I T ET E E S
SÄ
TA
PAHT UU
75
noottiin 11, mistä niitä on vaikea löytää. Noo- tin 53 yritys selittää lyhyesti myöhäisantiikin ja keskiajan teksteissä vilisevät ”Intiat” ei kes- tä kriittistä tarkastelua. Nootissa 141 Syrdar- jan ja Lähi-idän välissä sijaitseva vuoristo on muitta mutkitta selitetty Himalajak si. Eikö pi- kemminkin Elbrus tai Kaukasus? ”Saraseenin- eli persian kieli” (nootti 161) on kovin vanhan-
aikainen ilmaisu – lienee peräisin suoraan kes- kiajalta.
Kirjoittaja on dosentti Helsingin yliopiston Aasi- an ja Afrikan kielten ja kulttuurien laitoksella sekä tutkija Tutkijakollegiumissa. Hän on myös Suomen Oppihistoriallisen Seuran puheenjohtaja.
Solomon Feferman, John W. Dawson Jr., War- ren Goldfarb, Charles Parsons, Wilfried Sieg (toim.): Kurt Gödel Collected Works IV-V. Ox- ford University Press, 2003 (662 s. / 664 s.)
Kurt Gödel (1906–1978) oli 1900-luvun merkit- tävin loogikko. Oxford University Press julkai- si Gödelin koottujen teosten kolme ensimmäis- tä osaa vuosina 1986, 1990 ja 1995. Näistä en- simmäinen koostui vuosina 1929–1936 julkais- tuista Gödelin artikkeleista ja toinen osa kattoi julkaistut artikkelit vuosilta 1938–1974 (vuon- na 1937 Gödel ei julkaissut mitään). Kolmas osa käsitti Gödelin Nachlassista valikoidut aiemmin julkaisemattomat esseet ja luennot. Kokoelma täydellistyi vuonna 2003, jolloin julkaistiin kah- dessa niteessä pääosin Gödelin tieteellisen kir- jeenvaihdon mielenkiintoisimmat osat. Jatkos- sa käytän Kurt Gödel Collected Works -sarjasta ly- hennettä CW.
Valtava urakka
Toimituskunnalla on takanaan valtava urakka:
yksistään Gödelin Nachlass sisältää noin 3500 kirjettä, minkä lisäksi niitä on kerätty muista ar- kistoista sekä yksityishenkilöiltä. Tästä joukos- ta kokoelmaan on valittu hieman alle neljäsataa kirjettä. Toimituskunta on selkeästi pyrkinyt ra- kenteelliseen tasapainoon: Kirjeet jakaantuvat melko tarkasti tasan lähetettyjen ja vastaanotet- tujen kesken. Samoin melko tarkkaan puolet kirjeistä on esitetty alkuperäisessä saksankieli- sessä asussaan, kaikki englanniksi käännettynä.
Materiaali jakautuu myös suhteellisen tasaises- ti koko pitkälle aikavälille vuoden 1928 loppu- puolelta vuoden 1977 alkupuolelle, vaikkakin
1940-luvulta kirjeitä on selkeästi muita vuosi- kymmeniä vähemmän. Toisen maailmansodan vaikutukset ja Gödelin emigroituminen Yhdys- valtoihin lienevät merkittävimmät syyt notkah- dukseen.
Kaikkiaan CW IV–V koostuu Gödelin kir- jeenvaihdosta 50 eri henkilön kanssa.
Kokoelmaan on sisällytetty kirjeitä, jotka lai- toksen esipuheen mukaan ”ovat joko tieteelli- sesti, fi losofi sesti tai historiallisesti mielenkiin- toisia tai jotka valaisevat joko Gödelin ajatuksia tai hänen suhdettaan muihin.”
Viidenkymmenen henkilön joukko jakautuu siististi kahteen ryhmään: toisessa ovat loogikot ja matemaatikot, toisessa kaikki muut tieteen- fi losofeista maallikoihin. Käytännössä tieteelli- sen diskurssin ulkopuolisen kirjeenvaihdon ai- noa edustaja on Gödelin äiti, Marianne Gödel, vaikkakin jälkipolville on säilynyt vain Kurt- pojan puoli kirjeenvaihdosta. Näiden kirjeiden teologis-fi losofi sista pohdinnoista voidaan tie- tysti olla monta mieltä, vaikka ne sinällään to- distavatkin Gödelin järkkymättömästä uskosta rationalismiin.
Vaikka edellä esitetty jako matemaatikkojen ja loogikkojen sekä muiden kirjeiden kirjoittaji- en välillä näyttää paperilla harmoniselta, tosi- asia on kuitenkin se, että jo viiden matemaati- kon/loogikon kirjeenvaihto (Bernays, Heyting, Menger, von Neumann ja Hao Wang) muodos- taa sisällöstä lähes puolet. Tämä on CW IV–V:n merkittävin rakenteellinen epäsuhta.
Kirjeitä ja johdantoja
CW IV–V jatkaa edeltäjiensä formaattia: jokai- sen yksittäisen kirjeenvaihdon alkuun on laa-
(Epä)täydellistä?
Kai Käkelä
T I ET EE
S S
ÄTA
P H A U T U
76
TIETEESSÄ TAPAHTUU 2/2005
dittu johdanto, joka asettaa kulloisenkin kir- jeenvaihdon sen historialliseen kontekstiin se- littäen samalla itse sisältöä. Johdantotekstit ovat pääosin toimituskunnan, mutta myös ulkopuo- lisia asiantuntijoita on käytetty. Tällainen käy- täntö sisältää luonnollisesti sen riskin, että yk- sittäisiä kirjeitä tai koko kirjeenvaihtoa aletaan tarkastella enemmän subjektiivisesti kuin ob- jektiivisesti, mutta tällaista ei CW IV–V:ssä mie- lestäni ole havaittavissa.
Toisinaan itse johdanto on mielenkiintoisem- paa luettavaa kuin varsinainen kirjeenvaihto.
Toinen häiritsevä seikka on johdantojen pikku- tarkkuuden aiheuttama luettavuuden kärsimi- nen. Erityisesti alaviitteiden runsaus on paikka paikoin rasittavaa. CW IV–V -toimituskunta lie- nee työskennellyt Gödelin tarkkuusstandardi- en hengen velvoittamana. Tekstuaalisesta Skyl- la ja Kharybdis -asetelmasta huolimatta pedant- tisuuden ja luettavuuden välinen tasapaino on CW IV–V:ssä onnistuttu säilyttämään hyvin.
Todistuksen ymmärtämisen vaikeus
1900-luvulle tultaessa joukko-oppi oli ajautu- nut vaikeuksiin paradoksien vuoksi. Samoin malliteoriassa oli kyetty antamaan keskeisille aksioomajoukoille ainoastaan suhteellisia ris- tiriidattomuus- ja riippumattomuustuloksia, mikä ei riittänyt, koska etsittiin jotain absoluut- tista, jolle matematiikan perusteet voitaisiin ra- kentaa. Saksalainen matemaatikko David Hil- bert visioi esitelmässään vuonna 1917, että olisi luotava uusi tieteenala, jonka tutkimuskohtee- na olisi ’matemaattisen todistuksen’ käsite. Tä- män uuden tieteenalan nimeksi tuli todistusteo- ria, jota usein kutsutaan myös nimellä metama- tematiikka.
Paljolti Hilbertin eksplisiittisesti esittämien kysymysten motivoimana Gödel ryhtyi kaikes- sa hiljaisuudessa työhön – ja jälkeä syntyi. En- simmäisen kertaluvun logiikan täydellisyyden Gödel todisti 1930 (tämä ja muut tässä kappa- leessa esitettävät vuosiluvut viittaavat tulosten julkaisuvuoteen). Lukuteorian sisältävien aksi- oomajärjestelmien epätäydellisyyden hän osoit- ti vuonna 1931. Valinta-aksiooman ja kontinuu- mihypoteesin ristiriidattomuuden ZF-aksioo- majärjestelmän kanssa – olettaen ZF:n itsensä ristiriidattomuuden – Gödel todisti 1940.
Gödelin epätäydellisyyslauseet tulivat mo- nille täytenä yllätyksenä. Ne, jotka ymmärsivät itse todistukset, eivät välttämättä tehneet niis- tä oikeita päätelmiä. Gödel antoi ymmärtää,
että vaikka niin Wittgenstein kuin Russellkin ymmärsivät hänen epätäydellisyyslauseiden- sa epistemologiset implikaatiot jokseenkin vää- rin, jälkimmäinen teki sen ainakin mielenkiin- toisemmin kuin edellinen.
Oli myös niitä, joille itse todistuksen ymmär- täminen tuotti vaikeuksia. Sveitsiläinen mate- maatikko Paul Finsler tulkitsee kirjeessään Gö- delille vuodelta 1933 todistaneensa Gödelin en- simmäistä epätäydellisyyslausetta vastaavan tuloksen jo vuonna 1926. Gödel antoi hienova- raisesti ymmärtää, että Finslerin esittämä lähes- tymistapa oli oleellisesti puutteellinen. Krono- logisesti katsottuna Finsleriäkin pidemmälle meni Emil L. Post, joka väitti olleensa jo vuon- na 1921 tilanteessa, jossa olisi voinut todistaa Gödelin ensimmäisen epätäydellisyyslauseen.
Postin väitteellä tiettyä katetta olikin, Finslerin väitteellä ei niinkään.
Gödel, Bernays ja fi nitismi
CW IV:stä leijonan osa on varattu Gödelin ja Paul Bernays’n kirjeenvaihdolle (85 kirjettä).
Paul Bernays oli sveitsiläinen matemaatikko, joka toimi David Hilbertin pitkäaikaisena työs- kentelykumppanina. Gödel ja Hilbert eivät kos- kaan käyneet kirjeenvaihtoa eivätkä kertaakaan edes tavanneet, mutta ei liene kohtuutonta olet- taa, että Gödelin näkemykset välittyivät Ber- naysin kautta myös Hilbertille.
Gödel-Bernays -kirjeenvaihto paljastaa, että monikymmenvuotisen kirjeenvaihdon ytimes- sä kulkee kenties koko matematiikan perustei- ta koskevan keskustelun tärkein yksittäinen kä- site: fi nitismi.
1920- ja -30-luvun taitteessa Hilbert – ja moni muu matemaatikko – uskoi, että lukuteorian fi - nitistisen ristiriidattomuustodistuksen esittä- minen olisi lähitulevaisuuden fakta. Ackerman- nin-von Neumannin 1920-luvulla esittämä fi - nitistinen ristiriidattomuustodistus eräälle lu- kuteorian osajärjestelmälle otettiin annettuna, mutta heidän todistuksessaan induktioskemaa oli olennaisesti rajoitettu, mikä aiheutti epä- selvyyttä todistuksen pätevyysalueen suhteen.
Gödelin toisen epätäydellisyyslauseen jälkeen- kin asiasta esitetyissä lausunnoissa saattoi ha- vaita vielä varovaisuutta, ja jopa Gödel itse ar- veli, että voisi olla olemassa lukuteorian ristirii- dattomuuden fi nitistinen todistus, joka ei olisi kuitenkaan formalisoituva kyseisessä formaa- lissa järjestelmässä.
Gödelin epätäydellisyyslauseiden vaikutuk-
I T ET E E S
SÄ
TA
PAHT UU
77
set Hilbertin fi nitismiin on paljon tutkittu aihe matematiikan fi losofi assa. Oliko Hilbert vetäy- tynyt alkuperäisistä asemistaan jo ennen Gö- delin epätäydellisyyslauseiden julkaisemista?
Kenties Hilbert ei ollutkaan fi nitismin kannat- taja henkeen ja vereen? Gödel-Bernays -kirjeen- vaihto ei tuo tähän lopullista selvyyttä. Voi ni- mittäin olla niinkin, että tärkein motiivi Hilber- tin addiktoitumiseen juuri fi nitismiin oli hänen halunsa osallistua matematiikan perusteita kos- kevaan debattiin argumenteilla, jotka tiukinkin intuitionisti ja konstruktivisti voisi hyväksyä.
Vielä Grundlagen der Mathematik I :ssä (Springer, Berlin 1934) Hilbert ja Bernays pysyivät tiukas- ti fi nitismin juoksuhaudassaan, mutta Grundla- gen der Mathematik II :ssa (Springer, Berlin 1939) he kuitenkin myönsivät, että heidän käsittä- mässään mielessä ’fi nitismi’ oli ainoastaan ni- mitys tietylle metodologiselle ohjenuoralle, jon- ka avulla tietyt käsitteenmuodostukset ja päät- telytavat voitiin nähdä selkeästi fi nitistisinä tai selkeästi ei-fi nitistisinä; tarkkaa demarkaatiota näiden välille ei kyetty tekemään.
Gödel–Bernays-kirjeenvaihdon ”fi losofi sena kautena” vuosina 1956–1964 merkillepantavaa on, että Gödel ei mainitse kirjeissään Bernays’lle kertaakaan Edmund Husserlia, vaikka tiettäväs- ti juuri 1950-luvun lopulla Gödel alkoi kiinnos- tua vakavasti Husserlin fenomenologiasta. Toi- saalta Gödel pääsi harrastamaan ajatustenvaih- toa saksalaisesta idealismista Gotthard Günthe- rin kanssa, ja CW IV:n Gödel–Günther-kirjeen- vaihto yllättääkin kiinnostavuudessaan.
Günther oli hegeliläinen, mutta saksalaisen systeeminrakentajan lisäksi hän oli kiinnostu- nut kybernetiikasta sekä tekoälyn ideasta ja sen fi losofi asta. Itse kirjeenvaihto sisältää pohdin- toja ’olemisen’ käsitteen erilaisesta tulkinnasta klassisessa ja intuitionistisessa logiikassa, logii- kan ja metafysiikan välisestä suhteesta, Günt- herin omasta kolmiarvologiikasta ja kolman- nen poissuljetun laista. Mitä ilmeisimmin Günt- her esitti Gödelin mielestä sangen mielenkiin- toisia ajatuslinjoja, mutta Güntherin kyvyttö- myys elaboroida ja konkretisoida ideoitaan Gö- delin toivomalla tavalla jättää kirjeenvaihdon tietyssä mielessä torsoksi. Sinänsä kyseinen vai- he voidaan nähdä kurkistuksena aikaan, jolloin Gödelin mielenkiinto siirtyi yhä enemmän pois matemaattisesta logiikasta ja kosmologiasta kohti fi losofi aa. Kenties Günther-kirjeenvaihto antoi lopullisen sysäyksen Gödelin mielenkiin- non kohdistumiselle Husserlin transsendentaa- liseen idealismiin.
Cohen, Kreisel ja Einstein
Gödelin vuonna 1940 esittämien tulosten jäl- keen saatiin odottaa lähes neljännesvuosisata, ennen kuin joukko-opin metamatemaattisella sektorilla ammuttiin jälleen kovilla. Asialla oli yhdysvaltalainen Paul J. Cohen, joka osoitti – edellyttäen ZF:n itsensä ristiriidattomuuden – valinta-aksiooman riippumattomuuden ZF:stä ja kontinuumihypoteesin riippumattomuuden ZFC:stä.
Etukäteen arvioituna Cohenin ja Gödelin vä- linen kirjeenvaihto olisi ollut esimerkiksi kon- tinuumihypoteesin historiasta kiinnostuneelle henkilölle jo sinänsä riittävä syy saada ainakin CW IV haltuunsa. Pettymys on kuitenkin vähin- tään yhtä suuri kuin ennakko-odotus: jo laitok- sen esipuheessa selviää, että Cohen ei antanut lupaa julkaista omaa puoliskoaan Gödel-kir- jeenvaihdosta. Mitään syytä Cohenin kieltäyty- miseen ei anneta, mutta Cohen itse antoi hänel- tä asiaa tiedustellessani ymmärtää, että yksi syy hänen kieltäytymiseensä on se, että hänen mu- kaansa yksityisiä kirjeenvaihtoja usein väärin- käytetään julkaisuissa. CW -toimituskunta tosin antaa ymmärtää, että Gödelin ja Cohenin väli- nen kirjeenvaihto olisi rekonstruoitavissa Gö- delin Nachlassin avulla, mutta tällä tiedolla ta- vallinen lukija ei tee yhtään mitään.
Myöskään matemaattisen logiikan suuri nimi, Georg Kreisel, ei halunnut kontribuoida CW IV-V:een, mistä toimituskunta on avoimen pahoillaan. Kuten Cohenin tapauksessa, tausto- ja tähänkään päätökseen ei anneta. Asiaa Kreis- elilta tiedustellessani hän mainitsi syyksi muun muassa sen, että hänen kirjeitään Gödelille ei oltu alun perinkään kirjoitettu niiden julkaise- mista silmälläpitäen. Tämän vuoksi hän viitta- si kirjeissään usein – myös implisiittisesti – hei- dän joko käymiinsä tai vasta suunnittelemiinsa keskusteluihin. Luonnollisesti tällaisen materi- aalin rekonstruoiminen, taustalla vaikuttanei- den ajatusten eksplisiittiseksi tekeminen ja kai- ken lisäksi englannin kielelle kääntäminen olisi ollut sangen vaativa tehtävä.
CW V:n ”Finding aid” -osuus tarjoaa mielen- kiintoisen faktan: Gödel ja Einstein ovat käyneet ainakin jonkinasteista kirjeenvaihtoa. Tämä on hieman yllättävää: työskenteliväthän molem- mat Princetonin Institute for Advanced Studyssa, jossa heillä oli päivittäin mahdollisuus keskus- tella. Toinen hivenen yllättävä seikka on täten se, ettei Gödelin ja Einsteinin välisestä kirjeen- vaihdosta hiiskuta CW IV-V:ssä sanallakaan.
Kun tiedustelin asian taustoja John W. Dawson
T I ET EE
S S
ÄTA
P H A U T U
78
TIETEESSÄ TAPAHTUU 2/2005
Juniorilta, Gödelin Nachlassin organisoinnista vastanneelta toimituskunnan jäseneltä, hän in- formoi, ettei Gödelin ja Einsteinin kirjeenvaih- dossa ainakaan hänen muistinsa mukaan ollut mitään niin merkityksellistä, että julkaisukyn- nys olisi ylittynyt. Koska kyseessä kuitenkin olivat 1900-luvun oman alansa merkittävimpiin tiedemiehiin lukeutuvat henkilöt, olisi heidän kohdallaan kenties voinut tehdä poikkeuksen ja mainita eksplisiittisesti kirjeenvaihdon igno- roinnin syyt. Mielestäni merkityksettömämpiä- kin kommentteja kyseisen tuplakokoelman si- vuilla esiintyy.
Toimituksellisia kiemuroita
Gödel oli kustannustoimittajan painajainen.
Hänelle absoluuttiset takarajatkin olivat vain suhteellisia, ”muutama päivä” saattoi tarkoit- taa yhtä vuotta, lähes valmiiksi kirjoitettu ar- tikkeli saattoi redusoitua neljäsosaan alkuperäi- sestä versiosta. Gödel ei halunnut joutua väit- telyihin tuloksistaan ja näkemyksistään, minkä vuoksi hän oli hyvin varovainen sen suhteen, mitä hänen nimissään julkaistiin. CW IV-V tar- joaa esimerkkejä Gödelistä pahimmillaan.
Ernest Nagelin ja James Newmanin Gödel’s proof (New York University Press, 1958) oli en- simmäinen Gödelin epätäydellisyyslauseita po- pularisoimaan pyrkinyt kirja. Gödel olisi ha- lunnut nähdä kirjan käsikirjoituksen ja kirjaan tarkoitettujen kahden tieteellisen artikkelinsa mahdolliset kommentoinnit ennen painatusta.
Gödelin vaatimukset eivät saaneet vastakaikua.
Kustannustoimittajalle osoittamassaan kirjees- sä Nagel ilmaisi suuttumuksensa sangen sel- västi eikä suostunut olemaan ”Gödelin orja”.
Jossakin vaiheessa kustannustoimittaja vaih- tui pitkäjänteisestä Allan Angoffi sta vähem- män kärsivälliseen Wilson Follettiin, joka lopul- ta kyllästyi Gödeliin ja haukkui kirjeessään tä- män toimintatavan perinpohjaisesti. Tämä epi- sodi on negatiivisesta viitekehyksestään huoli- matta koko CW IV-V:n värikkäintä, joskaan ei mielenkiintoisinta, antia.
Gödelin ja Paul Arthur Schilppin välinen kir- jeenvaihto, jossa lukija joutuu seuraamaan Gö- delin soutamista ja huopaamista tämän hioes- sa artikkeleidensa sisältöä mieleisekseen, on sen sijaan eittämättä koko julkaistun kirjeen- vaihdon puuduttavin osio. Tällaista materiaa- lia ei ole mielekästä lukea, ja tuntuu melko kä- sittämättömältä, että sitä on päätetty julkaista 39 kirjeen volyymilla. Motivaatio mielenkiin-
toisimpien katkelmien etsimiseen kärsii huo- mattavasti lukijan joutuessa raivaamaan tiensä suurelta osin täysin turhalta tuntuvan tekstiry- teikön läpi.
Jotain hyvää Gödel–Schilpp -aineistossakin sentään on. Gödelin fi losofi sten linjausten kan- nalta eräs keskeinen kirje on helmikuun kol- mannelta päivältä 1959 (kirje 36); siinä Gödel esittää syitä, joiden vuoksi ei sittenkään salli Carnap-aiheista artikkeliaan julkaistavan. Gö- del puolusti platonistista kantaansa, mutta ei ollut itsekään täysin tyytyväinen omiin argu- mentteihinsa.
Huolellisesti toimitettu teos
Mikäli on tutustunut Gödelin tuotantoon jo ai- emmin, ei CW IV-V tuo kovinkaan paljon lisää valoa hänen persoonaansa. Kirjeenvaihto vah- vistaa joitakin usein esitettyjä näkemyksiä Gö- delistä poikkeuksellisena ajattelijana, joka pyr- ki pääsemään asioiden ytimiin tehokkaimmalla mahdollisella tavalla, mutta hänen kyseenalai- nen maineensa erakkona ja misantrooppina sen sijaan rapisee hieman.
CW IV-V vaatii lukijaltaan yllättävän har- voissa kohdissa perusteellisempaa tietämystä logiikasta, matemaattisesta logiikasta tai mate- matiikasta. Melkeinpä haastavimpia hetkiä voi kokea Gödelin tulosten fi losofi sten seurausten pohdiskelun parissa tai matematiikan fi losofi aa koskevissa kysymyksissä ylipäätään.
Kokonaisuuden pahimmat puutteet (Co- hen, Kreisel) ovat sellaisia, joihin toimitus ei suoranaisesti ole voinut vaikuttaa. Tämä fakta huomioon ottaen voidaan todeta, että CW IV- V on erittäin huolellisesti toimitettu laitos, erit- täin informatiivinen ja parhaimmillaan syvälli- siin pohdintoihin stimuloiva kokonaisuus. On selvää, että se puolustaa paikkaansa jokaisen Gödelistä ja 1900-luvun logiikasta kiinnostu- neen henkilön kirjahyllyssä, mutta yhtä selvää on myös, että ilman perinpohjaista tutustumis- ta sarjan aiempiin osiin ei CW IV-V:stä saa täyt- tä hyötyä irti; niin vahvasti kirjeenvaihto on si- doksissa Gödelin tieteellisiin saavutuksiin.
Kirjoittaja on YTM ja fi losofi an jatko-opiskelija Jy- väskylän yliopiston Yhteiskuntatieteiden ja fi losofi - an laitoksella.
Helge Kragh,
Kvanttisukupolvet,ISBN 952-5202-53-4, 550 sivua, ovh. € 50,00 Brian Greene, Kosmoksen
rakenne, ISBN 952-5202-
