ELEC-C4120 Piirianalyysi II
1. v¨alikoe 16.2.20161.
E
k
R
C L
R i(t)
Piiri on jatkuvuustilassa ennen kytkimen avaamista.
Laske virtai(t) kytkimen avaamisen j¨alkeen.
E= 12 V C= 1 mF L= 5 mH R= 4 Ω.
2.
i(t) C R
L u(t)
jω
s2 s1 σ
a) Piirin siirtofunktionF(s) =U(s)/I(s) navat sijaitse- vat kuvan mukaisesti. M¨a¨ar¨a¨aRjaC.
b) Virtal¨ahteen arvo muuttuu, mutta pysyy rajoitettu- na. Onko piirin vaste rajoitettu? Perustele.
s1=−1 rad/s s2=−2 rad/s L= 1 H.
3.
a
b E
R
L iL(t)
E
b a
R
C iC(t)
uC(t)
Oheiset kaksi tasavirtapiiri¨a ovat jatkuvuustilassa, en- nen kuin kytkimet k¨a¨annet¨a¨an hetkell¨at= 1 s asennosta a asentoon b. Hahmottele ajanhetkest¨at= 0 eteenp¨ain kuvaajat
a) virralleiL(t), b) j¨annitteelleuC(t) ja c) virralleiC(t).
0.1
E
k
R
C L
R i(t)
Piiri on jatkuvuustilassa ennen kytkimen avaamista.
Laske virtai(t) kytkimen avaamisen j¨alkeen.
E= 12 V C= 1 mF L= 5 mH R= 4 Ω.
E
R C
L
UC0 R IL0
UC0=E 2 = 6 V IL0= E
2R =3 2A
C
UC0
s
L LIL0
R
I(s)
I =
LIL0+UC0
1 s
sC +sL+R
= sLCIL0+UC0C
s2LC+sRC+ 1 = sIL0+ULC0 s2+sRL +LC1
= 1,5s+ 1200 s2+ 800s+ 200000 Etsit¨a¨an k¨a¨anteismuunnos:
I= 1,5s+ 1200
(s+ 400)2+ (200)2 = 1,5(s+ 400) + 600
(s+ 400)2+ (200)2 = 1,5(s+ 400)
(s+ 400)2+ (200)2 + 3·200 (s+ 400)2+ (200)2 Tehd¨a¨an k¨a¨anteismuunnos:
⇒i(t) = 1,5e−400tcos(200t) + 3e−400tsin(200t) A, kun t≥0
0.2
i(t) C R
L u(t)
jω
s2 s1 σ
a) Piirin siirtofunktionF(s) =U(s)/I(s) navat sijaitse- vat kuvan mukaisesti. M¨a¨ar¨a¨aRjaC.
b) Virtal¨ahteen arvo muuttuu, mutta pysyy rajoitettu- na. Onko piirin vaste rajoitettu? Perustele.
s1=−1 rad/s s2=−2 rad/s L= 1 H.
a)
Kirjoitetaan virranjakos¨a¨ann¨on avulla lauseke kelan virralle. J¨annite saadaan virrasta kertomalla impedanssilla sL.
I(s) sC1
R
sL U(s) IL(s)
IL(s) =
1 sC 1
sC +R+sL·I(s) = 1
1 +sRC+s2LC ·I(s)
U(s) = IL(s)·sL= sL
1 +sRC+s2LC ·I(s)
= 1 C
s
1
LC +sRL +s2 ·I(s) F(s) =U(s)
I(s) = 1
C · s
1
LC +sRL +s2 Toisaalta siirtofunktion nimitt¨aj¨apolynomi saadaan napakuviosta:
(s−s1)(s−s2) = (s+ 1)(s+ 2) =s2+ 3s+ 2 = 1 LC +sR
L +s2 KomponenteilleR,LjaC saadaan:
R
L = 3 ⇒ R= 3·L
1
LC = 2 ⇒ C= 2L1 L= 1 H ⇒
R= 3 Ω C= 0,5 F
b)
Vaste on rajoitettu. Stabiilin piirin siirtofunktion navat eli piirin ominaistaajuudet sijaitsevat vasemmassa s- puolitasossa tai jω -akselilla yksinkertaisina. T¨am¨a piiri on siis stabiili. Stabiilin piirin vaste on aina rajoitettu, kun her¨ate on rajoitettu.
0.3
a
b E
R
L iL(t)
E
b a
R
C iC(t)
uC(t)
Oheiset kaksi tasavirtapiiri¨a ovat jatkuvuustilassa, en- nen kuin kytkimet k¨a¨annet¨a¨an hetkell¨at= 1 s asennosta a asentoon b. Hahmottele ajanhetkest¨at= 0 eteenp¨ain kuvaajat
a) virralle iL(t), b) j¨annitteelleuC(t) ja c) virralleiC(t).
a) Kelan virta on aluksi arvossa E/R, josta se ei voi muuttua ¨akisti kytkimen k¨a¨ann¨on j¨alkeen, vaan laskee nollaan yht¨al¨oniL(t) =A+Bestmukaisesti.
E/R i(t)
t
b) Alussa kapasitanssi on varaukseton eli uC(1) = 0 V, ja sen virta on nolla. Kapasitanssin j¨annite ei voi muuttua ¨akisti, joten se kasvaa nollasta arvoonE yht¨al¨onuC(t) =A+Best mukaisesti.
E/R u(t)
t
c) Kapasitanssin virta voi muuttua ¨akillisesti. Ennen kytkimen avaamista virta on nolla, mutta hypp¨a¨a arvoon E/R, kun kytkin avataan ja laskee sen j¨alkeen takaisin nollaan (iC(t) =A+Best).
E/R i(t)
t
