• Ei tuloksia

(1)Todenn¨ak¨oisyyslaskennan jatkokurssi Harjoitus 2, syksy 2005, vko 46 1

N/A
N/A
Info
Lataa
Protected

Academic year: 2022

Jaa "(1)Todenn¨ak¨oisyyslaskennan jatkokurssi Harjoitus 2, syksy 2005, vko 46 1"

Copied!
1
0
0

Ladataan.... (näytä koko teksti nyt)

Lataa nyt ( 1 sivua )

Kokoteksti

(1)

Todenn¨ak¨oisyyslaskennan jatkokurssi

Harjoitus 2, syksy 2005, vko 46

1. M¨a¨arit¨a X:n p-fraktiili tapauksissa p = 0.5,0.75,0.99, kun a) X ∼ Tas(0,1),

b) X ∼ Exp(2), c) X ∼ N 12, 14

.

2. Olkoon P(A) = p. M¨a¨arit¨a indikaattorin 1A tngf ja johda t¨am¨an avulla Bin(n, p)-jakauman tngf.

3. Olkoon X N-arvoinen sm ja G sen tngf.

a) Mit¨a ovat G(0), G(1)?

b) Lausu G:n avulla tn, ett¨a X saa parillisen arvon.

4. Olkoot X ja Y riippumattomia. Johda ehdollinen jakauma P{X =k | X +Y =n} (k = 0,1,· · · , n), kun

a) X ∼ Bin(n1, p), Y ∼Bin(n2, p), b) X ∼ Poisson(λ1), Y ∼ Poisson(λ2), c) X, Y ∼Geom(p).

5. (Jensenin ep¨ayht¨al¨o) Oletetaan, ett¨a derivoituvan funktiongderivaatta on kasvava. Osoita: Jos sm:illa X ja g(X) on odotusarvot, niin

g(E(X)) ≤ E(g(X)).

Viittaukset

Lataa nyt ( PDF - 1 sivua - 25.55 KB )

LIITTYVÄT TIEDOSTOT

Todenn¨ak¨oisyyslaskennan jatkokurssi Harjoitus 5, syksy 2005

Tason yksikk¨ okiekkoon sijoitetaan umpim¨ ahk¨ a¨ an ja toisistaan riip- pumatta n pistett¨ a.. Olkoon R origoa l¨ ahinn¨ a olevan pisteen et¨

(1)Todenn¨ak¨oisyyslaskennan peruskurssi Harjoitus 7, syksy 2005 1

Laske tn, ett¨ a asemalle saapuva henkil¨ o ei joudu odottamaan minuuttia kauempaa, jos h¨ anen saapumisaikansa jakautuu tasaisesti klo 7.02 ja 7.24 v¨ alille.. Henkil¨ on

Todenn¨ak¨oisyyslaskennan jatkokurssi Harjoitus 5, syksy 2006

Tason yksikk¨ okiekkoon sijoitetaan umpim¨ ahk¨ a¨ an ja toisistaan riip- pumatta n pistett¨ a.. Olkoon R origoa l¨ ahinn¨ a olevan pisteen et¨

Todennäköisyyslaskennan jatkokurssi

(Jensenin epäyhtälö) Oletetaan, että derivoituvan funktion g derivaatta

σ 1 ja σ 2. Lausu näiden avulla

(Jensenin epäyhtälö) Oletetaan, että derivoituvan funktion g deriv aatta.

Ep¨ayht¨al¨oiden kielt¨am¨at¨on vieh¨atys

Esimerkiksi H¨ olderin ep¨ ayht¨ al¨ o seuraa Jensenin ep¨ ayht¨ al¨ ost¨ a, sek¨ a Cauchyn–Schwarzin ett¨ a Tˇ sebyˇ sovin ep¨ ayht¨ al¨ ot voidaan joh- taa

Kun yht¨al¨ot v¨ahennet¨a¨an toisistaan, saadaan 4p2 = 5a(5b−a −1)

T¨ am¨ a ep¨ ayht¨ al¨ o on tosi, koska a, b ja c ovat kolmion sivuja ja toteuttavat siis kolmioep¨ ayht¨ al¨ on... V¨

Analyysi I Harjoitus 13/2003 1. Ratkaise ep¨ayht¨al¨o e

[r]