksi. Osoittau- tuu, ett¨a ryhm¨all¨a (1) on ratkaisuja aina ja vain, kun r(A|b) = r(A). T¨all¨oin nimitt¨ain A:n pystyvektorien viritt¨am¨all¨a vektoriavaruudella on r(A):n A:n pystyvektorin muodos- tama kanta. T¨am¨a vapaa joukko on alkiom¨a¨ar¨alt¨a¨an mahdollisimman suuri vapaa joukko my¨os A|b:n pystyvektorien viritt¨am¨ass¨a vektoriavaruudessa, joten kaikki kyseiset pysty- vektorit, my¨os b, voidaan lausua kyseisen kannan vektorien lineaarikombinaatioina. Jos taas r(A|b)> r(A), niinA|b:n pystyvektorien joukosta l¨oytyy vapaa joukko, jonka vekto- rien lukum¨a¨ar¨a on suurempi kuin A:n pystyvektorien maksimaalisessa vapaassa joukossa.

T¨ast¨a seuraa, ett¨a kyseinen vapaa joukko E sis¨alt¨a¨a b:n. Koska b:n poistamisen j¨alkeen E:hen j¨a¨av¨at vektorit muodostavat A:n pystyvektorien vapaan joukon, kaikki A:n pysty- vektorit ovat n¨aiden lineaarikombinaatioita. T¨ast¨a seuraa, ett¨a b ei voi olla mik¨a¨an A:n pystyvektorien lineaarikombinaatio. Yht¨al¨oryhm¨all¨a ei ole ratkaisua eli yht¨al¨ot ovat yh- teensopimattomat. T¨am¨a p¨a¨attely toimii erityisesti silloin, kunr(A) =m. Silloin nimitt¨ain m≤n ja v¨altt¨am¨att¨a r(A) =r(A|b).

Kun tutkitaan ratkeavia yht¨al¨oryhmi¨a, voidaan olettaa, ett¨ar(A) on pienempi luvuistam ja n. Josr(A) =m < n, voidaan muuttujat numeroida niin, ett¨a A:n mensimm¨aist¨a pys- tyvektoria ovat lineaarisesti riippumattomia eli muodostavat R^m:n kannan. Silloin kaikki vektorit

b−xm+1a·m+1−xm+2a·m+2−. . .−xna·n

ovatA:nm:n ensimm¨aisen pystyvektorin lineaarikombinaatioita. Yht¨al¨oryhm¨all¨a on ¨a¨aret- t¨om¨an monta ratkaisua, jotka riippuvatn−mkappaleesta vapaasti valittavia parametreja.

Erityisesti ryhm¨all¨a on ratkaisu, jossa xm+1 =xm+2 =. . .=xn = 0.

Jos r(A) = r(A|b) = n < m, voidaan yht¨al¨oiden j¨arjestys valita niin, ett¨a matriisin A|b:nnensimm¨aist¨a vaakavektoria ovat lineaarisesti riippumattomat. Silloin jokainenn:n ensimm¨aisen yht¨al¨on ratkaisu toteuttaa my¨os loputm−nyht¨al¨o¨a. Yht¨al¨on ratkaisemiseksi on otettava huomioon vain ensimm¨aiset yht¨al¨ot.

4.2.4 Gaussin – Jordanin eliminointimenettely

Yht¨al¨oryhm¨a voidaan k¨ayt¨ann¨oss¨a ratkaistaeliminointimenettelyll¨a. Pyrkimys on saattaa yht¨al¨oryhm¨a ⎧

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎪⎩

a₁₁x₁+a₁₂x₂+. . .+a₁nxn =b₁ a₂₁x₁+a₂₂x₂+. . .+a₂nxn =b₂

. . .

an1x₁+an2x₂+. . .+annxn =bn

alkuper¨aisen kanssa yht¨apit¨av¨a¨an kolmiomuotoon

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

c₁₁x₁+c₁₂x₂+. . .+c_1nx_n =d₁ c₂₂x₂+. . .+c_2nx_n =d₂

. . .

cnnxn =dn,

miss¨a cii = 0. T¨ast¨a muodosta on helppo ratkaista ensin xn, sitten xn−1 jne. Eliminointi voidaan j¨arjest¨a¨a seuraavan kaavion k¨asittelyksi:

x₁ x₂ . . . xn 1

a₁₁ a₁₂ . . . a₁n b₁

a₂₁ a₂₂ . . . a_2n b₂

. . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann bn

Jos a₁₁ = 0, korvataan jokainenaij, i > 1, luvulla a⁽¹⁾_ij =aij − ai1

a₁₁a₁j

ja jokainen bi, i > 1, luvulla

b⁽¹⁾_i =bi− ai1

a₁₁b₁. N¨ain syntyy uusi kaavio

x₁ x₂ . . . xn 1

a₁₁ a₁₂ . . . a₁n b₁

0 a⁽¹⁾₂₂ . . . a⁽¹⁾_2n b⁽¹⁾₂ . . . . . . . . . . . . . . . 0 a⁽¹⁾_n2 . . . a⁽¹⁾nn b⁽¹⁾n

Muuttamalla tarvittaessa yht¨al¨oiden eli vaakarivien j¨arjestyst¨a p¨a¨ast¨a¨an tilanteeseen a⁽¹⁾₂₂ = 0. Kun edell¨a kuvattu menettely toistetaan, saadaan kaavion toiseen pystyriviin j¨arjestetty¨a nollat a⁽¹⁾₂₂:n alapuolelle. Kun menettely toistetaan yhteens¨a n− 1 kertaa, saadaan kaavio muotoon, jossa l¨avist¨aj¨an alapuolella on vain nollia. T¨ast¨a muodosta voi sitten nopeasti purkaa ryhm¨an ratkaisun. (Tuntemattomien nimien kuljettaminen taulu- kon yl¨arivill¨a mahdollistaa my¨os pystyrivien vaihdon, jos se osoittautuu laskun kuluessa hy¨odylliseksi.) – Kuvattu menetelm¨a on ns. Gaussin eliminointimenettely. Sen toisessa versiossa, Gaussin – Jordanin eliminointimenettelyss¨a, pyrit¨a¨an suoraan diagonaalimuo- toon. T¨all¨oin joka vaiheessa kaavioon j¨arjestet¨a¨an nollat l¨avist¨aj¨aalkion yl¨a- ja alapuolelle.

Se onnistuu tekem¨all¨a ensimm¨aisen eliminointivaiheen mukainen lasku joka vaiheessa. T¨al- l¨oin p¨a¨ast¨a¨an loppumuodosta lukemaan suoraan kaikki tuntemattomat.

Esimerkki. Ratkaise yht¨al¨oryhm¨a

⎧⎪

⎨

⎪⎩

3x−y+ 2z = 3 x+y−3z = 6 x+ 2y−z = 5.

Ratkaisu. L¨ahdet¨a¨an kaaviosta

x y z 1

3 −1 2 3

1 1 −3 6

1 2 −1 5

Ensimm¨aisess¨a vaiheessa se muuntuu muotoon

x y z 1

3 −1 2 3

0 4

3 −11

3 5

0 7

3 −5

3 4

ja toisessa vaiheessa muotoon

x y z 1

3 −1 2 3

0 4

3 −11

3 5

0 0 57

12 −57

12

T¨am¨a merkitsee, ett¨a alkuper¨ainen yht¨al¨oryhm¨a on yht¨apit¨av¨a yht¨al¨oryhm¨an 3x−y+ 2z = 3

4

3y− 11 3 z = 5 57

12z =−57 12

kanssa. Viimeisest¨a yht¨al¨ost¨a saadaan nyt z =−1, toisesta y= 1 ja ensimm¨aisest¨a x= 2.