5 Kertaus
5.1 Kurssin keskeiset asiat
1.
a)
5 + 2 > 3 − 3 5 − 3 > −3 − 2
2 > −5 ∥: 2 > −5
2
b)
7 − 9 ≥ 10 − 6 7 − 10 ≥ −6 + 9
−3 ≥ 3 ∥: (−3) ≤ −1
Huomaa: kun epäyhtälö jaetaan puolittain negatiivisella luvulla, niin epäyhtälömerkin suunta kääntyy.
c)
−6( + 2) ≤ 4(−2 + 1)
−6 − 12 ≤ −8 + 4
−6 + 8 ≤ 4 + 12
2 ≤ 16 ∥: 2 ≤ 8
2.
a) Epäyhtälön ( ) < 0 ratkaisut ovat ne muuttujan arvot, joilla funktion f arvo on negatiivinen, eli sen kuvaaja kulkee x-akselin alapuolella.
Kuvaajan perusteella funktiolla f on kaksi nollakohtaa = −1 ja = 0, ja kun muuttujan arvo on näiden välissä, eli kun −1 < < 0, niin kuvaaja kulkee x-akselin alapuolella.
Kuvaajan perusteella ( ) < 0, kun −1 < < 0.
b) Epäyhtälön ( ) ≤ 0 ratkaisut ovat ne muuttujan arvot, joilla funktion g arvo on negatiivinen tai nolla, eli sen kuvaaja kulkee leikkaa x-akselin tai kulkee sen alapuolella.
Kuvaajan perusteella funktiolla g on kaksi nollakohtaa = −4 ja
= 3, ja kuvaaja kulkee x-akselin alapuolella, kun < −4 tai > 3 . Kuvaajan perusteella ( ) ≤ 0, kun ≤ −4 tai ≥ 3 .
c) Epäyhtälön ( ) ≤ ( ) ratkaisut ovat ne muuttujan x arvot, joilla funktion g arvo on suurempi tai yhtä suuri kuin funktion f arvo.
Funktioiden f ja g kuvaajat leikkaavat kohdissa = −2 ja = 1, eli funktioilla on näissä kohdissa yhtä suuri arvo. Kun −2 < < 1, niin funktion g kuvaaja kulkee funktion f kuvaajan yläpuolella, eli funktiolla g on suurempi arvo kuin funktiolla f.
Kuvaajan perusteella ( ) ≤ ( ), kun −2 ≤ ≤ 1.
3.
a) + 7 + 10
( )
< 0
Nollakohdat: + 7 + 10 = 0
=− ± √ − 4 2
=−7 ± √7 − 4 ⋅ 1 ⋅ 10
2 ⋅ 1 = −7 ± √49 − 40 2
=−7 ± √9
2 =−7 ± 3 2
Nollakohdat ovat = = = −5 ja = = = −2.
Funktion ( ) = + 7 + 10 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli.
Hahmotellaan kuvaaja ja merkitään kuvaan nollakohdat sekä funktion arvojen merkit.
Päätellään epäyhtälön + 7 + 10 < 0 ratkaisu kuvaajan avulla:
funktion arvo on negatiivinen silloin, kun −5 < < −2.
b)
− ≤ −11
− + 11
( )
≤ 0
Nollakohdat:
− + 11 = 0
− = −11 |: (−1) = 11 | = ±√11
Nollakohdat ovat = −√11 ja = √11.
Funktion ( ) = − + 11 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.
Hahmotellaan kuvaaja ja merkitään kuvaan nollakohdat sekä funktion arvojen merkit.
Päätellään epäyhtälön − + 11 ≤ 0 ratkaisu kuvaajan avulla:
funktion arvo on negatiivinen tai nolla silloin, kun ≤ −√11 tai
≥ √11.
Alkuperäinen epäyhtälö − ≤ 11 toteutuu samoilla väleillä, eli kun
≤ −√11 tai ≥ √11.
4.
a)
− 6 + 29 ≤ 6 − 3
− 12 + 32
( )
≤ 0
Nollakohdat: − 12 + 32 = 0
=−(−12) ± (−12) − 4 ⋅ 1 ⋅ 32
2 ⋅ 1 =12 ± √144 − 128
2
=12 ± √16
2 = 12 ± 4 2
Nollakohdat ovat = = = 4 ja = = = 8.
Funktion ( ) = − 12 + 32 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Hahmotellaan kuvaaja ja merkitään kuvaan nollakohdat sekä funktion arvojen merkit.
Päätellään epäyhtälön − 12 + 32 ≤ 0 ratkaisu kuvaajan avulla:
funktion arvo on nolla tai negatiivinen silloin, kun 4 ≤ ≤ 8.
Alkuperäinen epäyhtälö − 6 + 29 ≤ 6 − 3 toteutuu samalla välillä, eli kun 4 ≤ ≤ 8.
b) − + −
( )
≥ 0
Nollakohdat: − + − = 0
Ennen sijoittamista ratkaisukaavaan, yhtälö kannattaa kertoa puolittain luvulla –8.
−1
2 +1
2 −1
8= 0 ∥⋅ (−8) 4 − 4 + 1 = 0
=−(−4) ± (−4) − 4 ⋅ 4 ⋅ 1
2 ⋅ 4 =4 ± √16 − 16
8
=4 ± √0
8 = 4 ± 0 8 = 4
8=1 2 Funktiolla on yksi nollakohta = .
Funktion ( ) = − + − kuvaaja on alaspäin aukeava
paraabeli. Hahmotellaan kuvaaja ja merkitään kuvaan nollakohta sekä funktion arvojen merkit.
Päätellään epäyhtälön − + − ≥ 0 ratkaisu kuvaajan avulla:
funktion arvo ei koskaan ole positiivinen, ja funktion arvo on nolla, kun = .
Epäyhtälö toteutuu ainoastaan silloin, kun = .
5.
Funktio f saa suurempia arvoja kuin funktio g silloin, kun ( ) > ( ).
Ratkaistaan siis epäyhtälö 3 − 10 − 9 > 4 − 10 . 3 − 10 − 9 > 4 − 10
− − 9
( )
> 0
Nollakohdat:
− − 9 = 0
− = 9 ∥⋅ (−1) = −9
Minkään luvun neliö ei ole negatiivinen, joten yhtälöllä ei ole ratkaisuja.
Funktiolla ℎ( ) = − − 9 ei ole nollakohtia.
Funktion ℎ( ) = − − 9 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.
Koska funktiolla ei ole nollakohtia, kuvaaja on kokonaisuudessaan x- akselin alapuolella.
Päätellään epäyhtälön − − 9 > 0 ratkaisu kuvaajan avulla: funktion arvo ei millään muuttujan arvolla ole positiivinen.
Funktio f ei näin ollen millään muuttujan arvolla saa suurempia arvoja kuin funktio g.
6.
Suora = 9 + 7 kulkee funktion g kuvaajan alapuolella silloin, kun suoralla olevan pisteen y-koordinaatti on pienempi kuin funktion g arvo, eli < ( ).
Ratkaistaan siis epäyhtälö 9 + 7 < 5 + 19 + 12.
9 + 7 < 5 + 19 + 12
−5 − 10 − 5
( )
< 0
Nollakohdat: −5 − 10 − 5 = 0
Ennen sijoittamista ratkaisukaavaan, yhtälö kannattaa kertoa puolittain luvulla –1.
−5 − 10 − 5 = 0 ∥⋅ (−1) 5 + 10 + 5 = 0
=−10 ± √10 − 4 ⋅ 5 ⋅ 5
2 ⋅ 5 = −10 ± √100 − 100 10
=−10 ± √0
10 =−10 ± 0
10 =−10
10 = −1 Funktiolla on yksi nollakohta = −1.
Funktion ( ) = −5 − 10 − 5 kuvaaja on alaspäin aukeava
paraabeli. Funktiolla on yksi nollakohta, jossa kuvaaja sivuaa x-akselia.
Muutoin funktion arvo on negatiivinen.
Päätellään epäyhtälön −5 − 10 − 5 < 0 ratkaisu kuvaajan avulla:
funktion arvo on negatiivinen kaikilla muilla muuttujan arvoilla paitsi arvolla = −1, eli epäyhtälö toteutuu, kun −1 (eli: muuttujan arvo ei ole –1).
Suora = 9 + 7 kulkee funktion g kuvaajan alapuolella kaikissa muissa kohdissa paitsi kohdassa = −1, eli kun −1.
Mallikuva havainnollistaa tilannetta: suora = 9 + 7 sivuaa funktion g kuvaajaa kohdassa = −1 ja kulkee muutoin kuvaajan alapuolella.
7.
a) Etsitään funktion f kuvaajalta pisteet, joissa = 0 ja = 1. Pisteet ovat (0, −5) ja (1, −3). Funktion arvojen keskimääräinen
muutosnopeus välillä [0, 1] on näiden pisteiden kautta kulkevan suoran kulmakerroin.
= Δ
Δ =−5 − (−3) 0 − 1 = −2
−1= 2 Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, 1] on 2.
Etsitään funktion f kuvaajalta pisteet, joissa = 2 ja = 3. Pisteet ovat (2, −1) ja (3, −5). Funktion arvojen keskimääräinen muutosnopeus välillä [2, 3] on näiden pisteiden kautta kulkevan suoran kulmakerroin.
=Δ
Δ = −1 − (−5) 2 − 3 = 4
−1 = −4 Keskimääräinen muutosnopeus välillä [2, 3] on −4.
b) Funktion arvojen hetkellinen muutosnopeus saadaan laskemalla funktion kuvaajalle piirretyn tangenttisuoran kulmakerroin.
Kohtaan = 0 piirretty tangentti on vaakasuora ja sen kulmakerroin on nolla. Funktion f hetkellinen muutosnopeus kohdassa = 0 on 0.
Kohtaan = 1 piirretyn tangentin kulmakerroin on 3. Funktion f hetkellinen muutosnopeus kohdassa = 1 on 3.
Kohtaan = 2 piirretty tangentti on vaakasuora ja sen kulmakerroin on nolla. Funktion f hetkellinen muutosnopeus kohdassa = 2 on 0.
c) Hetkellinen muutosnopeus on negatiivinen niissä kohdissa, joihin piirretyn tangentin kulmakerroin on negatiivinen, eli tangentti on laskeva. Tangentit ovat laskevia kohdissa < 0 ja > 2.
8.
a) Merkintä tarkoittaa funktion g arvoa kohdassa = 1. Kuvaajalla olevan pisteen (1, 3) perusteella (1) = 3.
b) Merkintä tarkoittaa funktion g arvoa kohdassa = 2. Kuvaajalla olevan pisteen (2, 0) perusteella (2) = 0.
c) Merkintä tarkoittaa funktion g arvoa kohdassa = 3. Kuvaajalla olevan pisteen (3, −3) perusteella (3) = −3.
d) Merkintä tarkoittaa funktion g derivaatan arvoa kohdassa = 1.
Kuvaajalle kohtaan = 1 piirretyn tangentin kulmakerroin on −1, joten (1) = −1.
e) Merkintä tarkoittaa funktion g derivaatan arvoa kohdassa = 2.
Kuvaajalle kohtaan = 2 piirretyn tangentin kulmakerroin on −4, joten (2) = −4.
f) Merkintä tarkoittaa funktion g derivaatan arvoa kohdassa = 3.
Kuvaajalle kohtaan = 3 piirretyn tangentin kulmakerroin on −1, joten (3) = −1.
9.
a) ( ) = −4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 2 − 6 + 0 = −12 + 10 − 6
b) ( ) = 1,1 ⋅ 4 − 2,5 ⋅ 2 − 1 − 0 = 4,4 − 5 − 1
10.
Kokelas on derivoinut funktiossa f esiintyvän termin −
virheellisesti. Potenssifunktion derivointisäännön mukaan asteluku pienenee yhdellä derivoitaessa. Derivaatta on ensimmäistä astetta, eli
(− ) = −2 = −2 . Kokelas on unohtanut vähentää eksponentista luvun 1.
Kokelas on derivoinut funktiossa g esiintyvän termin −4
virheellisesti. Potenssifunktion derivointisäännön mukaan kerroin 2 tulee derivaattaan, eli (−4 ) = −4 ⋅ 2 = −8 . Kokelas on
unohtanut kertoa kertoimen −4 eksponentilla 2.
Kokelas on edelleen derivoinut funktiossa g esiintyvän termin virheellisesti. Ensimmäisen asteen termin derivaatta on muuttujan kerroin, eli ( ) = 1.
Viimein kokelas on derivoinut funktiossa g esiintyvän vakiotermin 3 virheellisesti. Vakiotermin derivaatta on nolla, eli (3) = 0.
11.
a)
( ) = ( ) 2 + = 5 − 2 2 − 4 + 2 = 0
= 4 ± (−4) − 4 ⋅ 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2
= 4 ± √16 − 16 4
= 4 ± √0
4 =4
4= 1
b) ( ) = (2 + ) = 2 ⋅ 2 + 1 = 4 + 1
12.
a) − = − − − 4 ⋅ − + 1 = − + 2 + 1 = 2 = Derivoidaan: ( ) = −2 − 4
Lasketaan derivaattafunktion arvo.
−1
2 = −2 ⋅ −1
2 − 4 = 1 − 4 = −3
b) Funktion nollakohta:
( ) = 0
− − 4 + 1 = 0 ratkaisukaava tai symbolinen laskin = −√5 − 2 tai = √5 − 2
Derivaattafunktion nollakohta:
( ) = 0
−2 − 4 = 0
= −2
13.
a) Lasketaan funktion arvot välin päätepisteissä.
(−1) = 2 ⋅ (−1) − 3 ⋅ (−1) − 7 = 2 + 3 − 7 = −2 (3) = 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ 3 − 7 = 18 − 9 = 2
Funktion keskimääräinen muutosnopeus välillä [−1, 3] on (3) − (−1)
3 − (−1) = 2 − (−2) 3 + 1 = 4
4= 1.
b) Derivoidaan: ( ) = 2 ⋅ 2 − 3 − 0 = 4 − 3 Lasketaan derivaattafunktion arvot.
Funktion hetkellinen muutosnopeus kohdassa = −1 on (−1) = 4 ⋅ (−1) − 3 = −4 − 3 = −7.
Funktion hetkellinen muutosnopeus kohdassa = 3 on (3) = 4 ⋅ 3 − 3 = 12 − 3 = 9.
14.
a) Piirretään kuvaan vaakasuora = 1. Katsotaan, missä kohdissa suora leikkaa funktion kuvaajan. Leikkauskohdat ovat = −1 ja = 3.
Molemmat ovat välillä −2 ≤ ≤ 4.
( ) = 1, kun = −1 tai kun = 3.
b) Merkintä ( ) ≤ 0 tarkoittaa, että funktion f arvo on nolla tai negatiivinen. Kuvaajan perusteella funktiolla on nollakohdat = 0 ja
= 2. Kun 0 < < 2, niin kuvaaja on x-akselin alapuolella, eli funktion arvo on negatiivinen.
( ) ≤ 0, kun 0 ≤ ≤ 2.
c) Merkintä ( ) ≤ 0 tarkoittaa, että funktion f derivaatan arvo on nolla tai negatiivinen. Kuvaajan perusteella derivaatta on nolla kohdassa = 1. Kun < 1, niin kuvaajalle piirretty tangentti on laskeva, eli derivaatan arvo on negatiivinen.
( ) ≤ 0, kun ≤ 1.
15.
a) Derivoidaan: ( ) = −6 ⋅ 2 + 7 + 0 = −12 + 7 Lasketaan derivaatan arvo, kun = −2.
(−2) = −12 ⋅ (−2) + 7 = 24 + 7 = 31
b) Tangentin kulmakerroin on −2 silloin, kun derivaatan arvo on −2, eli ( ) = −2
−12 + 7 = −2
−12 = −9 ∥: (−12)
= −9
−12= 3 4
16.
Derivoidaan: ( ) = 2 ⋅ 3 + 2 + 0 = 6 + 2
Tangentin kulmakerroin on suurempi kuin 8 silloin, kun derivaatan arvo on suurempi kuin 8. Ratkaistaan epäyhtälö ( ) > 8.
6 + 2 > 8 6 − 6
( )
> 0
Toisen asteen epäyhtälö ratkaistaan nollakohtien ja kuvaajan avulla.
Ratkaistaan nollakohdat.
6 − 6 = 0 6 = 6 ∥: 6
= 1 ∥ √
= ±1
Funktion ( ) = 6 − 6 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli.
Funktiolla on nollakohdat = −1 ja = 1. Hahmotellaan kuvaaja ja päätellään epäyhtälön 6 − 6 > 0 ratkaisut kuvaajalta.
Funktion g arvo on positiivinen, kun < −1 tai kun > 1. Epäyhtälön 6 − 6 > 0 ratkaisut, eli epäyhtälön ( ) > 8 ratkaisut ovat < −1 tai > 1.
17.
Funktion f kuvaajalle piirretty tangentti on
• vaakasuora kohdissa = −1 ja = 2,
• laskeva kohdissa −1 < < 2,
• nouseva kohdissa < −1 tai > 2.
Toisin sanottuna, funktion f derivaatta on
• nolla, kun = −1 tai = 2, eli derivaatalla on nollakohdat
= −1 ja = 2
• negatiivinen, kun −1 < < 2,
• positiivinen, kun < −1 tai > 2.
a) Derivaatasta tehtyjen havaintojen perusteella funktion f derivaattafunktion kuvaaja on kuvassa 3.
b) Derivaatasta tehtyjen havaintojen perusteella funktion f derivaattafunktion merkkikaavio on kaaviossa 1.
18.
a) Funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin on
positiivinen tai nolla, eli tangentti on nouseva tai vaakasuora. Funktio on kasvava.
b) Funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin on
negatiivinen tai nolla, eli tangentti on laskeva tai vaakasuora. Funktio on vähenevä.
c) Funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin on nolla, eli tangentti on vaakasuora. Funktion kulkusuunta voi vaihtua (ääriarvo) tai olla vaihtumatta (terassi). Funktiolla on ääriarvo tai terassi.
19.
a) Funktio on kasvava, kun derivaatta on positiivinen tai nolla. Kaavion perusteella näin on, kun ≥ −6.
b) Merkinnöissä esiintyvät muuttujan arvot = 8,001 ja = 8,002 kuuluvat välille > −6, jolla funktio f on aidosti kasvava. Tämä
tarkoittaa, että muuttujan arvon kasvaessa myös funktion arvo kasvaa, eli
(8,001) < (8,002)
20.
a)
Kohdassa = −8 on paikallinen maksimi (−8) ja kohdassa = −2 on paikallinen minimi (−2).
b) Kulkukaavion perusteella ei voida sanoa, onko funktiolla suurinta tai pienintä arvoa. Kulkukaaviosta nähdään, että funktio f on aidosti kasvava, kun ≥ −2. Jos f on polynomifunktio, niin sen arvot kasvavat rajatta, eikä suurinta arvoa ole. Samoin voidaan päätellä, ettei pienintä arvoa ole.
21.
Derivoidaan funktiot.
( ) = −3 + 1 ( ) = 3 − 1
Ratkaistaan epäyhtälö ( ) > ( )
−3 + 1 > 3 − 1
−6 + 2
( )
> 0
Toisen asteen epäyhtälö ratkaistaan nollakohtien ja kuvaajan avulla.
Ratkaistaan nollakohdat.
−6 + 2 = 0
−6 = −2 ∥: (−6)
= 1
3 ∥ √
= ± 1
√3= ±√3 3
Funktion ℎ( ) = −6 + 2 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.
Funktiolla on nollakohdat = −√ ja =√ . Hahmotellaan kuvaaja ja päätellään epäyhtälön −6 + 2 > 0 ratkaisut kuvaajalta.
Funktion h arvo on positiivinen, kun −√ < <√ .
Epäyhtälön −6 + 2 > 0 ratkaisut, eli epäyhtälön ( ) > ( )
22.
a) Piirretään kuvaan vaakasuora = 1,5. Katsotaan, missä kohdissa suora leikkaa funktion kuvaajan. Leikkauskohdat ovat likimain
≈ 1,2, ≈ 3,3 ja ≈ 4,9.
( ) = 1,5, kun ≈ 1,2, ≈ 3,3 tai ≈ 4,9
b) Funktio on vähenevä niissä kohdissa, joissa kuvaajalle piirretty tangentti on laskeva tai vaakasuora.
Likimain kohtiin ≈ 2,1 ja ≈ 4,2 ja ≈ 8,3 piirretyt tangentit ovat vaakasuoria.
Kun 2,1 < < 4,2 tai 8,4 < < 10, niin tangentti on laskeva.
Funktio f on vähenevä väleillä 2,1 ≤ ≤ 4,2 ja 8,3 ≤ ≤ 10.
c) Laaditaan perustelun tueksi funktion f kulkukaavio. Rajataan kaavio välille 2 ≤ ≤ 7.
• kohdan = 2 jälkeen kuvaajalle piirretyt tangentit ovat laskevia ja funktio f on vähenevä
• kohdassa ≈ 4,2 tangentti on vaakasuora
• kohdan ≈ 4,2 jälkeen tangentit ovat nousevia ja funktio on kasvava
Kulkukaavion perusteella funktiolla f on minimi kohdassa ≈ 4,2. Se on myös funktion pienin arvo välillä 2 ≤ ≤ 7. Kuvaajan perusteella pienin arvo on (4,2) ≈ 1,2.
Kulkukaavion perusteella funktiolla f on maksimi kohdissa = 2 ja
= 7. Maksimiarvot ovat kuvaajan perusteella (2) ≈ 1,9 ja (7) ≈ 4,2. Funktion suurin arvo on (7) ≈ 4,2.
5.2 Matemaattisia malleja
1.
Ratkaistaan tehtävä ensin algebrallisesti, eli laskemalla.
Derivoidaan: ( ) = 2 − 3
Merkitään derivaatan arvoksi 2 ja ratkaistaan yhtälö.
( ) = 2 2 − 3 = 2
= 5 2= 2,5
Ratkaistaan tehtävä sitten graafisesti, eli kuvaajan avulla.
Tehtävä voidaan ratkaista joko funktion f kuvaajan tai derivaattafunktion ′ kuvaajan avulla.
• Etsitään funktion f kuvaajalta kohta, johon piirretyn tangentin kulmakerroin on 2. Tämä kohta on ≈ 2,5.
• Selvitetään, missä kohdassa derivaattafunktion kuvaaja leikkaa suoran = 2.
2.
Nimetään polynomi kirjaimella P, eli ( ) = − − .
Funktio kannattaa tallentaa laskimen tai muun apuvälineen muistiin.
a) Ratkaistaan yhtälö ( ) = 0.
−3
2 −9
4 = 0
Yhtälö voidaan ratkaista symbolisella laskimella tai ilman apuvälinettä.
− − = 0 ∥⋅ 4 kerrotaan nimittäjät pois 4 − 6 − 9 = 0 erotetaan yhteinen tekijä
(4 − 6 − 9) = 0
= 0 tai 4 − 6 − 9 = 0 yhtälö ratkaistaan
ratkaisukaavalla = ±√
Symbolinen laskin saattaa sieventää ratkaisut esimerkiksi muotoon
=−3(√5 − 1)
4 tai = 0 tai =3(√5 + 1) 4
b) Ääriarvokohtaehdokkaat saadaan derivaattafunktion nollakohdista.
Derivoidaan.
( ) = 3 − 3 −9 4
Derivaattafunktio kannattaa tallentaa laskimen muistiin.
Ratkaistaan derivaatan nollakohdat.
( ) = 0
3 − 3 − = 0 ratkaisukaava tai symbolinen laskin
= − tai =
Laaditaan derivaatan merkkikaavio ja funktion kulkukaavio.
Perustellaan derivaatan merkki joko derivaattafunktion kuvaajan tai testipisteiden avulla:
(−1) = 3,75 > 0 (0) = −2,25 < 0 (2) = 3,75 > 0
Kulkukaaviosta nähdään, että polynomilla on paikallinen maksimi kohdassa = − ja paikallinen minimi kohdassa = .
Lasketaan ääriarvot:
maksimiarvo on (− ) =
c) Kuvaaja voidaan piirtää piirto-ohjelmalla.
Kuvaaja pystytään myös hahmottelemaan ilman apuvälinettä
• nollakohtien = (√ ) ≈ −0,9 ja = 0 ja = (√ ) ≈ 2,4,
• ääriarvojen (−0,5) ≈ 0,6 (max) ja (1,5) ≈ −3,4 (min) sekä
• kulkukaavion perusteella.
3.
a) Matkan keskimääräinen muutosnopeus, eli pyöräilijän keskinopeus, saadaan jakamalla kuljettu matka kuluneella ajalla:
keskinopeus =matka
aika =50 km − 14 km
3 h − 1 h =36 km
2h = 18 km/h.
b) Derivaatan arvo ′(3,5) ilmaisee pyöräilijän nopeuden ajanhetkellä
= 3,5 tuntia. Tämä on yhtä suuri kuin funktion kuvaajalle tähän kohtaan piirretyn tangentin kulmakerroin.
Koska funktion kuvaaja on välillä 2 < < 4 suora, on tangentin kulmakerroin yhtä suuri kuin kuvaajasuoran kulmakerroin.
Kuvaajasta, funktion s lausekkeesta tai tehtävänannosta nähdään, että kulmakerroin on 22 km/h.
Kysytty derivaatan arvo on siis (3,5) = 22 km/h.
c) Kohdassa = 2 funktion s kuvaajasuoran jyrkkyys muuttuu ja kuvaajalla on terävä kärki. Kuvaajalle ei voida piirtää yksikäsitteistä tangenttia tähän kohtaan, joten derivaattaa ′(2) ei ole olemassa.
4.
a)
b) Kuvaajan perusteella voidaan arvioida, että funktio f on vähenevä likimain välillä 1,7 ≤ ≤ 5,0. Vastausta ei kuitenkaan saa lukea kuvaajalta, ellei tehtävänannossa edellytetä näin. Ratkaistaan tehtävä derivaatan avulla.
Funktio on vähenevä silloin, kun derivaatta ( ) ≤ 0.
Derivoidaan: ( ) = 0,6 − 4 + 5 Ratkaistaan derivaatan nollakohdat-
0,6 − 4 + 5 = 0 ratkaisukaava tai symbolinen laskin = 1,666 … tai = 5
Derivaattafunktion ( ) = 0,6 − 4 + 5 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten ( ) < 0, kun muuttujan x arvo on nollakohtien välissä, eli kun 1,66 … < < 5.
Funktio f on vähenevä, kun 1,7 ≤ ≤ 5
c) Lasketaan derivaatan arvo.
(5) = 0
Derivaatan arvo, eli maiseman korkeusprofiilin hetkellinen
muutosnopeus, kohdassa = 5 on siis nolla. Vastaus tarkoittaa sitä, että profiilissa on kohdassa = 5 joko ääriarvo tai terassi. Derivaatan merkki vaihtuu tässä kohdassa, joten kyseessä on ääriarvokohta, eli profiilin kulkusuunta on vaihtumassa kohdassa = 5.
d) Kuvaajan perusteella funktio f saa suurimman arvonsa derivaatan nollakohdassa = 1,66 … Vastausta ei kuitenkaan saa lukea
kuvaajalta, ellei tehtävänannossa edellytetä näin.
Laaditaan perusteluksi derivaatan merkkikaavio ja funktion kulkukaavio. Derivaatan nollakohdat ratkaistiin b-kohdassa.
Derivaatan merkki voidaan perustella derivaattafunktion kuvaajan (ylöspäin avautuva paraabeli) avulla.
Kulkukaaviosta nähdään, että funktiolla f on paikallinen maksimi kohdissa = 1,66 … ja = 6.
Lasketaan vastaavat maksimiarvot.
Maksimiarvo on (1,66 … ) = 4,103 … Maksimiarvo on (6) = 1,6
Suurin arvo on (1,66 … ) = 4,103 … ≈ 4,10.
y-akselin yksikkö on 100 metriä, joten tunturin laki ulottuu 4,10 ⋅ 100 = 410 metrin korkeuteen.
5.
a) Kohdassa = 16 kuvaajalle piirretty tangentti on nouseva, joten (16) > 0, positiivinen. Vastaus tarkoittaa, että pulssin hetkellinen muutosnopeus on tässä kohdassa positiivinen, eli koehenkilön pulssi on nousemassa hetkellä = 16 (min).
b) Jos funktiolla on minimikohdassa derivaatta, niin
• derivaatan arvo on minimikohdassa nolla,
• derivaatan merkki vaihtuu minimikohdassa negatiivisesta positiiviseksi.
Polynomifunktiolla on derivaatta joka kohdassa ja derivaatta on minimikohdassa nolla.
Jos derivaatan arvo on jossakin kohdassa nolla, ei kuitenkaan voida päätellä, että kyseessä on minimikohta. Derivaatta voi olla nolla myös muualla, maksimikohdassa tai terassikohdassa.
Jos derivaatan arvo on jossakin kohdassa nolla ja derivaatan merkki vaihtuu tässä kohdassa negatiivisesta positiiviseksi, niin kyseessä on minimikohta.
Funktiolla voi olla minimi myös kohdassa, jossa derivaattaa ei ole olemassa.
c) Kallen menetelmä, jossa etsitään derivaatan nollakohdat, tuottaa paikalliset minimikohdat, maksimikohdat ja terassikohdat. Derivaatan nollakohtien luonne (min/max/terassi) pitäisi siis lisäksi analysoida paikallisten minimien löytämiseksi derivaatan nollakohtien joukosta.
Toisaalta, Kallen menetelmä ei löydä niitä minimejä, joissa derivaattaa ei ole olemassa. Käyrällä näyttää kohdassa = 19,3 olevan alaspäin suuntautunut piikki. Derivaattaa ei tässä kohdassa ole olemassa, joten Kallen menetelmä ei löydä tätä minimiä.
Kohdassa = 15,2 derivaatta on kuvaajan muodon perusteella olemassa, joten Kallen menetelmä löytää tämän minimin.
Leenan esittämä huomio menetelmän toimivuudesta on siis oikea.
6.
a) Kootaan annetut tiedot taulukkoon ja muodostetaan taulukon avulla verrantoyhtälö.
Auton nopeus (km/h) Nopeuden neliö Jarrutusmatka (m)
50 30
Auton jarrutusmatka s on suoraan verrannollinen auton nopeuden neliöön, joten saadaan verrantoyhtälö:
2500= 100 30
= −50√30
3 = −91,287 … tai =50√30
3 = 91,287 … Auton nopeus on epänegatiivinen luku, joten kysytty nopeus on
= 91,287 … ≈ 90 km/h.
b) Jarrutusmatka s on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön , joten = ⋅ .
Kun nopeus = 50 (km/h), niin jarrutusmatka = 30 (metriä).
Muodostetaan tämän perusteella yhtälö ja ratkaistaan verrannollisuuskertoimen k arvo.
⋅ 50 = 30
= 3
250= 0,012
Jarrutusmatka (m) riippuu siis auton nopeudesta (km/h) funktion
Lisätään kuvaajalle pisteet kohtiin = 50 ja = 100. Jarrutusmatkan keskimääräinen muutosnopeus on näiden pisteiden kautta kulkevan suoran kulmakerroin, joka on 1,8.
Hetkellinen muutosnopeus kohdassa = 50 on kuvaajalle tähän kohtaan piirretyn tangentin kulmakerroin, joka on 1,2.
7.
a) Säiliö on tyhjä silloin, kun säiliössä olevan veden määrä on 0 litraa.
( ) = 0 520(20 − ) = 0
= 20
Säiliö on siis tyhjä hetkellä = 20 eli 20 minuutin kuluttua tyhjentämisen alkamisesta.
Säiliössä olevan veden määrää kuvaavan funktion V määrittelyväli on 0 ≤ ≤ 20 (min).
Funktion V kuvaaja on ylöspäin avautuvan paraabelin kaari.
Kun = 0, niin säiliössä on vettä (0) = 520 ⋅ 20 = 208 000 litraa, joten kuvaaja leikkaa y- akselin pisteessä (0, 208 000).
Funktion nollakohta on
= 20, joten kuvaaja päättyy x- akselille pisteeseen (20, 0).
b) Derivoidaan:
( ) = 1040( − 20) = 1040 − 20 800 Tyhjenemisnopeus on
( ) = − ( ) = −(1040 − 20800) = 20 800 − 1040 Funktion määrittelyväli on 0 ≤ ≤ 20 ja sen kuvaaja on laskevalla suoralla oleva jana.
Tyhjenemisnopeus on suurimmillaan määrittelyvälin [0, 20]
vasemmassa päätepisteessä, eli hetkellä = 0.
8.
Jos polynomifunktion f derivaatta ( ) ≥ 0 jollakin välillä I, ja ( ) = 0 vain yksittäisissä kohdissa x tällä välillä, niin funktio f on aidosti kasvava välillä I.
Jos polynomifunktion p derivaatta ( ) ≤ 0 jollakin välillä I, ja ( ) = 0 vain yksittäisissä kohdissa x tällä välillä, niin funktio f on aidosti vähenevä välillä I.
Jos derivaatalla on nollakohta , ja derivaatan merkki vaihtuu kohdassa , niin tämä kohta on funktion f ääriarvokohta. Jos derivaatan merkki vaihtuu kohdassa
• positiivisesta negatiiviseksi, niin kohta on funktion f maksimikohta,
• negatiivisesta positiiviseksi, niin kohta on funktion f minimikohta.
Tutkitaan funktion ( ) = 5 + + 3 − 12 kulkua derivaatan avulla.
Derivoidaan: ( ) = 15 + 13 + 3 ( ) = 0
15 + 13 + 3 = 0 ei ratkaisuja
Derivaattafunktiolla ei siis ole reaalisia nollakohtia. Derivaattafunktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten kuvaaja on
kokonaisuudessaan x-akselin yläpuolella. Siispä ( ) > 0 jokaisella muuttujan x arvolla.
Koska derivaattafunktio saa vain positiivisia arvoja, niin funktio f on
9.
a) Paraabelin huippuun piirretty tangentti on vaakasuora, joten huipussa derivaatan arvo on nolla. Derivoidaan:
( ) = ( + − 3) = 2 +
Huippukohdassa derivaatan arvo on nolla.
3 2 = 0 3 + = 0
Huippukohdassa = 1 arvo on 1.
3 2 = 1 9
4 +3
2 − 3 = 1
Saatiin kaksi yhtälöä, eli yhtälöpari.
3 + = 0 9
4 +3
2 − 3 = 1 Yhtälöpari ratkaistaan symbolisella laskimella.
= −16 169
b) Paraabelin yhtälö on = − + − 3.
Derivoidaan:
−16
9 +16
3 − 3 = −32
9 +16 3 Ratkaistaan, millä muuttujan arvolla derivaatta on −6.
−32
9 +16
3 = −6 =51
16
c) Derivaatan ( ) = − + arvo ilmaisee paraabelin
= − + − 3 kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakertoimen.
Ratkaistaan derivaatan ( ) = − + pienin arvo välillä [−2, ].
Derivaattafunktion kuvaaja on laskeva suora, joten se saa pienimmän arvonsa välin [−2, ] oikeassa päätepisteessä = .
Derivaatan pienin arvo on 3
2 = −32 9 ⋅3
2+16 3 = 0.
Tangentin kulmakertoimen pienin arvo on 0.
10.
a) Toisen asteen polynomifunktio on muotoa ( ) = + + . Kuvaajaparaabelin huippuun piirretty tangentti on vaakasuora, joten huipussa derivaatan arvo on nolla.
Derivoidaan.
( ) = 2 +
Huippukohdassa = −1 derivaatan arvo on nolla, eli (−1) = 0.
( ) = 2 + (−1) = 0
−2 + = 0
Huippukohdassa funktion arvo on 2, eli (−1) = 2.
( ) = + + (−1) = 2
− + = 2
Lisäksi tiedetään, että funktion kuvaaja kulkee pisteen 0, kautta, eli (0) = .
( ) = + + (0) = 1
2 1
Saatiin kolme yhtälöä, eli yhtälöryhmä. Viimeinen yhtälö ilmaisee vakion c arvon. Sijoitetaan arvo keskimmäiseen yhtälöön ja ratkaistaan yhtälöpari.
−2 + = 0
− +1 2= 2
Yhtälöryhmä ratkaistaan symbolisella laskimella.
= −3
= −3 2
Kyseessä on funktio ( ) = − − 3 + Derivaattafunktio on ( ) = −3 − 3.
b) Ratkaistaan, millä muuttujan arvolla derivaatan arvo on 3.
−3 − 3 = 3 = −2
c) Derivaatan arvo ilmaisee polynomin ( ) = − − 3 + kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakertoimen.
Ratkaistaan derivaattafunktion ( ) = −3 − 3 suurin arvo välillä [−4, 1].
Derivaattafunktion kuvaaja on laskeva suora, joten se saa suurimman arvonsa välin [−4, 1] vasemmassa päätepisteessä = −4.
Derivaatan suurin arvo on (−4) = −3 ⋅ (−4) − 3 = 12 − 3 = 9, joten tangentin kulmakertoimen suurin arvo välillä [−4, 1] on 9.
11.
Kuvioon ympyröillä merkityt pisteet ovat (−1, 0), (1, −2) ja (3, 0).
Paraabeli = + + kulkee näiden pisteiden kautta, joten pisteiden koordinaatit toteuttavat paraabelin yhtälön:
• kun = −1, niin = 0: − + = 0
• kun = 1, niin = −2: + + = −2
• kun = 3, niin = 0: 9 + 3 + = 0 Saadaan yhtälöryhmä:
− + = 0 + + = 0 9 + 3 + = 0 Ratkaistaan yhtälöryhmä symbolisella laskimella.
= 1 = −12 = −3
2 Kyseessä on siis paraabeli = − − .
12.
Käyrä = + + kulkee pisteiden (0, 0), (1, 2) ja (4, 3) kautta, joten pisteiden koordinaatit toteuttavat käyrän yhtälön:
• kun = 0, niin = 0: = 0
• kun = 1, niin = 2: + + = 2
• kun = 4, niin = 3: 16 + 4 + = 3 Saadaan yhtälöryhmä:
= 0 + + = 2 16 + 4 + = 3 Ratkaistaan yhtälöryhmä symbolisella laskimella.
= − 5 12
= 29
= 012
Itse asiassa, ensimmäinen ehto antaa jo kertoimelle c arvon: = 0.
Arvo voidaan sijoittaa kahteen muuhun yhtälöön.
Saadaan yhtälöpari, joka voidaan ratkaista myös ilman apuvälinettä.
+ = 2 ∥⋅ (−4) 16 + 4 = 3
Kerrotaan ensimmäinen yhtälö puolittain luvulla –4 ja lasketaan yhtälöt yhteen.
Saadaan yhtälö
12 = −5, josta ratkeaa = − .
Kerroin b ratkaistaan yhtälöstä + = 2.
= 2 −
=29 12
Kyseessä on siis polynomi = − + .
Derivoidaan: = − + = − +
Derivaatta kohdassa = 2 on (2) = −5
6⋅ 2 +29 12=3
4.
13.
Raketin lentorata on muotoa ℎ( ) = + + . Ratkaistaan kertoimien a, b ja c arvot.
Kuvaajaparaabelin huippuun piirretty tangentti on vaakasuora, joten huipussa derivaatan arvo on nolla.
Derivoidaan: ℎ ( ) = 2 + .
Lentoradan huippu on kohdassa = 30. Huippukohdassa derivaatan arvo on nolla, eli ℎ (30) = 0.
ℎ (30) = 0 60 + = 0
Huippu on pisteessä (30, 20), joten huipussa funktion arvo on 20, eli ℎ(30) = 20.
ℎ(30) = 20 900 + 30 + = 20
Lisäksi tiedetään, että lentorata kulkee pisteen (0, 2) kautta, eli ℎ(0) = 2.
ℎ(0) = 2 = 2
Saatiin kolme yhtälöä, eli yhtälöryhmä. Viimeinen yhtälö ilmaisee vakion c arvon. Sijoitetaan arvo keskimmäiseen yhtälöön ja ratkaistaan yhtälöpari.
60 + = 0 900 + 30 + 2 = 20
Yhtälöryhmä voidaan ratkaista symbolisella laskimella.
= − 1 50
=6 5
Lentorataa kuvaa siis funktio ℎ( ) = − + + 2.
Piirretään funktion kuvaaja ratkaisun avuksi. Funktion h arvo ilmaisee raketin korkeutta, kun muuttuja x on raketin vaakasuora etäisyys lähtöpisteestä. Ratkaistaan, missä kohdassa raketti osuu maahan.
ℎ( ) = 0
− 1
50 +6
5 + 2 = 0
= −1,62 … tai = 61,62 …
Raketti osuu maahan 61,6 metrin päässä lähtöpaikasta. Puten karsinan keskipiste on 62 metrin päässä, ja karsinan sivu on 2 metrin mittainen, joten onnittelut tulivat (valitettavasti) perille.
14.
Piirretään mallikuva. Pallon lentorata lähtee origosta. Oletetaan, että raketti palaa samalle korkeudelle kuin mistä se lähti, eli x-akselille pisteeseen (6, 0).
Paraabelin nollakohdat ovat = 0 ja
= 6. Huippu on nollakohtien puolivälissä, joten huipun x- koordinaatti on
=0 + 6 2 = 3.
Huippu on pisteessä (3, 9).
a) Paraabelin nollakohtamuotoinen yhtälö on
= ( − )( − )
Nyt nollakohdat ovat = 0 ja = 6, joten paraabelin yhtälö on muotoa
= ⋅ ( − 6).
Paraabeli kulkee huippupisteen (3, 9) kautta, joten (3) = 9.
⋅ 3 ⋅ (3 − 6) = 9, josta ratkaistaan kerroin = −1.
Pallon lentorataa kuvaa funktio
b) Derivoidaan: ( ) = −2 + 6 Pallo lähtee kohdasta = 0. Derivaatan arvo tässä kohdassa ilmaisee
lähtökohtaan piirretyn tangentin
kulmakertoimen. Tangentin kulmakerroin on siis = (0) = 6.
Kysytty kulma saadaan suorakulmaisesta kolmiosta.
tan =6
= tan ( 6) = 80,537 … ° ≈ 80,5° 1
c) Ratkaistaan, milloin funktion g derivaatan arvo on negatiivinen, eli ratkaistaan epäyhtälö ( ) < 0
−2 + 6 < 0
> 3
Pallon hetkellinen muutosnopeus on negatiivinen, kun 3 < ≤ 6.
15.
Käyrä leikkaa y-akselin pisteessä, jossa = 0.
= 0 − 6 ⋅ 0 − 0 + 2 = 2 Käyrä leikkaa y-akselin pisteessä (0, 2).
Ratkaistaan käyrälle tähän pisteeseen piirretyn tangentin kulmakerroin.
Derivoidaan: = ( − 6 − + 2) = 3 − 12 − 1 Derivaatan arvo kohdassa = 0 on (0) = −1.
Käyrälle kohtaan = 0 piirretyn tangentin kulmakerroin on = −1.
Tangentin ja y-akselin välinen kulma on tällöin 45°, joten käyrä leikkaa y-akselin 45° asteen kulmassa.
16.
a) Kaapelia kannattelevan tornin huippu on pisteessä , 152 . Paraabeli = kulkee tämän pisteen kautta, joten
152 = ⋅ 1280 2 ,
mistä ratkaistaan vakio = = 0,0003710 … ≈ 0,000371.
b) Kaapelin muotoa kuvaava käyrä on = 0,000371 . Kaapeli kohtaa tornin kohdassa = = 640.
Tähän kohtaan piirretyn tangentin kulmakerroin saadaan derivaatasta.
= (0,000371 ) = 0,000371 ⋅ 2 = 0,000742 Derivaatta, eli tangentin kulmakerroin kohdassa = 640 on
= (640) = 0,475.
Tangentin ja x-akselin välinen kulma toteuttaa yhtälön tan = 0,475,
josta ratkaistaan = tan ( 0,475) = 25,407 … ° ≈ 25,4°.
Kysytty kulma, eli kulma jossa kaapeli kohtaa tornin, on
17.
a) Piirretään mallikuva. Pallon lentorata lähtee origosta. Oletetaan, että pallo palaa samalle korkeudelle kuin mistä se lähti, eli x-akselille pisteeseen (50, 0).
Lentorataa kuvaa funktio ( ) = + + . Kuvaaja kulkee pisteen (0, 0) kautta, joten (0) = 0. Tästä seuraa, että vakio = 0.
Kuvaaja kulkee pisteen (50, 0) kautta, joten (50) = 0. Saadaan yhtälö 2500 + 50 = 0.
Pallon lentoradan huippu on nollakohtien puolivälissä, eli kohdassa
=0 + 50
2 = 25.
Huipun y-koordinaatti on 20,0, joten (25) = 20. Saadaan yhtälö 625 + 25 = 20.
Yhtälöparin
2500 + 50 = 0 625 + 25 = 20. ratkaisuna saadaan = − ja = .
b) Ratkaistaan kuvaan merkitty kulma .
Derivoidaan: ( ) = − +
Tangentin kulmakerroin kohdassa = 50 on (50) = −8
5= −1,6.
Kulma = tan (−1,6) = −57,99 … °, joten pallo putoaa reikään 58,0
18.
Derivaatan arvo ( ) on yhtä suuri kuin funktion kuvaajalle pisteeseen , ( ) piirretyn tangentin kulmakerroin.
a) Tangentin 4 + 5 = 2 yhtälön ratkaistu muoto on = − + 2.
Tangentin kulmakerroin kohdassa = 1 on = − , joten (1) = − .
b) Suoran = − 2 kulmakerroin on = 1.
Ratkaistaan, missä kohtaa funktion ( ) = kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin on 1.
Derivoidaan ( ) = 2 . ( ) = 1
2 = 1
=1 2
Tangentti on piirretty funktion f kuvaajalle pisteeseen , , jossa
= 1
2 = 1
2 = 1 4, eli tangentti kulkee pisteen , kautta.
Tutkitaan, onko tämä piste suoralla = − 2. Kun = , niin suoralla olevan pisteen y-koordinaatti on
=1
2− 2 = −3 2≠1
4, joten piste ei ole suoralla.
Suora = − 2 ei siis ole funktion f kuvaajalle piirretty tangentti.
19.
Piirretään mallikuva. Raketin lentorata voidaan ajatella lähtevän origosta. Oletetaan, että raketti palaa samalle korkeudelle kuin mistä se lähti, eli x-akselille pisteeseen (100, 0).
Lentorataa kuvaa funktio ( ) = + .
(Vakio c on nolla, koska kuvaaja kulkee pisteen (0, 0) kautta.)
Funktion f kuvaajalle kohtaan = 0 piirretty tangentti muodostaa 70 asteen kulman positiivisen x-akselin kanssa. Tangentin kulmakerroin k on tällöin
= tan 70° = 2,474 …
Derivaatan arvo kohdassa = 0 on = 2,474 … Funktion f derivaatta on ( ) = 2 + .
(0) =
Funktion ( ) = + kuvaaja kulkee pisteen (100, 0) kautta, joten (100) = 0.
⋅ 100 + 100 ⋅ 2,474 … = 0
= −0,02474 … Raketin lentorataa kuvaa siis funktio
( ) = −0,02474 … + 2,474 …
Raketin suurin korkeus saadaan paraabeli huipusta. Huippu on nollakohtien puolivälissä, eli kohdassa
= 0 + 100
2 = 50.
Huipun y-koordinaatti, eli raketin suurin korkeus on
= ( ) = (50) = 68,686 … ≈ 68,7 (metriä).
20.
a) Funktion ( ) = − 4 + 8 kuvaaja on suora ( = 0) tai paraabeli.
Funktiolla on pienin arvo siinä tapauksessa, että kuvaaja on paraabeli, joka aukeaa ylöspäin ( > 0).
Funktio ( ) = − 4 + 8, jossa > 0, saavuttaa pienimmän arvonsa huipussa, joka on derivaattafunktion nollakohta.
Derivoidaan: ( ) = 2 − 4 Ratkaistaan derivaatan nollakohta.
( ) = 0 2 − 4 = 0
= 2
Pienin arvo on nolla.
2 = 0
8 −4
= 0
= 1 2
b) Funktion ( ) = − 4 + 8 kuvaaja on suora ( = 0) tai paraabeli.
Funktion arvo on positiivinen välillä −2 < < 1, eikä muulloin, siinä tapauksessa, että kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli ( < 0), joka leikkaa x-akselin kohdissa = −2 ja = 1.
Funktion ( ) = − 4 + 8, jossa < 0, nollakohdat ovat siis
= −2 ja = 1. Huippu on nollakohtien puolivälissä, eli kohdassa
= −2 + 1 2 = −1
2. Huipussa derivaatta ( ) = 2 − 4 on nolla.
Ratkaistaan, millä kertoimen b arvolla − = 0.
−1 2 = 0
− − 4 = 0
= −4
21.
a) Tutkitaan funktion f kulkua derivaatan avulla.
Derivoidaan: ( ) = 3 − 9 Ratkaistaan derivaatan nollakohdat:
( ) = 0 3 − 9 = 0
= 0 tai = 3
Laaditaan derivaatan merkkikaavio ja funktion kulkukaavio. Rajataan kulkukaavio välille −1 ≤ ≤ 4. Derivaatan molemmat nollakohdat ovat tällä välillä, joten ne merkitään kaavioon. Derivaattafunktion
( ) = 3 − 9 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten derivaatan merkit voidaan päätellä kuvaajasta.
Funktiolla f on kulkukaavion perusteella maksimi kohdissa = 0 ja
= 4.
Maksimiarvo kohdassa = 0 on (0) = . Maksimiarvo kohdassa = 4 on (4) = − .
Funktion suurin arvo välillä −1 ≤ ≤ 4 on (0) = .
Funktiolla on kulkukaavion perusteella minimi kohdissa = −1 ja
= 3.
Minimiarvo kohdassa = −1 on (−1) = 0.
Minimiarvo kohdassa = 3 on (3) = −8.
Funktion pienin arvo välillä −1 ≤ ≤ 4 on (3) = −8.
b) Tangentin kulmakerroin kohdassa x on ( ) = 3 − 9 . Ratkaistaan derivaattafunktion pienin ja suurin arvo välillä
−1 ≤ ≤ 4.
Derivoidaan: ( ) = (3 − 9 ) = 6 − 9 Ratkaistaan toisen derivaatan nollakohta:
( ) = 0 6 − 9 = 0
= 9 6= 3
2
Laaditaan toisen derivaatan merkkikaavio ja derivaattafunktion kulkukaavio. Rajataan kulkukaavio välille −1 ≤ ≤ 4.
Derivaattafunktion ( ) = 6 − 9 kuvaaja on nouseva suora, ja derivaatan merkit voidaan päätellä kuvaajasta.
Derivaattafunktiolla on kulkukaavion perusteella minimi kohdassa
= . Derivaattafunktio saa tässä kohdassa pienimmän arvonsa, joka
on = − .
Derivaattafunktiolla on kulkukaavion perusteella maksimi kohdissa
= −1 ja = 4.
Maksimiarvo kohdassa = −1 on (−1) = 12.
Maksimiarvo kohdassa = 4 on (4) = 12.
Derivaattafunktion suurin arvo on (−1) = (4) = 12.
Tangentin kulmakertoimen pienin arvo on − ja suurin arvo on 12.
22.
a) Tangentin kulmakerroin kohdassa x on = −3 + 2 + 3.
Ratkaistaan kulmakertoimen suurin arvo, eli funktion
( ) = −3 + 2 + 3 suurin arvo. Funktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Funktio saa suurimman arvonsa huipussa, joka on derivaatan nollakohta.
Derivoidaan ( ) = −6 + 2.
Ratkaistaan derivaatan nollakohta.
( ) = 0
−6 + 2 = 0
= 1 3
Funktio f saa suurimman arvonsa, kun = , joten tangentin kulmakerroin on suurin kohdassa = .
1
3 = − 1
3 + 1
3 + 3 ⋅1 3= 29
27 Kysytty piste on , .
b) Tangentin kulmakerroin on
= 1
3 = −3 ⋅ 1
3 + 2 ⋅1
3+ 3 =10 3 ja tangentti kulkee pisteen ( , ) = , kautta.
Tangentin yhtälö on
− = ( − )
−29 27=10
3 −1
3 eli = − .
23.
Käyrien leikkauskohdat ratkaistaan yhtälöstä + 4 + 5 = − + 3.
Näytetään, että yhtälöllä on vain yksi ratkaisu.
+ 4 + 5 = − + 3 2 + 4 + 2 = 0 ∥: 2
+ 2 + 1 = 0 + 2 + = ( + )
( + 1) = 0 ∥ + 1 = 0
= −1
Käyrät leikkaavat kohdassa = −1. Leikkauspisteen y-koordinaatti on
= (−1) + 4 ⋅ (−1) + 5 = 2.
Leikkauspiste on (−1, 2).
Tangentin kulmakerroin saadaan derivaatasta.
( + 4 + 5) = 2 + 4 (− + 3) = −2 Derivaattojen arvot kohdassa = −1 ovat
2 ⋅ (−1) + 4 = 2 ja −2 ⋅ (−1) = 2
Derivaatat ovat kohdassa = −1 yhtä suuret, joten käyrät sivuavat toisiaan pisteessä (−1, 2) ja niillä on tässä pisteessä yhteinen tangentti.
Tangentin kulmakerroin on = 2 ja tangentti kulkee pisteen ( , ) = (−1, 2) kautta. Tangentin yhtälö on
− = ( − )
− 2 = 2 − (−1)
− 2 = 2( + 1) eli = 2 + 4.
24.
a) ( ) = 0,7 − 3 + 4 , 0,0 ≤ ≤ 3,9
Esimerkiksi GeoGebra-ohjelmistossa polynomimalli sovitetaan SovitaPolynomi-komennolla.
b) ( ) = 2,1 − 6 + 4, 0 < < 3,9
Derivaatta kuvaa kallion korkeuden muutosta vaakaetenemää
c) Tangentit ovat laskevia, kun ( ) < 0.
2,1 − 6 + 4 < 0 Nollakohdat:
2,1 − 6 + 4 = 0 ratkaisukaava tai symbolinen laskin = 1,059 … tai = 1,797 …
Derivaattafunktion ( ) = 2,1 − 6 + 4 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Derivaatan arvo on negatiivinen, kun
1,059 … < < 1,797 …
Tangentit ovat laskevia, kun 1,1 < < 1,8.
d) Laaditaan ratkaisun avuksi derivaatan merkkikaavio ja funktion kulkukaavio.
Kulkukaavion perusteella funktiolla f on minimit (0,0) = 0 ja (1,797 … ) = 1,562 … pyöristettynä (1,8) ≈ 1,6.
Kulkukaavion perusteella funktiolla f on maksimit
(3,9) = 11,493 … ≈ 11,5 ja (1,059 … ) = 1,702 … pyöristettynä (1,1) ≈ 1,7.
25.
a) Funktio f on määritelty, kun rahamäärä x on välillä 0 ≤ ≤ 3 (10 000 euroa).
b) Kuvaajan perusteella voidaan arvioida, että tangentit ovat laskevia, kun 2 < < 3. Perustellaan havainto laskemalla.
Tangentit ovat laskevia, kun ( ) < 0.
Derivoidaan: ( ) = −12 + 12 + 24 ( ) < 0
−12 + 12 + 24 < 0
Toisen asteen epäyhtälö ratkaistaan nollakohtien ja kuvaajan avulla.
Nollakohdat:
−12 + 12 + 24 = 0 ∥: 12
− + + 2 = 0 ratkaisukaava tai symbolinen laskin = −1 tai = 2
Derivaattafunktio ( ) = −12 + 12 + 24 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Funktion arvo on negatiivinen, kun < −1 tai kun
> 2.
Funktion f määrittelyväli on 0 < < 3. Funktion f kuvaajalle piirretyt tangentit ovat laskevia, kun 2 < < 3.
c) Yrityksen tulos on suurimmillaan, kun funktion f arvo on suurimmillaan. Derivaatan merkki vaihtuu kohdassa = 2 positiivisesta negatiiviseksi, joten kohta = 2 on funktion f maksimikohta. Funktio saa siinä myös suurimman arvonsa.
Funktion suurin arvo on (2) = 35, joten yrityksen optimitulos on 350 000 euroa.
26.
Derivoidaan: ( ) = 3 − 6 − 9 Ratkaistaan derivaatan nollakohdat:
( ) = 0 3 − 6 − 9 = 0 ∥: 3
− 2 − 3 = 0 ratkaisukaava tai symbolinen laskin = −1 tai = 3
Laaditaan derivaatan merkkikaavio ja funktion f kulkukaavio.
Derivaattafunktion ( ) = 3 − 6 − 9 kuvaaja on ylöspäin
avautuva paraabeli, ja derivaatan merkki voidaan päätellä kuvaajasta.
Derivaatan merkki voidaan päätellä myös testipisteiden avulla:
(−2) = 15 > 0 (0) = −9 < 0 (4) = 15 > 0
Kulkukaavion perusteella funktiolla f on maksimikohta = −1 ja minimikohta = 3.
b) Paikallinen maksimi on (−1).
(−1) = 2009 5 + = 2009
27.
a) Tutkitaan funktion ( ) = 2 − 3 kulkua derivaatan avulla.
Derivoidaan: ( ) = 6 − 6 Ratkaistaan derivaatan nollakohdat.
( ) = 0 6 − 6 = 0
= 0 tai = 1
Laaditaan derivaatan merkkikaavio ja funktion kulkukaavio. Rajataan kulkukaavio välille [0, 2]. Derivaatan nollakohta = 1 on tällä välillä, joten se merkitään kaavioon. Derivaattafunktion ( ) = 6 − 6 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, ja derivaatan merkit voidaan päätellä kuvaajasta.
Kulkukaavion perusteella funktio f saa pienimmän arvonsa kohdassa
= 1. Pienin arvo on (1) = −1.
Kulkukaavion perusteella funktiolla f on paikallinen maksimi kohdissa
= 0 ja = 2. Maksimit ovat (0) = 0 ja (2) = 4. Funktion suurin arvo on (2) = 4.
b) Funktiolla ( ) = 2 − 3 + on sama derivaattafunktio kuin a- kohdan funktiolla f, joten funktion g kulkukaavio voidaan päätellä funktion f kulkukaaviosta.
Kulkukaavion perusteella funktio g saa välillä [0, 2] pienimmän arvonsa kohdassa = 1.
(1) = −41 2
− 1 = −9 2 = −7 2
Kulkukaavion perusteella funktiolla g on paikallinen maksimi kohdissa
= 0 ja = 2. Maksimit ovat (0) = − ja (2) = . Funktion suurin arvo on (2) = .
28.
Polynomifunktio ( ) = − + 13,5 − 41 + 50 saa suurimman arvonsa joko välin [0, 10] päätepisteessä tai välillä olevassa
derivaattafunktion nollakohdassa.
Derivoidaan: ( ) = −3 + 27 − 41 Ratkaistaan derivaatan nollakohdat.
( ) = 0
−3 + 27 − 41 = 0 ratkaisukaava tai symbolinen laskin = 1,9341 … tai = 7,0658 …
Derivaattafunktion molemmat nollakohdat ovat välillä [0, 10].
Lasketaan funktion f arvo kohdissa = 0, = 10 ja = 1,934 … ja = 7,065 ….
(0) = 50 (10) = −10
(1,9341 … ) = 13,9669 …
(7,0658 … ) = 81,5330 … suurin
Funktion f suurin arvo välillä [0, 10] on (7,066) ≈ 81,533.
Funktion f kasvunopeus kohdassa x on ( ) = −3 + 27 − 41.
Määritetään kohta, jossa derivaattafunktion arvo on suurin.
Derivaattafunktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.
Derivaattafunktio saa suurimman arvonsa huipussa, joka on toisen derivaatan ′ nollakohta.
Derivoidaan: ( ) = (−3 + 27 − 41) = −6 + 27 Ratkaistaan nollakohta.
( ) = 0
−6 + 27 = 0
= 9
2= 4,5
Derivaattafunktio saa suurimman arvonsa kohdassa = 4,5, joten funktio f kasvaa nopeimmin kohdassa = 4,5.
29.
Funktion ( ) = + + + derivaatta on ( ) = 3 + 2 + .
Funktiolla f on kohdassa = 0 paikallinen minimi, joten (0) = 0.
Tästä ehdosta saadaan, että = 0 .
Paikallinen minimi on −2, joten (0) = −2. Tästä seuraa, että
= −2 .
Sijoitetaan saadut vakioiden arvot funktioiden lausekkeisiin:
( ) = + − 2 ja ( ) = 3 + 2 .
Funktiolla f on kohdassa = 2 paikallinen maksimi, joten (2) = 0.
Tästä ehdosta saadaan yhtälö 12 + 4 = 0.
Paikallinen maksimi on 1, joten (2) = 1. Tästä saadaan yhtälö 8 + 4 − 2 = 1 ∥ +2
8 + 4 = 3
Vähentämällä saadut yhtälöt 12 + 4 = 0 ja 8 + 4 = 3 toisistaan, saadaan 4 = −3, mistä = − .
Viimeiseksi ratkaistaan vakio b yhtälöstä 12 + 4 = 0.
12 + 4 = 0
= −3 9
30.
Polynomifunktio ( ) = + + + 1 on vähenevä jollakin välillä, jos derivaattafunktio ( ) = 3 + 2 + ≤ 0 tällä välillä.
Derivaattafunktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Jotta derivaattafunktio saisi negatiivisia arvoja, sillä oltava kaksi
nollakohtaa. Toisin sanoen, jos derivaattafunktiolla on kaksi nollakohtaa ja , niin funktio f on vähenevä välillä [ , ].
Tutkitaan derivaattafunktion nollakohtia.
( ) = 0 3 + 2 + = 0
= −2 ± 2 − 4 ⋅ 3 ⋅
2 ⋅ 3 =−2 ± 4 − 12 6
Juuren alla oleva lauseke 4 − 12 , eli niin kutsuttu diskriminantti, määrää nollakohtien lukumäärän. Nollakohtia on kaksi, jos diskriminantti on positiivinen.
4 − 12 > 0 <1
3
Kun < , niin derivaattafunktion nollakohdat ovat
=−2 − 4 − 12
6 = −1 − 1 − 3
3 ja
= −2 + 4 − 12
6 =−1 + 1 − 3
3 ja funktio f on vähenevä välillä [ , ], eli välillä
−1 − 1 − 3
3 ≤ ≤−1 + 1 − 3
3 .
31.
a) Funktion ( ) = + 2 − 1 derivaattafunktion ( ) = 3 + 4 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten derivaattafunktio ei ole (kaikkialla) kasvava. Funktio f ei siis ole konveksi.
b) Funktion ( ) = + + 2 derivaattafunktio on
( ) = 4 + 2 . Tutkitaan, millä vakion a arvoilla derivaattafunktio on kasvava.
Derivoidaan: ( ) = (4 + 2 ) = 12 + 2 .
Funktio on kasvava, jos sen derivaatta ( ) = 12 + 2 ≥ 0 kaikilla muuttujan x arvoilla.
Funktion ( ) = 12 + 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli.
Oikealla on funktion ( ) kuvaajia vakion a arvoilla = −1, = 0 ja
= 1.
Vakio a määrää paraabelin sijainnin pystysuunnassa. Kuvaajan huippu on y- akselilla kohdassa (0) = 2 . Funktion arvo ( ) ≥ 0 silloin, kun kuvaajan huippu on x-akselilla tai sen yläpuolella, eli kun 2 ≥ 0, eli ≥ 0.
Kun ≥ 0, niin ( ) ≥ 0 ja derivaatta on kasvava funktio, joten funktio on konveksi.
32.
Funktion ( ) = − − + 3 + 1 derivaatta on
( ) = − − 2 + 3. Derivaattafunktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Se saa suurimman arvonsa paraabelin huipussa, joka on toisen derivaatan nollakohta.
Derivoidaan: ( ) = (− − 2 + 3) = −2 − 2 Ratkaistaan toisen derivaatan nollakohta.
( ) = 0
−2 − 2 = 0
= −1
Derivaattafunktion ( ) = − − 2 + 3 suurin arvo on (−1) = 4.
Funktiolla ei ole pienintä arvoa.
Derivaatta saa kaikki reaaliarvot ≤ 4, eli arvot jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin 4.
33.
Piirretään mallikuva.
Paraabelilla = 4 − olevan kärjen koordinaatit ovat ( , 4 − ).
Suorakulmion kanta on x ja korkeus on 4 − , joten sen pinta-ala on ( ) = ⋅ (4 − ) = 4 − .
Pinta-alafunktion A määrittelyväli on 0 ≤ ≤ 4. Selvitetään funktion A suurin arvo tällä välillä.
Derivoidaan: ( ) = 8 − 3
Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat.
( ) = 0 8 − 3 = 0
= 0 tai =8
3= 2,66 …
Ratkaisun avuksi voidaan laatia derivaatan merkkikaavio ja pinta- alafunktion A kulkukaavio. Polynomifunktio ( ) = 4 − saa suurimman arvonsa joko määrittelyvälin [0,4] päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa = . Riittää siis laskea funktion A arvo näissä kohdissa.
(0) = 0 (4) = 0
= = 9,481 … suurin
Suorakulmion suurin pinta-ala on siis (= 9,481 … ≈ 9,48).
34.
Selvitetään funktion ( ) = ( − 3) + ( − 9) = 2 − 24 + 90 pienin arvo.
Funktion f kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Se saa pienimmän arvonsa paraabelin huipussa. joka on derivaatan nollakohta.
Derivoidaan: ( ) = 4 − 24 Ratkaistaan derivaatan nollakohta.
( ) = 0 4 − 24 = 0
= 6
Funktio f, ja siis summa ( − 3) + ( − 9) , saa pienimmän arvonsa, kun = 6.
35.
Piirretään mallikuva.
Paraabelilla = olevan pisteen = ( , ) etäisyys pisteestä
= (3, 1) saadaan Pythagoraan lauseella.
= ( − 3) + ( − 1)
Selvitetään, millä muuttujan x arvolla etäisyyden neliö on pienin mahdollinen. Määritetään siis funktion
( ) = ( − 3) + ( − 1) = − − 6 + 10 pienin arvo.
Derivoidaan: ( ) = 4 − 2 − 6 Ratkaistaan derivaatan nollakohdat.
( ) = 0
4 − 2 − 6 = 0 symbolinen laskin ratkaisee yhtälön numeerisesti = 1,289 … (tämä on derivaattafunktion ainoa nollakohta) Laaditaan derivaatan merkkikaavio ja funktion kulkukaavio.
Perustellaan derivaatan merkki testipistelaskuilla:
(0) = −6 < 0 (2) = 22 > 0
Kulkukaavion perusteella funktio f saa pienimmän arvonsa kohdassa
= 1,289 …
Paraabelilla oleva piste = ( , ), joka minimoi etäisyyden neliön, ja siis myös etäisyyden, on kohdassa = 1,289 … Pisteen y-koordinaatti on
= = 1,663 … ≈ 1,7.
Piste = (1,3; 1,7).
36.
Ympyräsektorin piirin pituus on + + = + 2 . Muodostetaan piirin pituutta koskevasta ehdosta yhtälö, ja ratkaistaan pituus b.
+ 2 = 1
= 1 − 2
Sektorin pinta-ala = on tällöin ( ) =(1 − 2 ) ⋅
2 =1
2 −
Sektorin säde on positiivinen luku, joten > 0. Kaarenpituus on positiivinen luku, joten > 0, eli 1 − 2 > 0, mistä saadaan säteelle ehto < = 0,5.
Pinta-alafunktion A määrittelyväli on 0 < < 0,5 (metriä).
Pinta-alafunktion ( ) = − kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Se saa suurimman arvonsa huipussa, joka on
derivaattafunktion nollakohta.
Derivoidaan: ( ) = − 2
Ratkaistaan derivaatan nollakohta.
( ) = 0 1
2− 2 = 0 1
Nollakohta = 0,25 kuuluu määrittelyvälille [0; 0,5].
Pinta-ala on suurimmillaan, kun säde on 0,25 metriä.
37.
Funktion suurin arvo on funktion saamista arvoista suurin. Formaalisti ilmaistuna, jos funktio f on määritelty välillä I, niin sen suurin arvo on luku M, joka toteuttaa seuraavat ehdot:
• = ( ) jossakin välin I kohdassa , ts. M on funktion f arvo, ja
• ( ) ≤ kaikilla muuttujan x arvoilla välillä I.
Esimerkiksi funktiolla ( ) = 2 ei ole suurinta arvoa (kun
määrittelyvälinä on koko reaaliakseli). Funktio on aidosti kasvava, ja muuttujan x arvon kasvaessa funktion f arvot kasvavat rajatta.
Esimerkiksi välillä [−1, 1] määritellyn funktion ( ) = suurin arvo on 1. Tämä voidaan perustella esimerkiksi kulkukaavion avulla.
Funktio saa suurimman arvonsa kohdissa = −1 ja = 1. Funktio voi siis saada suurimman arvonsa kahdessa eri pisteessä.
5.3 Monivalintatehtävät
1.
Funktion kuvaaja kulkee pisteen (−2, 3) kautta, joten (−2) = 3.
Vaihtoehdoista b on oikein.
2.
Funktion kuvaaja on laskeva suora. Ratkaistaan suoran yhtälö
= + .
Suora kulkee esimerkiksi pisteiden (0, 0) ja (2, −3) kautta. Suoran kulmakerroin on
=Δ
Δ = −3 − 0 2 − 0 = −3
2. Suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, 0), joten = 0.
Suora yhtälö on = − .
Funktion f lauseke on siis ( ) = − .
Vaihtoehto b on oikein.
3.
Suoran kulmakerroin on
=Δ
Δ = −3 − 1 4 − 5 = −4
−1= 4.
Vaihtoehto a on oikein.
4.
Funktion kuvaaja on paraabeli, joten funktion lauseke on muotoa
( ) = + + .
Funktio saavuttaa pienimmän arvonsa huipussa, joten paraabelin aukeamissuunta on ylöspäin. Funktion lausekkeessa kerroin a on silloin positiivinen, eli 0.
Vaihtoehto c on oikein.
5.
Kyseessä on toisen asteen funktio, joten kuvaaja on paraabeli.
Funktion lausekkeessa toisen asteen termin kerroin on = −1, eli negatiivinen. Kuvaajaparaabeli aukeaa siis alaspäin ja funktio saa huipussa suurimman arvonsa.
Kun = 0, niin funktion arvo on (0) = 1, joten funktion kuvaaja kulkee pisteen (0, 1) kautta.
Vaihtoehto c on oikein.
6.
Sijoitetaan muuttujan arvo = 0 yhtälöön:
0 − 6 ⋅ 0 + 3 = 3
3 = 3 totta Yhtälö siis toteutuu, joten = 0 on yhtälön ratkaisu eli juuri.
Sijoitetaan muuttujan arvo = 6 yhtälöön:
6 − 6 ⋅ 6 + 3 = 3 36 − 36 + 3 = 3
3 = 3 totta Yhtälö siis toteutuu, joten = 6 on yhtälön ratkaisu eli juuri.
Voidaan vielä tarkistaa, että = −6 ei ole yhtälön ratkaisu.
(−6) − 6 ⋅ (−6) + 3 = 3 36 + 36 + 3 = 3
75 = 3 epätotta Yhtälö ei siis toteudu, eli = −6 ei ole yhtälön ratkaisu.
Vaihtoehtoisesti yhtälö − 6 + 3 = 3 voidaan ratkaista ja todeta, että = 0 ja = 6 ovat yhtälön ratkaisut.
Vaihtoehto b on oikein.
7.
Merkintä ( ) < 0 tarkoittaa, että funktion g arvo on negatiivinen, eli sen kuvaaja kulkee x-akselin alapuolella.
Kuvaajan perusteella funktiolla g on kaksi nollakohtaa = −3 ja
= 2. Kuvaaja kulkee x-akselin alapuolella silloin, kun muuttujan arvo on nollakohtien välissä, eli kun −3 < < 2.
Vaihtoehto a on oikein.
8.
Merkintä ( ) ≥ 0 tarkoittaa, että funktion f arvo on nolla tai positiivinen. Kuvaajan perusteella funktiolla f on yksi nollakohta
= −5, jossa kuvaaja sivuaa x-akselia. Kuvaaja on muutoin x-akselin alapuolella, eli funktion arvo on negatiivinen. Funktion arvo ei ole koskaan positiivinen.
Väite ( ) ≥ 0 toteutuu siis ainoastaan, kun = −5.
Vaihtoehto a on oikein.
9.
Merkintä ( ) ≥ 0 tarkoittaa, että funktion f arvo on nolla tai positiivinen. Kuvaajan perusteella funktiolla ei ole nollakohtia ja funktion arvo on kaikilla muuttujan arvoilla positiivinen.
Väite ( ) ≥ 0 siis toteutuu kaikilla muuttujan x arvoilla.
Vaihtoehto a on oikein.
10.
Kuvaan on piirretty suora, joka leikkaa funktion f kuvaajan kahdessa kohdassa = 1 ja = 2. Suoran kulmakerroin kertoo funktion keskimääräisen muutosnopeuden välillä [1, 2].
Vaihtoehto c on oikein.
11.
Derivoidaan vaihtoehdoissa annetut funktiot.
a) ( ) = (1) = 0 b) ( ) = ( ) = 1 c) ( ) = (− ) = −1
Vaihtoehto b on oikein.
12.
Derivoidaan vaihtoehdoissa annetut funktiot.
a) ( ) = (− + − ) = −6 + 5 − 1
b) ( ) = (−2 + 2,5 − ) = −2 ⋅ 3 + 2,5 − 1 = −6 + 1,5 c) ( ) = (−2 + 2,5 − ) = −2 ⋅ 3 + 2,5 ⋅ 2 − 1
= −6 + 5 − 1
Vaihtoehto c on oikein.
13.
Merkintä ′(0) tarkoittaa funktion f derivaatta kohdassa = 0, eli funktion kuvaajalle kohtaan = 0 piirretyn tangentin kulmakerrointa.
Kuvan perusteella funktion kulkusuunta vaihtuu kohdassa = 0 ja tähän kohtaan piirretty tangentti on vaakasuora ja tangentin kulmakerroin on nolla. Täten (0) = 0.
Huomaa, että c-kohdassa merkintä (0) tarkoittaa funktion f arvoa kohdassa = 0. Kuvan perusteella (0) = −4, joten vaihtoehto c ei ole oikein.
Vaihtoehto b on oikein.
14.
Derivoidaan funktio g ja lasketaan derivaattafunktion arvo kohdassa
= −2.
( ) = ( − 5 ) = 2 − 5
Derivaatan arvo on (−2) = 2 ⋅ (−2) − 5 = −4 − 5 = −9.
Vaihtoehto b on oikein.
15.
Funktion f derivaatan nollakohdassa derivaatan arvo on nolla, eli ( ) = 0. Tässä kohdassa funktion hetkellinen muutosnopeus on nolla.
Vaihtoehto c on oikein.
16.
Funktion ( ) = 3 − 7 + 1 kuvaaja on ylöspäin avautuva
paraabeli. Huippuun piirretty tangentti on vaakasuora, joten tangentin kulmakerroin on nolla.
Vaihtoehto c on oikein.
17.
Derivaattafunktion merkkikaavio voidaan täydentää funktion f kulkukaavioksi.
Kulkukaavion perusteella funktion f kulkusuunta vaihtuu kohdassa
= −1.
Vaihtoehto c on oikein.
18.
Funktio g on kasvava silloin, kun sen kuvaajalle piirretty tangentti on vaakasuora tai nouseva, eli derivaatta ( ) ≥ 0.
Merkkikaavion perusteella ( ) ≥ 0, kun ≤ 2.
Vaihtoehto b on oikein.
19.
Merkkikaavion perusteella derivaatalla on nollakohta = 7 ja derivaatta on muutoin negatiivinen. Funktion h kuvaajalle piirretty tangentti on
• vaakasuora kohdassa = 7
• laskeva, kun ≠ 7 (eli kaikissa muissa kohdissa laskeva) Koska ( ) ≤ 0, niin voidaan päätellä, että funktio g on kaikkialla vähenevä.
Vaihtoehto c on oikein.
20.
Funktio on kasvava kaikkialla, joten funktion arvot joko pysyvät samoina tai kasvavat, kun muuttujan arvo kasvaa. Funktion arvojen hetkellinen muutosnopeus on siis nolla tai positiivinen.
Vaihtoehto b on oikein.
