i
Pro gradu -tutkielma Maaliskuu 2015
Fysiikan ja matematiikan laitos Itä-Suomen yliopisto
Matematiikan aineenopettajien
matematiikkaorientaatiot ja näkemykset oppimateriaalien käytöstä
Niko Kuusisto
ii
Niko Kuusisto Matematiikan aineenopettajien
matematiikkaorientaatiot ja näkemykset oppimateriaalien käytöstä, 72 sivua Itä-Suomen yliopisto
Matematiikan koulutusohjelma Matematiikan aineenopettajakoulutus Työn ohjaaja Tohtori Antti Viholainen
Tiivistelmä
Tutkimukseni keskittyy matematiikan luonnetta kuvaaviin orientaatioihin sekä matematiikan opetuksessa käytettäviin oppimateriaaleihin. Tavoitteena on selvittää sitä, miten eri orientaatioiden mukaiset piirteet korostuvat oppimateriaalien käytöllä. Tämän lisäksi tarkastellaan niitä asioita, joita opettajat pitävät matematiikan opiskelussa keskeisinä. Sekä matematiikkaorientaatioista että oppimateriaaleista on tehty aiempia tutkimuksia. Kyseisiä aihealueita ei ole kuitenkaan käsitelty yhdessä kovinkaan paljoa.
Aineisto kerättiin matematiikan aineenopettajille suunnatun kyselyn avulla. Vastaajiksi rajattiin peruskoulun ja lukion aineenopettajat. Kyselyssä käytettiin valmiiksi muotoiltuja monivalintakysymyksiä, joiden lisäksi vastaajien tuli perustella valintojaan avoimilla kysymyksillä.
Oppimateriaalien laajaa käsitettä rajattiin siten, että tarkastelu keskittyi niissä esiintyviin teoriaosuuksiin, esimerkkeihin ja tehtäviin. Matematiikkaa ja sen luonnetta voidaan kuvata neljän eri suuntauksen eli orientaation avulla. Luokittelun mukaisia suuntauksia kutsutaan formalismi-, skeema-, prosessi- ja sovellusorientaatioiksi. Kullekin orientaatiolle on olemassa omat ominaispiirteensä.
iii
Opettajien vastaukset osoittivat, että kunkin oppimateriaalien osa-alueen nähtiin selkeästi kehittävän vähintään yhtä orientaatiota. Opettajat myös kokivat, että saman opetustilanteen voi usein suorittaa monen eri orientaation mukaisesti. Vertailtaessa peruskoulun ja lukion aineenopettajien näkemyksiä huomattiin opetettavan kouluasteen vaikuttavan siihen, mitkä tavoitteet opettajat näkevät keskeisinä matematiikan opiskelussa.
Tuloksista tehtyjen johtopäätösten perusteella oppimateriaalien kolme osa-aluetta näyttäisivät kukin kehittävän eri orientaatioiden mukaista matematiikkaa. Ainoastaan sovellusorientaation ei nähty selvästi kehittyvän minkään osa-alueen kautta. Koska opettajat kokivat, että saman opetustilanteen voi usein hoitaa monella tavalla, voi opettajien olettaa soveltavan eri orientaatioiden mukaisia piirteitä opetuksessaan. Saadut tutkimustulokset mahdollistavat aiheen jatkotutkimuksen, sillä tutkimukseen liittyy monia asioita, joihin ei saatu vastauksia tämän tutkimuksen avulla. Tutkielma toimii tästä syystä hyvänä pohjana aiheen jatkotutkimuksille.
iv
Esipuhe
Olen valmistumassa matematiikan aineenopettajaksi, joten koin, että didaktisen pro gradu – tutkielman tekemisestä on minulle enemmän hyötyä tulevaisuuden ammatissani kuin puhtaasti matemaattisen tutkielman teosta. Olen jo työtä tehdessäni kohdannut sellaisia asioita, joista uskon olevan hyötyä tulevassa ammatissani. Tutkielman tekeminen on ollut minulle antoisa ja opettavainen kokemus.
Haluan ensinnäkin kiittää ohjaavaa opettajaani Antti Viholaista avusta ja yhteistyöstä.
Tämän lisäksi haluan kiittää perhettäni ja lähipiiriäni tutkielman tekoon sekä opiskeluun liittyvästä tuesta ja avusta. Haluan myös kiittää opiskelukavereitani mukavista vuosista opintojen parissa.
Joensuussa 9.3.2015 Niko Kuusisto
v
Sisältö
1 Johdanto 1
2 Oppimateriaalit ja oppiminen 4
2.1 Oppikirja ja sen asema 4
2.2 Oppimateriaalit osana opetusta 7
3 Matematiikkaan liittyvät uskomukset 10
3.1 Matematiikkaorientaatiot 10
3.2 Formalismiorientaatio 12
3.3 Skeemaorientaatio 13
3.4 Prosessiorientaatio 14
3.5 Sovellusorientaatio 17
3.6 Yhteenveto orientaatioista 18
4 Tutkimusmenetelmät 20
4.1 Tutkimuskysymykset 20
4.2 Kvantitatiivinen tutkimus 21
4.3 Aineiston keruu 21
4.4 Tutkimusjoukko 24
4.5 Aineiston analysointi 25
5 Tulokset 27
5.1 Taustatiedot 28
5.2 Matematiikan opettamisen keskeisimmät piirteet 28
5.2.1 Esimerkkien esittämiseen liittyvät kuvaukset 29
5.2.2 Tehtävien valintaan liittyvät kuvaukset 32
5.2.3 Teoriaosuuden esittämiseen liittyvät kuvaukset 35
vi
5.2.4 Luokittelu tärkeysjärjestyksen perusteella 38 5.2.5 Kouluastekohtainen tärkeysjärjestykseen perustuva luokittelu 40
5.3 Matematiikan opetuksen keskeisimmät tavoitteet 42
5.3.1 Matematiikan opiskelun tavoitteet 43
5.3.2 Esimerkkien esittämisen harjoittamat tavoitteet 46 5.3.3 Tehtävien ratkaisemisen harjoittamat tavoitteet 49 5.3.4 Teorian esittämisen harjoittamat tavoitteet 52
6 Yhteenveto ja johtopäätökset 55
6.1 Keskeisimmät tulokset 55
6.2 Tutkimuksen toteutus 63
6.3 Tutkimuksen eettisyys ja luotettavuus 64
6.4 Jatkotutkimusaiheita 67
Lähdeluettelo 69
Liitteet 73
1
Luku I 1 Johdanto
Oppimateriaalit kuuluvat tärkeänä osana matematiikan opetukseen suomalaisissa kouluissa. Karvosen (1995) mukaan niillä on ollut suuri merkitys suomalaisessa koulutuksessa jo useiden vuosien ajan. Hän huomauttaa, että vaikka ne suunniteltiinkin alun perin opetusta helpottamaan, ovat ne alkaneet määritellä opiskeluun liittyvien asioiden kulkua. Oppituntien eteneminen ja oppilaiden omatoiminen työskentely ovat hänen mukaansa asioita, jotka saavat vaikutteita oppimateriaaleista ja niiden käytöstä.
Keskeisen asemansa vuoksi oppimateriaaleja rinnastetaan Karvosen mukaan jopa opetussuunnitelmaan.
Piiroisen (2013) tekemän tutkimuksen perusteella voidaan sanoa, että opettajat käyttävät oppikirjaa osana omaa opetustaan runsaasti. Perusteluiksi esitetään oppikirjan käytön helppous, sillä verrattuna vähäsanaiseen opetussuunnitelmaan, on kirjan avulla helpompi suunnitella tulevia tapahtumia. Opetuksen todetaan myös etenevän oppikirjan osoittaman järjestyksen mukaan. Piiroinen kuvaakin oppikirjaa osuvasti opettajan henkilökohtaiseksi opetussuunnitelmaksi.
Teknologinen kehitys aiheuttaa tällä hetkellä sen, että muun kehityksen ohella myös oppimateriaalit kohtaavat muutoksia. Multisillan (2013) mukaan ylioppilastutkinnon
2
sähköistyminen aiheuttaa muutoksia lukio-opetukselle. Hänen mukaansa perinteisten paperille vastattavien ylioppilaskirjoitusten aika alkaa olla ohi ja niiden on tarkoitus muuttua kokonaan sähköisiksi vuoteen 2019 mennessä. Muutos ei hänen mukaansa tapahdu kuitenkaan hetkessä, vaan sen on suunniteltu tapahtuvan portaittain vuodesta 2016 alkaen. Sähköistäminen aiheuttaa väistämättä muutoksia myös oppimateriaaleihin.
Tulevaisuudessa onkin oletettavaa, että lukiossa tapahtuva opetus hoidetaan sähköisten apulaitteiden avulla. Peruskouluissa vastaavaa muutosta ei ole näköpiirissä, ainakaan vielä.
Reunasen (2013) näkemyksen mukaan sähköiset oppimateriaalit tarjoavat parhaimmillaan sellaisia mahdollisuuksia, joita perinteiset menetelmät eivät voi tarjota.
Sähköisten materiaalien kehitys on kuitenkin vasta alkuvaiheessa, sillä hänen mukaansa uudet oppimateriaalit muistuttavat tällä hetkellä lähinnä perinteisiä oppikirjoja, jotka on vain muutettu sähköiseen muotoon. Artikkelissa Reunanen nostaa esiin Mikkilä- Erdmannin näkemyksen siitä, että perinteiset menetelmät eivät välttämättä ole uusia huonompia. Samassa yhteydessä Reunanen korostaa Vauraan näkemystä siitä, että opettajan ammattitaitoa tarvitaan aina, riippumatta kulloinkin käytössä olevasta menetelmästä tai materiaalista.
Kansasen (2000) näkemys on, että opettajan suorittamien päätösten taustalla vaikuttavat hänen henkilökohtaiset uskomuksensa. Uskomukset voivat hänen mukaansa olla joko tiedostettuja tai tiedostamattomia. Opettajan toiminnalla ja uskomuksilla voidaan tästä syystä nähdä olevan yhteys toisiinsa. Opettajan uskomukset vaikuttavat näin ollen myös siihen, millaisia oppimateriaaleja ja opetusmenetelmiä hän tunneillaan käyttää.
Tutkimukseni tarkoituksena on selvittää matematiikan aineenopettajien näkemyksiä matematiikan opiskelun kannalta oleellisista asioista. Tämän lisäksi opettajilta kysytään mielipidettä siihen, millaisten tavoitteiden saavuttamien on heidän mielestään mahdollista oppimateriaalien avulla. Saatujen tulosten perusteella on mahdollista
3
suorittaa vertailua siitä, ovatko opettajien tärkeinä pitämät asiat samoja, joita oppimateriaalien avulla voidaan saavuttaa.
Tutkimuksen toinen ja kolmas luku käsittelee aiheeseen liittyvää teoriaa. Teorian käsittely rajoittuu pääasiassa oppimateriaaleihin sekä matematiikkaorientaatioihin, jotka ohjaavat opettajan toimintaa. Neljäs luku käsittelee puolestaan tutkimuksen toteuttamista sekä sen suorittamiseen käytettyjä menetelmiä. Kyseisessä luvussa esitellään myös tutkimuskysymykset. Viidennessä luvussa esitetään tutkimuksen tulokset, joita pohditaan kuudennessa eli viimeisessä luvussa.
4
Luku II 2 Oppimateriaalit ja oppiminen
2.1 Oppikirja ja sen asema
Perinteisen oppikirjan asema suomalaisessa kouluopetuksessa on ollut Karvosen (1995) mukaan itsestään selvä jo vuosikymmenten ajan. Asema on ollut jopa niin vankka, että niinkin laaja käsite kuin kasvatus on samaistettu oppikirjojen käyttämiseen. Samassa yhteydessä Karvonen kuitenkin arvioi oppikirjan aseman tulevan muuttumaan vuosien saatossa, sillä tietotekniikka mahdollistaa erinäisten elektronisten tekstien käytön.
Tämän suuntainen muutos saa hänen mukaansa aikaan oppikirjan esinemäisyyden vähenemisen. Huolimatta tekniikan aiheuttamasta muutoksesta, ei ole mahdollista sivuuttaa sitä seikkaa, että oppimateriaalit koostuvat jatkossakin kirjoitetusta kielestä ja ovat luonteeltaan lineaarisesti eteneviä sekä riippumattomia ajasta ja paikasta.
Oppikirjat suunnitellaan vastaamaan eri ryhmien käyttötarkoituksia. Häkkinen (2002) näkee, että oppikirjat eivät ole yleispäteviä kaikille sopivia teoksia, vaan käsittelevät jotain tarkempaa aihetta ja ovat suunniteltu tietyn alan opiskelijoille. Näin ollen oppikirjan käyttäjäkunta vaihtelee iän, koulutusasteen ja käsiteltävän aihealueen mukaisesti.
Lappalainen (1992) kuvaa oppikirjaa sellaiseksi teokseksi, joka on suunniteltu nimenomaan koulutustarkoitukseen. Nimensä mukaan sen tarkoitus on pyrkiä
5
auttamaan oppimisprosessissa. Lappalaisen näkemys on, että oppikirjana käytetty teos on merkittävä myös historialliselta kannalta, sillä teoksiin on aina pyritty valitsemaan aikakauden keskeisimmät asiat. Myös Karvonen (1995) toteaa, että oppikirjojen sisällöksi valikoituu aina sellaista aineistoa, joka on kyseiselle alalle keskeistä.
Oppikirjalla voidaan katsoa olevan myös neuvoa antava rooli, sillä Mikkilä-Erdmannin, Olkinuoran ja Mattilan (1999) mukaan oppikirja auttaa lukijaa hahmottamaan niitä asioita, jotka olisivat oleellista oppia. Näin ollen oppikirjan mukaista esitysjärjestystä seuraamalla pitäisi lukijan oppia aiheeseen oleellisesti liittyviä asioita.
Heinonen (2005) tarkentaa hieman Lappalaisen esittämää oppikirjan määritelmää.
Hänen mukaansa oppikirjat ja niihin liittyvät lisäosat, kuten tehtäväkirjat, perustuvat opetussuunnitelmaan tai opetussuunnitelmien perusteisiin. Samaan yhteyteen Heinonen myös määrittelee oppimateriaalin käsitteen. Oppimateriaalia ovat oppi- ja tehtäväkirjojen lisäksi muun muassa opettajanmateriaalit sekä muut oheismateriaalit kuten verkkopohjaiset oppimisympäristöt ja -videot. Oheismateriaaleista nykyajan opetuksessa korostuu erityisesti videoiden merkitys, sillä internet on tulvillaan eri opetustilanteisiin sopivia opetusvideoita.
Määttä (1991) kuvaa oppimateriaalia sellaiseksi aineistoksi, joka edesauttaa opiskelulle asetettujen tavoitteiden saavuttamista. Oppimateriaali voidaan hänen mukaansa luokitella seuraavasti:
Kirjallinen opetusmateriaali (esim. oppi- ja työkirjat)
Visuaalinen opetusmateriaali (esim. kuvat)
Auditiivinen opetusmateriaali (esim. äänitteet ja levyt)
Audiovisuaalinen opetusmateriaali (esim. opetusvideot)
Muut opetusmateriaalit (esim. oppimispelit)
6
Määttä (1991) kuitenkin huomauttaa, että oppimateriaalit eivät saisi olla tavoitteita sinänsä, vaan niiden tehtävänä on toimia apuvälineinä opettajan työtä helpottamassa.
Niiden ei siis tulisi hoitaa opetustyötä kokonaan. Oppimateriaalien avulla pyritään hänen mukaansa selventämään ja tehostamaan oppimistapahtumaa, sillä kaiken pyrkimyksenä tulisi aina olla oppilaan oppiminen.
Karjalaisen (2011) mukaan oppikirjat koostuvat teoriaosuudesta, esimerkeistä ja tehtävistä. Hänen mukaansa teoriaosuudessa esitetään käsiteltävän aiheen kannalta oleellisia määritelmiä ja lauseita sekä mahdollisesti lauseiden todistuksia.
Teoriaosuuden asiat esitetään lyhyesti matemaattisia merkintöjä käyttäen. Tämän jälkeen esitettävien esimerkkitehtävien rakenne on Karjalaisen mukaan selkeä. Rakenne on sellainen, että niiden avulla on mahdollista saada mallia muiden vastaavan tyyppisten tehtävien ratkaisemiseen. Edellisten lisäksi Karjalainen kuvaa, että esimerkkitehtävien jälkeen olevat kirjan harjoitustehtävät on usein jaettu oppilaan tason mukaan perustehtäviin sekä vaativampiin tehtäviin.
Tutkimukseni avainkäsitteinä toimivat oppimateriaalit sekä niihin sisältyvät esimerkit, teoriaosuudet ja tehtävät. Oppimateriaalilla tarkoitetaan sellaista aineistoa, joka on tehty opetustarkoitukseen. Oppimateriaalia ovat täten muun muassa oppi- ja tehtäväkirjat. Oppimateriaaleissa esiintyvillä esimerkeillä tarkoitetaan valmiita malliratkaisuja. Tehtävillä puolestaan tarkoitetaan oppitunneilla ja kotona laskettavia oppimateriaalien harjoitustehtäviä. Teoriaosuus määritellään oppikirjojen osana, jossa esitellään aiheeseen liittyviä määritelmiä ja kaavoja. Teoriaosuudessa myös perustellaan ja todistetaan kaavojen käyttöä sekä johdatellaan opiskeltavaan aiheeseen.
7
2.2 Oppimateriaalit osana opetusta
Haggartyn ja Pepinin (2002) näkemyksen mukaan oppilaat käyttävät luokkahuoneessa tapahtuvassa työskentelyssä valtavasti aikaa valmiiden opetusmateriaalien, kuten oppikirjojen, tehtävämonisteiden ja tietokoneohjelmien parissa työskentelyyn. Edellä kuvatun perusteella heidän näkemyksensä on, että näillä opetusmateriaaleilla on merkittävä osa opetustapahtumien rakentumisen kannalta. Haggarty ja Pepin näkevät oppikirjan aseman niin vahvana, että se on yksi merkittävimmistä yksittäisistä tekijöistä siihen, millaisella pedagogisella opetustyylillä luokkahuoneessa toimitaan.
Johanssonin (2006) suorittaman Ruotsin matematiikan opetusta käsittelevän tutkimuksen perusteella voidaan sanoa, että oppikirjat ohjaavat oppituntien kulkua merkittävästi. Hänen mukaansa oppilaat työskentelevät kirjan tehtävien parissa keskimäärin yli puolet oppitunnin kestosta. Opettajien käyttämät oppituntien esimerkit ovat myös pääsääntöisesti peräisin oppikirjoista. Johanssonin mukaan matematiikan oppitunneilla esitetään vain harvoin määritelmiä ja laskusääntöjä, joita oppikirjoissa ei ole esitetty. Näiden lisäksi oppilaille annettavat kotitehtävät ovat lähes poikkeuksetta peräisin oppikirjoista. Vaikka Johanssonin kuvaama tilanne on peräisin Ruotsista, on se mielestäni ainakin osittain myös yhdistettävissä Suomessa tapahtuvaan matematiikan opetukseen.
Karvonen (1995) kuvaa oppikirjatekstin avulla tapahtuvaa oppimista määritelmien omaksumiseksi. Oppimateriaalien tekstit koostuvat hänen mukaansa opiskeltavien asioiden valmiiksi annetuista määritelmistä, jolloin oppiminen ei voi olla itsenäisen ajattelun kautta tapahtuva määritelmien luomis- tai päättelyprosessi. Karvosen näkemys onkin, että opiskeltavien sisältöjen ilmaiseminen luettelomaisessa muodossa aiheuttaa sen, että oppiminen koostuu toistojen tekemisestä. Oppilas kuvataan tässä yhteydessä tyhjäksi tauluksi, jonka tehtävänä on hyväksyä ja sisäistää opiskeltavat asiat
8
sellaisenaan ilman omakohtaista merkityksen luomista. Tieto nähdään näkemyksen mukaan valmiina ja kaikkien oppilaiden tulee omaksua se sellaisenaan.
Edellisen kappaleen oppimateriaaleihin liittyvä oppiminen voidaan yhdistää behavioristiseen oppimiskäsitykseen. Myös Perkkilä (2002) kuvaa oppikirjasidonnaisesti opiskelevaa oppijaa tyhjäksi tauluksi eli tabula rasaksi.
Käsityksen mukaan tieto on valmista ja muuttumatonta sekä jaettavissa pienempiin osiin. Se on myös siirrettävissä sellaisenaan oppijalle. Hänen mukaansa opettajan tehtäväksi jää oppiaineksen eli oppimateriaalien kuvaamien asioiden esittäminen pieniin osiin jaoteltuna opetussuunnitelman edellyttämällä tavalla.
Määttä (1991) kuvaa tilannetta hieman toisin. Hänen mukaansa uudet viestintämahdollisuudet sekä kehittyvä teknologia muuttavat opetustilanteeseen liittyviä rooleja. Teknologian kehittyminen tarjoaa hänen mukaansa uusia ja monipuolisempia tapoja oppilaan omatoimiselle toiminnalle, sillä ne mahdollistavat oppilaan toiminnan aiempaa luovemmin. Määttä kuitenkin korostaa, että oppikirjan asema on ollut ja tulee myös olemaan keskeinen. Hänen mukaansa tämä ei kuitenkaan estä sitä, etteivätkö opetustilanteiden roolit voisi muuttua ajan kuluessa.
Oppimateriaalit eivät todennäköisesti tule säilymään nykyisen kaltaisena ikuisesti vaan muuttuvat ajan kuluessa. Tossavainen (2014) kertoo sähköisten oppimateriaalien tarjoavan oppilaille uudenlaisen vuorovaikutuksellisen oppimisväylän. Hänen mukaansa perinteisten ja sähköisten oppimateriaalien välinen kilpailu on tarpeetonta, sillä molemmille löytyy käyttöä myös tulevaisuudessa. Tossavaisen näkemyksen mukaan sähköisten oppimateriaalien vahvuus on siinä, että ne mahdollistavat opiskelussa erilaisten kokonaisuuksien opiskelun aiempaa paremmin. Hänen mukaansa tämän tyyppisen oppimisen etuna on se, että tarkasti määriteltyjen oppisisältöjen sijaan voidaan keskittyä laajempiin kokonaisuuksiin. Tossavaisen korostaakin, että oleellista olisi panostaa laitteiden hankinnan sijasta hyviin opetusta edistäviin oppimateriaaleihin
9
sekä niiden käyttöä ohjaavaan koulutukseen. Nykyisessä tilanteessa vastuu jää hänen mukaansa liian usein yksittäiselle opettajalle.
Honka (2014) kertoo pilviväyläpalvelun ottavan ensiaskeleitaan opetuksessa, sillä se on tarkoitus ottaa koekäyttöön useassa pilottikoulussa vuoden lopulla. Palvelua kuvataan tietynlaisena verkossa sijaitsevana oppimateriaalien tietopankkina, josta opettajat voivat löytää sähköistä oppimateriaalia opetustyötään varten. Tavoitteena olisi, että eri alojen edustajat löytäisivät ratkaisuja, joilla oppimateriaalia voitaisiin jakaa eteenpäin niitä tarvitseville.
Kehityksestä huolimatta opetus ja oppiminen tulevat olemaan osa yhteiskuntaa myös tulevaisuudessa, sillä ne eivät ole riippuvaisia käytössä olevasta materiaalista. Vastuu oppilaiden opettamisesta säilyy tulevaisuudessakin opettajilla. Oletettavaa on, että pilviväylän kaltaiset palvelut ovat jatkossa helpottamassa opettajan arkea, jolloin työn pääpaino voidaan keskittää olennaisimpaan eli opettamiseen ja sen kehittämiseen.
10
Luku III 3 Matematiikkaan liittyvät uskomukset
3.1 Matematiikkaorientaatiot
Matematiikkaan liittyvien uskomusten tutkimukset ovat osoittaneet, että matematiikan luonteeseen liittyvät näkemykset voidaan jaotella muutamiin tyypillisiin osa-alueisiin.
Näitä osa-alueita kutsutaan orientaatioiksi. Felbrichin, Müllerin & Blömeken (2008) mukaan uskomukset kuvaavat henkilön omaa näkemystä siitä, millaisena matematiikka nähdään. Heidän mukaansa ne myös kuvaavat henkilön näkemystä matematiikan luonteesta, jolloin uskomuksilla voidaan nähdä olevan merkittävä rooli myös opetuksen kannalta. Tästä syystä Felbrich ym. toteavat, että on oletettavaa, että opettajan omat uskomukset matematiikasta näkyvät hänen tavassaan opettaa matematiikkaa.
Felbrichin ym. (2008) teoksessa esitellään orientaatioiden luokittelu neljän eri tapauksen mukaisesti. Teoksessa käytetyn jaottelun ovat alun perin suunnitelleet Grigutsch, Ratz ja Törner. Suuntautumiset jaoteltiin heidän toimestaan formalismi-, skeema-, prosessi- ja sovellusorientaatioiksi. Tässä työssä käytetään Grigutschin ym.
muodostamaa orientaatioiden luokittelua.
Felbrichin ym. (2008) mukaan Grigutsch, Ratz ja Törner havaitsivat vuonna 1998 suorittamassaan tutkimuksessa, että matematiikan luonnetta ja rakennetta voidaan selittää neljän edellä mainitun orientaation avulla. Tutkimus toteutettiin luomalla 75
11
matematiikan luonteeseen ja opettamiseen sekä oppimiseen perustuvaa väittämää.
Viisiportaisen Likert- asteikon perusteella arvioituihin väittämiin vastasi yhteensä 310 saksalaisten lukioiden opettajaa. Tulosten pohjalta suoritettiin jaottelu neljään edellä mainittuun uskomukseen perustuvaan orientaatioon.
Orientaatiot voidaan Felbrichin ym. (2008) perusteella jakaa edellä kuvatun lisäksi vielä kahteen alanäkemykseen. Näitä kutsutaan heidän mukaansa dynaamiseksi ja staattiseksi näkemykseksi. Dynaamista kantaa edustavat prosessi- ja sovellusorientaatio sekä staattista kantaa puolestaan skeema- ja formalismiorientaatio. Orientaatioita koskevaa rakennetta he kuvaavat yksidimensioisena, joka sisältää kaksi toisensa poissulkevaa suuntausta. Näin ollen Felbrichin ym. mukaan henkilö katsotaan joko dynaamisen tai staattisen suuntauksen puoltajaksi.
Grigutsch, Ratz ja Törner havaitsivat muutamia yhteyksiä orientaatioiden välillä, kuten Felbrichin ym. (2008) teoksesta käy ilmi. Sovellus- ja prosessiorientaation sekä skeema- ja formalismiorientaation nähtiin korreloivan positiivisesti keskenään. Näiden lisäksi prosessiorientaation havaittiin korreloivan negatiivisesti formalismi- ja skeemaorientaation kanssa. Sovellusorientaatio nähtiin tässä yhteydessä hieman muista poikkeavaksi, sillä sen ei havaittu korreloivan negatiivisesti minkään toisen orientaation kanssa.
Kullekin orientaatiolle on olemassa omat tyypilliset piirteensä, joita on esitelty seuraavissa luvuissa. Orientaatioita on kuvattu Felbrichin ym. (2008) esittelemien piirteiden pohjalta sekä Viholaisen, Asikaisen ja Hirvosen (2014) luokittelemien ominaisuuksien avulla.
12
3.2 Formalismiorientaatio
Felbrichin ym. (2008) mukaan formalismiorientaatio näkee matematiikan eksaktina tieteenä, jolla on aksiomaattinen eli itsestään selvä perusta. Lisäksi sen katsotaan pohjautuvan deduktioon. Formalismiorientaation ymmärtämistä voidaan helpottaa havainnollistavalla kuvauksella. Heidän mukaansa kyseinen orientaatio näkee, että matemaattista ajattelua ohjaavat matemaattiset käsitteet ja abstraktius.
Formalismiorientaatiota on kuvattu myös Viholaisen ym. (2014) toimesta hieman edellistä yksityiskohtaisemmin. Heidän mukaansa formalismiorientaatio kuvaa matematiikkaa olemassa olevana tiedon rakennelmana. Oppimisen tarkoitus onkin oppia tunnistamaan ja ymmärtämään tätä valmista matemaattisen tiedon rakennelmaa.
Viholaisen ym. mukaan oleellisessa asemassa on myös matematiikan täsmällinen ilmaiseminen. Näin ollen heidän mukaansa on tärkeää tietää ja muistaa yksityiskohtia sekä oppia tarkkaan ilmaisutapaan.
Viholaisen ym. (2014) mukaan myös prosessiorientaatiossa painotetaan matematiikan ymmärtämistä, tosin hieman eri näkökulmasta. Formalismiorientaatio painottaa valmiin rakenteen ymmärtämistä, kun taas prosessiorientaatiossa nähdään keskeiseksi tavoitteeksi matematiikan ymmärtäminen tavalla, joka auttaa suurten kokonaisuuksien hahmottamisessa. Prosessiorientaation tarkempi kuvaus esitetään myöhemmässä vaiheessa.
Tiedon luonteeseen liittyvistä käsitteistä konseptuaalinen tieto on yhteydessä formalismiorientaatioon. Konseptuaalisen tiedon piirteitä on havaittavissa myös prosessiorientaatioon liittyvissä ominaisuuksissa, joita kuvataan hieman tuonnempana.
Lauritzenin (2012) mukaan konseptuaalisen tiedon perusta on asioiden välisten yhteyksien hahmottamisessa ja ymmärtämisessä. Hänen mukaansa siinä ollaan kiinnostuneita tiedon alkuperästä ja pyritään ymmärtämään, miksi jokin toiminto suoritetaan tietynlaisella tavalla. Konseptuaalisen tiedon luonteeseen kuuluu hänen
13
mukaansa lisäksi näkemys siitä, että tehtävän ratkaisemiseksi ja ymmärtämiseksi on suoritettava tietoista ajattelua, joka on oleellista tehtävän ratkaisun kannalta.
Läheisimmin formalismiorientaatio ja konseptuaalinen tieto liittyvät toisiinsa tiedon ymmärtämisen kautta, sillä molemmissa tämä nähdään oleellisena tekijänä.
3.3 Skeemaorientaatio
Felbrichin ym. (2008) näkemys skeemaorientaation mukaisesta matematiikasta pohjautuu siihen, että toimintaa ohjaavat käsitteet, säännöt ja kaavat. Matematiikka voidaankin heidän mukaansa nähdä kokoelmana lainalaisuuksia, jotka määräävät tarkasti miten jokin toiminto suoritetaan.
Myös Viholainen ym. (2014) kuvaavat skeemaorientaatioon pohjautuvaa matematiikkaa joukoksi sääntöjä, kaavoja ja laskentamenetelmiä. Oppimisen kannalta keskiössä on näiden edellä mainittujen toimintatapojen perusteellinen hallitseminen. Heidän mukaansa skeemaorientaation kannalta ei ole oleellista tietää sitä, miten säännöt ja kaavat on johdettu. Sen sijaan he korostavat, että on tärkeää oppia hyväksi sääntöjen, kaavojen ja laskentamenetelmien käyttäjäksi.
Skeemaorientaatioon liittyy läheisesti proseduraalisen tiedon käsite. Lauritzenin (2012) mukaan proseduraalinen tieto on yhteydessä henkilön kykyyn suorittaa toimintoja.
Tärkeässä osassa ovat hänen mukaansa laskennallisen taidon hallinta ja erilaisten toimintojen hyväksikäyttö moninaisissa tilanteissa. Proseduraalisessa tiedossa ei myöskään olla kiinnostuneita käsiteltävän asian syvällisestä ymmärryksestä. Sen sijaan oleellista on oppia käyttämään toimintoja käytännössä. Näin ollen Lauritzenin mukaan asiat opitaan suorittamaan automaattisesti ilman, että suoritettavan toiminnon tarkoitus tulisi tarkemmin ymmärretyksi.
14
Proseduraalisen tiedon käsite voidaankin edellä kuvatun perusteella yhdistää skeemaorientaatioon, sillä myös siinä oleellisessa asemassa on henkilön kyky muistaa miten tietty toiminto suoritetaan. Myöskään skeemaorientaatiossa ei olla kiinnostuneita tiedon alkuperästä, vaan riittää tuntea tehtävän suorittamiseksi tarvittava toiminto.
Skeemaorientaation ja behavioristisen oppimisteorian välillä voidaan nähdä olevan muutamia yhteisiä piirteitä. Surgenor (2010) kuvaa behaviorismia menetelmäksi, jossa opetuksen tavoitteena on muokata oppilaan käytöstä haluttuun suuntaan. Käytöstä voidaan hänen mukaansa muokata vahvistamalla haluttuja taitoja ja vastaavasti heikentämällä ei-toivottuja. Vahvistaminen tapahtuu hänen mukaansa pääasiassa kehumisen ja hyväksynnän kautta tilanteissa, joissa oppilas on onnistunut toimimaan halutulla tavalla. Heikentäminen puolestaan liittyy tilanteisiin, joissa oppilas ei ole toiminut oikein. Tällöin Surgenorin mielestä ohjaajan tehtävänä on ohjata oppilaan ajattelua oikeaan suuntaan antamalla palautetta oppilaan toiminnasta. Toinen behaviorismille tyypillinen piirre on hänen mukaan toistojen tekeminen opitun asian lujittamiseksi. Näkemyksen mukaan parhaaseen mahdolliseen lopputulokseen päästään, kun opittua asiaa toistetaan useita kertoja. Toistojen tekeminen on oleellisessa asemassa myös skeemaorientaatiossa, sillä myös siinä on tärkeää oppia muistamaan ja hallitsemaan kaavoja ja niiden käyttöä.
3.4 Prosessiorientaatio
Felbrichin ym. (2008) mukaan prosessiorientaatio näkee matematiikan tieteenä, joka koostuu pääasiassa ongelmanratkaisuprosesseista sekä säännönmukaisuuksien ja yhteyksien hahmottamisesta. Heidän mielestään prosessiorientaatiossa matemaattisiin ongelmiin voidaan usein löytää uusia vaihtoehtoisia menetelmiä tehtävien ratkaisemiseksi.
15
Viholainen ym. (2014) käsittelevät prosessiorientaation mukaista matematiikkaa aktiivisena konstruktioprosessina. Heidän mukaansa oppimisen kannalta oleellista on omata kykyjä, jotka auttavat uusien ratkaisumenetelmien ymmärtämisessä ja konstruoimisessa. Näin ollen mielikuvituksella voidaan nähdä olevan merkittävä osa kyseisessä orientaatiossa. Heidän mukaansa yksityiskohtien hallitsemisen sijaan on oleellista hallita laajempia kokonaisuuksia. Toisin sanoen on tärkeää muodostaa selkeä kokonaiskuva opiskeltavasta aiheesta.
Kuten formalismiorientaation yhteydessä todettiin, ovat myös konseptuaalinen tieto ja prosessiorientaatio yhteydessä toisiinsa. Prosessiorientaation kohdalla on tarpeellista ymmärtää ja konstruoida ratkaisumenetelmiä sekä pyrkiä hahmottamaan kokonaiskuvaa tilanteesta. Nämä ovat ominaisuuksia, jotka korostuvat myös konseptuaalisen tiedon mukaisessa käsitteessä, sillä konseptuaalisen tiedon perusta on Lauritzenin (2012) mukaan asioiden välisten yhteyksien hahmottamisessa ja ymmärtämisessä. Ilman konseptuaalisen tietonäkemyksen mukaista asioiden välisten yhteyksien hahmottamista ja ymmärtämistä on vähintäänkin haasteellista toimia prosessiorientaation edellyttämällä tavalla.
Prosessiorientaation mukaiseen matematiikkaan liittyvät käsitteet konstruktivismi ja konstruktioprosessi. Haapasalon (2011) mukaan konstruktivismi nähdään usein oppimisteoriana, vaikka todellisuudessa kyseessä on huomattavan paljon laajempi käsite. Paremmin sitä voidaan hänen mukaansa kuvata tietynlaisena näkökulmana, jossa oppimista tarkastellaan. Seuraavaksi esittelen muutamia Haapasalon koostamia konstruktivismin peruslähtökohtia, jotka on koottu Piaget’n ja Vygotskyn teorioiden pohjalta. Tieto nähdään yksittäisen henkilön kokemusten uudelleen järjestämisenä.
Tämä henkilön muodostama tieto ei voi olla ontologisesti eli perusolemuksellisesti objektiivista. Ulkomaailman havainnoiminen on valikoivaa ja se riippuu havainnoitsijan henkilökohtaisesta viitekehyksestä. Näin ollen tiedon olemukseen vaikuttavat hänen mukaansa aina havainnoitsijan sen hetkiset kokemukset, käsitteistö ja perspektiivi.
16
Konstruktivismin luonteista viimeisenä Haapasalo nostaa esiin sen, että tieto ei ole koskaan sellaisenaan siirrettävissä toiselle henkilölle, vaan on jokaiselle henkilökohtaista.
Siemensin (2004) näkemys on, että konstruktivismissa oppilaat luovat itse tietoa yrittäessään ymmärtää omia kokemuksiaan. Toisin kuin behaviorismissa, jossa oppilaan rooli on olla ainoastaan tiedon vastaanottaja, konstruktivismissa oppilaat luovat aktiivisesti omia merkityksiään asioille. Tämän suuntainen toiminta johtaa hänen mukaansa syvempään asioiden ymmärtämiseen ja antaa paremmat edellytykset elinikäiselle oppimiselle.
Konstruktioprosessia Haapasalo (2011) kuvaa tilanteena, jossa uteliaisuus herättää yksilössä halun tulkita tilannetta. Tätä yksilön kokemaa uteliaisuutta tulee hänen mukaansa kuvata tässä yhteydessä ongelmana. Ongelman kohtaava henkilö pyrkii hänen mukaansa löytämään tilanteeseen sopivan mentaalimallin. Mikäli sopivaa mallia ei löydy, syntyy loogis-kognitiivinen ristiriita, johon pyritään löytämään ratkaisu.
Loogis-kognitiivista ristiriitaa Haapasalo kuvaa ongelmalähtöisyyden perustaksi.
Ongelmalähtöistä ja konstruktivistista oppimista voidaankin tästä syystä pitää hänen mukaansa samaa tarkoittavina asioina.
Dewey (1910) kuvaa ongelmanratkaisuprosessia viisivaiheiseksi tapahtumaksi, jonka ensimmäisessä vaiheessa identifioidaan kohdattu ongelma. Mallin toisessa vaiheessa ongelma määritellään ja paikallistetaan. Ensimmäinen ja toinen vaihe voidaan joissain tilanteissa katsoa tapahtuvan myös samanaikaisesti. Kolmannessa vaiheessa ongelmalle esitetään mahdollinen ratkaisu, jonka seurauksia ja järkiperäisyyttä neljännessä vaiheessa pohditaan. Viidennessä ja viimeisessä vaiheessa luotua ratkaisumallia seurataan ja kokeillaan käytännössä. Tämän jälkeen muodostettu malli hänen mukaansa joko kelpuutetaan tai hylätään riippuen kokeilun onnistumisesta.
17
Leppäaho (2007) kuvaa Deweyn esittämää mallia tapahtumaksi, jossa ongelman kohtaava henkilö esittää hypoteesin eli arvion sille, miten ratkaisu voitaisiin löytää ja kokeilee muodostamiaan vaihtoehtoja. Tämän jälkeen muodostetut vaihtoehdot hänen mukaansa joko hylätään tai hyväksytään. Muotoutunutta tapahtumaa Leppäaho kutsuu hypoteesin ja testauksen sykliksi.
3.5 Sovellusorientaatio
Felbrichin ym. (2008) mukaan sovellusorientaatio näkee matematiikan tieteenä, josta voidaan katsoa olevan yhteiskunnan ja elämän kannalta todellista hyötyä. Heidän mukaansa sovellusorientaation mukaisen matematiikan tulisi auttaa ratkaisemaan jokapäiväisiä ongelmia ja tehtäviä.
Viholaisen ym. (2014) mielestä sovellusorientaatiossa matematiikka nähdään menetelmänä todellisuuden ja arkielämän tapahtumien kuvaamisessa. Matematiikan arvo mitataan sen käytettävyydessä arkielämän ongelmia ratkaistaessa. Heidän mukaansa oppimisen kannalta oleellista on matemaattisten menetelmien ja jokapäiväisten ilmiöiden välisten yhteyksien havaitseminen. Heidän näkemyksensä on, että aina ei ole helppoa asettaa selkeää rajaa matematiikan ja sen ulkopuolisten asioiden välille.
Matematiikalla on ollut tärkeä osa yhteiskunnassa jo tuhansien vuosien ajan.
Matematiikan osa-alueista ainakin geometrian voidaan Boyerin (1994) mukaan nähdä syntyneen arkielämän tarpeita varten. Geometrian juuret ovat Egyptissä, jossa se luotiin Niilin tulvien jälkeisiin maanmittauksen tarpeisiin. Täyttä varmuutta geometrian alkuperästä ei hänen mukaansa kuitenkaan ole, sillä tapahtumat sijoittuvat ajalle, jolloin kirjoitustaitoa ei vielä tunnettu. Tätä näkemystä puoltaa myös Boyerin teoksessa ilmi tuleva Aristoteleen näkemys siitä, että matematiikka luotiin papillista elämää varten.
18
Tästä huolimatta hänen kantansa on, että matematiikkaa on käytetty arjen töiden apuna jo tuhansia vuosia.
Kumpulan (2014) mukaan eksistentiaaliontologia jakaa matematiikan ideaaliseen ja reaaliseen olemistapaan. Matematiikka tutkimuskohteena nähdään ideaalisena todellisuutena, jonka käsitteet ovat muuttumattomia ja pysyviä. Tämän vastakohtana oleva reaalinen todellisuus on hänen mukaansa sen sijaan muuttuvaa ja riippuvainen kulloinkin vallitsevasta ajanjaksosta. Ideaalin matematiikan soveltaminen yhdistää sen reaaliseen todellisuuteen. Kumpulan mukaan koulumatematiikka nähdään pitkälti ideaalisena, vaikkakin sen reaalisia merkkejä on mahdollista havaita ympäristöstä.
Eksistentiaaliontologia keskittyy hänen mukaansa opitun asian merkityksen ymmärtämiseen. Sekä ideaalisella että reaalisella matematiikalla on hänen mukaansa tärkeä osa yksilöiden ja kulttuurin kehittymisen kannalta, sillä molemmat ovat osa kulttuurista merkitysmaailmaa.
3.6 Yhteenveto orientaatioista
Tähän kappaleeseen olen koonnut kolme keskeisintä matematiikan oppimiseen liittyvää tavoitetta kustakin orientaatiosta. Tavoitteet on muotoiltu sellaisiksi, että ne kuvaisivat niitä asioita, jotka oppimisen kannalta tulisi saavuttaa kussakin orientaatiossa.
Karakteristisuuksien valinnassa olen käyttänyt apuna edellisissä kappaleissa esitettyjä orientaatioiden kuvauksia sekä Viholaisen ym. (2014) laatimaa orientaatioihin liittyvää taulukkoa. Matematiikan oppimiseen liittyvät tavoitteet on esitetty taulukossa 1.
19
Taulukko 1. Matematiikkaorientaatioiden mukaisesti jaotellut matematiikan oppimiseen liittyvät keskeisimmät tavoitteet.
Formalismiorientaatio Skeemaorientaatio
Selkeän ja täsmällisen matemaattisen esitystavan omaksuminen
Abstraktin ja loogisen ajattelun edistyminen
Matematiikan kokonaisuuden ymmärtäminen
Kaavojen, määritelmien ja sääntöjen muistaminen sekä soveltaminen Laskurutiinin hankkiminen Ratkaisumallien muistaminen
Prosessiorientaatio Sovellusorientaatio
Useiden ratkaisumenetelmien keksiminen Itsenäinen ongelman tutkiminen ja
ratkaisun konstruoiminen
Luovuus ja uusien ideoiden keksiminen
Jokapäiväisten ongelmien ja tehtävien ratkaiseminen
Arkielämän ja matematiikan välisen yhteyden havaitseminen
Matematiikan soveltaminen yhteiskunnan eri aloilla
20
Luku IV 4 Tutkimusmenetelmät
4.1 Tutkimuskysymykset
Tutkittuani aiempia aiheeseen liittyviä tutkimuksia mielenkiintoni kohdistui erityisesti matematiikan aineenopettajien näkemykseen siitä, miten he kokivat oppimateriaalien käytön vaikuttavan henkilön matematiikkakuvan muodostumiseen. Tutkielmani keskittyy aiheen tutkimiseen oppimateriaaleissa esiintyvien teoriaosuuksien, esimerkkien ja tehtävien kautta.
Tutkielmassani pyrin vastaamaan seuraaviin kysymyksiin:
Miten eri orientaatioiden mukaiset piirteet painottuvat esimerkkien, tehtävien ja teorian opetuskäytössä?
Mitä tavoitteita matematiikan aineenopettajat arvostavat matematiikan opiskelussa?
Mitkä tavoitteet opettajat näkevät keskeisimmiksi esimerkkien, tehtävien ja teorian opetuskäytön suhteen?
21
4.2 Kvantitatiivinen tutkimus
Määrällistä eli kvantitatiivista menetelmää kuvataan Vilkan (2007) toimesta sellaiseksi, jossa tutkimuksen kohteena olevaa asiaa tarkastellaan määrien eli numeroiden avulla.
Numerot voidaan hänen mukaansa esittää tunnuslukujen avulla. Vilkan mukaan tutkijan tehtäväksi jää oleellisen numeerisen tiedon avaaminen sanallisesti.
Vilkan (2007) mukaan isolle erillään olevalle joukolle aineistonkeruu kannattaa hoitaa kyselyn avulla. Hänen mukaansa kyselyssä kysymykset ovat vakioituja. Tämä tarkoittaa sitä, että kyselyssä esiintyvät kysymykset ovat samat kaikille vastaajille. Tällä taataan se, että kaikilla vastaajilla on mahdollisuus vastata kysymyksiin samoista lähtökohdista.
Määrällisessä tutkimuksessa on Vilkan (2007) mukaan aina ensin tutustuttava tarkasti tutkittavaan aiheeseen, sillä ilman tätä on mahdotonta luoda menestyksellistä tutkimusta. Hänen mukaansa tutkimukseen liittyvät asiat on määriteltävä sellaiseen muotoon, josta ne ovat mitattavissa. Hänen näkemyksensä mukaan tutkijan tulisi myös panostaa siihen, että kaikki vastaajat ymmärtävät tutkittavat asiat samalla tavalla. Tämä lisää puolestaan tutkimuksen luotettavuutta.
4.3 Aineiston keruu
Päädyin suorittamaan aineiston keruun kyselylomakkeen avulla. Tällä tavoin pystyin tavoittamaan mahdollisimman laajan kyselyjoukon. Hirsjärven, Remeksen &
Sajavaaran (2005) mukaan kysely mahdollistaa laajan aineiston keräämisen suhteellisen vaivattomasti ja nopeasti. Menetelmän eduksi voidaan myös katsoa aineiston keruun aikatauluttaminen tutkijan toiveiden mukaisesti. Huonona puolena kyselyssä voidaan heidän mielestään pitää sitä, että vastaajien suhtautumista kyselyn suorittamiseen ei voi tarkkaan tietää. Myös vastausvaihtoehtojen onnistumisen epävarmuutta voidaan heidän mukaansa pitää kyselyn huonona puolena.
22
Lomakkeeseen valikoituneet kysymykset perustuivat oman kiinnostukseni lisäksi matematiikkaorientaatioita aiemmin tutkineen yliopiston lehtori Antti Viholaisen asiantuntijuuteen. Käytin kyselyssä monivalintakysymyksiä, joiden vastauksia aineenopettajien tuli perustella kysymysten jälkeen varatuissa avoimissa osioissa.
Näiden lisäksi vastaajien tuli asettaa valitsemansa vaihtoehdot tärkeysjärjestykseen.
Hirsjärven ym. (2005) näkemys on, että monivalintakysymykset helpottavat vastaamista, koska ne auttavat vastaajaa identifioimaan ongelman. Valli (2007) puolestaan pitää avointen kysymysten hyvänä puolena sitä, että vastaajien mielipiteet voidaan selvittää tarkasti. Tämä oli perustelu sille, miksi päädyin kysymään perusteluja vastauksiin.
Kyselyn kysymykset jakaantuivat kahteen osaan. Ensimmäisessä osiossa opettajien tuli valita matematiikan opettamiseen liittyvistä neljästä kuvauksesta sellainen, joka parhaiten vastasi heidän omaa toimintaansa opetustilanteessa. Matematiikan opettamiseen liittyvät neljä kuvausta muotoiltiin siten, että jokainen vaihtoehdoista vastasi yhden eri matematiikkaorientaation mukaista tapaa suorittaa kyseinen toiminto.
Toisin sanoen esimerkkien esittäminen, tehtävien valinta ja teoriaosuuden esittäminen oli mahdollista suorittaa formalismi-, skeema-, prosessi- tai sovellusorientaation mukaisella tavalla.
Päädyin suorittamaan ensimmäisen osion kysymykset valmiiksi määritettyjen kuvausten avulla, sillä tällä tavoin varmistettiin se, että opettajien vastaukset pysyivät halutuissa aihealueissa. Toinen vaihtoehto olisi ollut käyttää valmiiden kuvausten sijaan avoimia kysymyksiä, mutta tällä tavoin olisi ollut vaarana, että suuri osa vastauksista ei olisi liittynyt matematiikkaorientaatioihin millään tavalla.
Myös kyselyn toisen osion kysymykset olivat monivalintakysymyksiä, joiden vastausvaihtoehdot oli muodostettu valmiiksi. Toisessa osiossa vastaajien tuli valita 12 valmiiksi muodostetusta matematiikan opiskeluun liittyvästä tavoitteesta omasta
23
mielestään viisi keskeisintä. Tavoitteet muodostettiin tässäkin osiossa matematiikkaorientaatioiden pohjalta siten, että kutakin neljää orientaatiota vastasi kolme erilaista kuvausta.
Vallin (2007) mukaan kyselylomake tulisi aloittaa taustatietokysymyksillä.
Taustakysymysten jälkeen lomakkeessa olisi hyvä olla muutamia helpompia kysymyksiä ennen siirtymistä haastavampiin kysymyksiin. Kyselyn lopussa tulisi hänen mukaansa olla vielä muutamia helpompia kysymyksiä. Kyselyni alkoi vastaajien taustatietojen kysymyksillä, joista siirryttiin helppoihin opettamisen määrää kuvaaviin kysymyksiin. Näiden jälkeen esitettiin kyselyn kannalta oleellisimmat ja haastavimmat kysymykset. Ainoa poikkeus Vallin kuvaamaan rakenteeseen tuli kyselyni lopussa, jossa ei ollut enää lainkaan helpompia kysymyksiä.
Tutkielmani aineisto kerättiin sähköisesti e-lomakkeen avulla 24.11.–31.12.2014 välisenä aikana. Lomake on kokonaisuudessaan Liitteessä 1. Lomakkeen vastaajiksi valikoitui peruskouluissa ja lukioissa opettavia aineenopettajia. Kyselyyn vastaamisen edellytyksenä oli, että vastaajan tuli opettaa matematiikkaa kuluvan lukuvuoden aikana.
Kyselylomakkeen jakaminen vastaajille toteutettiin kahdella tavalla. Kysyimme ensiksi ohjaajani kanssa MAOL:lta mahdollisuutta saada kyselylomakkeeni linkki saatekirjeen kanssa heidän viikkotiedotteeseensa. Suostuvan vastauksen saatuamme tutkimukseen liittyvä ilmoitus julkaistiin viikon 49 viikkotiedotteessa 1.12.2014. MAOL:n viikkotiedotteessa julkaistu kyselyyni liittyvä ilmoitus löytyy Liitteestä 2. Toinen käyttämäni menetelmä vastausten saamiseksi oli sähköpostien lähettäminen suoraan aineenopettajille. Tutustuin itse oppilaitosten verkkosivuihin ja etsin matematiikkaa opettavien opettajien yhteystiedot. Tämän jälkeen kirjoitin heille saatteen, jonka mukana oli linkki e-lomakkeeseeni. Opettajille lähetetty sähköpostiviestin saate oli sama, jota käytettiin MAOL:n viikkotiedotteessa. Sähköpostien lähettäminen hoidettiin
24
massaviesteillä, jolloin potentiaalisia vastaajia saatiin kerralla tavoitettua runsas määrä.
Kaikkiaan sähköpostiviesti lähetettiin noin 400 opettajalle.
Vastausten saaminen tuotti huomattavan paljon enemmän työtä, kuin olin alun perin olettanut. Kyselyn julkaisun jälkeisinä ensimmäisinä päivinä vastauksia kertyi muutaman päivän ajan melko tiheään tahtiin, mutta hiljalleen vastausten saaminen hidastui ja lopulta pysähtyi hetkeksi kokonaan. Vastaustahdin hiljennyttyä pyrin mahdollisimman pian lähettämään uuden massaviestin sähköpostin välityksellä. Tämä tuottikin tulosta, sillä vastausten määrä lisääntyi joka kerta näin toimittuani.
Kiivaimmillaan vastausten saaminen oli muutaman päivän ajan heti lähetyksen jälkeen.
4.4 Tutkimusjoukko
Sähköiseen kyselyyn vastasi kaikkiaan 52 peruskoulun ja/tai lukion aineenopettajaa.
Suurin osa opettajista opetti matematiikkaa peruskoulussa, sillä vastaajista kaksi kolmasosaa (yhteensä 36 opettajaa) opetti peruskoulussa ja vain kolmasosa (yhteensä 18 opettajaa) lukiossa. Vastaajista kaksi ilmoitti opettavansa matematiikkaa molemmilla kouluasteilla. Kyseiset tapaukset on laskettu mukaan molempiin kouluasteisiin.
Miehet olivat naisia aktiivisempia vastaajia, sillä kaikista vastaajista ainoastaan hieman yli kolmannes (yhteensä 19 opettajaa) oli naisia. Aineenopettajilta kysyttiin edellisten lisäksi myös heidän opetuskokemustaan sekä matematiikan opettamisen viikkotunteja.
Vastaajat olivat pääsääntöisesti jo varsin kokeneita opettajia, sillä kaikkien vastaajien keskimääräinen opetuskokemus vuosissa oli 29,5 vuotta. Matematiikkaa vastaajat opettivat puolestaan keskimäärin lähes 19 tuntia viikossa.
25
4.5 Aineiston analysointi
Lomakkeen monivalintatehtävien analysoinnin suoritin kvantitatiivisesti. Hirsjärvi (2005) kuvaa kvantitatiivisen analyysin prosessia vaiheittain eteneväksi. Hänen mukaansa tyypillisiä vaiheita ovat: aineisto, selittäminen, ryhmitteleminen, yhdisteleminen ja havainnollistus.
Ennen varsinaisen analysoinnin aloittamista tutustuin huolellisesti käytössäni olleeseen aineistoon. Syrjälän, Ahosen, Syrjäläisen & Saaren (1996) näkemys on, että aineiston tarkan tutkimisen seurauksena tutkija alkaa ymmärtämään materiaalin kannalta tärkeimpiä asioita. Rantala (2001) kuvaakin analysointia toiminnaksi, jossa aineistoa luetaan useita kertoja, arvioidaan tekstiä, suoritetaan jaottelua ja vertailua sekä myös suoritetaan tulkintaa.
Tulosten analysoimisen aloitin siirtämällä käytössä olleen aineiston Exceliin.
Siirtäminen oli vaivatonta, sillä käyttämäni e-lomake osasi järjestää aineiston suoraan kyselylomakkeen mukaiseen järjestykseen. Kyselyn ensimmäisen osion kysymysten analysoinnin aloitin laskemalla esiintymiskertoja kysymysten eri vaihtoehdoille.
Saatujen yksinkertaisten laskelmien perusteella muodostin tuloksia havainnollistavat kuvaajat Excelin taulukkotyökalujen avulla. Saatujen kuvaajien perusteella oli mahdollista vertailla vastaajien näkemyksiä keskeisimmästä matematiikkaorientaatiosta.
Aineiston analysointi vaihteli hieman osion mukaan, mutta oli edellä kuvatun kaltainen molemmissa osioissa.
Kyselylomakkeen rakenne mahdollisti aineiston ryhmittelyn matematiikkaorientaatioiden mukaisesti. Kyselyn jälkimmäisessä osiossa suoritin ensin vaihtoehtokohtaisen laskelman, jonka tuloksena sain kaikkien vaihtoehtojen esiintymiskerrat. Tämän jälkeen laskin neljän orientaation esiintymiskerrat kaikista aiemmin lasketuista vaihtoehdoista. Orientaatiokohtaisten laskelmien perusteella
26
muodostin vielä kuvaajat, jotka mahdollistivat vastaajien näkemysten paremman vertailun.
27
Luku V 5 Tulokset
Tässä luvussa tarkastellaan peruskoulun ja lukion aineenopettajien näkemyksiä oppimateriaalien käytöstä. Opettajien tuli vastata kysymyksiin sen pohjalta, miten he näkivät oppimateriaalien käytön osana omaa opetustaan. Tutkimuksessa käytetty kyselylomake suunniteltiin siten, että oppimateriaalin käsite jaettiin kolmeen osaan:
esimerkkeihin, tehtäviin ja teoriaosuuteen.
Tuloksia käsittelevän luvun ensimmäisessä osiossa tarkastellaan opettajien näkemyksiä matematiikan opettamisen keskeisimmistä piirteistä. Keskeisimmät piirteet kysyttiin erikseen esimerkkien esittämisen, tehtävien valinnan ja teoriaosuuden esittämisen tapauksissa. Toisessa vaiheessa käsitellään opettajien näkemyksiä tärkeimmistä matematiikan oppimiseen liittyvistä tavoitteista. Tarkastelu on jaettu tässä tapauksessa esimerkkien esittämiseen, tehtävien ratkaisemiseen ja teoriaosuuden esittämiseen.
Näiden lisäksi opettajien tuli pohtia matematiikan opiskeluun liittyviä keskeisimpiä tavoitteita.
28
5.1 Taustatiedot
Kyselyyn vastanneilta opettajilta kysyttiin, kuinka paljon he käyttävät oppimateriaalien esimerkkejä, tehtäviä ja teoriaosuutta omassa opetuksessaan. Kysymykset suoritettiin neliportaisella likert-asteikolla. Vastaajien tuli valita kunkin oppimateriaalin kohdalla omaa käyttöään sopivimmin kuvaava vaihtoehto. Vaihtoehdot olivat: en koskaan, kuukausittain, viikoittain ja joka oppitunnilla. Saadut tulokset on esitetty taulukossa 2.
Taulukko 2. Aineenopettajien oppimateriaalien eri osioiden käytön keskiarvot.
Vastaajille esitetyt vaihtoehdot määriteltiin seuraavasti: 1= en koskaan, 2=
kuukausittain, 3= viikoittain ja 4= joka oppitunnilla.
Käytetty oppimateriaalin osa Keskiarvo
Esimerkit 2,33
Tehtävät 3,69
Teoria 2,67
Tulosten perusteella voidaan sanoa opettajien käyttävän oppimateriaalien esimerkkejä hieman kuukausittaista käyttöä useammin. Valmiita tehtäviä käytettiin huomattavasti useammin, sillä keskiarvon mukaan niitä käytettiin lähes jokaisella oppitunnilla.
Oppimateriaalien teoriaosuutta vastaajat puolestaan käyttävät lähes viikoittain.
5.2 Matematiikan opettamisen keskeisimmät piirteet
Tämän osion kysymyksissä vastaajia pyydettiin valitsemaan neljästä valmiiksi muodostetusta vaihtoehdosta omaa opettamistaan parhaiten vastaava kuvaus sekä perustelemaan suorittamansa valinta. Lisäksi vastaajia pyydettiin järjestämään kaikki kuvaukset tärkeysjärjestykseen omaa opettamista parhaiten kuvaavasta huonoiten kuvaavaan. Edellä mainitut kuvauksia koskevat kysymykset esitettiin erikseen kolmessa
29
eri osiossa. Ensimmäisessä vaiheessa tuli tarkastella tilannetta esimerkkien esittämisen, toisessa tehtävien valinnan ja kolmannessa teoriaosuuden esittämisen kannalta.
5.2.1 Esimerkkien esittämiseen liittyvät kuvaukset
Vastaajille esitetyt, matematiikkaorientaatioiden mukaan suunnitellut, esimerkkien esittämiseen liittyvät kuvaukset on esitetty alla.
1. Pyrin esittämään esimerkkejä, jotka tukevat opiskeltavan teorian ymmärtämistä (Formalismi)
2. Pyrin esittämään esimerkkejä, joiden avulla oppilaat voivat saada uusia ideoita ja keksiä uusia ratkaisutapoja (Prosessi)
3. Pyrin esittämään esimerkkejä, jotka antavat ratkaisumalleja muiden vastaavien tehtävien ratkaisemiseen (Skeema)
4. Pyrin esittämään esimerkkejä, jotka liittyvät arkielämän ongelmiin (Sovellus) Vastaajia pyydettiin valitsemaan yllä esitetyistä vaihtoehdoista omaa opettamistaan parhaiten vastaava vaihtoehto. Saatujen vastausten perusteella opettajat pitivät formalismi- ja skeemaorientaation mukaisia kuvauksia oleellisimpina esimerkkien esittämisessä, sillä 24 opettajaa valitsi vaihtoehdon 1 ja 21 opettajaa vastaavasti vaihtoehdon 3. Prosessi- ja sovellusorientaatiota ei puolestaan pidetty kovinkaan oleellisina esimerkkien esittämisessä, sillä ainoastaan neljä opettajaa piti kuvauksista tärkeimpänä vaihtoehtoa 2 ja kolme opettajaa vaihtoehtoa 4. Saadut tulokset on esitetty kootusti Kuvassa 1.
30
Kuva 1. Kuvausten esiintymiskerrat esimerkkien esittämisen tapauksessa.
Formalismiorientaation tärkeimmäksi vaihtoehdoksi valinneista opettajista moni koki esimerkkien selkeyttävän teorian ymmärtämistä. Eräs opettajista perusteli valintaansa seuraavasti:
”Oppilailla ei välttämättä aukea aina teoria sääntönä. He kaipaavat esimerkkejä, jotka noudattavat teoriaa ja selventävät sitä.”
Useat opettajat käyttivät edellisen kaltaista perustelua. Samassa yhteydessä muutamat kuitenkin pitivät mahdollisena, että esimerkit voivat liittyä arkielämän ongelmiin, jolloin myös sovellusorientaatiota pidettiin tärkeänä. Tämä käy ilmi seuraavasta perustelusta:
”Ensisijainen tarkoitukseni on, että opiskelijat ymmärtävät opiskeltavan teorian. Tämä ei tarkoita sitä, etteikö esimerkki voisi olla joskus myös arkielämästä. Opittua teoriaa voidaan soveltaa monipuolisesti erilaisiin asioihin, kuten vaikkapa arkielämän ongelmiin.”
24
4
21
3 0
5 10 15 20 25 30
Formalismi Prosessi Skeema Sovellus
Esiintymiskertojen lukumäärä
Esimerkkeihin liittyvät kuvaukset
Esimerkkien esittämiseen liittyvien kuvausten
valintajakaumat
31
Yllä olevasta perustelusta voidaan huomata, että vaikka kyseessä ollut opettaja piti tärkeänä esimerkkien esittämiseen liittyvänä tehtävänä teorian ymmärrystä, piti hän myös mahdollisena arkielämän esimerkkien käyttöä. Näin ollen voidaan olettaa, että opettajien näkemykset eivät ole täysin yksiselitteisiä, vaan opettajat pitävät useampien orientaatioiden mukaisia toimintatapoja oleellisena esimerkkien esittämisessä.
Toinen merkittävästi kannatusta saanut orientaatio oli skeemaorientaatio. Kuvauksen 3 valinneista opettajista moni perusteli valintaansa sillä, että varsinkin heikompien oppilaiden on välttämätöntä saada ratkaisumalli tehtävien ratkaisua varten. Alla on esitetty erään opettajan näkemys asiasta.
”Ratkaisumallit ovat tarpeen, jotta oppilaat mahdollisimman pian pääsisivät omaan vihkotyöhön ja sinne tulisi oikeita matemaattisia merkintöjä. Oppilaiden keskittymiskyky on usein lyhyt, siksi pyrin saamaan heidät pian töihin. Ennen esimerkkiä pyrin kuitenkin esittämään, missä arkielämän tilanteessa tämän tunnin asialle olisi käyttöä, jotta motivaatio saataisiin herätettyä.”
Muutamissa vastauksissa opettajat pitivät useita vaihtoehtoja oleellisena esimerkkien esittämisessä. Tämä vahvistaa jo aiemmin tehtyä päätelmää, jonka mukaan opettajat pitävät yhden orientaation sijasta tärkeinä useita orientaatioita. Tämä näkyy myös edellisessä kommentissa, sillä opettaja mainitsee perusteluissaan oikean matemaattisen merkintätavan tärkeyden, joka on Viholaisen ym. (2014) mukaan formalismiorientaation piirre.
Sovellusorientaation mukaisen vaihtoehdon valinneet opettajat perustelivat valintaansa arkielämän esimerkkien tuomilla motivaatiotekijöillä. Seuraavassa opettajan perustelussa käy jälleen ilmi usean eri orientaation valinnan mahdollisuus:
32
”Oppilaat saavat tarttumapintaa aiheeseen ja esimerkit ovat lähempänä heidän kokemuspiiriään. Käytän tosin kaikkia vaihtoehtoja paljon ja on hankalaa laittaa niitä järjestykseen. Riippuu ryhmästä, mitä käytän eniten.”
Arkielämän esimerkkien tuominen osaksi oppituntia nähtiin tärkeänä oppilaiden motivoinnin kannalta. Muutamat opettajat kertoivat myös käyttävänsä arkielämän tilanteiden kuvauksia kertomusten muodossa motivoidakseen oppilaita.
5.2.2 Tehtävien valintaan liittyvät kuvaukset
Kyselyssä käytetyt, matematiikkaorientaatioiden mukaan suunnitellut, tehtävien valintaan liittyvät kuvaukset on esitetty seuraavaksi.
1. Pyrin valitsemaan tehtäviä, jotka edellyttävät tunnilla tai oppimateriaaleissa käsitellyn teorian syvällistä ymmärtämistä (Formalismi)
2. Pyrin valitsemaan tehtäviä, jotka harjoituttavat luovaa ajattelua ja ongelmanratkaisua (Prosessi)
3. Pyrin valitsemaan tehtäviä, jotka harjoituttavat matemaattisten menetelmien ja kaavojen sujuvaa hallintaa (Skeema)
4. Pyrin valitsemaan tehtäviä, jotka harjoituttavat matematiikan soveltamista arkielämän tilanteissa (Sovellus)
Tehtävien valintaan liittyvien kuvausten kohdalla opettajien näkemykset tärkeimmästä vaihtoehdosta jakautuivat huomattavan paljon tasaisemmin kuin esimerkkien esittämisen tapauksessa. Tärkeimpänä vastaajat pitivät skeemaorientaation mukaista kuvausta, sillä 20 opettajaa valitsi vaihtoehdon 3. Myös formalismi- ja prosessiorientaatioita pidettiin oleellisina, sillä vaihtoehtoa 1 piti tärkeimpänä 16 opettajaa ja vaihtoehtoa 2 vastaavasti 13 opettajaa. Ainoastaan kolme opettajaa piti tärkeimpänä vaihtoehtoa 4, joten sovellusorientaatiota ei pidetty kovinkaan
33
merkittävänä myöskään tehtävien valinnan kannalta. Tehtävien valintaan liittyvät opettajien näkemykset on esitetty kootusti Kuvassa 2.
Kuva 2. Kuvausten esiintymiskerrat tehtävien valinnan tapauksessa.
Skeemaorientaation eli kuvauksen 3 valinneiden opettajien perusteluissa nousi esiin laskurutiinin hankkimisen tärkeys. Kuten seuraavasta vastauksesta näkee, pitivät vastaajat välttämättömänä menetelmien perusteellista hallintaa.
”Erityisesti pitkän matematiikan oppisisältö on pääasiassa työkalupakin kokoamista jatko-opintoja varten ja koska aika ei riitä kuin harvoin sisällön syvälliseen ymmärtämiseen, keskityn ennen kaikkea vahvistamaan mekaanisia perustaitoja.”
Useat vastaajat, jotka pitivät skeemaorientaation mukaista kuvausta tärkeimpänä, kokivat, että ilman perusteellista menetelmien hallintaa ei ole mahdollista siirtyä syvällisempää ymmärrystä vaativiin tehtäviin. Seuraavassa yhden opettajan näkemys kyseisestä asiasta:
16
13
20
3 0
5 10 15 20 25
Formalismi Prosessi Skeema Sovellus
Esiintymiskertojen lukumäärä
Tehtäviin liittyvät kuvaukset
Tehtävien valintaan liittyvien kuvausten
valintajakaumat
34
”Matematiikassa tarvitaan paljon harjoitusta ja uusien asioiden omaksuminen on myöhemmin helpompaa, jos aikaisemmat menetelmät ja kaavat ovat kunnolla hallussa.”
Monet formalismiorientaation mukaisen kuvauksen valinneista opettajista perustelivat valintaansa matematiikan ymmärryksen tärkeydellä. Heidän mielestään asioiden syvällinen omaksuminen on ulkoa oppimista tärkeämpää. Tämä käy ilmi seuraavasta ytimekkäästä vastauksesta:
”Pakko saada oppilaat ajattelemaan, eikä vaan monistamaan.”
Vastaavanlaisia perusteluita esittivät myös muut formalismiorientaation valinneet opettajat. Monet kyseisen orientaation valinneet perustelivat valintaansa myös seikoilla, jotka liittyvät läheisemmin toisiin orientaatioihin. Tämän vuoksi on hieman epäselvää, ymmärsivätkö kaikki opettajat kuvauksen täysin oikein.
Prosessiorientaation mukaisen kuvauksen valinneista opettajista suurin osa korosti ongelmanratkaisun tärkeyttä. Näin ollen heidän mukaansa ei ole merkityksellistä opetella ulkoa tiettyä tapaa tehtävän ratkaisemiseksi. Alla yhden opettajan näkemys asiasta:
”Ensisijainen tarkoitukseni on opettaa opiskelijat hyviksi ongelmanratkaisijoiksi. En voi millään näyttää heille esimerkkiä kaikista mahdollisista erilaisista tehtävistä, joten kyky omaan ajatteluun on todella tärkeä. Uuden asian kohdalla kuitenkin ehdotan ensimmäiseksi paria selkeästi matemaattista menetelmää harjoittavaa tehtävää, jotta perusajatuksesta on helpompi saada kiinni. Tarjoan opiskelijoille usein myös vaihtoehtoja. Helpompi tehtäväpolku sisältää enemmän menetelmää toistavia, laskennallisia tehtäviä. Vaikeampi tehtäväpolku sisältää enemmän soveltavia ongelmanratkaisutehtäviä.”
Edellä kuvattu perustelu osoittaa, että kaikkien oppilaiden kohdalla vastaava menettely ei toimi. Tasoltaan heikommille oppilaille pyritään tarjoamaan helpompia tehtäviä, joita
35
voi ratkaista ulkoa opitun menetelmän avulla ikään kuin kopioiden. Edellinen perustelu osoittaa myös sen, että ainakaan kaikki opettajat eivät ole vain yhden orientaation edustajia vaan sekoittelevat eri menetelmiä tilanteen mukaan.
5.2.3 Teoriaosuuden esittämiseen liittyvät kuvaukset
Opettajille esitetyt, matematiikkaorientaatioiden mukaan suunnitellut, teoriaosuuden esittämiseen liittyvät kuvaukset on esitetty alla olevassa listassa.
1. Esitän teorian oppitunneilla pyrkien painottamaan täsmällisyyttä ja oikeita merkintätapoja (Formalismi)
2. Annan oppilaiden pohtia aihetta itse sekä muodostaa siitä omia havaintoja ja johtopäätöksiä (Prosessi)
3. Teorian opetuksessa painotan tuloksia, kuten kaavoja ja menetelmiä sekä niiden sujuvaa käyttöä (Skeema)
4. Esitän teorian arkielämän tilanteiden avulla (Sovellus)
Teorian esittämiseen liittyvistä kuvauksista selkeästi tärkeimpänä pidettiin prosessiorientaation mukaista vaihtoehtoa, sillä 23 opettajaa valitsi kyseisen kuvauksen.
Muut kolme orientaatioiden mukaista kuvausta saivat tasaisemmin kannatusta. Toiseksi tärkeimpänä pidettiin skeemaorientaation mukaista kuvausta, sillä 12 opettajaa valitsi vaihtoehdon 3. Formalismiorientaation eli vaihtoehdon 1 valitsi 10 opettajaa ja se oli siten kolmanneksi suosituin. Myös teorian esittämisen kohdalla sovellusorientaatiota pidettiin vähiten tärkeänä, sillä vaihtoehtoa 4 piti tärkeimpänä ainoastaan 7 opettajaa.
Opettajien vastaukset tärkeimmästä teorian esittämiseen liittyvästä kuvauksesta on esitetty Kuvassa 3.
36
Kuva 3. Kuvausten esiintymiskerrat teorian esittämisen tapauksessa.
Prosessiorientaation mukaisen kuvauksen valinneista opettajista lähes kaikki pitivät tärkeänä omakohtaista merkityksen luomista, jotta opiskeltava asia jäisi paremmin oppilaan mieleen. Perusteluissaan vastaajat painottivat tällä tavoin saavutettavaa parempaa ja syvällisempää ymmärrystä, kuten seuraavasta perustelusta käy ilmi:
”Oppilaiden pitää pohtia asiaa itse aluksi, mikäli vain se on jollakin tasolla mahdollista. Tällä tuetaan etenkin lahjakkaita oppilaita. Asia myös jää paremmin oppilaan mieleen, kun hän itse keksii asiaan liittyen jotakin, ennen kuin opettaja sitten opettaa asian täsmällisesti.”
Muutamissa vastauksissa opettajat kertoivat pyrkivänsä opettamaan teoriaa prosessiorientaation mukaisella tavalla, mutta totesivat myös, etteivät he aina siihen kykene. Käytetyt menetelmät riippuvat aina ryhmistä sekä kouluasteesta, joten yksi ainoa menetelmä ei ole soveltuva kaikissa tilanteissa. Edellisen opettajan vastauksessa käy ilmi myös se, että kaikki oppilaat eivät kykene prosessiorientaation mukaiseen pohdiskelevan toimintaan, mikä puolestaan lisää opettajan haasteita.
10
23
12
7
0 5 10 15 20 25
Formalismi Prosessi Skeema Sovellus
Esiintymiskertojen lukumäärä
Teoriaan liittyvät kuvaukset
Teorian esittämiseen liittyvien kuvausten
valintajakaumat
37
Skeemaorientaation valinneista opettajista suurin osa korosti vastauksissaan kaavojen ja määritelmien sujuvaa hallintaa. Vastaajat kokivat, että ilman kyseisiä taitoja on mahdotonta siirtyä haastavampien aiheiden pariin. Toinen merkittävästi esille noussut asia oli oppitunneille varattu rajallinen aika. Opettajat pitivät skeemaorientaation mukaista kuvausta hyvänä vaihtoehtona, koska muunlaiseen toimintaan ei ole kunnolla aikaa. Tämä käy ilmi seuraavasta perustelusta:
”Kuten edellä totesin, aika ei riitä kuin hyvin satunnaisesti ja tällöinkin lähinnä yksittäisten opiskelijoiden kohdalla siihen, että opiskelija voisi itse "keksiä" teorian, joten oppitunneilla keskitytään menetelmiin ja mekaniikkaan.”
Edellisestä vastauksesta on myös pääteltävissä, että kaikkien oppilaiden kyvyt eivät riitä vaativampaan toimintaan, joten opettaja toimii useimmiten skeemaorientaation mukaisella tavalla. Tällöin siis panostetaan ratkaisumallien hallintaan.
Vastaajista osa piti kuvausten välistä valintaa vaikeana, kuten seuraavasta kommentista voi päätellä.
”Mikään vaihtoehdoista ei oikein osu. Merkintöjen täsmällisyys on tärkeää, että tulee ymmärretyksi. Tärkeämpää kuitenkin on, että saa oman ajattelun loogiset askeleet kirjoitettua paperille, oli merkintätapa sitten mikä tahansa. Matematiikka on ajattelua varten, ei merkintöjen vuoksi.”
Edellisen perustelun esittänyt opettaja piti tärkeimpänä vaihtoehtona formalismiorientaation mukaista kuvausta. Tästä huolimatta hänen perustelunsa viittaavat formalismiorientaation lisäksi myös prosessiorientaatioon, sillä Viholaisen ym. (2014) mukaan kyseisen orientaation oleellisena piirteenä nähdään konstruktioprosessi. Haapasalon (2011) mukaan konstruktioprosessissa ongelman kohdannut henkilö pyrkii itsenäisesti löytämään ratkaisun tehtävään. Näin toimittaessa
38
joutuu ongelmaa ratkova henkilö ajattelemaan loogisesti ratkaisun saavuttamiseksi, jolloin toiminta voidaan liittää prosessiorientaatioon.
Sovellusorientaation valinneiden opettajien vastauksissa painotettiin matematiikan merkitystä oppilaiden tulevissa ammateissa ja elämässä yleensä. Kuten seuraavasta vastauksesta käy ilmi, pitivät opettajat tärkeinä, että oppilaat saavat tietoa siitä, missä arjen tilanteissa matematiikkaa tarvitaan.
”Kasvatamme nuoria tulevaisuutta varten. Tärkeä on ymmärtää, missä he mahdollisesti saattavat törmätä vastaavaan asiaan.”
Ilman vastaavaa menettelyä saattavat opitut asiat jäädä irrallisiksi. Tällöin asioiden välisten yhteyksien huomaaminenkin voi olla hankalaa. Edellä kuvattu voi myös motivoida oppilaita, kun he ymmärtävät, että opiskeltavasta asiasta voi olla todellista hyötyä elämässä.
5.2.4 Luokittelu tärkeysjärjestyksen perusteella
Kyselylomakkeen ensimmäisessä osiossa opettajia pyydettiin, tärkeimmän kuvauksen valinnan lisäksi, asettamaan kaikki kuvaukset tärkeysjärjestykseen omaa opettamista parhaiten kuvaavasta huonoiten kuvaavaan. Kyseinen luokittelu suoritettiin esimerkkien esittämisen, tehtävien valinnan ja teoriaosuuden esittämisen tapauksissa.
Edellisissä luvuissa esitetyt vastaajien näkemykset tärkeimmästä kuvauksesta eivät anna selkeää kokonaiskuvaa vastaajien näkemyksestä. Tämän vuoksi opettajien vastaukset pisteytettiin siten, että tärkeimpänä pidetty kuvaus sai kolme, toiseksi tärkein kaksi, kolmanneksi tärkein yhden ja neljänneksi tärkein nolla pistettä. Suoritetun pisteytyksen perusteella opettajien vastauksista saatiin muodostettua vertailun mahdollistava luokittelu.
